Multiplikation af heltal, regler, eksempler. Multiplikation eller produkt af naturlige tal, deres egenskaber

En sum er resultatet af addition, og ordet kan ikke kun referere til tal.

Forskellen er, hvad der opnås efter at trække tal fra.

Produkt er det, der opnås efter multiplikation, ordet har en anden betydning.

Kvotienten er, hvad der opnås efter division.

jeg. Matematiske begreber SUM, FORSKEL, PRODUKT, KVARTAL hænger sammen med matematiske termer ADDITION, SUBTRAKTION, MULTIPLIKATION, DIVISION.

Alle definitioner er givet her på sættet naturlige tal.

Hvert par tal tildeles et nummer kaldet deres BELØB.

Summen består af lige så mange enheder, som der er i tal (kommandoer) fra et givet par.

SUM er resultatet af at tilføje talleddene.

Subtraktion er den omvendte operation af addition. Det består i at finde et af led ud fra summen og det andet led. Denne sum kaldes minuend, det givne led kaldes subtrahend, og det nødvendige led kaldes MED FORSKEL.

FORSKEL- dette er det tal, der er resultatet af subtraktion, resten af ​​subtraktionen.

Hvert talpar kan associeres med et tal, der består af lige så mange enheder, som er indeholdt i det første tal fra parret, taget lige så mange gange, som der er enheder indeholdt i det andet tal fra parret. Dette tal, der på denne måde svarer til et talpar (de kaldes faktorer), kaldes ARBEJDE.

ARBEJDE er resultatet af multiplikation.

Division er den omvendte operation af multiplikation.

Division er at finde en af ​​faktorerne fra produktet og den anden faktor. Dette produkt kaldes deleligt, denne faktor kaldes en divisor, og den nødvendige faktor er PRIVAT, altså det tal, der opnås ved at dividere et tal med et andet.

II. ANDRE BETYDNINGER AF ORDENE SUM, FORSKEL, PRODUKT, KVARTAL.

Alle ord, der bruges som matematiske begreber, kan have andre leksikalske betydninger.

SUM V figurativ betydning betyder helheden Total hvad som helst.

For eksempel. En lærers professionalisme ligger i mængden af ​​viden, færdigheder og evner, som han overfører til sine elever. Manglen på den nødvendige mængde penge tvang mig til at opgive købet.

FORSKEL har betydningen af ​​forskel, ulighed, forskel i noget.

For eksempel. Forskelle i interesser er meget værre end forskelle i alder. Venskab kan begynde med ideen om fælles synspunkter, og fjendskab kan begynde med forskellige synspunkter.

ARBEJDE betyder noget, der er produceret i arbejdsprocessen, skabelsen af ​​noget, et produkt af arbejde, kreativitet, kunst osv.

For eksempel. Høj kunstværk får en person til at tænke over sit liv. Ved en konkurrence for unge pianister spillede drengen et stykke af P.I. Tjajkovskij. Denne æske er et rigtigt kunstværk.

PRIVAT- dette er noget personligt, personligt, der kun tilhører én person, det er hans ejendom, hans og kun hans ejendom. Og det være sig personlige tanker, det være sig ejendom eller noget andet, men det tilhører kun ham, en privatperson.

For eksempel. Min ven gav mig notesbog med påskriften Privat. Er det godt at sætte det private i kontrast til det offentlige?

Faktisk afspejler alle fire ord i spørgsmålet, nemlig sum, forskel, produkt og kvotient, fire grundlæggende matematiske operationer, som er det grundlæggende. Det er med at lære disse handlinger, at den fascinerende rejse ind i matematikkens verden begynder. Dermed,

Sum, forskel, produkt, kvotient - dette er resultatet af matematiske operationer, som vi alle begyndte vores bekendtskab med matematik. I livet bruger vi også disse ord, men vi lægger mere matematisk betydning i dem, selvom vi ikke kan tilføje tal. Et værk kan også være kunstnerisk. Dette er en helt anden betydning af ordet, som vi bruger i livet.

Alle fire af disse termer bruges primært i matematik.

En sum er, når to tal lægges sammen;

Forskel er subtraktionen af ​​et tal fra et andet;

En kvotient er divisionen af ​​et tal med et andet;

Et produkt er multiplikationen af ​​et tal med et andet.

Kvotienten er resultatet af at dividere tal, produktet er resultatet af at gange tal, summen er resultatet af at lægge tal sammen, forskellen er resultatet af subtraktion. Disse er grundlæggende matematiske operationer, der kan udføres med tal.

Det er matematiske begreber.

Summen er resultatet af addition. Tal, der tilføjes, kaldes den første addend og den anden addend. Det er angivet med følgende tegn: +.

Forskellen er resultatet af subtraktionen. De tal, der trækkes fra, kaldes minuend (den der er større) og subtrahenden (den der er mindre). Angivet med følgende tegn: -.

Et produkt er resultatet af multiplikation. De tal, der ganges, kaldes den første faktor og den anden faktor. Det er angivet med følgende tegn: *.

Kvotienten er resultatet af division. Tallene der deler kaldes dividenden (den der er større), divisoren (den der er mindre). Angivet med dette tegn: :.

Alle disse begreber undervises i folkeskolen.

I matematik er der fire simple operationer, der kan anvendes på to tal og få følgende resultater:

summen er resultatet af at lægge tal sammen,

forskellen er resultatet af at trække et tal fra et andet,

produkt er resultatet af at gange tal,

kvotienten er allerede resultatet af at dividere tal.

I matematik er en sum et tal, der fås ved at lægge et tal til et andet. Difference er det modsatte tal af addition, det er når det trækkes fra mere mindre. Et produkt er et tal, der opstår ved at gange et tal med et andet. Forskellen er det modsatte tal til produktet. Vi får forskellen sådan her: divider et tal med et andet.

Jeg er matematiker af uddannelse, speciale: matematiklærer. Hun arbejdede hele sit liv som matematiklærer på et pædagogisk universitet.

Det er nødvendigt at foretage en reservation. I fremtiden vil vi tale om sum, forskel, produkt, kvotient tal.

Svarene på disse spørgsmål volder, selvom de er enkle, vanskeligheder for eleverne. For at kunne overveje dette generelle emne mere detaljeret, gør jeg dig opmærksom på det brugbart materiale på hende. Sedlen hedder Matematik for blondiner.

Jeg kunne godt lide studiemetoden.

Der stilles et provokerende spørgsmål:

Er forskel divideret eller ganget?

De forsøger at interessere (ikke en eneste foreslået version er korrekt!)))

Så svarer de:

Forskellen er at tage væk. Resultatet af subtraktionen kaldes forskellen.

På samme måde får du:

Summen skal summeres. Resultatet af addition kaldes summen.

Produktet er multiplikation. Resultatet af multiplikation kaldes et produkt.

Kvotienten er en division. Resultatet af division kaldes kvotienten.

Så i et enkelt sprog er forklaret rigtige begreber sum, forskel, produkt og kvotient i matematik. Kun sætninger er skrevet lidt forenklet: forskel er at trække fra, sum er at addere, produkt er at gange, kvotient er at dividere. For at være præcis, så siger de det ikke.

Så, resultatet af at tilføje tal(vilkår) - disse er deres sum, resultatet af at trække tal fra(minuend og subtrahend) - dette er forskel, resultatet af at gange tal(faktorer) er arbejde, A resultatet af at dividere tal(deles med divisor), og divisor må ikke være lig med nul, ellers kan divisionen ikke udføres, der er privat disse tal.

Jeg tænker ikke på andre betydninger af disse ord; matematik overskygger alt.)))

Ordene Sum, Difference, Product og Partial er meget velkendte for elever på skoler og andre uddannelsesinstitutioner lære dem disse definitioner i hver matematiklektion.

1) Sum

En sum er resultatet opnået efter at have tilføjet (+) to eller flere tal.

Beløbet er også den endelige pris for produktet (det beløb, der skal betales), den samlede viden, indtryk og meget mere.

2) Forskel

I matematik betyder det resultatet af at trække et tal (-) fra.

Ordet forskel kan også bruges som et ord for forskellen mellem noget. For eksempel forskelle i meninger, forskelle i synspunkter, forskelle i indikatorer osv.

3) Arbejde

Produktet er resultatet opnået efter multiplikation af tal (*).

Ud over matematik bruges dette ord også til at betegne resultatet kreativ proces(kunstværk), som et udsagnsord for at fremstille.

4) Ærlig

Dette ord betegner resultatet af at dividere to tal (:).

Vi kan også høre ordet privat, når det betegner én ejers ejerskab af noget (privat person, privat ejendom, privat virksomhed).

Lad os se på begrebet multiplikation ved hjælp af et eksempel:

Turisterne var på vejen i tre dage. Hver dag gik de den samme sti på 4200 m. Hvor lang afstand tilbagelagde de på tre dage? Løs problemet på to måder.

Løsning:
Lad os overveje problemet i detaljer.

På den første dag gik turister 4200m. På den anden dag gik turister den samme sti 4200m og på den tredje dag - 4200m. Lad os skrive det i matematisk sprog:
4200+4200+4200=12600m.
Vi ser et mønster af tallet 4200, der gentages tre gange, derfor kan summen erstattes af multiplikation:
4200⋅3=12600m.
Svar: turister gik 12.600 meter på tre dage.

Lad os se på et eksempel:

For at undgå at skrive en lang post, kan vi skrive den i form af multiplikation. Tallet 2 gentages 11 gange, så et eksempel med multiplikation ville se sådan ud:
2⋅11=22

Sammenfatte. Hvad er multiplikation?

Multiplikation– dette er en handling, der erstatter gentagelsen af ​​udtrykket m n gange.

Notationen m⋅n og resultatet af dette udtryk kaldes produkt af tal, og tallene m og n kaldes multiplikatorer.

Lad os se på dette med et eksempel:
7⋅12=84
Udtrykket 7⋅12 og resultatet 84 kaldes produkt af tal.
Tallene 7 og 12 kaldes multiplikatorer.

Der er flere multiplikationslove i matematik. Lad os se på dem:

Kommutativ lov om multiplikation.

Lad os overveje problemet:

Vi gav to æbler til 5 af vores venner. Matematisk vil posten se således ud: 2⋅5.
Eller vi gav 5 æbler til to af vores venner. Matematisk vil posten se således ud: 5⋅2.
I første og andet tilfælde vil vi fordele det samme antal æbler svarende til 10 stk.

Hvis vi ganger 2⋅5=10 og 5⋅2=10, ændres resultatet ikke.

Egenskab for den kommutative multiplikationslov:
Ændring af placeringen af ​​faktorerne ændrer ikke produktet.
m⋅ n=n⋅m

Kombinativ lov om multiplikation.

Lad os se på et eksempel:

(2⋅3)⋅4=6⋅4=24 eller 2⋅(3⋅4)=2⋅12=24 får vi,
(2⋅3)⋅4=2⋅(3⋅4)
(-en⋅ b) ⋅ c= -en⋅(b⋅ c)

Den associative multiplikationslovs egenskab:
For at gange et tal med produktet af to tal, kan du først gange det med den første faktor og derefter gange det resulterende produkt med det andet.

Ved at bytte om på flere faktorer og sætte dem i parentes ændres resultatet eller produktet ikke.

Disse love gælder for alle naturlige tal.

Multiplicer ethvert naturligt tal med et.

Lad os se på et eksempel:
7⋅1=7 eller 1⋅7=7
-en⋅1=a eller 1⋅-en= -en
Når ethvert naturligt tal ganges med et, vil produktet altid være det samme tal.

Multiplicer ethvert naturligt tal med nul.

6⋅0=0 eller 0⋅6=0
-en⋅0=0 eller 0⋅-en=0
Når ethvert naturligt tal ganges med nul, vil produktet være lig med nul.

Spørgsmål til emnet "Multiplikation":

Hvad er et produkt af tal?
Svar: produktet af tal eller multiplikationen af ​​tal er udtrykket m⋅n, hvor m er et led, og n er antallet af gentagelser af dette led.

Hvad bruges multiplikation til?
Svar: for ikke at skrive lang tilføjelse af tal, men for at skrive forkortet. For eksempel 3+3+3+3+3+3=3⋅6=18

Hvad er resultatet af multiplikation?
Svar: meningen med arbejdet.

Hvad betyder multiplikation 3⋅5?
Svar: 3⋅5=5+5+5=3+3+3+3+3=15

Hvis du gange en million med nul, hvad er produktet så lig med?
Svar: 0

Eksempel #1:
Erstat summen med produktet: a) 12+12+12+12+12 b)3+3+3+3+3+3+3+3+3+3
Svar: a) 12⋅5=60 b) 3⋅9=27

Eksempel #2:
Skriv det ned som et produkt: a) a+a+a+a b) c+c+c+c+c+c+c
Løsning:
a)a+a+a+a=4⋅a
b) s+s+s+s+s+s+s=7⋅s

Opgave #1:
Mor købte 3 æsker chokolade. Hver æske indeholder 8 slik. Hvor mange slik købte mor?
Løsning:
Der er 8 slik i en æske, og vi har 3 sådanne æsker.
8+8+8=8⋅3=24 slik
Svar: 24 slik.

Opgave #2:
Kunstlæreren fortalte sine otte elever, at de skulle forberede syv blyanter til hver lektion. Hvor mange blyanter havde børnene i alt?
Løsning:
Du kan opsummere problemet. Den første elev havde 7 blyanter, den anden elev havde 7 blyanter osv.
7+7+7+7+7+7+7+7=56
Optagelsen viste sig at være ubelejlig og lang, lad os erstatte summen med produktet.
7⋅8=56
Svaret er 56 blyanter.

Opgave 1.2
Givet to heltal X og T. Hvis de har forskellige fortegn, så tildel X værdien af ​​produktet af disse tal, og T værdien af ​​deres absolutte forskel. Hvis tallene har de samme fortegn, så tildel X værdien af ​​forskellen modulo de oprindelige tal, og T værdien af ​​produktet af disse tal. Vis de nye X- og T-værdier på skærmen.

Opgaven er heller ikke svær. "Misforståelser" kan kun opstå, hvis du har glemt, hvad en modulforskel er (håber du stadig husker, hvad produktet af to heltal er))).

Modulo forskel på to tal

Modulo-forskellen af ​​to heltal (selvom det ikke nødvendigvis er heltal - det er ligegyldigt, det er bare, at i vores problem er tallene heltal) - dette, forenklet sagt, er, når resultatet af beregningen er modulet af forskellen på to tal.

Det vil sige, først udføres operationen med at trække et tal fra et andet. Og derefter beregnes modulet for resultatet af denne operation.

Matematisk kan det skrives sådan:

Hvis nogen har glemt, hvad et modul er, eller hvordan man beregner det i Pascal, så se.

Algoritme til bestemmelse af tegn på to tal

Løsningen på problemet som helhed er ret enkel. Det eneste, der kan forårsage vanskeligheder for begyndere, er at identificere tegnene på to tal. Det vil sige, at vi skal besvare spørgsmålet: hvordan finder man ud af, om tal har de samme tegn eller forskellige.

For det første foreslår det en efter en sammenligning af tal med nul. Dette er acceptabelt. Men kildekoden vil være ret stor. Derfor er det mere korrekt at bruge denne algoritme:

1. Gang tallene med hinanden
2. Hvis resultatet er mindre end nul, så har tallene forskellige fortegn
3. Hvis resultatet er nul eller større end nul, så har tallene de samme fortegn

Jeg implementerede denne algoritme som en separat . Og selve programmet blev som vist i eksemplerne i Pascal og C++ nedenfor.

Løsning af opgave 1.2 i Pascal program kontrolnumre; var A, X, T: heltal; //********************************************* **************** // Kontrollerer om tallene N1 og N2 har samme fortegn. Hvis ja, returnerer // TRUE, ellers - FALSE //**************************************** * **************************** funktion ZnakNumbers(N1, N2: heltal) : boolesk; begynde := (N1 * N2) >= 0; ende; //********************************************* **************** // HOVEDPROGRAM //****************************** ************************************ start Write("X = "); LæsLn(X); Skriv("T = "); LæsLn(T); hvis ZnakNumbers(X, T) så //Hvis tallene har samme fortegn begynder A:= (X - T); //Få forskellen modulo de oprindelige tal T:= X * T; end else //Hvis tallene har forskellige fortegn, begynder A:= X * T; T:= Abs(X-T); ende;

X:= A; //Skriv værdien af ​​A ind i X WriteLn("X = ", X); //Output X WriteLn("T = ", T); //Output T WriteLn("Slutten. Tryk ENTER..."); ReadLn; ende.#include #include ved hjælp af navneområde std; int A, X, T; //********************************************* **************** // Kontrollerer om tallene N1 og N2 har samme fortegn. Hvis ja, returnerer // TRUE, ellers - FALSE //**************************************** * **************************** bool ZnakNumbers(int N1, int N2) ( return ((N1 * N2) >= 0); ) //********************************************* ****** ****************** // HOVEDPROGRAM //*********************** ****** ********************************************** int main( int argc, char *argv) ( cout > X; cout > T; if (ZnakNumbers(X, T)) //Hvis tallene har de samme fortegn ( A = abs(X - T); //Hent forskellen modulo de oprindelige tal T = X * T ) else // Hvis tallene har forskellige fortegn ( A = X * T; T = abs(X - T); ) X = A; //Skriv værdien af ​​A cout i X

Optimering

Det her et simpelt program Du kan forenkle det lidt mere, hvis du ikke bruger funktionen og omarbejder programmets kildekode lidt. Dette vil reducere det samlede antal linjer med kildekode en smule. Sådan gør du - tænk selv.

Hvis en koncertsal er oplyst af 3 lysekroner med hver 25 pærer, så vil det samlede antal pærer i disse lysekroner være 25 + 25 + 25, det vil sige 75.

Summen, hvor alle led er lig med hinanden, skrives kortere: i stedet for 25 + 25 + 25 skrives 25 3. Det betyder 25 3 = 75 (fig. 43). Nummeret 75 kaldes arbejde numrene 25 og 3, og numrene 25 og 3 kaldes multiplikatorer.

Ris. 43. Produkt af nummer 25 og 3

At gange tallet m med det naturlige tal n betyder at finde summen af ​​n led, som hver er lig med m.

Udtrykket m n og værdien af ​​dette udtryk kaldes arbejde talmOgn. De tal, der ganges, kaldes multiplikatorer. De der. m og n er faktorer.

Produkterne 7 4 og 4 7 er lig med det samme tal 28 (fig. 44).

Ris. 44. Produkt 7 4 = 4 7

1. Produktet af to tal ændres ikke, når faktorerne omarrangeres.

kommutativ

-en × b = b × -en .

Produkterne (5 3) 2 = 15 2 og 5 (3 2) = 5 6 har samme værdi 30. Det betyder 5 (3 2) = (5 3) 2 (Fig. 45).

Ris. 45. Produkt (5 3) 2 = 5 (3 2)

2. For at gange et tal med produktet af to tal, kan du først gange det med den første faktor og derefter gange det resulterende produkt med den anden faktor.

Denne egenskab ved multiplikation kaldes associativ. Ved hjælp af bogstaver skrives det således:

A (bc) = (abMed).

Summen af ​​n led, hver lig med 1, er lig med n. Derfor er ligheden 1 n = n sand.

Summen af ​​n led, som hver er lig nul, er lig nul. Derfor er ligheden 0 n = 0 sand.

For at den kommutative egenskab ved multiplikation skal være sand for n = 1 og n = 0, er det aftalt, at m 1 = m og m 0 = 0.

Multiplikationstegnet skrives normalt ikke før alfabetiske faktorer: i stedet for 8 x skriv 8 x, i stedet for ENb skrive ENb.

Multiplikationstegnet er også udeladt før parentesen. For eksempel, i stedet for 2 ( et +b) skriv 2 (a+b) , og i stedet for ( x+ 2) (y + 3) skriv (x + 2) (y + 3).

I stedet for ( ab) med skriv abc.

Når der ikke er nogen parentes i produktnotationen, udføres multiplikationen i rækkefølge fra venstre mod højre.

Værkerne læses, og hver faktor nævnes genitiv kasus. For eksempel:

1) 175 60 er produktet af et hundrede femoghalvfjerds og tres;

2) 80 (x+ 1 7) – produkt af r.p. r.p.

firs og summen af ​​x og sytten

Lad os løse problemet.

Hvor mange trecifrede tal (Fig. 46) kan laves ud fra tallene 2, 4, 6, 8, hvis tallene i tallet ikke gentages?

Løsning.

Det første ciffer i et tal kan være et hvilket som helst af fire givet tal, det andet – nogen af tre andre, og den tredje – nogen af to de resterende. Det viser sig:

Ris. 46. ​​Til problemet med at sammensætte trecifrede tal

I alt kan du ud fra disse tal lave 4 3 2 = 24 trecifrede tal.

Lad os løse problemet.

Selskabets bestyrelse består af 5 personer. Bestyrelsen skal blandt sine medlemmer vælge en formand og næstformand. På hvor mange måder kan dette gøres?

Løsning.

En af 5 personer kan vælges til formand for virksomheden:

Præsidenten:

Efter at præsidenten er valgt, kan ethvert af de fire resterende bestyrelsesmedlemmer vælges som næstformand (fig. 47):

	Præsidenten: Vicepræsident:

Ris. 47. Om valgproblemet

Det betyder, at der er fem måder at vælge en præsident på, og for hver valgt præsident er der fire måder at vælge en vicepræsident på. Derfor, samlet antal Antallet af måder at vælge virksomhedens præsident og vicepræsident på er: 5 4 = 20 (se fig. 47).

Lad os løse et andet problem.

Der er fire veje, der fører fra landsbyen Anikeevo til landsbyen Bolshovo, og tre veje fra landsbyen Bolshovo til landsbyen Vinogradovo (fig. 48). På hvor mange måder kan du komme fra Anikeev til Vinogradovo gennem landsbyen Bolshevo?

Ris. 48. Om problemet med veje

Løsning.

Kommer man fra A til B ad 1. vej, så er der tre måder at fortsætte turen på (fig. 49).

Ris. 49. Stimuligheder

På samme måde får vi tre måder at fortsætte rejsen på, idet vi begynder at komme ad 2., 3. og 4. vej. Det betyder, at der i alt er 4 3 = 12 måder at komme fra Anikeev til Vinogradov på.

Lad os løse endnu et problem.

En familie bestående af en bedstemor, far, mor, datter og søn fik 5 forskellige kopper. På hvor mange måder kan kopper deles mellem familiemedlemmer?

Løsning. Det første familiemedlem (for eksempel bedstemor) har 5 valg, det næste (lad det være far) har 4 valg. Den næste (for eksempel mor) vil vælge mellem 3 kopper, den næste fra to, og den sidste får en resterende kop. Lad os vise disse metoder i diagrammet (fig. 50).

Ris. 50. Skema til løsning af problemet

Vi fandt ud af, at for hvert valg af en kop af bedstemoderen svarer der fire mulige valg af faderen, dvs. kun 5 4 måder. Efter far har valgt en kop, har mor tre valg, datter har to, søn har en, dvs. kun 3 2 1 måder. Til sidst finder vi ud af, at for at løse problemet skal vi finde produktet 5 4 3 2 1.

Bemærk, at vi har fået produktet af alle naturlige tal fra 1 til 5. Sådanne produkter er skrevet mere kort:

5 4 3 2 1 = 5! (læs: "fem faktorielle").

Faktoriel af et tal– produktet af alle naturlige tal fra 1 til dette tal.

Så svaret på problemet er: 5! = 120, dvs. Kopper kan fordeles blandt familiemedlemmer på hundrede og tyve måder.

I denne artikel vil vi finde ud af, hvordan man gør det gange heltal. Lad os først introducere termer og notationer og også finde ud af betydningen af ​​at gange to heltal. Herefter får vi reglerne for at gange to positive heltal, negative heltal og heltal med forskellige tegn. Samtidig vil vi give eksempler med en detaljeret forklaring af løsningsprocessen. Vi vil også berøre tilfælde af multiplikation af heltal, når en af ​​faktorerne er lig med en eller nul. Dernæst vil vi lære, hvordan man kontrollerer det resulterende multiplikationsresultat. Og endelig, lad os tale om at gange tre, fire og mere heltal.

Sidenavigation.

Begreber og symboler

For at beskrive multiplikationen af ​​heltal, vil vi bruge de samme udtryk, som vi beskrev multiplikationen af ​​naturlige tal med. Lad os minde dem om.

De heltal, der ganges, kaldes multiplikatorer. Resultatet af multiplikation kaldes arbejde. Multiplikationshandlingen er angivet med multiplikationstegnet på formen "·". I nogle kilder kan du finde multiplikation noteret med tegnene "*" eller "×".

Det er praktisk at skrive de multiplicerede heltal a, b og resultatet af deres multiplikation c ved at bruge en lighed på formen a·b=c. I denne notation er heltal a den første faktor, heltal b er den anden faktor, og heltal c er produktet. af formen a·b vil også blive kaldt et produkt, samt værdien af ​​dette udtryk c .

Ser vi fremad, bemærker vi, at produktet af to heltal repræsenterer et heltal.

Betydningen af ​​at gange heltal

Multiplikation af positive heltal

Positive heltal er naturlige tal, altså gange positive heltal udføres efter alle reglerne for multiplikation af naturlige tal. Det er klart, at multiplikation af to positive heltal resulterer i et positivt heltal (naturligt tal). Lad os se på et par eksempler.

Eksempel.

Hvad er produktet af de positive heltal 127 og 5?

Løsning.

Lad os præsentere den første faktor 107 som en sum af bittermer, det vil sige i formen 100+20+7. Herefter bruger vi reglen til at gange summen af ​​tal med et givet tal: 127 5=(100+20+7) 5=100 5+20 5+7 5. Tilbage er blot at fuldføre udregningen: 100·5+20·5+7·5= 500+100+35=600+35=635.

Således er produktet af de givne positive heltal 127 og 5 635.

Svar:

127·5=635.

For at gange flercifrede positive heltal er det praktisk at bruge kolonnemultiplikationsmetoden.

Eksempel.

Multiplicer det trecifrede positive heltal 712 med det tocifrede positive heltal 92.

Løsning.

Lad os gange disse positive heltal i en kolonne:

Svar:

712·92=65.504.

Regel for at gange heltal med forskellige fortegn, eksempler

Det følgende eksempel vil hjælpe os med at formulere reglen for at gange heltal med forskellige fortegn.

Lad os beregne produktet af det negative heltal −5 og det heltal positivt tal 3 baseret på betydningen af ​​multiplikation. Så (−5)·3=(−5)+(−5)+(−5)=−15. For at den kommutative egenskab ved multiplikation forbliver gyldig, skal ligheden (−5)·3=3·(−5) være opfyldt. Det vil sige, at produktet 3·(−5) også er lig med −15. Det er let at se, at −15 lig med produktet moduli af de oprindelige faktorer, hvoraf det følger, at produktet af de oprindelige heltal med forskellige fortegn er lig med produktet af modulerne af de oprindelige faktorer taget med et minustegn.

Så fik vi regel for at gange heltal med forskellige fortegn: for at gange to heltal med forskellige fortegn, skal du gange modulerne af disse tal og sætte et minustegn foran det resulterende tal.

Ud fra den angivne regel kan vi konkludere, at produktet af heltal med forskellige fortegn altid er et negativt heltal. Faktisk, som et resultat af at gange modulerne af faktorerne, får vi et positivt heltal, og hvis vi sætter et minustegn foran dette tal, bliver det et negativt heltal.

Lad os se på eksempler på beregning af produktet af heltal med forskellige fortegn ved hjælp af den resulterende regel.

Eksempel.

Gang det positive heltal 7 med et heltal et negativt tal −14 .

Løsning.

Lad os bruge reglen til at gange heltal med forskellige fortegn. Multiplikatorernes modul er henholdsvis 7 og 14. Lad os beregne produktet af modulerne: 7·14=98. Tilbage er blot at sætte et minustegn foran det resulterende tal: −98. Altså 7·(−14)=−98.

Svar:

7·(−14)=−98.

Eksempel.

Beregn produktet (−36)·29.

Løsning.

Vi skal beregne produktet af heltal med forskellige fortegn. For at gøre dette beregner vi produktet absolutte værdier multiplikatorer: 36·29=1.044 (det er bedre at gange i en kolonne). Nu sætter vi et minustegn foran tallet 1044, vi får -1044.

Svar:

(−36)·29=−1.044 .

For at afslutte dette afsnit vil vi bevise gyldigheden af ​​ligheden a·(−b)=−(a·b) , hvor a og −b er vilkårlige heltal. Et særligt tilfælde af denne lighed er den angivne regel for multiplikation af heltal med forskellige fortegn.

Med andre ord skal vi bevise, at værdierne af udtrykkene a·(−b) og a·b er modsatte tal. For at bevise dette, lad os finde summen a·(−b)+a·b og sikre os, at den er lig med nul. På grund af den distributive egenskab ved multiplikation af heltal i forhold til addition, er ligheden a·(−b)+a·b=a·((−b)+b) sand. Summen (−b)+b er lig med nul som summen af ​​modsatte heltal, så a·((−b)+b)=a·0. Sidste stykke er lig med nul med egenskaben ved at gange et helt tal med nul. Således er a·(−b)+a·b=0, derfor er a·(−b) og a·b modsatte tal, hvilket indebærer ligheden a·(−b)=−(a·b) . På samme måde kan vi vise, at (−a) b=−(a b) .

Regel for multiplikation af negative heltal, eksempler

Ligheden (−a)·(−b)=a·b, som vi nu vil bevise, vil hjælpe os med at opnå reglen for at gange to negative heltal.

I slutningen af ​​det foregående afsnit viste vi, at a·(−b)=−(a·b) og (−a)·b=−(a·b) , så vi kan skrive følgende kæde af ligheder (−a)·(−b)=−(a·(−b))=−(−(a·b)). Og det resulterende udtryk −(−(a·b)) er intet andet end a·b på grund af definitionen af ​​modsatte tal. Altså (−a)·(−b)=a·b.

Den beviste lighed (−a)·(−b)=a·b giver os mulighed for at formulere regel for at gange negative heltal: Produktet af to negative heltal er lig med produktet af modulerne af disse tal.

Af den angivne regel følger det, at resultatet af at gange to negative heltal er et positivt heltal.

Lad os overveje anvendelsen af ​​denne regel, når vi udfører multiplikation af negative heltal.

Eksempel.

Beregn produktet (−34)·(−2) .

Løsning.

Vi skal gange to negative heltal −34 og −2. Lad os bruge den tilsvarende regel. For at gøre dette finder vi modulerne til multiplikatorerne: og . Det er tilbage at beregne produktet af tallene 34 og 2, som vi ved, hvordan man gør. Kort fortalt kan hele løsningen skrives som (−34)·(−2)=34·2=68.

Svar:

(−34)·(−2)=68 .

Eksempel.

Gang det negative heltal -1041 med det negative heltal -538.

Løsning.

Ifølge reglen for multiplikation af negative heltal er det ønskede produkt lig med produktet af modulerne af faktorerne. Multiplikatorernes modul er henholdsvis 1.041 og 538. Lad os lave kolonnemultiplikation:

Svar:

(−1.041)·(−538)=560.058 .

Multiplicer et heltal med et

At gange et hvilket som helst heltal a med én resulterer i tallet a. Vi nævnte dette allerede, da vi diskuterede betydningen af ​​at gange to heltal. Så a·1=a . På grund af den kommutative egenskab ved multiplikation skal ligheden a·1=1·a være sand. Derfor er 1·a=a.

Ovenstående ræsonnement fører os til reglen for at gange to heltal, hvoraf det ene er lig med et. Produktet af to heltal, hvor en af ​​faktorerne er én, er lig med den anden faktor.

For eksempel, 56·1=56, 1·0=0 og 1·(−601)=−601. Lad os give et par flere eksempler. Produktet af de heltal −53 og 1 er −53, og produktet af et og det negative heltal −989.981 er −989.981.

Multiplicer et heltal med nul

Vi blev enige om, at produktet af ethvert heltal a og nul er lig med nul, det vil sige a·0=0. Den kommutative egenskab ved multiplikation tvinger os til at acceptere ligheden 0·a=0. Dermed, produktet af to heltal, hvor mindst en af ​​faktorerne er nul, er lig med nul. Især resultatet af at gange nul med nul er nul: 0·0=0.

Lad os give et par eksempler. Produktet af det positive heltal 803 og nul er lig med nul; resultatet af at gange nul med det negative heltal −51 er nul; også (−90 733)·0=0 .

Bemærk også, at produktet af to heltal er lig nul, hvis og kun hvis mindst en af ​​faktorerne er lig nul.

Kontrol af resultatet af multiplikation af heltal

Kontrol af resultatet af at gange to heltal udføres ved hjælp af division. Det er nødvendigt at dividere det resulterende produkt med en af ​​faktorerne, hvis dette resulterer i et tal, der er lig med den anden faktor, så blev multiplikationen udført korrekt. Hvis resultatet er et andet tal end det andet udtryk, så er der begået en fejl et sted.

Lad os se på eksempler, hvor resultatet af multiplikation af heltal kontrolleres.

Eksempel.

Som et resultat af at gange to heltal −5 og 21, blev tallet −115 opnået. Er produktet beregnet korrekt?

Løsning.

Lad os tjekke. For at gøre dette skal du dividere det beregnede produkt −115 med en af ​​faktorerne, for eksempel −5., tjek resultatet. (−17)·(−67)=1 139 .

Multiplicer tre eller flere heltal

Den kombinatoriske egenskab ved multiplikation af heltal giver os mulighed for entydigt at bestemme produktet af tre, fire eller flere heltal. Samtidig giver de resterende egenskaber ved multiplikation af heltal os mulighed for at hævde, at produktet af tre eller flere heltal ikke afhænger af metoden til at placere parenteser og af rækkefølgen af ​​faktorerne i produktet. Vi underbyggede lignende udsagn, da vi talte om at gange tre eller flere naturlige tal. I tilfælde af heltalsfaktorer er begrundelsen fuldstændig den samme.

Lad os se på eksempelløsningen.

Eksempel.

Beregn produktet af fem heltal 5, −12, 1, −2 og 15.

Løsning.

Vi kan sekventielt fra venstre mod højre erstatte to tilstødende faktorer med deres produkt: 5·(−12)·1·(−2)·15= (−60)·1·(−2)·15= (−60)· (−2)·15= 120·15=1.800. Denne mulighed for at beregne produktet svarer til følgende metode til at arrangere beslag: (((5·(−12))·1)·(−2))·15.

Vi kunne også omarrangere nogle faktorer og arrangere parenteserne anderledes, hvis dette giver os mulighed for at beregne produktet af de givne fem heltal mere effektivt. For eksempel var det muligt at omarrangere faktorerne i følgende rækkefølge 1·5·(−12)·(−2)·15, og derefter arrangere parenteserne sådan her ((1·5)·(−12))·((−2)·15). I dette tilfælde vil beregningerne være som følger: ((1·5)·(−12))·((−2)·15)=(5·(−12))·((−2)·15)= (−60)·(−30)=1 800 .

Som du kan se, forskellige varianter placering af beslag og forskellige rækkefølger af faktorer førte os til det samme resultat.

Svar:

5·(−12)·1·(−2)·15=1 800.

Separat bemærker vi, at hvis der i et produkt er tre, fire osv. af heltal er mindst én af faktorerne lig nul, så er produktet lig nul. For eksempel er produktet af fire heltal 5, −90321, 0 og 111 lig med nul; Resultatet af at gange tre heltal 0, 0 og -1983 er også nul. Det omvendte er også sandt: Hvis produktet er lig med nul, så er mindst én af faktorerne lig med nul.