हल करने की सीमाएँ कैसे हल करें। अद्भुत सीमाएँ

हम सीमा के सिद्धांत के लिए तैयार उत्तरों का विश्लेषण करना जारी रखते हैं और आज हम केवल उस मामले पर ध्यान केंद्रित करेंगे जब किसी फ़ंक्शन में एक चर या अनुक्रम में एक संख्या अनंत की ओर बढ़ती है। अनंत की ओर रुझान वाले एक चर की सीमा की गणना करने के निर्देश पहले दिए गए थे, यहां हम केवल व्यक्तिगत मामलों पर ध्यान देंगे जो सभी के लिए स्पष्ट और सरल नहीं हैं;

उदाहरण 35. हमारे पास भिन्न के रूप में एक अनुक्रम है, जहां अंश और हर में मूल फलन होते हैं।
जब संख्या अनंत की ओर प्रवृत्त होती है तो हमें सीमा ज्ञात करने की आवश्यकता होती है।
यहां अंश में अतार्किकता को प्रकट करने की कोई आवश्यकता नहीं है, बल्कि केवल जड़ों का सावधानीपूर्वक विश्लेषण करें और पता लगाएं कि संख्या की उच्च शक्ति कहाँ निहित है।
पहले में, अंश के मूल गुणक n^4 हैं, अर्थात n^2 को कोष्ठक से बाहर निकाला जा सकता है।
आइए हर के साथ भी ऐसा ही करें।
इसके बाद, हम सीमा से गुजरते समय मूल अभिव्यक्तियों के अर्थ का मूल्यांकन करते हैं।

हमें शून्य से विभाजन मिला, जो स्कूल के पाठ्यक्रम में गलत है, लेकिन परिच्छेद में सीमा तक यह स्वीकार्य है।
केवल एक संशोधन के साथ "यह अनुमान लगाने के लिए कि कार्य कहाँ जा रहा है।"
इसलिए, सभी शिक्षक उपरोक्त नोटेशन को सही नहीं मान सकते, हालांकि वे समझते हैं कि परिणामी परिणाम नहीं बदलेगा।
आइए सिद्धांत के अनुसार शिक्षकों की आवश्यकताओं के अनुसार संकलित उत्तर को देखें।
सरल बनाने के लिए, हम रूट के अंतर्गत केवल मुख्य ऐड-ऑन का मूल्यांकन करेंगे

इसके अलावा, अंश में घात 2 के बराबर है, हर में 2/3, इसलिए अंश तेजी से बढ़ता है, जिसका अर्थ है कि सीमा अनंत की ओर बढ़ती है।
इसका चिन्ह n^2, n^(2/3) के कारकों पर निर्भर करता है, इसलिए यह सकारात्मक है।

उदाहरण 36. विभाजन सीमा के एक उदाहरण पर विचार करें घातीय कार्य. इस प्रकार के कुछ व्यावहारिक उदाहरण हैं, इसलिए सभी छात्र आसानी से यह नहीं समझ पाते हैं कि उत्पन्न होने वाली अनिश्चितताओं का खुलासा कैसे किया जाए।
अंश और हर के लिए अधिकतम गुणनखंड 8^n है, और हम इसे इसके द्वारा सरल बनाते हैं

इसके बाद, हम प्रत्येक पद के योगदान का मूल्यांकन करते हैं
3/8 के बाद से, जैसे-जैसे चर अनंत तक जाता है, पद 3/8 शून्य होते जाते हैं<1 (свойство степенно-показательной функции).

उदाहरण 37. भाज्य वाले अनुक्रम की सीमा अंश और हर के लिए भाज्य को सबसे बड़े सामान्य गुणनखंड में लिखने से प्रकट होती है।
इसके बाद, हम इसे कम करते हैं और अंश और हर में संख्या संकेतकों के मूल्य के आधार पर सीमा का मूल्यांकन करते हैं।
हमारे उदाहरण में, हर तेजी से बढ़ता है, इसलिए सीमा शून्य है।


यहाँ निम्नलिखित का प्रयोग किया गया है

भाज्य संपत्ति.

उदाहरण 38. एल'हॉपिटल के नियमों को लागू किए बिना, हम भिन्न के अंश और हर में चर के अधिकतम संकेतकों की तुलना करते हैं।
चूँकि हर में चर 4>2 का उच्चतम घातांक होता है, यह तेजी से बढ़ता है।
इससे हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि फ़ंक्शन की सीमा शून्य हो जाती है।

उदाहरण 39. हम भिन्न के अंश और हर से x^4 को हटाकर अनंत से विभाजित रूप की विशिष्टता को प्रकट करते हैं।
सीमा को पार करने के फलस्वरूप हमें अनन्तता प्राप्त होती है।

उदाहरण 40. हमारे पास बहुपदों का एक विभाजन है, हमें सीमा निर्धारित करने की आवश्यकता है क्योंकि चर अनंत की ओर जाता है।
अंश और हर में चर की उच्चतम डिग्री 3 के बराबर है, जिसका अर्थ है कि सीमा मौजूद है और वर्तमान के बराबर है।
आइए x^3 निकालें और मार्ग को सीमा तक पूरा करें

उदाहरण 41. हमारे पास अनंत की घात के प्रकार एक की विलक्षणता है।
इसका मतलब यह है कि कोष्ठक में अभिव्यक्ति और संकेतक को ही दूसरी महत्वपूर्ण सीमा के अंतर्गत लाया जाना चाहिए।
आइए इसमें उस अभिव्यक्ति को उजागर करने के लिए अंश लिखें जो हर के समान है।
इसके बाद, हम एक और एक पद वाले व्यंजक की ओर बढ़ते हैं।
डिग्री को कारक 1/(अवधि) द्वारा अलग किया जाना चाहिए।
इस प्रकार हम भिन्नात्मक फलन की सीमा की घात का घातांक प्राप्त करते हैं।

विलक्षणता का मूल्यांकन करने के लिए, हमने दूसरी सीमा का उपयोग किया:

उदाहरण 42. हमारे पास अनंत की घात के प्रकार एक की विलक्षणता है।
इसे प्रकट करने के लिए व्यक्ति को कार्य को दूसरी उल्लेखनीय सीमा तक कम करना चाहिए।
यह कैसे करें निम्नलिखित सूत्र में विस्तार से दिखाया गया है


आपको ऐसी ही बहुत सारी समस्याएँ मिल सकती हैं। उनका सार संकेतक में आवश्यक डिग्री प्राप्त करना है, और यह बराबर है पारस्परिक मूल्यएकता में कोष्ठक में शब्द।
इस विधि का उपयोग करके हम घातांक प्राप्त करते हैं। आगे की गणना घातांक डिग्री की सीमा की गणना करने के लिए कम हो गई है।
यहाँ घातांक प्रकार्यअनंत की ओर प्रवृत्त होता है, क्योंकि मान एक e=2.72>1 से अधिक है।

उदाहरण 43 भिन्न के हर में हमारे पास अनंत घटा अनंत प्रकार की अनिश्चितता है, जो वास्तव में शून्य से विभाजन के बराबर है।
मूल से छुटकारा पाने के लिए, हम संयुग्मी अभिव्यक्ति से गुणा करते हैं, और फिर हर को फिर से लिखने के लिए वर्गों के अंतर के सूत्र का उपयोग करते हैं।
हमें अनंत की अनिश्चितता को अनंत से विभाजित करने पर प्राप्त होता है, इसलिए हम चर को अधिकतम सीमा तक निकाल लेते हैं और इसके द्वारा इसे कम कर देते हैं।
इसके बाद, हम प्रत्येक पद के योगदान का मूल्यांकन करते हैं और अनंत पर फलन की सीमा ज्ञात करते हैं

सीमा का सिद्धांत इन्हीं वर्गों में से एक है गणितीय विश्लेषण. सीमाओं को हल करने का प्रश्न काफी व्यापक है, क्योंकि सीमाओं को हल करने की दर्जनों विधियाँ हैं विभिन्न प्रकार. ऐसी दर्जनों बारीकियाँ और तरकीबें हैं जो आपको इस या उस सीमा को हल करने की अनुमति देती हैं। फिर भी, हम अभी भी उन मुख्य प्रकार की सीमाओं को समझने का प्रयास करेंगे जो व्यवहार में सबसे अधिक बार सामने आती हैं।

आइए सीमा की अवधारणा से शुरुआत करें। लेकिन पहले एक संक्षिप्त ऐतिहासिक पृष्ठभूमि. 19वीं शताब्दी में एक फ्रांसीसी, ऑगस्टिन लुईस कॉची रहते थे, जिन्होंने मटन की कई अवधारणाओं को सख्त परिभाषा दी और इसकी नींव रखी। यह कहा जाना चाहिए कि यह सम्मानित गणितज्ञ भौतिकी और गणित विभाग के सभी छात्रों के बुरे सपने में था, है और रहेगा, क्योंकि उसने गणितीय विश्लेषण के प्रमेयों की एक बड़ी संख्या को सिद्ध किया है, और एक प्रमेय दूसरे की तुलना में अधिक घातक है। इस संबंध में हम अभी विचार नहीं करेंगे कॉची सीमा का निर्धारण, लेकिन आइए दो काम करने का प्रयास करें:

1. समझें कि सीमा क्या है.
2. मुख्य प्रकार की सीमाओं को हल करना सीखें।

मैं कुछ अवैज्ञानिक स्पष्टीकरणों के लिए क्षमा चाहता हूं, यह महत्वपूर्ण है कि सामग्री एक चायदानी के लिए भी समझ में आए, जो वास्तव में, परियोजना का कार्य है।

तो सीमा क्या है?

और सिर्फ एक उदाहरण कि झबरा दादी को क्यों...

किसी भी सीमा में तीन भाग होते हैं:

1) सुप्रसिद्ध सीमा चिह्न।
2) इस मामले में, सीमा आइकन के अंतर्गत प्रविष्टियाँ। प्रविष्टि में लिखा है "X एक की ओर प्रवृत्त होता है।" अक्सर - बिल्कुल, हालाँकि व्यवहार में "X" के बजाय अन्य चर भी होते हैं। व्यावहारिक कार्यों में एक का स्थान बिल्कुल कोई भी संख्या, साथ ही अनंत () भी हो सकता है।
3) इस मामले में, सीमा चिह्न के अंतर्गत कार्य।

रिकॉर्डिंग स्वयं इसे इस प्रकार पढ़ें: "x के रूप में किसी फ़ंक्शन की सीमा एकता की ओर प्रवृत्त होती है।"

आइए अगले महत्वपूर्ण प्रश्न पर नजर डालें - अभिव्यक्ति "x" का क्या अर्थ है? करने का प्रयासएक को"? और "प्रयास" का मतलब क्या है?
सीमा की अवधारणा एक अवधारणा है, इसलिए कहें तो, गतिशील. आइए एक क्रम बनाएं: पहले , फिर , , …, , ….
अर्थात्, अभिव्यक्ति "x"। करने का प्रयास to one" को इस प्रकार समझा जाना चाहिए: "x" लगातार मान लेता है जो एकता के असीम रूप से करीब आते हैं और व्यावहारिक रूप से इसके साथ मेल खाते हैं.

उपरोक्त उदाहरण को कैसे हल करें? उपरोक्त के आधार पर, आपको बस सीमा चिह्न के तहत फ़ंक्शन में एक को प्रतिस्थापित करने की आवश्यकता है:

तो, पहला नियम: जब कोई सीमा दी जाती है, तो सबसे पहले हम संख्या को फ़ंक्शन में प्लग करने का प्रयास करते हैं.

हमने सबसे सरल सीमा पर विचार किया है, लेकिन ये व्यवहार में भी होती हैं, और बहुत कम नहीं!

अनंत के साथ उदाहरण:

आइए जानें कि यह क्या है? यह वह स्थिति है जब यह बिना किसी सीमा के बढ़ता है, अर्थात: पहले, फिर, फिर, फिर, और इसी तरह अनंत काल तक।

इस समय समारोह का क्या होगा?
, , , …

तो: यदि, तो फ़ंक्शन शून्य से अनंत तक जाता है:

मोटे तौर पर, हमारे पहले नियम के अनुसार, हम फ़ंक्शन में "X" के बजाय अनंत को प्रतिस्थापित करते हैं और उत्तर प्राप्त करते हैं।

अनंत के साथ एक और उदाहरण:

फिर से हम अनंत तक बढ़ना शुरू करते हैं और फ़ंक्शन के व्यवहार को देखते हैं:

निष्कर्ष: जब फ़ंक्शन बिना किसी सीमा के बढ़ता है:

और उदाहरणों की एक और श्रृंखला:

कृपया अपने लिए निम्नलिखित का मानसिक रूप से विश्लेषण करने का प्रयास करें और सबसे सरल प्रकार की सीमाओं को याद रखें:

, , , , , , , , ,
यदि आपको कहीं भी संदेह है, तो आप एक कैलकुलेटर उठा सकते हैं और थोड़ा अभ्यास कर सकते हैं।
ऐसी स्थिति में, अनुक्रम बनाने का प्रयास करें,। यदि , तो , , .

! टिप्पणी: कड़ाई से बोलते हुए, कई संख्याओं के अनुक्रमों के निर्माण का यह दृष्टिकोण गलत है, लेकिन सबसे सरल उदाहरणों को समझने के लिए यह काफी उपयुक्त है।

निम्नलिखित बात पर भी ध्यान दें. भले ही साथ एक सीमा दी गई हो एक लंबी संख्याशीर्ष पर, यहां तक ​​कि दस लाख के साथ भी: यह सब समान है , चूँकि देर-सबेर "X" इतने विशाल मान लेना शुरू कर देगा कि इसकी तुलना में एक मिलियन एक वास्तविक सूक्ष्म जीव होगा।

उपरोक्त से आपको क्या याद रखने और समझने की आवश्यकता है?

1) जब कोई सीमा दी जाती है, तो सबसे पहले हम फ़ंक्शन में संख्या को प्रतिस्थापित करने का प्रयास करते हैं।

2) आपको सरलतम सीमाओं को समझना चाहिए और तुरंत हल करना चाहिए, जैसे । । । वगैरह।

इसके अलावा, सीमा बहुत अच्छी है ज्यामितीय अर्थ. विषय की बेहतर समझ के लिए, मेरा सुझाव है कि आप पढ़ें कार्यप्रणाली सामग्री प्राथमिक कार्यों के रेखांकन और गुण. इस लेख को पढ़ने के बाद, आप न केवल समझ जाएंगे कि सीमा क्या है, बल्कि इससे परिचित भी होंगे दिलचस्प मामले, जब फ़ंक्शन की सीमा आम तौर पर होती है अस्तित्व में नहीं है!

व्यवहार में, दुर्भाग्य से, कुछ उपहार हैं। और इसलिए हम अधिक जटिल सीमाओं पर विचार करने के लिए आगे बढ़ते हैं। वैसे, इस विषय पर वहाँ है गहन पाठ्यक्रमपीडीएफ प्रारूप में, जो विशेष रूप से उपयोगी है यदि आपके पास तैयारी के लिए बहुत कम समय है। लेकिन साइट सामग्री, निश्चित रूप से, बदतर नहीं हैं:

अब हम सीमाओं के समूह पर विचार करेंगे जब, और फ़ंक्शन एक भिन्न है जिसके अंश और हर में बहुपद होते हैं

उदाहरण:

सीमा की गणना करें

हमारे नियम के अनुसार, हम फलन में अनंत को प्रतिस्थापित करने का प्रयास करेंगे। शीर्ष पर हमें क्या मिलता है? अनंत। और नीचे क्या होता है? साथ ही अनंत. इस प्रकार हमारे पास प्रजाति अनिश्चितता कहलाती है। कोई ऐसा सोच सकता है, और उत्तर तैयार है, लेकिन सामान्य मामले में यह बिल्कुल भी मामला नहीं है, और कुछ समाधान तकनीक लागू करना आवश्यक है, जिस पर अब हम विचार करेंगे।

इस प्रकार की सीमाएँ कैसे हल करें?

सबसे पहले हम अंश को देखते हैं और उच्चतम घात पाते हैं:

अंश में अग्रणी घात दो है।

अब हम हर को देखते हैं और इसे उच्चतम घात तक भी पाते हैं:

हर की उच्चतम डिग्री दो है।

फिर हम अंश और हर की उच्चतम घात चुनते हैं: in इस उदाहरण मेंवे संपाती हैं और दो के बराबर हैं।

तो, समाधान विधि इस प्रकार है: अनिश्चितता को प्रकट करने के लिए, अंश और हर को उच्चतम घात से विभाजित करना आवश्यक है।

यहाँ यह है, उत्तर, अनंत बिल्कुल नहीं।

किसी निर्णय के डिज़ाइन में मूलभूत रूप से क्या महत्वपूर्ण है?

सबसे पहले, हम अनिश्चितता का संकेत देते हैं, यदि कोई हो।

दूसरे, मध्यवर्ती स्पष्टीकरणों के समाधान को बाधित करने की सलाह दी जाती है। मैं आमतौर पर संकेत का उपयोग करता हूं, इसका कोई गणितीय अर्थ नहीं है, लेकिन इसका मतलब है कि मध्यवर्ती स्पष्टीकरण के लिए समाधान बाधित है।

तीसरा, सीमा में यह अंकित करना उचित है कि क्या कहाँ जा रहा है। जब कार्य हाथ से तैयार किया जाता है, तो इसे इस प्रकार करना अधिक सुविधाजनक होता है:

नोट्स के लिए साधारण पेंसिल का उपयोग करना बेहतर है।

बेशक, आपको इसमें से कुछ भी करने की ज़रूरत नहीं है, लेकिन तब, शायद, शिक्षक समाधान में कमियाँ बताएँगे या असाइनमेंट के बारे में अतिरिक्त प्रश्न पूछना शुरू कर देंगे। क्या आपको इसकी जरूरत है?

उदाहरण 2

सीमा ज्ञात करें
पुनः अंश और हर में हम उच्चतम डिग्री में पाते हैं:

अंश में अधिकतम डिग्री: 3
हर में अधिकतम डिग्री: 4
चुनना महानतममान, इस मामले में चार.
हमारे एल्गोरिदम के अनुसार, अनिश्चितता प्रकट करने के लिए, हम अंश और हर को से विभाजित करते हैं।
पूरा असाइनमेंट इस तरह दिख सकता है:

अंश और हर को इससे विभाजित करें

उदाहरण 3

सीमा ज्ञात करें
अंश में "X" की अधिकतम डिग्री: 2
हर में "X" की अधिकतम डिग्री: 1 (इस प्रकार लिखा जा सकता है)
अनिश्चितता को प्रकट करने के लिए अंश और हर को विभाजित करना आवश्यक है। अंतिम समाधान इस तरह दिख सकता है:

अंश और हर को इससे विभाजित करें

अंकन का मतलब शून्य से विभाजन नहीं है (आप शून्य से विभाजित नहीं कर सकते हैं), बल्कि एक अतिसूक्ष्म संख्या से विभाजन है।

इस प्रकार, प्रजातियों की अनिश्चितता को उजागर करके, हम सक्षम हो सकते हैं अंतिम संख्या, शून्य या अनंत.

प्रकार और उन्हें हल करने की विधि की अनिश्चितता वाली सीमाएँ

सीमाओं का अगला समूह कुछ हद तक अभी मानी गई सीमाओं के समान है: अंश और हर में बहुपद होते हैं, लेकिन "x" अब अनंत की ओर नहीं, बल्कि समापिका.

उदाहरण 4

सीमा हल करें
सबसे पहले, आइए भिन्न में -1 को प्रतिस्थापित करने का प्रयास करें:

इस मामले में, तथाकथित अनिश्चितता प्राप्त होती है।

सामान्य नियम : यदि अंश और हर में बहुपद हों और रूप की अनिश्चितता हो तो उसे प्रकट करें आपको अंश और हर का गुणनखंड करना होगा.

ऐसा करने के लिए, अक्सर आपको द्विघात समीकरण को हल करने और/या संक्षिप्त गुणन सूत्रों का उपयोग करने की आवश्यकता होती है। अगर ये बातें भूल गए हैं तो पेज पर जाएं गणितीय सूत्र और तालिकाएँऔर शिक्षण सामग्री पढ़ें गर्म सूत्र स्कूल पाठ्यक्रमगणितज्ञों. वैसे, इसे प्रिंट करना सबसे अच्छा है; इसकी बहुत बार आवश्यकता होती है, और जानकारी कागज से बेहतर अवशोषित होती है।

तो, आइए अपनी सीमा का समाधान करें

अंश और हर का गुणनखंड करें

अंश का गुणनखंड करने के लिए, आपको द्विघात समीकरण को हल करना होगा:

सबसे पहले हम विभेदक को ढूंढते हैं:

और इसका वर्गमूल: .

यदि विवेचक बड़ा है, उदाहरण के लिए 361, तो हम एक कैलकुलेटर, निष्कर्षण फ़ंक्शन का उपयोग करते हैं वर्गमूलसबसे सरल कैलकुलेटर पर उपलब्ध है।

! यदि मूल को पूरी तरह से नहीं निकाला गया है (अल्पविराम के साथ एक आंशिक संख्या प्राप्त की जाती है), तो यह बहुत संभव है कि विवेचक की गणना गलत तरीके से की गई थी या कार्य में कोई टाइपो था।

आगे हम जड़ें ढूंढते हैं:

इस प्रकार:

सभी। अंश गुणनखंडित है।

भाजक. हर पहले से ही सबसे सरल कारक है, और इसे सरल बनाने का कोई तरीका नहीं है।

जाहिर है, इसे छोटा किया जा सकता है:

अब हम उस अभिव्यक्ति में -1 प्रतिस्थापित करते हैं जो सीमा चिह्न के अंतर्गत रहता है:

स्वाभाविक रूप से, में परीक्षण कार्य, किसी परीक्षण या परीक्षा के दौरान समाधान कभी भी इतने विस्तार से नहीं लिखा जाता है। अंतिम संस्करण में, डिज़ाइन कुछ इस तरह दिखना चाहिए:

आइए अंश का गुणनखंड करें।

उदाहरण 5

सीमा की गणना करें

सबसे पहले, "खत्म" समाधान

आइए अंश और हर का गुणनखंड करें।

अंश:
भाजक:



,

इस उदाहरण में क्या महत्वपूर्ण है?
सबसे पहले, आपको इस बात की अच्छी समझ होनी चाहिए कि अंश कैसे प्रकट होता है, पहले हमने कोष्ठक से 2 निकाला, और फिर वर्गों के अंतर के लिए सूत्र का उपयोग किया। यह वह सूत्र है जिसे आपको जानना और देखना आवश्यक है।

सिफारिश: यदि किसी सीमा में (लगभग किसी भी प्रकार की) किसी संख्या को कोष्ठक से बाहर निकालना संभव है, तो हम हमेशा ऐसा करते हैं।
इसके अलावा, ऐसी संख्याओं को सीमा आइकन से आगे ले जाने की सलाह दी जाती है. किस लिए? हाँ, बस इतना कि वे रास्ते में न आएँ। मुख्य बात यह है कि बाद में समाधान के दौरान इन नंबरों को खोना नहीं है।

कृपया ध्यान दें कि समाधान के अंतिम चरण में, मैंने सीमा आइकन से दो को हटा दिया, और फिर माइनस को।

! महत्वपूर्ण
समाधान के दौरान, प्रकार का टुकड़ा बहुत बार होता है। इस अंश को कम करेंयह वर्जित है . सबसे पहले आपको अंश या हर का चिह्न बदलना होगा (कोष्ठक में से -1 लगाएं)।
यानी, एक ऋण चिह्न दिखाई देता है, जिसे सीमा की गणना करते समय ध्यान में रखा जाता है और इसे खोने की कोई आवश्यकता नहीं है।

सामान्य तौर पर, मैंने देखा कि इस प्रकार की सीमाएँ खोजने में अक्सर आपको दो को हल करना पड़ता है द्विघातीय समीकरण, अर्थात्, अंश और हर दोनों में वर्ग त्रिपद होते हैं।

संयुग्मी व्यंजक द्वारा अंश और हर को गुणा करने की विधि

हम फॉर्म की अनिश्चितता पर विचार करना जारी रखते हैं

अगले प्रकार की सीमाएँ पिछले प्रकार के समान हैं। केवल एक चीज, बहुपदों के अतिरिक्त, हम जड़ें जोड़ेंगे।

उदाहरण 6

सीमा ज्ञात करें

आइए निर्णय लेना शुरू करें।

सबसे पहले हम सीमा चिह्न के अंतर्गत अभिव्यक्ति में 3 को प्रतिस्थापित करने का प्रयास करते हैं
मैं एक बार फिर दोहराता हूं - यह पहली चीज है जो आपको किसी भी सीमा के लिए करने की आवश्यकता है. यह क्रिया आमतौर पर मानसिक रूप से या ड्राफ्ट रूप में की जाती है।

फॉर्म की एक अनिश्चितता प्राप्त हुई है जिसे दूर करने की आवश्यकता है।

जैसा कि आपने शायद देखा होगा, हमारे अंश में मूलों का अंतर होता है। और गणित में यदि संभव हो तो जड़ों से छुटकारा पाने की प्रथा है। किस लिए? और उनके बिना जीवन आसान है.

अनुक्रमों और कार्यों की सीमाओं की अवधारणाएँ। जब किसी अनुक्रम की सीमा ज्ञात करना आवश्यक हो, तो इसे इस प्रकार लिखा जाता है: lim xn=a। अनुक्रमों के ऐसे क्रम में, xn, a की ओर प्रवृत्त होता है और n, अनंत की ओर प्रवृत्त होता है। एक अनुक्रम को आमतौर पर एक श्रृंखला के रूप में दर्शाया जाता है, उदाहरण के लिए:
X1, x2, x3...,xm,...,xn... .
अनुक्रमों को बढ़ते और घटते में विभाजित किया गया है। उदाहरण के लिए:
xn=n^2 - बढ़ता क्रम
yn=1/n - अनुक्रम
इसलिए, उदाहरण के लिए, अनुक्रम की सीमा xn=1/n^ :
lim 1/n^2=0

x→∞
यह सीमा शून्य के बराबर है, क्योंकि n→∞, और अनुक्रम 1/n^2 शून्य की ओर प्रवृत्त होता है।

आमतौर पर, एक परिवर्तनीय मात्रा x एक परिमित सीमा a की ओर प्रवृत्त होती है, और x लगातार a के निकट आ रहा है, और मात्रा a स्थिर है। इसे इस प्रकार लिखा गया है: limx =a, जबकि n भी शून्य या अनंत की ओर प्रवृत्त हो सकता है। ऐसे अनंत कार्य हैं, जिनकी सीमा अनंत तक जाती है। अन्य मामलों में, उदाहरण के लिए, जब फ़ंक्शन किसी ट्रेन को धीमा कर रहा हो, तो संभव है कि सीमा शून्य की ओर बढ़ रही हो।
सीमाओं में अनेक गुण होते हैं। आमतौर पर, किसी भी फ़ंक्शन की केवल एक ही सीमा होती है। यह सीमा का मुख्य गुण है। अन्य नीचे सूचीबद्ध हैं:
*राशि सीमा योग के बराबरसीमाएँ:
lim(x+y)=lim x+lim y
* उत्पाद सीमा उत्पाद के बराबरसीमाएँ:
lim(xy)=lim x*lim y
* भागफल की सीमा सीमा के भागफल के बराबर होती है:
लिम(x/y)=lim x/lim y
* स्थिर कारक को सीमा चिह्न से बाहर ले जाया जाता है:
लिम(सीएक्स)=सी लिम एक्स
एक फ़ंक्शन 1 /x दिया गया है जिसमें x →∞ है, इसकी सीमा शून्य है। यदि x→0, तो ऐसे फ़ंक्शन की सीमा ∞ है।
के लिए त्रिकोणमितीय कार्यइन नियमों से हैं. क्योंकि पाप कार्यजब x शून्य के करीब पहुंचता है तो हमेशा एकता की ओर प्रवृत्त होता है, इसके लिए पहचान कायम रहती है:
लिम पाप x/x=1

कई कार्यों में ऐसे कार्य होते हैं, जिनकी सीमा की गणना करते समय अनिश्चितता उत्पन्न होती है - ऐसी स्थिति जिसमें सीमा की गणना नहीं की जा सकती। इस स्थिति से निकलने का एकमात्र रास्ता एल हॉस्पिटल है। अनिश्चितताएँ दो प्रकार की होती हैं:
* फॉर्म की अनिश्चितता 0/0
* फॉर्म ∞/∞ की अनिश्चितता
उदाहरण के लिए, सीमा दी गई है निम्न प्रकार: lim f(x)/l(x), और f(x0)=l(x0)=0. इस स्थिति में, फॉर्म 0/0 की अनिश्चितता उत्पन्न होती है। ऐसी समस्या को हल करने के लिए दोनों कार्यों में अंतर किया जाता है, जिसके बाद परिणाम की सीमा ज्ञात की जाती है। प्रकार 0/0 की अनिश्चितताओं के लिए, सीमा है:
lim f(x)/l(x)=lim f"(x)/l"(x) (x→0 पर)
यही नियम ∞/∞ प्रकार की अनिश्चितताओं के लिए भी लागू होता है। लेकिन इस मामले में निम्नलिखित समानता सत्य है: f(x)=l(x)=∞
एल'हॉपिटल के नियम का उपयोग करके, आप किसी भी सीमा का मान पा सकते हैं जिसमें अनिश्चितताएँ दिखाई देती हैं। के लिए एक शर्त

वॉल्यूम - डेरिवेटिव ढूंढते समय कोई त्रुटि नहीं। इसलिए, उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन (x^2)" का व्युत्पन्न 2x के बराबर है। यहां से हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं:
f"(x)=nx^(n-1)

जो लोग सीखना चाहते हैं कि सीमाएं कैसे खोजें, इस लेख में हम आपको इसके बारे में बताएंगे। हम सिद्धांत में गहराई से नहीं जाएंगे; शिक्षक आमतौर पर इसे व्याख्यान में देते हैं। इसलिए "उबाऊ सिद्धांत" को आपकी नोटबुक में लिख लिया जाना चाहिए। यदि यह मामला नहीं है, तो आप पुस्तकालय से उधार ली गई पाठ्यपुस्तकें पढ़ सकते हैं। शैक्षिक संस्थाया अन्य इंटरनेट संसाधनों पर.

इसलिए, उच्च गणित के अध्ययन में सीमा की अवधारणा काफी महत्वपूर्ण है, खासकर जब आप अभिन्न कलन से परिचित होते हैं और सीमा और अभिन्न के बीच संबंध को समझते हैं। वर्तमान सामग्री में हम विचार करेंगे सरल उदाहरण, साथ ही उन्हें हल करने के तरीके भी।

समाधान के उदाहरण

उदाहरण 1

गणना करें a) $ \lim_(x \to 0) \frac(1)(x) $; बी)$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) $

समाधान

a) $$ \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty $$ बी)$$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) = 0 $$ लोग अक्सर हमें इन सीमाओं को हल करने में मदद के अनुरोध के साथ भेजते हैं। हमने उन्हें उजागर करने का निर्णय लिया एक अलग उदाहरणऔर समझाएं कि इन सीमाओं को एक नियम के रूप में याद रखने की आवश्यकता है। यदि आप अपनी समस्या का समाधान नहीं कर सकते तो हमें भेजें। हम प्रदान करेंगे विस्तृत समाधान. आप गणना की प्रगति देख सकेंगे और जानकारी प्राप्त कर सकेंगे। इससे आपको समय पर अपने शिक्षक से अपना ग्रेड प्राप्त करने में मदद मिलेगी!

उत्तर

$$ \text(a)) \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty \text( b))\lim \limits_(x \to \infty) \frac(1 )(x) = 0 $$

फॉर्म की अनिश्चितता के साथ क्या करें: $ \bigg [\frac(0)(0) \bigg ] $

उदाहरण 3

$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) $ को हल करें

समाधान

हमेशा की तरह, हम सीमा चिह्न के नीचे अभिव्यक्ति में मान $ x $ को प्रतिस्थापित करके प्रारंभ करते हैं। $$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac((-1)^2-1)(-1+1)=\frac( 0)(0) $$ अब आगे क्या है? आख़िर में क्या होना चाहिए? चूँकि यह अनिश्चितता है, यह अभी तक कोई उत्तर नहीं है और हम गणना जारी रखते हैं। चूँकि हमारे पास अंशों में एक बहुपद है, इसलिए हम इसे स्कूल के सभी लोगों से परिचित सूत्र $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$ का उपयोग करके गुणनखंडित करेंगे। तुम्हे याद है? महान! अब आगे बढ़ें और इसे गाने के साथ प्रयोग करें :) हमने पाया कि अंश $ x^2-1=(x-1)(x+1) $ हम उपरोक्त परिवर्तन को ध्यान में रखते हुए समाधान करना जारी रखते हैं: $$ \lim \limits_(x \to -1)\frac(x^2-1)(x+1) = \lim \limits_(x \to -1)\frac((x-1)(x+ 1) ))(x+1) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to -1)(x-1)=-1-1=-2 $$

उत्तर

$$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = -2 $$

आइए पिछले दो उदाहरणों की सीमा को अनंत तक बढ़ाएं और अनिश्चितता पर विचार करें: $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $

उदाहरण 5

$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) $ की गणना करें

समाधान

$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac(\infty)(\infty) $ क्या करें? मुझे क्या करना चाहिए? घबराओ मत, क्योंकि असंभव संभव है। अंश और हर दोनों में से x को निकालना और फिर उसे कम करना आवश्यक है। इसके बाद सीमा की गणना करने का प्रयास करें। आओ कोशिश करते हैं... $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) =\lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2(1-\frac (1)(x^2)))(x(1+\frac(1)(x))) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x(1-\frac(1)(x^2)))((1+\frac(1)(x))) = $$ उदाहरण 2 से परिभाषा का उपयोग करने और x के लिए अनंत को प्रतिस्थापित करने पर, हमें मिलता है: $$ = \frac(\infty(1-\frac(1)(\infty)))((1+\frac(1)(\infty))) = \frac(\infty \cdot 1)(1+ 0) = \frac(\infty)(1) = \infty $$

उत्तर

$$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \infty $$

सीमा की गणना के लिए एल्गोरिदम

तो, आइए संक्षेप में उदाहरणों का सारांश दें और सीमाओं को हल करने के लिए एक एल्गोरिदम बनाएं:

1. सीमा चिह्न के बाद वाले व्यंजक में बिंदु x रखें। यदि एक निश्चित संख्या या अनंत प्राप्त हो जाए तो सीमा पूरी तरह से हल हो जाती है। अन्यथा, हमारे पास अनिश्चितता है: "शून्य को शून्य से विभाजित किया जाता है" या "अनंत को अनंत से विभाजित किया जाता है" और आगे बढ़ें निम्नलिखित बिंदुनिर्देश।
2. "शून्य को शून्य से विभाजित करने" की अनिश्चितता को खत्म करने के लिए, आपको अंश और हर का गुणनखंड करना होगा। समान को कम करें. सीमा चिह्न के अंतर्गत अभिव्यक्ति में बिंदु x रखें।
3. यदि अनिश्चितता "अनंत को अनंत से विभाजित" है, तो हम अंश और हर दोनों को अधिकतम डिग्री तक निकाल देते हैं। हम एक्स को छोटा करते हैं। हम सीमा के नीचे से x के मानों को शेष अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करते हैं।

इस लेख में, आपने सीमाओं को हल करने की मूल बातें सीखीं, जिनका उपयोग अक्सर कैलकुलस पाठ्यक्रम में किया जाता है। बेशक, ये परीक्षकों द्वारा पेश की जाने वाली सभी प्रकार की समस्याएं नहीं हैं, बल्कि केवल सबसे सरल सीमाएँ हैं। हम भविष्य के लेखों में अन्य प्रकार के असाइनमेंट के बारे में बात करेंगे, लेकिन आगे बढ़ने के लिए पहले आपको यह पाठ सीखना होगा। आइए चर्चा करें कि यदि जड़ें, डिग्री हैं, तो क्या करें, अनंत समकक्ष कार्यों, उल्लेखनीय सीमाओं, एल'हॉपिटल के नियम का अध्ययन करें।

यदि आप स्वयं सीमाओं का पता नहीं लगा सकते, तो घबराएं नहीं। हमें हमेशा मदद करके खुशी होती हैं!

समाधान ऑनलाइन फ़ंक्शन सीमाएँ. किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन या फ़ंक्शनल अनुक्रम का सीमित मान ज्ञात करें, गणना करें अंतिमअनंत पर फ़ंक्शन का मान. किसी संख्या श्रृंखला के अभिसरण का निर्धारण करें और हमारे लिए बहुत कुछ किया जा सकता है ऑनलाइन सेवा- . हम आपको त्वरित और सटीक रूप से ऑनलाइन फ़ंक्शन सीमाएं खोजने की अनुमति देते हैं। आप स्वयं फ़ंक्शन वेरिएबल और वह सीमा दर्ज करते हैं जिस तक इसकी प्रवृत्ति होती है, और हमारी सेवा सटीक और सरल उत्तर देते हुए आपके लिए सभी गणनाएं करती है। और के लिए ऑनलाइन सीमा ज्ञात करनाआप संख्या श्रृंखला और स्थिरांक वाले विश्लेषणात्मक फ़ंक्शन दोनों दर्ज कर सकते हैं शाब्दिक अभिव्यक्ति. इस मामले में, फ़ंक्शन की पाई गई सीमा में अभिव्यक्ति में निरंतर तर्क के रूप में ये स्थिरांक शामिल होंगे। हमारी सेवा खोजने की किसी भी जटिल समस्या का समाधान करती है ऑनलाइन सीमाएं, यह फ़ंक्शन और उस बिंदु को इंगित करने के लिए पर्याप्त है जिस पर गणना करना आवश्यक है फ़ंक्शन का सीमित मान. गिना जा रहा है ऑनलाइन सीमाएँ, आप उपयोग कर सकते हैं विभिन्न तरीकेऔर उनके समाधान के नियम, प्राप्त परिणाम की जाँच करते समय सीमाएँ ऑनलाइन हल करना www.site पर, जिससे कार्य सफलतापूर्वक पूरा होगा - आप बचेंगे खुद की गलतियाँऔर टाइपो. या आप हम पर पूरा भरोसा कर सकते हैं और फ़ंक्शन की सीमा की स्वतंत्र रूप से गणना करने पर अतिरिक्त प्रयास और समय खर्च किए बिना, हमारे परिणाम का उपयोग अपने काम में कर सकते हैं। हम ऐसे लोगों को प्रवेश की अनुमति देते हैं मूल्यों को सीमित करेंअनंत की तरह. किसी संख्या अनुक्रम के सामान्य सदस्य को दर्ज करना आवश्यक है और www.साइटमूल्य की गणना करेगा ऑनलाइन सीमित करेंप्लस या माइनस अनंत तक।

गणितीय विश्लेषण की बुनियादी अवधारणाओं में से एक है कार्य सीमाऔर अनुक्रम सीमाएक बिंदु पर और अनंत पर, सही ढंग से हल करने में सक्षम होना महत्वपूर्ण है सीमा. हमारी सेवा से यह कठिन नहीं होगा. एक निर्णय लिया जा रहा है ऑनलाइन सीमाएंकुछ ही सेकंड में, उत्तर सटीक और पूर्ण हो जाता है। गणितीय विश्लेषण का अध्ययन प्रारंभ होता है सीमा तक संक्रमण, सीमाउच्च गणित के लगभग सभी क्षेत्रों में उपयोग किया जाता है, इसलिए हाथ में सर्वर रखना उपयोगी होता है ऑनलाइन सीमा समाधान, कौन सी साइट है.