Det kastes 2 terninger og sannsynligheten er lik. Løse problemer med terningkast

Et annet populært problem innen sannsynlighetsteori (sammen med myntkastproblemet) er terningkastingsproblem.

Vanligvis høres oppgaven slik ut: en eller flere terninger kastes (vanligvis 2, sjeldnere 3). Du må finne sannsynligheten for at antall poeng er 4, eller summen av poeng er 10, eller produktet av antall poeng er delelig med 2, eller antall poeng avviker med 3, og så videre.

Hovedmetoden for å løse slike problemer er å bruke den klassiske sannsynlighetsformelen, som vi vil analysere ved hjelp av eksempler nedenfor.

Etter å ha gjort deg kjent med løsningsmetodene kan du laste ned en supernyttig løsning for å kaste 2 terninger (med tabeller og eksempler).

En terning

Med én terning er situasjonen uanstendig enkel. La meg minne deg på at sannsynligheten er funnet av formelen $P=m/n$, der $n$ er antallet av alle like mulige elementære utfall av et eksperiment med å kaste en terning eller terning, og $m$ er tallet av de resultatene som favoriserer arrangementet.

Eksempel 1. Terningen kastes én gang. Hva er sannsynligheten for at det skjedde partall briller?

Siden terningen er en kube (sier de også rettferdige terninger, det vil si at kuben er balansert, så den lander på alle sider med samme sannsynlighet), kuben har 6 sider (med et antall punkter fra 1 til 6, vanligvis angitt med punkter), så totalt antall utfall i oppgaven $n=6$. De eneste resultatene som favoriserer begivenheten er de der en side med 2, 4 eller 6 poeng (bare en) vises, det er $m=3$ av slike sider. Da er den nødvendige sannsynligheten lik $P=3/6=1/2=0,5$.

Eksempel 2. Terningene kastes. Finn sannsynligheten for å rulle minst 5 poeng.

Vi resonnerer på samme måte som i forrige eksempel. Det totale antallet er mulige utfall når du kaster en terning $n=6$, og betingelsen "minst 5 poeng rullet opp", det vil si "enten 5 eller 6 poeng rullet opp", tilfredsstiller 2 utfall, $m=2$. Den nødvendige sannsynligheten er $P=2/6=1/3=0,333$.

Jeg ser ikke engang poenget med å gi flere eksempler, la oss gå videre til to terninger, hvor alt blir mer interessant og komplisert.

To terninger

Når vi snakker om om problemer med å kaste 2 terninger, veldig praktisk å bruke poengtabell. La oss plotte horisontalt antall poeng som falt på den første terningen, og vertikalt antall poeng som falt på den andre terningen. La oss få noe sånt som dette (jeg gjør det vanligvis i Excel, du kan laste ned filen):

Hva er det i tabellcellene, spør du? Og dette avhenger av hvilket problem vi skal løse. Det blir en oppgave om summen av poeng - vi skal skrive summen der, om differansen - vi skal skrive differansen og så videre. La oss komme i gang?

Eksempel 3. 2 terninger kastes samtidig. Finn sannsynligheten for at summen blir mindre enn 5 poeng.

La oss først se på det totale antallet utfall av eksperimentet. da vi kastet en terning, var alt åpenbart, 6 sider - 6 utfall. Det er allerede to terninger her, så utfallene kan representeres som ordnede tallpar på formen $(x,y)$, der $x$ er hvor mange poeng som falt på den første terningen (fra 1 til 6), $ y$ er hvor mange poeng som falt på den andre terningen (fra 1 til 6). Det er klart at det totale antallet slike tallpar vil være $n=6\cdot 6=36$ (og de tilsvarer nøyaktig 36 celler i tabellen over utfall).

Nå er det på tide å fylle ut tabellen. I hver celle legger vi inn summen av antall poeng kastet på den første og andre terningen, og vi får følgende bilde:

Nå vil denne tabellen hjelpe oss med å finne antall utfall som er gunstige for arrangementet "totalt mindre enn 5 poeng vises." For å gjøre dette, teller vi antall celler der sumverdien er mindre enn 5 (det vil si 2, 3 eller 4). For klarhetens skyld, la oss fargelegge disse cellene, det vil være $m=6$:

Da er sannsynligheten lik: $P=6/36=1/6$.

Eksempel 4. To terninger kastes. Finn sannsynligheten for at produktet av antall poeng er delelig med 3.

Vi lager en tabell over produktene av poengene kastet på den første og andre terningen. Vi fremhever umiddelbart de tallene som er multipler av 3:

Alt som gjenstår er å skrive ned at det totale antallet utfall er $n=36$ (se forrige eksempel, resonnementet er det samme), og antallet gunstige utfall (antall skyggelagte celler i tabellen ovenfor) er $m=20$. Da vil sannsynligheten for hendelsen være lik $P=20/36=5/9$.

Som du kan se, kan denne typen problemer, med riktig forberedelse (la oss se på et par flere problemer), løses raskt og enkelt. For variasjon, la oss gjøre en oppgave til med en annen tabell (alle tabeller kan lastes ned nederst på siden).

Eksempel 5. Terningene kastes to ganger. Finn sannsynligheten for at forskjellen i antall poeng på den første og andre terningen vil være fra 2 til 5.

La oss skrive ned en tabell med poengforskjeller, markere cellene i den der forskjellsverdien vil være mellom 2 og 5:

Så det totale antallet like mulige elementære utfall er $n=36$, og antallet gunstige utfall (antall skyggelagte celler i tabellen ovenfor) er $m=10$. Da vil sannsynligheten for hendelsen være lik $P=10/36=5/18$.

Så, i tilfellet når vi snakker om å kaste 2 terninger og en enkel hendelse, må du bygge en tabell, velge de nødvendige cellene i den og dele antallet med 36, dette vil være sannsynligheten. I tillegg til oppgaver på sum, produkt og differanse av antall poeng, er det også problemer med modulus av differansen, det minste og største antall poeng som trekkes (du finner passende tabeller i).

Andre problemer om terninger og terninger

Selvfølgelig er saken ikke begrenset til de to problemene med å kaste terninger som er diskutert ovenfor (de er rett og slett de som oppstår oftest i problembøker og opplæringsmanualer), det er andre. For variasjon og forståelse av den omtrentlige løsningsmetoden vil vi analysere tre mer typiske eksempler: for å kaste 3 terninger, for betinget sannsynlighet og for Bernoullis formel.

Eksempel 6. Det kastes 3 terninger. Finn sannsynligheten for at totalen er 15 poeng.

Når det gjelder 3 terninger, blir tabeller satt opp sjeldnere, siden du trenger så mange som 6 brikker (og ikke én, som ovenfor), klarer de seg ved å søke gjennom de nødvendige kombinasjonene.

La oss finne det totale antallet utfall av eksperimentet. Utfall kan representeres som ordnede trillinger av tall på formen $(x,y,z)$, der $x$ er hvor mange poeng som falt på den første terningen (fra 1 til 6), $y$ er hvor mange poeng som falt på den andre terningen (fra 1 til 6), $z$ - hvor mange poeng ble kastet på den tredje terningen (fra 1 til 6). Åpenbart vil det totale antallet slike tripler av tall være $n=6\cdot 6\cdot 6=216$ .

La oss nå velge utfall som gir totalt 15 poeng.

$$ (3,6,6), (6,3,6), (6,6,3),\\ (4,5,6), (4,6,5), (5,4,6), (6,5,4), (5,6,4), (6,4,5),\\ (5,5,5). $$

Vi fikk $m=3+6+1=10$ utfall. Den ønskede sannsynligheten er $P=10/216=0,046$.

Eksempel 7. 2 terninger kastes. Finn sannsynligheten for at den første terningen ikke kaster mer enn 4 poeng, forutsatt at det totale antall poeng er partall.

Den enkleste måten å løse dette problemet på er å bruke tabellen igjen (alt vil være klart), som før. Vi skriver ut en tabell over summene av poeng og velger bare celler med jevne verdier:

Vi får at det i henhold til de eksperimentelle betingelsene ikke er 36, men $n=18$ utfall (når summen av poeng er partall).

Nå fra disse cellene La oss velge bare de som tilsvarer hendelsen "ikke mer enn 4 poeng kastet på den første terningen" - det vil si, faktisk, cellene i de første 4 radene i tabellen (uthevet i oransje), det vil være $m= 12$.

Den nødvendige sannsynligheten $P=12/18=2/3.$

Den samme oppgaven kan gjøres bestemme annerledes ved å bruke den betingede sannsynlighetsformelen. La oss legge inn hendelsene:
A = Summen av antall poeng er partall
B = Ikke mer enn 4 poeng kastet på den første terningen
AB = Summen av antall poeng er partall og det ble ikke kastet mer enn 4 poeng på den første terningen
Da har formelen for ønsket sannsynlighet formen: $$ P(B|A)=\frac(P(AB))(P(A)). $$ Finne sannsynligheter. Totalt antall utfall er $n=36$, for hendelse A er antallet gunstige utfall (se tabellene ovenfor) $m(A)=18$, og for hendelse AB - $m(AB)=12$. Vi får: $$ P(A)=\frac(m(A))(n)=\frac(18)(36)=\frac(1)(2); \quad P(AB)=\frac(m(AB))(n)=\frac(12)(36)=\frac(1)(3);\\ P(B|A)=\frac(P (AB))(P(A))=\frac(1/3)(1/2)=\frac(2)(3). $$ Svarene var de samme.

Eksempel 8. Terningen kastes 4 ganger. Finn sannsynligheten for at et partall poeng vises nøyaktig 3 ganger.

I tilfelle når terningene kaster flere ganger, og arrangementet handler ikke om summen, produktet osv. integrerte egenskaper, men bare ca antall dråper bestemt type, kan brukes til å beregne sannsynligheten

Med den klassiske definisjonen bestemmes sannsynligheten for en hendelse av likheten

hvor m – antall elementære testresultater som tilsvarer forekomsten av hendelse A; n – det totale antallet mulige elementære testresultater. Det antas at elementære utfall er de eneste mulige og like mulige.

Den relative frekvensen av hendelse A bestemmes av likheten

hvor m – antall forsøk der hendelse A inntraff; n – totalt antall utførte tester. Ved statistisk bestemmelse tas sannsynligheten for en hendelse til å være dens relative frekvens.

Eksempel 1.1. To terninger kastes. Finn sannsynligheten for at summen av poeng på de kastede sidene er jevn, og en sekser vil dukke opp på siden av minst én av terningene.

Løsning.På den falne kanten av den "første" terning ett poeng, to poeng,..., seks poeng kan vises. På samme måte er seks elementære utfall mulig når du kaster den "andre" terningen. Hvert av utfallene ved å kaste den "første" terningen kan kombineres med hvert av resultatene av å kaste den "andre". Dermed er det totale antallet mulige elementære testresultater 6∙6 = 36.

Gunstige utfall for arrangementet vi er interessert i (minst en sekser vil vises på den ene siden, summen av de kastede poengene er partall) er følgende fem utfall (det første er antall poeng som falt på den "første" terningen , den andre er antall poeng som falt på den "andre" terningen, deretter summen av poengene deres:

1.6, 2, 6 + 2 = 8,

2.6, 4, 6 + 4 = 10,

3.6, 6, 6 + 6 = 12.

4.2, 6, 2 + 6 = 8,

5.4, 6, 4 + 6 = 10.

Den nødvendige sannsynligheten er lik forholdet mellom antall utfall som er gunstige for hendelsen og antallet av alle mulige elementære utfall:

Oppgave 1.1To terninger kastes. Finn sannsynligheten for at summen av poeng på de droppede sidene er syv.

Oppgave 1.2.To terninger kastes. Finn sannsynligheten for følgende hendelser: a) summen av poengene som trekkes er åtte og forskjellen er fire, b) summen av poengene som trekkes er åtte hvis det er kjent at forskjellen deres er fire.

Oppgave 1.3.To terninger kastes. Finn sannsynligheten for at summen av punktene på de droppede sidene er fem og produktet er fire.

Oppgave 1.4. Mynten kastes to ganger. Finn sannsynligheten for at våpenskjoldet vises minst én gang.

Deretter vil vi vurdere et eksempel når antall objekter øker, og følgelig øker både det totale antallet elementære utfall og gunstige utfall, og antallet vil allerede være bestemt av formlene for kombinasjoner og plasseringer.

Eksempel 1.2 Boksen inneholder 10 like deler, merket med tallene 1, 2, ..., 10. 6 deler trekkes tilfeldig. Finn sannsynligheten for at det blant de utvunnede delene vil være: a) del nr. 1; b) del nr. 1 og nr. 2.

Løsning.Det totale antallet mulige elementære testresultater er lik antall måter (kombinasjoner) som 6 deler kan trekkes ut på fra 10, dvs. Fra 6 10.

a) La oss telle antall utfall som er gunstige for arrangementet av interesse for oss: Blant de utvalgte seks delene er det del nr. 1, og derfor har de resterende 5 delene forskjellige tall. Antall slike utfall er åpenbart lik antall måter 5 deler kan velges på fra de resterende 9, dvs. Fra 5 9.

Den nødvendige sannsynligheten er lik forholdet mellom antall utfall som er gunstige for den aktuelle hendelsen og det totale antallet mulige elementære utfall:

b) Antall utfall som er gunstige for arrangementet som er av interesse for oss (blant de utvalgte seks delene er det del nr. 1 og del nr. 2, derfor har de resterende 4 delene forskjellige tall) er lik antall måter i hvilke 4 deler kan velges fra de resterende 8, dvs. Fra 48.

Påkrevd sannsynlighet

Eksempel 1.3 . Mens han ringte et telefonnummer, glemte abonnenten de tre siste sifrene, og husket bare at de var forskjellige, og ringte dem tilfeldig. Finn sannsynligheten for at de nødvendige numrene blir slått.

Løsning.Det totale antallet mulige elementære tre-elementkombinasjoner på 10 sifre, som er forskjellige både i sammensetning og i rekkefølgen av sifrene, er lik antall plasseringer av 10 sifre med 3, dvs. A 3 10.

Gunstig utfall – ett.

Påkrevd sannsynlighet

Eksempel 1.4. I et parti med N deler er det n standard Valgt tilfeldig m detaljer. Finn sannsynligheten for at blant de valgte nøyaktig k standard deler.

Løsning.Det totale antallet mulige elementære utfall av testen er lik antall måter det er mulig å trekke ut m deler fra N deler, dvs. Med m N – antall kombinasjoner av N ved m.

La oss telle antall utfall som er gunstige for arrangementet vi er interessert i (blant annet m deler nøyaktig k standard): k standard deler kan tas fra n standard deler C k n måter; mens resten m–k deler må være ikke-standard: ta det m–k ikke-standard deler fra N–n ikke-standard deler kan tas fra m - k N - n måter. Derfor er antallet gunstige utfall lik C k n С m - k N - n .

Den nødvendige sannsynligheten er lik

Oppgave 1.5.Det er 6 menn og 4 kvinner som jobber på verkstedet. 7 personer ble valgt ut tilfeldig ved hjelp av deres personellnummer. Finn sannsynligheten for at det blant de utvalgte personene vil være 3 kvinner.

Geometriske sannsynligheter

La segmentet lutgjør en del av et segment L. LFor et segmentlet poeng ble gjort tilfeldig. Hvis vi antar at sannsynligheten for at et punkt faller på et segmenter proporsjonal med lengden på dette segmentet og er ikke avhengig av dets plassering i forhold til segmentetLl, da sannsynligheten for at et punkt faller på segmentet

bestemmes av likhet La den flate figuren g utgjør en del av en flat figur G. La den flate figuren For G-figur En prikk kastes tilfeldig. Hvis vi antar at sannsynligheten for at et kastet punkt treffer en figur er proporsjonal med arealet til denne figuren og er ikke avhengig av plasseringen i forhold til G, verken fra formen g , da sannsynligheten for at et punkt faller på segmentet

, da sannsynligheten for at et punkt treffer figuren g Sannsynligheten for at et punkt faller inn i en romlig figur bestemmes på samme måte v

, som utgjør en del av figuren V: Eksempel 1.5 For segment L lengde 20 cm Et mindre segment er plassert

llengde 10 cm Finn sannsynligheten for at et punkt plassert tilfeldig på et stort segment også vil falle på et mindre segment.

Løsning: Siden sannsynligheten for at et punkt faller på et segment er proporsjonal med lengden og ikke avhenger av dets plassering, vil vi bruke forholdet ovenfor og finne: Eksempel 1.6 I en sirkel med radius R en liten sirkel med radius er plassert

r .

Finn sannsynligheten for at et punkt kastet tilfeldig inn i en stor sirkel også vil falle inn i en liten sirkel. Løsning: siden sannsynligheten for at et punkt faller inn i en sirkel er proporsjonal med arealet av sirkelen og ikke avhenger av plasseringen, bruker vi forholdet ovenfor og finner: Oppgave 1.6.

Innenfor radiussirkelen Den raskt roterende skiven er delt inn i et jevnt antall like sektorer, vekselvis farget hvitt og svart. Det ble avfyrt et skudd mot platen. Finn sannsynligheten for at kulen vil treffe en av de hvite sektorene. Det antas at sannsynligheten for å treffe en flat figur er proporsjonal med arealet til denne figuren.

Sannsynlighetsaddisjons- og multiplikasjonsteoremer

MEDposisjon av sannsynligheter for uforenlige hendelser.

Sannsynligheten for forekomsten av en av to inkompatible hendelser, uansett hvilken, er lik summen av sannsynlighetene for disse hendelsene:

P(A + B) = P(A) + P(B).

Konsekvens. Sannsynligheten for forekomsten av en av flere parvise inkompatible hendelser, uansett hvilken, er lik summen av sannsynlighetene for disse hendelsene:

P(A1 + A2 +…+ An) = P(A1) + P(A2) +…+ P(An). Tillegg av sannsynligheter for felles hendelser.

Sannsynligheten for forekomsten av minst én av to felles hendelser er lik summen av sannsynlighetene for disse hendelsene uten sannsynligheten for at de inntreffer felles:

P(A + B) = P(A) + P(B) – P(AB).

Teoremet kan generaliseres til et hvilket som helst begrenset antall felles hendelser. For eksempel for tre felles arrangementer:

P(A + B + C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(AB) – P(AC) – P(BC) + P(ABC). Teorem for å multiplisere sannsynlighetene for uavhengige hendelser. Sannsynligheten for to samtidig forekomst uavhengige arrangementer

lik produktet av sannsynlighetene for disse hendelsene:

P(AB) = P(A)*P(B).

Konsekvens. Sannsynligheten for felles forekomst av flere hendelser som er uavhengige i aggregatet er lik produktet av sannsynlighetene for disse hendelsene:

P(A1A2...An) = P(A1)*P(A2)...P(An). Teorem for å multiplisere sannsynlighetene for avhengige hendelser.

Sannsynligheten for felles forekomst av to avhengige hendelser er lik produktet av en av dem og den betingede sannsynligheten for den andre:

P(AB) = P(A)*PA(B),

P(AB) = P(B)*PB(A).

Konsekvens. Sannsynligheten for felles forekomst av flere avhengige hendelser er lik produktet av en av dem ved de betingede sannsynlighetene for alle de andre, og sannsynligheten for hver påfølgende beregnes under antakelsen om at alle tidligere hendelser beregnes under antakelsen om at alle tidligere hendelser har allerede skjedd:

P(A1A2...An) = P(A1)*PA1(A2)*PA1A2(A3)...PA1A2...An-1(An),

hvor RA1A2...An-1(An) er sannsynligheten for hendelsen An, beregnet under forutsetning av at hendelsene A1A2...An-1 har skjedd. Eksempel 1.7.

Det er 15 lærebøker tilfeldig plassert på en bibliotekhylle, hvorav 5 er innbundet.. Kravet om at minst én av de tatt lærebøkene skal bindes inn vil være oppfylt dersom noen av følgende tre uforenlige hendelser inntreffer: B - en lærebok innbundet, to uten innbinding, C - to lærebøker innbundet, en uten innbinding, D - tre lærebøker i bundet.

Hendelsen A som interesserer oss (minst en av de tre innbundne lærebøkene som er tatt) kan representeres som summen av tre hendelser:

A = B + C + D.

Ved teoremet om tillegg av inkompatible hendelser

p(A) = p(B) + p(C) + p(D) (1).

La oss finne sannsynlighetene for hendelser B, C og D (se løsning til eksempel 1.4.):

Ved å erstatte disse sannsynlighetene med likhet (1), får vi til slutt

p(A) = 45/91 + 20/91 + 2/91 = 67/91.

Eksempel 1.8. Hvor mange terninger må kastes slik at man med en sannsynlighet på mindre enn 0,3 kan forvente at det ikke vises 6 poeng på noen kastet side?

Det er 15 lærebøker tilfeldig plassert på en bibliotekhylle, hvorav 5 er innbundet.. La oss introdusere betegnelsene på hendelser: A – 6 punkter vil ikke vises på noen av de droppede sidene; Аi – 6 poeng vil ikke vises på rullesiden av den i-te terningen (i = 1, 2, …n).

Hendelsen A som interesserer oss består av en kombinasjon av hendelser

A1, A2, …, An

det vil si A = A1A2…An.

Sannsynligheten for at et tall som ikke er lik seks vil vises på en falt side er lik

p(Ai) = 5/6.

Hendelsene Ai er kollektivt uavhengige, så multiplikasjonsteoremet gjelder:

р(А) = р(А1А2...Аn) = р(А1)*р(А2)*...р(Аn) = (5/6)n.

Etter betingelse (5/6)n< 0,3. Следовательно n*log(5/6) < log0,3, отсюда найдем n >6.6. Dermed er det nødvendige antallet terninger n ≥ 7.

Eksempel 1.9. På lesesalen er det 6 lærebøker om sannsynlighetsteori, hvorav 3 er innbundet.

Det er 15 lærebøker tilfeldig plassert på en bibliotekhylle, hvorav 5 er innbundet. Bibliotekaren tok to lærebøker tilfeldig. Finn sannsynligheten for at begge lærebøkene blir bundet inn.

. La oss introdusere betegnelsene på hendelser: A – den første læreboken er innbundet, B – den andre læreboken er innbundet.

Sannsynligheten for at den første læreboken er innbundet er

p(A) = 3/6 = 1/2.

Sannsynligheten for at den andre læreboken er bundet, forutsatt at den første læreboken som ble tatt var bundet, det vil si at den betingede sannsynligheten for hendelse B er lik:

pA(B) = 2/5.

Den ønskede sannsynligheten for at begge lærebøkene er bundet, i henhold til teoremet om multiplikasjon av sannsynligheter for avhengige hendelser, er lik

p(AB) = p(A)*pA(B) = 1/2*2/5 = 0,2. Oppgave 1.8

To skyttere skyter mot et mål. Sannsynligheten for å treffe målet med ett skudd er 0,7 for den første jegeren, og 0,8 for den andre. Finn sannsynligheten for at kun én av jegerne vil treffe målet i løpet av en volley. Eleven leter etter formelen han trenger i tre oppslagsverk. Sannsynlighetene for at formelen finnes i den første, andre og tredje oppslagsboken er henholdsvis lik 0,6; 0,7; 0,8. Finn sannsynligheten for at formelen finnes: a) i bare én oppslagsbok; b) bare i to kataloger; c) i alle oppslagsverk.

Oppgave 1.10 . Det er 7 menn og 3 kvinner som jobber på verkstedet. 3 personer ble valgt ut tilfeldig ved hjelp av deres personellnummer.

Finn sannsynligheten for at alle utvalgte personer vil være menn.

Så utførte han det samme eksperimentet med tre terninger. På et stykke papir skrev jeg ned tallene fra 3 til 18 i en kolonne. Dette er beløpene som kan vises når man kaster tre terninger. Jeg gjorde 400 kast. Jeg regnet ut resultatet og la det inn i tabellen. (vedlegg 3 og 4) Summene 10 og 11 dukker opp oftere.

Jeg utførte et nytt eksperiment med fire terninger. Kolonnen inneholdt tall fra 4 til 24. Dette er beløpene som kan vises når man kaster fire terninger. Jeg slo 400 skudd igjen. Jeg regnet ut resultatet og la det inn i tabellen. (vedlegg 5 og 6) Summen 14 rulles oftere.

Da bestemte jeg meg for å regne. Jeg laget en tabell for to terninger og fylte den ut. (Vedlegg 7) Jeg fikk resultatet - summen av syv kommer oftere opp. (Vedlegg 8). Seks ganger av trettiseks tilfeller. Jeg gjorde først de samme matematiske beregningene for tre terninger. (Vedlegg 9) Summene som oftest kommer opp er 10 og 11. Dette er 27 saker av 216. Og de minst sannsynlige tallene som kommer opp er 3 og 18, kun 1 tilfelle av 216. (Vedlegg 10) Og så for fire terninger. (Vedlegg 11) Det er totalt 1296 saker Den vanligste summen er 14, som er 146 saker av 1296. Og den minst vanlige summen er 4 og 24, kun 1 tilfelle av 1296. (Vedlegg 12).

Jeg fant en beskrivelse av triks med terninger. Jeg ble overrasket over enkelheten og originaliteten til noen av triksene. Den aksepterte rekkefølgen av markeringer på sidene av terningene er grunnlaget for mange triks med terninger. Og jeg prøvde å gjøre flere triks. Jeg klarte. Men for å gjennomføre dem med suksess, må du telle raskt og godt.

Suksessen til hvert triks avhenger av god forberedelse og trening, av hvor enkelt det er å utføre hvert tall, nøyaktig utregning og dyktig bruk av teknikkene som er nødvendige for å utføre trikset. Slike triks gjør et stort inntrykk på publikum og fengsler dem.

Fokus 1. «Gjette beløpet»

Personen som demonstrerer snur ryggen til publikum, og på dette tidspunktet kaster en av dem tre terninger på bordet. Tilskueren blir deretter bedt om å legge sammen de tre tallene som er trukket, ta en terning og legge til tallet på undersiden til totalen som nettopp er oppnådd. Kast deretter den samme terningen igjen og legg til tallet som kommer ut til totalen igjen. Demonstranten gjør publikums oppmerksomhet på det faktum at han på ingen måte kan vite hvilken av de tre terningene som ble kastet to ganger, så samler han terningene, rister dem i hånden og gir umiddelbart riktig navn til sluttbeløpet.

Forklaring. Før han samler terningene, legger personen som vises sammen tallene som vender opp. Ved å legge til syv til den resulterende summen, finner han den endelige summen.

Dette trikset er avhengig av egenskapen til summen av tall på motsatte flater - den er alltid lik syv.

Kapittel 2. Terningens hemmelighet

2.1. Beregn resultatet

For å finne ut hvilken mengde som kommer opp oftere når man kaster to, tre, fire osv. terninger, utførte jeg flere eksperimenter.

Før jeg startet arbeidet, kompilerte jeg en tabell for å legge inn data. Kolonnen inneholder tall fra 2 til 12. Dette er beløpene som kan vises når du kaster to terninger. På den glatte overflaten av bordet, slik at det ikke skulle være noen ytre forstyrrelser, begynte han å kaste terninger. Hvert forsøk ble markert mot nummeret på det tapte beløpet - med en vertikal linje.

Eksperiment 1:

1) Jeg tar to terninger og et glass.

Jeg gjentar forsøket 400 ganger.

Eksperimentet bidro til å finne ut hvilken sum som kommer opp oftere når man kaster to terninger. (vedlegg 1 og 2)

Jeg gjennomførte eksperiment 2 med tre terninger for å finne ut hvilket beløp som vil dukke opp oftere nå.

Eksperiment 2:

1) Jeg tar tre terninger og et glass.

2) Jeg rister glasset med terningene.

3) Jeg kaster terningene på bordet.

4) Jeg regner ut beløpet og merker det i tabellen.

Jeg gjentar forsøket 400 ganger.

Eksperimentet bidro til å finne ut hvilken sum som kommer opp oftere når man kaster tre terninger. (vedlegg 3 og 4)

Eksperimentet hjalp meg å være sikker på at når jeg kastet tre terninger, var mengden som kom ut annerledes enn når jeg kastet to terninger.

Jeg gjennomførte eksperiment 3 med fire terninger for å se dynamikken i endringer.

Før jeg startet arbeidet, kompilerte jeg igjen en tabell for å legge inn data.

Eksperiment 3:

1) Jeg tar fire terninger og et glass.

2) Jeg rister glasset med terningene.

3) Jeg kaster terningene på bordet.

4) Jeg regner ut beløpet og merker det i tabellen.

Jeg gjentar forsøket 400 ganger.

Eksperimentet hjalp meg å sørge for at når fire terninger kastes, er mengden som kommer opp igjen annerledes. (vedlegg 5 og 6)

Etter å ha undersøkt resultatene av eksperimentene, ble det klart for meg hvorfor mengder nærmere midten av tabellen dukker opp oftere. Tross alt er summen av tallene på motsatte sider alltid lik syv. Derfor, når du kaster terninger, er det mer sannsynlig at et beløp nær denne midten vises.

2.2. Sammenligner resultatene

Etter å ha sammenlignet resultatene av forsøk med terninger (vedlegg 1 - 6) og resultatene av matematiske beregninger (vedlegg 7 - 12), la jeg merke til at mengden som er nærmere midten faller ut oftere. Så jeg fant gjennomsnittet aritmetisk sum tall på sidene av terningene. (1+2+3+4+5+6): 6 = 3,5. Resultatet ble 3,5. Jeg multipliserte så dette tallet med antall terninger. Hvis du tar to terninger, så er produktet 3,5 · 2 = 7. Tallet sju er tallet som kommer opp oftere når du kaster to terninger. Tar vi tre terninger får vi 3,5 · 3 = 10,5. Og siden tallet må være et heltall, tas to tilstøtende tall. Dette er tallene 10 og 11, de vises oftere når du kaster tre terninger. For et hvilket som helst antall terninger kan du beregne tallet som dukker opp oftest ved å bruke formelen 3.5 n , (Hvor n- antall terninger). Dessuten, hvis n oddetall, så tas to tilstøtende tall for å bestemme tallet som vises oftere når du kaster terninger.

Jeg har anmeldt bibelsk tegning og fant et avvik. To terninger har feil markeringer. Siden summen av tallene på motsatte sider må være lik syv. Og på en av terningene er det tre på oversiden, og fire på siden, selv om fire bør være på undersiden. På den andre terningen, på oversiden er det fem, og på siden er det to. Eller kanskje dette er fordi det i det området ble tatt i bruk en annen markering på terningen.

Konklusjon

I arbeidet mitt lærte jeg hemmeligheten bak terninger. Denne hemmeligheten ligger på overflaten av terningene selv. Hemmeligheten ligger i utformingen av markeringene. Summen av tallene på motsatte sider er alltid syv. Gjennom eksperimentering og matematiske beregninger fant jeg mengden som kommer opp oftere når man kaster terninger, og som avhenger av antall terninger. Dette beløpet kan skrives som en formel 3,5 · n, Hvor n antall terninger. Mens jeg undersøkte dette emnet, lærte jeg at terninger oppsto rundt 3000 f.Kr. Steder de ble funnet arkeologer de eldste emnene for spillet er Egypt, Iran, Irak og India. Lært om forskjellige former og typer terninger. Og også hvor terninger brukes og egenskapene de har. Jeg har ikke vurdert temaet problemløsning i det hele tatt. Det er bare det at teorien om sannsynlighet fortsatt er vanskelig for meg. Men jeg håper å komme tilbake til det igjen.

Mange gode matematikere forskjellige tider løste problemer med terninger. Men jeg klarte ikke å finne forfatteren av formelen for å finne den største summen når jeg kaster terninger. Kanskje jeg ikke søkte lenge nok. Men jeg vil fortsette å lete. Jeg er interessert i å vite hvem som først kom opp med denne formelen.

Bibliografi

1. Azariev encyklopedisk ordbok [Elektronisk ressurs] http://www. slovarus. ru/?di=72219

2. Suvorov om sannsynlighet i spill. Innføring i sannsynlighetsteori for elever på 8.-11. – Yaroslavl: Academy of Development, 2006. –192 s.

3. Fribus problemer. – M.: Utdanning, 1994. – 128 s.

4. Wikipedia gratis leksikon [Elektronisk ressurs] https://ru. wikipedia. org/wiki/Dice

5. Spillevirksomhet. Per. fra engelsk og fr. /NEC "Bibliomarked"; Utg.-komp. . - M. 1994. - 208 s.

6. Bones, zary, cubes [Elektronisk ressurs] http://www. /ru/articles/igralnye_kosti-34

7. Lyutikas om sannsynlighetsteorien. – M.: Utdanning, 1983. – 127 s.

8. Nikiforovsky matematikere Bernoulli. – M.: Nauka, 1984. – 180 s.

9. Bak sidene i en algebra-lærebok. Bok for elever 7-9 klassetrinn. allmennutdanning Institusjoner. – M.: Utdanning, 1999. – 237 s.

10. 100 store vitenskapsmenn. – M.: Veche, 2000. – 592 s.

11. Ordbok fremmedord[Elektronisk ressurs] http:///søk

12. Ushakov's Explanatory Dictionary [Elektronisk ressurs] http://www. /3/193/772800.html

13. Shen A. Sannsynlighet: eksempler og oppgaver. - M.: Forlag MTsNMO, 2008. – 64 s.

14. Yakovlev problemer med terninger i studiet av elementer av sannsynlighetsteori [Elektronisk ressurs] http://festival.1september. ru/articles/517883/

15. Yakovleva og morsomme triks med terninger [Elektronisk ressurs] http://festival.1september. ru/articles/624782/

Vedlegg 1. Resultater av å kaste 2 terninger

Vedlegg 2. Resultater av å kaste 2 terninger

Tilbake fremover

Merk følgende! Lysbildeforhåndsvisninger er kun til informasjonsformål og representerer kanskje ikke alle funksjonene i presentasjonen. Hvis du er interessert denne jobben, last ned fullversjonen.

Utdanningsteknologier : Teknologi for forklarende og illustrert undervisning, datateknologi, personsentrert tilnærming til læring, helsebesparende teknologier.

Leksjonstype: leksjon i å tilegne seg ny kunnskap.

Varighet: 1 leksjon.

Karakter: 8. klasse.

Leksjonens mål:

Pedagogisk:

gjenta ferdighetene med å bruke formelen for å finne sannsynligheten for en hendelse og lære hvordan du bruker den i problemer med terninger;
gjennomføre demonstrative resonnementer når du løser problemer, vurdere den logiske riktigheten av resonnement, gjenkjenne logisk feil resonnement.

Pedagogisk:

utvikle ferdigheter i å søke, behandle og presentere informasjon;
utvikle evnen til å sammenligne, analysere og trekke konklusjoner;
utvikle observasjons- og kommunikasjonsevner.

Pedagogisk:

dyrke oppmerksomhet og utholdenhet;
å danne en forståelse av betydningen av matematikk som en måte å forstå verden rundt oss på.

Leksjonsutstyr: datamaskin, multimedia, markører, mimio kopienhet (eller interaktiv tavle), konvolutt (inneholder en oppgave for praktisk arbeid, hjemmelekser, tre kort: gul, grønn, rød), modeller av terninger.

Timeplan

Organisering av tid.

I forrige leksjon lærte vi om den klassiske sannsynlighetsformelen.

Sannsynligheten P for forekomsten av en tilfeldig hendelse A er forholdet mellom m og n, der n er antallet av alle mulige utfall av eksperimentet, og m er antallet av alle gunstige utfall..

Formelen er den såkalte klassiske definisjonen av sannsynlighet ifølge Laplace, som kom fra gamblingfeltet, hvor sannsynlighetsteorien ble brukt for å bestemme utsiktene til å vinne. Denne formelen brukes for eksperimenter med et begrenset antall like mulige utfall.

Sannsynlighet for en hendelse = Antall gunstige utfall / antall alle like mulige utfall

Så sannsynlighet er et tall mellom 0 og 1.

Sannsynligheten er 0 hvis hendelsen er umulig.

Sannsynligheten er 1 hvis hendelsen er sikker.

La oss løse problemet muntlig: Det er 20 bøker i en bokhylle, hvorav 3 er oppslagsverk. Hva er sannsynligheten for at en bok hentet fra en hylle ikke blir en oppslagsbok?

Løsning:

Det totale antallet like mulige utfall er 20

Antall gunstige utfall – 20 – 3 = 17

Svar: 0,85.

2. Å få ny kunnskap.

La oss nå gå tilbake til emnet for leksjonen vår: "Sannsynligheter for hendelser", la oss signere det i notatbøkene våre.

Hensikten med leksjonen: lære å løse problemer med å finne sannsynligheten når du kaster en terning eller to terninger.

Temaet vårt i dag er relatert til terningen eller det kalles også terninger. Terninger har vært kjent siden antikken. Terningspillet er en av de eldste terningprototypene som ble funnet i Egypt, og de dateres tilbake til det 20. århundre f.Kr. e. Det er mange varianter, fra enkle (kasteren vinner stor kvantitet poeng) til komplekse, der du kan bruke ulike spilltaktikker.

De eldste knoklene dateres tilbake til det 20. århundre f.Kr. e., oppdaget i Theben. Opprinnelig fungerte bein som verktøy for spådom. I følge arkeologiske utgravninger ble det spilt terninger overalt i alle verdenshjørner. Navnet kommer fra det opprinnelige materialet - dyrebein.

De gamle grekerne trodde at lydianerne oppfant bein, flyktet fra sult, for i det minste å okkupere tankene deres med noe.

Terningspillet ble reflektert i gammel egyptisk, gresk-romersk og vedisk mytologi. Nevnt i Bibelen, "Iliad", "Odyssey", "Mahabharata", samlingen av vediske salmer "Rigveda". I gudenes pantheons var minst én gud eieren av terninger som en integrert egenskap http://ru.wikipedia.org/wiki/%CA%EE%F1%F2%E8_%28%E8%E3%F0%E0%29 - cite_note-2 .

Etter Romerrikets fall spredte spillet seg over hele Europa, og var spesielt populært i middelalderen. Siden terninger ikke bare ble brukt til å spille, men også til spådom, forsøkte kirken gjentatte ganger å forby spillet, men alle forsøk endte med å mislykkes.

I følge arkeologiske data ble det også spilt terninger i hedensk Rus. Etter dåpen prøvde den ortodokse kirken å utrydde spillet, men blant vanlige folk forble det populært, i motsetning til i Europa, hvor den høyeste adelen og til og med presteskapet gjorde seg skyldig i å spille terninger.

Krig erklært av myndighetene forskjellige land Terningspillet har gitt opphav til mange forskjellige juksetriks.

I opplysningstiden begynte hobbyen for å spille terning gradvis å avta, folk utviklet nye hobbyer, og ble mer interessert i litteratur, musikk og maleri. Nå for tiden er det ikke så utbredt å spille terninger.

Riktige terninger gir lik sjanse til å lande en side. For å gjøre dette må alle kanter være like: glatte, flate, ha samme område, avrundinger (hvis noen), hull må bores til samme dybde. Summen av poeng på motsatte sider er 7.

En matematisk terning, som brukes i sannsynlighetsteori, er et matematisk bilde av en vanlig terning. Matematisk beinet har ingen størrelse, ingen farge, ingen vekt osv.

Når du kaster spiller bein(kube) hvilken som helst av dens seks ansikter kan falle ut, dvs. noen av arrangementer- tap fra 1 til 6 poeng (poeng). Men ingen to og flere ansikter kan ikke vises samtidig. Slik arrangementer kalles inkompatible.

Tenk på tilfellet når 1 terning kastes. La oss gjøre nummer 2 i form av en tabell.

Tenk nå på tilfellet hvor 2 terninger kastes.

Hvis den første terningen kaster ett poeng, kan den andre terningen kaste 1, 2, 3, 4, 5, 6. Vi får parene (1;1), (1;2), (1;3), (1) ;4), (1;5), (1;6) og så videre med hvert ansikt. Alle tilfeller kan presenteres i form av en tabell med 6 rader og 6 kolonner:

Elementære hendelsestabell

Det ligger en konvolutt på skrivebordet ditt.

Ta arket med oppgavene fra konvolutten.

Nå skal du fullføre en praktisk oppgave ved å bruke tabellen over elementære begivenheter.

Vis med skyggelegging hendelsene som favoriserer hendelsene:

Oppgave 1. «Samme antall poeng falt»;

1; 1	2; 1	3; 1	4; 1	5; 1	6; 1
1; 2	2; 2	3; 2	4; 2	5; 2	6; 2
1; 3	2; 3	3; 3	4; 3	5; 3	6; 3
1; 4	2; 4	3; 4	4; 4	5; 4	6; 4
1; 5	2; 5	3; 5	4; 5	5; 5	6; 5
1; 6	2; 6	3; 6	4; 6	5; 6	6; 6

Oppgave 2. «Summen av poeng er 7»;

1; 1	2; 1	3; 1	4; 1	5; 1	6; 1
1; 2	2; 2	3; 2	4; 2	5; 2	6; 2
1; 3	2; 3	3; 3	4; 3	5; 3	6; 3
1; 4	2; 4	3; 4	4; 4	5; 4	6; 4
1; 5	2; 5	3; 5	4; 5	5; 5	6; 5
1; 6	2; 6	3; 6	4; 6	5; 6	6; 6

Oppgave 3. "Summen av poeng er ikke mindre enn 7."

Hva betyr "ikke mindre"? (Svaret er "større enn eller lik")

1; 1	2; 1	3; 1	4; 1	5; 1	6; 1
1; 2	2; 2	3; 2	4; 2	5; 2	6; 2
1; 3	2; 3	3; 3	4; 3	5; 3	6; 3
1; 4	2; 4	3; 4	4; 4	5; 4	6; 4
1; 5	2; 5	3; 5	4; 5	5; 5	6; 5
1; 6	2; 6	3; 6	4; 6	5; 6	6; 6

La oss nå finne sannsynlighetene for hendelser som praktisk jobb Gunstige hendelser ble skyggelagt.

La oss skrive det ned i notatbok nr. 3

Øvelse 1.

Totalt antall utfall - 36

Svar: 1/6.

Oppgave 2.

Totalt antall utfall - 36

Antall gunstige utfall - 6

Svar: 1/6.

Oppgave 3.

Totalt antall utfall - 36

Antall gunstige utfall - 21

P = 21/36=7/12.

Svar: 7/12.

№4. Sasha og Vlad spiller terninger. Alle kaster terningen to ganger. Den med høyest antall poeng vinner. Hvis poengene er lik, ender spillet uavgjort. Sasha var den første som kastet terningen, og han fikk 5 poeng og 3 poeng. Nå kaster Vlad terningen.

a) I tabellen over elementære begivenheter, angi (ved skyggelegging) de elementære begivenhetene som favoriserer begivenheten "Vlad vil vinne."

b) Finn sannsynligheten for hendelsen «Vlad vil vinne».