Opgaver til sandsynlighed for terninger ikke mindre populær end møntkastproblemer. Betingelsen for et sådant problem lyder normalt sådan: når man kaster en eller flere terninger (2 eller 3), hvad er sandsynligheden for, at summen af ​​pointene vil være lig med 10, eller antallet af point vil være 4, eller produkt af antallet af point, eller produktet af antallet af point divideret med 2 så videre.

Anvendelsen af ​​den klassiske sandsynlighedsformel er hovedmetoden til at løse problemer af denne type.

En dør, sandsynlighed.

Det er ret nemt at håndtere en terninger. bestemmes af formlen: P=m/n, hvor m er antallet af udfald, der er gunstige for begivenheden, og n er antallet af alle elementære mulige resultater

eksperimentere med at kaste en terning eller terning.

Opgave 1. Terningerne kastes én gang. Hvad er sandsynligheden for at få et lige antal point? Da terningen er en terning (eller det kaldes også en almindelig terning, vil terningen lande på alle sider med lige stor sandsynlighed, da den er afbalanceret), har terningen 6 sider (antallet af point fra 1 til 6, som er normalt angivet med prikker), betyder det, hvad der er i problemet samlet antal

resultater: n=6. Begivenheden favoriseres kun af udfald, hvor siden med lige punkter 2,4 og 6 vises terningen har følgende sider: m=3. Nu kan vi bestemme den ønskede sandsynlighed for terningerne: P=3/6=1/2=0,5.

Opgave 2. Terningerne kastes én gang. Hvad er sandsynligheden for, at du får mindst 5 point?

Dette problem er løst analogt med eksemplet ovenfor. Når man kaster en terning, er det samlede antal lige mulige udfald: n=6, og kun 2 udfald opfylder problemets betingelse (mindst 5 point rullet op, dvs. 5 eller 6 point rullet ud), hvilket betyder m =2. Dernæst finder vi den nødvendige sandsynlighed: P=2/6=1/3=0,333.

To terninger, sandsynlighed.

Når du løser problemer, der involverer at kaste 2 terninger, er det meget praktisk at bruge en speciel scoringstabel. På den vises antallet af point, der faldt på den første terning, vandret, og antallet af point, der faldt på den anden terning, vises lodret. Arbejdsemnet ser således ud: Men spørgsmålet opstår, hvad der vil være i de tomme celler i tabellen? Det afhænger af det problem, der skal løses. Hvis i problemet om summen af ​​point, så skrives summen der, og hvis der er tale om forskellen, så skrives forskellen ned, og så videre.

Opgave 3. Der kastes 2 terninger på samme tid. Hvad er sandsynligheden for at få mindre end 5 point?

Først skal du finde ud af, hvad det samlede antal resultater af eksperimentet vil være. Alt var tydeligt, når man kastede en terning, 6 sider af terningen - 6 resultater af eksperimentet. Men når der allerede er to terninger, kan de mulige udfald repræsenteres som ordnede talpar af formen (x, y), hvor x viser, hvor mange point der blev kastet på den første terning (fra 1 til 6), og y - hvor mange point der blev kastet på den anden terning (fra 1 op til 6). Der vil i alt være sådanne talpar: n=6*6=36 (i tabellen over udfald svarer de nøjagtigt til 36 celler).

Nu kan du udfylde tabellen for at gøre dette, antallet af point, der faldt på den første og anden terning, indtastes i hver celle. Den færdige tabel ser således ud:

Ved hjælp af tabellen bestemmer vi antallet af resultater, der favoriserer begivenheden "i alt mindre end 5 point vises." Lad os tælle antallet af celler, hvis sumværdi er mindre end tallet 5 (disse er 2, 3 og 4). For nemheds skyld maler vi over sådanne celler, der vil være m=6 af dem:

I betragtning af tabeldataene, sandsynlighed for terninger er lig med: P=6/36=1/6.

Opgave 4. To terninger blev kastet. Bestem sandsynligheden for, at produktet af antallet af point vil være deleligt med 3.

For at løse problemet, lad os lave en tabel over produkterne af de point, der faldt på den første og anden terning. I den fremhæver vi straks de tal, der er multipla af 3:

Vi noterer det samlede antal udfald af eksperimentet n=36 (ræsonnementet er det samme som i forrige opgave) og antallet af gunstige udfald (antallet af celler, der er skraveret i tabellen) m=20. Sandsynligheden for hændelsen er: P=20/36=5/9.

Opgave 5. Terningerne kastes to gange. Hvad er sandsynligheden for, at forskellen i antallet af point på den første og anden terning vil være fra 2 til 5?

At bestemme sandsynlighed for terninger Lad os nedskrive en tabel med pointforskelle og vælge i den de celler, hvis forskelsværdi vil være mellem 2 og 5:

Antallet af gunstige udfald (antallet af celler skraveret i tabellen) er m=10, det samlede antal lige så mulige elementære udfald vil være n=36. Bestemmer sandsynligheden for hændelsen: P=10/36=5/18.

I tilfælde af en simpel begivenhed, og når du kaster 2 terninger, skal du bygge en tabel, derefter vælge de nødvendige celler i den og dividere deres antal med 36, dette vil blive betragtet som en sandsynlighed.

I min blog, en oversættelse af den næste forelæsning af kurset "Principles of Game Balance" af spildesigner Jan Schreiber, der arbejdede på sådanne projekter som Marvel Trading Card Game og Playboy: the Mansion.

Indtil nu har næsten alt, hvad vi har talt om, været deterministisk, og sidste uge Vi kiggede nærmere på transitiv mekanik og gik i så mange detaljer, som jeg kan forklare. Men indtil nu har vi ikke været opmærksomme på et andet aspekt af mange spil, nemlig de ikke-deterministiske aspekter - med andre ord tilfældighed.

At forstå karakteren af ​​tilfældighed er meget vigtigt for spildesignere. Vi skaber systemer, der påvirker brugerens oplevelse i et givent spil, så vi skal vide, hvordan disse systemer fungerer. Hvis der er tilfældighed i et system, er vi nødt til at forstå arten af ​​denne tilfældighed og vide, hvordan vi ændrer den for at få de resultater, vi har brug for.

Terninger

Lad os starte med noget simpelt – at kaste med terninger. Når de fleste mennesker tænker på terninger, tænker de på en sekssidet terning kendt som en d6. Men de fleste spillere har set mange andre terninger: tetraedrisk (d4), ottekantet (d8), tolvsidet (d12), tyvesidet (d20). Hvis du er en rigtig nørd, har du måske 30-sidede eller 100-sidede terninger et eller andet sted.

Hvis du ikke er bekendt med terminologien, står d for die, og tallet efter det er antallet af sider, det har. Hvis tallet vises før d, angiver det antallet af terninger, der skal kastes. For eksempel, i spillet Monopol kaster du 2d6.

Så i dette tilfælde er udtrykket "terninger". symbol. Der er et stort antal andre tilfældige tal-generatorer, der ikke ligner plastikfigurer, men udfører den samme funktion - genererer et tilfældigt tal fra 1 til n. Almindelig mønt kan også repræsenteres som en dihedral matrice d2.

Jeg så to designs af syvsidede terninger: Den ene lignede en terning, og den anden lignede mere en syvsidet træblyant. Den tetraedriske dreidel, også kendt som titotum, ligner den tetraedriske knogle. Det roterende pilebræt i Chutes & Ladders, hvor score kan variere fra 1 til 6, svarer til en sekssidet terning.

En computers tilfældige talgenerator kan skabe et hvilket som helst tal fra 1 til 19, hvis designeren specificerer det, selvom computeren ikke har en 19-sidet terning (generelt vil jeg tale mere om sandsynligheden for, at tal kommer op på en computer i næste uge). Alle disse elementer ser forskellige ud, men i virkeligheden er de ækvivalente: du har lige stor chance for hver af flere mulige udfald.

Terningerne har nogle interessante egenskaber som vi skal vide om. For det første er sandsynligheden for at lande på begge sider den samme (jeg går ud fra, at du kaster en almindelig terning). Hvis du vil vide gennemsnitsværdien af ​​et kast (for dem, der er i sandsynlighed, er dette kendt som den forventede værdi), skal du lægge værdierne sammen på alle kanterne og dividere dette tal med antallet af kanter.

Summen af ​​værdierne af alle siderne for en standard sekssidet terning er 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21. Divider 21 med antallet af sider og få den gennemsnitlige værdi af kastet: 21 / 6 = 3,5. Denne særligt tilfælde, fordi vi antager, at alle udfald er lige sandsynlige.

Hvad hvis du har specielle terninger? For eksempel så jeg et sekssidet terningspil med specielle klistermærker på siderne: 1, 1, 1, 2, 2, 3, så det opfører sig som en mærkelig tresidet terning, der er mere tilbøjelig til at slå en 1'er end en 2. og er mere tilbøjelige til at kaste en 2'er end en 3. Hvad er det gennemsnitlige kast for denne terning? Så 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 3 = 10, divideret med 6 - det viser sig 5/3, eller cirka 1,66. Så hvis du har en speciel terning, og spillerne kaster tre terninger og derefter lægger resultaterne sammen - ved du, at deres kast vil summere til omkring 5, og du kan balancere spillet baseret på den antagelse.

Terninger og Uafhængighed

Som jeg allerede har sagt, går vi ud fra den antagelse, at hver side er lige tilbøjelig til at falde ud. Det er lige meget, hvor mange terninger du kaster. Hvert terningkast er uafhængigt, hvilket betyder, at tidligere kast ikke påvirker resultaterne af efterfølgende. Givet nok forsøg, er du forpligtet til at bemærke et mønster af tal - for eksempel rullende for det meste højere eller lavere værdier - eller andre funktioner, men det betyder ikke, at terningerne er "varme" eller "kolde". Vi taler om dette senere.

Hvis du kaster en standard seks-sidet terning, og tallet 6 kommer op to gange i træk, er sandsynligheden for, at det næste kast vil resultere i en 6'er, nøjagtigt 1/6. Sandsynligheden øges ikke, fordi terningen er "varmet op". . Samtidig falder sandsynligheden ikke: Det er forkert at ræsonnere, at tallet 6 allerede er kommet op to gange i træk, hvilket betyder, at nu skulle en anden side komme op.

Selvfølgelig, hvis du kaster en terning tyve gange og får en 6'er hver gang, er chancen for, at den enogtyvende gang du kaster en 6'er ret stor: måske har du bare den forkerte terning. Men hvis terningen er fair, har hver side den samme sandsynlighed for at lande, uanset resultaterne af de andre kast. Du kan også forestille dig, at vi udskifter terningen hver gang: Hvis tallet 6 kastes to gange i træk, skal du fjerne den "varme" terning fra spillet og erstatte den med en ny. Jeg beklager, hvis nogen af ​​jer allerede vidste om dette, men jeg var nødt til at opklare dette, før jeg gik videre.

Hvordan får man terningerne til at rulle mere eller mindre tilfældigt

Lad os tale om, hvordan man får forskellige resultater på forskellige terninger. Uanset om du kun kaster en terning én eller flere gange, vil spillet føles mere tilfældigt, når terningen har flere sider. Jo oftere du skal kaste terningerne, og jo flere terninger du kaster, jo mere nærmer resultaterne sig gennemsnittet.

For eksempel, i tilfælde af 1d6 + 4 (det vil sige, hvis du kaster en standard sekssidet terning én gang og tilføjer 4 til resultatet), vil gennemsnittet være et tal mellem 5 og 10. Hvis du kaster 5d2, vil gennemsnittet være et tal mellem 5 og 10. ville også være et tal mellem 5 og 10. Resultaterne af at rulle 5d2 vil hovedsageligt være tallene 7 og 8, sjældnere andre værdier. Den samme serie, endda den samme gennemsnitsværdi (i begge tilfælde 7,5), men karakteren af ​​tilfældighederne er forskellig.

Vent et øjeblik. Sagde jeg ikke lige, at terninger ikke "varmer" eller "køler"? Nu siger jeg: hvis du kaster mange terninger, vil resultaterne af kast nærme sig gennemsnittet. Hvorfor?

Lad mig forklare. Hvis du kaster en terning, har hver side samme sandsynlighed for at lande. Det betyder, at hvis du kaster mange terninger over tid, vil hver side komme op omkring det samme antal gange. Jo flere terninger du kaster, jo mere vil det samlede resultat rykke tættere på gennemsnittet.

Det skyldes ikke, at det udtrukne tal "tvinger" et andet tal, der endnu ikke er blevet udtrukket. Men fordi en lille serie af udrulning af tallet 6 (eller 20 eller et andet tal) til sidst ikke vil påvirke resultatet så meget, hvis du kaster terningerne ti tusinde gange mere, og for det meste vil gennemsnitstallet komme op. Nu får du flere store tal, og senere flere små - og med tiden vil de nærme sig gennemsnitsværdien.

Det er ikke fordi tidligere kast påvirker terningerne (seriøst, terningerne er lavet af plastik, den har ikke hjernen til at tænke "Åh, det er et stykke tid siden du har slået en 2"), men fordi det er det der normalt sker, når du kaster mange terninger

Det er således ret nemt at lave beregninger for et tilfældigt kast med en terning - i det mindste for at beregne gennemsnitsværdien af ​​kastet. Der er også måder at beregne "hvor tilfældigt" noget er og sige, at resultaterne af at rulle 1d6+4 vil være "mere tilfældige" end 5d2. For 5d2 vil rullerne være mere jævnt fordelt. For at gøre dette skal du beregne standardafvigelsen: Jo større værdien er, jo mere tilfældige vil resultaterne være. Jeg vil ikke give så mange beregninger i dag. Jeg vil forklare dette emne senere.

Det eneste, jeg vil bede dig om at huske, er, at som en generel regel, jo færre terninger du kaster, jo større tilfældighed. Og jo flere sider en terning har, jo større er tilfældigheden, siden flere mulige muligheder betydninger.

Sådan beregnes sandsynlighed ved hjælp af tælling

Du har måske et spørgsmål: hvordan kan vi beregne den nøjagtige sandsynlighed for at få et bestemt resultat? Faktisk er dette ret vigtigt for mange spil: Hvis du først kaster terningerne - er der højst sandsynligt en form for optimalt resultat. Mit svar er: vi skal beregne to værdier. For det første det samlede antal udfald, når man kaster en terning, og for det andet antallet af gunstige udfald. At dividere den anden værdi med den første vil give dig den ønskede sandsynlighed. For at få procentdelen skal du gange resultatet med 100.

Eksempler

Her er et meget simpelt eksempel. Du vil have tallet 4 eller højere til at kaste den sekssidede terning én gang. Det maksimale antal udfald er 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6). Af disse er 3 resultater (4, 5, 6) gunstige. Det betyder, at for at beregne sandsynligheden dividerer vi 3 med 6 og får 0,5 eller 50%.

Her er et lidt mere kompliceret eksempel. Du vil rulle 2d6 lige tal. Det maksimale antal udfald er 36 (6 muligheder for hver terning, den ene terning påvirker ikke den anden, så gang 6 med 6 og få 36). Vanskeligheden ved denne type spørgsmål er, at det er nemt at tælle to gange. For eksempel, når du kaster 2d6, er der to mulige udfald af 3: 1+2 og 2+1. De ser ens ud, men forskellen er, hvilket tal der vises på den første terning, og hvilket tal der vises på den anden.

Du kan også forestille dig, at terningerne forskellige farver: Så for eksempel i dette tilfælde er den ene terning rød, den anden er blå. Tæl derefter antallet af muligheder for at rulle et lige tal:

• 2 (1+1);
• 4 (1+3);
• 4 (2+2);
• 4 (3+1);
• 6 (1+5);
• 6 (2+4);
• 6 (3+3);
• 6 (4+2);
• 6 (5+1);
• 8 (2+6);
• 8 (3+5);
• 8 (4+4);
• 8 (5+3);
• 8 (6+2);
• 10 (4+6);
• 10 (5+5);
• 10 (6+4);
• 12 (6+6).

Det viser sig, at der er 18 muligheder for et gunstigt resultat ud af 36 - som i det foregående tilfælde er sandsynligheden 0,5 eller 50%. Måske uventet, men ret præcist.

Monte Carlo simulering

Hvad hvis du har for mange terninger til denne beregning? For eksempel vil du vide, hvad sandsynligheden er for at få i alt 15 eller mere, når du kaster 8d6. For otte terninger er der et stort udvalg forskellige resultater, og at tælle dem manuelt vil tage meget lang tid - også selvom vi finder nogle god beslutning at gruppere forskellige serier af terningekast.

I dette tilfælde er den nemmeste måde ikke at tælle manuelt, men at bruge en computer. Der er to måder at beregne sandsynlighed på på en computer. Den første metode kan give dig et præcist svar, men det involverer lidt programmering eller scripting. Computeren vil gennemse hver mulighed, evaluere og tælle samlet mængde iterationer og antallet af iterationer, der matcher det ønskede resultat og giver derefter svarene. Din kode kan se sådan ud:

Hvis du ikke forstår programmering, og du har brug for et omtrentligt svar frem for et præcist, kan du simulere denne situation i Excel, hvor du ruller 8d6 flere tusinde gange og får svaret. Brug formlen for at rulle 1d6 i Excel =GULV(RAND()*6)+1.

Der er et navn for situationen, når du ikke kender svaret og bare prøver mange gange - Monte Carlo-simulering. Dette er en god løsning at bruge, når det er for svært at beregne sandsynligheden. Det fantastiske er, at vi i dette tilfælde ikke behøver at forstå, hvordan matematikken fungerer, og vi ved, at svaret vil være "temmelig godt", fordi, som vi allerede ved, jo flere kast, jo tættere kommer resultatet på gennemsnit.

Hvordan man kombinerer uafhængige forsøg

Hvis du spørger om flere gentagne, men uafhængige forsøg, påvirker resultatet af et kast ikke resultaterne af andre kast. Der er en anden enklere forklaring på denne situation.

Hvordan skelner man mellem noget afhængigt og uafhængigt? Grundlæggende, hvis du kan isolere hvert kast (eller serie af kast) af en terning som en separat begivenhed, så er den uafhængig. For eksempel kaster vi 8d6 og ønsker i alt 15. Denne begivenhed kan ikke opdeles i flere selvstændige terningkast. For at få resultatet udregner man summen af ​​alle værdierne, så resultatet der kommer op på den ene terning påvirker de resultater der skulle komme på de andre.

Her er et eksempel på uafhængige kast: Du spiller et terningspil, og du kaster sekssidede terninger flere gange. Det første kast skal være en 2 eller højere for at forblive i spillet. For det andet kast - 3 eller højere. Den tredje kræver en 4 eller højere, den fjerde kræver en 5 eller højere, og den femte kræver en 6. Hvis alle fem kast er succesfulde, vinder du. I dette tilfælde er alle kast uafhængige. Ja, hvis et kast ikke lykkes, vil det påvirke resultatet af hele spillet, men det ene kast påvirker ikke det andet. For eksempel, hvis dit andet terningkast er meget vellykket, betyder det ikke, at de næste kast bliver lige så gode. Derfor kan vi overveje sandsynligheden for hvert terningkast separat.

Hvis du har uafhængige sandsynligheder og vil vide, hvad sandsynligheden er for, at alle hændelser indtræffer, bestemmer du hver enkelt sandsynlighed og ganger dem sammen. En anden måde: hvis du bruger konjunktionen "og" til at beskrive flere forhold (f.eks. hvad er sandsynligheden for forekomsten af ​​en tilfældig begivenhed og en anden uafhængig tilfældig begivenhed?) - tæl de individuelle sandsynligheder og gang dem.

Lige meget hvad du tror, ​​skal du aldrig lægge uafhængige sandsynligheder sammen. Dette er en almindelig fejl. For at forstå, hvorfor dette er forkert, skal du forestille dig en situation, hvor du kaster en mønt og vil vide, hvad sandsynligheden er for at få hoveder to gange i træk. Sandsynligheden for at hver side falder ud er 50 %. Hvis du lægger disse to sandsynligheder sammen, får du 100 % chance for at få hoveder, men vi ved, at det ikke er sandt, fordi det kunne have været haler to gange i træk. Ganger man i stedet de to sandsynligheder, får man 50 % * 50 % = 25 % – hvilket er det rigtige svar til at beregne sandsynligheden for at få hoveder to gange i træk.

Eksempel

Lad os vende tilbage til det sekssidede terningspil, hvor du først skal kaste et tal større end 2, derefter større end 3 - og så videre indtil 6. Hvad er chancerne for, at alle udfald i en given serie på fem kast vil være gunstige ?

Som nævnt ovenfor er disse uafhængige forsøg, så vi beregner sandsynligheden for hvert enkelt kast og gange dem derefter sammen. Sandsynligheden for, at resultatet af det første kast vil være gunstigt er 5/6. Anden - 4/6. Tredje - 3/6. Den fjerde - 2/6, den femte - 1/6. Vi ganger alle resultaterne med hinanden og får cirka 1,5 %. Gevinster i dette spil er ret sjældne, så hvis du tilføjer dette element til dit spil, har du brug for en ret stor jackpot.

Negation

Her er endnu en nyttigt tip: Nogle gange er det svært at beregne sandsynligheden for, at en hændelse indtræffer, men det er nemmere at bestemme chancerne for, at hændelsen ikke indtræffer. Lad os for eksempel sige, at vi har et andet spil: du kaster 6d6 og vinder, hvis du slår en 6'er mindst én gang. Hvad er sandsynligheden for at vinde?

I dette tilfælde er der mange muligheder at overveje. Det er muligt, at et nummer 6 bliver kastet, det vil sige, at en af ​​terningerne viser tallet 6, og de andre viser tallene fra 1 til 5, så er der 6 muligheder for, hvilken af ​​terningerne der viser 6. Du kan få tallet 6 på to terninger, eller tre eller endda flere, og hver gang skal du lave en separat beregning, så det er nemt at blive forvirret her.

Men lad os se på problemet fra den anden side. Du vil tabe, hvis ingen af ​​terningerne kaster 6. I dette tilfælde har vi 6 uafhængige forsøg. Sandsynligheden for, at hver terning kaster et andet tal end 6, er 5/6. Gang dem, og du får omkring 33%. Sandsynligheden for at tabe er således én ud af tre. Derfor er sandsynligheden for at vinde 67% (eller to til tre).

Fra dette eksempel er det indlysende: Hvis du beregner sandsynligheden for, at en begivenhed ikke vil finde sted, skal du trække resultatet fra 100%. Hvis sandsynligheden for at vinde er 67 %, så er sandsynligheden for at tabe 100 % minus 67 % eller 33 % og omvendt. Hvis det er svært at beregne én sandsynlighed, men let at beregne det modsatte, skal du beregne det modsatte og derefter trække det tal fra 100 %.

Vi kombinerer betingelserne for én uafhængig test

Jeg sagde lige ovenfor, at du aldrig bør tilføje sandsynligheder på tværs af uafhængige forsøg. Er der nogle tilfælde, hvor det er muligt at opsummere sandsynligheden? Ja, i en speciel situation.

Hvis du vil beregne sandsynligheden for flere uafhængige gunstige udfald på et enkelt forsøg, skal du summere sandsynligheden for hvert gunstigt resultat. For eksempel er sandsynligheden for at rulle tallene 4, 5 eller 6 på 1d6 lig med summen af ​​sandsynligheden for at rulle tallet 4, sandsynligheden for tallet 5 og sandsynligheden for tallet 6. Denne situation kan repræsenteres som følger: hvis du bruger konjunktionen "eller" i et spørgsmål om sandsynlighed (f.eks. hvad er sandsynligheden for et eller andet udfald af én tilfældig hændelse?) - beregn de enkelte sandsynligheder og opsummer dem.

Bemærk venligst: når du beregner alle mulige udfald af et spil, skal summen af ​​sandsynligheden for deres forekomst være lig med 100 %, ellers er din beregning lavet forkert. Denne god måde tjek dine beregninger igen. For eksempel analyserede du sandsynligheden for alle kombinationer i poker. Hvis du lægger alle dine resultater sammen, skulle du få præcis 100 % (eller i hvert fald noget ret tæt på 100 %: hvis du bruger en lommeregner, kan der være en lille afrundingsfejl, men hvis du lægger op nøjagtige tal manuelt, skal alt samles). Hvis summen ikke konvergerer, betyder det, at du højst sandsynligt ikke har taget højde for nogle kombinationer eller beregnet sandsynligheden for nogle kombinationer forkert, og beregningerne skal dobbelttjekkes.

Ulige sandsynligheder

Indtil nu har vi antaget, at hver side af en terning kastes med samme frekvens, fordi det er sådan, terninger ser ud til at fungere. Men nogle gange kan du støde på en situation, hvor forskellige udfald er mulige, og de har forskellige odds for at dukke op.

For eksempel i en af ​​tilføjelserne kortspil Nuclear War har en spillebane med en pil, som resultatet af raketopsendelsen afhænger af. Oftest giver den normal skade, stærkere eller svagere, men nogle gange bliver skaden fordoblet eller tredoblet, eller raketten eksploderer på affyringsrampen og gør dig ondt, eller der opstår en anden begivenhed. I modsætning til spilleplads med en pil i Chutes & Ladders eller A Game of Life, er spillepladeresultaterne i Nuclear War ujævne. Nogle sektioner af spillefeltet er større, og pilen stopper meget oftere på dem, mens andre sektioner er meget små, og pilen stopper sjældent på dem.

Så ved første øjekast ser terningen sådan ud: 1, 1, 1, 2, 2, 3 - vi har allerede talt om det, det er noget i retning af en vægtet 1d3. Derfor skal vi opdele alle disse sektioner i lige store dele, finde den mindste måleenhed, hvis divisor alt er et multiplum, og derefter repræsentere situationen i form af d522 (eller en anden), hvor terningesættet vender mod vil repræsentere den samme situation, næse et stort antal resultater. Dette er en måde at løse problemet på, og det er teknisk muligt, men der er en enklere mulighed.

Lad os gå tilbage til vores standard sekssidede terninger. Vi har sagt, at for at beregne det gennemsnitlige kast for en normal terning skal du lægge værdierne sammen på alle siderne og dividere med antallet af sider, men hvordan fungerer udregningen præcist? Der er en anden måde at udtrykke dette på. For en sekssidet terning er sandsynligheden for, at hver side kastes nøjagtigt 1/6. Nu multiplicerer vi resultatet af hver kant med sandsynligheden for det udfald (i dette tilfælde 1/6 for hver kant), og lægger derefter de resulterende værdier sammen. Således summeres (1 * 1/6) + (2 * 1/6) + (3 * 1/6) + (4 * 1/6) + (5 * 1/6) + (6 * 1/6 ) , får vi samme resultat (3,5) som i beregningen ovenfor. Faktisk tæller vi på denne måde hver gang: vi multiplicerer hvert udfald med sandsynligheden for det resultat.

Kan vi lave den samme beregning for pilen på spillefeltet i atomkrig? Selvfølgelig kan vi det. Og hvis vi opsummerer alle de fundne resultater, får vi gennemsnitsværdien. Alt vi skal gøre er at beregne sandsynligheden for hvert udfald for pilen på spillepladen og gange med udfaldsværdien.

Et andet eksempel

Denne metode til at beregne gennemsnittet er også velegnet, hvis resultaterne er lige sandsynlige, men har forskellige fordele - for eksempel hvis du kaster en terning og vinder mere på nogle sider end andre. Lad os for eksempel tage et kasinospil: du placerer et bet og kaster 2d6. Hvis tre tal rulles med laveste værdi(2, 3, 4) eller fire tal med høj værdi(9, 10, 11, 12) - du vinder et beløb svarende til din indsats. Tallene med den laveste og højeste værdi er specielle: Hvis du slår en 2'er eller en 12'er, vinder du det dobbelte af din indsats. Hvis et andet tal kastes (5, 6, 7, 8), mister du din indsats. Dette er et ret simpelt spil. Men hvad er sandsynligheden for at vinde?

Lad os starte med at tælle, hvor mange gange du kan vinde. Det maksimale antal udfald, når man kaster 2d6 er 36. Hvad er antallet af gunstige udfald?

• Der er 1 mulighed for, at en 2 vil blive kastet, og 1 mulighed for, at en 12 vil blive kastet.
• Der er 2 muligheder, 3 vil rulle og 2 muligheder, 11 vil rulle.
• Der er 3 muligheder for, at en 4'er vil rulle, og 3 muligheder for, at en 10'er vil rulle.
• Der er 4 muligheder for at slå en 9.

Sammenfattende alle mulighederne får vi 16 gunstige udfald ud af 36. Således med normale forhold du vinder 16 gange ud af 36 mulige - sandsynligheden for at vinde er lidt mindre end 50%.

Men i to tilfælde ud af disse seksten vil du vinde dobbelt så meget - det er som at vinde to gange. Hvis du spiller dette spil 36 gange, satser $1 hver gang, og hvert af alle mulige udfald kommer op én gang, vil du vinde i alt $18 (du vil faktisk vinde 16 gange, men to af dem tæller som to sejre). Hvis du spiller 36 gange og vinder $18, betyder det så ikke, at oddsene er lige store?

Tag dig god tid. Hvis du tæller antallet af gange, du kan tabe, ender du med 20, ikke 18. Hvis du spiller 36 gange og satser $1 hver gang, vinder du i alt $18, hvis du rammer alle de vindende valg. Men du vil miste i alt $20, hvis du får alle 20 ugunstige resultater. Som et resultat vil du komme lidt bagud: du taber i gennemsnit $2 netto for hver 36 spil (du kan også sige, at du i gennemsnit taber 1/18 af en dollar om dagen). Nu ser du, hvor nemt det er at lave en fejl i dette tilfælde og beregne sandsynligheden forkert.

Omarrangering

Hidtil har vi antaget, at rækkefølgen af ​​tallene, når man kaster terninger, ikke har nogen betydning. At rulle 2 + 4 er det samme som at rulle 4 + 2. I de fleste tilfælde tæller vi manuelt antallet af gunstige resultater, men nogle gange denne metode er upraktisk, og det er bedre at bruge en matematisk formel.

Et eksempel på denne situation er fra Farkle-terningespillet. For hver ny runde kaster du 6d6. Hvis du er heldig og får alle mulige resultater 1-2-3-4-5-6 (lige), vil du modtage en stor bonus. Hvad er sandsynligheden for, at dette sker? I dette tilfælde er der mange muligheder for at få denne kombination.

Løsningen er som følger: én af terningerne (og kun én) skal have tallet 1. Hvor mange måder kan tallet 1 optræde på én terning? Der er 6 muligheder, da der er 6 terninger, og enhver af dem kan falde på tallet 1. Tag derfor en terning og læg den til side. Nu skal en af ​​de resterende terninger kaste tallet 2. Der er 5 muligheder for dette. Tag en anden terning og sæt den til side. Så kan 4 af de resterende terninger lande tallet 3, 3 af de resterende terninger kan lande tallet 4, og 2 af de resterende terninger kan lande tallet 5. Som et resultat står du tilbage med en terning, som skulle lande nummer 6 (i sidstnævnte tilfælde er terningerne der kun én knogle, og der er ikke noget valg).

For at beregne antallet af gunstige udfald for at slå en straight multiplicerer vi alle de forskellige uafhængige muligheder: 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1=720 - det ser ud til, at der er en hel del stort antal muligheder for at få denne kombination.

For at beregne sandsynligheden for at få en straight, skal vi dividere 720 med antallet af alle mulige udfald for at rulle 6d6. Hvad er antallet af alle mulige udfald? Hver terning kan have 6 sider, så vi ganger 6 x 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 46656 (et meget større tal end det foregående). Divider 720 med 46656 og vi får en sandsynlighed på cirka 1,5%. Hvis du designede dette spil, ville det være nyttigt for dig at vide dette, så du kunne oprette et scoringssystem i overensstemmelse hermed. Nu forstår vi, hvorfor du i Farkle får så stor en bonus, hvis du får en straight: dette er en ret sjælden situation.

Resultatet er også interessant af en anden grund. Eksemplet viser, hvor sjældent kort periode resultatet svarende til sandsynligheden fremkommer. Selvfølgelig, hvis vi kastede flere tusinde terninger, forskellige ansigter terninger ville komme op ret ofte. Men når vi kun kaster seks terninger, sker det næsten aldrig, at hvert ansigt kommer op. Det bliver tydeligt, at det er dumt at forvente, at der nu dukker en linje op, som endnu ikke er sket, for "vi har ikke rullet tallet 6 i lang tid." Hør, din tilfældige talgenerator er ødelagt.

Dette leder os til den almindelige misforståelse, at alle udfald sker med samme frekvens over en kort periode. Hvis vi kaster terninger flere gange, vil hyppigheden af, at hver side falder ud, ikke være den samme.

Hvis du nogensinde har arbejdet på et online spil med en form for tilfældig talgenerator før, er du højst sandsynligt stødt på en situation, hvor en spiller skriver til teknisk support og klager over, at tilfældige talgeneratoren ikke viser tilfældige tal. Han kom til denne konklusion, fordi han dræbte 4 monstre i træk og modtog 4 nøjagtigt de samme belønninger, og disse belønninger skulle kun dukke op 10% af tiden, så dette burde selvfølgelig næsten aldrig ske.

Du laver en matematisk beregning. Sandsynligheden er 1/10 * 1/10 * 1/10 * 1/10, det vil sige, at 1 ud af 10 tusinde er et ret sjældent tilfælde. Dette er, hvad spilleren forsøger at fortælle dig. Er der et problem i dette tilfælde?

Det hele afhænger af omstændighederne. Hvor mange spillere er der i øjeblikket på din server? Lad os antage, at du har nok populært spil, og 100 tusinde mennesker spiller det hver dag. Hvor mange spillere kan dræbe fire monstre i træk? Måske alle, flere gange om dagen, men lad os antage, at halvdelen af ​​dem blot udveksler forskellige genstande på auktioner, chatter på RP-servere eller udfører andre aktiviteter i spillet – så kun halvdelen af ​​dem er på jagt efter monstre. Hvad er sandsynligheden for, at nogen får den samme belønning? I denne situation kan du forvente, at dette sker mindst flere gange om dagen.

Forresten, det er derfor, det ser ud til, at nogen med få ugers mellemrum vinder i lotteriet, selvom den person aldrig har været dig eller nogen, du kender. Hvis nok mennesker spiller regelmæssigt, er chancerne for, at der vil være mindst én heldig spiller et eller andet sted. Men hvis du selv spiller i lotto, så er det usandsynligt, at du vinder, men snarere bliver du inviteret til at arbejde på Infinity Ward.

Kort og afhængighed

Vi har diskuteret uafhængige begivenheder, såsom at kaste en terning, og kender nu mange kraftfulde værktøjer til at analysere tilfældigheder i mange spil. At beregne sandsynlighed er lidt mere kompliceret, når det kommer til at trække kort fra bunken, fordi hvert kort, vi trækker, påvirker dem, der bliver tilbage i bunken.

Hvis du har en standard 52-korts bunke, fjerner du 10 hjerter fra den og vil vide sandsynligheden for, at det næste kort vil være af samme kulør - sandsynligheden er ændret fra originalen, fordi du allerede har fjernet et kort i kuløren af hjerter fra dækket. Hvert kort, du fjerner, ændrer sandsynligheden for, at det næste kort dukker op i bunken. I dette tilfælde påvirker den forrige hændelse den næste, så vi kalder denne sandsynlighedsafhængig.

Bemærk venligst, at når jeg siger "kort", taler jeg om enhver spilmekaniker, hvor du har et sæt genstande, og du fjerner et af objekterne uden at erstatte det. Et "kortspil" i dette tilfælde er analogt med en pose chips, hvorfra man tager en jeton, eller en urne, hvorfra man tager farvede kugler (jeg har aldrig set spil med en urne, hvorfra man tager farvede kugler, men lærere af sandsynlighedsteori om, hvilken grund til, at dette eksempel foretrækkes).

Afhængighedsegenskaber

Jeg vil gerne præcisere, at når det kommer til kort, går jeg ud fra, at du trækker kort, ser på dem og fjerner dem fra bunken. Hver af disse handlinger er en vigtig egenskab. Hvis jeg havde et spil med f.eks. seks kort med tallene 1 til 6, ville jeg blande dem og trække et kort og derefter blande alle seks kort igen - det ville svare til at kaste en sekssidet terning, fordi et resultat har ingen effekt for de næste. Og hvis jeg tager kort ud og ikke erstatter dem, så ved at tage kort 1, gør jeg det mere sandsynligt, at jeg tager et kort med tallet 6 næste gang. Sandsynligheden fortsætter med at stige, indtil jeg til sidst tager ud det kort eller bland bunken.

Det er også vigtigt, at vi kigger på kort. Hvis jeg tager et kort ud af bunken og ikke ser på det, har jeg ikke yderligere oplysninger og faktisk vil sandsynligheden ikke ændre sig. Dette kan lyde kontraintuitivt. Hvordan kan blot vende et kort på magisk vis ændre oddsene? Men det er muligt, fordi du kan beregne sandsynligheden for ukendte genstande bare ud fra, hvad du ved.

For eksempel, hvis du blander et standard kortspil og afslører 51 kort, og ingen af ​​dem er en kløverdronning, så kan du være 100 % sikker på, at det resterende kort er en kløverdronning. Hvis du blander et standardspil kort og tager 51 kort ud uden at se på dem, er sandsynligheden for, at det resterende kort er en kløverdronning stadig 1/52. Når du åbner hvert kort, modtager du mere information.

At beregne sandsynligheden for afhængige hændelser følger de samme principper som for uafhængige hændelser, bortset fra at det er lidt mere kompliceret, fordi sandsynligheden ændres, når du afslører kort. Så du skal formere dig meget forskellige betydninger, i stedet for at gange den samme værdi. Hvad dette i virkeligheden betyder, er, at vi skal kombinere alle de beregninger, vi lavede, i én kombination.

Eksempel

Du blander et standardkort med 52 kort og trækker to kort. Hvad er sandsynligheden for, at du trækker et par? Der er flere måder at beregne denne sandsynlighed på, men den enkleste er måske denne: Hvad er sandsynligheden for, at hvis du trækker et kort, vil du ikke være i stand til at trække et par? Denne sandsynlighed er nul, så det er ligegyldigt hvilket første kort du trækker, så længe det matcher det andet. Det er lige meget hvilket kort vi trækker først, vi har stadig en chance for at trække et par. Derfor er sandsynligheden for at trække et par efter det første kort er trukket 100%.

Hvad er sandsynligheden for, at det andet kort matcher det første? Der er 51 kort tilbage i bunken, og 3 af dem matcher det første kort (faktisk ville der være 4 ud af 52, men du fjernede allerede et af de matchende kort, da du trak det første kort), så sandsynligheden er 1/ 17. Så næste gang du spiller Texas Hold'em, siger manden på den anden side af bordet: "Fedt, endnu et par? Jeg føler mig heldig i dag," du vil vide, at der er stor sandsynlighed for, at han bluffer.

Hvad hvis vi tilføjer to jokere, så vi har 54 kort i bunken og vil vide, hvad sandsynligheden er for at trække et par? Det første kort kan være en joker, og så vil der kun være ét kort i bunken, der matcher, og ikke tre. Hvordan finder man sandsynligheden i dette tilfælde? Vi vil dividere sandsynligheden og gange hver mulighed.

Vores første kort kunne være en joker eller et andet kort. Sandsynligheden for at trække en joker er 2/54, sandsynligheden for at trække et andet kort er 52/54. Hvis det første kort er en joker (2/54), så er sandsynligheden for, at det andet kort matcher det første, 1/53. Vi multiplicerer værdierne (vi kan gange dem, fordi de er separate begivenheder, og vi ønsker, at begge begivenheder skal ske), og vi får 1/1431 - mindre end en tiendedel af en procent.

Hvis du trækker et andet kort først (52/54), er sandsynligheden for at matche det andet kort 3/53. Vi multiplicerer værdierne og får 78/1431 (lidt mere end 5,5%). Hvad gør vi med disse to resultater? De krydser ikke hinanden, og vi vil gerne kende sandsynligheden for hver af dem, så vi tilføjer værdierne. Vi får et slutresultat på 79/1431 (stadig ca. 5,5%).

Hvis vi ville være sikre på nøjagtigheden af ​​svaret, kunne vi beregne sandsynligheden for alle de andre mulige udfald: at trække en joker og ikke matche det andet kort, eller trække et andet kort og ikke matche det andet kort. Ved at opsummere disse sandsynligheder og sandsynligheden for at vinde, ville vi få præcis 100%. Jeg vil ikke give matematikken her, men du kan prøve matematikken for at dobbelttjekke.

Monty Hall Paradox

Dette bringer os til et ret berømt paradoks, der ofte forvirrer mange mennesker - Monty Hall-paradokset. Paradokset er opkaldt efter værten for tv-showet Let's Make a Deal For dem, der aldrig har set dette tv-program, var det det modsatte af The Price Is Right.

På The Price Is Right er værten (Bob Barker plejede at være værten; hvem er det nu, Drew Carey? Never mind) din ven. Han vil have dig til at vinde penge eller fede præmier. Det forsøger at give dig alle muligheder for at vinde, så længe du kan gætte, hvor meget de varer, som sponsorerne har købt, faktisk er værd.

Monty Hall opførte sig anderledes. Han var som Bob Barkers onde tvilling. Hans mål var at få dig til at ligne en idiot på nationalt tv. Hvis du var med i showet, var han din modstander, du spillede mod ham, og oddsene var i hans favør. Måske er jeg for hård, men at se på et show, som du er mere tilbøjelig til at deltage i, hvis du bærer et latterligt kostume, det er præcis det, jeg kommer til.

En af de mest berømte memes i showet var dette: Der er tre døre foran dig, dør nummer 1, dør nummer 2 og dør nummer 3. Du kan vælge en dør gratis. Bag en af ​​dem er der en storslået præmie - for eksempel en ny bil. Der er ingen præmier bag de to andre døre, som begge er uden værdi. Det er meningen, at de skal ydmyge dig, så bag dem er der ikke bare ingenting, men noget dumt, for eksempel en ged eller en kæmpe tube tandpasta - alt andet end en ny bil.

Du vælger en af ​​dørene, Monty er ved at åbne den for at fortælle dig, om du vandt eller ej... men vent. Før vi finder ud af det, lad os tage et kig på en af ​​de døre, du ikke har valgt. Monty ved, hvilken dør præmien er bagved, og han kan altid åbne den dør, der ikke har en præmie bag sig. “Vælger du dør nummer 3? Så lad os åbne dør nummer 1 for at vise, at der ikke var nogen præmie bag." Og nu giver han dig af generøsitet mulighed for at bytte den valgte dør nummer 3 til det, der er bag dør nummer 2.

På dette tidspunkt opstår spørgsmålet om sandsynlighed: øger denne mulighed din sandsynlighed for at vinde, eller mindsker den, eller forbliver den uændret? Hvordan tænker du?

Korrekt svar: muligheden for at vælge en anden dør øger sandsynligheden for at vinde fra 1/3 til 2/3. Dette er ulogisk. Hvis du ikke har stødt på dette paradoks før, så tænker du højst sandsynligt: ​​vent, hvordan kan det være, at vi ved at åbne en dør på magisk vis ændrede sandsynligheden? Som vi allerede har set med kort, er det præcis, hvad der sker, når vi får mere information. Det er klart, når du vælger for første gang, er sandsynligheden for at vinde 1/3. Når en dør åbnes, ændrer det slet ikke sandsynligheden for at vinde for førstevalget: sandsynligheden er stadig 1/3. Men sandsynligheden for, at den anden dør er korrekt, er nu 2/3.

Lad os se på dette eksempel fra et andet perspektiv. Du vælger en dør. Sandsynligheden for at vinde er 1/3. Jeg foreslår, at du ændrer de to andre døre, hvilket Monty Hall gør. Selvfølgelig åbner han en af ​​dørene for at afsløre, at der ikke er nogen præmie bag den, men det kan han altid gøre, så det ændrer ikke rigtigt noget. Selvfølgelig vil du gerne vælge en anden dør.

Hvis du ikke helt forstår spørgsmålet og har brug for en mere overbevisende forklaring, så klik på dette link for at blive ført til en fantastisk lille Flash-applikation, der giver dig mulighed for at udforske dette paradoks mere detaljeret. Du kan spille startende med omkring 10 døre og derefter gradvist arbejde dig op til et spil med tre døre. Der er også en simulator, hvor du kan spille med et vilkårligt antal døre fra 3 til 50, eller køre flere tusinde simuleringer og se, hvor mange gange du ville vinde, hvis du spillede.

Vælg en af ​​tre døre - sandsynligheden for at vinde er 1/3. Nu har du to strategier: ændre dit valg efter at have åbnet den forkerte dør eller ej. Hvis du ikke ændrer dit valg, så vil sandsynligheden forblive 1/3, da valget kun sker i første fase, og du skal gætte med det samme. Hvis du skifter, så kan du vinde, hvis du først vælger den forkerte dør (så åbner de en anden forkert, den rigtige forbliver - ved at ændre din beslutning, tager du den). Sandsynligheden for at vælge den forkerte dør i starten er 2/3 – så det viser sig, at ved at ændre din beslutning, fordobler du sandsynligheden for at vinde.

En bemærkning fra højere matematiklærer og spilbalancespecialist Maxim Soldatov - selvfølgelig havde Schreiber det ikke, men uden det er det ret svært at forstå denne magiske transformation

Og igen om Monty Hall-paradokset

Med hensyn til selve showet: Selvom Monty Halls modstandere ikke var gode til matematik, var han god til det. Her er, hvad han gjorde for at ændre spillet lidt. Hvis du valgte en dør, der havde en præmie bag sig, som havde en 1/3 chance for at ske, ville den altid give dig mulighed for at vælge en anden dør. Du vælger en bil og så bytter den ud med en ged, og du vil se ret dum ud - hvilket er præcis, hvad du ønsker, da Hall er en slags ond fyr.

Men hvis du vælger en dør, der ikke har en præmie bag sig, vil han kun bede dig om at vælge en anden halvdel af tiden, eller han vil bare vise dig din nye ged, og du forlader scenen. Lad os analysere dette nyt spil, hvor Monty Hall kan beslutte, om han vil tilbyde dig chancen for at vælge en anden dør.

Lad os sige, at han følger denne algoritme: Hvis du vælger en dør med en præmie, giver han dig altid muligheden for at vælge en anden dør, ellers er det lige så sandsynligt, at han vil tilbyde dig at vælge en anden dør eller give dig en ged. Hvad er din sandsynlighed for at vinde?

I en af ​​de tre muligheder vælger du med det samme døren, som præmien er placeret bag, og oplægsholderen inviterer dig til at vælge en anden.

Af de resterende to muligheder ud af tre (du vælger i første omgang en dør uden præmie) vil oplægsholderen i halvdelen af ​​tilfældene tilbyde dig at ændre din beslutning, og i den anden halvdel af tilfældene - ikke.

Halvdelen af ​​2/3 er 1/3, det vil sige, i et tilfælde ud af tre får du en ged, i et tilfælde ud af tre vil du vælge den forkerte dør, og værten vil bede dig om at vælge en anden, og i en tilfælde ud af tre vil du vælge den rigtige dør, men han igen vil han tilbyde en anden.

Hvis oplægsholderen tilbyder at vælge en anden dør, ved vi allerede, at det ene tilfælde ud af tre, da han giver os en ged, og vi går, ikke skete. Denne nyttige oplysninger: det betyder, at vores chancer for at vinde har ændret sig. To tilfælde ud af tre, når vi har mulighed for at vælge: I det ene tilfælde betyder det, at vi gættede rigtigt, og i det andet, at vi gættede forkert, så hvis vi overhovedet fik mulighed for at vælge, så er sandsynligheden for, at vi vinder er 1/2, og ud fra et matematisk synspunkt er det lige meget, om du bliver ved dit valg eller vælger en anden dør.

Ligesom poker er det et psykologisk spil, ikke et matematisk spil. Hvorfor gav Monty dig et valg? Han tror, ​​at du er en simpel mand, der ikke ved, at det at vælge en anden dør er den "rigtige" beslutning og stædigt vil holde fast i sit valg (trods alt psykologisk situationen er mere kompliceret, da du valgte en bil og så mistede den)?

Eller tilbyder han, der beslutter, at du er smart og vil vælge en anden dør, dig denne chance, fordi han ved, at du gættede rigtigt i første omgang og vil blive hooked? Eller måske er han ukarakteristisk venlig og presser dig til at gøre noget, der vil gavne dig, fordi han ikke har givet biler væk i et stykke tid, og producenterne siger, at publikum er ved at kede sig, og det ville være bedre at give væk en stor præmie snart. falder vurderingerne?

På denne måde formår Monty lejlighedsvis at tilbyde et valg og stadig holde den samlede sandsynlighed for at vinde på 1/3. Husk at sandsynligheden for at du taber direkte er 1/3. Chancen for, at du gætter rigtigt med det samme, er 1/3, og 50 % af disse gange vinder du (1/3 x 1/2 = 1/6).

Chancen for, at du først gætter forkert, men så har en chance for at vælge en anden dør, er 1/3, og halvdelen af ​​disse gange vil du vinde (også 1/6). Læg to uafhængige vindermuligheder sammen, og du får en sandsynlighed på 1/3, så det er lige meget, om du holder fast i dit valg eller vælger en anden dør - din samlede sandsynlighed for at vinde gennem hele spillet er 1/3.

Sandsynligheden bliver ikke større end i den situation, hvor du gættede døren, og oplægsholderen blot viste dig, hvad der lå bag, uden at tilbyde at vælge en anden. Pointen med forslaget er ikke at ændre på sandsynligheden, men at gøre beslutningsprocessen sjovere at se på tv.

Det er i øvrigt en af ​​grundene til, at poker kan være så interessant: i de fleste formater, mellem runder, når der foretages væddemål (for eksempel floppet, turn og river i Texas Hold'em), afsløres kortene gradvist, og hvis du i begyndelsen af ​​spillet har én chance for at vinde, så ændres denne sandsynlighed efter hver indsatsrunde, når flere kort afsløres.

Dreng og pige paradoks

Dette bringer os til et andet velkendt paradoks, som som regel undrer alle - drengens og pigens paradoks. Det eneste, jeg skriver om i dag, som ikke er direkte relateret til spil (selvom jeg gætter på, at jeg bare skal opfordre dig til at skabe passende spilmekanik). Dette er mere et puslespil, men interessant, og for at løse det skal du forstå betinget sandsynlighed, som vi talte om ovenfor.

Problem: Jeg har en ven med to børn, mindst én af dem er en pige. Hvad er sandsynligheden for, at det andet barn også er en pige? Lad os antage, at i enhver familie er chancerne for at få en pige og en dreng 50/50, og det gælder for hvert barn.

Faktisk har nogle mænd flere sædceller med et X-kromosom eller et Y-kromosom i deres sædceller, så oddsene ændrer sig lidt. Hvis du ved, at et barn er en pige, er sandsynligheden for at få en anden pige lidt højere, og der er andre tilstande, såsom hermafroditisme. Men for at løse dette problem, vil vi ikke tage højde for dette og antage, at fødslen af ​​et barn er selvstændig begivenhed og fødslen af ​​en dreng og en pige er lige sandsynlige.

Da vi taler om en chance på 1/2, forventer vi intuitivt, at svaret højst sandsynligt vil være 1/2 eller 1/4, eller et andet tal, der er et multiplum af to i nævneren. Men svaret er 1/3. Hvorfor?

Det vanskelige her er, at den information, vi har, reducerer antallet af muligheder. Antag, at forældrene er fans af Sesame Street og, uanset børnenes køn, navngivet dem A og B. Under normale forhold er der fire lige sandsynlige muligheder: A og B er to drenge, A og B er to piger, A er en dreng og B er en pige, A er en pige og B er en dreng. Da vi ved, at mindst ét ​​barn er en pige, kan vi udelukke muligheden for, at A og B er to drenge. Dette efterlader os med tre muligheder - stadig lige sandsynlige. Hvis alle muligheder er lige sandsynlige, og der er tre af dem, så er sandsynligheden for hver af dem 1/3. Kun i én af disse tre muligheder er begge børn piger, så svaret er 1/3.

Og igen om paradokset med en dreng og en pige

Løsningen på problemet bliver endnu mere ulogisk. Forestil dig, at min veninde har to børn, og en af ​​dem er en pige, der blev født i tirsdags. Lad os antage, at et barn under normale forhold kan blive født på hver af ugens syv dage med lige stor sandsynlighed. Hvad er sandsynligheden for, at det andet barn også er en pige?

Du tror måske, at svaret stadig ville være 1/3: hvad betyder tirsdag noget? Men selv i dette tilfælde svigter vores intuition os. Svaret er 13/27, hvilket ikke kun er uintuitivt, men meget mærkeligt. Hvad er der i vejen i denne sag?

Faktisk ændrer tirsdag sandsynligheden, fordi vi ikke ved, hvilket barn der blev født om tirsdagen, eller måske begge blev født om tirsdagen. I dette tilfælde bruger vi den samme logik: vi tæller alle mulige kombinationer, når mindst et barn er en pige født på tirsdag. Som i det foregående eksempel, lad os antage, at børnene hedder A og B. Kombinationerne ser således ud:

• A er en pige, der blev født tirsdag, B er en dreng (i denne situation er der 7 muligheder, en for hver dag i ugen, hvor en dreng kunne være blevet født).
• B er en pige født tirsdag, A er en dreng (også 7 muligheder).
• A - en pige, der er født tirsdag, B - en pige, der er født en anden dag i ugen (6 muligheder).
• B er en pige, der er født tirsdag, A er en pige, der ikke er født tirsdag (også 6 sandsynligheder).
• A og B er to piger, der blev født i tirsdags (1 mulighed, du skal være opmærksom på dette for ikke at tælle to gange).

Vi lægger sammen og får 27 forskellige lige mulige kombinationer af fødsler af børn og dage med mindst én mulighed for fødslen af ​​en pige på tirsdag. Heraf er der 13 muligheder, når to piger bliver født. Det virker også fuldstændig ulogisk – det virker som om denne opgave er opfundet bare for at give hovedpine. Hvis du stadig undrer dig, har spilteoretiker Jesper Juhls hjemmeside en god forklaring på dette problem.

Hvis du i øjeblikket arbejder på et spil

Hvis der er en tilfældighed i det spil, du designer, er det et godt tidspunkt at analysere det på. Vælg et element, du vil analysere. Spørg først dig selv, hvad du forventer, at sandsynligheden er af dette element, hvad det skal være i forbindelse med spillet.

For eksempel, hvis du laver en RPG, og du spekulerer på, hvad sandsynligheden burde være for, at spilleren vil besejre et monster i kamp, ​​så spørg dig selv, hvilken gevinstprocent der føles rigtigt for dig. Typisk med konsol-RPG'er bliver spillere meget sure, når de taber, så det er bedst, hvis de taber sjældent - 10% af tiden eller mindre. Hvis du er en RPG-designer, ved du sikkert bedre end jeg gør, men det skal du have grundlæggende idé, hvad skulle sandsynligheden være.

Spørg så dig selv, om dine sandsynligheder er afhængige (som med kort) eller uafhængige (som med terninger). Analyser alle mulige udfald og deres sandsynligheder. Sørg for, at summen af ​​alle sandsynligheder er 100 %. Og sammenlign selvfølgelig de opnåede resultater med dine forventninger. Er du i stand til at kaste med terningerne eller trække kort, som du havde tænkt dig, eller er det klart, at værdierne skal justeres. Og selvfølgelig, hvis du finder nogle mangler, kan du bruge de samme beregninger til at bestemme, hvor meget du skal ændre værdierne.

Hjemmeopgave

Dine lektier” denne uge vil hjælpe dig med at finpudse dine sandsynlighedsfærdigheder. Her er to terningespil og et kortspil, som du vil analysere ved hjælp af sandsynlighed, samt en mærkelig spilmekaniker, som jeg engang udviklede, og som vil teste Monte Carlo-metoden.

Spil #1 - Dragon Bones

Dette er et terningespil, som mine kolleger og jeg engang fandt på (takket være Jeb Havens og Jesse King) – det blæser specifikt folks sind med dets sandsynligheder. Det er et simpelt casinospil kaldet Dragon Dice, og det er en gambling terningkonkurrence mellem spilleren og huset.

Du får en normal 1d6 terning. Målet med spillet er at rulle et tal højere end husets. Tom får en ikke-standard 1d6 - den samme som din, men på en af ​​dens ansigter i stedet for en enhed er der et billede af en drage (casinoet har således en drageterning - 2-3-4-5-6 ). Hvis huset får en drage, vinder den automatisk, og du taber. Hvis begge får samme nummer, er det uafgjort, og du kaster terningerne igen. Den, der kaster det højeste tal, vinder.

Alt fungerer selvfølgelig ikke helt i spillerens favør, for casinoet har en fordel i form af dragekanten. Men er dette virkelig sandt? Dette er hvad du skal beregne. Men tjek først din intuition.

Lad os sige, at oddset er 2 til 1. Så hvis du vinder, beholder du din indsats og får det dobbelte af din indsats. For eksempel, hvis du satser 1 dollar og vinder, beholder du den dollar og får 2 mere oveni, for i alt 3 dollars. Hvis du taber, taber du kun din indsats. Ville du spille? Føler du intuitivt, at sandsynligheden er større end 2 til 1, eller tror du stadig, at den er mindre? Med andre ord, i gennemsnit over 3 spil, forventer du at vinde mere end én gang, mindre eller én gang?

Når du har fundet ud af din intuition, så brug matematik. Der er kun 36 mulige positioner for begge terninger, så du kan tælle dem alle uden problemer. Hvis du ikke er sikker på det 2-til-1-tilbud, så overvej dette: Lad os sige, at du spillede spillet 36 gange (ved at satse $1 hver gang). For hver sejr får du 2 dollars, for hvert tab taber du 1, og uafgjort ændrer intet. Beregn alle dine sandsynlige gevinster og tab, og afgør, om du vil tabe eller vinde nogle dollars. Spørg så dig selv, hvor rigtig din intuition var. Og så indse, hvilken skurk jeg er.

Og ja, hvis du allerede har tænkt over dette spørgsmål – jeg forvirrer dig med vilje ved at misrepræsentere den faktiske mekanik i terningespil, men jeg er sikker på, at du kan overvinde denne forhindring med blot en lille eftertanke. Prøv selv at løse dette problem.

Spil nr. 2 - Kast efter held

Det er et hasardspil, der hedder "Roll for Luck" (også kaldet "Birdcage", fordi nogle gange bliver terningerne ikke kastet, men placeret i et stort trådbur, der minder om buret fra Bingo). Spillet er simpelt og går dybest set ned til dette: sats f.eks. $1 på et tal fra 1 til 6. Så kaster du 3d6. For hver terning dit nummer lander på, får du $1 (og beholder din oprindelige indsats). Hvis dit nummer ikke kommer op på nogen af ​​terningerne, får kasinoet din dollar, og du får intet. Så hvis du satser på en 1, og du får en 1 på siderne tre gange, får du $3.

Intuitivt ser det ud til, at dette spil har lige store chancer. Hver terning er en individuel 1 ud af 6 chance for at vinde, så over summen af ​​de tre kast er din chance for at vinde 3 ud af 6. Husk dog selvfølgelig, at du tilføjer tre separate terninger, og du har kun lov til at tilføje, hvis vi taler om separate vindende kombinationer af den samme terning. Noget du bliver nødt til at formere.

Når du først har beregnet alle de mulige resultater (sandsynligvis nemmere at gøre i Excel end i hånden, da der er 216 af dem), ser spillet stadig ulige ud - lige ved første øjekast. Faktisk har casinoet stadig en bedre chance for at vinde – hvor meget mere? Specifikt, hvor mange penge forventer du i gennemsnit at tabe hver spillerunde?

Alt du skal gøre er at lægge sejre og tab sammen for alle 216 resultater og derefter dividere med 216, hvilket burde være ret nemt. Men som du kan se, er der flere faldgruber her, og derfor siger jeg: Hvis du tror, ​​at dette spil har en lige chance for at vinde, har du det helt forkert.

Spil #3 - 5 Card Stud Poker

Hvis du allerede har varmet op med tidligere spil, så lad os se, hvad vi ved om betinget sandsynlighed ved at bruge dette kortspil som eksempel. Lad os forestille os et pokerspil med et kortspil med 52 kort. Lad os også forestille os 5 card stud, hvor hver spiller kun modtager 5 kort. Du kan ikke kassere et kort, du kan ikke trække et nyt, der er ingen delt kortspil – du får kun 5 kort.

En Royal Flush er 10-J-Q-K-A i én hånd, der er fire i alt, så der er fire mulige måder få en royal flush. Beregn sandsynligheden for, at du får en sådan kombination.

Jeg må advare dig om én ting: husk, at du kan trække disse fem kort i vilkårlig rækkefølge. Det vil sige, at du først kan trække et es eller en ti, det er lige meget. Så mens du regner ud, skal du huske på, at der faktisk er mere end fire måder at få en royal flush på, forudsat at kortene blev givet i rækkefølge.

Spil nr. 4 - IMF Lotteri

Det fjerde problem kan ikke løses så let ved hjælp af de metoder, vi talte om i dag, men du kan nemt simulere situationen ved hjælp af programmering eller Excel. Det er på eksemplet med dette problem, at du kan udarbejde Monte Carlo-metoden.

Jeg nævnte tidligere spillet Chron X, som jeg arbejdede på en gang, og der var et meget interessant kort- IMF-lotteri. Sådan fungerede det: du brugte det i spillet. Efter runden sluttede, blev kortene omfordelt, og der var en 10% chance for, at kortet ville gå ud af spil, og at en tilfældig spiller ville modtage 5 enheder af hver type ressource, hvis token var til stede på det kort. Kortet blev sat i spil uden en eneste jeton, men hver gang det forblev i spil i begyndelsen af ​​næste runde, modtog det én jeton.

Så der var 10 % chance for, at hvis du satte den i spil, ville runden slutte, kortet ville forlade spillet, og ingen ville få noget. Hvis dette ikke sker (90% chance), er der en 10% chance (faktisk 9%, da det er 10% af 90%), at hun i næste runde forlader spillet, og nogen vil modtage 5 enheder af ressourcer. Hvis kortet forlader spillet efter en runde (10 % af de 81 %, der er til rådighed, så sandsynligheden er 8,1 %), vil nogen modtage 10 enheder, en anden runde - 15, en anden - 20, og så videre. Spørgsmål: Hvad er den generelle forventede værdi af antallet af ressourcer, du vil få fra dette kort, når det endelig forlader spillet?

Normalt ville vi forsøge at løse dette problem ved at beregne muligheden for hvert udfald og gange med antallet af alle udfald. Der er 10 % chance for, at du får 0 (0,1 * 0 = 0). 9 %, at du vil modtage 5 ressourceenheder (9 % * 5 = 0,45 ressourcer). 8,1 % af det, du får, er 10 (8,1 %*10=0,81 ressourcer - samlet forventet værdi). Og så videre. Og så ville vi opsummere det hele.

Og nu er problemet indlysende for dig: der er altid en chance for, at kortet ikke forlader spillet, det kan forblive i spillet for evigt, i et uendeligt antal runder, så der er ingen måde at beregne enhver sandsynlighed på. De metoder, vi har undersøgt i dag, tillader os ikke at beregne uendelig rekursion, så vi bliver nødt til at skabe den kunstigt.

Hvis du er god nok til at programmere, så skriv et program, der simulerer dette kort. Du bør have en tidsløkke, der bringer variablen til en startposition på nul, viser et tilfældigt tal og med en 10% chance for at variablen forlader løkken. Ellers tilføjer den 5 til variablen, og løkken gentages. Når den endelig forlader sløjfen, øges det samlede antal prøvekørsler med 1 og det samlede antal ressourcer (hvor meget afhænger af, hvor variablen ender). Nulstil derefter variablen og start igen.

Kør programmet flere tusinde gange. Til sidst skal du dividere det samlede antal ressourcer med det samlede antal kørsler - dette vil være din forventede Monte Carlo-værdi. Kør programmet flere gange for at sikre dig, at de tal, du får, er omtrent det samme. Hvis spredningen stadig er stor, skal du øge antallet af gentagelser i den ydre løkke, indtil du begynder at få tændstikker. Du kan være sikker på, at de tal, du ender med, vil være nogenlunde korrekte.

Hvis du er ny til programmering (selvom du er det), er her en hurtig øvelse til at teste dine Excel-færdigheder. Hvis du er spildesigner, vil disse færdigheder aldrig være overflødige.

Nu vil if og rand-funktionerne være meget nyttige for dig. Rand kræver ikke værdier, den producerer bare en tilfældig decimaltal fra 0 til 1. Vi kombinerer det normalt med etage og plusser og minusser for at simulere det terningkast, som jeg nævnte tidligere. Men i dette tilfælde efterlader vi bare en 10% chance for, at kortet forlader spillet, så vi kan bare tjekke om randværdien er mindre end 0,1 og ikke bekymre os mere om det.

Hvis har tre betydninger. I rækkefølge: en betingelse, der enten er sand eller falsk, derefter en værdi, der returneres, hvis betingelsen er sand, og en værdi, der returneres, hvis betingelsen er falsk. Så følgende funktion vil returnere 5% af tiden, og 0 de andre 90% af tiden: =HVIS(RAND()<0.1,5,0) .

Der er mange måder at indstille denne kommando på, men jeg ville bruge denne formel til den celle, der repræsenterer den første runde, lad os sige, at det er celle A1: =HVIS(RAND()<0.1,0,-1) .

Her bruger jeg en negativ variabel til at betyde "dette kort har ikke forladt spillet og har ikke opgivet nogen ressourcer endnu." Så hvis første runde er slut, og kortet har forladt spillet, er A1 0; ellers er det –1.

For den næste celle, der repræsenterer anden runde: =HVIS(A1>-1, A1, HVIS(RAND()<0.1,5,-1)) . Så hvis den første runde sluttede, og kortet straks forlod spillet, er A1 0 (antallet af ressourcer), og denne celle vil simpelthen kopiere denne værdi. Ellers er A1 -1 (kortet har endnu ikke forladt spillet), og denne celle fortsætter med at bevæge sig tilfældigt: 10 % af tiden vil den returnere 5 enheder ressourcer, resten af ​​tiden vil dens værdi stadig være lig med -1. Hvis vi anvender denne formel på yderligere celler, får vi yderligere runder, og hvilken celle du end ender med vil give dig det endelige resultat (eller -1, hvis kortet aldrig forlod spillet efter alle de runder, du har spillet).

Tag den række af celler, som repræsenterer den eneste runde med det kort, og kopier og indsæt flere hundrede (eller tusinde) rækker. Vi kan muligvis ikke lave en uendelig test for Excel (der er et begrænset antal celler i en tabel), men vi kan i det mindste dække de fleste tilfælde. Vælg derefter en celle, hvor du vil placere gennemsnittet af resultaterne af alle runder - Excel giver en hjælpsom funktion til dette.

På Windows kan du som minimum trykke på F9 for at genberegne alle tilfældige tal. Som før skal du gøre dette flere gange og se om du får de samme værdier. Hvis spredningen er for stor, fordoble antallet af kørsler og prøv igen.

Uløste problemer

Hvis du tilfældigvis har en grad i sandsynlighedsteori, og ovenstående problemer virker for nemme for dig, er her to problemer, jeg har kløet mig i hovedet over i årevis, men desværre er jeg ikke god nok til matematik til at løse dem.

Uløst problem #1: IMF-lotteri

Det første uløste problem er den tidligere hjemmeopgave. Jeg kan nemt anvende Monte Carlo-metoden (ved hjælp af C++ eller Excel) og være sikker på svaret på spørgsmålet "hvor mange ressourcer vil spilleren modtage", men jeg ved ikke præcis, hvordan jeg skal give et nøjagtigt bevisbart svar matematisk (det er en uendelig række).

Uløst problem #2: Sekvenser af figurer

Dette problem (det går også langt ud over de opgaver, der er løst i denne blog) blev givet til mig af en gamer-ven for mere end ti år siden. Mens han spillede blackjack i Vegas, bemærkede han en interessant ting: Da han fjernede kort fra en 8-dæks sko, så han ti figurer i træk (en figur eller et billedkort - 10, Joker, Konge eller Dronning, så der er 16 i i alt i en standard 52-dæk kort eller 128 i en 416 kort sko).

Hvad er sandsynligheden for, at denne sko indeholder mindst én sekvens af ti eller flere figurer? Lad os antage, at de blev blandet retfærdigt i tilfældig rækkefølge. Eller, hvis du foretrækker det, hvad er sandsynligheden for, at en sekvens på ti eller flere figurer ikke forekommer nogen steder?

Vi kan forenkle opgaven. Her er en sekvens på 416 dele. Hver del er 0 eller 1. Der er 128 enere og 288 nuller spredt tilfældigt gennem sekvensen. Hvor mange måder er der til tilfældigt at blande 128 enere med 288 nuller, og hvor mange gange vil der på disse måder forekomme mindst en gruppe på ti eller flere?

Hver gang jeg gik i gang med at løse dette problem, virkede det nemt og indlysende for mig, men så snart jeg dykkede ned i detaljerne, faldt det pludselig fra hinanden og virkede simpelthen umuligt.

Så skynd dig ikke at uddybe svaret: sæt dig ned, tænk dig godt om, studer betingelserne, prøv at tilslutte reelle tal, for alle de mennesker, jeg talte med om dette problem (inklusive flere kandidatstuderende, der arbejder inden for dette felt) reagerede om det samme: "Det er helt indlysende... åh, nej, vent, det er slet ikke indlysende." Dette er tilfældet, når jeg ikke har en metode til at beregne alle mulighederne. Jeg kunne selvfølgelig brute force problemet gennem en computeralgoritme, men det ville være meget mere interessant at kende den matematiske løsning.

Derefter udførte han det samme eksperiment med tre terninger. På et stykke papir skrev jeg tallene fra 3 til 18 ned i en kolonne Det er de beløb, der kan dukke op, når man kaster tre terninger. Jeg lavede 400 kast. Jeg beregnede resultatet og indtastede det i tabellen. (Bilag 3 og 4) Summerne 10 og 11 optræder oftere.

Jeg udførte endnu et eksperiment med fire terninger. Kolonnen indeholdt tal fra 4 til 24. Det er de beløb, der kan vises, når man kaster fire terninger. Jeg slog 400 skud igen. Jeg beregnede resultatet og indtastede det i tabellen. (Bilag 5 og 6) Summen 14 rulles oftere.

Så besluttede jeg at lave regnestykket. Jeg lavede en tabel til to terninger og udfyldte den. (Bilag 7) Jeg fik resultatet - summen af ​​syv kommer oftere op. (Bilag 8). Seks gange ud af seksogtredive tilfælde. Jeg lavede først de samme matematiske beregninger for tre terninger. (Bilag 9) De summer, der oftest kommer op, er 10 og 11. Det er 27 sager ud af 216. Og de mindst sandsynlige tal, der kommer op, er 3 og 18, kun 1 tilfælde ud af 216. (Bilag 10) Og så for fire terninger. (Bilag 11) Der er i alt 1296 sager. Den mest almindelige sum er 14, hvilket er 146 sager ud af 1296. Og den mindst almindelige sum er 4 og 24, kun 1 sag ud af 1296. (Bilag 12).

Jeg fandt en beskrivelse af tricks med terninger. Jeg blev overrasket over enkelheden og originaliteten af ​​nogle af tricks. Den accepterede rækkefølge af markeringer på siderne af terningerne er grundlaget for mange tricks med terninger. Og jeg prøvede at lave flere tricks. Jeg gjorde det. Men for at udføre dem med succes, skal du tælle hurtigt og godt.

Et trick er et dygtigt trick baseret på at bedrage øjet ved hjælp af behændige og hurtige teknikker. Tricket er altid halvt skjult for publikum: de ved, at der er en hemmelighed, men de forestiller sig det som noget uvirkeligt, uforståeligt. Matematiske tricks er en slags demonstration af matematiske love.

Succesen for hvert trick afhænger af god forberedelse og træning, af letheden ved at udføre hvert nummer, nøjagtig udregning og dygtig brug af de nødvendige teknikker til at udføre tricket. Sådanne tricks gør et stort indtryk på publikum og fanger dem.

Fokus 1. "Gætter beløbet"

Personen, der demonstrerer, vender ryggen til publikum, og på dette tidspunkt kaster en af ​​dem tre terninger på bordet. Tilskueren bliver derefter bedt om at lægge de tre udtrukne tal sammen, tage en terning og lægge tallet på undersiden til det samlede antal, der netop er opnået. Slå derefter den samme terning igen og læg det tal, der kommer ud, til totalen igen. Demonstranten henleder publikums opmærksomhed på, at han på ingen måde kan vide, hvilken af ​​de tre terninger der blev kastet to gange, samler derefter terningerne, ryster dem i hånden og navngiver straks det endelige beløb korrekt.

Forklaring. Inden han samler terningerne, lægger den fremmødte opad tallene sammen. Ved at lægge syv til den resulterende sum, finder han den endelige sum.

Dette trick er afhængig af egenskaben af ​​summen af ​​tal på modsatte flader - det er altid lig med syv.

Kapitel 2. Terningernes hemmelighed

2.1. Beregn resultatet

For at finde ud af, hvilken mængde der oftere kommer op, når man kaster to, tre, fire osv. terninger, har jeg udført flere eksperimenter.

Før jeg startede arbejdet, kompilerede jeg en tabel for at indtaste data. Kolonnen indeholder tal fra 2 til 12. Det er de beløb, der kan dukke op, når man kaster to terninger. På den glatte overflade af bordet, så der ikke ville være nogen udefrakommende indblanding, begyndte han at kaste terninger. Hvert forsøg blev markeret modsat nummeret på den tabte mængde - med en lodret linje.

Eksperiment 1:

1) Jeg tager to terninger og et glas.

Jeg gentager forsøget 400 gange.

Eksperimentet hjalp med at finde ud af, hvilken sum der oftere kommer op, når man kaster to terninger. (bilag 1 og 2)

Jeg gennemførte eksperiment 2 med tre terninger for at finde ud af, hvilket beløb der vil dukke op oftere nu.

Eksperiment 2:

1) Jeg tager tre terninger og et glas.

2) Jeg ryster glasset med terningerne.

3) Jeg kaster terningerne på bordet.

4) Jeg beregner beløbet og markerer det i tabellen.

Jeg gentager forsøget 400 gange.

Eksperimentet hjalp med at finde ud af, hvilken sum der oftere kommer op, når man kaster tre terninger. (bilag 3 og 4)

Eksperimentet hjalp mig med at sikre, at når jeg kastede tre terninger, var mængden, der kom ud, anderledes end når jeg kastede to terninger.

Jeg udførte eksperiment 3 med fire terninger for at se dynamikken i ændringer.

Inden jeg begyndte at arbejde, kompilerede jeg igen en tabel for at indtaste data.

Eksperiment 3:

1) Jeg tager fire terninger og et glas.

2) Jeg ryster glasset med terningerne.

3) Jeg kaster terningerne på bordet.

4) Jeg beregner beløbet og markerer det i tabellen.

Jeg gentager forsøget 400 gange.

Eksperimentet hjalp mig med at sikre, at når der kastes fire terninger, er mængden, der kommer op igen, anderledes. (bilag 5 og 6)

Efter at have undersøgt resultaterne af eksperimenterne, blev det klart for mig, hvorfor mængder tættere på midten af ​​bordet forekommer oftere. Summen af ​​tallene på modsatte sider er jo altid lig med syv. Derfor, når du kaster terninger, er det mere sandsynligt, at der kommer et beløb tæt på denne midte.

2.2. Sammenligner resultaterne

Efter at have sammenlignet resultaterne af forsøg med terninger (bilag 1 - 6) og resultaterne af matematiske beregninger (bilag 7 - 12), bemærkede jeg, at den mængde, der er tættere på midten, falder ud oftere. Derfor fandt jeg det aritmetiske middelværdi af summen af ​​tallene på terningernes sider. (1+2+3+4+5+6): 6 = 3,5. Resultatet blev 3,5. Jeg gangede så dette tal med antallet af terninger. Hvis du tager to terninger, så er produktet 3,5 · 2 = 7. Tallet syv er det tal, der kommer oftere op, når du kaster to terninger. Hvis vi tager tre terninger, får vi 3,5 · 3 = 10,5. Og da tallet skal være et heltal, så tages to tilstødende tal. Det er tallene 10 og 11, de optræder oftere, når man kaster tre terninger. For et hvilket som helst antal terninger kan du beregne det tal, der oftest optræder ved hjælp af formlen 3.5 n , (Hvor n- antal terninger). Desuden, hvis n Hvis tallet er ulige, tages der to tilstødende tal for at bestemme det tal, der optræder oftere, når man kaster terninger.

Jeg undersøgte den bibelske tegning og fandt en uoverensstemmelse. To terninger har forkerte markeringer. Da summen af ​​tallene på modsatte sider skal være lig med syv. Og på en af ​​terningerne er der tre på oversiden og fire på siden, selvom fire burde være på undersiden. På den anden terning er der fem på den øverste side, og på siden er der to. Eller måske skyldes det, at der i det område blev vedtaget en anden markering på terningen.

Konklusion

I mit arbejde lærte jeg hemmeligheden bag terninger. Denne hemmelighed ligger på overfladen af ​​terningerne selv. Hemmeligheden ligger i layoutet af markeringerne. Summen af ​​tallene på modsatte sider er altid syv. Gennem eksperimenter og matematiske udregninger fandt jeg den mængde, der oftere kommer frem, når man kaster terninger, og som afhænger af antallet af terninger. Dette beløb kan skrives som en formel 3,5 · n, Hvor n antal terninger. Mens jeg undersøgte dette emne, lærte jeg, at terninger opstod omkring 3000 f.Kr. De steder, hvor arkæologer fandt de ældste vildtgenstande, er Egypten, Iran, Irak og Indien. Jeg lærte om de mange forskellige former og typer af terninger. Og også hvor der bruges terninger og de egenskaber de har. Jeg har slet ikke overvejet emnet problemløsning. Det er bare, at sandsynlighedsteorien stadig er svær for mig. Men jeg håber at vende tilbage til det igen.

Mange store matematikere løste på forskellige tidspunkter problemer med terninger. Men jeg var ikke i stand til at finde forfatteren til formlen for at finde den største sum, når jeg kaster terninger. Måske ledte jeg ikke længe nok. Men jeg vil fortsætte med at søge. Jeg er interesseret i at vide, hvem der først kom med denne formel.

Referencer

1. Azariev encyklopædisk ordbog [Elektronisk ressource] http://www. slovarus. ru/?di=72219

2. Suvorov om sandsynlighed i spil. Introduktion til sandsynlighedsteori for elever i 8.-11. – Yaroslavl: Academy of Development, 2006. –192 s.

3. Fribus problemer. – M.: Uddannelse, 1994. – 128 s.

4. Wikipedia gratis encyklopædi [Elektronisk ressource] https://ru. wikipedia. org/wiki/Dice

5. Spillevirksomhed. Om. fra engelsk og fr. /NEC "Bibliomarked"; Udg.-komp. . - M. 1994. - 208 s.

6. Knogler, zary, terninger [Elektronisk ressource] http://www. /ru/articles/igralnye_kosti-34

7. Lyutikas om sandsynlighedsteorien. – M.: Uddannelse, 1983. – 127 s.

8. Nikiforovsky matematikere Bernoulli. – M.: Nauka, 1984. – 180 s.

9. Bag siderne i en algebra-lærebog. Bog for elever 7-9 klassetrin. almen uddannelse Institutioner. – M.: Uddannelse, 1999. – 237 s.

10. 100 store videnskabsmænd. – M.: Veche, 2000. – 592 s.

11. Forklarende ordbog over fremmedord [Elektronisk ressource] http:///søgning

12. Ushakovs forklarende ordbog [Elektronisk ressource] http://www. /3/193/772800.html

13. Shen A. Sandsynlighed: eksempler og opgaver. - M.: Forlaget MTsNMO, 2008. – 64 s.

14. Yakovlev problemer med terninger i studiet af elementer af sandsynlighedsteori [Elektronisk ressource] http://festival.1september. ru/articles/517883/

15. Yakovleva og sjove tricks med terninger [Elektronisk ressource] http://festival.1september. ru/articles/624782/

Bilag 1. Resultater af at kaste 2 terninger

Bilag 2. Resultater af at kaste 2 terninger

Tilbage Frem

Opmærksomhed! Forhåndsvisninger af dias er kun til informationsformål og repræsenterer muligvis ikke alle præsentationens funktioner. Hvis du er interesseret i dette arbejde, bedes du downloade den fulde version.

Pædagogiske teknologier: Teknologi for forklarende og illustreret undervisning, computerteknologi, personcentreret tilgang til læring, sundhedsbesparende teknologier.

Lektionstype: lektion i at tilegne sig ny viden.

Varighed: 1 lektion.

Klasse: 8. klasse.

Lektionens mål:

Uddannelsesmæssigt:

• gentage færdighederne ved at bruge formlen til at finde sandsynligheden for en begivenhed og lære at bruge den i problemer med terninger;
• udføre demonstrativt ræsonnement, når du løser problemer, vurdere den logiske rigtighed af ræsonnement, genkende logisk forkert ræsonnement.

Uddannelsesmæssigt:

• udvikle færdigheder i at søge, behandle og præsentere information;
• udvikle evnen til at sammenligne, analysere og drage konklusioner;
• udvikle observations- og kommunikationsevner.

Uddannelsesmæssigt:

• dyrke opmærksomhed og udholdenhed;
• at danne sig en forståelse af matematikkens betydning som en måde at forstå verden omkring os på.

Lektionsudstyr: computer, multimedie, markører, mimio kopienhed (eller interaktiv tavle), kuvert (den indeholder en opgave til praktisk arbejde, lektier, tre kort: gul, grøn, rød), terningmodeller.

Lektionsplan

Organisatorisk øjeblik.

I den foregående lektion lærte vi om den klassiske sandsynlighedsformel.

Sandsynligheden P for forekomsten af ​​en tilfældig hændelse A er forholdet mellem m og n, hvor n er antallet af alle mulige udfald af eksperimentet, og m er antallet af alle gunstige udfald.

Formlen er den såkaldte klassiske definition af sandsynlighed ifølge Laplace, som kom fra gamblingområdet, hvor sandsynlighedsteori blev brugt til at bestemme udsigten til at vinde. Denne formel bruges til eksperimenter med et begrænset antal lige mulige udfald.

Sandsynlighed for en hændelse = Antal gunstige udfald / antal af alle lige mulige udfald

Så sandsynlighed er et tal mellem 0 og 1.

Sandsynligheden er 0, hvis hændelsen er umulig.

Sandsynligheden er 1, hvis hændelsen er sikker.

Lad os løse problemet mundtligt: ​​Der er 20 bøger på en reol, hvoraf 3 er opslagsbøger. Hvad er sandsynligheden for, at en bog taget fra en hylde ikke bliver en opslagsbog?

Løsning:

Det samlede antal lige mulige udfald er 20

Antal gunstige resultater – 20 – 3 = 17

Svar: 0,85.

2. At få ny viden.

Lad os nu vende tilbage til emnet for vores lektion: "Sandsynligheder for begivenheder", lad os underskrive det i vores notesbøger.

Formål med lektionen: Lær at løse problemer med at finde sandsynligheden, når du kaster en terning eller 2 terninger.

Vores emne i dag er relateret til terningerne eller det kaldes også terninger. Terninger har været kendt siden oldtiden. Terningespillet er en af ​​de ældste terninger, der blev fundet i Egypten, og de dateres tilbage til det 20. århundrede f.Kr. e. Der er mange varianter, fra simple (den der kaster flest point vinder) til komplekse, hvor du kan bruge forskellige spiltaktikker.

De ældste knogler går tilbage til det 20. århundrede f.Kr. e. opdaget i Theben. Oprindeligt fungerede knogler som et værktøj til spådom. Ifølge arkæologiske udgravninger blev der spillet terninger overalt i alle hjørner af kloden. Navnet kommer fra det oprindelige materiale - dyreknogler.

De gamle grækere troede, at Lydianerne opfandt knogler, flygtede fra sult, for i det mindste at beskæftige deres sind med noget.

Terningespillet blev afspejlet i gammel egyptisk, græsk-romersk og vedisk mytologi. Nævnt i Bibelen, "Iliaden", "Odyssey", "Mahabharata", samlingen af ​​vediske salmer "Rigveda". I gudernes pantheoner var mindst én gud ejer af terninger som en integreret egenskab http://ru.wikipedia.org/wiki/%CA%EE%F1%F2%E8_%28%E8%E3%F0%E0%29 - cite_note-2 .

Efter Romerrigets fald spredte spillet sig over hele Europa, og var især populært i middelalderen. Da terninger ikke kun blev brugt til at spille, men også til spådom, forsøgte kirken gentagne gange at forbyde spillet til dette formål, men alle forsøg endte i fiasko.

Ifølge arkæologiske data blev der også spillet terninger i det hedenske Rus. Efter dåben forsøgte den ortodokse kirke at udrydde spillet, men blandt almuen forblev det populært, i modsætning til i Europa, hvor den højeste adel og endda gejstligheden gjorde sig skyldig i at spille terninger.

Krigen, som myndighederne i forskellige lande erklærede om terningespillet, gav anledning til mange forskellige snydetricks.

I oplysningstiden begyndte hobbyen for at spille terninger gradvist at falde, folk udviklede nye hobbyer og blev mere interesseret i litteratur, musik og maleri. Nu om dage er det ikke så udbredt at spille terninger.

Korrekte terninger giver lige chance for at lande en side. For at gøre dette skal alle kanter være ens: glatte, flade, have det samme område, afrundinger (hvis nogen), huller skal bores i samme dybde. Summen af ​​point på modsatte sider er 7.

En matematisk terning, som bruges i sandsynlighedsteori, er et matematisk billede af en almindelig terning. Matematisk knoglen har ingen størrelse, ingen farve, ingen vægt osv.

Når man kaster spiller knogler(terning) enhver af dens seks flader kan falde ud, dvs. nogen af begivenheder- tab fra 1 til 6 point (point). Men ingen to og flere ansigter kan ikke vises samtidigt. Sådan begivenheder kaldes inkompatible.

Overvej tilfældet, når 1 terning kastes. Lad os lave nummer 2 i form af en tabel.

Overvej nu det tilfælde, hvor der kastes 2 terninger.

Hvis den første terning kaster et point, så kan den anden terning kaste 1, 2, 3, 4, 5, 6. Vi får parrene (1;1), (1;2), (1;3), (1) ;4), (1;5), (1;6) og så videre med hvert ansigt. Alle sager kan præsenteres i form af en tabel med 6 rækker og 6 kolonner:

Elementære begivenhedstabel

Der ligger en konvolut på dit skrivebord.

Tag arket med opgaverne fra kuverten.

Nu skal du udføre en praktisk opgave ved at bruge tabellen over elementære begivenheder.

Vis med skygge de begivenheder, der favoriserer begivenhederne:

Opgave 1. "Samme antal point faldt";

1; 1	2; 1	3; 1	4; 1	5; 1	6; 1
1; 2	2; 2	3; 2	4; 2	5; 2	6; 2
1; 3	2; 3	3; 3	4; 3	5; 3	6; 3
1; 4	2; 4	3; 4	4; 4	5; 4	6; 4
1; 5	2; 5	3; 5	4; 5	5; 5	6; 5
1; 6	2; 6	3; 6	4; 6	5; 6	6; 6

Opgave 2. "Summen af ​​point er 7";

1; 1	2; 1	3; 1	4; 1	5; 1	6; 1
1; 2	2; 2	3; 2	4; 2	5; 2	6; 2
1; 3	2; 3	3; 3	4; 3	5; 3	6; 3
1; 4	2; 4	3; 4	4; 4	5; 4	6; 4
1; 5	2; 5	3; 5	4; 5	5; 5	6; 5
1; 6	2; 6	3; 6	4; 6	5; 6	6; 6

Opgave 3. "Summen af ​​point er ikke mindre end 7."

Hvad betyder "ikke mindre"? (Svaret er "større end eller lig med")

1; 1	2; 1	3; 1	4; 1	5; 1	6; 1
1; 2	2; 2	3; 2	4; 2	5; 2	6; 2
1; 3	2; 3	3; 3	4; 3	5; 3	6; 3
1; 4	2; 4	3; 4	4; 4	5; 4	6; 4
1; 5	2; 5	3; 5	4; 5	5; 5	6; 5
1; 6	2; 6	3; 6	4; 6	5; 6	6; 6

Lad os nu finde sandsynligheden for begivenheder, for hvilke gunstige begivenheder blev skygget i praktisk arbejde.

Lad os skrive det ned i notesbøger nr. 3

Opgave 1.

Samlet antal resultater - 36

Svar: 1/6.

Opgave 2.

Samlet antal resultater - 36

Antal gunstige resultater - 6

Svar: 1/6.

Opgave 3.

Samlet antal resultater - 36

Antal gunstige resultater - 21

P = 21/36 = 7/12.

Svar: 7/12.

№4. Sasha og Vlad spiller terninger. Alle slår terningen to gange. Den med det højeste antal point vinder. Hvis pointene er lige, ender spillet uafgjort. Sasha var den første til at kaste terningerne, og han fik 5 point og 3 point. Nu kaster Vlad terningerne.

a) I tabellen over elementære begivenheder skal du angive (ved at skygge) de elementære begivenheder, der favoriserer begivenheden "Vlad vil vinde."

b) Find sandsynligheden for begivenheden "Vlad vinder."

3. Idrætsminut.

Hvis arrangementet er pålideligt, klapper vi alle sammen,

Hvis begivenheden er umulig, tramper vi alle sammen,

Hvis begivenheden er tilfældig, ryst på hovedet / venstre og højre

"Der er 3 æbler i kurven (2 røde, 1 grøn).

3 røde blev trukket ud af kurven - (umuligt)

Et rødt æble blev trukket ud af kurven - (tilfældigt)

Et grønt æble blev trukket ud af kurven - (tilfældigt)

2 røde og 1 grønne blev trukket ud af kurven - (pålidelig)

Lad os løse det næste tal.

En fair terning slås to gange. Hvilken begivenhed er mere sandsynlig:

A: "Begge gange var scoren 5";

Q: "Første gang fik jeg 2 point, anden gang fik jeg 5 point";

S: "En gang var det 2 point, en gang var det 5 point"?

Lad os analysere begivenhed A: det samlede antal udfald er 36, antallet af gunstige udfald er 1 (5;5)

Lad os analysere begivenhed B: det samlede antal udfald er 36, antallet af gunstige udfald er 1 (2;5)

Lad os analysere begivenhed C: det samlede antal udfald er 36, antallet af gunstige udfald er 2 (2;5 og 5;2)

Svar: begivenhed C.

4. Opsætning af lektier.

1. Klip fremkaldet ud, lim terningerne. Tag det med til din næste lektion.

2. Udfør 25 kast. Skriv resultaterne i tabellen: (i næste lektion kan du introducere begrebet frekvens)

3. Løs problemet: Der kastes to terninger. Beregn sandsynligheden:

a) "Summen af ​​point er 6";

b) "Summen af ​​point ikke mindre end 5";

c) "Den første terning har flere point end den anden."

Et andet populært problem inden for sandsynlighedsteori (sammen med møntkastproblemet) er problem med terningkastning.

Normalt lyder opgaven sådan: der kastes en eller flere terninger (normalt 2, sjældnere 3). Du skal finde sandsynligheden for, at antallet af point er 4, eller summen af ​​pointene er 10, eller produktet af antallet af point er deleligt med 2, eller antallet af point afviger med 3, og så videre.

Den vigtigste metode til at løse sådanne problemer er at bruge den klassiske sandsynlighedsformel, som vi vil analysere ved hjælp af eksempler nedenfor.

Efter at have sat dig ind i løsningsmetoderne, kan du downloade en superbrugelig løsning til at kaste 2 terninger (med tabeller og eksempler).

En terning

Med én terning er situationen uanstændigt enkel. Lad mig minde dig om, at sandsynligheden findes ved formlen $P=m/n$, hvor $n$ er antallet af alle lige mulige elementære udfald af et eksperiment med at kaste en terning eller terning, og $m$ er tallet af de resultater, der favoriserer begivenheden.

Eksempel 1. Terningen kastes én gang. Hvad er sandsynligheden for, at der kastes et lige antal point?

Da terningen er en terning (siger man også fair terninger, det vil sige, at terningen er balanceret, så den lander på alle sider med samme sandsynlighed), terningen har 6 sider (med et antal punkter fra 1 til 6, normalt udpegede punkter), derefter det samlede antal udfald i problemet er $n=6$. De eneste resultater, der favoriserer begivenheden, er, når en side med 2, 4 eller 6 point (kun én) falder ud, der er $m=3$ af sådanne sider. Så er den ønskede sandsynlighed lig med $P=3/6=1/2=0,5$.

Eksempel 2. Terningerne kastes. Find sandsynligheden for at rulle mindst 5 point.

Vi ræsonnerer på samme måde som i det foregående eksempel. Det samlede antal lige mulige udfald, når man kaster en terning er $n=6$, og betingelsen "mindst 5 point rullet op", det vil sige, "enten 5 eller 6 point rullet op" er opfyldt med 2 udfald, $m =2$. Den påkrævede sandsynlighed er $P=2/6=1/3=0,333$.

Jeg kan ikke engang se meningen med at give flere eksempler, lad os gå videre til to terninger, hvor alt bliver mere interessant og kompliceret.

To terninger

Når det kommer til problemer med at kaste 2 terninger, er det meget praktisk at bruge point tabel. Lad os plotte vandret antallet af point, der faldt på den første terning, og lodret antallet af point, der faldt på den anden terning. Lad os få noget som dette (jeg plejer at gøre det i Excel, du kan downloade filen):

Hvad er der i tabelcellerne, spørger du? Og det afhænger af, hvilket problem vi vil løse. Der vil være en opgave om summen af ​​point - vi skriver summen der, om forskellen - vi skriver forskellen og så videre. Lad os komme i gang?

Eksempel 3. Der kastes 2 terninger på samme tid. Find sandsynligheden for, at totalen bliver mindre end 5 point.

Lad os først se på det samlede antal resultater af eksperimentet. da vi kastede en terning, var alt indlysende, 6 sider - 6 udfald. Der er allerede to terninger her, så udfaldene kan repræsenteres som ordnede talpar af formen $(x,y)$, hvor $x$ er hvor mange point der faldt på den første terning (fra 1 til 6), $ y$ er hvor mange point der faldt på den anden terning (fra 1 til 6). Det er klart, at det samlede antal af sådanne talpar vil være $n=6\cdot 6=36$ (og de svarer til nøjagtigt 36 celler i tabellen over resultater).

Nu er det tid til at udfylde tabellen. I hver celle indtaster vi summen af ​​antallet af point kastet på den første og anden terning, og vi får følgende billede:

Nu vil denne tabel hjælpe os med at finde antallet af udfald, der er gunstige for begivenheden "i alt mindre end 5 point vises." For at gøre dette tæller vi antallet af celler, hvor sumværdien er mindre end 5 (det vil sige 2, 3 eller 4). For klarhedens skyld, lad os farve disse celler, der vil være $m=6$:

Så er sandsynligheden lig med: $P=6/36=1/6$.

Eksempel 4. Der kastes to terninger. Find sandsynligheden for, at produktet af antallet af point er deleligt med 3.

Vi laver en tabel over produkterne af de point, der er rullet på den første og anden terning. Vi fremhæver straks de tal, der er multipla af 3:

Tilbage er blot at skrive ned, at det samlede antal udfald er $n=36$ (se det foregående eksempel, ræsonnementet er det samme), og antallet af gunstige udfald (antallet af skraverede celler i tabellen ovenfor) er $m=20$. Så vil sandsynligheden for hændelsen være lig med $P=20/36=5/9$.

Som du kan se, kan denne type problemer, med ordentlig forberedelse (lad os se på et par problemer mere), løses hurtigt og enkelt. For variation, lad os lave en opgave mere med en anden tabel (alle tabeller kan downloades nederst på siden).

Eksempel 5. Terningerne kastes to gange. Find sandsynligheden for, at forskellen i antallet af point på den første og anden terning vil være fra 2 til 5.

Lad os nedskrive en tabel med scoreforskelle, fremhæve cellerne i den, hvor forskelsværdien vil være mellem 2 og 5:

Så det samlede antal lige så mulige elementære udfald er $n=36$, og antallet af gunstige resultater (antallet af skraverede celler i tabellen ovenfor) er $m=10$. Så vil sandsynligheden for hændelsen være lig med $P=10/36=5/18$.

Så i det tilfælde, hvor vi taler om at kaste 2 terninger og en simpel begivenhed, skal du bygge en tabel, vælge de nødvendige celler i den og dividere deres antal med 36, dette vil være sandsynligheden. Ud over opgaver om summen, produktet og forskellen af ​​antallet af point, er der også problemer med modulus af forskellen, det mindste og største antal point, der trækkes (du finder passende tabeller i).

Andre problemer om terninger og terninger

Naturligvis er sagen ikke begrænset til de to klasser af problemer med at kaste terninger, der er diskuteret ovenfor (de er simpelthen de hyppigst forekommende i problembøger og træningsmanualer), der er andre. For variation og forståelse af den omtrentlige løsningsmetode vil vi analysere tre mere typiske eksempler: for at kaste 3 terninger, for betinget sandsynlighed og for Bernoullis formel.

Eksempel 6. Der kastes 3 terninger. Find sandsynligheden for, at totalen er 15 point.

I tilfælde af 3 terninger tegnes tabeller sjældnere, da du skal bruge så mange som 6 stykker (og ikke én, som ovenfor), de klarer sig ved blot at søge gennem de nødvendige kombinationer.

Lad os finde det samlede antal udfald af eksperimentet. Udfald kan repræsenteres som ordnede tripletter af tal på formen $(x,y,z)$, hvor $x$ er hvor mange point der faldt på den første terning (fra 1 til 6), $y$ er hvor mange point der faldt på den anden terning (fra 1 til 6), $z$ - hvor mange point rullede på den tredje terning (fra 1 til 6). Det er klart, at det samlede antal af sådanne tripler af tal vil være $n=6\cdot 6\cdot 6=216$ .

Lad os nu vælge resultater, der giver i alt 15 point.

$$ (3,6,6), (6,3,6), (6,6,3),\\ (4,5,6), (4,6,5), (5,4,6), (6,5,4), (5,6,4), (6,4,5),\\ (5,5,5). $$

Vi fik $m=3+6+1=10$ resultater. Den påkrævede sandsynlighed er $P=10/216=0,046$.

Eksempel 7. Der kastes 2 terninger. Find sandsynligheden for, at den første terning ikke kaster mere end 4 point, forudsat at det samlede antal point er lige.

Den nemmeste måde at løse dette problem på er at bruge bordet igen (alt vil være klart), som før. Vi udskriver en tabel med summen af ​​point og vælger kun celler med lige værdier:

Vi finder, at ifølge de eksperimentelle forhold er der ikke 36, men $n=18$ udfald (når summen af ​​point er lige).

Nu fra disse celler Lad os kun vælge dem, der svarer til begivenheden "ikke mere end 4 point kastet på den første terning" - det vil sige, faktisk, cellerne i de første 4 rækker af tabellen (fremhævet med orange), vil der være $m= 12$.

Den påkrævede sandsynlighed $P=12/18=2/3.$

Den samme opgave kan være beslutte anderledes ved hjælp af den betingede sandsynlighedsformel. Lad os indtaste begivenhederne:
A = Summen af ​​antallet af point er lige
B = Ikke mere end 4 point kastet på den første terning
AB = Summen af ​​antallet af point er lige, og der blev ikke kastet mere end 4 point på den første terning
Så har formlen for den ønskede sandsynlighed formen: $$ P(B|A)=\frac(P(AB))(P(A)). $$ Finde sandsynligheder. Det samlede antal udfald er $n=36$, for begivenhed A er antallet af gunstige udfald (se tabellerne ovenfor) $m(A)=18$, og for begivenhed AB - $m(AB)=12$. Vi får: $$ P(A)=\frac(m(A))(n)=\frac(18)(36)=\frac(1)(2); \quad P(AB)=\frac(m(AB))(n)=\frac(12)(36)=\frac(1)(3);\\ P(B|A)=\frac(P) (AB))(P(A))=\frac(1/3)(1/2)=\frac(2)(3). $$ Svarene var de samme.

Eksempel 8. Terningerne kastes 4 gange. Find sandsynligheden for, at et lige antal point optræder præcis 3 gange.

I tilfældet, når terningerne kaster flere gange, og arrangementet handler ikke om summen, produktet mv. integrerede egenskaber, men kun om antal dråber af en bestemt type, kan du bruge den til at beregne sandsynligheden