Rødderne refererer til rationelle tal. Rationelle tal, definition, eksempler

Definition rationelle tal:

Et rationelt tal er et tal, der kan repræsenteres som en brøk. Tælleren af ​​en sådan brøk tilhører mængden af ​​heltal, og nævneren hører til mængden af ​​naturlige tal.

Hvorfor kaldes tal rationelle?

På latin betyder ratio ratio. Rationelle tal kan repræsenteres som et forhold, dvs. med andre ord som en brøkdel.

Eksempel på rationelt tal

Tallet 2/3 er et rationelt tal. Hvorfor? Dette tal er repræsenteret som en brøk, hvis tæller tilhører sættet af heltal, og nævneren til sættet af naturlige tal.

For flere eksempler på rationelle tal, se artiklen.

Lige rationelle tal

Diverse fraktioner kan repræsentere ét rationelt tal.

Overvej det rationelle tal 3/5. Dette rationelle tal er lig med

Reducer tælleren og nævneren med en fælles faktor på 2:

6	=	2 * 3	=	3
10		2 * 5		5

Vi fik brøken 3/5, hvilket betyder det

I dette afsnit vil vi give flere definitioner af rationelle tal. På trods af forskellene i ordlyden har alle disse definitioner samme betydning: rationelle tal kombinerer hele tal og brøker, ligesom hele tal kombinerer naturlige tal, deres modsatte tal og tallet nul. Med andre ord generaliserer rationelle tal hele og brøktal.

Lad os starte med definitioner af rationelle tal, hvilket opfattes mest naturligt.

Definition.

Rationelle tal er tal, der kan skrives som en positiv brøk, en negativ brøk eller tallet nul.

Af den angivne definition følger det, at et rationelt tal er:

Ethvert naturligt tal n. Faktisk kan du repræsentere ethvert naturligt tal som en almindelig brøk, f.eks. 3=3/1 .

· Ethvert heltal, især tallet nul. Faktisk kan ethvert heltal skrives som enten en positiv brøk, en negativ brøk eller nul. f.eks. 26=26/1 , .

· Enhver almindelig brøk (positiv eller negativ). Dette bekræftes direkte af den givne definition af rationelle tal.

· Enhver blandet antal. Faktisk kan du altid repræsentere et blandet tal som en uægte brøk. For eksempel og.

· Enhver endelig decimalbrøk eller uendelig periodisk brøk. Dette skyldes, at de angivne decimalbrøker omregnes til almindelige brøker. For eksempel en 0,(3)=1/3 .

Det er også klart, at enhver uendelig ikke-periodisk decimalbrøk IKKE er et rationelt tal, da den ikke kan repræsenteres som en fællesbrøk.

Nu kan vi sagtens give eksempler på rationelle tal. Tal 4 ,903 , 100 321 Det er rationelle tal, fordi de er naturlige tal. Heltal 58 ,−72 , 0 , −833 333 333 er også eksempler på rationelle tal. Almindelige brøker 4/9 , 99/3 , er også eksempler på rationelle tal. Rationelle tal er også tal.

Fra ovenstående eksempler er det klart, at der er både positive og negative rationale tal, og det rationelle tal nul er hverken positivt eller negativt.

Ovenstående definition af rationelle tal kan formuleres i en mere kortfattet form.

Definition.

Rationelle tal navngiv tal, der kan skrives som brøker z/n, Hvor z er et heltal, og n– naturligt tal.

Lad os bevise, at denne definition af rationale tal svarer til den tidligere definition. Vi ved, at vi kan betragte linjen i en brøk som et divisionstegn, så ud fra egenskaberne ved at dividere heltal og reglerne for at dividere heltal, følger gyldigheden af ​​følgende ligheder. Det er altså beviset.

Lad os give eksempler på rationelle tal baseret på denne definition. Tal −5 , 0 , 3 , og er rationelle tal, da de kan skrives som brøker med en heltalstæller og en naturlig nævner af formen og hhv.

Definitionen af ​​rationelle tal kan gives i følgende formulering.

Definition.

Rationelle tal er tal, der kan skrives som en endelig eller uendelig periodisk decimalbrøk.

Denne definition svarer også til den første definition, da hver almindelig brøk svarer til en endelig eller periodisk decimalbrøk og omvendt, og ethvert heltal kan associeres med en decimalbrøk med nuller efter decimalkommaet.

For eksempel tal 5 , 0 , −13 , er eksempler på rationelle tal, da de kan skrives som følgende decimalbrøker 5,0 , 0,0 ,−13,0 , 0,8 Og −7,(18) .

Lad os afslutte teorien om dette punkt med følgende udsagn:

· hele og brøktal (positive og negative) udgør mængden af ​​rationelle tal;

· hvert rationelt tal kan repræsenteres som en brøk med en heltalstæller og en naturlig nævner, og hver sådan brøk repræsenterer et bestemt rationelt tal;

· hvert rationelt tal kan repræsenteres som en endelig eller uendelig periodisk decimalbrøk, og hver sådan brøk repræsenterer et bestemt rationelt tal.

Øverst på siden

Tilføjelsen af ​​positive rationelle tal er kommutativ og associativ,

("a, b О Q +) a + b= b + a;

("a, b, c О Q +) (a + b)+ c = a + (b+ c)

Før du formulerer definitionen af ​​multiplikation af positive rationelle tal, skal du overveje følgende problem: det er kendt, at længden af ​​et segment X udtrykkes som en brøk med en længdeenhed E, og længden af ​​et enhedssegment måles ved hjælp af en enhed E 1 og er udtrykt som en brøkdel. Hvordan finder man det tal, der repræsenterer længden af ​​segmentet X, hvis det måles med længdeenheden E 1?

Da X = E, så er nX = mE, og af det faktum, at E = E 1, følger det, at qE = pE 1. Lad os gange den første lighed opnået med q, og den anden med m. Så (nq)X = (mq)E og (mq)E= (mp)E 1, hvorfra (nq)X= (mp)E 1. Denne lighed viser, at længden af ​​segmentet x med en enhedslængde er udtrykt som en brøk, hvilket betyder , =, dvs. at gange brøker involverer at flytte fra en længdeenhed til en anden, når man måler længden af ​​det samme segment.

Definition: Hvis et positivt tal a er repræsenteret af en brøk, og et positivt rationelt tal b er en brøk, så er deres produkt tallet a b, som er repræsenteret af en brøk.

Multiplikation af positive rationelle tal kommutativ, associativ og distributiv med hensyn til addition og subtraktion. Beviset for disse egenskaber er baseret på definitionen af ​​multiplikation og addition af positive rationelle tal, såvel som på de tilsvarende egenskaber ved addition og multiplikation af naturlige tal.

46. ​​Som bekendt subtraktion- Dette er den modsatte handling af addition.

Hvis -en Og b - positive tal, at trække tallet b fra tallet a betyder at finde et tal c, der, når det lægges til tallet b, giver tallet a.
a - b = c eller c + b = a
Definitionen af ​​subtraktion gælder for alle rationelle tal. Det vil sige, at subtraktion af positive og negative tal kan erstattes af addition.
For at trække et andet fra et tal, skal du lægge det modsatte tal til det, der trækkes fra.
Eller på en anden måde kan vi sige, at subtrahering af tallet b er det samme som addition, men med det modsatte tal til b.
a - b = a + (- b)
Eksempel.
6 - 8 = 6 + (- 8) = - 2
Eksempel.
0 - 2 = 0 + (- 2) = - 2
Det er værd at huske nedenstående udtryk.
0 - a = - a
a - 0 = a
a - a = 0

Regler for at trække negative tal fra
At trække et tal b fra er at lægge det sammen med det modsatte tal af b.
Denne regel gælder ikke kun, når du trækker et mindre tal fra et større tal, men giver dig også mulighed for at trække fra et mindre tal større antal, det vil sige, at du altid kan finde forskellen mellem to tal.
Forskellen kan være et positivt tal, et negativt tal eller et nultal.
Eksempler på at trække negative og positive tal fra.
- 3 - (+ 4) = - 3 + (- 4) = - 7
- 6 - (- 7) = - 6 + (+ 7) = 1
5 - (- 3) = 5 + (+ 3) = 8
Det er praktisk at huske tegnreglen, som giver dig mulighed for at reducere antallet af beslag.
Plustegnet ændrer ikke tallets fortegn, så hvis der er et plus foran parentesen, ændres tegnet i parentesen ikke.
+ (+ a) = + a
+ (- a) = - a
Minustegnet foran parentesen vender fortegnet på tallet i parentesen.
- (+ a) = - a
- (- a) = + a
Ud fra lighederne er det tydeligt, at hvis der er identiske tegn før og inden for parenteserne, så får vi "+", og hvis tegnene er forskellige, så får vi "-".
(- 6) + (+ 2) - (- 10) - (- 1) + (- 7) = - 6 + 2 + 10 + 1 - 7 = - 13 + 13 = 0
Reglen om tegn er bevaret, selvom der ikke er ét tal i parentes, men algebraisk sum tal.
a - (- b + c) + (d - k + n) = a + b - c + d - k + n
Vær opmærksom på, at hvis der er flere tal i parentes og der er et minustegn foran parentes, så skal tegnene foran alle numre i disse parenteser ændres.
For at huske tegnreglen kan du oprette en tabel til bestemmelse af fortegnene for et tal.
Tegnregel for tal+ (+) = + + (-) = -
- (-) = + - (+) = -
Eller lær en simpel regel.
To negativer gør en bekræftende,
Plus gange minus er lig med minus.

Regler for at dividere negative tal.
For at finde modulet af en kvotient skal du dividere modulet af udbyttet med modulet af divisoren.
Så for at dividere to tal med de samme tegn, skal du:

· udbyttemodulet divideres med divisors modul;

· Sæt et "+"-tegn foran resultatet.

Eksempler på at dividere tal med forskellige tegn:

Du kan også bruge følgende tabel til at bestemme kvotienttegnet.
Reglen for tegn for division
+ : (+) = + + : (-) = -
- : (-) = + - : (+) = -

Når man beregner "lange" udtryk, hvor kun multiplikation og division optræder, er det meget praktisk at bruge fortegnsreglen. For eksempel at beregne en brøk
Bemærk venligst, at tælleren har 2 minustegn, som ganget giver et plus. Der er også tre minustegn i nævneren, som ganget vil give et minustegn. Derfor vil resultatet i sidste ende vise sig med et minustegn.
Reduktion af en brøk (yderligere handlinger med talmodulerne) udføres på samme måde som før:
Kvotienten af ​​nul divideret med et andet tal end nul er nul.
0: a = 0, a ≠ 0
Du KAN IKKE dividere med nul!
Alle tidligere kendte regler for division med én gælder også for mængden af ​​rationelle tal.
a: 1 = a
a: (- 1) = - a
a: a = 1, hvor a er et hvilket som helst rationelt tal.
Forholdet mellem resultaterne af multiplikation og division, kendt for positive tal, forbliver de samme for alle rationelle tal (undtagen nul):
hvis a × b = c; a = c: b; b = c: a;
hvis a: b = c; a = c × b; b = a: c
Disse afhængigheder bruges til at finde den ukendte faktor, dividende og divisor (når man løser ligninger), samt til at kontrollere resultaterne af multiplikation og division.
Et eksempel på at finde det ukendte.
x × (- 5) = 10
x = 10: (- 5)
x = - 2

Relaterede oplysninger.

) er tal med positive eller negativt fortegn(heltal og brøker) og nul. Et mere præcist begreb om rationelle tal lyder sådan her:

Rationelt tal- det tal, der er repræsenteret almindelig brøkdel m/n, hvor tælleren m er heltal og nævneren n- naturlige tal, for eksempel 2/3.

Uendelige ikke-periodiske brøker er IKKE inkluderet i sættet af rationelle tal.

a/b, Hvor -en∈ Z (-en hører til heltal), b∈ N (b hører til naturlige tal).

Brug af rationelle tal i det virkelige liv.

I det virkelige liv sættet af rationelle tal bruges til at tælle delene af nogle heltal delelige objekter, F.eks, kager eller andre fødevarer, der skæres i stykker før indtagelse, eller til groft estimering af de rumlige forhold af udvidede objekter.

Egenskaber for rationelle tal.

Grundlæggende egenskaber ved rationelle tal.

1. Ordenhed -en Og b der er en regel, der giver dig mulighed for utvetydigt at identificere 1 og kun en af ​​3 relationer mellem dem: "<», «>" eller "=". Dette er reglen - bestillingsregel og formulere det sådan:

• 2 positive tal a=m a /n a Og b=mb/nb er relateret af samme forhold som 2 heltal m a⋅ n b Og m b⋅ n a;
• 2 negative tal -en Og b er forbundet med samme forhold som 2 positive tal |b| Og |a|;
• Når -en positiv og b- negativ altså a>b.

∀ a,b∈ Q(a ∨ a>b∨ a=b)

2. Tilføjelsesoperation. For alle rationelle tal -en Og b Der er summeringsregel, som tildeler dem et bestemt rationelt tal c. Samtidig med selve nummeret c- Det her sum tal -en Og b og det er betegnet som (a+b) summering.

Summationsregel ser sådan ud:

m a/n a + m b/n b =(m a⋅ n b + m b⋅ n a)/(n a⋅ n b).

∀ a,b∈ Q∃ !(a+b)∈ Q

3. Multiplikationsoperation. For alle rationelle tal -en Og b Der er multiplikationsreglen, det forbinder dem med et bestemt rationelt tal c. Tallet c kaldes arbejde tal -en Og b og betegne (a⋅b), og processen med at finde dette nummer kaldes multiplikation.

Multiplikationsregel ser sådan ud: m a n a⋅ m b n b = m a⋅ m b n a⋅ n b.

∀a,b∈Q ∃(a⋅b)∈Q

4. Transitivitet af ordrerelationen. For alle tre rationelle tal -en, b Og c Hvis -en mindre b Og b mindre c, Det -en mindre c, og hvis -en lig med b Og b lig med c, Det -en lig med c.

∀ a,b,c∈ Q(a ∧ b ⇒ -en ∧ (a = b∧ b = c⇒ a = c)

5. Kommutativitet af tilføjelse. Ændring af placeringen af ​​de rationelle udtryk ændrer ikke summen.

∀ a,b∈ Q a+b=b+a

6. Tilføjelse associativitet. Rækkefølgen, hvori 3 rationale tal tilføjes, påvirker ikke resultatet.

∀ a,b,c∈ Q (a+b)+c=a+(b+c)

7. Tilstedeværelse af nul. Der er et rationelt tal 0, det bevarer hvert andet rationelt tal, når det tilføjes.

∃ 0 ∈ Q∀ -en∈ Q a+0=a

8. Tilstedeværelse af modsatte tal. Ethvert rationelt tal har et modsat rationelt tal, og når de lægges sammen, er resultatet 0.

∀ -en∈ Q∃ (−a)∈ Q a+(−a)=0

9. Kommutativitet af multiplikation. Ændring af steder for rationelle faktorer ændrer ikke produktet.

∀ a,b∈ Qa⋅ b=b⋅ -en

10. Associativitet af multiplikation. Rækkefølgen, hvori 3 rationale tal ganges, har ingen indflydelse på resultatet.

∀ a,b,c∈ Q(a⋅ b)⋅ c=a⋅ (b⋅ c)

11. Enhedens tilgængelighed. Der er et rationelt tal 1, det bevarer hvert andet rationelt tal i multiplikationsprocessen.

∃ 1 ∈ Q∀ -en∈ Qa⋅ 1=a

12. Tilgængelighed gensidige tal . Hvert andet rationelt tal end nul har et omvendt rationelt tal, multipliceret med hvilket vi får 1 .

∀ -en∈ Q∃ a−1∈ Qa⋅ a−1=1

13. Fordeling af multiplikation i forhold til addition. Multiplikationsoperationen er relateret til addition ved hjælp af den distributive lov:

∀ a,b,c∈ Q(a+b)⋅ c=a⋅ c+b⋅ c

14. Forholdet mellem ordrerelationen og additionsoperationen. Det samme rationelle tal tilføjes til venstre og højre side af en rationel ulighed.

∀ a,b,c∈ Qa ⇒ a+c

15. Sammenhæng mellem ordensrelationen og multiplikationsoperationen. Venstre og højre side af en rationel ulighed kan ganges med det samme ikke-negative rationelle tal.

∀ a,b,c∈ Q c>0∧ -en ⇒ -en⋅ c ⋅ c

16. Arkimedes aksiom. Uanset det rationelle tal -en, er det nemt at tage så mange enheder, at deres sum bliver større -en.

Antal- et vigtigt matematisk begreb, der har ændret sig gennem århundreder.

De første ideer om tal opstod ved at tælle mennesker, dyr, frugter, forskellige produkter osv. Resultatet er naturlige tal: 1, 2, 3, 4, ...

Historisk set er den første udvidelse af talbegrebet tilføjelsen af ​​brøktal til det naturlige tal.

Brøk en del (andel) af en enhed eller flere lige store dele kaldes.

Udpeget af: , hvor m, n- heltal;

Brøker med nævner 10 n, Hvor n- et heltal, kaldet decimal: .

Blandt decimaler særligt sted besætte periodiske brøker: - ren periodisk fraktion, - blandet periodisk fraktion.

Yderligere udvidelse af talbegrebet er forårsaget af udviklingen af ​​selve matematikken (algebra). Descartes i det 17. århundrede. introducerer konceptet negativt tal.

Tallene heltal (positive og negative), brøker (positive og negative) og nul kaldes rationelle tal. Ethvert rationelt tal kan skrives som en endelig og periodisk brøk.

For at studere konstant skiftende variable mængder, viste det sig at være nødvendigt en ny udvidelse af talbegrebet - introduktionen af ​​reelle (reelle) tal - ved at tilføje irrationelle tal til rationelle tal: irrationelle tal er uendelige decimaler, ikke-periodiske brøker.

Irrationelle tal dukkede op ved måling af inkommensurable segmenter (siden og diagonalen af ​​et kvadrat), i algebra - når man udtrækker rødder, er et eksempel på et transcendentalt, irrationelt tal π, e .

Tal naturlig(1, 2, 3,...), hel(..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,...), rationel(repræsenteres som en brøkdel) og irrationel(ikke repræsenteret som en brøkdel ) danne et sæt ægte (rigtig) tal.

Komplekse tal skelnes separat i matematik.

Komplekse tal opstå i forbindelse med problemet med at løse kvadrater til sagen D< 0 (здесь D– diskriminant af en andengradsligning). I lang tid fandt disse tal ikke fysisk anvendelse, hvorfor de blev kaldt "imaginære" tal. Men nu er de meget udbredt inden for forskellige områder af fysik og teknologi: elektroteknik, hydro- og aerodynamik, elasticitetsteori osv.

Komplekse tal skrives på formen: z= -en+ bi. Her -en Og b – reelle tal, A jeg – imaginær enhed, dvs.e. jeg 2 = –1. Antal -en ringede abscisse,en b –ordinere komplekst tal -en+ bi. To komplekse tal -en+ bi Og a–bi kaldes konjugat komplekse tal.

Egenskaber:

1. Reelt tal EN kan også skrives i kompleks talform: -en+ 0jeg eller en – 0jeg. For eksempel 5 + 0 jeg og 5-0 jeg betyder det samme nummer 5.

2. Kompleks tal 0 + bi ringede rent imaginært antal. Optage bi betyder det samme som 0 + bi.

3. To komplekse tal -en+ bi Og c+ di anses for lige hvis -en= c Og b= d. Ellers komplekse tal ikke lige.

Handlinger:

Tilføjelse. Summen af ​​komplekse tal -en+ bi Og c+ di kaldes et komplekst tal ( -en+ c) + (b+ d)jeg. Således, Når komplekse tal tilføjes, tilføjes deres abscisser og ordinater separat.

Subtraktion. Forskellen mellem to komplekse tal -en+ bi(formindsket) og c+ di(subtrahend) kaldes et komplekst tal ( a–c) + (b-d)jeg. Således, Når du trækker to komplekse tal fra, trækkes deres abscisse og ordinater fra hver for sig.

Multiplikation. Produkt af komplekse tal -en+ bi Og c+ di kaldes et komplekst tal:

(ac–bd) + (annonce+ f.Kr)jeg. Denne definition følger af to krav:

1) tal -en+ bi Og c+ di skal multipliceres som algebraiske binomialer,

2) nummer jeg har hovedegenskaben: jeg 2 = –1.

EKSEMPEL ( a+ bi)(a–bi)= a 2 + b 2 . Derfor, arbejdeaf to konjugerede komplekse tal er lig med et positivt reelt tal.

Afdeling. Divider et komplekst tal -en+ bi(deles) med en anden c+ di (deler) - betyder at finde det tredje tal e+ f i(chat), som når ganget med en divisor c+ di, resulterer i udbytte -en+ bi. Hvis divisor ikke er nul, er division altid muligt.

EKSEMPEL Find (8+ jeg) : (2 – 3jeg) .

Løsning Lad os omskrive dette forhold som en brøk:

Multiplicer dens tæller og nævner med 2 + 3 jeg og efter at have udført alle transformationerne får vi:

Opgave 1: Addere, subtrahere, gange og dividere z 1 på z 2

Udtræk kvadratroden: Løs ligningen x 2 = -en. For at løse denne ligning vi er tvunget til at bruge tal af en ny type - imaginære tal . Således, imaginær nummeret ringes op hvis anden potens er et negativt tal. Ifølge denne definition af imaginære tal kan vi definere og imaginær enhed:

Så til ligningen x 2 = – 25 får vi to imaginær rod:

Opgave 2: Løs ligningen:

1) x 2 = – 36; 2) x 2 = – 49; 3) x 2 = – 121

Geometrisk repræsentation af komplekse tal. Reelle tal er repræsenteret ved punkter på tallinjen:

Her er pointen EN betyder tallet –3, prik B– nummer 2, og O-nul. I modsætning hertil er komplekse tal repræsenteret af punkter på koordinatplanet. Til dette formål vælger vi rektangulære (kartesiske) koordinater med samme skalaer på begge akser. Derefter det komplekse tal -en+ bi vil blive repræsenteret med en prik P med abscisseEN og ordinereb. Dette koordinatsystem kaldes komplekst plan .

modul komplekst tal er længden af ​​vektoren OP, der repræsenterer et komplekst tal på koordinaten ( omfattende) fly. Modulus af et komplekst tal -en+ bi betegnet | -en+ bi| eller) brev r og er lig med:

Konjugerede komplekse tal har samme modul.

Reglerne for at tegne en tegning er næsten de samme som for en tegning i et kartesisk koordinatsystem Langs akserne skal du indstille dimensionen, bemærk:

e
enhed langs den reelle akse; Rez

imaginær enhed langs den imaginære akse. Jeg er z

Opgave 3. Konstruer følgende komplekse tal på den komplekse plan: , , , , , , ,

1. Tallene er nøjagtige og omtrentlige. De tal, vi møder i praksis, er af to slags. Nogle giver den sande værdi af mængden, andre kun omtrentlige. Den første kaldes eksakt, den anden - omtrentlig. Oftest er det praktisk at bruge et omtrentligt tal i stedet for et nøjagtigt, især da det i mange tilfælde nøjagtige antal umuligt at finde overhovedet.

Så hvis de siger, at der er 29 elever i en klasse, så er tallet 29 korrekt. Hvis de siger, at afstanden fra Moskva til Kiev er 960 km, så er tallet 960 her omtrentlig, da vores måleinstrumenter på den ene side ikke er absolut nøjagtige, på den anden side har byerne selv en vis udstrækning.

Resultatet af handlinger med omtrentlige tal er også et omtrentligt tal. Ved at udføre nogle operationer på nøjagtige tal (division, rodudvinding), kan du også opnå omtrentlige tal.

Teorien om omtrentlige beregninger tillader:

1) at kende graden af ​​nøjagtighed af dataene, evaluere graden af ​​nøjagtighed af resultaterne;

2) tage data med en passende grad af nøjagtighed, der er tilstrækkelig til at sikre den nødvendige nøjagtighed af resultatet;

3) rationalisere beregningsprocessen, frigør den fra de beregninger, der ikke vil påvirke nøjagtigheden af ​​resultatet.

2. Afrunding. En kilde til at opnå omtrentlige tal er afrunding. Både omtrentlige og nøjagtige tal er afrundet.

At afrunde et givet tal til et bestemt ciffer kaldes at erstatte det med et nyt tal, som fås fra det givne ved at kassere alle dets cifre skrevet til højre for cifferet i dette ciffer, eller ved at erstatte dem med nuller. Disse nuller er normalt understreget eller skrevet mindre. For at sikre, at det afrundede tal er så tæt som muligt på det, der afrundes, bør du bruge følgende regler: for at afrunde et tal til et af et bestemt ciffer, skal du kassere alle cifrene efter cifferet i dette ciffer, og erstatte dem med nuller i hele tallet. Følgende tages i betragtning:

1) hvis det første (til venstre) af de kasserede cifre er mindre end 5, så ændres det sidste resterende ciffer ikke (afrunding nedad);

2) hvis det første ciffer, der skal kasseres, er større end 5 eller lig med 5, så øges det sidste ciffer tilbage med én (afrunding med overskydende).

Lad os vise dette med eksempler. Rund:

a) op til tiendedele 12.34;

b) til hundrededele 3,2465; 1038,785;

c) op til tusindedele 3,4335.

d) op til tusind 12375; 320729.

a) 12,34 ≈ 12,3;

b) 3,2465 ≈ 3,25; 1038,785 ≈ 1038,79;

c) 3,4335 ≈ 3,434.

d) 12375 ≈ 12.000; 320729 ≈ 321000.

3. Absolutte og relative fejl. Forskellen mellem det nøjagtige tal og dets omtrentlige værdi kaldes den absolutte fejl af det omtrentlige tal. For eksempel, hvis det nøjagtige tal 1,214 afrundes til nærmeste tiendedel, får vi et omtrentligt tal på 1,2. I dette tilfælde absolut fejl det omtrentlige tal 1,2 er lig med 1,214 - 1,2, dvs. 0,014.

Men i de fleste tilfælde nøjagtige værdi den pågældende mængde er ukendt, men kun omtrentlig. Så er den absolutte fejl ukendt. I disse tilfælde skal du angive den grænse, som den ikke overskrider. Dette tal kaldes den begrænsende absolutte fejl. De siger, at den nøjagtige værdi af et tal er lig med dets omtrentlige værdi med en fejl mindre end den marginale fejl. For eksempel er tallet 23,71 en omtrentlig værdi af tallet 23,7125 med en nøjagtighed på 0,01, da den absolutte fejl i tilnærmelsen er 0,0025 og mindre end 0,01. Her er den begrænsende absolutte fejl 0,01 *.

Grænse absolut fejl af det omtrentlige tal EN angivet med symbolet Δ -en. Optage

x≈-en(±Δ -en)

skal forstås som følger: den nøjagtige værdi af mængden x er mellem tallene EN– Δ -en Og EN+ Δ EN, som kaldes henholdsvis nedre og øvre grænser X og betegne NG x VG X.

For eksempel hvis x≈ 2,3 (±0,1), derefter 2,2<x< 2,4.

Omvendt, hvis 7.3< X< 7,4, тоX≈ 7,35 (±0,05). Den absolutte eller marginale absolutte fejl karakteriserer ikke kvaliteten af ​​den udførte måling. Den samme absolutte fejl kan betragtes som væsentlig og ubetydelig afhængig af det tal, som den målte værdi er udtrykt med. For eksempel, hvis vi måler afstanden mellem to byer med en nøjagtighed på en kilometer, så er en sådan nøjagtighed ganske tilstrækkelig til denne ændring, men på samme tid, når man måler afstanden mellem to huse på samme gade, vil en sådan nøjagtighed være uacceptabelt. Som følge heraf afhænger nøjagtigheden af ​​den omtrentlige værdi af en mængde ikke kun af størrelsen af ​​den absolutte fejl, men også af værdien af ​​den målte mængde. Derfor er den relative fejl et mål for nøjagtigheden.

Relativ fejl er forholdet mellem den absolutte fejl og værdien af ​​det omtrentlige tal. Forholdet mellem den begrænsende absolutte fejl og det omtrentlige antal kaldes den begrænsende relative fejl; de betegner det sådan her: . Relative og marginale relative fejl udtrykkes normalt som procenter. For eksempel hvis målinger viste, at afstanden X mellem to punkter er mere end 12,3 km, men mindre end 12,7 km, så tages den aritmetiske middelværdi af disse to tal som dens omtrentlige værdi, dvs. deres halvsum, så er den marginale absolutte fejl lig med halvforskellen af ​​disse tal. I dette tilfælde X≈ 12,5 (±0,2). Her er den begrænsende absolutte fejl 0,2 km, og den begrænsende relativ

Ældre skolebørn og matematikstuderende vil sandsynligvis besvare dette spørgsmål med lethed. Men for dem, der er langt fra dette af profession, vil det være sværere. Hvad er det egentlig?

Essens og betegnelse

Rationelle tal er dem, der kan repræsenteres som en almindelig brøk. Positive, negative og nul er også inkluderet i dette sæt. Brøkens tæller skal være et heltal, og nævneren skal være

Denne mængde i matematik er betegnet som Q og kaldes "feltet af rationelle tal." Det omfatter alle heltal og naturlige tal, betegnet henholdsvis Z og N. Selve mængden Q indgår i mængden R. Det er dette bogstav, der betegner det såkaldte reelle hhv.

Præstation

Som allerede nævnt er rationelle tal et sæt, der inkluderer alle heltal- og brøkværdier. De kan komme i forskellige former. For det første i form af en almindelig brøk: 5/7, 1/5, 11/15 osv. Hele tal kan naturligvis også skrives i en lignende form: 6/2, 15/5, 0/1, - 10/2 osv. For det andet er en anden form for repræsentation en decimalbrøk med en sidste brøkdel: 0,01, -15,001006 osv. Dette er måske en af ​​de mest almindelige former.

Men der er også en tredje - en periodisk brøk. Denne type er ikke særlig almindelig, men bruges stadig. For eksempel kan brøken 10/3 skrives som 3,33333... eller 3,(3). I dette tilfælde vil forskellige repræsentationer blive betragtet som lignende tal. Brøker, der er ens med hinanden, vil også blive kaldt ens, for eksempel 3/5 og 6/10. Det ser ud til, at det er blevet klart, hvad rationelle tal er. Men hvorfor bruges dette udtryk til at henvise til dem?

Navnets oprindelse

Ordet "rationel" på moderne russisk har generelt en lidt anden betydning. Det er mere som "rimeligt", "gennemtænkt". Men de matematiske udtryk er tæt på den direkte betydning af dette På latin er "forhold" et "forhold", "brøk" eller "division". Således fanger navnet essensen af, hvad rationelle tal er. Men den anden betydning

ikke langt fra sandheden.

Handlinger med dem

Når vi løser matematiske problemer, støder vi hele tiden på rationelle tal uden selv at vide det. Og de har en række interessante egenskaber. Alle følger enten af ​​definitionen af ​​et sæt eller af handlinger.

For det første har rationelle tal ordensrelationen egenskaben. Det betyder, at der kun kan være ét forhold mellem to tal – de er enten lig med hinanden, eller det ene er større eller mindre end det andet. Det vil sige:

eller a = b; eller a > b, eller -en< b.

Derudover følger også relationens transitivitet af denne egenskab. Det vil sige, hvis -en mere b, b mere c, Det -en mere c. I matematisk sprog ser det sådan ud:

(a > b) ^ (b > c) => (a > c).

For det andet er der aritmetiske operationer med rationelle tal, det vil sige addition, subtraktion, division og selvfølgelig multiplikation. Samtidig kan der i transformationsprocessen også identificeres en række egenskaber.

• a + b = b + a (ændring af steder af udtryk, kommutativitet);
• 0 + a = a + 0;
• (a + b) + c = a + (b + c) (associativitet);
• a + (-a) = 0;
• ab = ba;
• (ab)c = a(bc) (fordelingsevne);
• a x 1 = 1 x a = a;
• a x (1 / a) = 1 (i dette tilfælde er a ikke lig med 0);
• (a + b)c = ac + ab;
• (a > b) ^ (c > 0) => (ac > bc).

Når vi taler om om almindelige tal og ikke heltal, kan operationer med dem give visse vanskeligheder. Således er addition og subtraktion kun mulig, hvis nævnerne er ens. Hvis de oprindeligt er forskellige, bør du finde den fælles ved at gange hele brøken med bestemte tal. Sammenligning er også oftest kun mulig, hvis denne betingelse er opfyldt.

Division og multiplikation almindelige brøker er produceret i overensstemmelse med tilstrækkelig simple regler. Reduktion til en fællesnævner er ikke nødvendig. Tællere og nævnere ganges hver for sig, og i processen med at udføre handlingen bør brøken om muligt reduceres og forenkles så meget som muligt.

Hvad angår division, ligner denne handling den første med en lille forskel. For den anden brøk skal du finde den omvendte, dvs

"vend" det. Således skal tælleren for den første brøk ganges med nævneren af ​​den anden og omvendt.

Endelig kaldes en anden egenskab, der er iboende i rationelle tal, Archimedes' aksiom. Ofte i litteraturen findes også navnet "princip". Det er gyldigt for hele sættet af reelle tal, men ikke overalt. Dette princip gælder således ikke for nogle sæt af rationelle funktioner. I det væsentlige betyder dette aksiom, at givet eksistensen af ​​to størrelser a og b, kan du altid tage nok a til at overstige b.

Anvendelsesområde

Så for dem, der har lært eller husket, hvad rationelle tal er, bliver det klart, at de bruges overalt: i regnskab, økonomi, statistik, fysik, kemi og andre videnskaber. De har naturligvis også en plads i matematik. Da vi ikke altid ved, at vi har med dem at gøre, bruger vi konstant rationelle tal. Selv små børn, der lærer at tælle genstande, skærer et æble i stykker eller udfører andre simple handlinger, støder på dem. De omgiver os bogstaveligt talt. Og alligevel er de ikke nok til at løse nogle problemer, især ved at bruge Pythagoras sætning som eksempel, kan man forstå behovet for at introducere begrebet