Selvstendig arbeid med logikk. Test på informatikk og IKT "elementer av algebra av logikk" La Anna like leksjonene

Ivanov, Ozhegov, Krysin, Lopatin, Bunin, Fonvizin, Grønn, Tseitlin, Darwin. Mannlige etternavn -ov, -inn(russisk og lånt) er tilbøyelige: Ozhegovs ordbok, historien tilhører Bunin, jeg venter på Ivanov, snakker med Krysin om Green.

Lånte etternavn -ov, -inn som hører til utlendinger, i form av instrumentalsaken har de en slutt -ohm(som substantiv i den andre skolebøyningen, for eksempel bord, bord): teorien ble foreslått av Darwin, filmen ble regissert av Chaplin, boken ble skrevet av Cronin.(Interessant nok er pseudonymet også tilbøyelig Grønn, som tilhører en russisk forfatter: boken er skrevet Grønn.) Homonyme russiske etternavn har endingen - th i instrumentalsaken: med Chaplin(fra dialektordet Chaplia"hegre"), med Kronin(fra krone).

Shukshina, Ilyina, Petrova, Fedorova, Graudina. Kvinners etternavn -ina, -ova bøye seg. Etternavn som Rips, Perle Avvist på to måter, avhengig av avvisningen av det mannlige etternavnet (Irina Zhemchuzhina og Irina Zhemchuzhina, Zoya Smorodina og Zoya Smorodina). Hvis mannens etternavn er Zhemchuzhin, så korriger: ankomst av Irina Zhemchuzhina. Hvis mannens etternavn er Perle, så korriger: ankomst av Irina Zhemchuzhina(etternavn er avvist som et vanlig substantiv perle).

Okudzhava, Globa, Shcherba, Vayda -og jeg ubetonet, vanligvis bøyd (sanger av Bulat Okudzhava, prognoser av Pavel Globa, filmer av Andrzej Wajda).

Gamsakhurdia, Beria, Danelia, Pihoya. Etternavn som begynner med - ia ikke bøy: bøker av Konstantin Gamsakhurdia. Derimot starter georgiske etternavn med - og jeg bøyd: Berias forbrytelser, Danelias filmer. Etternavn som begynner med - Åh bøyes etter substantivmønsteret nåler: om Rudolf Pihoy.

Mitta, Stekepanne, Kvasha. Mannlige og kvinnelige etternavn av slavisk opprinnelse i -EN perkusjonsbue (om Alexander Mitte, med Grigory Skovoroda, med Igor Kvasha).

Dumas, Zola, Gavalda. Mannlige og kvinnelige etternavn av fransk opprinnelse i -og jeg trommer bukker ikke (bøker av Alexandre Dumas, Emile Zola, Anna Gavalda).

Korolenko, Dovzhenko, Shevchenko, Lukasjenko, Petrenko. Mannlige og kvinnelige etternavn -ko ikke bøy deg.

Falcone, Gastello, Zhivago, Durnovo, Lando, Dante, Koni. Mannlige og kvinnelige etternavn -o, -e, -i, -u, -yu ikke bøy deg.

Blok, Gaft, Brockhaus, Hasek, Mickiewicz, Stirlitz, Dahl, Rosenthal, Gudziy, Macbeth. Mannlige etternavn som slutter på en konsonant, enten de er myke eller harde, blir avvist (Brockhaus-leksikon, Mickiewiczs poesi, ordbok skrevet av Dahl). Kvinnelige etternavn som slutter på en konsonant blir ikke avvist (til Lyubov Dmitrievna Blok, memoarer til Nadezhda Mandelstam).

Svart, rød, vridd. Mannlige og kvinnelige etternavn -s, -dem ikke bøy deg.

Kalakutskaya, Kalakutsky, Hvit, Hvit, Tolstaya, Tolstoy. Mannlige og kvinnelige etternavn, som er adjektiv i form, blir avvist i henhold til adjektivmodellen:

I. p.: Andrey Bely, Tatyana Tolstaya

R. p.: Andrey Bely, Tatyana Tolstoy

D. p.: Andrey Bely, Tatyana Tolstoy

V. p.: Andrey Bely, Tatyana Tolstoy

T.p.: med Andrei Bely, med Tatyana Tolstaya

P. p.: om Andrei Bely, om Tatyana Tolstoy

Se mer...

Russland er et multinasjonalt land, så det er mange navn og etternavn av ulik opprinnelse.

Vi må signere notatbøker, fylle ut dokumenter, og vi må sette etternavnet vårt i en bestemt sak og ikke gjøre feil med avslutningen. Det er her vanskeligheter venter oss. For eksempel hvordan si riktig: «belønning Lyanka Elena eller Lyanka Elena, Bavtruk Timur eller Bavtruk Timur, Anton Sedykh eller Anton Sedogo»?

I dag vil vi prøve å forstå noen aspekter ved deklinasjonen av utenlandske og russisktalende etternavn, mannlige og kvinnelige.

La oss begynne med de fleste av etternavnene er opprinnelig russiske ligner i form på adjektiver med suffikser -sk-, -in-, -ov- (-ev-): Hvorostovsky, Veselkin, Mikhalkov, Ivanov, Tsarev. De kan ha form av både mannlige og hunn, og også brukt i flertall. Samtidig er det sjelden noen som har problemer med deklinasjon av slike etternavn.

I. s. (hvem? hva?) Hvorostovsky, Hvorostovskaya, Hvorostovsky.

R. p. (hvem? hva?) Hvorostovsky, Hvorostovskaya, Hvorostovsky.

D. p. (til hvem? hva?) Hvorostovsky, Hvorostovskaya, Hvorostovsky.

V. p. (hvem? hva?) Hvorostovsky, Hvorostovskaya, Hvorostovsky.

osv. (av hvem? med hva?) Hvorostovsky, Hvorostovskaya, Hvorostovsky.

P. s. (om hvem? om hva?) om Hvorostovsky, om Hvorostovskaya, om Hvorostovskyene.

Du må imidlertid være forsiktig med etternavn som slutter med en konsonant eller et mykt tegn. For eksempel, Sjakal, Tavgen, Korob, Oldefar. I dette tilfellet vil avvisningen avhenge av Hvilket kjønn tilhører etternavnet? Hvis vi snakker om om en kvinne er de like e etternavn er uavvikelige, men mannlige etternavn er uavbrytelige, som substantiver av 2. deklinasjonsmann. R. (som bord, hjort). Dette gjelder ikke etternavn som slutter på - dem(e). Gå for eksempel med Sjakal Anna Og Sjakal Anton, snakke om Tavgen Anastasia og om Tavgena Alexandra, gå med Darias oldefar og med Oldefar Emelyan.

Noen etternavn liker Barn, Kravets, Zhuravel kan ha variabel deklinasjon på grunn av at de ligner vanlige substantiv. Når deklinasjon av substantiver forekommer slippe en vokal på slutten av et ord(zhur fly ow Jeg, bader rebben NK a), når du avslår et etternavn, kan vokalen bevares for å forhindre forvrengning eller komisk lyd av etternavnet (skriv Zhuravel, utsendelse fra barn).

Ikke bøy deg mannlige og kvinnelige etternavn -s(er). Snakke om Diana Sedykh og om Anton Sedykh, skrive Velimiru Kruchenykh Og Antonina Kruchenykh.

Alle kvinnelige og mannlige etternavn som slutter på vokaler, unntatt -EN eller -JEG, er urokkelig. For eksempel Artman, Amadou, Bossuet, Goethe, Galsworthy, Gramsci, Grétry, Debussy, Dzhusoit, Daudet, Camus, Cornu, Lully, Manzu, Modigliani, Navoi, Rustaveli, Ordzhonikidze, Chabukiani, Enescu og mange andre.

Dette inkluderer også etternavn som slutter på -O, og etternavn ukrainsk opprinnelse på -ko. For eksempel Hugo, La Rochefoucauld, Leoncavallo, Longfellow, Picasso, Craft, Khitrovo, Chamisso, Makarenko, Korolenko, Gorbatko, Shepitko, Savchenko, Zhivago, Derevyago, etc.

Bøyning av etternavn som slutter på -EN, forårsaker de største vanskelighetene. Her er det nødvendig å ta hensyn til flere kriterier: opprinnelsen til etternavnet, aksent og bokstav etter som -EN plassert. La oss prøve å forenkle bildet så mye som mulig.

Etternavn er ikke tilbøyelige til -EN, hvis denne bokstaven innledes med en vokal (oftest på eller Og): Gulia, Moravia, Delacroix, Heredia. Dette gjelder også etternavn av georgisk opprinnelse.

Etternavn er ikke tilbøyelige til -ENfransk opprinnelse med vekt på siste stavelse: Degas, Dumas, Luc, Thomas, Fermat, Petipa og så videre.

Alle andre etternavn er -EN avslått på russisk. Bringe Lyanka Elena, ta fra Shatravki Inna, les Petrarch, sammen med Kurosawa, O Glinka, For Alexandra Mitta.

Situasjonen er lik med deklinasjonen av etternavn fra finalen -JEG: etternavn blir ikke avvist fransk opprinnelse med vekt på siste stavelse (Zola). Alle andre etternavn som slutter på -JEG, Bue. For eksempel overtale Ivan Golovnya Og Elena Golovnya, skrive om Beria, film Georgy Danelia.

Derfor, som du kanskje har lagt merke til, trenger du ikke å kjenne for mange regler for å uttale etternavnet ditt på russisk. Vi håper at du nå ikke vil gjøre feil når du signerer en notatbok eller fyller ut dokumenter! Men hvis du fortsatt er i tvil, vennligst kontakt oss. Våre spesialister vil alltid prøve å hjelpe!

Lykke til til deg og det vakre, lesekyndige, rike russiske språket!

nettside, ved kopiering av materiale helt eller delvis, kreves en lenke til kilden.

1. Navn (slavisk) på -O slik som Levko, Marko, Pavlo, Petro avvises i henhold til modellen for deklinasjon av substantiv for maskulint-neuter, for eksempel: foran Levka, i Mark; M. Gorky avslår ikke navnet Danko ("... hun snakket om Dankos brennende hjerte").

Navn som har parallelle former på -O – -EN(Gavrilo - Gavrila, Mikhaila - Mikhaila), falt vanligvis i henhold til typen feminine substantiv: ved Gavrila, til Gavrila, med Gavrila. Andre avslutninger (ved Gavril, til Gavril, med Gavril) er dannet fra en annen initial form Gavril.

2. Utenlandske navn konsonantlyden er tilbøyelig uavhengig av om de brukes uavhengig eller sammen med etternavnet, for eksempel: romanene til Jules Verne (ikke "Jules Verne"), historiene til Mark Twain, skuespillene til John Boynton Priestley, eventyrene av Hans Christian Andersen, boken til Pierre-Henri Simon. Delvise avvik observeres med doble franske navn, for eksempel: de filosofiske synspunktene til Jean-Jacques Rousseau, en kveld til minne om Jean-Richard Bloch (fornavnet er ikke avvist, se § 13, avsnitt 3).

3. Når deklinasjon av slaviske navn og etternavn, brukes former for russisk deklinasjon (spesielt i indirekte former er flytende vokaler bevart), for eksempel: Edek, Vladek (polske navn) - Edeka, Vladeka (ikke "Edka", " Vladka»); Karel Capek - Karela Capek, (ikke "Chapka"); Vaclav Havel - Vaclav Havel (ikke "Gavla").

4. Russiske og utenlandske etternavn som slutter på en konsonant blir avvist hvis de refererer til menn, og ikke avvist hvis de refererer til kvinner. Sammenlign: student Kulik - student Kulik, George Bush - Barbara Bush. Hyppige avvik fra regelen (uavviklighet av russiske mannlige etternavn som slutter med en konsonantlyd) observeres i tilfeller der etternavnet stemmer overens med navnet på et dyr eller en livløs gjenstand (gås, belte), for å unngå uvanlige eller nysgjerrige kombinasjoner, for eksempel: «Mr. Gooses» «Citizen Belt». Ofte i slike tilfeller, spesielt i offisiell forretningstale, hold etternavnet inne innledende form(jf.: trene med Stanislav Zhuk) eller gjøre endringer i denne typen deklinasjon, for eksempel, behold en flytende vokallyd i form av skrå kasus (jf.: setter stor pris på motet til Konstantin Kobets).

5. Etternavn er ikke tilbøyelige til -ago, -ako, -yago, -yh, -ih, -ovo: Shambinago, Plevako, Dubyago, Krasnykh, Dolgikh, Durnovo. Bare i vanlig språkbruk finnes former som "Ivan Sedykhs".

6. Utenlandske etternavn som slutter på en vokallyd (bortsett fra ubetonede) -og jeg, med en foregående konsonant) avtar ikke, for eksempel: romanene til Zola, diktene til Hugo, operaene til Bizet, musikken til Puncini, skuespillene til Shaw, diktene til Salman Rushdie.

Ofte er slaviske (polske og tsjekkiske) etternavn også inkludert under denne regelen. -ski Og -s: meninger til Zbigniew Brzezinski (amerikansk sosial og politisk figur), Pokornys ordbok (tsjekkisk språkforsker). Man bør imidlertid huske på at tendensen til å overføre slike etternavn i samsvar med lyden på kildespråket (jf. skrivemåten til de polske etternavnene Glinski, Leszczynska - med bokstaven b før sk) er kombinert med tradisjonen for deres overføring i henhold til russisk modell i stavemåte og deklinasjon: verk av den polske forfatteren Krasiński, fremføringer av sangeren Ewa Bandrowska-Turska, en konsert av pianisten Czerna-Stefanska, en artikkel av Octavia Opulska-Danietska, etc. For å unngå problemer med funksjonen til slike etternavn på det russiske språket, er det tilrådelig å formalisere dem i henhold til modellen for deklinasjon av russiske mannlige og kvinnelige etternavn til -sky, -tsky, -y, -aya. Polske kombinasjoner er tilbøyelige på lignende måte, for eksempel: Hjemmehæren, Hjemmehæren, etc.

Fra etternavn til aksent -EN Bare de slaviske er tilbøyelige: Fra forfatteren Mayboroda, til filosofen Skovoroda, filmene til Alexander Mitta.

Ikke-russiske etternavn med ubetonede navn -Å jeg(hovedsakelig slavisk og romansk) er tilbøyelige, for eksempel: arbeidet til Jan Neruda, diktene til Pablo Neruda, verkene til æresakademiker N.F. Gamaleya, Campanellas utopisme, Torquemadas grusomhet, filmen med Giulietta Masinas deltakelse; men filmer med Henry Fonda og Jane Fonda i hovedrollene. Finske etternavn avslår heller ikke -a: møte med Kuusela. Utenlandske etternavn går ikke ned til -ia, for eksempel: sonetter av Heredia, historier om Gulia; på -iya - tilbøyelig, for eksempel: grusomhetene i Beria.

Svingninger observeres i bruken av georgiske, japanske og noen andre etternavn; sammenlign: arie fremført av Zurab Sotkilav, Okudzhavas sanger, Ardzinba-regjeringen, 100 år siden Saint-Katayamas fødsel, politikken til general Tanaka, verkene til Ryunosuke Akutagawa. I i fjor Det har tydeligvis vært en tendens til nedgang av slike etternavn.

7. ukrainske etternavn -ko (-enko) V skjønnlitteratur vanligvis tilbøyelig, men forskjellige typer bøyninger (som maskuline eller intetkjønnsord), for eksempel: ordre til hodet til Evtukh Makogonenko; dikt dedikert til M.V. Rodzianka I moderne presse blir slike etternavn som regel ikke avslått, for eksempel: årsdagen til Taras Shevchenko, minner om V.G. Korolenko. I noen tilfeller er imidlertid deres foranderlighet tilrådelig for å tilføre klarhet i teksten, jf. brev fra V.G. Korolenko A.V. Lunacharsky - brev adressert til V.G. Korolenka. ons. også fra Tsjekhov: "Om kvelden trasket Belikov... til Kovalenki." Etternavn er ikke fremhevet: Franko Theatre, Lyashkos historier.

8. I sammensatte navn og etternavn på koreansk, vietnamesisk, burmesisk avvises den siste delen (hvis den ender på en konsonant), for eksempel: Choi Hengs tale, Pham Van Dongs uttalelse, samtale med U Ku Ling.

9. I russiske dobbeltetternavn blir første del avslått hvis den brukes i seg selv som etternavn, for eksempel: sanger av Solovyov-Sedoy, malerier av Sokolov-Skal. Hvis den første delen ikke danner et etternavn, avtar den ikke, for eksempel: forskning av Grum-Grzhimailo, i rollen som Skvoznik-Dmukhanovsky, skulptur av Demut-Malinovsky.

10. Ikke-russiske etternavn som refererer til to eller flere personer er i noen tilfeller satt i skjemaet flertall, i andre - i form av entall:

1) hvis etternavnet har to mannsnavn, så settes det i flertallsform, for eksempel: Heinrich og Thomas Mann, August og Jean Picard, Adolph og Mikhail Gottlieb; også far og sønn til Oistrakh;
- 2) med to kvinnenavn settes etternavnet i skjemaet entall, for eksempel: Irina og Tamara Press (jf. ufleksible etternavn med konsonantlyd relatert til kvinner);
- 3) hvis etternavnet er ledsaget av en mannlig og kvinnelige navn, så beholder den entallsformen, for eksempel: Franklin og Eleanor Roosevelt, Ronald og Nancy Reagan, Ariadne og Peter Tur, Nina og Stanislav Zhuk;
- 4) etternavnet settes også i entall hvis det er ledsaget av to vanlige substantiv som indikerer forskjellige kjønn, for eksempel: Mr. og Mrs. Clinton, Lord og Lady Hamilton; men når man kombinerer mann og kone, bror og søster, brukes etternavnet oftere i flertallsform: mann og kone til Estrema, bror og søster til Niringa;
- 5) ved bruk av ordet ektefelle, er etternavnet gitt i entallsform, for eksempel: ektefelle Kent, ektefelle Major;
- 6) med ordet brødre blir etternavnet også vanligvis satt i entallsform, for eksempel: brødrene Grimm, brødrene Spiegel, brødrene Schellenberg, brødrene Pokrass; det samme med ordet søstre: Koch søstre;
- 7) ved bruk av ordet familie gis etternavnet vanligvis i entallsform, for eksempel: Oppenheim-familien, Hoffmann-Stal-familien.

11. I kombinasjoner av russiske etternavn med tall, brukes følgende former: to Petrovs, begge Petrovs, to Petrovs, begge Petrov-brødrene, to Petrov-venner; to (begge) Zhukovskys; to (begge) Zhukovskys. Denne regelen gjelder også for kombinasjoner av tall med fremmedspråklige etternavn: begge Schlegels, to brødre til Mann.

12. Kvinnelige mellomnavn Avvist i henhold til typen deklinasjon av substantiver, og ikke adjektiver, for eksempel: i Anna Ivanovna, til Anna Ivanovna, med Anna Ivanovna.

| § 1.3. Elementer i algebralogikk

Leksjon 8 - 12
§ 1.3. Elementer i algebralogikk

Nøkkelord:

algebra av logikk
uttalelse
logisk operasjon
konjunksjon
disjunksjon
negasjon
logisk uttrykk
sannhetstabell
logikkens lover

1.3.1. Uttalelse

Algebra i vid forstand av ordet er vitenskapen om generelle operasjoner, lik addisjon og multiplikasjon, som kan utføres på en rekke matematiske objekter. Mange matematiske objekter (heltall og rasjonelle tall, polynomer, vektorer, sett) du studerer i skolekurs algebra, hvor du blir kjent med slike grener av matematikk som tallalgebra, polynomalgebra, settalgebra osv.

For informatikk er en gren av matematikken kalt logisk algebra viktig; objektene til logikkens algebra er uttalelser.

En ytring er en setning på et hvilket som helst språk hvis innhold entydig kan fastslås som sant eller usant.

For eksempel, angående setningene "Den store russiske vitenskapsmannen M.V. Lomonosov ble født i 1711" og "To pluss seks er åtte" kan vi definitivt si at de er sanne. Setningen "Sparrows dvale om vinteren" er falsk. Derfor er disse setningene utsagn.

På russisk uttrykkes utsagn med deklarative setninger. Men ikke alt erklærende setning er en uttalelse.

For eksempel, setningen "Denne setningen er falsk" er ikke et utsagn, siden det ikke kan sies om det er sant eller usant uten å få en motsigelse. Faktisk, hvis vi aksepterer at setningen er sann, så motsier dette det som ble sagt. Hvis vi aksepterer at setningen er usann, følger det at den er sann.

Angående setningen "Datagrafikk er mest interessant emne i skoledatavitenskap» er det heller umulig å si entydig om det er sant eller usant. Tenk selv hvorfor.

Incentiv og spørrende setninger er ikke uttalelser.

For eksempel, setninger som: «Skriv ned hjemmelekser", "Hvordan komme til biblioteket?", "Hvem kom til oss?"

Utsagn kan konstrueres ved hjelp av tegn på ulike formelle språk- matematikk, fysikk, kjemi, etc.

Eksempler på utsagn kan være:

"Na er metall" (sant utsagn);
"Newtons andre lov uttrykkes med formelen F=m a" (sann utsagn);
"Omkretsen til et rektangel med sidelengdene a og b er lik a b" (falsk utsagn).

Talluttrykk er ikke utsagn, men fra to numeriske uttrykk Du kan lage en uttalelse ved å koble dem med likhets- eller ulikhetstegn. For eksempel:

"3 + 5 = 2 4" (sant utsagn);
"II + VI > VIII" (falsk utsagn).

Likheter og ulikheter som inneholder variabler er heller ikke utsagn. For eksempel setningen "X< 12» становится высказыванием только при замене переменной каким-либо конкретным значением: «5 < 12» - истинное высказывание; «12 < 12» - ложное высказывание.

Begrunnelsen for sannheten eller usannheten til utsagn avgjøres av vitenskapene de tilhører. Logikkens algebra er abstrahert fra det semantiske innholdet i utsagn. Hun er kun interessert i om et gitt utsagn er sant eller usant. I logisk algebra er utsagn betegnet med bokstaver og kalt logiske variabler. Videre, hvis utsagnet er sant, er verdien til den tilsvarende logiske variabelen betegnet med en (A = 1), og hvis den er usann - med null (B = 0). 0 og 1 som angir verdiene til boolske variabler kalles boolske verdier.

Logikkens algebra definerer reglene for å skrive, beregne verdier, forenkle og transformere utsagn.

Ved å operere med logiske variabler, som bare kan være lik 0 eller 1, lar logikkens algebra deg redusere informasjonsbehandlingen til operasjoner med binære data. Det er apparatet til logisk algebra som danner grunnlaget for dataenheter for lagring og behandling av informasjon. Du vil møte elementer av logisk algebra i mange andre områder av informatikk.

1.3.2. Logiske operasjoner

Utsagn kan være enkle eller komplekse. Et utsagn kalles enkel hvis ingen del av det selv er et utsagn. Komplekse (sammensatte) utsagn er konstruert fra enkle ved bruk av logiske operasjoner.

La oss vurdere de grunnleggende logiske operasjonene definert på utsagn. Alle av dem tilsvarer koblinger som brukes i naturlig språk.

Konjunksjon

Tenk på to utsagn: A = "Grunneren av logikkens algebra er George Boole", B = "Forskingen til Claude Shannon gjorde det mulig å anvende logikkens algebra i datateknologi." Åpenbart er det nye utsagnet "Grunneren av logikkens algebra er George Boole, og forskningen til Claude Shannon gjorde det mulig å anvende logikkens algebra i datateknologi" er sann bare hvis begge de originale utsagnene er sanne samtidig.

Konjunksjon er en logisk operasjon som assosierer hver to utsagn med en ny utsagn, som er sann hvis og bare hvis begge de opprinnelige utsagn er sanne.

For å skrive en konjunksjon brukes følgende tegn: ∧, , И, &. For eksempel: A ∧ B, A B, A OG B, A & B.

Konjunksjonen kan beskrives i form av en tabell, som kalles en sannhetstabell:

Sannhetstabellen viser alle mulige verdier startsetninger (kolonne A og B), og de tilsvarende binære tallene, som regel, er ordnet i stigende rekkefølge: 00, 01, 10, 11. Den siste kolonnen registrerer resultatet av den logiske operasjonen for de tilsvarende operandene.

Ellers kalles konjunksjonen logisk multiplikasjon. Tenk hvorfor.

Disjunksjon

Tenk på to utsagn: A = "Ideen om å bruke matematisk symbolikk i logikk tilhører Gottfried Wilhelm Leibniz," B = "Leibniz er grunnleggeren av binær aritmetikk." Åpenbart er det nye utsagnet "Ideen om å bruke matematisk symbolikk i logikk tilhører Gottfried Wilhelm Leibniz eller Leibniz er grunnleggeren av binær aritmetikk" er falsk bare hvis begge de originale utsagnene er falske på samme tid.

Bestem uavhengig av sannheten eller usannheten til de tre påstandene som vurderes.

Disjunksjon er en logisk operasjon som assosierer hver to setninger med en ny setning, som er falsk hvis og bare hvis begge de opprinnelige setningene er falske.

For å skrive en disjunksjon brukes følgende tegn: ∨, |, OR, +. For eksempel: A∨B, A|B, A ELLER B, A+B.

Disjunksjonen er definert av følgende sannhetstabell:

Ellers kalles disjunksjon logisk addisjon. Tenk hvorfor.

Inversjon

Inversjon er en logisk operasjon som forbinder hver setning med en ny setning, hvis betydning er motsatt av den opprinnelige.

For å skrive inversjon brukes følgende tegn: NOT, ¬, ‾. For eksempel: IKKE A, ¬A, .

Inversjonen bestemmes av følgende sannhetstabell:

Inversjon kalles ellers logisk negasjon.

Negasjonen av utsagnet "Jeg har en datamaskin hjemme" vil være utsagnet "Det er ikke sant at jeg har en datamaskin hjemme" eller, som er det samme på russisk, "Jeg har ikke en datamaskin hjemme." Fornektelse av utsagnet "jeg vet ikke" kinesisk" vil være utsagnet "Det er ikke sant at jeg ikke kan kinesisk" eller, som er det samme på russisk, "Jeg kan kinesisk." Negasjonen av påstanden "Alle 9. klasse gutter er fremragende elever" er påstanden "Det er ikke sant at alle 9. klasse gutter er utmerket elever," med andre ord, "Ikke alle 9. klasse gutter er utmerket studenter.»

Når man konstruerer en negasjon til et enkelt utsagn, enten uttrykket "det er ikke sant at ..." brukes, eller negasjonen konstrueres til et predikat, så legges partikkelen "ikke" til det tilsvarende verbet.

Enhver kompleks setning kan skrives som et logisk uttrykk - et uttrykk som inneholder logiske variabler, logiske operatortegn og parenteser. Logiske operasjoner i et logisk uttrykk utføres i følgende rekkefølge: inversjon, konjunksjon, disjunksjon. Du kan endre rekkefølgen på operasjoner ved å bruke parenteser.

Logiske operasjoner har følgende prioritet: inversjon, konjunksjon, disjunksjon.

Eksempel 1 . La A = "Ordet "cruiser" vises på nettsiden," B = "Ordet "slagskip" vises på nettsiden." Vi vurderer et visst segment av Internett som inneholder 5 000 000 nettsider. I den er setning A sann for 4800 sider, setning B er sann for 4500 sider, og setning A v B er sann for 7000 sider. For hvor mange nettsider vil følgende uttrykk og utsagn være sanne i dette tilfellet?

a) IKKE (A ELLER B);

c) Ordet "cruiser" vises på nettsiden, men ordet "slagskip" vises ikke.

Løsning . La oss skildre settet med alle nettsider i internettsektoren som vurderes som en sirkel, der vi vil plassere to sirkler: en av dem tilsvarer settet med nettsider der utsagn A er sann, den andre - der utsagn B er sant (fig. 1.3).

Ris. 1.3.
Grafisk representasjon av flere websider

La oss grafisk avbilde settene med nettsider der uttrykkene og påstandene a) - c) er sanne (fig. 1.4)

Ris. 1.4.
Grafisk representasjon av sett med nettsider der uttrykk og utsagn a) - c) er sanne

De konstruerte diagrammene vil hjelpe oss å svare på spørsmålene i oppgaven.

Uttrykket A ELLER B er sant for 7 000 nettsider, og det er totalt 5 000 000 sider. Derfor er uttrykket A ELLER B usant for 4 993 000 nettsider. Med andre ord, for 4 993 000 nettsider er uttrykket IKKE (A ELLER B) sant.

Uttrykket A ∨ B er sant for de nettsidene hvor A er sann (4800), så vel som for de nettsidene hvor B er sann (4500). Hvis alle websider var forskjellige, ville uttrykket A v B være sant for 9300 (4800 + 4500) websider. Men i henhold til betingelsen er det bare 7000 slike nettsider. Dette betyr at på 2300 (9300 - 7000) nettsider vises begge ordene samtidig. Derfor er uttrykk A & B sant for 2300 websider.

For å finne ut for hvor mange nettsider setning A er sann og samtidig setning B er usann, trekk 2300 fra 4800. Dermed vises setningen "Ordet "cruiser" på nettsiden og ordet "battleship" ikke vises” er sant på 2500 nettsider.

Skriv ned det logiske uttrykket som tilsvarer utsagnet som vurderes.

På siden Federal Center informasjons- og utdanningsressurser (http://fcoir.edu.ru/) inneholder informasjonsmodulen "Statement. Enkle og komplekse utsagn. Grunnleggende logiske operasjoner". Å bli kjent med denne ressursen vil tillate deg å utvide din forståelse av emnet du studerer.

1.3.3. Konstruksjon av sannhetstabeller for logiske uttrykk

For et logisk uttrykk kan du bygge en sannhetstabell som viser hvilke verdier uttrykket tar for alle sett med verdier av variablene som er inkludert i det. For å konstruere en sannhetstabell bør du:

telle n - antall variabler i uttrykket;
telle totalt antall logiske operasjoner i uttrykk;
etablere sekvensen av logiske operasjoner, under hensyntagen til parenteser og prioriteringer;
bestemme antall kolonner i tabellen: antall variabler + antall operasjoner;
fyll ut overskriften på tabellen, inkludert variabler og operasjoner i samsvar med sekvensen fastsatt i avsnitt 3;
bestemme antall rader i tabellen (uten å telle tabelloverskriften) m = 2n;
skrive ned sett med inngangsvariabler, ta hensyn til det faktum at de representerer en hel serie med n-bits binære tall fra 0 til 2 n - 1;
fyll tabellen kolonne for kolonne, utfør logiske operasjoner i samsvar med den etablerte sekvensen.

La oss bygge en sannhetstabell for det logiske uttrykket A ∨ A & B. Den inneholder to variabler, to operasjoner, og først utføres konjunksjonen, og deretter disjunksjonen. Tabellen vil ha fire kolonner totalt:

Sett med inngangsvariabler er heltall fra O til 3, presentert i tosifret binær kode: 00, 01, 10, 11. Den fullførte sannhetstabellen ser slik ut:

Merk at den siste kolonnen (resultatet) er den samme som kolonne A. I dette tilfellet sies det logiske uttrykket A ∨ A & B å være ekvivalent med det logiske uttrykket A.

1.3.4. Egenskaper for logiske operasjoner

La oss vurdere de grunnleggende egenskapene (lovene) til logikkens algebra.

Kommutativ (kommutativ) lov

for logisk multiplikasjon:

A & B = B & A;

for logisk tillegg:

A ∨ B = B ∨ A.

Kombinativ (assosiativ) lov

for logisk multiplikasjon:

(A & B) & C = A & (B & C);

for logisk tillegg:

(A ∨ B) ∨ C = A ∨(B ∨ C).

Hvis tegnene på operasjonene er de samme, kan parentesen plasseres vilkårlig eller utelates helt.

Fordelingsrett

for logisk multiplikasjon:

A & (B ∨ C) = (A & B) ∨ (A & C);

for logisk tillegg:

A ∨ (B & C) = (A ∨ B) & (A ∨ C).

Lov om dobbel negasjon

Loven om utelukkelse av midten

Av to motstridende utsagn om samme emne er det ene alltid sant, det andre er usant, og det er ingen tredje.

Lov om gjentakelse

for logisk multiplikasjon:
for logisk tillegg:

Lover for operasjoner med 0 og 1

for logisk multiplikasjon:

A & 0 = 0; A & 1 = A;

for logisk tillegg:

A ∨ O = A; A ∨ l = l.

Lover for generell inversjon

Lovene til logisk algebra kan bevises ved hjelp av sannhetstabeller.

La oss bevise distribusjonsloven for logisk addisjon:

A ∨ (B & C) = (A ∨ B) & (A ∨ C).

Sammenfallet av kolonnene som tilsvarer de logiske uttrykkene på venstre og høyre side av likheten beviser fordelingslovens gyldighet for logisk addisjon.

Eksempel 2 . La oss finne verdien av et logisk uttrykk for tallet X = 0.

Løsning . Når X = 0 får vi følgende logiske uttrykk: . Siden logiske uttrykk er 0< 3, 0 < 2 истинны, то, подставив их значения в логическое выражение, получаем: 1&Т = 1&0 = 0.

1.3.5. Løse logiske problemer

La oss vurdere flere løsninger logiske problemer.

Oppgave 1 . Kolya, Vasya og Seryozha besøkte bestemoren sin om sommeren. En dag knuste en av guttene ved et uhell bestemorens favorittvase. På spørsmål om hvem som knuste vasen, ga de følgende svar:

Seryozha: 1) Jeg brøt den ikke. 2) Vasya brøt den ikke.

Vasya: 3) Seryozha brøt den ikke. 4) Kolya knuste vasen.

Kolya: 5) Jeg brøt den ikke. 6) Seryozha knuste vasen.

Bestemoren visste at et av hennes barnebarn, la oss kalle ham sannferdig, fortalte sannheten begge gangene; den andre, la oss kalle ham en joker, fortalte en løgn begge ganger; den tredje, la oss kalle ham en utspekulert, fortalte sannheten en gang, og en annen gang - en løgn. Nevn de sannferdige, jokeren og de utspekulerte. Hvilket barnebarn knuste vasen?

Løsning. La K = "Kolya knuste en vase", B = "Vasya knuste en vase", C = "Seryozha knuste en vase". La oss lage en sannhetstabell som vi presenterer uttalelsene til hver gutt med 1 .

1 Tatt i betraktning det faktum at vasen ble ødelagt av ett barnebarn, var det mulig å lage ikke hele tabellen, men bare fragmentet som inneholder følgende sett med inngangsvariabler: 001, 010, 100.

Basert på det bestemoren vet om barnebarna, bør du se etter rader i tabellen som inneholder, i en eller annen rekkefølge, tre kombinasjoner av verdier: 00, 11, 01 (eller 10). Det var to slike rader i tabellen (de er merket med hake). I følge den andre av dem ble vasen ødelagt av Kolya og Vasya, noe som motsier tilstanden. I følge den første av linjene som ble funnet, brøt Seryozha vasen, og han viste seg å være en utspekulert en. Vasya viste seg å være jokeren. Navnet på det sannferdige barnebarnet er Kolya.

Oppgave 2 . Alla, Valya, Sima og Dasha deltar i gymnastikkkonkurranser. Fans kom med forslag om mulige vinnere:

Sima blir først, Valya blir nummer to;
Sima blir nummer to, Dasha blir tredje;
Alla blir nummer to, Dasha blir fjerde.

På slutten av konkurransen viste det seg at i hver av forutsetningene er bare ett av påstandene sant, det andre er usant. Hvilken plass tok hver av jentene i konkurransen hvis de alle havnet på forskjellige steder?

Løsning . La oss se på noen enkle utsagn:

C 1 = "Sima tok førsteplassen";

B 2 = "Valya tok andreplassen";

C 2 = "Sima tok andreplassen";

D 3 = "Dasha tok tredjeplassen";

A 2 = "Alla tok andreplassen";

D 4 = "Dasha tok fjerdeplassen."

Siden i hver av de tre forutsetningene er ett av utsagnene sant og det andre er usant, kan vi konkludere med følgende:

C1 + B2 = 1, C1B2 = 0;
C2 + D3 = 1, C2D3 = 0;
A 2 + D 4 = 1, A 2 D 4 = 0.

Det logiske produktet av sanne utsagn vil være sanne:

(C 1 + B 2) (C 2 + D 3) (A 2 + D 4) = 1.

Basert på distribusjonsloven transformerer vi venstre side av dette uttrykket:

(C 1 C 2 + C 1 D 3 + B 2 C 2 + B 2 D 3) (A 2 + D 4) = 1.

Utsagnet C 1 C 2 betyr at Sima tok både første- og andreplassen. I henhold til betingelsene for problemet er denne uttalelsen falsk. Påstanden B 2 C 2 er også usann. Tar vi hensyn til loven om operasjoner med konstanten 0, skriver vi:

(C 1 D 3 + B 2 D 3) (A 2 + D 4) = 1.

Ytterligere transformasjon av venstresiden av denne likheten og utelukkelse av åpenbart falske utsagn gir:

C 1 D 3 A 2 + C 1 D 3 D 4 + B 2 D 3 A 2 + B 2 D 3 D 4 = 1.

C 1 D 3 A 2 = 1.

Fra den siste likheten følger det at C 1 = 1, D 3 = 1, A 2 = 1. Dette betyr at Sima tok førsteplassen, Alla tok andre, Dasha tok tredje. Følgelig tok Valya fjerdeplassen.

Du kan bli kjent med andre måter å løse logiske problemer på, samt delta i Internett-olympiader og konkurranser for å løse dem på nettstedet "Mathematics for Schoolchildren" (http://www.kenqyry.com/).

På nettstedet http://www.kaser.com/ kan du laste ned en demoversjon av en veldig nyttig en som utvikler logikk- og resonnementferdigheter logisk puslespill Sherlock.

1.3.6. Logiske elementer

Algebra av logikk er en gren av matematikk som spiller en viktig rolle i design av automatiske enheter og utvikling av maskinvare og programvare for informasjons- og kommunikasjonsteknologi.

Du vet allerede at all informasjon kan presenteres i diskret form- i form av et fast sett med individuelle verdier. Enheter som behandler slike verdier (signaler) kalles diskrete. En diskret omformer som, etter å ha behandlet binære signaler, produserer verdien av en av de logiske operasjonene kalles et logisk element.

I fig. 1,5 er gitt symboler(kretser) av logiske elementer som implementerer logisk multiplikasjon, logisk addisjon og inversjon.

Figur 1.5.
Logiske elementer

Det logiske OG-elementet (konjunktoren) implementerer den logiske multiplikasjonsoperasjonen (fig. 1.5, a). En enhet ved utgangen av dette elementet vises bare når det er enheter ved alle innganger.

Det logiske OR-elementet (disjunktoren) implementerer den logiske addisjonsoperasjonen (fig. 1.5, b). Hvis minst én inngang er én, vil utgangen til elementet også være én.

Det logiske IKKE-elementet (inverter) implementerer negasjonsoperasjonen (fig. 1.5, c). Hvis inngangen til elementet er O, er utgangen 1 og omvendt.

Dataenheter som utfører operasjoner på binære tall, og cellene som lagrer data er elektroniske kretser som består av individuelle logiske elementer. Disse problemstillingene vil bli dekket mer detaljert i informatikkkurset for klasse 10-11.

Eksempel 3. La oss analysere den elektroniske kretsen, det vil si finne ut hvilket signal som skal være ved utgangen for hvert mulig sett med signaler ved inngangene.

Løsning. Vi vil legge inn alle mulige kombinasjoner av signaler ved inngangene A til B i sannhetstabellen. La oss spore transformasjonen av hvert par signaler når de passerer gjennom logiske elementer og skrive resultatet i en tabell. Den utfylte sannhetstabellen beskriver fullstendig den elektroniske kretsen som vurderes.

En sannhetstabell kan også konstrueres ved hjelp av et logisk uttrykk som tilsvarer en elektronisk krets. Det siste logiske elementet i kretsen som vurderes er konjunktoren. Den mottar signaler fra inngang L og fra omformeren. På sin side mottar omformeren et signal fra inngang B. Dermed,

Få en mer fullstendig forståelse av logiske elementer og elektroniske kretserÅ jobbe med Logic-simulatoren vil hjelpe deg (http://kpolyakov. narod. ru/prog/logic. htm).

Det viktigste

Uttalelse- er en setning på et hvilket som helst språk, hvis innhold entydig kan bestemmes som sant eller usant.

Grunnleggende logiske operasjoner definert på utsagn: inversjon, konjunksjon, disjunksjon.

Sannhetstabeller for grunnleggende logiske operasjoner:

Når du evaluerer boolske uttrykk, utføres trinnene i parentes først. Prioritet for utførelse av logiske operasjoner:

Spørsmål og oppgaver

Forklar hvorfor følgende setninger ikke er utsagn.

Hvilken farge har dette huset?
Tallet X overstiger ikke én.
4X + 3.
Se ut vinduet.
Drikk tomatjuice!
Dette emnet er kjedelig.
Ricky Martin er den mest populære sangeren.
Har du vært på teater?

Gi ett eksempel på sanne og usanne utsagn fra biologi, geografi, informatikk, historie, matematikk, litteratur.
I de følgende utsagnene markerer du de enkle utsagnene, og indikerer hver av dem med en bokstav; skriv ned hver sammensatt setning ved å bruke bokstaver og logiske operasjonstegn.

Tallet 376 er partall og har tre sifre.
Om vinteren går barna på skøyter eller på ski.
Vi vil feire det nye året på dacha eller på Røde plass.
Det er ikke sant at solen beveger seg rundt jorden.
Jorden er formet som en ball, som virker blå fra verdensrommet.
I løpet av matematikktimen svarte elever på videregående skole lærerens spørsmål og skrev også selvstendig arbeid.

Konstruer negasjonen av følgende utsagn.

I dag spilles operaen "Eugene Onegin" på teatret.
Hver jeger vil vite hvor fasanen sitter.
Tallet 1 er et primtall.
Naturlige tall som slutter på 0 er ikke primtall.
Det er ikke sant at tallet 3 ikke er en divisor av tallet 198.
Kolya løste alle oppgavene i testen.
På hver skole er noen elever interessert i idrett.
Noen pattedyr lever ikke på land.

La A = "Anya liker mattetimer," og B = "Anya liker kjemitimer." Uttrykk følgende formler på vanlig språk:

Tenk på de elektriske kretsene vist i figuren:

De skildrer parallellen og serielle tilkoblinger brytere. I det første tilfellet må begge bryterne være på for at lyset skal lyse. I det andre tilfellet er det nok at en av bryterne er slått på. Prøv å tegne en analogi mellom elementene selv elektriske diagrammer og objekter og operasjoner av logisk algebra:

Noen deler av Internett består av 1000 nettsteder. Søk server i automatisk modus utarbeidet en tabell med søkeord for nettsteder i dette segmentet. Her er fragmentet:

Søket steinbit og guppies fant 0 nettsteder, søket steinbit og sverdhaler fant 20 nettsteder, og søket sverdhale og guppies fant 10 nettsteder.

Hvor mange nettsteder vil bli funnet for søket steinbit | sverdhaler | guppy?

For hvor mange nettsteder i segmentet som vurderes er setningen "Catfish - nøkkelord site OR swordtails - nøkkelordet for nettstedet ELLER guppies - nøkkelordet for nettstedet?

Konstruer sannhetstabeller for følgende logiske uttrykk:

Gjennomfør et bevis på de logiske lovene som er omtalt i avsnittet ved å bruke sannhetstabeller.
Gitt tre tall i desimaltallsystemet: A = 23, B = 19, C = 26. Konverter A, B og C til det binære tallsystemet og utfør bitvise logiske operasjoner (A ∨ B) & C. Gi svaret i desimaltallsystem.
Finn betydningen av uttrykkene:

Finn verdien av et boolsk uttrykk for de angitte verdiene av tallet X:

1) 1;
2) 2;
3) 3;
4) 4

La A = "Den første bokstaven i navnet er en vokal", B = "Den fjerde bokstaven i navnet er en konsonant". Finn verdien av det boolske uttrykket for følgende navn:

4) FEDOR

Saken til John, Brown og Smith blir undersøkt. Det er kjent at en av dem fant og gjemte skatten. Under etterforskningen ga hver av de mistenkte to uttalelser:

Smith: «Jeg gjorde det ikke. Brown gjorde det."

John: Brown er ikke skyldig. Smith gjorde det."

Brown: «Jeg gjorde det ikke. John gjorde det ikke."

Retten fant at en av dem løy to ganger, den andre fortalte sannheten to ganger, den tredje løy en gang og fortalte sannheten en gang. Hvilken mistenkt bør frifinnes?

Alyosha, Borya og Grisha fant et eldgammelt fartøy i bakken. Ved å undersøke det fantastiske funnet, gjorde hver to antagelser:
1. Alyosha: "Dette er et gresk fartøy og ble laget på 500-tallet."
2. Borya: "Dette er et fønikisk fartøy og ble laget i det 3. århundre."
3. Grisha: "Dette fartøyet er ikke gresk og ble laget på 400-tallet."
  Historielæreren fortalte barna at hver av dem hadde rett i bare én av to antakelser. Hvor og i hvilket århundre ble fartøyet laget?
Finn ut hvilket signal som skal være ved utgangen til den elektroniske kretsen for hvert mulig sett med signaler ved inngangene. Lag en tabell over hvordan kretsen fungerer. Hvilket logisk uttrykk beskriver kretsen?

Nøkkelord:

algebra av logikk
uttalelse
logisk operasjon
konjunksjon
disjunksjon
negasjon
logisk uttrykk
sannhetstabell
logikkens lover

1.3.1. Uttalelse

Algebra i vid forstand av ordet er vitenskapen om generelle operasjoner, lik addisjon og multiplikasjon, som kan utføres på en rekke matematiske objekter. Du studerer mange matematiske objekter (heltall og rasjonelle tall, polynomer, vektorer, mengder) i et skolealgebrakurs, hvor du blir kjent med grener av matematikken som tallalgebraen, polynomalgebraen, mengdenes algebra osv.

For informatikk er en gren av matematikken kalt logisk algebra viktig; Objektene til logikkens algebra er utsagn.

For eksempel, angående setningene "Den store russiske vitenskapsmannen M.V. Lomonosov ble født i 1711" og "To pluss seks er åtte" kan vi definitivt si at de er sanne. Setningen "Sparrows dvale om vinteren" er falsk. Derfor er disse setningene utsagn.

For eksempel er setningen "Denne setningen er usann" ikke en påstand fordi den ikke kan sies å være sann eller usann uten å få en selvmotsigelse. Faktisk, hvis vi aksepterer at setningen er sann, så motsier dette det som ble sagt. Hvis vi aksepterer at setningen er usann, følger det at den er sann.

Når det gjelder setningen "Datagrafikk er det mest interessante emnet i skolens informatikkkurs," er det også umulig å si entydig om det er sant eller usant. Tenk selv hvorfor.

For eksempel er ikke setninger som: "Skriv ned leksene dine", "Hvordan komme til biblioteket?", "Hvem kom til oss?" "

Eksempler på utsagn kan være:

"Na er metall" (sant utsagn);
"Newtons andre lov uttrykkes med formelen F=m a" (sann utsagn);
"Omkretsen til et rektangel med sidelengder a u b er lik a b" (falsk utsagn).

Talluttrykk er ikke utsagn, men fra to talluttrykk kan man lage et utsagn ved å koble dem med likhets- eller ulikhetstegn. For eksempel:

"34-5 = 2 4" (sant utsagn);
"II4-VI > VIII" (falsk utsagn).

1.3.2. Logiske operasjoner

Utsagn kan være enkle eller komplekse. Et utsagn kalles enkel hvis ingen del av det selv er et utsagn. Komplekse (sammensatte) utsagn er konstruert fra enkle ved bruk av logiske operasjoner.

La oss vurdere de grunnleggende logiske operasjonene definert på utsagn. Alle av dem tilsvarer koblinger som brukes i naturlig språk.

Konjunksjon

For å skrive en konjunksjon brukes følgende tegn: , , И, &. For eksempel: A B, A B, A OG B, A&B.

Konjunksjonen kan beskrives i form av en tabell, som kalles en sannhetstabell:

Sannhetstabellen viser alle mulige verdier av de originale utsagnene (kolonne A og B), og de tilsvarende binære tallene er vanligvis ordnet i stigende rekkefølge: 00, 01, 10, 11. Den siste kolonnen registrerer resultatet av den logiske operasjonen for de tilsvarende operandene.

Ellers kalles konjunksjonen logisk multiplikasjon. Tenk hvorfor.

Disjunksjon

Bestem uavhengig av sannheten eller usannheten til de tre påstandene som vurderes.

For å skrive en disjunksjon brukes følgende tegn: v, |, OR, +. For eksempel: AvB, A|B, A ELLER B, A+B.

Disjunksjonen er definert av følgende sannhetstabell:

Ellers kalles disjunksjon logisk addisjon. Tenk hvorfor.

Inversjon

For å skrive inversjon brukes følgende tegn: NOT, ¬, ‾. For eksempel: IKKE, ¬, ‾.

Inversjonen bestemmes av følgende sannhetstabell:

Inversjon kalles ellers logisk negasjon.

Negasjonen av utsagnet "Jeg har en datamaskin hjemme" vil være utsagnet "Det er ikke sant at jeg har en datamaskin hjemme" eller, som er det samme på russisk, "Jeg har ikke en datamaskin hjemme." Negasjonen av utsagnet "Jeg kan ikke kinesisk" vil være utsagnet "Det er ikke sant at jeg ikke kan kinesisk" eller, som er det samme på russisk, "Jeg kan kinesisk." Negasjonen av påstanden "Alle 9. klasse gutter er fremragende elever" er påstanden "Det er ikke sant at alle 9. klasse gutter er utmerket elever," med andre ord, "Ikke alle 9. klasse gutter er utmerket studenter.»

Eksempel 1. La A = "Ordet "cruiser" vises på nettsiden," B = "Ordet "slagskip" vises på nettsiden." Vi vurderer et visst segment av Internett som inneholder 5 000 000 nettsider. I den er setning A sann for 4800 sider, setning B er sann for 4500 sider, og setning A v B er sann for 7000 sider. For hvor mange nettsider vil følgende uttrykk og utsagn være sanne i dette tilfellet?

a) IKKE (A ELLER B);

c) Ordet "cruiser" vises på nettsiden, men ordet "slagskip" vises ikke.

Løsning. La oss skildre settet med alle nettsider i internettsektoren som vurderes som en sirkel, der vi vil plassere to sirkler: en av dem tilsvarer settet med nettsider der utsagn A er sann, den andre - der utsagn B er sant (fig. 1.3).

Ris. 1.3.
Grafisk representasjon av flere websider

La oss grafisk avbilde settene med nettsider der uttrykkene og påstandene a) - c) er sanne (fig. 1.4)

Ris. 1.4.
Grafisk representasjon av sett med nettsider der uttrykk og utsagn a) - c) er sanne

De konstruerte diagrammene vil hjelpe oss å svare på spørsmålene i oppgaven.

Uttrykket A v B er sant for de nettsidene der A (4800) er sant, så vel som for de nettsidene hvor B (4500) er sant. Hvis alle websider var forskjellige, ville uttrykket A v B være sant for 9300 (4800 + 4500) websider. Men i henhold til betingelsen er det bare 7000 slike nettsider. Dette betyr at på 2300 (9300 - 7000) nettsider vises begge ordene samtidig. Derfor er uttrykk A & B sant for 2300 websider.

Skriv ned det logiske uttrykket som tilsvarer utsagnet som vurderes.

Nettstedet til Federal Center for Information and Educational Resources (http://fcoir.edu.ru/) inneholder informasjonsmodulen "Statement. Enkle og komplekse utsagn. Grunnleggende logiske operasjoner". Å bli kjent med denne ressursen vil tillate deg å utvide din forståelse av emnet du studerer.

1.3.3. Konstruksjon av sannhetstabeller for logiske uttrykk

telle n - antall variabler i uttrykket;
telle det totale antallet logiske operasjoner i et uttrykk;
etablere sekvensen av logiske operasjoner, under hensyntagen til parenteser og prioriteringer;
bestemme antall kolonner i tabellen: antall variabler + antall operasjoner;
fyll ut overskriften på tabellen, inkludert variabler og operasjoner i samsvar med sekvensen fastsatt i avsnitt 3;
bestemme antall rader i tabellen (uten å telle tabelloverskriften) m = 2n;
skrive ned sett med inngangsvariabler, ta hensyn til det faktum at de representerer en hel serie med n-bits binære tall fra 0 til 2 n - 1;
fyll tabellen kolonne for kolonne, utfør logiske operasjoner i samsvar med den etablerte sekvensen.

La oss bygge en sannhetstabell for det logiske uttrykket A v A & B. Den inneholder to variabler, to operasjoner, og først utføres konjunksjonen, og deretter disjunksjonen. Tabellen vil ha fire kolonner totalt:

Sett med inngangsvariabler er heltall fra O til 3, presentert i tosifret binær kode: 00, 01, 10, 11. Den fullførte sannhetstabellen ser slik ut:

Merk at den siste kolonnen (resultatet) er den samme som kolonne A. I dette tilfellet sies det logiske uttrykket A v A & B å være ekvivalent med det logiske uttrykket A.

1.3.4. Egenskaper for logiske operasjoner

La oss vurdere de grunnleggende egenskapene (lovene) til logikkens algebra.

Lovene til logisk algebra kan bevises ved hjelp av sannhetstabeller.

La oss bevise distribusjonsloven for logisk addisjon:

A v (B & C) = (A V B) & (A v C).

Sammenfallet av kolonnene som tilsvarer de logiske uttrykkene på venstre og høyre side av likheten beviser fordelingslovens gyldighet for logisk addisjon.

Eksempel 2. La oss finne verdien av et logisk uttrykk for tallet X = 0.

Løsning. Når X = 0 får vi følgende logiske uttrykk: . Siden logiske uttrykk er 0< 3, 0 < 2 истинны, то, подставив их значения в логическое выражение, получаем: 1&Т = 1&0 = 0.

1.3.5. Løse logiske problemer

La oss se på flere måter å løse logiske problemer på.

Oppgave 1. Kolya, Vasya og Seryozha besøkte bestemoren sin om sommeren. En dag knuste en av guttene ved et uhell bestemorens favorittvase. På spørsmål om hvem som knuste vasen, ga de følgende svar:

Seryozha: 1) Jeg brøt den ikke. 2) Vasya brøt den ikke.

Vasya: 3) Seryozha brøt den ikke. 4) Kolya knuste vasen.

Kolya: 5) Jeg brøt den ikke. 6) Seryozha knuste vasen.

Løsning. La K = "Kolya knuste en vase", B = "Vasya knuste en vase", C = "Seryozha knuste en vase". La oss lage en sannhetstabell som vi presenterer uttalelsene til hver gutt med 1.

Oppgave 2. Alla, Valya, Sima og Dasha deltar i gymnastikkkonkurranser. Fans kom med forslag om mulige vinnere:

Sima blir først, Valya blir nummer to;
Sima blir nummer to, Dasha blir tredje;
Alla blir nummer to, Dasha blir fjerde.

Løsning. La oss se på noen enkle utsagn:

C 1 = "Sima tok førsteplassen";

B 2 = "Valya tok andreplassen";

C 2 = "Sima tok andreplassen";

D 3 = "Dasha tok tredjeplassen";

A 2 = "Alla tok andreplassen";

D 4 = "Dasha tok fjerdeplassen."

Siden i hver av de tre forutsetningene er ett av utsagnene sant og det andre er usant, kan vi konkludere med følgende:

C1 + B2 = 1, C1B2 = 0;
C2 + D3 = 1, C2D3 = 0;
A 2 + D 4 = 1, A 2 D 4 = 0.

Det logiske produktet av sanne utsagn vil være sanne:

(C 1 + B 2) (C 2 + D 3) (A 2 + D 4) = 1.

Basert på distribusjonsloven transformerer vi venstre side av dette uttrykket:

(C 1 C 2 + C 1 D 3 + B 2 C 2 + B 2 D 3) (A 2 + D 4) = 1.

(C 1 D 3 + B 2 D 3) (A 2 + D 4) = 1.

Ytterligere transformasjon av venstresiden av denne likheten og utelukkelse av åpenbart falske utsagn gir:

C 1 D 3 A 2 + C 1 D 3 D 4 + B 2 D 3 A 2 + B 2 D 3 D 4 = 1.

C 1 D 3 A 2 = 1.

Fra den siste likheten følger det at C 1 = 1, D 3 = 1, A 2 = 1. Dette betyr at Sima tok førsteplassen, Alla tok andre, Dasha tok tredje. Følgelig tok Valya fjerdeplassen.

På nettsiden http://www.kaser.com/ kan du laste ned en demoversjon av et veldig nyttig Sherlock-logikk-puslespill som utvikler logikk- og resonneringsferdigheter.

1.3.6. Logiske elementer

Algebra av logikk er en gren av matematikk som spiller en viktig rolle i design av automatiske enheter og utvikling av maskinvare og programvare for informasjons- og kommunikasjonsteknologi.

Du vet allerede at all informasjon kan representeres i diskret form - som et fast sett med individuelle verdier. Enheter som behandler slike verdier (signaler) kalles diskrete. En diskret omformer som, etter å ha behandlet binære signaler, produserer verdien av en av de logiske operasjonene kalles et logisk element.

I fig. 1.5 viser symbolene (diagrammer) av logiske elementer som implementerer logisk multiplikasjon, logisk addisjon og inversjon.

Figur 1.5.
Logiske elementer

Det logiske OG-elementet (konjunktoren) implementerer den logiske multiplikasjonsoperasjonen (fig. 1.5, a). En enhet ved utgangen av dette elementet vises bare når det er enheter ved alle innganger.

Det logiske OR-elementet (disjunktoren) implementerer den logiske addisjonsoperasjonen (fig. 1.5, b). Hvis minst én inngang er én, vil utgangen til elementet også være én.

Det logiske IKKE-elementet (inverter) implementerer negasjonsoperasjonen (fig. 1.5, c). Hvis inngangen til elementet er O, er utgangen 1 og omvendt.

Dataenheter som utfører operasjoner på binære tall og celler som lagrer data er elektroniske kretser som består av individuelle logiske elementer. Disse problemstillingene vil bli dekket mer detaljert i informatikkkurset for klasse 10-11.

Eksempel 3. La oss analysere den elektroniske kretsen, det vil si finne ut hvilket signal som skal være ved utgangen for hvert mulig sett med signaler ved inngangene.

Arbeid med Logic-simulatoren (http://kpolyakov. narod. ru/prog/logic. htm) vil hjelpe deg å få en mer fullstendig forståelse av logiske elementer og elektroniske kretser.