Qual è l'equivalente di un centripeto? Accelerazione centripeta: derivazione della formula e applicazione pratica

Definizione

Accelerazione centripeta chiamata componente dell'accelerazione totale punto materiale, muovendosi lungo un percorso curvo, che determina la velocità di cambiamento nella direzione del vettore velocità.

Un'altra componente dell'accelerazione totale è l'accelerazione tangenziale, che è responsabile della variazione di velocità. Denota accelerazione centripeta, solitamente $(\overline(a))_n$. L'accelerazione centripeta è anche chiamata accelerazione normale.

L'accelerazione centripeta è uguale a:

\[(\overline(a))_n=\frac(v^2)(r^2)\overline(r\ )=\frac(v^2)(r)(\overline(e))_r\left (1\destra),\]

dove $(\overline(e))_r=\frac(\overline(r\ ))(r)$ è il versore diretto dal centro di curvatura della traiettoria al punto in questione; $r$ è il raggio di curvatura della traiettoria nella posizione del punto materiale nell'istante considerato.

H. Huygens fu il primo a ottenere le formule corrette per il calcolo dell'accelerazione centripeta.

L'unità di misura dell'accelerazione centripeta è Sistema internazionale Le unità sono il metro diviso il secondo quadrato:

\[\left=\frac(m)(s^2).\]

Formula per l'accelerazione centripeta del moto uniforme di un punto in una circonferenza

Consideriamo il moto uniforme di un punto materiale lungo una circonferenza. Con tale movimento la velocità del punto materiale rimane invariata ($v=const$). Ma questo non significa che l'accelerazione totale di un punto materiale con questo tipo di movimento sia zero. Il vettore velocità istantanea è diretto tangenzialmente al cerchio lungo il quale si muove il punto. Di conseguenza, in questo movimento la velocità cambia costantemente direzione. Ne consegue che il punto ha accelerazione.

Consideriamo i punti A e B che giacciono sulla traiettoria della particella. Troviamo il vettore di variazione della velocità per i punti A e B come:

\[\Delta \overline(v)=(\overline(v))"-\overline(v)\left(2\right).\]

Se il tempo impiegato per spostarsi dal punto A al punto B tende a zero, allora l'arco AB non differisce molto dalla corda AB. I triangoli AOB e BMN sono simili, otteniamo:

\[\frac(\Delta v)(v)=\frac(\Delta l)(R)=\alpha \sinistra(3\destra).\]

L'entità del modulo di accelerazione media è determinata come:

\[\sinistra\langle a\destra\rangle =\frac(\Delta v)(\Delta t)=\frac(v\Delta l)(R\Delta t)\sinistra(4\destra).\]

Spostiamoci al limite in $\Delta t\to 0\ $ da $\left\langle a\right\rangle \ \ $nella formula (4):

Il vettore accelerazione media forma un angolo uguale al vettore velocità:

\[\beta =\frac(\pi +\alpha )(2)\sinistra(6\destra).\]

A $\Delta t\to 0\ $ angolo $\alpha \to 0.$ Risulta che il vettore accelerazione istantanea forma un angolo $\frac(\pi )(2)$ con il vettore velocità.

E affinché un punto materiale che si muove uniformemente attorno a un cerchio abbia un'accelerazione diretta verso il centro del cerchio ($(\overline(a))_n\bot \overline(v)$), il suo valore è uguale alla velocità quadrato diviso per il raggio cerchi:

dove $\omega $ è la velocità angolare del punto materiale ($v=\omega \cdot R$). In forma vettoriale, la formula per l'accelerazione centripeta può essere scritta in base alla (7) come:

\[(\overline(a))_n=-(\omega )^2\overline(R)\ \left(8\right),\]

dove $\overline(R)$ è il raggio vettore, uguale in lunghezza al raggio dell'arco circolare, diretto dal centro di curvatura alla posizione del punto materiale in esame.

Esempi di problemi con soluzioni

Esempio 1

Esercizio. Equazione vettoriale $\overline(r)\left(t\right)=\overline(i)(\cos \left(\omega t\right)+\overline(j)(\sin \left(\omega t\right )\ )\ )$, dove $\omega =2\ \frac(rad)(s),$ descrive il moto di un punto materiale. Che traiettoria sta seguendo? dato punto? Perché il modulo è uguale la sua accelerazione centripeta? Considera tutte le quantità nel sistema SI.

Soluzione. Consideriamo l'equazione del moto di un punto:

\[\overline(r)\left(t\right)=\overline(i)(\cos \left(\omega t\right)+\overline(j)(\sin (\omega t)\ )\ ) \ \sinistra(1.1\destra).\]

Nel sistema di coordinate cartesiane, questa equazione è equivalente al sistema di equazioni:

\[\left\( \begin(array)(c) x=(\cos \left(\omega t\right);;\ ) \\ y=(\sin \left(\omega t\right)\ ) \end(array) \left(1.2\right).\right.\]

Per capire su quale traiettoria si muove il punto dovremmo escludere il tempo dalle equazioni del sistema (1.2). Per fare ciò, eleviamo al quadrato entrambe le equazioni e le sommiamo:

Dall'equazione (1.3) vediamo che la traiettoria del punto è un cerchio (Fig. 2) di raggio $R=1$ m.

Per trovare l'accelerazione centripeta usiamo la formula:

Determiniamo il modulo di velocità utilizzando il sistema di equazioni (1.2). Troviamo le componenti della velocità uguali a:

\[\left\( \begin(array)(c) v_x=\frac(dx)(dt)=-\omega (\sin \left(\omega t\right)\ ), \\ v_y=\frac( dy)(dt)=\omega ((\cos \left(\omega t\right)\ ) ,\ ) \end(array) \right.\left(1.5\right).\]

Il quadrato del modulo velocità sarà uguale a:

Dal modulo di velocità risultante (1.6), vediamo che il nostro punto si muove uniformemente attorno al cerchio, quindi l'accelerazione centripeta coinciderà con l'accelerazione totale.

Sostituendo $v^2$ dalla (1.6) nella formula (1.4), abbiamo:

Calcoliamo $a_n$:

$a_n=\frac(4)(1)=4\ \sinistra(\frac(m)(s^2)\destra).$

Risposta. 1) Cerchio; 2) $a_n=4\ \frac(m)(s^2)$

Esempio 2

Esercizio. Qual è l'accelerazione centripeta dei punti sul bordo del disco in un tempo pari a $t=2$c, se il disco ruota secondo l'equazione: $\varphi (t)=3+2t^3$? Il raggio del disco è $R=0,(\rm 1)$ m.

Soluzione. Cercheremo l'accelerazione centripeta dei punti sul disco utilizzando la formula:

Troviamo la velocità angolare utilizzando l'equazione $\varphi (t)=3+2t^3$ come:

\[\omega =\frac(d\varphi )(dt)=6t^2.\ \]

Per $t=2\ $c la velocità angolare è pari a:

\[\omega \left(t=2\right)=24\ \left(\frac(rad)(s)\right).\]

Puoi calcolare l'accelerazione centripeta usando la formula (2.1):

Risposta.$a_n=57,6\frac(m)(s^2)$

  • Leggi fondamentali della Dinamica. Le leggi di Newton: prima, seconda, terza. Principio di relatività di Galileo. La legge di gravitazione universale. Gravità. Forze elastiche. Peso. Forze di attrito - riposo, scorrimento, rotolamento + attrito nei liquidi e nei gas.
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  • Meccanica dei fluidi e aeromeccanica. Pressione, pressione idrostatica. Legge di Pascal. Equazione base dell'idrostatica. Vasi comunicanti. Legge di Archimede. Condizioni di navigazione tel. Flusso del fluido. La legge di Bernoulli. Formula Torricelli
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  • Termodinamica. Energia interna. Lavoro. Quantità di calore. Fenomeni termici. Prima legge della termodinamica. Applicazione del primo principio della termodinamica a vari processi. Equazione del bilancio termico. Seconda legge della termodinamica. Motori termici
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  • Errori di misurazioni dirette e indirette. Errore assoluto e relativo. Errori sistematici e casuali. Deviazione standard (errore). Tabella per determinare gli errori delle misurazioni indirette di varie funzioni.

    • Due raggi che emanano da esso formano un angolo. Il suo valore può essere definito sia in radianti che in gradi. Ora, a una certa distanza dal punto centrale, disegniamo mentalmente un cerchio. La misura dell'angolo, espressa in radianti, è quindi il rapporto matematico tra la lunghezza dell'arco L separato da due raggi e il valore della distanza tra il punto centrale e la linea del cerchio (R), ovvero:

    Se ora immaginiamo il sistema descritto come materiale, allora possiamo applicargli non solo il concetto di angolo e raggio, ma anche di accelerazione centripeta, rotazione, ecc. La maggior parte di essi descrive il comportamento di un punto situato su un cerchio rotante. A proposito, un disco solido può anche essere rappresentato da una serie di cerchi, la cui differenza sta solo nella distanza dal centro.

    Una delle caratteristiche di un tale sistema rotante è il suo periodo orbitale. Indica il valore temporale durante il quale un punto su un cerchio arbitrario tornerà nella sua posizione iniziale o, il che è anche vero, ruoterà di 360 gradi. A velocità di rotazione costante è soddisfatta la corrispondenza T = (2*3,1416) / Ug (di seguito Ug è l'angolo).

    La velocità di rotazione indica il numero di giri completi eseguiti in 1 secondo. A velocità costante otteniamo v = 1 / T.

    Dipende dal tempo e dal cosiddetto angolo di rotazione. Cioè, se prendiamo come origine un punto arbitrario A sul cerchio, quando il sistema ruota, questo punto si sposterà su A1 nel tempo t, formando un angolo tra i raggi A-centro e A1-centro. Conoscendo il tempo e l'angolo, puoi calcolare la velocità angolare.

    E poiché c'è cerchio, movimento e velocità, significa che è presente anche l'accelerazione centripeta. Rappresenta una delle componenti che descrivono il movimento nel caso del movimento curvilineo. I termini "normale" e "accelerazione centripeta" sono identici. La differenza è che il secondo viene utilizzato per descrivere il movimento circolare quando il vettore accelerazione è diretto verso il centro del sistema. Pertanto è sempre necessario sapere esattamente come si muove il corpo (punto) e la sua accelerazione centripeta. La sua definizione è la seguente: è il tasso di variazione della velocità, il cui vettore è diretto perpendicolarmente alla direzione del vettore e cambia la direzione di quest'ultimo. L'enciclopedia afferma che studiare questa edizione Huygens ha studiato. La formula per l'accelerazione centripeta da lui proposta è simile a:

    Acs = (v*v) / r,

    dove r è il raggio di curvatura del percorso percorso; v - velocità di movimento.

    La formula utilizzata per calcolare l'accelerazione centripeta provoca ancora un acceso dibattito tra gli appassionati. Ad esempio, recentemente è stata espressa una teoria interessante.

    Huygens, considerando il sistema, è partito dal fatto che il corpo si muove in un cerchio di raggio R con una velocità v misurata nel punto iniziale A. Poiché il vettore d'inerzia è diretto lungo, si ottiene una traiettoria sotto forma di una linea retta AB. Tuttavia, la forza centripeta mantiene il corpo sul cerchio nel punto C. Se segniamo il centro come O e tracciamo le linee AB, BO (la somma di BS e CO), così come AO, otteniamo un triangolo. Secondo la legge di Pitagora:

    BS=(a*(t*t)) / 2, dove a è l'accelerazione; t - tempo (a*t*t è la velocità).

    Se ora usiamo la formula pitagorica, allora:

    R2+t2+v2 = R2+(a*t2*2*R) / 2+ (a*t2/2)2, dove R è il raggio e l'ortografia alfanumerica senza il segno di moltiplicazione è il grado.

    Huygens ha ammesso che, poiché il tempo t è piccolo, può essere ignorato nei calcoli. Trasformando la formula precedente si arrivò alla nota Acs = (v*v) / r.

    Tuttavia, poiché il tempo viene preso al quadrato, si verifica una progressione: maggiore è t, maggiore è l'errore. Ad esempio, per 0,9 quasi il valore totale del 20% non viene contabilizzato.

    Il concetto di accelerazione centripeta è importante per scienza moderna, ma, ovviamente, è troppo presto per porre fine a questo problema.

    Un oggetto che si muove su un'orbita circolare di raggio R con velocità tangenziale uniforme tuè il vettore velocità v, la cui grandezza è costante, ma la cui direzione cambia costantemente. Ne consegue che un oggetto deve avere accelerazione, poiché (vettore) è il tasso di variazione della velocità (vettore) e la velocità (vettore) è effettivamente diversa nel tempo.

    Supponiamo che un oggetto si muova da un punto P al punto Q tra il tempo T E, T + δ T come mostrato nella foto sopra. Supponiamo inoltre che l'oggetto venga ruotato di δθ radianti durante questo periodo di tempo. Il vettore, come mostrato nel diagramma, è identico al vettore. Inoltre, l'angolo tra i vettori e questo δθ . Il vettore rappresenta la variazione del vettore velocità, δ v, tra il tempo T E T + δ T. Da ciò è chiaro che questo vettore è diretto verso il centro del cerchio. Dalla trigonometria standard, la lunghezza di un vettore è:

    Tuttavia, a piccoli angoli peccato θ ≃ θ , purché θ misurato in radianti. Quindi,

    δv ≃ vδθ.

    Dove è la velocità angolare dell'oggetto in radianti al secondo. Quindi, un oggetto che si muove su un'orbita circolare con un raggio R, a velocità tangenziale uniforme v, e velocità angolare uniforme, ha un'accelerazione diretta verso il centro del cerchio - cioè, accelerazione centripeta- misurare:

    Supponiamo che un corpo dotato di massa M, attaccato all'estremità di un cavo, lunghezza R, e ruota in modo tale che il corpo descriva un cerchio orizzontale di raggio R, con velocità tangenziale uniforme v. Come abbiamo appena appreso, un corpo ha un'accelerazione centripeta di grandezza . Pertanto, il corpo sperimenta una forza centripeta

    Cosa dà questo potere? Ok, avanti in questo esempio, la forza è fornita dalla tensione del cavo. Quindi, .

    Supponiamo che il cavo sia tale da rompersi quando la tensione al suo interno supera un certo valore critico. Ne consegue che c'è velocità massima, con cui il corpo può muoversi, vale a dire:

    Se v supera vmassimo, il cavo si romperà. Una volta che il cavo si rompe, il corpo non subirà più la forza centripeta, quindi si muoverà velocemente vmassimo lungo una retta tangente all'orbita circolare preesistente.

    Accelerazione centripeta- componente dell'accelerazione di un punto, che caratterizza la velocità di cambiamento nella direzione del vettore velocità per una traiettoria con curvatura (la seconda componente, l'accelerazione tangenziale, caratterizza il cambiamento nel modulo di velocità). Diretto verso il centro di curvatura della traiettoria, da cui deriva il termine. Il valore è pari al quadrato della velocità diviso per il raggio di curvatura. Il termine "accelerazione centripeta" equivale al termine " accelerazione normale" Quella componente della somma delle forze che provoca questa accelerazione è chiamata forza centripeta.

    Maggior parte semplice esempio l'accelerazione centripeta è il vettore di accelerazione a moto uniforme circonferenzialmente (diretto verso il centro del cerchio).

    Rapida accelerazione nella proiezione su un piano perpendicolare all'asse appare centripeto.

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    • 1 / 5

      A n = v 2 R (\displaystyle a_(n)=(\frac (v^(2))(R))\ ) un n = ω 2 R , (\displaystyle a_(n)=\omega ^(2)R\,)

      Dove un n (\displaystyle a_(n)\ )- accelerazione normale (centripeta), v (\displaystyle v\ )- velocità lineare (istantanea) del movimento lungo la traiettoria, ω (\displaystyle \omega \ )- velocità angolare (istantanea) di questo movimento rispetto al centro di curvatura della traiettoria, R (\displaystyle R\ )- raggio di curvatura della traiettoria in un dato punto. (Il nesso tra la prima formula e la seconda è ovvio, dato v = ω R (\displaystyle v=\omega R\ )).

      Le espressioni sopra includono valori assoluti. Possono essere facilmente scritti in forma vettoriale moltiplicando per e R (\displaystyle \mathbf (e)_(R))- vettore unitario dal centro di curvatura della traiettoria al suo punto dato:

      a n = v 2 R e R = v 2 R 2 R (\displaystyle \mathbf (a) _(n)=(\frac (v^(2))(R))\mathbf (e) _(R)= (\frac (v^(2))(R^(2)))\mathbf (R) ) un n = ω 2 R .

      (\displaystyle \mathbf (a) _(n)=\omega ^(2)\mathbf (R) .) Queste formule sono ugualmente applicabili al caso di moto con velocità costante (in valore assoluto) e ad un caso arbitrario. Nella seconda, però, bisogna tenere presente che l'accelerazione centripeta non è il vettore accelerazione completo, ma solo la sua componente perpendicolare alla traiettoria (o, che è lo stesso, perpendicolare al vettore velocità istantanea); il vettore accelerazione totale comprende quindi anche una componente tangenziale () accelerazione tangenziale un τ = d v / d t (\displaystyle a_(\tau )=dv/dt\ )

      , nella direzione coincidente con la tangente alla traiettoria (o, che è lo stesso, con la velocità istantanea).

      Motivazione e conclusione Che la scomposizione del vettore accelerazione in componenti - una tangente alla traiettoria del vettore (accelerazione tangenziale) e l'altra ortogonale ad essa (accelerazione normale) - possa essere conveniente ed utile è di per sé abbastanza ovvio. Quando ci si sposta con una velocità di modulo costante, la componente tangenziale diventa uguale a zero, cioè in questo importante caso particolare rimane soltanto

      componente normale. Inoltre, come si può vedere di seguito, ciascuno di questi componenti ha proprietà e struttura chiaramente definite e l'accelerazione normale contiene un contenuto geometrico abbastanza importante e non banale nella struttura della sua formula. Per non parlare dell'importante caso speciale del movimento circolare.

      Conclusione formale La scomposizione dell'accelerazione in componenti tangenziale e normale (la seconda delle quali è l'accelerazione centripeta o normale) può essere trovata differenziando rispetto al tempo il vettore velocità, presentato nella forma v = v e τ (\displaystyle \mathbf (v) =v\,\mathbf (e) _(\tau )) attraverso il vettore tangente unitario:

      a = d v d t = d (v e τ) d t = d v d t e τ + v d e τ d t = d v d t e τ + v d e τ d l d l d t = d v d t e τ + v 2 R e n , (\displaystyle \mathbf (a) =(\frac (d\mathbf ( v) )(dt))=(\frac (d(v\mathbf (e) _(\tau )))(dt))=(\frac (\mathrm (d) v)(\mathrm (d) t ))\mathbf (e) _(\tau )+v(\frac (d\mathbf (e) _(\tau ))(dt))=(\frac (\mathrm (d) v)(\mathrm ( d) t))\mathbf (e) _(\tau )+v(\frac (d\mathbf (e) _(\tau ))(dl))(\frac (dl)(dt))=(\ frac (\mathrm (d) v)(\mathrm (d) t))\mathbf (e) _(\tau )+(\frac (v^(2))(R))\mathbf (e) _( N)\ ,)

      Qui usiamo la notazione per il vettore unitario normale alla traiettoria e l (\displaystyle l\ )- per la lunghezza della traiettoria attuale ( l = l (t) (\displaystyle l=l(t)\ )); anche l'ultima transizione utilizza l'ovvio d l / d t = v (\displaystyle dl/dt=v\ ).

      v 2 R e n (\displaystyle (\frac (v^(2))(R))\mathbf (e) _(n)\ )

      Accelerazione normale (centripeta). Inoltre, il suo significato, il significato degli oggetti in esso contenuti, nonché la prova del fatto che è effettivamente ortogonale al vettore tangente (cioè che e n (\displaystyle \mathbf (e)_(n)\ )- in realtà un vettore normale) - seguirà da considerazioni geometriche (il fatto però che la derivata di un qualsiasi vettore di lunghezza costante rispetto al tempo sia perpendicolare a questo vettore stesso è un fatto abbastanza semplice; in questo caso applichiamo questa affermazione per d e τ d t (\displaystyle (\frac (d\mathbf (e) _(\tau ))(dt)))

      Appunti

      È facile notare che il valore assoluto dell'accelerazione tangenziale dipende solo dall'accelerazione direzionale, coincidente con il suo valore assoluto, a differenza di valore assoluto accelerazione normale, che non dipende dall'accelerazione del suolo, ma dipende dalla velocità del suolo.

      I metodi qui presentati, o varianti degli stessi, possono essere utilizzati per introdurre concetti come la curvatura di una curva e il raggio di curvatura di una curva (poiché nel caso in cui la curva è un cerchio, R coincide con il raggio di tale cerchio; non è troppo difficile dimostrare anche che il cerchio è nel piano e τ , e n (\displaystyle \mathbf (e)_(\tau ),e_(n)\ ) con centro in direzione e n (\displaystyle e_(n)\ ) da un dato punto a distanza R da esso - coinciderà con la curva data - traiettoria - fino al secondo ordine di piccolezza nella distanza dal punto dato).

      Storia

      Apparentemente Huygens fu il primo a ottenere le formule corrette per l'accelerazione centripeta (o forza centrifuga). Quasi da questo momento in poi, la considerazione dell'accelerazione centripeta è diventata parte della tecnica abituale per risolvere problemi meccanici, ecc.

      Un po' più tardi, queste formule hanno avuto un ruolo significativo nella scoperta della legge di gravitazione universale (la formula dell'accelerazione centripeta è stata utilizzata per ottenere la legge di dipendenza forza gravitazionale dalla distanza dalla sorgente di gravità, in base alla terza legge di Keplero derivata dalle osservazioni).

      A 19esimo secolo la considerazione dell'accelerazione centripeta sta già diventando del tutto di routine sia per la scienza pura che per le applicazioni ingegneristiche.



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