Gyldent snit. Et nyt udseende

En person skelner genstande omkring ham ved deres form. Interessen for et objekts form kan dikteres af vital nødvendighed, eller det kan være forårsaget af formens skønhed. Formen, hvis konstruktion er baseret på en kombination af symmetri og det gyldne snit, bidrager til den bedste visuelle opfattelse og fremkomsten af en følelse af skønhed og harmoni. Helheden består altid af dele, dele af forskellig størrelse står i et vist forhold til hinanden og til helheden. Princippet om det gyldne snit er den højeste manifestation af den strukturelle og funktionelle perfektion af helheden og dens dele i kunst, videnskab, teknologi og natur.

Gyldent snit - harmonisk proportion

I matematik del(lat. proportio) kalder ligheden mellem to relationer: -en : b = c : d.

Lige segment AB kan opdeles i to dele på følgende måder:

i to lige store dele - AB : AC = AB : Sol;

i to ulige dele i enhver henseende (sådanne dele danner ikke proportioner);

altså hvornår AB : AC = AC : Sol.

Sidstnævnte er den gyldne opdeling eller opdeling af et segment i ekstreme og gennemsnitlige forhold.

Det gyldne snit er en sådan proportional opdeling af et segment i ulige dele, hvor hele segmentet er relateret til den større del, som den større del selv er relateret til den mindre; eller med andre ord, det mindre segment er til det større, som det større er for helheden

-en : b = b : c eller Med : b = b : EN.

Ris. 1. Geometrisk billede af det gyldne snit

Praktisk bekendtskab med det gyldne snit begynder med at dele et lige linjesegment i den gyldne proportion ved hjælp af et kompas og lineal.

Ris. 2. Opdeling af et lige linjestykke ved hjælp af det gyldne snit. B.C. = 1/2 AB; CD = B.C.

Fra punkt I en vinkelret lig med halvdelen genoprettes AB. Modtaget point MED forbundet med en linje til et punkt EN. Et segment plottes på den resulterende linje Sol slutter med en prik D. Linjestykke AD overført til direkte AB. Det resulterende punkt E opdeler et segment AB i det gyldne snit.

Segmenter af det gyldne snit udtrykkes som en uendelig irrationel fraktion A.E.= 0,618..., hvis AB tage som en VÆRE= 0,382... Til praktiske formål bruges der ofte omtrentlige værdier på 0,62 og 0,38. Hvis segmentet AB taget som 100 dele, så er den største del af segmentet lig med 62, og den mindre del er 38 dele.

Egenskaberne for det gyldne snit er beskrevet ved ligningen:

x 2 - x - 1 = 0.

Løsning til denne ligning:

Egenskaberne ved det gyldne snit har skabt en romantisk aura af mystik og næsten mystisk tilbedelse omkring dette nummer.

Andet gyldne snit

Denne andel findes i arkitekturen og forekommer også, når man konstruerer kompositioner af billeder i et langstrakt vandret format.

Ris. 3. Konstruktion af det andet gyldne snit

Opdelingen udføres som følger (se fig. 3). Linjestykke AB opdelt efter det gyldne snit. Fra punkt MED vinkelret gendannes CD. Radius AB der er en pointe D, som er forbundet med en linje til et punkt EN. Ret vinkel ACD er delt i to. Fra punkt MED en linje tegnes indtil den skærer linjen AD. Prik E opdeler et segment AD i forhold til 56:44.

Ris. 4. Opdeling af et rektangel med linjen i det andet gyldne snit

I fig. Figur 4 viser positionen af linjen i det andet gyldne snit. Den er placeret midt mellem det gyldne forholdslinje og rektanglets midterlinje.

Gyldne Trekant

For at finde segmenter af den gyldne del af den stigende og faldende række, kan du bruge pentagram.

Ris. 5. Konstruktion af en regulær femkant og pentagram

For at bygge et pentagram skal du bygge en almindelig femkant. Metoden til dens konstruktion blev udviklet af den tyske maler og grafiker Albrecht Durer (1471...1528). Lade O- midten af cirklen, EN- et punkt på en cirkel og E- midten af segmentet OA. Vinkelret på radius OA, gendannet på punktet OM, skærer cirklen i punktet D. Brug et kompas til at tegne et segment på diameteren C.E. = ED. Sidelængden af en regulær femkant indskrevet i en cirkel er DC. Læg segmenter ud på cirklen DC og vi får fem point for at tegne en regulær femkant. Vi forbinder hjørnerne af femkanten gennem hinanden med diagonaler og får et pentagram. Alle diagonaler i femkanten deler hinanden i segmenter forbundet med det gyldne snit.

Hver ende af den femkantede stjerne repræsenterer en gylden trekant. Dens sider danner en vinkel på 36° i spidsen, og bunden, lagt på siden, deler den i forholdet til det gyldne snit.

Ris. 6. Konstruktion af den gyldne trekant

Vi udfører en direkte AB. Fra punkt EN læg et segment på det tre gange OM vilkårlig værdi gennem det resulterende punkt R tegne en vinkelret på linjen AB, på vinkelret på højre og venstre for punktet R læg segmenterne til side OM. Modtaget point d Og d 1 forbindes med lige linjer til et punkt EN. Linjestykke dd sæt 1 på stregen Ad 1, får et point MED. Hun delte linjen Ad 1 i forhold til det gyldne snit. Linjer Ad 1 og dd 1 bruges til at konstruere et "gyldent" rektangel.

Historien om det gyldne snit

Det er almindeligt accepteret, at begrebet den gyldne opdeling blev introduceret til videnskabelig brug af Pythagoras, en oldgræsk filosof og matematiker (VI århundrede f.Kr.). Der er en antagelse om, at Pythagoras lånte sin viden om den gyldne opdeling fra egypterne og babylonierne. Faktisk indikerer proportionerne af Cheops-pyramiden, templerne, basrelieffer, husholdningsartikler og smykker fra Tutankhamons grav, at egyptiske håndværkere brugte forholdet mellem den gyldne division, da de skabte dem. Den franske arkitekt Le Corbusier fandt ud af, at i relieffet fra farao Seti I's tempel i Abydos og i relieffet, der afbilder farao Ramses, svarer figurernes proportioner til værdierne af den gyldne division. Arkitekten Khesira, afbildet på et relief af en træplade fra en grav opkaldt efter ham, holder i sine hænder måleinstrumenter, hvor proportionerne af den gyldne division er registreret.

Grækerne var dygtige geometre. De underviste endda deres børn i regne ved hjælp af geometriske former. Pythagoras kvadrat og diagonalen af denne firkant var grundlaget for konstruktionen af dynamiske rektangler.

Ris. 7. Dynamiske rektangler

Facaden på det antikke græske tempel Parthenon har gyldne proportioner. Under dens udgravninger blev der opdaget kompasser, der blev brugt af arkitekter og billedhuggere fra den antikke verden. Det pompeianske kompas (museum i Napoli) indeholder også proportionerne af den gyldne inddeling.

Ris. 8. Antik kompas med gyldne snit

I den antikke litteratur, der er kommet ned til os, blev den gyldne inddeling først nævnt i Euklids elementer. I den 2. bog af "Principlene" er der givet en geometrisk konstruktion af den gyldne inddeling Efter Euklid blev undersøgelsen af den gyldne inddeling udført af Hypsicles (II århundrede f.Kr.), Pappus (III århundrede e.Kr.) og andre. middelalderlige Europa Vi stiftede bekendtskab med den gyldne opdeling fra arabiske oversættelser af Euklids elementer. Oversætteren J. Campano fra Navarra (III århundrede) fremsatte kommentarer til oversættelsen. Hemmelighederne bag den gyldne division blev nidkært bevogtet og holdt i streng hemmelighed. De var kun kendt af indviede.

Under renæssancen steg interessen for den gyldne opdeling blandt videnskabsmænd og kunstnere på grund af dens brug i både geometri og kunst, især i arkitekturen Leonardo da Vinci, en kunstner og videnskabsmand italienske kunstnere der er meget empirisk erfaring, men lidt viden. Han undfangede og begyndte at skrive en bog om geometri, men på det tidspunkt dukkede en bog af munken Luca Pacioli op, og Leonardo opgav sin idé. Ifølge samtidige og videnskabshistorikere var Luca Pacioli en rigtig lyskilde, Italiens største matematiker i perioden mellem Fibonacci og Galileo. Luca Pacioli var en elev af kunstneren Piero della Franceschi, som skrev to bøger, hvoraf den ene hed "On Perspective in Painting." Han betragtes som skaberen af beskrivende geometri.

Luca Pacioli forstod perfekt videnskabens betydning for kunsten. I 1496 kom han på invitation af hertugen af Moreau til Milano, hvor han holdt foredrag om matematik. Leonardo da Vinci arbejdede også i Milano ved Moro-hoffet på det tidspunkt. I 1509 blev Luca Paciolis bog "The Divine Proportion" udgivet i Venedig med glimrende udførte illustrationer, hvorfor det menes, at de er lavet af Leonardo da Vinci. Bogen var en begejstret salme til det gyldne snit. Blandt de mange fordele ved den gyldne proportion undlod munken Luca Pacioli ikke at nævne dens "guddommelige essens" som et udtryk for den guddommelige treenighed - Gud sønnen, Gud faderen og Gud den hellige ånd (det blev antydet, at den lille segmentet er personificeringen af Gud sønnen, det større segment - Gud faderen, og hele segmentet - Helligåndens Gud).

Leonardo da Vinci var også meget opmærksom på studiet af den gyldne division. Han lavede sektioner af en stereometrisk krop dannet af regulære femkanter, og hver gang fik han rektangler med aspektforhold i den gyldne division. Det var derfor, han gav denne afdeling navnet gyldne snit. Så det forbliver stadig som det mest populære.

Samtidig arbejdede Albrecht Dürer i det nordlige Europa i Tyskland med de samme problemer. Han skitserer indledningen til den første version af afhandlingen om proportioner. Dürer skriver. ”Det er nødvendigt, at en, der ved, hvordan man gør noget, skal lære det til andre, der har brug for det. Det er, hvad jeg satte mig for at gøre."

At dømme efter et af Dürers breve mødtes han med Luca Pacioli, mens han var i Italien. Albrecht Durer udvikler i detaljer teorien om proportioner af den menneskelige krop. Dürer tildelte det gyldne snit en vigtig plads i sit system af relationer. En persons højde er opdelt i gyldne proportioner af bæltets linje, såvel som af en linje trukket gennem spidserne af langfingrene på de sænkede hænder, den nederste del af ansigtet ved munden osv. Dürers proportionalkompas er velkendt.

Stor astronom fra det 16. århundrede. Johannes Kepler kaldte det gyldne snit for en af geometriens skatte. Han var den første til at henlede opmærksomheden på vigtigheden af den gyldne proportion for botanik (plantevækst og deres struktur).

Kepler kaldte den gyldne proportion selv-fortsættende "Den er struktureret på en sådan måde," skrev han, "at de to laveste led i denne uendelige andel lægger op til det tredje led, og alle to sidste led, hvis de lægges sammen. , giv det næste led, og det samme forhold bibeholdes indtil det uendelige."

Konstruktionen af en række segmenter af den gyldne proportion kan udføres både i retning af stigning (stigende serie) og i retning af fald (faldende serie).

Hvis du er på en lige linje af vilkårlig længde, skal du lægge segmentet til side m, sæt segmentet ved siden af M. Baseret på disse to segmenter bygger vi en skala af segmenter af den gyldne del af de stigende og faldende serier

Ris. 9. Konstruktion af en skala af gyldne proportionssegmenter

I de efterfølgende århundreder blev reglen om den gyldne proportion til en akademisk kanon, og da kampen mod den akademiske rutine med tiden begyndte i kunsten, "smed de i kampens hede barnet ud med badevandet." Det gyldne snit blev "opdaget" igen i midten af 1800-tallet. I 1855 udgav den tyske forsker i det gyldne snit, professor Zeising, sit værk "Aesthetic Studies". Det, der skete med Zeising, var præcis, hvad der uundgåeligt skulle ske for en forsker, der betragter et fænomen som sådan, uden sammenhæng med andre fænomener. Han absolutiserede andelen af det gyldne snit og erklærede det universelt for alle natur- og kunstfænomener. Zeising havde adskillige tilhængere, men der var også modstandere, der erklærede hans doktrin om proportioner for at være "matematisk æstetik."

Ris. 10. Gyldne proportioner i dele af den menneskelige krop

Zeising gjorde et fantastisk stykke arbejde. Han målte omkring to tusinde menneskekroppe og kom til den konklusion, at det gyldne snit udtrykker den gennemsnitlige statistiske lov. Opdelingen af kroppen med navlepunktet er den vigtigste indikator for det gyldne snit. Proportioner mandlig krop svinge inden for det gennemsnitlige forhold på 13: 8 = 1,625 og er noget tættere på det gyldne snit end proportionerne af kvindekroppen, i forhold til hvilke den gennemsnitlige værdi af andelen er udtrykt i forholdet 8: 5 = 1,6. Hos en nyfødt er andelen 1:1, i en alder af 13 er den 1,6, og i en alder af 21 er den lig med en mands. Proportionerne af det gyldne snit viser sig også i forhold til andre dele af kroppen - længden af skulder, underarm og hånd, hånd og fingre mv.

Ris. elleve. Gyldne proportioner i den menneskelige figur

Zeising testede gyldigheden af sin teori på græske statuer. Han udviklede proportionerne af Apollo Belvedere i de mest detaljerede. Græske vaser, arkitektoniske strukturer fra forskellige epoker, planter, dyr, fugleæg, musikalske toner og poetiske metre blev studeret. Zeising gav en definition af det gyldne snit og viste, hvordan det udtrykkes i lige linjestykker og i tal. Da tallene, der udtrykte længderne af segmenterne, blev opnået, så Zeising, at de udgjorde en Fibonacci-serie, som kunne fortsættes i det uendelige i den ene eller den anden retning. Hans næste bog fik titlen "Den gyldne division som den grundlæggende morfologiske lov i naturen og kunsten." I 1876 blev der udgivet en lille bog, nærmest en brochure, i Rusland, der skitserede Zeisings arbejde. Forfatteren søgte tilflugt under initialerne Yu.F.V. Denne udgave omtaler ikke et eneste malerværk.

I slutningen af XIX- begyndelsen af det 20. århundrede Der dukkede mange rent formalistiske teorier op om brugen af det gyldne snit i kunstværker og arkitektur. Med udviklingen af design og teknisk æstetik udvidede loven om det gyldne snit til design af biler, møbler mv.

Fibonacci-serien

Navnet på den italienske matematikermunk Leonardo af Pisa, bedre kendt som Fibonacci (søn af Bonacci), er indirekte forbundet med historien om det gyldne snit. Han rejste meget i østen, introducerede Europa til indiske (arabiske) tal. I 1202 udkom hans matematiske værk "The Book of the Abacus" (tællebræt), som samlede alle de problemer, der var kendt på det tidspunkt. Et af problemerne lød: "Hvor mange par kaniner bliver der født fra et par på et år." Efter at reflektere over dette emne byggede Fibonacci følgende række af tal:

En række tal 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 osv. kendt som Fibonacci-serien. Det særlige ved talrækken er, at hver af dens medlemmer, startende fra den tredje, lig med summen to foregående 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 osv., og forholdet mellem tilstødende tal i rækken nærmer sig forholdet mellem den gyldne division. Så 21: 34 = 0,617 og 34: 55 = 0,618. Dette forhold er angivet med symbolet F. Kun dette forhold - 0,618: 0,382 - giver en kontinuerlig opdeling af et lige linjestykke i den gyldne proportion, hvilket øger eller formindsker det til det uendelige, når det mindre segment er relateret til det større, som det større er til helheden.

Fibonacci beskæftigede sig også med handelens praktiske behov: Hvad er det mindste antal vægte, der kan bruges til at veje et produkt? Fibonacci beviser, at det optimale vægtsystem er: 1, 2, 4, 8, 16...

Generaliseret gyldne snit

Fibonacci-serien kunne kun være forblevet en matematisk hændelse, hvis ikke for det faktum, at alle forskere af den gyldne division i plante- og dyreverdenen, for ikke at nævne kunst, uvægerligt kom til denne serie som et aritmetisk udtryk for loven om det gyldne division.

Forskere fortsatte aktivt med at udvikle teorien om Fibonacci-tal og det gyldne snit. Yu Matiyasevich løser Hilberts 10. problem ved hjælp af Fibonacci-tal. Elegante metoder dukker op til at løse en række kybernetiske problemer (søgeteori, spil, programmering) ved hjælp af Fibonacci-tal og det gyldne snit. I USA oprettes endda Mathematical Fibonacci Association, som siden 1963 har udgivet et specialtidsskrift.

En af resultaterne på dette område er opdagelsen af generaliserede Fibonacci-tal og generaliserede gyldne snit.

Fibonacci-serien (1, 1, 2, 3, 5, 8) og den "binære" serie af vægte opdaget af ham 1, 2, 4, 8, 16... ved første øjekast er helt anderledes. Men algoritmerne til deres konstruktion ligner hinanden meget: i det første tilfælde er hvert tal summen af det foregående tal med sig selv 2 = 1 + 1; 4 = 2 + 2..., i det andet er det summen af de to foregående tal 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 5 = 3 + 2.... Er det muligt at finde en generel matematisk beregning formel, hvorfra vi får og " binære serier og Fibonacci serier? Eller måske vil denne formel give os nyt nummersæt, besidder nogle nye unikke egenskaber?

Faktisk, lad os spørge numerisk parameter S, som kan have en hvilken som helst værdi: 0, 1, 2, 3, 4, 5... Overvej en talserie, S+ 1, hvoraf de første led er enheder, og hver af de efterfølgende er lig med summen af to led af den foregående og adskilt fra den foregående med S trin. Hvis n Vi betegner det te led i denne række ved φ S ( n), så får vi generel formelφ S ( n) = φ S ( n- 1) + φ S ( n - S - 1).

Det er indlysende, at hvornår S= 0 fra denne formel får vi en "binær" serie, med S= 1 - Fibonacci-serien, med S= 2, 3, 4. nye talrækker, som kaldes S-Fibonacci-tal.

I generel opfattelse gylden S-Proportion er den positive rod af den gyldne ligning S-sektioner x S+1 - x S - 1 = 0.

Det er nemt at vise, hvornår S= 0, segmentet er delt i to, og hvornår S= 1 - det velkendte klassiske gyldne snit.

Relationer mellem naboer S- Fibonacci-tal falder sammen med absolut matematisk nøjagtighed i grænsen med guld S-proportioner! Matematikere i sådanne tilfælde siger, at guld S-sektioner er numeriske invarianter S-Fibonacci-tal.

Fakta, der bekræfter eksistensen af guld S-sektioner i naturen, citerer den hviderussiske videnskabsmand E.M. Soroko i bogen "Structural Harmony of Systems" (Minsk, "Science and Technology", 1984). Det viser sig for eksempel, at velundersøgte binære legeringer kun har særlige, udtalte funktionelle egenskaber (termisk stabile, hårde, slidbestandige, modstandsdygtige over for oxidation osv.), hvis de originale komponenters vægtfylde er relateret til hinanden af en af guld S-proportioner. Dette gjorde det muligt for forfatteren at fremsætte hypotesen om, at guld S-sektioner er numeriske invarianter af selvorganiserende systemer. Når først bekræftet eksperimentelt, kan denne hypotese være af fundamental betydning for udviklingen af synergetik - et nyt videnskabsområde, der studerer processer i selvorganiserende systemer.

Brug af guldkoder S-Proportioner kan udtrykkes ved et hvilket som helst reelt tal som summen af guldmagter S-proportioner med heltalskoefficienter.

Den grundlæggende forskel mellem denne metode til indkodning af tal er, at baserne for de nye koder, som er gyldne S-proportioner, med S> 0 viser sig at være irrationelle tal. Således ser nye talsystemer med irrationelle baser ud til at sætte det historisk etablerede hierarki af relationer mellem rationelle og irrationelle tal "fra top til fod." Faktum er, at naturlige tal først blev "opdaget"; så er deres forhold rationelle tal. Og først senere - efter opdagelsen af inkommensurable segmenter af pythagoræerne - blev irrationelle tal født. For eksempel i decimal-, quinær-, binære og andre klassiske positionstalssystemer blev naturlige tal valgt som en slags grundlæggende princip - 10, 5, 2 - hvoraf visse regler alle andre naturlige tal, såvel som rationelle og irrationelle tal, blev konstrueret.

En slags alternativ til eksisterende notationsmetoder er et nyt, irrationelt system, som et grundlæggende princip, hvis begyndelse er et irrationelt tal (som, husker jeg, er roden til ligningen med det gyldne snit); andre reelle tal er allerede udtrykt gennem det.

I sådan et talsystem kan evt naturligt tal altid repræsenteret som endeligt - og ikke uendeligt, som tidligere antaget! - summen af grader af noget af guldet S-proportioner. Dette er en af grundene til, at "irrationel" aritmetik, der besidder fantastisk matematisk enkelhed og elegance, synes at have absorberet bedste kvaliteter klassisk binær og Fibonacci aritmetik.

Principper for dannelse i naturen

Alt, der antog en eller anden form, blev dannet, voksede, stræbte efter at tage plads i rummet og bevare sig selv. Dette ønske realiseres hovedsageligt i to muligheder - at vokse opad eller sprede sig over jordens overflade og sno sig i en spiral.

Skallen er snoet i en spiral. Folder du den ud, får du en længde lidt kortere end slangens længde. En lille ti-centimeter skal har en spiral på 35 cm. Spiraler er meget almindelige i naturen. Ideen om det gyldne snit vil være ufuldstændig uden at tale om spiralen.

Ris. 12. Archimedes spiral

Formen på den spiralkrøllede skal tiltrak Archimedes opmærksomhed. Han studerede det og fandt på en ligning for spiralen. Spiralen tegnet i henhold til denne ligning kaldes ved hans navn. Stigningen i hendes skridt er altid ensartet. I øjeblikket er Archimedes-spiralen meget brugt i teknologi.

Goethe fremhævede også naturens tendens til spiralitet. Det spiralformede og spiralformede arrangement af blade på trægrene blev bemærket for længe siden. Spiralen blev set i arrangementet af solsikkefrø, kogler, ananas, kaktusser osv. Samarbejde Botanikere og matematikere kaster lys over disse fantastiske naturfænomener. Det viste sig, at Fibonacci-serien manifesterer sig i arrangementet af blade på en gren (phylotaxis), solsikkefrø og fyrrekogler, og derfor manifesterer loven om det gyldne snit sig. Edderkoppen væver sit spind i et spiralmønster. En orkan snurrer som en spiral. Skræmt flok rensdyr spiraler væk. DNA-molekylet er snoet i en dobbelt helix. Goethe kaldte spiralen "livets kurve".

Blandt vejkantens urter vokser en umærkelig plante - cikorie. Lad os se nærmere på det. Et skud er dannet fra hovedstammen. Det første blad var placeret lige der.

Ris. 13. Cikorie

Skuddet laver et kraftigt udkast ud i rummet, stopper, udløser et blad, men denne gang er det kortere end det første, laver igen et udkast ud i rummet, men med mindre kraft, udløser et blad af endnu mindre størrelse og skydes ud igen . Hvis den første emission tages som 100 enheder, så er den anden lig med 62 enheder, den tredje - 38, den fjerde - 24 osv. Længden af kronbladene er også underlagt den gyldne proportion. I at vokse og erobre plads, opretholdt planten visse proportioner. Impulserne fra dens vækst faldt gradvist i forhold til det gyldne snit.

Ris. 14. Viviparøs firben

Ved første øjekast har firbenet proportioner, der er behagelige for vores øjne - længden af dens hale er relateret til længden af resten af kroppen som 62 til 38.

I både plante- og dyreverdenen bryder naturens dannelsestendens vedvarende igennem - symmetri om vækst- og bevægelsesretning. Her vises det gyldne snit i proportionerne af dele vinkelret på vækstretningen.

Naturen har udført opdeling i symmetriske dele og gyldne proportioner. Delene afslører en gentagelse af helhedens struktur.

Ris. 15. fugleæg

Den store Goethe, en digter, naturforsker og kunstner (han tegnede og malede i akvareller), drømte om at skabe en samlet doktrin om form, dannelse og transformation af organiske legemer. Det var ham, der introducerede begrebet morfologi i videnskabelig brug.

Pierre Curie formulerede i begyndelsen af dette århundrede en række dybe ideer om symmetri. Han argumenterede for, at man ikke kan overveje symmetrien af nogen krop uden at tage hensyn til miljøets symmetri.

Mønstrene af "gyldne" symmetri manifesteres i energiovergange elementære partikler, i strukturen af nogle kemiske forbindelser, i planetariske og rumsystemer, i levende organismers genstrukturer. Disse mønstre, som angivet ovenfor, eksisterer i strukturen af individuelle menneskelige organer og kroppen som helhed og manifesterer sig også i hjernens biorytmer og funktion og visuel perception.

Gyldne forhold og symmetri

Det gyldne snit kan ikke betragtes alene, separat, uden forbindelse med symmetri. Den store russiske krystallograf G.V. Wulf (1863...1925) anså det gyldne snit for at være et af symmetriens manifestationer.

Den gyldne opdeling er ikke en manifestation af asymmetri, noget modsat symmetri Ifølge moderne ideer er den gyldne opdeling asymmetrisk symmetri. Videnskaben om symmetri omfatter sådanne begreber som statisk Og dynamisk symmetri. Statisk symmetri kendetegner fred og balance, mens dynamisk symmetri kendetegner bevægelse og vækst. I naturen er statisk symmetri således repræsenteret af strukturen af krystaller, og i kunsten kendetegner den fred, balance og ubevægelighed. Dynamisk symmetri udtrykker aktivitet, karakteriserer bevægelse, udvikling, rytme, det er bevis på liv. Statisk symmetri er karakteriseret ved lige store segmenter og lige værdier. Dynamisk symmetri er karakteriseret ved en stigning i segmenter eller deres fald, og det udtrykkes i værdierne af det gyldne snit i en stigende eller faldende serie.

Enhver person, der i det mindste indirekte har mødt rumlige objekters geometri inden for indretning og arkitektur, er sandsynligvis udmærket klar over princippet om det gyldne snit. Indtil for nylig, for flere årtier siden, var populariteten af det gyldne snit så høj, at adskillige tilhængere af mystiske teorier og verdens struktur kalder det den universelle harmoniske regel.

Essensen af universel proportion

Overraskende anderledes. Årsagen til den partiske, næsten mystiske holdning til sådan en simpel numerisk afhængighed var flere usædvanlige egenskaber:

Et stort antal genstande i den levende verden, fra vira til mennesker, har grundlæggende krops- eller lemmerproportioner meget tæt på værdien af det gyldne snit;
Afhængigheden på 0,63 eller 1,62 er kun typisk for biologiske væsner, og nogle typer af livløse genstande, fra mineraler til landskabselementer, har ekstremt sjældent det gyldne snits geometri;
Gyldne proportioner i kropsstruktur viste sig at være den mest optimale for overlevelse af rigtige biologiske objekter.

I dag findes det gyldne snit i strukturen af dyrs krop, skaller og skaller af bløddyr, proportionerne af blade, grene, stammer og rodsystemer af ganske stort antal buske og urter.

Mange tilhængere af teorien om det gyldne snits universalitet har gentagne gange gjort forsøg på at bevise, at dets proportioner er de mest optimale for biologiske organismer under deres eksistensbetingelser.

Strukturen af skallen af Astreae Heliotropium, et af de marine bløddyr, er normalt givet som et eksempel. Skallen er en oprullet kalcitskal med en geometri, der praktisk talt falder sammen med proportionerne af det gyldne snit.

Et mere forståeligt og indlysende eksempel er et almindeligt hønseæg.

Forholdet mellem hovedparametrene, nemlig det store og det lille fokus, eller afstandene fra ækvidistante punkter på overfladen til tyngdepunktet, vil også svare til det gyldne snit. Samtidig er formen på en fugleæggeskal den mest optimale for fuglens overlevelse som biologisk art. I dette tilfælde spiller skallens styrke ikke en stor rolle.

Til din information! Det gyldne snit, også kaldet den universelle andel af geometri, blev opnået som et resultat af et stort antal praktiske målinger og sammenligninger af størrelserne af rigtige planter, fugle og dyr.

Oprindelse af universel proportion

De gamle græske matematikere Euklid og Pythagoras kendte til det gyldne snit i snittet. I et af monumenterne gammel arkitektur- Cheops-pyramiden har et forhold mellem sider og base, individuelle elementer og vægbasrelieffer er lavet i overensstemmelse med den universelle proportion.

Det gyldne snit teknikken blev meget brugt i middelalderen af kunstnere og arkitekter, mens essensen af universel proportion blev betragtet som en af universets hemmeligheder og var omhyggeligt skjult for den almindelige mand. Sammensætningen af mange malerier, skulpturer og bygninger blev bygget strengt i overensstemmelse med proportionerne af det gyldne snit.

Essensen af universelle proportioner blev først dokumenteret i 1509 af franciskanermunken Luca Pacioli, som havde strålende matematiske evner. Men reel anerkendelse fandt sted, efter at den tyske videnskabsmand Zeising gennemførte en omfattende undersøgelse af den menneskelige krops proportioner og geometri, gamle skulpturer, kunstværker, dyr og planter.

I de fleste levende genstande er visse kropsdimensioner underlagt de samme proportioner. I 1855 konkluderede videnskabsmænd, at proportionerne af det gyldne snit er en slags standard for harmonien mellem krop og form. Det handler om først og fremmest om levende væsener for død natur er det gyldne snit meget mindre almindeligt.

Sådan får du det gyldne snit

Det gyldne snit er nemmest repræsenteret som forholdet mellem to dele af en genstand forskellige længder, adskilt af en prik.

Kort sagt, hvor mange længder af et lille segment vil passe inde i et stort, eller forholdet mellem den største del og hele længden af et lineært objekt. I det første tilfælde er det gyldne snit 0,63, i det andet tilfælde er billedformatet 1,618034.

I praksis er det gyldne snit kun en proportion, forholdet mellem segmenter af en vis længde, sider af et rektangel eller andre geometriske former, beslægtede eller konjugerede dimensionelle karakteristika for rigtige objekter.

Til at begynde med blev de gyldne proportioner udledt empirisk ved hjælp af geometriske konstruktioner. Der er flere måder at konstruere eller udlede harmonisk proportion på:

Til din information! I modsætning til det klassiske gyldne snit, indebærer den arkitektoniske version et billedformat på 44:56.

Hvis standardversionen af det gyldne snit for levende væsener, malerier, grafik, skulpturer og gamle bygninger blev beregnet til 37:63, så begyndte det gyldne snit i arkitekturen fra slutningen af det 17. århundrede i stigende grad at blive brugt som 44:56. De fleste eksperter anser ændringen til fordel for mere "firkantede" proportioner for at være spredningen af højhusbyggeri.

Hovedhemmeligheden bag det gyldne snit

Hvis de naturlige manifestationer af den universelle sektion i proportionerne af dyrs og menneskers kroppe, kan planternes stammebase stadig forklares ved evolution og tilpasningsevne til påvirkningen af det ydre miljø, så opdagelsen af det gyldne snit i konstruktionen af huse fra det 12.-19. århundrede kom som en vis overraskelse. Desuden blev det berømte antikke græske Parthenon bygget i overensstemmelse med universelle proportioner, mange huse og slotte af velhavende adelsmænd og velhavende mennesker i middelalderen blev bevidst bygget med parametre meget tæt på det gyldne snit.

Det gyldne snit i arkitekturen

Mange af de bygninger, der har overlevet den dag i dag, tyder på, at middelalderens arkitekter vidste om eksistensen af det gyldne snit, og selvfølgelig, når de byggede et hus, blev de styret af deres primitive beregninger og afhængigheder, med hjælp hvoraf de forsøgte at opnå maksimal styrke. Ønsket om at bygge de smukkeste og mest harmoniske huse var især tydeligt i bygningerne af boliger for regerende personer, kirker, rådhuse og bygninger af særlig samfundsmæssig betydning i samfundet.

For eksempel har den berømte Notre Dame-katedral i Paris mange sektioner og dimensionelle kæder i sine proportioner, der svarer til det gyldne snit.

Allerede før udgivelsen af hans forskning i 1855 af professor Zeising, i slutningen af det 18. århundrede blev de berømte arkitektoniske komplekser af Golitsyn Hospital og Senatsbygningen i Skt. Petersborg, Pashkov House og Petrovsky Palace i Moskva bygget ved hjælp af proportioner af det gyldne snit.

Selvfølgelig er huse blevet bygget i nøje overensstemmelse med reglen om det gyldne snit før. Det er værd at nævne det gamle arkitektoniske monument fra Kirken af forbøn på Nerl, vist i diagrammet.

Alle af dem er forenet ikke kun af en harmonisk kombination af former og høj kvalitet konstruktion, men også først og fremmest tilstedeværelsen af det gyldne snit i bygningens proportioner. Bygningens fantastiske skønhed bliver endnu mere mystisk, hvis vi tager dens alder i betragtning. Bygningen af Forbønskirken går tilbage til 1200-tallet, men bygningen fik sit moderne arkitektoniske udseende ved begyndelsen af 1600-tallet som en. resultat af restaurering og genopbygning.

Funktioner af det gyldne snit for mennesker

Den antikke arkitektur af bygninger og huse i middelalderen forbliver attraktiv og interessant for moderne mand af mange grunde:

Individuel kunststil i udformningen af facader undgår den moderne klichéer og sløvhed hver bygning er et kunstværk;
Massiv brug til udsmykning og dekoration af statuer, skulpturer, stuklister, usædvanlige kombinationer af byggeløsninger fra forskellige epoker;
Bygningens proportioner og sammensætning trækker øjet til bygningens vigtigste elementer.

Vigtig! Når man designer et hjem og udvikler udseende middelalderlige arkitekter anvendte reglen om det gyldne snit, og brugte ubevidst de særlige kendetegn ved opfattelsen af den menneskelige underbevidsthed.

Moderne psykologer har eksperimentelt bevist, at det gyldne snit er en manifestation af en persons ubevidste ønske eller reaktion på en harmonisk kombination eller proportion i størrelser, former og endda farver. Der blev gennemført et eksperiment, hvor en gruppe mennesker, der ikke kendte hinanden, ikke havde fælles interesser, forskellige erhverv og alderskategorier, blev tilbudt en række tests, blandt hvilke opgaven var at bukke et ark papir i de fleste optimal andel af sider. Baseret på testresultaterne viste det sig, at i 85 ud af 100 tilfælde blev arket bøjet af testpersonerne næsten nøjagtigt efter det gyldne snit.

Derfor moderne videnskab mener, at fænomenet med universel proportion er et psykologisk fænomen og ikke handlingen af nogen metafysiske kræfter.

Brug af den universelle sektionsfaktor i moderne design og arkitektur

Principperne for at bruge den gyldne proportion er blevet ekstremt populære i opførelsen af private huse i de sidste par år. I stedet for økologi og sikkerhed byggematerialer kom harmonien i designet og den korrekte fordeling af energi inde i huset.

Den moderne fortolkning af reglen om universel harmoni har længe spredt sig ud over den sædvanlige geometri og form af et objekt. I dag er reglen underlagt ikke kun de dimensionelle kæder af længden af portikoen og frontonen, individuelle elementer af facaden og bygningens højde, men også arealet af værelser, vindues- og døråbninger og endda farveskema for det indre af rummet.

Den nemmeste måde at bygge et harmonisk hus på er på modulbasis. I dette tilfælde er de fleste afdelinger og værelser lavet i form af uafhængige blokke eller moduler, designet i overensstemmelse med reglen om det gyldne snit. At bygge en bygning i form af et sæt harmoniske moduler er meget nemmere end at bygge en kasse, hvor det meste af facaden og interiøret skal være inden for de strenge rammer for det gyldne snit proportioner.

Mange byggefirmaer, der designer private husholdninger, bruger principperne og koncepterne i det gyldne snit til at øge omkostningsoverslaget og give kunderne indtryk af, at husets design er gennemarbejdet. Som regel er et sådant hus erklæret for at være meget behageligt og harmonisk at bruge. Et korrekt valgt forhold mellem rumområder garanterer åndelig komfort og fremragende sundhed for ejerne.

Hvis huset blev bygget uden at tage højde for de optimale forhold i det gyldne snit, kan du omdesigne rummene, så rummets proportioner svarer til forholdet mellem væggene i forholdet 1:1,61. For at gøre dette kan møbler flyttes eller yderligere skillevægge installeres inde i værelser. På samme måde ændres dimensionerne på vindues- og døråbninger, så åbningens bredde er 1,61 gange mindre end dørbladets højde. Møbelplanlægning foregår på samme måde, husholdningsapparater, væg- og gulvafslutning.

Det er sværere at vælge et farveskema. I dette tilfælde, i stedet for det sædvanlige forhold på 63:37, vedtog tilhængere af den gyldne regel en forenklet fortolkning - 2/3. Det vil sige, at hovedfarvebaggrunden skal optage 60% af rummets plads, ikke mere end 30% skal gives til skyggefarven, og resten er allokeret til forskellige relaterede toner, designet til at forbedre opfattelsen af farveskemaet .

Rummets indvendige vægge er opdelt af et vandret bælte eller en kant i en højde på 70 cm, installerede møbler skal stå i forhold til lofternes højde i henhold til det gyldne snit. Samme regel gælder for længdefordelingen, for eksempel bør størrelsen af en sofa ikke overstige 2/3 af skillevæggens længde, og samlet areal optaget af møbler relaterer sig til rummets areal som 1:1,61.

Den gyldne proportion er svær at anvende i praksis i stor skala på grund af kun én tværsnitsværdi, derfor tyr de ofte til en række Fibonacci-numre, når de designer harmoniske bygninger. Dette giver dig mulighed for at udvide antallet af mulige muligheder for proportioner og geometriske former for husets hovedelementer. I dette tilfælde kaldes en række Fibonacci-tal, der er forbundet med et klart matematisk forhold, harmonisk eller gylden.

I den moderne metode til at designe boliger baseret på princippet om det gyldne snit, ud over Fibonacci-serien, er princippet foreslået af den berømte franske arkitekt Le Corbusier meget brugt. I dette tilfælde vælges højden af den fremtidige ejer eller gennemsnitshøjden af en person som startmåleenhed, hvormed alle parametre i bygningen og interiøret beregnes. Denne tilgang giver dig mulighed for at designe et hus, der ikke kun er harmonisk, men også virkelig individuelt.

Konklusion

I praksis, ifølge anmeldelser fra dem, der besluttede at bygge et hus i henhold til reglen om det gyldne forhold, viser en velbygget bygning sig faktisk at være ret behagelig at leve. Men omkostningerne ved bygningen på grund af individuelt design og brugen af byggematerialer af ikke-standardstørrelser stiger med 60-70%. Og der er intet nyt i denne tilgang, da de fleste bygninger i forrige århundrede blev bygget specifikt under individuelle egenskaber fremtidige ejere.

Det gyldne snit - matematik

Gyldent snit - harmonisk proportion

I matematik er proportion (lat. proportio) ligheden mellem to forhold: a: b = c: d.
Et lige linjestykke AB kan opdeles i to dele på følgende måder:
i to lige store dele – AB: AC = AB: BC;
i to ulige dele i enhver henseende (sådanne dele danner ikke proportioner);
således, når AB: AC = AC: BC.
Sidstnævnte er den gyldne opdeling eller opdeling af et segment i ekstreme og gennemsnitlige forhold.
Det gyldne snit er en sådan proportional opdeling af et segment i ulige dele, hvor hele segmentet er relateret til den større del, som den større del selv er relateret til den mindre; eller med andre ord, det mindre segment er til det større, som det større er for helheden

a: b = b: c eller c: b = b: a.

Ris. 1. Geometrisk billede af det gyldne snit

Praktisk bekendtskab med det gyldne snit begynder med at dele et lige linjesegment i den gyldne proportion ved hjælp af et kompas og lineal.

Ris. 2. Inddeling af et lige linjestykke efter det gyldne snit. BC = 1/2 AB; CD = BC

Fra punkt B genoprettes en vinkelret lig med halvdelen AB. Det resulterende punkt C er forbundet med en linje til punktet A. Et stykke BC lægges på den resulterende linje, der slutter med punktet D. Stikstykket AD overføres til den rette linje AB. Det resulterende punkt E deler segmentet AB i den gyldne proportion.

Segmenter af det gyldne forhold udtrykkes ved den uendelige irrationelle fraktion AE = 0,618..., hvis AB tages som én, BE = 0,382... Til praktiske formål bruges der ofte omtrentlige værdier på 0,62 og 0,38. Hvis segment AB tages for at være 100 dele, så er den største del af segmentet 62, og den mindre del er 38 dele.

Egenskaberne for det gyldne snit er beskrevet ved ligningen:
x2 – x – 1 = 0.

Løsning til denne ligning:

Egenskaberne ved det gyldne snit har skabt en romantisk aura af mystik og næsten mystisk tilbedelse omkring dette nummer.

Andet gyldne snit

Det bulgarske magasin “Fatherland” (nr. 10, 1983) publicerede en artikel af Tsvetan Tsekov-Karandash “On the second golden section”, som følger af hovedafsnittet og giver endnu et forhold på 44:56.
Denne andel findes i arkitekturen og forekommer også, når man konstruerer kompositioner af billeder i et langstrakt vandret format.

Opdelingen udføres som følger. Segment AB er opdelt i forhold til det gyldne snit. Fra punkt C gendannes en vinkelret CD. Radius AB er punkt D, som er forbundet med en linje til punkt A. Ret vinkel ACD er delt i to. Der trækkes en linje fra punkt C til skæringspunktet med linje AD. Punktet deler segmentet AD i forholdet 56:44.

Ris. 3. Konstruktion af det andet gyldne snit

Ris. 4. Opdeling af et rektangel med linjen i det andet gyldne snit

Figuren viser positionen af linjen i det andet gyldne snit. Den er placeret midt mellem det gyldne forholdslinje og rektanglets midterlinje.

Gyldne Trekant

For at finde segmenter af den gyldne del af den stigende og faldende række, kan du bruge pentagrammet.

Ris. 5. Konstruktion af en regulær femkant og pentagram

For at bygge et pentagram skal du bygge en almindelig femkant. Metoden til dens konstruktion blev udviklet af den tyske maler og grafiker Albrecht Durer (1471...1528). Lad O være centrum af cirklen, A et punkt på cirklen og E midtpunktet af segment OA. Den vinkelrette på radius OA, gendannet ved punkt O, skærer cirklen ved punkt D. Brug et kompas til at plotte segmentet CE = ED på diameteren. Sidelængden af en regulær femkant indskrevet i en cirkel er lig med DC. Vi plotter segmenterne DC på cirklen og får fem point til at tegne en regulær femkant. Vi forbinder hjørnerne af femkanten gennem hinanden med diagonaler og får et pentagram. Alle diagonaler i femkanten deler hinanden i segmenter forbundet med det gyldne snit.
Hver ende af den femkantede stjerne repræsenterer en gylden trekant. Dens sider danner en vinkel på 36° i spidsen, og bunden, lagt på siden, deler den i forholdet til det gyldne snit.

Vi tegner lige AB. Fra punkt A lægger vi et segment af vilkårlig størrelse på det tre gange, gennem det resulterende punkt P trækker vi en vinkelret på linjen AB, på vinkelret til højre og venstre for punkt P lægger vi segmenter O. Vi forbinder de resulterende punkter d og d1 med lige linjer til punkt A. Vi lægger segment dd1 på linje Ad1 , og opnår punkt C. Hun delte linjen Ad1 i forhold til det gyldne snit. Linjerne Ad1 og dd1 bruges til at konstruere et "gyldent" rektangel.

Ris. 6. Konstruktion af den gyldne trekant

Historien om det gyldne snit

Ris. 7. Dynamiske rektangler

Platon (427...347 f.Kr.) kendte også til den gyldne division. Hans dialog "Timaeus" er viet til de matematiske og æstetiske synspunkter i den pythagoræiske skole og i særdeleshed til spørgsmålene om den gyldne opdeling.
Facaden på det antikke græske tempel Parthenon har gyldne proportioner. Under dens udgravninger blev der opdaget kompasser, der blev brugt af arkitekter og billedhuggere fra den antikke verden. Det pompeianske kompas (museum i Napoli) indeholder også proportionerne af den gyldne inddeling.

Ris. 8. Antik kompas med gyldne snit

I den antikke litteratur, der er kommet ned til os, blev den gyldne inddeling først nævnt i Euklids elementer. I den 2. bog af "Principlene" er den geometriske konstruktion af den gyldne inddeling givet middelalderens Europa, med den gyldne opdeling Vi mødtes gennem arabiske oversættelser af Euklids elementer. Oversætteren J. Campano fra Navarra (III århundrede) fremsatte kommentarer til oversættelsen. Hemmelighederne bag den gyldne division blev nidkært bevogtet og holdt i streng hemmelighed. De var kun kendt af indviede.
Under renæssancen steg interessen for den gyldne opdeling blandt videnskabsmænd og kunstnere på grund af dens brug i både geometri og kunst, især inden for arkitektur, Leonardo da Vinci, en kunstner og videnskabsmand, så, at italienske kunstnere havde meget empirisk erfaring, men kun lidt. viden . Han undfangede og begyndte at skrive en bog om geometri, men på det tidspunkt dukkede en bog af munken Luca Pacioli op, og Leonardo opgav sin idé. Ifølge samtidige og videnskabshistorikere var Luca Pacioli en rigtig lyskilde, Italiens største matematiker i perioden mellem Fibonacci og Galileo. Luca Pacioli var en elev af kunstneren Piero della Franceschi, som skrev to bøger, hvoraf den ene hed "On Perspective in Painting." Han betragtes som skaberen af beskrivende geometri.
Luca Pacioli forstod perfekt videnskabens betydning for kunsten. I 1496 kom han på invitation af hertugen af Moreau til Milano, hvor han holdt foredrag om matematik. Leonardo da Vinci arbejdede også i Milano ved Moro-hoffet på det tidspunkt. I 1509 blev Luca Paciolis bog "The Divine Proportion" udgivet i Venedig med glimrende udførte illustrationer, hvorfor det menes, at de er lavet af Leonardo da Vinci. Bogen var en begejstret salme til det gyldne snit. Blandt de mange fordele ved den gyldne proportion undlod munken Luca Pacioli ikke at nævne dens "guddommelige essens" som et udtryk for den guddommelige treenighed - Gud Sønnen, Gud Faderen og Gud Helligånden (det blev antydet, at den lille segment er personificeringen af Gud Sønnen, det større segment er Faderens Gud, og hele segmentet - Helligåndens Gud).
Leonardo da Vinci var også meget opmærksom på studiet af den gyldne division. Han lavede sektioner af en stereometrisk krop dannet af regulære femkanter, og hver gang fik han rektangler med aspektforhold i den gyldne division. Derfor gav han denne inddeling navnet gyldne snit. Så det forbliver stadig som det mest populære.
Samtidig arbejdede Albrecht Dürer i det nordlige Europa i Tyskland med de samme problemer. Han skitserer indledningen til den første version af afhandlingen om proportioner. Dürer skriver. ”Det er nødvendigt, at en, der ved, hvordan man gør noget, skal lære det til andre, der har brug for det. Det er, hvad jeg satte mig for at gøre."
At dømme efter et af Dürers breve mødtes han med Luca Pacioli, mens han var i Italien. Albrecht Durer udvikler i detaljer teorien om proportioner af den menneskelige krop. Dürer tildelte det gyldne snit en vigtig plads i sit system af relationer. En persons højde er opdelt i gyldne proportioner af bæltets linje, såvel som af en linje trukket gennem spidserne af langfingrene på de sænkede hænder, den nederste del af ansigtet ved munden osv. Dürers proportionalkompas er velkendt.
Stor astronom fra det 16. århundrede. Johannes Kepler kaldte det gyldne snit for en af geometriens skatte. Han var den første til at henlede opmærksomheden på vigtigheden af den gyldne proportion for botanik (plantevækst og deres struktur).
Kepler kaldte den gyldne proportion selv-fortsættende "Den er struktureret på en sådan måde," skrev han, "at de to laveste led i denne uendelige andel lægger op til det tredje led, og alle to sidste led, hvis de lægges sammen. , giv det næste led, og det samme forhold bibeholdes indtil det uendelige."
Konstruktionen af en række segmenter af den gyldne proportion kan udføres både i retning af stigning (stigende serie) og i retning af fald (faldende serie).
Hvis du på en lige linje med vilkårlig længde sætter segment m til side, sætter vi segment M til side. Baseret på disse to segmenter bygger vi en skala af segmenter af den gyldne proportion af den stigende og faldende række.

Ris. 9. Konstruktion af en skala af segmenter af det gyldne snit

Ris. 10. Gyldne proportioner i dele af den menneskelige krop

Zeising gjorde et fantastisk stykke arbejde. Han målte omkring to tusinde menneskekroppe og kom til den konklusion, at det gyldne snit udtrykker den gennemsnitlige statistiske lov. Opdelingen af kroppen med navlepunktet er den vigtigste indikator for det gyldne snit. Andelene af den mandlige krop svinger inden for det gennemsnitlige forhold på 13: 8 = 1,625 og er noget tættere på det gyldne snit end proportionerne af den kvindelige krop, i forhold til hvilket den gennemsnitlige værdi af andelen er udtrykt i forholdet 8: 5 = 1,6. Hos en nyfødt er andelen 1:1, i en alder af 13 er den 1,6, og i en alder af 21 er den lig med en mands. Proportionerne af det gyldne snit viser sig også i forhold til andre dele af kroppen - længden af skulder, underarm og hånd, hånd og fingre mv.

Ris. 11. Gyldne proportioner i den menneskelige figur

I slutningen af det 19. – begyndelsen af det 20. århundrede. Der dukkede mange rent formalistiske teorier op om brugen af det gyldne snit i kunstværker og arkitektur. Med udviklingen af design og teknisk æstetik udvidede loven om det gyldne snit til design af biler, møbler mv.

Fibonacci-serien

En række tal 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 osv. kendt som Fibonacci-serien. Det ejendommelige ved talrækken er, at hver af dens medlemmer, startende fra den tredje, er lig med summen af de to foregående 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 osv., og forholdet mellem tilstødende tal i rækken nærmer sig forholdet mellem den gyldne division. Så 21: 34 = 0,617 og 34: 55 = 0,618. Dette forhold er angivet med symbolet F. Kun dette forhold - 0,618: 0,382 - giver en kontinuerlig opdeling af et ret linjestykke i den gyldne proportion, hvilket øger det eller formindsker det til uendeligt, når det mindre segment er relateret til det større som den større er til alt.

Generaliseret gyldne snit

En af resultaterne på dette område er opdagelsen af generaliserede Fibonacci-tal og generaliserede gyldne snit.

Fibonacci-serien (1, 1, 2, 3, 5, 8) og den "binære" serie af vægte opdaget af ham 1, 2, 4, 8, 16... ved første øjekast er helt anderledes. Men algoritmerne til deres konstruktion ligner hinanden meget: i det første tilfælde er hvert tal summen af det foregående tal med sig selv 2 = 1 + 1; 4 = 2 + 2…, i det andet er det summen af de to foregående tal 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 5 = 3 + 2…. Er det muligt at finde en generel matematisk formel, hvorfra både den "binære" serie og Fibonacci-serien er opnået? Eller måske vil denne formel give os nye numeriske sæt, der har nogle nye unikke egenskaber?

Faktisk, lad os indstille den numeriske parameter S, som kan have en hvilken som helst værdi: 0, 1, 2, 3, 4, 5... Overvej en talserie, S+ 1 af de første led er enheder, og hver af de efterfølgende er lig med summen af to led af den foregående og adskilt fra den foregående med S trin. Hvis n Vi betegner det th led i denne række med φ S (n), så får vi den generelle formel φ S( n) = φ S ( n– 1) + φ S (n – S – 1).

Det er indlysende, at hvornår S= 0 fra denne formel får vi en "binær" serie, med S= 1 – Fibonacci-serien, med S= 2, 3, 4. nye talrækker, som kaldes S-Fibonacci-tal.

Generelt gyldent S-Proportion er den positive rod af den gyldne ligning S-afsnit x S+1 – x S – 1 = 0.

Det er let at vise, at ved S = 0 er segmentet delt i to, og ved S = 1 resulterer det velkendte klassiske gyldne snit.

Forholdet mellem tilstødende Fibonacci S-tal falder sammen med absolut matematisk nøjagtighed i grænsen med de gyldne S-forhold! Matematikere siger i sådanne tilfælde, at de gyldne S-forhold er numeriske invarianter af Fibonacci S-tallene.

Fakta, der bekræfter eksistensen af gyldne S-snit i naturen, er givet af den hviderussiske videnskabsmand E.M. Soroko i bogen "Structural Harmony of Systems" (Minsk, "Science and Technology", 1984). Det viser sig for eksempel, at velundersøgte binære legeringer kun har særlige, udtalte funktionelle egenskaber (termisk stabile, hårde, slidbestandige, modstandsdygtige over for oxidation osv.), hvis de originale komponenters vægtfylde er relateret til hinanden ved en af gyldne S-forhold. Dette gjorde det muligt for forfatteren at fremsætte den hypotese, at de gyldne S-snit er numeriske invarianter af selvorganiserende systemer. Når først bekræftet eksperimentelt, kan denne hypotese være af fundamental betydning for udviklingen af synergetik, et nyt videnskabsområde, der studerer processer i selvorganiserende systemer.

Ved hjælp af gyldne S-forholdskoder kan du udtrykke ethvert reelt tal som en sum af potenser af gyldne S-forhold med heltalskoefficienter.

Den grundlæggende forskel mellem denne metode til indkodning af tal er, at baserne for de nye koder, som er de gyldne S-forhold, viser sig at være irrationelle tal, når S> 0. Således ser nye talsystemer med irrationelle baser ud til at sætte det historisk etablerede hierarki af relationer mellem rationelle og irrationelle tal "fra top til fod." Faktum er, at naturlige tal først blev "opdaget"; så er deres forhold rationelle tal. Og først senere - efter at pythagoræerne opdagede inkommensurable segmenter - blev irrationelle tal født. For eksempel i decimale, quinære, binære og andre klassiske positionstalssystemer blev naturlige tal valgt som en slags grundlæggende princip - 10, 5, 2 - hvorfra, ifølge visse regler, alle andre naturlige tal såvel som rationelle tal. og irrationelle tal, blev konstrueret.

I sådan et talsystem kan ethvert naturligt tal altid repræsenteres som endeligt – og ikke uendeligt, som man tidligere har troet! – summen af potenser af enhver af de gyldne S-forhold. Dette er en af grundene til, at "irrationel" aritmetik, der har en fantastisk matematisk enkelhed og elegance, ser ud til at have absorberet de bedste kvaliteter af klassisk binær og "Fibonacci" aritmetik.

Principper for dannelse i naturen

Ris. 12. Archimedes Spiral

Goethe fremhævede også naturens tendens til spiralitet. Det spiralformede og spiralformede arrangement af blade på trægrene blev bemærket for længe siden. Spiralen blev set i arrangementet af solsikkefrø, kogler, ananas, kaktusser osv. Botanikeres og matematikeres fælles arbejde har kastet lys over disse fantastiske naturfænomener. Det viste sig, at Fibonacci-serien manifesterer sig i arrangementet af blade på en gren (phylotaxis), solsikkefrø og fyrrekogler, og derfor manifesterer loven om det gyldne snit sig. Edderkoppen væver sit spind i et spiralmønster. En orkan snurrer som en spiral. En skræmt flok rensdyr spreder sig i en spiral. DNA-molekylet er snoet i en dobbelt helix. Goethe kaldte spiralen "livets kurve".

Blandt vejkantens urter vokser en umærkelig plante - cikorie. Lad os se nærmere på det. Et skud er dannet fra hovedstammen. Det første blad var placeret lige der.

Ris. 13. Cikorie

Skuddet laver et kraftigt udkast ud i rummet, stopper, udløser et blad, men denne gang er det kortere end det første, laver igen et udkast ud i rummet, men med mindre kraft, udløser et blad af endnu mindre størrelse og skydes ud igen . Hvis den første emission tages som 100 enheder, så er den anden lig med 62 enheder, den tredje er 38, den fjerde er 24 osv. Længden af kronbladene er også underlagt den gyldne proportion. I at vokse og erobre plads, opretholdt planten visse proportioner. Impulserne fra dens vækst faldt gradvist i forhold til det gyldne snit.

Ris. 15. Fugleæg

Lovene om "gyldne" symmetri manifesteres i energiovergangene af elementarpartikler, i strukturen af nogle kemiske forbindelser, i planetariske og kosmiske systemer, i genstrukturer af levende organismer. Disse mønstre, som angivet ovenfor, eksisterer i strukturen af individuelle menneskelige organer og kroppen som helhed og manifesterer sig også i hjernens biorytmer og funktion og visuel perception.

Gyldne forhold og symmetri

Det gyldne snit kan ikke betragtes alene, separat, uden forbindelse med symmetri. Den store russiske krystallograf G.V. Wolf (1863...1925) anså det gyldne snit for at være et af symmetriens manifestationer.

Den gyldne opdeling er ikke en manifestation af asymmetri, noget modsat symmetri Ifølge moderne ideer er den gyldne opdeling asymmetrisk symmetri. Videnskaben om symmetri omfatter sådanne begreber som statisk og dynamisk symmetri. Statisk symmetri kendetegner fred og balance, mens dynamisk symmetri kendetegner bevægelse og vækst. I naturen er statisk symmetri således repræsenteret af strukturen af krystaller, og i kunsten kendetegner den fred, balance og ubevægelighed. Dynamisk symmetri udtrykker aktivitet, karakteriserer bevægelse, udvikling, rytme, det er bevis på liv. Statisk symmetri er karakteriseret ved lige store segmenter og lige værdier. Dynamisk symmetri er karakteriseret ved en stigning i segmenter eller deres fald, og det udtrykkes i værdierne af det gyldne snit i en stigende eller faldende serie.

18/04/2011 A. F. Afanasyev Opdateret 16/06/12

Dimensioner og proportioner er en af hovedopgaverne i søgningen efter et kunstnerisk billede af ethvert plastisk kunstværk. Det er klart, at spørgsmålet om størrelse afgøres under hensyntagen til rummet, hvor det vil blive placeret, og genstandene omkring det.

Når vi taler om proportioner (forholdet mellem dimensionelle værdier), tager vi hensyn til dem i formatet af et fladt billede (maleri, marquetry), i forholdet mellem de overordnede dimensioner (længde, højde, bredde) af en volumetrisk genstand, i forholdet mellem to objekter af et ensemble forskelligt i højden eller længden, i forholdet størrelserne af to klart synlige dele af det samme objekt osv.

I klassikerne inden for kunst i mange århundreder er en teknik til at konstruere proportioner blevet sporet, kaldet det gyldne snit eller det gyldne tal (dette udtryk blev introduceret af Leonardo da Vinci). Princippet om det gyldne snit, eller dynamisk symmetri, er, at "forholdet mellem to dele af en enkelt helhed er lig med forholdet mellem dens største del og helheden" (eller følgelig helheden til den større del). Matematisk er dette

tallet er udtrykt som - 1 ± 2?5 - hvilket giver 1,6180339... eller 0,6180339... I kunsten tages 1,62 som det gyldne tal, dvs. et tilnærmet udtryk for forholdet mellem en større værdi i forhold til dens mindre værdi.
Fra omtrentlig til mere nøjagtig kan denne sammenhæng udtrykkes: osv., hvor: 5+3=8, 8+5=13 osv. Eller: 2,2:3,3:5,5:8 ,8 osv. ., hvor 2,2+3,3-5,5 osv.

Grafisk kan det gyldne snit udtrykkes ved forholdet mellem segmenter opnået ved forskellige konstruktioner. Mere bekvemt, efter vores mening, er konstruktionen vist i fig. 169: Hvis du lægger dens korte side til diagonalen af en halv firkant, får du en værdi i forholdet mellem det gyldne tal og dets lange side.

Ris. 169. Geometrisk konstruktion af et rektangel i det gyldne snit 1,62: 1. Gyldent tal 1,62 i forhold til segmenter (a og b)

Ris. 170. Grafisk konstruktion af funktionen gyldne snit 1,12:1

Andel af to gyldne snit

skaber en visuel følelse af harmoni og balance. Der er et andet harmonisk forhold mellem to tilstødende mængder, udtrykt ved tallet 1,12. Det er en funktion af det gyldne tal: hvis du tager forskellen mellem to værdier af det gyldne snit, deler det også i det gyldne snit og lægger hver brøkdel til den mindre værdi af det oprindelige gyldne snit, får du et forhold på 1,12 (fig. 170). I denne relation er for eksempel det midterste element (hylden) tegnet i bogstaverne H, R, Z osv. i nogle skrifttyper er proportionerne mellem højde og bredde taget for brede bogstaver, denne relation findes også i naturen.

Det gyldne tal observeres i proportionerne af en harmonisk udviklet person (fig. 171): hovedets længde deler afstanden fra taljen til toppen af hovedet i det gyldne snit; knæskallen deler også afstanden fra taljen til fodsålen; spidsen af langfingeren på en udstrakt hånd deler hele højden af en person i den gyldne proportion; Forholdet mellem fingrenes phalanges er også et gyldent tal. Det samme fænomen observeres i andre naturstrukturer: i bløddyrs spiraler, i blomsterkroner osv.

Ris. 172. Gyldne proportioner af et udskåret geraniumblad (pelargonium). Konstruktion: 1) Ved hjælp af en skalagraf (se fig. 171) bygger vi? ABC,	Ris. 173. Fembladede og trebladede drueblade. Forholdet mellem længde og bredde er 1,12. Det gyldne snit er udtrykt

I fig. 172 og 173 viser konstruktionen af et mønster af et geranium (pelargonium) blad og et drueblad i proportionerne af gyldne tal 1,62 og 1,12. I et geraniumblad er konstruktionsgrundlaget to trekanter: ABC og CEF, hvor forholdet mellem højden og bunden af hver af dem er udtrykt med tallene 0,62 og 1,62, og afstandene mellem de tre par af de fjerneste punkter på bladet er ens: AB=CE=SF. Konstruktionen er angivet på tegningen. Designet af et sådant blad er typisk for geranier, som har lignende udskårne blade.

Det generaliserede platanblad (Fig. 173) har samme proportioner som druebladet, i forholdet 1,12, men den største andel af druebladet er dets længde, og platanbladets bredde er dets. Platanbladene har tre proportionale størrelser i forholdet 1,62. En sådan korrespondance i arkitektur kaldes en triade (for fire proportioner - tetrad og videre: pectad, hexode).

I fig. 174 viser en metode til at konstruere et ahornblad i proportionerne med det gyldne snit. Med et forhold mellem bredde og længde på 1,12 har den flere proportioner med tallet 1,62. Konstruktionen er baseret på to trapezoider, hvor forholdet mellem bundens højde og længde er udtrykt med et gyldent tal. Konstruktionen er vist på tegningen, og der er også givet muligheder for formen på et ahornblad.

I kunstværker anvender en kunstner eller billedhugger, bevidst eller ubevidst, som stoler på sit trænede øje, ofte størrelsesforholdet i det gyldne snit. Mens han arbejdede på en kopi af Kristi hoved (ifølge Michelangelo), bemærkede forfatteren af denne bog, at tilstødende krøller i hårstrå i deres størrelse afspejler forholdet mellem det gyldne snit og i deres form - den arkimedeiske spiral , det involvente. Læseren kan selv se, at i en række malerier af klassiske kunstnere er den centrale figur placeret fra siderne af formatet i afstande, der danner andelen af det gyldne snit (f.eks. placeringen af hovedet både lodret og vandret i V . Borovikovskys portræt af M. I. Lopukhina langs hovedets lodrette midte i portrættet af A. S. Pushkin af O. Kiprensky og andre). Det samme kan nogle gange ses med placeringen af horisontlinjen (F. Vasiliev: "Wet Meadow", I. Levitan: "March", "Aftenklokker").

Selvfølgelig er denne regel ikke altid en løsning på problemet med komposition, og den bør ikke erstatte intuitionen af rytme og proportioner i kunstnerens arbejde. Det er for eksempel kendt, at nogle kunstnere brugte forholdet mellem "musikalske numre" til deres kompositioner: tredjedele, fjerdedele, femtedele (2:3, 3:4 osv.). Kunsthistorikere bemærker, ikke uden grund, at designet af ethvert klassisk arkitektonisk monument eller skulptur, hvis det ønskes, kan justeres til ethvert talforhold. Vores opgave i dette tilfælde, og især opgaven for en begyndende kunstner eller træskærer, er at lære at bygge en bevidst komposition af sit arbejde, ikke efter tilfældige forhold, men efter harmoniske proportioner, bevist ved praksis. Disse harmoniske proportioner skal identificeres og understreges af produktets design og form.

Som et eksempel på at finde en harmonisk proportion kan du overveje at bestemme størrelsen af rammen til arbejdet vist i fig. 175. Formatet på billedet, der er placeret i det, er indstillet i forholdet til det gyldne snit. De ydre dimensioner af rammen med samme bredde af dens sider vil ikke give den gyldne proportion. Derfor antages forholdet mellem dets længde og bredde (ЗЗ0X220) at være lidt mindre end det gyldne tal, dvs. lig med 1,5, og bredden af de tværgående led øges tilsvarende sammenlignet med sidesiderne. Dette gjorde det muligt at nå frem til rammens dimensioner i lyset (til maleriet), hvilket gav proportionerne af det gyldne snit. Forholdet mellem bredden af rammens nederste led og bredden af dets øvre led justeres til et andet gyldent tal, dvs. 1,12. Også forholdet mellem bredden af det nederste led og bredden af sideleddet (94:63) er tæt på 1,5 (i figuren - muligheden til venstre).

Lad os nu lave et eksperiment: vi øger den lange side af rammen til 366 mm på grund af bredden af det nederste led (det vil være 130 mm) (på billedet - muligheden til højre), hvilket ikke kun bringer forholdet tættere på, men også på guldet
nummer 1,62 i stedet for 1,12. Resultatet er en ny sammensætning, der kan bruges i et andet produkt, men til stellet er der et ønske om at gøre det kortere. Dæk dens nederste del med en lineal så meget, at øjet "accepterer" den resulterende andel, og vi får dens længde på 330 mm, dvs. vi nærmer os den originale version.

Altså at analysere forskellige muligheder(der kan være andre end de to diskuterede), standser mesteren ved den eneste mulige løsning fra sit synspunkt.

Det er bedst at anvende princippet om det gyldne forhold på jagt efter den ønskede sammensætning ved hjælp af en simpel enhed, hvis grundlæggende designdiagram er vist i fig. 176. To linealer af denne enhed kan, roterende omkring hængsel B, danne en vilkårlig vinkel. Hvis vi for en vinkelløsning deler afstanden AC i det gyldne snit med et punkt K og monterer yderligere to linealer: KM\\BC og KE\\AB med hængsler i punkterne K, E og M, så for enhver løsning AC denne afstand vil blive divideret med punktet K i forhold til det gyldne snit.

Denne harmoni er slående i sin skala...

Hej venner!

Har du hørt noget om Divine Harmony eller The Golden Ratio? Har du nogensinde tænkt over, hvorfor noget virker ideelt og smukt for os, men noget frastøder os?

Hvis ikke, så er du med succes kommet til denne artikel, for i den vil vi diskutere det gyldne snit, finde ud af, hvad det er, hvordan det ser ud i naturen og hos mennesker. Lad os tale om dens principper, finde ud af, hvad Fibonacci-serien er og meget mere, inklusive konceptet med det gyldne rektangel og den gyldne spiral.

Ja, artiklen har en masse billeder, formler, det gyldne snit er jo også matematik. Men alt er beskrevet nok i et enkelt sprog, klart. Og i slutningen af artiklen finder du ud af, hvorfor alle elsker katte så højt =)

Hvad er det gyldne snit?

For at sige det enkelt er det gyldne snit en vis proportionsregel, der skaber harmoni?. Det vil sige, hvis vi ikke overtræder reglerne for disse proportioner, får vi en meget harmonisk sammensætning.

Den mest omfattende definition af det gyldne snit siger, at den mindre del er til den større, som den større er til helheden.

Men udover dette er det gyldne snit matematik: det har en bestemt formel og et bestemt tal. Mange matematikere betragter det generelt som formlen for guddommelig harmoni og kalder det "asymmetrisk symmetri".

Det gyldne snit har nået vores samtid siden tiden Det gamle Grækenland Der er dog en opfattelse af, at grækerne selv allerede havde set det gyldne snit blandt egypterne. Fordi mange kunstværker fra det gamle Egypten er tydeligt bygget i henhold til kanonerne i denne andel.

Det menes, at Pythagoras var den første til at introducere begrebet det gyldne snit. Euklids værker har overlevet den dag i dag (han brugte det gyldne snit til at bygge regulære femkanter, hvorfor en sådan femkant kaldes "gyldne"), og nummeret på det gyldne snit er opkaldt efter den antikke græske arkitekt Phidias. Det vil sige, at dette er vores nummer "phi" (betegnet græsk bogstavφ), og det er lig med 1,6180339887498948482... Denne værdi er naturligvis afrundet: φ = 1,618 eller φ = 1,62, og i procent ser det gyldne snit ud som 62% og 38%.

Hvad er unikt ved denne andel (og tro mig, det er den)? Lad os først prøve at finde ud af det ved hjælp af et eksempel på et segment. Så vi tager et segment og deler det op i ulige dele på en sådan måde, at dets mindre del relaterer til den større, som den største del relaterer til helheden. Jeg forstår, det er ikke meget klart endnu, hvad der er hvad, jeg vil prøve at illustrere det mere tydeligt ved hjælp af eksemplet med segmenter:

Så vi tager et segment og deler det i to andre, så det mindre segment a relaterer til det større segment b, ligesom segmentet b relaterer til helheden, altså hele linjen (a + b). Matematisk ser det sådan ud:

Denne regel virker i det uendelige, du kan opdele segmenter, så længe du vil. Og se, hvor enkelt det er. Det vigtigste er at forstå én gang, og det er det.

Men lad os nu se på et mere komplekst eksempel, som kommer på tværs meget ofte, da det gyldne snit også er repræsenteret i form af et gyldent rektangel (hvilket aspektforhold er φ = 1,62). Dette er et meget interessant rektangel: Hvis vi "skærer" en firkant fra det, får vi igen et gyldent rektangel. Og så videre i det uendelige. Se:

Men matematik ville ikke være matematik, hvis den ikke havde formler. Så venner, nu vil det "gøre lidt ondt". Jeg gemte løsningen til det gyldne snit under en spoiler, der er mange formler, men jeg vil ikke forlade artiklen uden dem.

Fibonacci-serien og det gyldne snit

Vi fortsætter med at skabe og observere matematikkens magi og det gyldne snit. I middelalderen var der sådan en kammerat - Fibonacci (eller Fibonacci, de staver det forskelligt overalt). Han elskede matematik og problemer, han havde også et interessant problem med reproduktion af kaniner =) Men det er ikke meningen. Han opdagede en talrække, tallene i den kaldes "Fibonacci-tal".

Selve sekvensen ser sådan ud:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233... og så videre i det uendelige.

Med andre ord er Fibonacci-sekvensen en talfølge, hvor hvert efterfølgende tal er lig med summen af de to foregående.

Hvad har det gyldne snit med det at gøre? Du vil se nu.

Fibonacci spiral

For at se og mærke hele sammenhængen mellem Fibonacci-talrækken og det gyldne snit, skal du se på formlerne igen.

Med andre ord, fra det 9. led i Fibonacci-sekvensen begynder vi at opnå værdierne af det gyldne snit. Og hvis vi visualiserer hele dette billede, vil vi se, hvordan Fibonacci-sekvensen skaber rektangler tættere og tættere på det gyldne rektangel. Dette er forbindelsen.

Lad os nu tale om Fibonacci-spiralen, den kaldes også "den gyldne spiral".

Den gyldne spiral er en logaritmisk spiral, hvis vækstkoefficient er φ4, hvor φ er det gyldne snit.

Generelt set fra et matematisk synspunkt er det gyldne snit et ideelt forhold. Men dette er kun begyndelsen på hendes mirakler. Næsten hele verden er underlagt principperne om det gyldne snit, naturen selv skabte denne andel. Selv esoterikere ser talkraft i det. Men vi vil bestemt ikke tale om dette i denne artikel, så for ikke at gå glip af noget, kan du abonnere på webstedsopdateringer.

Gyldne snit i naturen, mennesket, kunsten

Inden vi begynder, vil jeg gerne afklare en række unøjagtigheder. For det første er selve definitionen af det gyldne snit i denne sammenhæng ikke helt korrekt. Faktum er, at selve begrebet "sektion" er et geometrisk udtryk, der altid betegner et plan, men ikke en sekvens af Fibonacci-tal.

Og for det andet er talrækken og forholdet mellem den ene og den anden selvfølgelig blevet til en slags stencil, der kan påføres alt, hvad der virker mistænkeligt, og man kan være meget glad, når der er tilfældigheder, men alligevel , sund fornuft bør ikke gå tabt.

Men "alt blev blandet sammen i vort rige", og det ene blev synonymt med det andet. Så generelt er meningen ikke tabt af dette. Lad os nu gå i gang.

Du vil blive overrasket, men det gyldne snit, eller rettere proportionerne så tæt som muligt på det, kan ses næsten overalt, selv i spejlet. Tror du mig ikke? Lad os starte med dette.

Du ved, da jeg lærte at tegne, forklarede de os, hvor nemmere det er at bygge en persons ansigt, hans krop og så videre. Alt skal beregnes i forhold til noget andet.

Alt, absolut alt er proportionalt: knogler, vores fingre, håndflader, afstande i ansigtet, afstanden af strakte arme i forhold til kroppen og så videre. Men selv det er ikke alt indre struktur af vores krop, selv den, er lig med eller næsten lig med formlen for det gyldne snit. Her er afstande og proportioner:

fra skuldre til krone til hovedstørrelse = 1:1.618

fra navlen til kronen til segmentet fra skuldrene til kronen = 1:1.618

fra navle til knæ og fra knæ til fødder = 1:1,618

fra hage til yderpunkt overlæbe og fra den til næsen = 1:1,618

Er det ikke fantastisk!? Harmoni i ren form, både inde og ude. Og det er derfor, på et eller andet underbevidst plan, nogle mennesker ikke virker smukke for os, selvom de har en stærk, tonet krop, fløjlsblød hud, smukt hår, øjne og ting og alt muligt andet. Men alligevel, den mindste krænkelse af kroppens proportioner, og udseendet "gør allerede lidt ondt i øjnene."

Kort sagt, jo smukkere en person ser ud for os, jo tættere er hans proportioner på ideelle. Og dette er i øvrigt ikke kun for menneskelige legeme kan tilskrives.

Gyldne snit i naturen og dens fænomener

Et klassisk eksempel på det gyldne snit i naturen er skallen af bløddyret Nautilus pompilius og ammonitten. Men dette er ikke alt, der er mange flere eksempler:

i det menneskelige øres krøller kan vi se en gylden spiral;

det samme (eller tæt på det) i spiralerne, langs hvilke galakser snoer sig;

og i DNA-molekylet;

Ifølge Fibonacci-serien er midten af en solsikke arrangeret, kogler vokser, midten af blomster, en ananas og mange andre frugter.

Venner, der er så mange eksempler, at jeg bare vil efterlade videoen her (den er lige nedenfor) for ikke at overbelaste artiklen med tekst. Fordi hvis du graver i dette emne, kan du dykke ned i sådan en jungle: selv de gamle grækere beviste, at universet og i det hele taget hele rummet er planlagt efter princippet om det gyldne snit.

Du vil blive overrasket, men disse regler kan findes selv i lyd. Se:

Det højeste lydpunkt, der forårsager smerte og ubehag i vores ører, er 130 decibel.

Vi dividerer forholdet 130 med det gyldne snit tallet φ = 1,62 og vi får 80 decibel - lyden af et menneskeskrig.

Vi fortsætter med at dividere proportionalt og får, lad os sige, den normale volumen af menneskelig tale: 80 / φ = 50 decibel.

Nå, den sidste lyd, vi får takket være formlen, er en behagelig hviskende lyd = 2.618.

Ved hjælp af dette princip er det muligt at bestemme det optimale-komfortable, minimum og maksimum antal temperatur, tryk og fugtighed. Jeg har ikke testet det, og jeg ved ikke, hvor sand denne teori er, men du må være enig, det lyder imponerende.

Man kan læse den højeste skønhed og harmoni i absolut alt levende og ikke-levende.

Det vigtigste er ikke at lade sig rive med af dette, for hvis vi vil se noget i noget, vil vi se det, selvom det ikke er der. For eksempel var jeg opmærksom på designet af PS4 og så det gyldne snit der =) Denne konsol er dog så cool, at jeg ikke ville blive overrasket, hvis designeren virkelig gjorde noget smart der.

Det gyldne snit i kunsten

Dette er også et meget stort og omfattende emne, som er værd at overveje separat. Her vil jeg blot bemærke et par grundlæggende punkter. Det mest bemærkelsesværdige er, at mange kunstværker og arkitektoniske mesterværker fra antikken (og ikke kun) blev lavet efter principperne for det gyldne snit.

Egyptiske og Maya-pyramider, Notre Dame de Paris, græske Parthenon og så videre.

I de musikalske værker af Mozart, Chopin, Schubert, Bach og andre.

I maleri (dette er klart synligt): alle de mest berømte malerier af berømte kunstnere er lavet under hensyntagen til reglerne for det gyldne snit.

Disse principper kan findes i Pushkins digte og i busten af den smukke Nefertiti.

Allerede nu bruges reglerne for det gyldne snit for eksempel i fotografering. Nå, og selvfølgelig i alle andre kunstarter, inklusive film og design.

Gyldne Fibonacci katte

Og endelig om katte! Har du nogensinde undret dig over, hvorfor alle elsker katte så meget? De har overtaget internettet! Katte er overalt, og det er vidunderligt =)

Og hele pointen er, at katte er perfekte! Tror du mig ikke? Nu vil jeg bevise det matematisk for dig!