Sannsynligheten for en tilfeldig hendelse er. Uavhengighet av hendelser

I økonomi, som på andre områder av menneskelig aktivitet eller i naturen, må vi hele tiden forholde oss til hendelser som ikke kan forutsies nøyaktig. Salgsvolumet til et produkt avhenger således av etterspørselen, som kan variere betydelig, og av en rekke andre faktorer som er nesten umulig å ta hensyn til. Derfor, når du organiserer produksjon og gjennomfører salg, må du forutsi resultatet av slike aktiviteter på grunnlag av enten din egen tidligere erfaring, eller lignende erfaring fra andre mennesker, eller intuisjon, som i stor grad også er avhengig av eksperimentelle data.

For på en eller annen måte å evaluere den aktuelle hendelsen, er det nødvendig å ta hensyn til eller spesielt organisere forholdene der denne hendelsen er registrert.

Implementeringen av visse betingelser eller handlinger for å identifisere den aktuelle hendelsen kalles erfaring eller eksperiment.

Arrangementet kalles tilfeldig, hvis det som et resultat av erfaring kan forekomme eller ikke.

Arrangementet kalles pålitelig, hvis det nødvendigvis vises som et resultat av en gitt opplevelse, og umulig, hvis det ikke kan vises i denne opplevelsen.

For eksempel er snøfall i Moskva 30. november en tilfeldig hendelse. Den daglige soloppgangen kan betraktes som en pålitelig begivenhet. Snøfall ved ekvator kan betraktes som en umulig hendelse.

En av hovedoppgavene i sannsynlighetsteori er oppgaven med å bestemme et kvantitativt mål på muligheten for at en hendelse skal inntreffe.

Algebra av hendelser

Hendelser kalles uforenlige hvis de ikke kan observeres sammen i samme opplevelse. Dermed er tilstedeværelsen av to og tre biler i en butikk for salg på samme tid to uforenlige hendelser.

Beløp hendelser er en hendelse som består av forekomsten av minst én av disse hendelsene

Et eksempel på summen av hendelser er tilstedeværelsen av minst ett av to produkter i butikken.

Arbeidet hendelser er en hendelse som består av den samtidige forekomsten av alle disse hendelsene

En hendelse som består av utseendet til to varer i en butikk samtidig er et produkt av hendelser: - utseendet til ett produkt, - utseendet til et annet produkt.

Hendelser utgjør en komplett gruppe av hendelser hvis minst en av dem er sikker på å finne sted i erfaring.

Eksempel. Havnen har to båtplasser for mottak av skip. Tre hendelser kan vurderes: - fravær av skip ved kai, - tilstedeværelse av ett skip ved en av kai, - tilstedeværelse av to skip ved to kaier. Disse tre arrangementene utgjør en komplett gruppe av arrangementer.

Motsatte to unike mulige hendelser som utgjør en komplett gruppe kalles.

Hvis en av hendelsene som er motsatt er angitt med , så er den motsatte hendelsen vanligvis angitt med .

Klassiske og statistiske definisjoner av hendelsessannsynlighet

Hvert av de like mulige resultatene av tester (eksperimenter) kalles et elementært utfall. De er vanligvis betegnet med bokstaver. For eksempel kastes en terning. Det kan være totalt seks elementære utfall basert på antall poeng på sidene.

Fra elementære utfall kan du lage en mer kompleks hendelse. Dermed bestemmes hendelsen med et partall poeng av tre utfall: 2, 4, 6.

Et kvantitativt mål på muligheten for at den aktuelle hendelsen skal inntreffe er sannsynlighet.

De mest brukte definisjonene av sannsynligheten for en hendelse er: klassisk Og statistisk.

Den klassiske definisjonen av sannsynlighet er assosiert med konseptet om et gunstig utfall.

Utfallet kalles gunstig til en gitt hendelse hvis forekomsten medfører at denne hendelsen inntreffer.

I eksemplet ovenfor har den aktuelle begivenheten – et jevnt antall poeng på rullet side – tre gunstige utfall. I dette tilfellet er det generelle
antall mulige utfall. Dette betyr at den klassiske definisjonen av sannsynligheten for en hendelse kan brukes her.

Klassisk definisjon er lik forholdet mellom antall gunstige utfall og det totale antallet mulige utfall

hvor er sannsynligheten for hendelsen, er antall utfall som er gunstige for hendelsen, er det totale antallet mulige utfall.

I det betraktede eksemplet

Den statistiske definisjonen av sannsynlighet er assosiert med konseptet om den relative hyppigheten av forekomst av en hendelse i eksperimenter.

Den relative hyppigheten av forekomst av en hendelse beregnes ved hjelp av formelen

hvor er antall forekomster av en hendelse i en serie eksperimenter (tester).

Statistisk definisjon. Sannsynligheten for en hendelse er tallet som den relative frekvensen stabiliserer (sett) rundt med en ubegrenset økning i antall eksperimenter.

I praktiske problemer anses sannsynligheten for en hendelse å være den relative frekvensen for et tilstrekkelig stort antall forsøk.

Fra disse definisjonene av sannsynligheten for en hendelse er det klart at ulikheten alltid er tilfredsstilt

For å bestemme sannsynligheten for en hendelse basert på formel (1.1), brukes ofte kombinatoriske formler, som brukes for å finne antall gunstige utfall og totalt antall mulige utfall.

Når man skal vurdere sannsynligheten for at en tilfeldig hendelse skal inntreffe, er det svært viktig å ha en god forståelse av om sannsynligheten (sannsynligheten for en hendelse) for at den hendelsen som er av interesse for oss, avhenger av hvordan andre hendelser utvikler seg. Når det gjelder det klassiske opplegget, når alle utfall er like sannsynlige, kan vi allerede estimere sannsynlighetsverdiene for den individuelle hendelsen av interesse for oss uavhengig. Vi kan gjøre dette selv om arrangementet er en kompleks samling av flere elementære utfall. Hva om flere tilfeldige hendelser skjer samtidig eller etter hverandre? Hvordan påvirker dette sannsynligheten for at hendelsen vi er interessert i skal skje? Hvis jeg kaster en terning flere ganger og vil at en sekser skal komme opp, og jeg fortsetter å være uheldig, betyr det at jeg bør øke innsatsen min fordi jeg, ifølge sannsynlighetsteorien, er i ferd med å være heldig? Akk, sannsynlighetsteori sier ikke noe slikt. Verken terninger, kort eller mynter kan huske hva de viste oss forrige gang. Det spiller ingen rolle for dem i det hele tatt om det er første gang eller tiende gang jeg tester lykken i dag. Hver gang jeg gjentar kastet, vet jeg bare én ting: og denne gangen er sannsynligheten for å få en sekser igjen en sjettedel. Dette betyr selvfølgelig ikke at tallet jeg trenger aldri kommer opp. Dette betyr bare at tapet mitt etter det første kastet og etter ethvert annet kast er uavhengige hendelser. Hendelser A og B kalles uavhengige dersom forekomsten av en av dem ikke på noen måte påvirker sannsynligheten for den andre hendelsen. Sannsynlighetene for å treffe et mål med det første av to våpen avhenger for eksempel ikke av om målet ble truffet av det andre våpenet, så hendelsene "det første våpenet traff målet" og "det andre våpenet traff målet" er uavhengig. Hvis to hendelser A og B er uavhengige, og sannsynligheten for hver av dem er kjent, kan sannsynligheten for samtidig forekomst av både hendelse A og hendelse B (betegnet AB) beregnes ved å bruke følgende teorem.

Sanfor uavhengige hendelser

P(AB) = P(A)*P(B) sannsynligheten for samtidig forekomst av to uavhengige hendelser er lik produktet av sannsynlighetene for disse hendelsene.

Eksempel 1. Sannsynlighetene for å treffe målet ved avfyring av den første og andre pistolen er henholdsvis like: p 1 = 0,7; p2 = 0,8. Finn sannsynligheten for et treff med én salve av begge våpen samtidig.

som vi allerede har sett, er hendelser A (truffet av den første pistolen) og B (truffet av den andre pistolen) uavhengige, dvs. P(AB)=P(A)*P(B)=pl*p2=0,56.

Hva skjer med våre estimater hvis de første hendelsene ikke er uavhengige? La oss endre det forrige eksemplet litt. Eksempel 2.

To skyttere skyter på skiver i en konkurranse, og hvis en av dem skyter nøyaktig, begynner motstanderen å bli nervøs og resultatene forverres. Hvordan gjøre denne hverdagssituasjonen til et matematisk problem og skissere måter å løse det på? Det er intuitivt klart at det på en eller annen måte er nødvendig å skille de to alternativene for utvikling av hendelser, for å i hovedsak skape to scenarier, to forskjellige oppgaver. I det første tilfellet, hvis motstanderen bommet, vil scenariet være gunstig for den nervøse idrettsutøveren og hans nøyaktighet vil være høyere. I det andre tilfellet, hvis motstanderen tok sjansen anstendig, reduseres sannsynligheten for å treffe målet for den andre utøveren.

For å skille mulige scenarier (ofte kalt hypoteser) for utvikling av hendelser, vil vi ofte bruke et "sannsynlighetstre"-diagram. Dette diagrammet har samme betydning som beslutningstreet som du sannsynligvis allerede har behandlet. Hver gren representerer et eget scenario for utvikling av hendelser, bare nå har den sin egen verdi av den såkalte betingede sannsynligheten (q 1, q 2, q 1 -1, q 2 -1). Dette opplegget er veldig praktisk for å analysere sekvensielle tilfeldige hendelser. Et viktig spørsmål gjenstår å avklare: hvor kommer de opprinnelige sannsynlighetene fra i virkelige situasjoner? Tross alt, fungerer ikke sannsynlighetsteori med bare mynter og terninger? Vanligvis er disse estimatene hentet fra statistikk, og når statistisk informasjon ikke er tilgjengelig, utfører vi vår egen forskning. Og vi må ofte ikke begynne med å samle inn data, men med spørsmålet om hvilken informasjon vi faktisk trenger.

Eksempel 3.

La oss si at vi trenger å anslå i en by med en befolkning på hundre tusen innbyggere markedsvolumet for et nytt produkt som ikke er et viktig element, for eksempel for en balsam for pleie av farget hår. La oss vurdere "sannsynlighetstreet"-diagrammet. I dette tilfellet må vi omtrent estimere sannsynlighetsverdien på hver "gren". Så våre estimater av markedskapasitet:

3) av dem bruker bare 10 % balsam for farget hår,

4) av dem kan bare 10 % ta motet til å prøve et nytt produkt,

5) 70 % av dem kjøper vanligvis ikke alt fra oss, men fra våre konkurrenter.

I henhold til loven om multiplikasjon av sannsynligheter, bestemmer vi sannsynligheten for hendelsen vi er interessert i A = (en byboer kjøper denne nye balsamen fra oss) = 0,00045. La oss multiplisere denne sannsynlighetsverdien med antall innbyggere i byen. Som et resultat har vi kun 45 potensielle kunder, og tatt i betraktning at én flaske av dette produktet varer i flere måneder, er handelen lite livlig. Og likevel er det en viss fordel av våre vurderinger. For det første kan vi sammenligne prognoser for forskjellige forretningsideer, de vil ha forskjellige "gafler" i diagrammene, og selvfølgelig vil sannsynlighetsverdiene også være forskjellige. For det andre, som vi allerede har sagt, kalles ikke en tilfeldig variabel tilfeldig fordi den ikke er avhengig av noe i det hele tatt. Den nøyaktige betydningen er rett og slett ikke kjent på forhånd. Vi vet at gjennomsnittlig antall kjøpere kan økes (for eksempel ved å annonsere for et nytt produkt). Så det er fornuftig å fokusere vår innsats på de "gaflene" der sannsynlighetsfordelingen ikke passer oss spesielt, på de faktorene vi er i stand til å påvirke. La oss se på et annet kvantitativt eksempel på forbrukeratferdsforskning.

For å skille mulige scenarier (ofte kalt hypoteser) for utvikling av hendelser, vil vi ofte bruke et "sannsynlighetstre"-diagram. Dette diagrammet har samme betydning som beslutningstreet som du sannsynligvis allerede har behandlet. Hver gren representerer et eget scenario for utvikling av hendelser, bare nå har den sin egen verdi av den såkalte betingede sannsynligheten (q 1, q 2, q 1 -1, q 2 -1). I gjennomsnitt besøker 10 000 mennesker matmarkedet per dag. Sannsynligheten for at en markedsbesøkende kommer inn i meieriproduktpaviljongen er 1/2. Det er kjent at denne paviljongen selger i gjennomsnitt 500 kg ulike produkter per dag. Kan vi si at gjennomsnittskjøpet i paviljongen bare veier 100 g?

Diskusjon.

Selvfølgelig ikke. Det er tydelig at ikke alle som kom inn i paviljongen endte opp med å kjøpe noe der.

Som vist i diagrammet, for å svare på spørsmålet om gjennomsnittsvekten av et kjøp, må vi finne et svar på spørsmålet, hva er sannsynligheten for at en person som går inn i paviljongen vil kjøpe noe der. Hvis vi ikke har slike data til rådighet, men vi trenger dem, må vi skaffe dem selv ved å observere de besøkende til paviljongen en stund. La oss si at våre observasjoner viste at bare en femtedel av paviljongbesøkende kjøper noe.

Når vi har fått disse estimatene, blir oppgaven enkel. Av 10.000 personer som kommer til markedet, vil 5.000 gå til meieriproduktpaviljongen, og det blir bare 1000 kjøp. Gjennomsnittsvekten på et kjøp er 500 gram. Det er interessant å merke seg at for å bygge et fullstendig bilde av hva som skjer, må logikken til betinget "forgrening" defineres på hvert trinn av resonnementet vårt like klart som om vi jobbet med en "spesifikk" situasjon, og ikke med sannsynligheter.

Selvtestoppgaver.

1. La det være en elektrisk krets bestående av n elementer koblet i serie, som hver fungerer uavhengig av de andre. Sannsynligheten p for svikt for hvert element er kjent. Bestem sannsynligheten for riktig drift av hele delen av kretsen (hendelse A).

2. Studenten kan 20 av 25 eksamensspørsmål. Finn sannsynligheten for at studenten kan de tre spørsmålene som sensor har gitt ham.

3. Produksjonen består av fire påfølgende stadier, ved hvert av hvilke utstyr opererer, for hvilke sannsynlighetene for feil i løpet av neste måned er lik henholdsvis p 1, p 2, p 3 og p 4. Finn sannsynligheten for at det ikke blir produksjonsstans på grunn av utstyrssvikt om en måned.

I utgangspunktet, som bare en samling av informasjon og empiriske observasjoner om terningspillet, ble sannsynlighetsteorien en grundig vitenskap. De første som ga det et matematisk rammeverk var Fermat og Pascal.

Fra å tenke på det evige til sannsynlighetsteorien

Takket være lidenskapen til Chevalier de Mere, som var like en gambler og en mann som ikke var likegyldig til vitenskap, ble Pascal tvunget til å finne en måte å beregne sannsynlighet på. De Mere var interessert i følgende spørsmål: "Hvor mange ganger trenger du å kaste to terninger i par slik at sannsynligheten for å få 12 poeng overstiger 50%?" Det andre spørsmålet, som var av stor interesse for mannen: "Hvordan dele innsatsen mellom deltakerne i det uferdige spillet?" Selvfølgelig svarte Pascal vellykket på begge spørsmålene til de Mere, som ble den uvitende initiativtakeren til utviklingen av sannsynlighetsteori. Det er interessant at personen til de Mere forble kjent i dette området, og ikke i litteraturen.

Tidligere hadde ingen matematiker noen gang forsøkt å beregne sannsynlighetene for hendelser, siden man trodde at dette bare var en gjetteløsning. Blaise Pascal ga den første definisjonen av sannsynligheten for en hendelse og viste at det er en spesifikk figur som kan rettferdiggjøres matematisk. Sannsynlighetsteori har blitt grunnlaget for statistikk og er mye brukt i moderne vitenskap.

Hva er tilfeldighet

Hvis vi vurderer en test som kan gjentas et uendelig antall ganger, så kan vi definere en tilfeldig hendelse. Dette er et av de sannsynlige resultatene av eksperimentet.

Erfaring er gjennomføring av spesifikke handlinger under konstante forhold.

For å kunne arbeide med resultatene av eksperimentet, er hendelser vanligvis betegnet med bokstavene A, B, C, D, E...

Sannsynlighet for en tilfeldig hendelse

For å begynne den matematiske delen av sannsynlighet, er det nødvendig å definere alle komponentene.

Sannsynligheten for en hendelse er et numerisk mål på muligheten for at en hendelse (A eller B) skal inntreffe som et resultat av en opplevelse. Sannsynligheten er betegnet som P(A) eller P(B).

I sannsynlighetsteori skiller de:

• pålitelig hendelsen vil garantert oppstå som et resultat av opplevelsen P(Ω) = 1;
• umulig hendelsen kan aldri skje P(Ø) = 0;
• tilfeldig en hendelse ligger mellom pålitelig og umulig, det vil si at sannsynligheten for at den inntreffer er mulig, men ikke garantert (sannsynligheten for en tilfeldig hendelse er alltid innenfor området 0≤Р(А)≤ 1).

Forhold mellom hendelser

Både én og summen av hendelser A+B blir vurdert når hendelsen telles når minst en av komponentene, A eller B, eller begge, A og B, er oppfylt.

I forhold til hverandre kan hendelser være:

• Like mulig.
• Kompatibel.
• Uforenlig.
• Motsatt (gjensidig utelukkende).
• Avhengig.

Hvis to hendelser kan skje med lik sannsynlighet, så de like mulig.

Hvis forekomsten av hendelse A ikke reduserer sannsynligheten for forekomsten av hendelse B til null, så kompatibel.

Hvis hendelser A og B aldri skjer samtidig i samme opplevelse, kalles de uforenlig. Å kaste en mynt er et godt eksempel: utseendet til hoder er automatisk at hoder ikke vises.

Sannsynligheten for summen av slike uforenlige hendelser består av summen av sannsynlighetene for hver av hendelsene:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Hvis forekomsten av en hendelse gjør forekomsten av en annen umulig, kalles de motsatte. Så er en av dem utpekt som A, og den andre - Ā (leses som "ikke A"). Forekomsten av hendelse A betyr at  ikke skjedde. Disse to hendelsene danner en komplett gruppe med en sum av sannsynligheter lik 1.

Avhengige hendelser har gjensidig innflytelse, reduserer eller øker sannsynligheten for hverandre.

Forhold mellom hendelser. Eksempler

Ved å bruke eksempler er det mye lettere å forstå prinsippene for sannsynlighetsteori og kombinasjoner av hendelser.

Forsøket som skal gjennomføres består i å ta baller ut av en boks, og resultatet av hvert forsøk er et elementært utfall.

En hendelse er et av de mulige utfallene av et eksperiment - en rød ball, en blå ball, en ball med nummer seks, etc.

Test nr. 1. Det er 6 baller involvert, hvorav tre er blå med oddetall på, og de tre andre er røde med partall.

Test nr. 2. Det er 6 blå kuler med tall fra én til seks.

Basert på dette eksemplet kan vi navngi kombinasjoner:

• Pålitelig arrangement. På spansk Nr. 2 hendelsen "få den blå ballen" er pålitelig, siden sannsynligheten for at den inntreffer er lik 1, siden alle ballene er blå og det kan ikke være noen glipp. Mens hendelsen "få ballen med tallet 1" er tilfeldig.
• Umulig hendelse. På spansk nr. 1 med blå og røde kuler, hendelsen "å få en lilla ball" er umulig, siden sannsynligheten for at den inntreffer er 0.
• Like mulige hendelser. På spansk nr. 1, hendelsene "få ballen med tallet 2" og "få ballen med tallet 3" er like mulige, og hendelsene "få ballen med et partall" og "få ballen med tallet 2 " har forskjellige sannsynligheter.
• Kompatible hendelser.Å få en sekser to ganger på rad mens du kaster en terning er en kompatibel begivenhet.
• Inkompatible hendelser. På samme spansk nr. 1 kan ikke hendelsene "få en rød ball" og "få en ball med et oddetall" kombineres i samme opplevelse.
• Motsatte hendelser. Det mest slående eksemplet på dette er myntkasting, der tegning av hoder tilsvarer å ikke tegne haler, og summen av sannsynlighetene deres er alltid 1 (full gruppe).
• Avhengige hendelser. Så på spansk nr. 1 kan du sette som mål å trekke den røde ballen to ganger på rad. Hvorvidt det blir hentet første gang eller ikke, påvirker sannsynligheten for å bli hentet andre gang.

Det kan sees at den første hendelsen påvirker sannsynligheten for den andre betydelig (40% og 60%).

Formel for hendelsessannsynlighet

Overgangen fra spådom til presise data skjer gjennom oversettelse av emnet til et matematisk plan. Det vil si at vurderinger om en tilfeldig hendelse som «høy sannsynlighet» eller «minimal sannsynlighet» kan oversettes til spesifikke numeriske data. Det er allerede tillatt å vurdere, sammenligne og legge inn slikt materiale i mer komplekse beregninger.

Fra et beregningssynspunkt er å bestemme sannsynligheten for en hendelse forholdet mellom antall elementære positive utfall og antallet av alle mulige utfall av erfaring angående en spesifikk hendelse. Sannsynlighet er betegnet med P(A), der P står for ordet "sannsynlighet", som er oversatt fra fransk med "sannsynlighet".

Så formelen for sannsynligheten for en hendelse er:

Der m er antall gunstige utfall for hendelse A, n er summen av alle mulige utfall for denne opplevelsen. I dette tilfellet ligger sannsynligheten for en hendelse alltid mellom 0 og 1:

0 ≤ P(A)≤ 1.

Beregning av sannsynligheten for en hendelse. Eksempel

La oss ta spansk. nr. 1 med kuler, som ble beskrevet tidligere: 3 blå kuler med tallene 1/3/5 og 3 røde kuler med tallene 2/4/6.

Basert på denne testen kan flere ulike problemer vurderes:

• En rød ball faller ut. Det er 3 røde kuler, og det er 6 alternativer totalt. Dette er det enkleste eksempelet der sannsynligheten for en hendelse er lik P(A) = 3/6 = 0,5.
• B - rulle et partall. Det er 3 partall (2,4,6), og det totale antallet mulige numeriske alternativer er 6. Sannsynligheten for denne hendelsen er P(B)=3/6=0,5.
• C - forekomsten av et tall større enn 2. Det er 4 slike alternativer (3,4,5,6) av et totalt antall mulige utfall på 6. Sannsynligheten for hendelse C er lik P(C)=4 /6=0,67.

Som det fremgår av beregningene, har hendelse C høyere sannsynlighet, siden antall sannsynlige positive utfall er høyere enn i A og B.

Inkompatible hendelser

Slike hendelser kan ikke dukke opp samtidig i samme opplevelse. Som på spansk nr. 1 er det umulig å få en blå og en rød ball samtidig. Det vil si at du kan få enten en blå eller en rød ball. På samme måte kan ikke et partall og et oddetall vises i en terning samtidig.

Sannsynligheten for to hendelser betraktes som sannsynligheten for summen eller produktet deres. Summen av slike hendelser A+B anses å være en hendelse som består av forekomsten av hendelse A eller B, og produktet av dem AB er forekomsten av begge. For eksempel utseendet til to seksere samtidig på ansiktene til to terninger i ett kast.

Summen av flere hendelser er en hendelse som forutsetter at minst én av dem inntreffer. Produksjonen av flere arrangementer er den felles forekomsten av dem alle.

I sannsynlighetsteori, som regel, betegner bruken av konjunksjonen "og" en sum, og konjunksjonen "eller" - multiplikasjon. Formler med eksempler vil hjelpe deg å forstå logikken til addisjon og multiplikasjon i sannsynlighetsteori.

Sannsynlighet for summen av uforenlige hendelser

Hvis sannsynligheten for uforenlige hendelser vurderes, er sannsynligheten for summen av hendelser lik tillegget av sannsynlighetene deres:

P(A+B)=P(A)+P(B)

For eksempel: la oss beregne sannsynligheten for at på spansk. nr. 1 med blå og røde kuler, vil et tall mellom 1 og 4 dukke opp. Så i et slikt eksperiment er det bare 6 baller eller 6 av alle mulige utfall. Tallene som tilfredsstiller betingelsen er 2 og 3. Sannsynligheten for å få tallet 2 er 1/6, sannsynligheten for å få tallet 3 er også 1/6. Sannsynligheten for å få et tall mellom 1 og 4 er:

Sannsynligheten for summen av uforenlige hendelser i en komplett gruppe er 1.

Så hvis vi i et eksperiment med en terning legger sammen sannsynlighetene for at alle tall vises, vil resultatet være ett.

Dette gjelder også for motsatte hendelser, for eksempel i eksperimentet med en mynt, der den ene siden er hendelsen A, og den andre er den motsatte hendelsen Ā, som kjent,

P(A) + P(Ā) = 1

Sannsynlighet for uforenlige hendelser

Sannsynlighetsmultiplikasjon brukes når man vurderer forekomsten av to eller flere uforenlige hendelser i en observasjon. Sannsynligheten for at hendelser A og B vil vises i den samtidig er lik produktet av deres sannsynligheter, eller:

P(A*B)=P(A)*P(B)

For eksempel sannsynligheten for at på spansk nr. 1, som følge av to forsøk, vil en blå ball vises to ganger, lik

Det vil si at sannsynligheten for at en hendelse inntreffer når, som et resultat av to forsøk på å trekke ut kuler, kun blå kuler trekkes ut er 25 %. Det er veldig enkelt å gjøre praktiske eksperimenter på dette problemet og se om dette faktisk er tilfelle.

Felles arrangementer

Hendelser regnes som felles når forekomsten av en av dem kan falle sammen med forekomsten av en annen. Til tross for at de er felles, vurderes sannsynligheten for uavhengige hendelser. For eksempel kan det å kaste to terninger gi et resultat når tallet 6 vises på dem begge. Selv om hendelsene falt sammen og dukket opp samtidig, er de uavhengige av hverandre - bare en sekser kan falle ut, den andre terningen har ingen. innflytelse på det.

Sannsynligheten for felles hendelser regnes som sannsynligheten for summen deres.

Sannsynlighet for summen av felles hendelser. Eksempel

Sannsynligheten for summen av hendelser A og B, som er felles i forhold til hverandre, er lik summen av sannsynlighetene for hendelsen minus sannsynligheten for at de inntreffer (det vil si deres felles forekomst):

R ledd (A+B)=P(A)+P(B)- P(AB)

La oss anta at sannsynligheten for å treffe målet med ett skudd er 0,4. Så treffer hendelse A målet i det første forsøket, B - i det andre. Disse hendelsene er felles, siden det er mulig at du kan treffe målet med både første og andre skudd. Men hendelser er ikke avhengige. Hva er sannsynligheten for at hendelsen treffer målet med to skudd (minst med ett)? I henhold til formelen:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

Svaret på spørsmålet er: "Sannsynligheten for å treffe målet med to skudd er 64 %."

Denne formelen for sannsynligheten for en hendelse kan også brukes på inkompatible hendelser, hvor sannsynligheten for felles forekomst av en hendelse P(AB) = 0. Dette betyr at sannsynligheten for summen av uforenlige hendelser kan betraktes som et spesialtilfelle av den foreslåtte formelen.

Sannsynlighetsgeometri for klarhet

Interessant nok kan sannsynligheten for summen av felles hendelser representeres som to områder A og B, som krysser hverandre. Som det fremgår av bildet, er arealet av deres forening lik det totale arealet minus arealet av deres skjæringspunkt. Denne geometriske forklaringen gjør den tilsynelatende ulogiske formelen mer forståelig. Merk at geometriske løsninger ikke er uvanlige i sannsynlighetsteori.

Å bestemme sannsynligheten for summen av mange (mer enn to) felles hendelser er ganske tungvint. For å beregne det, må du bruke formlene som er gitt for disse tilfellene.

Avhengige hendelser

Hendelser kalles avhengige hvis forekomsten av en (A) av dem påvirker sannsynligheten for at en annen (B) inntreffer. Dessuten er påvirkningen av både forekomsten av hendelse A og dens manglende forekomst tatt i betraktning. Selv om hendelser per definisjon kalles avhengige, er bare én av dem avhengig (B). Vanlig sannsynlighet ble betegnet som P(B) eller sannsynligheten for uavhengige hendelser. Når det gjelder avhengige hendelser, introduseres et nytt konsept - betinget sannsynlighet P A (B), som er sannsynligheten for en avhengig hendelse B, med forbehold om forekomsten av hendelse A (hypotese), som den avhenger av.

Men hendelse A er også tilfeldig, så den har også en sannsynlighet for at behov og kan tas med i beregningene som utføres. Følgende eksempel vil vise hvordan man arbeider med avhengige hendelser og en hypotese.

Et eksempel på beregning av sannsynligheten for avhengige hendelser

Et godt eksempel for å beregne avhengige hendelser vil være en standard kortstokk.

Ved å bruke en kortstokk med 36 kort som eksempel, la oss se på avhengige hendelser. Vi må bestemme sannsynligheten for at det andre kortet som trekkes fra bunken vil være av ruter hvis det første kortet som trekkes er:

1. Bubnovaya.
2. En annen farge.

Sannsynligheten for den andre hendelsen B avhenger selvsagt av den første A. Så hvis det første alternativet er sant, at det er 1 kort (35) og 1 ruter (8) mindre i kortstokken, er sannsynligheten for hendelse B:

RA (B) = 8/35 = 0,23

Hvis det andre alternativet er sant, har kortstokken 35 kort, og det fulle antallet ruter (9) er fortsatt beholdt, da er sannsynligheten for følgende hendelse B:

RA (B) = 9/35 = 0,26.

Det kan ses at hvis hendelse A er betinget av at det første kortet er en ruter, så reduseres sannsynligheten for hendelse B, og omvendt.

Multiplisere avhengige hendelser

Veiledet av forrige kapittel aksepterer vi den første hendelsen (A) som et faktum, men i hovedsak er den av tilfeldig karakter. Sannsynligheten for denne hendelsen, nemlig å trekke en diamant fra en kortstokk, er lik:

P(A) = 9/36=1/4

Siden teorien ikke eksisterer alene, men er ment å tjene til praktiske formål, er det rimelig å merke seg at det som oftest trengs er sannsynligheten for å produsere avhengige hendelser.

I følge teoremet om produktet av sannsynligheter for avhengige hendelser, er sannsynligheten for forekomst av felles avhengige hendelser A og B lik sannsynligheten for en hendelse A, multiplisert med den betingede sannsynligheten for hendelse B (avhengig av A):

P(AB) = P(A) *P A(B)

Så, i kortstokkeksemplet, er sannsynligheten for å trekke to kort med ruter:

9/36*8/35=0,0571, eller 5,7 %

Og sannsynligheten for å trekke ut ikke diamanter først, og deretter diamanter, er lik:

27/36*9/35=0,19, eller 19 %

Det kan sees at sannsynligheten for at hendelse B inntreffer er større forutsatt at det første kortet som trekkes er av en annen farge enn ruter. Dette resultatet er ganske logisk og forståelig.

Total sannsynlighet for en hendelse

Når et problem med betingede sannsynligheter blir mangefasettert, kan det ikke beregnes ved bruk av konvensjonelle metoder. Når det er mer enn to hypoteser, nemlig A1, A2,..., A n, .. danner en komplett gruppe hendelser gitt:

• P(A i)>0, i=1,2,...
• A i ∩ A j =Ø,i≠j.
• Σ k A k =Ω.

Så formelen for total sannsynlighet for hendelse B med en komplett gruppe av tilfeldige hendelser A1, A2,..., A n er lik:

Et blikk inn i fremtiden

Sannsynligheten for en tilfeldig hendelse er ekstremt nødvendig på mange områder av vitenskapen: økonometri, statistikk, fysikk osv. Siden noen prosesser ikke kan beskrives deterministisk, siden de i seg selv er sannsynlige i naturen, kreves det spesielle arbeidsmetoder. Sannsynsteorien for en hendelse kan brukes innen et hvilket som helst teknologisk felt som en måte å bestemme muligheten for en feil eller funksjonsfeil.

Vi kan si at ved å gjenkjenne sannsynlighet tar vi på en eller annen måte et teoretisk skritt inn i fremtiden, og ser på det gjennom prisme av formler.

1. Presentasjon av hovedsetningene og sannsynlighetsformlene: addisjonsteorem, betinget sannsynlighet, multiplikasjonssetning, hendelsesuavhengighet, total sannsynlighetsformel.

Mål: skape gunstige forhold for å introdusere konseptet med sannsynlighet for en hendelse; kjennskap til de grunnleggende teoremer og formler for sannsynlighetsteori; introduser formelen for total sannsynlighet.

Fremdrift av leksjonen:

Tilfeldig eksperiment (erfaring) er en prosess der ulike utfall er mulige, og det er umulig å forutsi på forhånd hva utfallet blir. Mulige gjensidig utelukkende utfall av et eksperiment kalles dets elementære hendelser . Vi betegner settet med elementære hendelser av W.

Tilfeldig hendelse er en hendelse som det er umulig å si på forhånd om det vil skje som et resultat av erfaring eller ikke. Hver tilfeldig hendelse A som skjedde som et resultat av et eksperiment kan assosieres med en gruppe elementære hendelser fra W. De elementære hendelsene som inngår i denne gruppen kalles gunstig for forekomsten av hendelse A.

Settet W kan også betraktes som en tilfeldig hendelse. Siden det inkluderer alle elementære hendelser, vil det sikkert skje som et resultat av erfaring. En slik hendelse kalles pålitelig .

Hvis det for en gitt hendelse ikke er gunstige elementære hendelser fra W, kan det ikke oppstå som et resultat av eksperimentet. En slik hendelse kalles umulig.

Arrangementer kalles like mulig , hvis testen resulterer i like muligheter for at disse hendelsene skal skje. To tilfeldige hendelser kalles motsatte , hvis som et resultat av eksperimentet en av dem oppstår hvis og bare hvis den andre ikke forekommer. Hendelsen motsatt av hendelse A er merket med .

Hendelser A og B kalles uforenlig , hvis utseendet til en av dem utelukker utseendet til den andre. Hendelser A 1, A 2, ..., A n kalles parvis inkompatibel, hvis noen av dem er inkonsekvente. Hendelser А 1 , А 2 , ..., Аn form et komplett system av parvise inkompatible hendelser , hvis én og bare én av dem er sikker på å oppstå som et resultat av testen.

Summen (foreningen) av hendelser A 1, A 2, ..., A n kalles en slik hendelse C, som består i at minst en av hendelsene A 1, A 2, ..., A n oppstår Summen av hendelser er angitt som følger:

C = A 1 + A 2 +...+ A n.

Produktet (skjæringspunktet) av hendelser A 1, A 2, ..., A n kalles en slik hendelse P, som består i at alle hendelser A 1, A 2, ..., A n skjedde samtidig. Produksjonen av arrangementer er indikert

Sannsynlighet P(A) i sannsynlighetsteori fungerer som en numerisk karakteristikk av graden av mulighet for forekomst av en spesifikk tilfeldig hendelse A når tester gjentas mange ganger.

La oss si at i 1000 kast av en terning, vises tallet 4 160 ganger. Forholdet 160/1000 = 0,16 viser den relative frekvensen til tallet 4 i en gitt serie med tester. I et mer generelt tilfelle hyppigheten av en tilfeldig hendelse Og når du utfører en serie eksperimenter, kalles forholdet mellom antall eksperimenter der en gitt hendelse skjedde og det totale antallet eksperimenter:

hvor P*(A) er frekvensen av hendelse A; m er antall eksperimenter der hendelse A skjedde; n er det totale antallet eksperimenter.

Sannsynligheten for en tilfeldig hendelse Og de kaller et konstant tall som frekvensene til en gitt hendelse blir gruppert rundt ettersom antall eksperimenter øker ( statistisk bestemmelse av sannsynligheten for en hendelse ). Sannsynligheten for en tilfeldig hendelse er angitt med P(A).

Naturligvis vil ingen noen gang kunne utføre et ubegrenset antall tester for å fastslå sannsynligheten. Det er ikke behov for dette. I praksis kan frekvensen av en hendelse over et stort antall forsøk tas som sannsynlighet. For eksempel, fra de statistiske fødselsmønstrene etablert over mange års observasjon, er sannsynligheten for hendelsen for at den nyfødte vil være en gutt estimert til 0,515.

Hvis det under testen ikke er noen grunner til at en tilfeldig hendelse vil dukke opp oftere enn andre ( like mulige hendelser), kan sannsynligheten bestemmes basert på teoretiske betraktninger. La oss for eksempel finne ut når vi kaster en mynt hvor ofte våpenskjoldet faller ut (hendelse A). forskjellige eksperimentatorer over flere tusen tester har vist at den relative frekvensen av en slik hendelse tar verdier nær 0,5. Tatt i betraktning at utseendet til våpenskjoldet og den motsatte siden av mynten (hendelse B) er like mulige hendelser hvis mynten er symmetrisk, kan dommen P(A) = P(B) = 0,5 gjøres uten å bestemme frekvensen av disse hendelsene. Basert på begrepet «lik mulighet» for hendelser, formuleres en annen definisjon av sannsynlighet.

La hendelsen A som vurderes inntreffe i m tilfeller, som kalles gunstige for A, og ikke forekomme i de resterende n-m, ugunstige for A.

Da er sannsynligheten for hendelse A lik forholdet mellom antall elementære hendelser som er gunstige for den og deres totale antall(klassisk definisjon av sannsynligheten for en hendelse):

hvor m er antall elementære hendelser som er gunstige for hendelse A; n - Totalt antall elementære hendelser.

La oss se på noen eksempler:

Eksempel #1:En urne inneholder 40 kuler: 10 svarte og 30 hvite. Finn sannsynligheten for at en tilfeldig valgt ball blir svart.

Antall gunstige tilfeller er lik antall svarte kuler i urnen: m = 10. Totalt antall like mulige hendelser (å ta ut en ball) er lik det totale antallet kuler i urnen: n = 40. Disse hendelsene er inkonsekvente, siden én og bare én ball tas ut. P(A) = 10/40 = 0,25

Eksempel #2:Finn sannsynligheten for å få et partall når du kaster en terning.

Når du kaster en terning, oppstår seks like mulige inkompatible hendelser: utseendet til ett tall: 1,2,3,4,5 eller 6, dvs. n = 6. gunstige tilfeller er forekomsten av et av tallene 2,4 eller 6: m = 3. ønsket sannsynlighet P(A) = m/N = 3/6 = ½.

Som vi ser av definisjonen av sannsynligheten for en hendelse, for alle hendelser

0 < Р(А) < 1.

Det er klart at sannsynligheten for en viss hendelse er 1, og sannsynligheten for en umulig hendelse er 0.

Sannsynlighetsaddisjonsteorem: sannsynligheten for forekomsten av en (uansett hvilken) hendelse fra flere inkompatible hendelser er lik summen av deres sannsynligheter.

For to uforenlige hendelser A og B er sannsynlighetene for disse hendelsene lik summen av sannsynlighetene deres:

P(A eller B) = P(A) + P(B).

Eksempel #3:finn sannsynligheten for å få 1 eller 6 når du kaster en terning.

Hendelser A (ruller 1) og B (ruller 6) er like mulige: P(A) = P(B) = 1/6, derfor P(A eller B) = 1/6 + 1/6 = 1/3

Tillegget av sannsynligheter er gyldig ikke bare for to, men også for et hvilket som helst antall inkompatible hendelser.

Eksempel #4:Det er 50 kuler i urnen: 10 hvite, 20 svarte, 5 røde og 15 blå. Finn sannsynligheten for at en hvit, svart eller rød ball dukker opp under en enkelt operasjon for å fjerne en ball fra urnen.

Sannsynligheten for å trekke den hvite ballen (hendelse A) er P(A) = 10/50 = 1/5, den svarte ballen (hendelse B) er P(B) = 20/50 = 2/5 og den røde ballen ( hendelse C) er P (C) = 5/50 = 1/10. Herfra, ved å bruke formelen for å legge til sannsynligheter, får vi P(A eller B eller C) = P(A) + P(B) = P(C) = 1/5 + 2/5 + 1/10 = 7/ 10

Summen av sannsynlighetene for to motsatte hendelser, som følger av teoremet om tillegg av sannsynligheter, er lik en:

P(A) + P() = 1

I eksemplet ovenfor vil det å ta ut en hvit, svart og rød ball være hendelsen A 1, P(A 1) = 7/10. Den motsatte hendelsen av 1 er å tegne den blå ballen. Siden det er 15 blå kuler, og det totale antallet kuler er 50, får vi P(1) = 15/50 = 3/10 og P(A) + P() = 7/10 +3/10 = 1.

Hvis hendelser A 1, A 2, ..., A n danner et komplett system av parvise inkompatible hendelser, er summen av deres sannsynligheter lik 1.

Generelt beregnes sannsynligheten for summen av to hendelser A og B som

P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB).

Sannsynlighetsmultiplikasjonsteorem:

Hendelser A og B kalles uavhengig , hvis sannsynligheten for forekomst av hendelse A ikke avhenger av om hendelse B har inntruffet eller ikke, og omvendt, er sannsynligheten for at hendelse B inntreffer ikke avhengig av om hendelse A har inntruffet eller ikke.

Sannsynligheten for felles forekomst av uavhengige hendelser er lik produktet av deres sannsynligheter. For to arrangementer P(A og B)=P(A)·P(B).

Eksempel: Den ene urnen inneholder 5 sorte og 10 hvite kuler, den andre inneholder 3 svarte og 17 hvite kuler. Finn sannsynligheten for at når kuler først trekkes fra hver urne, vil begge kulene være svarte.

Løsning: sannsynligheten for å trekke en svart kule fra den første urnen (hendelse A) er P(A) = 5/15 = 1/3, en svart kule fra den andre urnen (hendelse B) er P(B) = 3/ 20

P(A og B)=P(A)·P(B) = (1/3)(3/20) = 3/60 = 1/20.

I praksis avhenger sannsynligheten for hendelse B ofte av om en annen hendelse A har skjedd eller ikke. I dette tilfellet snakker de om betinget sannsynlighet , dvs. sannsynligheten for hendelse B gitt at hendelse A inntreffer. Betinget sannsynlighet er betegnet med P(B/A).

For å kvantitativt sammenligne hendelser med hverandre i henhold til graden av deres mulighet, er det åpenbart nødvendig å knytte et visst antall til hver hendelse, som er større jo mer mulig hendelsen er. Vi vil kalle dette nummeret sannsynligheten for en hendelse. Dermed, sannsynligheten for en hendelse er et numerisk mål på graden av objektiv mulighet for denne hendelsen.

Den første definisjonen av sannsynlighet bør betraktes som den klassiske, som oppsto fra analysen av gambling og ble opprinnelig brukt intuitivt.

Den klassiske metoden for å bestemme sannsynlighet er basert på konseptet om like mulige og inkompatible hendelser, som er resultatet av en gitt opplevelse og danner en komplett gruppe av uforenlige hendelser.

Det enkleste eksemplet på like mulige og uforenlige hendelser som danner en komplett gruppe, er utseendet til en eller annen ball fra en urne som inneholder flere kuler av samme størrelse, vekt og andre håndgripelige egenskaper, som bare er forskjellige i farge, grundig blandet før de fjernes.

Derfor sies en test hvis utfall utgjør en komplett gruppe av uforenlige og like mulige hendelser å være reduserbar til et mønster av urner, eller et mønster av tilfeller, eller passer inn i det klassiske mønsteret.

Like mulige og uforenlige hendelser som utgjør en komplett gruppe vil ganske enkelt kalles tilfeller eller sjanser. Dessuten, i hvert eksperiment, sammen med tilfeller, kan mer komplekse hendelser oppstå.

Eksempel: Når vi kaster en terning, sammen med tilfellene A i - tap av i-poeng på oversiden, kan vi vurdere slike hendelser som B - tap av et partall poeng, C - tap av et antall poeng poeng som er et multiplum av tre...

I forhold til hver hendelse som kan oppstå under forsøket, deles saker inn i gunstig, der denne hendelsen inntreffer, og ugunstig, der hendelsen ikke inntreffer. I det forrige eksemplet er hendelse B foretrukket av tilfellene A 2, A 4, A 6; hendelse C - tilfeller A 3, A 6.

Klassisk sannsynlighet forekomsten av en viss hendelse kalles forholdet mellom antall tilfeller som er gunstige for forekomsten av denne hendelsen, og det totale antallet like mulige, inkompatible tilfeller som utgjør hele gruppen i et gitt eksperiment:

Hvor P(A)- sannsynlighet for forekomst av hendelse A; m- antall saker som er gunstige for hendelse A; n- totalt antall saker.

Eksempler:

1) (se eksempel ovenfor) P(B)= , P(C) =.

2) Urnen inneholder 9 røde og 6 blå kuler. Finn sannsynligheten for at en eller to tilfeldig trukket kuler viser seg å være røde.

EN- en rød ball trukket tilfeldig:

m= 9, n= 9 + 6 = 15, P(A)=

B- to røde baller trukket tilfeldig:

Følgende egenskaper følger av den klassiske definisjonen av sannsynlighet (vis deg selv):

1) Sannsynligheten for en umulig hendelse er 0;

2) Sannsynligheten for en pålitelig hendelse er 1;

3) Sannsynligheten for enhver hendelse ligger mellom 0 og 1;

4) Sannsynligheten for en hendelse motsatt hendelse A,

Den klassiske definisjonen av sannsynlighet antar at antallet utfall av en rettssak er begrenset. I praksis er det veldig ofte tester, hvor antall mulige tilfeller er uendelig. I tillegg er svakheten ved den klassiske definisjonen at det svært ofte er umulig å representere resultatet av en test i form av et sett med elementære hendelser. Det er enda vanskeligere å angi årsakene til å vurdere de elementære resultatene av en test som like mulige. Vanligvis konkluderes likemuligheten til elementære testresultater fra betraktninger om symmetri. Slike oppgaver er imidlertid svært sjeldne i praksis. Av disse grunner, sammen med den klassiske definisjonen av sannsynlighet, brukes også andre definisjoner av sannsynlighet.

Statistisk sannsynlighet hendelse A er den relative hyppigheten av forekomst av denne hendelsen i testene som er utført:

hvor er sannsynligheten for at hendelse A inntreffer;

Relativ hyppighet av forekomst av hendelse A;

Antall forsøk der hendelse A dukket opp;

Totalt antall forsøk.

I motsetning til klassisk sannsynlighet, er statistisk sannsynlighet en eksperimentell egenskap.

Eksempel: For å kontrollere kvaliteten på produkter fra en batch, ble 100 produkter valgt tilfeldig, hvorav 3 produkter viste seg å være defekte. Bestem sannsynligheten for ekteskap.

Den statistiske metoden for å bestemme sannsynlighet gjelder bare for hendelser som har følgende egenskaper:

Hendelsene som vurderes bør kun være resultatet av de testene som kan reproduseres et ubegrenset antall ganger under samme sett med betingelser.

Hendelser må ha statistisk stabilitet (eller stabilitet av relative frekvenser). Dette betyr at i ulike serier av tester endres den relative frekvensen av hendelsen lite.

Antall forsøk som resulterer i hendelse A må være ganske stort.

Det er lett å verifisere at egenskapene til sannsynlighet som oppstår fra den klassiske definisjonen også er bevart i den statistiske definisjonen av sannsynlighet.