Sandsynligheden for en tilfældig hændelse er. Uafhængighed af begivenheder

Inden for økonomi, som på andre områder af menneskelig aktivitet eller i naturen, er vi konstant nødt til at håndtere begivenheder, der ikke kan forudsiges nøjagtigt. Salgsvolumen på et produkt afhænger således af efterspørgslen, som kan variere betydeligt, og af en række andre faktorer, der er næsten umulige at tage højde for. Derfor skal du, når du organiserer produktionen og udfører salg, forudsige resultatet af sådanne aktiviteter på baggrund af enten dine egne tidligere erfaringer, eller lignende erfaringer fra andre mennesker, eller intuition, som i høj grad også er afhængig af eksperimentelle data.

For på en eller anden måde at evaluere den pågældende begivenhed, er det nødvendigt at tage hensyn til eller specielt organisere de forhold, hvorunder denne begivenhed er optaget.

Implementering af visse betingelser eller handlinger for at identificere den pågældende begivenhed kaldes erfaring eller eksperiment.

Arrangementet kaldes tilfældig, hvis det som følge af erfaring kan forekomme eller ikke.

Arrangementet kaldes pålidelig, hvis det nødvendigvis viser sig som et resultat af en given oplevelse, og umulig, hvis det ikke kan optræde i denne oplevelse.

For eksempel er snefald i Moskva den 30. november en tilfældig begivenhed. Den daglige solopgang kan betragtes som en pålidelig begivenhed. Snefald ved ækvator kan betragtes som en umulig begivenhed.

En af hovedopgaverne inden for sandsynlighedsteori er opgaven med at bestemme et kvantitativt mål for muligheden for, at en begivenhed indtræffer.

Algebra af begivenheder

Begivenheder kaldes uforenelige, hvis de ikke kan observeres sammen i den samme oplevelse. Således er tilstedeværelsen af to og tre biler i en butik til salg på samme tid to uforenelige begivenheder.

Beløb begivenheder er en begivenhed, der består af forekomsten af mindst én af disse begivenheder

Et eksempel på summen af begivenheder er tilstedeværelsen af mindst et af to produkter i butikken.

Arbejdet begivenheder er en begivenhed, der består af den samtidige forekomst af alle disse begivenheder

En begivenhed, der består af, at to varer dukker op i en butik på samme tid, er et produkt af begivenheder: - udseendet af et produkt, - udseendet af et andet produkt.

Begivenheder udgør en komplet gruppe af begivenheder, hvis mindst én af dem er sikker på at finde sted i oplevelse.

Eksempel. Havnen har to sengepladser til modtagelse af skibe. Tre begivenheder kan tages i betragtning: - fravær af skibe ved kajpladser - tilstedeværelse af et skib ved en af kajpladser - tilstedeværelse af to skibe ved to kajpladser. Disse tre begivenheder udgør en komplet gruppe af begivenheder.

Modsat to unikke mulige begivenheder, der danner en komplet gruppe, kaldes.

Hvis en af begivenhederne, der er modsat, er angivet med , så er den modsatte begivenhed normalt betegnet med .

Klassiske og statistiske definitioner af begivenhedssandsynlighed

Hvert af de lige mulige resultater af tests (eksperimenter) kaldes et elementært resultat. De er normalt betegnet med bogstaver. For eksempel kastes en terning. Der kan være i alt seks elementære udfald baseret på antallet af point på siderne.

Fra elementære resultater kan du skabe en mere kompleks begivenhed. Begivenheden af et lige antal point bestemmes således af tre udfald: 2, 4, 6.

Et kvantitativt mål for muligheden for, at den pågældende begivenhed indtræffer, er sandsynlighed.

De mest udbredte definitioner af sandsynligheden for en begivenhed er: klassisk Og statistisk.

Den klassiske definition af sandsynlighed er forbundet med begrebet et gunstigt resultat.

Resultatet kaldes gunstige til en given begivenhed, hvis dens forekomst medfører forekomsten af denne begivenhed.

I ovenstående eksempel har den pågældende begivenhed – et lige antal point på den rullede side – tre gunstige udfald. I dette tilfælde den almene
antallet af mulige udfald. Det betyder, at den klassiske definition af sandsynligheden for en begivenhed her kan bruges.

Klassisk definition er lig med forholdet mellem antallet af gunstige udfald og det samlede antal mulige udfald

hvor er sandsynligheden for begivenheden, er antallet af udfald gunstigt for begivenheden, er det samlede antal mulige udfald.

I det betragtede eksempel

Den statistiske definition af sandsynlighed er forbundet med konceptet om den relative hyppighed af forekomst af en begivenhed i eksperimenter.

Den relative hyppighed af forekomst af en hændelse beregnes ved hjælp af formlen

hvor er antallet af forekomster af en hændelse i en række eksperimenter (forsøg).

Statistisk definition. Sandsynligheden for en hændelse er det tal, som den relative frekvens stabiliserer (sæt) omkring med en ubegrænset stigning i antallet af eksperimenter.

I praktiske problemer antages sandsynligheden for en hændelse at være den relative frekvens for et tilstrækkeligt stort antal forsøg.

Ud fra disse definitioner af sandsynligheden for en begivenhed er det klart, at uligheden altid er opfyldt

For at bestemme sandsynligheden for en hændelse ud fra formel (1.1) bruges ofte kombinatoriske formler, som bruges til at finde antallet af gunstige udfald og det samlede antal mulige udfald.

Når man skal vurdere sandsynligheden for, at en eventuel tilfældig hændelse indtræffer, er det meget vigtigt at have en god forståelse af, om sandsynligheden (sandsynligheden for en hændelse) for, at den hændelse, der er af interesse for os, indtræffer, afhænger af, hvordan andre hændelser udvikler sig. I tilfælde af det klassiske skema, når alle udfald er lige sandsynlige, kan vi allerede uafhængigt estimere sandsynlighedsværdierne for den individuelle begivenhed af interesse for os. Vi kan gøre dette, selvom begivenheden er en kompleks samling af flere elementære resultater. Hvad hvis flere tilfældige hændelser forekommer samtidigt eller sekventielt? Hvordan påvirker dette sandsynligheden for, at den begivenhed, vi er interesseret i, finder sted? Hvis jeg kaster en terning flere gange og vil have en sekser til at komme op, og jeg bliver ved med at være uheldig, betyder det så, at jeg skal øge min indsats, fordi jeg ifølge sandsynlighedsteorien er ved at være heldig? Ak, sandsynlighedsteori siger ikke noget lignende. Hverken terninger, kort eller mønter kan huske, hvad de viste os sidste gang. Det er slet ikke lige meget for dem, om det er første gang eller tiende gang, jeg tester lykken i dag. Hver gang jeg gentager kast, ved jeg kun én ting: og denne gang er sandsynligheden for at få en sekser igen en sjettedel. Det betyder selvfølgelig ikke, at det tal, jeg skal bruge, aldrig kommer op. Dette betyder kun, at mit tab efter det første kast og efter ethvert andet kast er uafhængige begivenheder. Hændelser A og B kaldes uafhængige, hvis forekomsten af en af dem ikke på nogen måde påvirker sandsynligheden for den anden hændelse. For eksempel afhænger sandsynligheden for at ramme et mål med det første af to våben ikke af, om målet blev ramt af det andet våben, så begivenhederne "det første våben ramte målet" og "det andet våben ramte målet" er uafhængig. Hvis to begivenheder A og B er uafhængige, og sandsynligheden for hver af dem er kendt, så kan sandsynligheden for samtidig forekomst af både begivenhed A og begivenhed B (betegnet AB) beregnes ved hjælp af følgende sætning.

Sandsynlighedsmultiplikationssætning for uafhængige hændelser

P(AB) = P(A)*P(B) sandsynligheden for samtidig forekomst af to uafhængige hændelser er lig med produktet af sandsynligheden for disse hændelser.

Eksempel 1. Sandsynligheden for at ramme målet ved affyring af den første og anden pistol er henholdsvis ens: p 1 = 0,7; p2 = 0,8. Find sandsynligheden for et hit med en salve af begge kanoner samtidigt.

som vi allerede har set, er begivenheder A (rammet af den første pistol) og B (rammet af den anden pistol) uafhængige, dvs. P(AB)=P(A)*P(B)=pl*p2=0,56.

Hvad sker der med vores estimater, hvis de indledende begivenheder ikke er uafhængige? Lad os ændre det forrige eksempel lidt. Eksempel 2.

To skytter skyder mod mål ved en konkurrence, og hvis en af dem skyder præcist, begynder modstanderen at blive nervøs, og hans resultater forværres. Hvordan gør man denne hverdagssituation til et matematisk problem og skitserer måder at løse det på? Det er intuitivt klart, at det er nødvendigt på en eller anden måde at adskille de to muligheder for udvikling af begivenheder, for i det væsentlige at skabe to scenarier, to forskellige opgaver. I det første tilfælde, hvis modstanderen missede, vil scenariet være gunstigt for den nervøse atlet, og hans nøjagtighed vil være højere. I det andet tilfælde, hvis modstanderen tog sin chance anstændigt, falder sandsynligheden for at ramme målet for den anden atlet.

For at adskille mulige scenarier (ofte kaldet hypoteser) for udvikling af begivenheder, vil vi ofte bruge et "sandsynlighedstræ"-diagram. Dette diagram svarer i betydningen til beslutningstræet, som du sikkert allerede har beskæftiget dig med. Hver gren repræsenterer et separat scenarie for udvikling af begivenheder, kun nu har det sin egen værdi af den såkaldte betingede sandsynlighed (q 1, q 2, q 1 -1, q 2 -1). Dette skema er meget praktisk til at analysere sekventielle tilfældige hændelser. Endnu et vigtigt spørgsmål mangler at blive afklaret: hvor kommer de oprindelige sandsynligheder fra i virkelige situationer? Når alt kommer til alt, virker sandsynlighedsteori ikke kun med mønter og terninger? Normalt er disse estimater taget fra statistik, og når statistisk information ikke er tilgængelig, udfører vi vores egen forskning. Og vi skal ofte ikke starte med at indsamle data, men med spørgsmålet om, hvilken information vi egentlig har brug for.

Eksempel 3.

Lad os sige, at vi i en by med en befolkning på hundrede tusinde indbyggere skal vurdere markedsvolumen for et nyt produkt, der ikke er et væsentligt element, for eksempel for en balsam til pleje af farvet hår. Lad os overveje "sandsynlighedstræet"-diagrammet. I dette tilfælde skal vi omtrent estimere sandsynlighedsværdien på hver "gren". Så vores estimater af markedskapacitet:

3) af dem bruger kun 10% balsam til farvet hår,

4) af dem kan kun 10% tage mod til sig til at prøve et nyt produkt,

5) 70 % af dem køber normalt ikke alt fra os, men fra vores konkurrenter.

Ifølge loven om multiplikation af sandsynligheder bestemmer vi sandsynligheden for den begivenhed, vi er interesseret i A = (en byboer køber denne nye balsam af os) = 0,00045. Lad os gange denne sandsynlighedsværdi med antallet af byboere. Som følge heraf har vi kun 45 potentielle kunder, og i betragtning af, at en flaske af dette produkt holder i flere måneder, er handlen ikke særlig livlig. Og alligevel er der en vis fordel ved vores vurderinger. For det første kan vi sammenligne prognoser for forskellige forretningsideer, de vil have forskellige "gafler" i diagrammerne, og sandsynlighedsværdierne vil selvfølgelig også være forskellige. For det andet, som vi allerede har sagt, kaldes en stokastisk variabel ikke tilfældig, fordi den ikke afhænger af noget som helst. Dens nøjagtige betydning er simpelthen ikke kendt på forhånd. Vi ved, at det gennemsnitlige antal købere kan øges (for eksempel ved at annoncere for et nyt produkt). Så det giver mening at fokusere vores indsats på de "gafler", hvor sandsynlighedsfordelingen ikke passer os specielt, på de faktorer, som vi er i stand til at påvirke. Lad os se på et andet kvantitativt eksempel på forskning i forbrugeradfærd.

For at adskille mulige scenarier (ofte kaldet hypoteser) for udvikling af begivenheder, vil vi ofte bruge et "sandsynlighedstræ"-diagram. Dette diagram svarer i betydningen til beslutningstræet, som du sikkert allerede har beskæftiget dig med. Hver gren repræsenterer et separat scenarie for udvikling af begivenheder, kun nu har det sin egen værdi af den såkaldte betingede sandsynlighed (q 1, q 2, q 1 -1, q 2 -1). I gennemsnit besøger 10.000 mennesker madmarkedet om dagen. Sandsynligheden for, at en markedsgæst kommer ind i mejeriproduktpavillonen er 1/2. Det er kendt, at denne pavillon i gennemsnit sælger 500 kg forskellige produkter om dagen. Kan vi sige, at det gennemsnitlige køb i pavillonen kun vejer 100 g?

Diskussion.

Selvfølgelig ikke. Det er tydeligt, at ikke alle, der kom ind i pavillonen, endte med at købe noget der.

Som vist i diagrammet, for at besvare spørgsmålet om den gennemsnitlige vægt af et køb, skal vi finde et svar på spørgsmålet, hvad er sandsynligheden for, at en person, der kommer ind i pavillonen, vil købe noget der. Hvis vi ikke har sådanne data til rådighed, men vi har brug for dem, skal vi selv indhente dem ved at observere de besøgende på pavillonen i nogen tid. Lad os sige, at vores observationer viste, at kun en femtedel af pavillonens besøgende køber noget.

Når vi har fået disse estimater, bliver opgaven enkel. Ud af 10.000 mennesker, der kommer på markedet, vil 5.000 gå til mejeriproduktpavillonen, der vil kun være 1.000 indkøb. Gennemsnitsvægten af et køb er 500 gram. Det er interessant at bemærke, at for at opbygge et fuldstændigt billede af, hvad der sker, skal logikken i betinget "forgrening" defineres på hvert trin af vores ræsonnement så klart, som hvis vi arbejdede med en "specifik" situation, og ikke med sandsynligheder.

Selvtest opgaver.

1. Lad der være et elektrisk kredsløb bestående af n elementer forbundet i serie, som hver især fungerer uafhængigt af de andre. Sandsynligheden p for fejl af hvert element er kendt. Bestem sandsynligheden for korrekt drift af hele sektionen af kredsløbet (hændelse A).

2. Den studerende kan 20 ud af 25 eksamensspørgsmål. Find sandsynligheden for, at eleven kender de tre spørgsmål, som eksaminator har givet ham.

3. Produktionen består af fire på hinanden følgende stadier, hvor udstyr fungerer, for hvilke sandsynligheden for fejl over den næste måned er lig med henholdsvis p 1, p 2, p 3 og p 4. Find sandsynligheden for, at der ikke vil være produktionsstop på grund af udstyrsfejl om en måned.

I begyndelsen, da den blot var en samling af information og empiriske observationer om terningespillet, blev sandsynlighedsteorien en grundig videnskab. De første til at give det en matematisk ramme var Fermat og Pascal.

Fra at tænke på det evige til sandsynlighedsteorien

Takket være passionen hos Chevalier de Mere, som var lige så en gambler og en mand, der ikke var ligeglad med videnskaben, blev Pascal tvunget til at finde en måde at beregne sandsynlighed på. De Mere var interesseret i følgende spørgsmål: "Hvor mange gange skal du kaste to terninger i par, så sandsynligheden for at få 12 point overstiger 50%?" Det andet spørgsmål, som var af stor interesse for herren: "Hvordan deler man indsatsen mellem deltagerne i det ufærdige spil?" Selvfølgelig besvarede Pascal med succes begge spørgsmål fra de Mere, som blev den ubevidste initiativtager til udviklingen af sandsynlighedsteori. Det er interessant, at personen de Mere forblev kendt i dette område, og ikke i litteraturen.

Tidligere havde ingen matematiker nogensinde forsøgt at beregne sandsynligheden for begivenheder, da man mente, at dette kun var en gættende løsning. Blaise Pascal gav den første definition af sandsynligheden for en begivenhed og viste, at det er en specifik figur, der kan begrundes matematisk. Sandsynlighedsteori er blevet grundlaget for statistik og er meget brugt i moderne videnskab.

Hvad er tilfældighed

Hvis vi betragter en test, der kan gentages et uendeligt antal gange, så kan vi definere en tilfældig hændelse. Dette er et af de sandsynlige resultater af eksperimentet.

Erfaring er implementering af specifikke handlinger under konstante forhold.

For at kunne arbejde med resultaterne af forsøget betegnes hændelser normalt med bogstaverne A, B, C, D, E...

Sandsynlighed for en tilfældig hændelse

For at begynde den matematiske del af sandsynlighed er det nødvendigt at definere alle dens komponenter.

Sandsynligheden for en begivenhed er et numerisk mål for muligheden for, at en eller anden begivenhed (A eller B) indtræffer som et resultat af en oplevelse. Sandsynligheden er angivet som P(A) eller P(B).

I sandsynlighedsteori skelner de mellem:

pålidelig hændelsen vil med garanti forekomme som et resultat af oplevelsen P(Ω) = 1;
umulig hændelsen kan aldrig ske P(Ø) = 0;
tilfældig en hændelse ligger mellem pålidelig og umulig, det vil sige, at sandsynligheden for dens forekomst er mulig, men ikke garanteret (sandsynligheden for en tilfældig hændelse er altid inden for området 0≤Р(А)≤ 1).

Relationer mellem begivenheder

Både én og summen af begivenheder A+B tages i betragtning, når begivenheden tælles, når mindst en af komponenterne, A eller B, eller begge, A og B, er opfyldt.

I forhold til hinanden kan begivenheder være:

Lige så muligt.
Kompatibel.
Uforenelig.
Modsat (gensidigt udelukker).
Afhængig.

Hvis to begivenheder kan ske med lige stor sandsynlighed, så er de lige så muligt.

Hvis forekomsten af begivenhed A ikke reducerer sandsynligheden for forekomsten af begivenhed B til nul, så kompatibel.

Hvis begivenheder A og B aldrig forekommer samtidigt i den samme oplevelse, kaldes de uforenelig. At kaste en mønt er et godt eksempel: udseendet af hoveder er automatisk, at hoveder ikke ser ud.

Sandsynligheden for summen af sådanne uforenelige begivenheder består af summen af sandsynligheden for hver af begivenhederne:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Hvis forekomsten af en begivenhed gør forekomsten af en anden umulig, så kaldes de modsatte. Derefter er en af dem betegnet som A, og den anden - Ā (læses som "ikke A"). Forekomsten af begivenhed A betyder, at Â ikke fandt sted. Disse to hændelser danner en komplet gruppe med en sum af sandsynligheder lig med 1.

Afhængige begivenheder har gensidig indflydelse, mindsker eller øger sandsynligheden for hinanden.

Relationer mellem begivenheder. Eksempler

Ved at bruge eksempler er det meget lettere at forstå principperne for sandsynlighedsteori og kombinationer af begivenheder.

Eksperimentet, der skal udføres, består i at tage bolde op af en æske, og resultatet af hvert forsøg er et elementært resultat.

En begivenhed er et af de mulige udfald af et eksperiment - en rød bold, en blå bold, en bold med nummer seks osv.

Test nr. 1. Der er 6 kugler involveret, hvoraf tre er blå med ulige tal på, og de tre andre er røde med lige tal.

Test nr. 2. Der er 6 blå kugler med tal fra et til seks.

Baseret på dette eksempel kan vi navngive kombinationer:

Pålidelig begivenhed. På spansk Nr. 2 hændelsen "få den blå kugle" er pålidelig, da sandsynligheden for dens forekomst er lig med 1, da alle kuglerne er blå, og der kan ikke være nogen miss. Hvorimod begivenheden "få bolden med tallet 1" er tilfældig.
Umulig begivenhed. På spansk Nr. 1 med blå og røde bolde, er begivenheden "at få en lilla bold" umulig, da sandsynligheden for dens forekomst er 0.
Lige så mulige begivenheder. På spansk nr. 1, begivenhederne "få bolden med tallet 2" og "få bolden med tallet 3" er lige mulige, og begivenhederne "få bolden med et lige tal" og "få bolden med tallet 2" ” har forskellige sandsynligheder.
Kompatible begivenheder. At få en sekser to gange i træk, mens du kaster en terning, er en kompatibel begivenhed.
Uforenelige begivenheder. På samme spansk nr. 1 kan begivenhederne "få en rød bold" og "få en bold med et ulige tal" ikke kombineres i samme oplevelse.
Modsatte begivenheder. Det mest slående eksempel på dette er møntkast, hvor det at tegne hoveder svarer til ikke at tegne haler, og summen af deres sandsynligheder altid er 1 (fuld gruppe).
Afhængige begivenheder. Altså på spansk nr. 1 kan du sætte som mål at trække den røde bold to gange i træk. Hvorvidt det bliver hentet første gang eller ej, påvirker sandsynligheden for at blive hentet anden gang.

Det kan ses, at den første hændelse signifikant påvirker sandsynligheden for den anden (40% og 60%).

Formel for begivenhedssandsynlighed

Overgangen fra spådom til præcise data sker gennem oversættelse af emnet til et matematisk plan. Det vil sige, at domme om en tilfældig hændelse som "høj sandsynlighed" eller "minimal sandsynlighed" kan oversættes til specifikke numeriske data. Det er allerede tilladt at vurdere, sammenligne og indgå sådant materiale i mere komplekse beregninger.

Fra et beregningssynspunkt er bestemmelse af sandsynligheden for en begivenhed forholdet mellem antallet af elementære positive udfald og antallet af alle mulige udfald af erfaring vedrørende en bestemt begivenhed. Sandsynlighed betegnes med P(A), hvor P står for ordet "sandsynlighed", som fra fransk er oversat til "sandsynlighed".

Så formlen for sandsynligheden for en begivenhed er:

Hvor m er antallet af gunstige udfald for begivenhed A, er n summen af alle mulige udfald for denne oplevelse. I dette tilfælde ligger sandsynligheden for en hændelse altid mellem 0 og 1:

0 ≤ P(A)≤ 1.

Beregning af sandsynligheden for en hændelse. Eksempel

Lad os tage spansk. nr. 1 med kugler, som er beskrevet tidligere: 3 blå kugler med tallene 1/3/5 og 3 røde kugler med tallene 2/4/6.

Baseret på denne test kan flere forskellige problemer overvejes:

En rød kugle falder ud. Der er 3 røde kugler, og der er 6 muligheder i alt. Dette er det enkleste eksempel, hvor sandsynligheden for en hændelse er lig med P(A) = 3/6 = 0,5.
B - rullende et lige tal. Der er 3 lige tal (2,4,6), og det samlede antal mulige numeriske muligheder er 6. Sandsynligheden for denne hændelse er P(B)=3/6=0,5.
C - forekomsten af et tal større end 2. Der er 4 sådanne muligheder (3,4,5,6) ud af et samlet antal mulige udfald på 6. Sandsynligheden for hændelse C er lig med P(C)=4 /6=0,67.

Som det fremgår af beregningerne, har begivenhed C en højere sandsynlighed, da antallet af sandsynlige positive udfald er højere end i A og B.

Uforenelige begivenheder

Sådanne begivenheder kan ikke optræde samtidigt i den samme oplevelse. Som på spansk nr. 1 er det umuligt at få en blå og en rød bold på samme tid. Det vil sige, at du kan få enten en blå eller en rød kugle. På samme måde kan et lige og et ulige tal ikke optræde i en terning på samme tid.

Sandsynligheden for to begivenheder betragtes som sandsynligheden for deres sum eller produkt. Summen af sådanne begivenheder A+B anses for at være en begivenhed, der består af forekomsten af begivenhed A eller B, og produktet af dem AB er forekomsten af begge. For eksempel udseendet af to seksere på én gang på flader af to terninger i et kast.

Summen af flere begivenheder er en begivenhed, der forudsætter forekomsten af mindst én af dem. Produktionen af flere begivenheder er den fælles forekomst af dem alle.

I sandsynlighedsteori betegner brugen af konjunktionen "og" som regel en sum, og konjunktionen "eller" - multiplikation. Formler med eksempler hjælper dig med at forstå logikken i addition og multiplikation i sandsynlighedsteori.

Sandsynlighed for summen af uforenelige hændelser

Hvis sandsynligheden for uforenelige begivenheder overvejes, er sandsynligheden for summen af begivenheder lig med tilføjelsen af deres sandsynligheder:

P(A+B)=P(A)+P(B)

For eksempel: lad os beregne sandsynligheden for, at på spansk. Nr. 1 med blå og røde kugler, vil et tal mellem 1 og 4 dukke op. Vi beregner ikke i én handling, men ved summen af sandsynligheden for de elementære komponenter. Så i et sådant eksperiment er der kun 6 bolde eller 6 af alle mulige udfald. De tal, der opfylder betingelsen, er 2 og 3. Sandsynligheden for at få en 2 er 1/6, sandsynligheden for at få en 3 er også 1/6. Sandsynligheden for at få et tal mellem 1 og 4 er:

Sandsynligheden for summen af uforenelige hændelser i en komplet gruppe er 1.

Så hvis vi i et eksperiment med en terning lægger sandsynligheden for, at alle tal optræder sammen, vil resultatet være ét.

Dette gælder også for modsatte hændelser, for eksempel i forsøget med en mønt, hvor den ene side er hændelsen A, og den anden er den modsatte hændelse Ā som bekendt.

P(A) + P(Ā) = 1

Sandsynlighed for uforenelige hændelser

Sandsynlighedsmultiplikation bruges, når man overvejer forekomsten af to eller flere uforenelige hændelser i en observation. Sandsynligheden for, at begivenheder A og B vil optræde i den samtidigt, er lig med produktet af deres sandsynligheder, eller:

P(A*B)=P(A)*P(B)

For eksempel sandsynligheden for, at på spansk nr. 1, som resultat af to forsøg, vil en blå kugle dukke op to gange, svarende til

Det vil sige, at sandsynligheden for, at en hændelse indtræffer, når der, som et resultat af to forsøg på at udtrække bolde, kun udvindes blå bolde, er 25 %. Det er meget nemt at lave praktiske eksperimenter på dette problem og se, om det faktisk er tilfældet.

Fælles arrangementer

Begivenheder betragtes som fælles, når forekomsten af en af dem kan falde sammen med forekomsten af en anden. På trods af at de er fælles, overvejes sandsynligheden for uafhængige begivenheder. For eksempel kan kaste to terninger give et resultat, når tallet 6 vises på dem begge Selvom begivenhederne faldt sammen og optrådte på samme tid, er de uafhængige af hinanden - kun en sekser kunne falde ud, den anden terning har ingen. indflydelse på det.

Sandsynligheden for fælles begivenheder betragtes som sandsynligheden for deres sum.

Sandsynlighed for summen af fælles begivenheder. Eksempel

Sandsynligheden for summen af begivenheder A og B, som er fælles i forhold til hinanden, er lig med summen af sandsynligheden for begivenheden minus sandsynligheden for deres forekomst (det vil sige deres fælles forekomst):

R led (A+B)=P(A)+P(B)- P(AB)

Lad os antage, at sandsynligheden for at ramme målet med et skud er 0,4. Så rammer begivenhed A målet i det første forsøg, B - i det andet. Disse begivenheder er fælles, da det er muligt, at du kan ramme målet med både første og andet skud. Men begivenheder er ikke afhængige. Hvad er sandsynligheden for, at hændelsen rammer målet med to skud (mindst med et)? Ifølge formlen:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

Svaret på spørgsmålet er: "Sandsynligheden for at ramme målet med to skud er 64 %."

Denne formel for sandsynligheden for en hændelse kan også anvendes på uforenelige hændelser, hvor sandsynligheden for fælles forekomst af en hændelse P(AB) = 0. Det betyder, at sandsynligheden for summen af uforenelige hændelser kan betragtes som et specialtilfælde af den foreslåede formel.

Sandsynlighedsgeometri for klarhed

Interessant nok kan sandsynligheden for summen af fælles begivenheder repræsenteres som to områder A og B, som skærer hinanden. Som det kan ses på billedet, er arealet af deres forening lig med det samlede areal minus arealet af deres skæringspunkt. Denne geometriske forklaring gør den tilsyneladende ulogiske formel mere forståelig. Bemærk, at geometriske løsninger ikke er ualmindelige i sandsynlighedsteori.

At bestemme sandsynligheden for summen af mange (mere end to) fælles begivenheder er ret besværligt. For at beregne det skal du bruge de formler, der er angivet for disse tilfælde.

Afhængige begivenheder

Hændelser kaldes afhængige, hvis forekomsten af en (A) af dem påvirker sandsynligheden for forekomsten af en anden (B). Desuden tages der hensyn til indflydelsen af både forekomsten af begivenhed A og dens manglende forekomst. Selvom begivenheder per definition kaldes afhængige, er kun én af dem afhængig (B). Almindelig sandsynlighed blev betegnet som P(B) eller sandsynligheden for uafhængige hændelser. Ved afhængige hændelser introduceres et nyt begreb - betinget sandsynlighed P A (B), som er sandsynligheden for en afhængig hændelse B, afhængig af hændelse A (hypotese), som den afhænger af.

Men hændelse A er også tilfældig, så den har også en sandsynlighed for, at der er behov for og kan tages med i de udførte beregninger. Det følgende eksempel viser, hvordan man arbejder med afhængige hændelser og en hypotese.

Et eksempel på beregning af sandsynligheden for afhængige hændelser

Et godt eksempel til at beregne afhængige hændelser ville være et standard sæt kort.

Lad os se på afhængige begivenheder ved at bruge et spil med 36 kort som eksempel. Vi skal bestemme sandsynligheden for, at det andet kort, der trækkes fra bunken, vil være af ruder, hvis det første kort, der trækkes, er:

Bubnovaya.
En anden farve.

Det er klart, at sandsynligheden for den anden begivenhed B afhænger af den første A. Så hvis den første mulighed er sand, at der er 1 kort (35) og 1 ruder (8) mindre i bunken, er sandsynligheden for begivenhed B:

RA (B) = 8/35 = 0,23

Hvis den anden mulighed er sand, så har bunken 35 kort, og det fulde antal ruder (9) er stadig bevaret, så er sandsynligheden for følgende begivenhed B:

RA (B) = 9/35 = 0,26.

Det kan ses, at hvis begivenhed A er betinget af, at det første kort er en diamant, så falder sandsynligheden for begivenhed B, og omvendt.

Multiplikation af afhængige hændelser

Vejledt af det foregående kapitel accepterer vi den første begivenhed (A) som en kendsgerning, men i bund og grund er den af tilfældig karakter. Sandsynligheden for denne begivenhed, nemlig at trække en diamant fra et sæt kort, er lig med:

P(A) = 9/36=1/4

Da teorien ikke eksisterer i sig selv, men er beregnet til at tjene til praktiske formål, er det rimeligt at bemærke, at det, der oftest er brug for, er sandsynligheden for at producere afhængige begivenheder.

Ifølge sætningen om produktet af sandsynligheder for afhængige begivenheder er sandsynligheden for forekomsten af fælles afhængige begivenheder A og B lig med sandsynligheden for en begivenhed A, ganget med den betingede sandsynlighed for begivenhed B (afhængig af A):

P(AB) = P(A) *P A(B)

Så, i dækeksemplet, er sandsynligheden for at trække to kort med ruten:

9/36*8/35=0,0571 eller 5,7 %

Og sandsynligheden for at udvinde ikke diamanter først, og derefter diamanter, er lig med:

27/36*9/35=0,19 eller 19 %

Det kan ses, at sandsynligheden for, at begivenhed B indtræffer, er større, forudsat at det første kort, der trækkes, er af en anden farve end ruder. Dette resultat er ret logisk og forståeligt.

Samlet sandsynlighed for en hændelse

Når et problem med betingede sandsynligheder bliver mangefacetteret, kan det ikke beregnes ved hjælp af konventionelle metoder. Når der er mere end to hypoteser, nemlig A1, A2,..., A n, .. danner en komplet gruppe af hændelser forudsat:

P(A i)>0, i=1,2,...
A i ∩ A j =Ø,i≠j.
Σ k A k =Ω.

Så formlen for den samlede sandsynlighed for hændelse B med en komplet gruppe af tilfældige hændelser A1, A2,..., A n er lig med:

Ser på fremtiden

Sandsynligheden for en tilfældig hændelse er yderst nødvendig inden for mange videnskabsområder: økonometri, statistik, fysik osv. Da nogle processer ikke kan beskrives deterministisk, da de i sig selv er sandsynlige, kræves særlige arbejdsmetoder. Teorien om begivenhedssandsynlighed kan bruges inden for ethvert teknologisk område som en måde at bestemme muligheden for en fejl eller funktionsfejl.

Vi kan sige, at ved at lære sandsynligheden, tager vi på en eller anden måde et teoretisk skridt ind i fremtiden og ser på det gennem formlernes prisme.

1. Præsentation af hovedsætningerne og sandsynlighedsformlerne: additionssætning, betinget sandsynlighed, multiplikationssætning, hændelsers uafhængighed, total sandsynlighedsformel.

Mål: skabe gunstige betingelser for at introducere begrebet sandsynlighed for en begivenhed; fortrolighed med sandsynlighedsteoriens grundlæggende sætninger og formler; introducere den samlede sandsynlighedsformel.

Lektionens fremskridt:

Tilfældigt eksperiment (erfaring) er en proces, hvor forskellige udfald er mulige, og det er umuligt på forhånd at forudsige, hvad udfaldet bliver. Mulige gensidigt udelukkende resultater af et eksperiment kaldes dets elementære begivenheder . Vi betegner sættet af elementære begivenheder af W.

Tilfældig begivenhed er en begivenhed, som det er umuligt at sige på forhånd, om det vil ske som følge af erfaring eller ej. Hver tilfældig begivenhed A, der opstod som et resultat af et eksperiment, kan associeres med en gruppe af elementære begivenheder fra W. De elementære begivenheder, der indgår i denne gruppe, kaldes gunstig for begivenhed A.

Sættet W kan også betragtes som en tilfældig begivenhed. Da det inkluderer alle elementære begivenheder, vil det nødvendigvis ske som et resultat af erfaring. Sådan en begivenhed kaldes pålidelig .

Hvis der for en given hændelse ikke er gunstige elementære hændelser fra W, så kan det ikke forekomme som et resultat af eksperimentet. Sådan en begivenhed kaldes umulig.

Begivenheder kaldes lige så muligt , hvis testen resulterer i lige muligheder for, at disse hændelser kan forekomme. To tilfældige hændelser kaldes modsat , hvis som et resultat af eksperimentet en af dem opstår, hvis og kun hvis den anden ikke forekommer. Hændelsen modsat hændelse A er angivet med .

Hændelser A og B kaldes uforenelig , hvis udseendet af en af dem udelukker udseendet af den anden. Begivenheder A 1, A 2, ..., A n kaldes parvis inkompatibel, hvis to af dem er inkonsistente. Begivenheder A 1, A 2, ..., En form et komplet system af parvis uforenelige hændelser , hvis en og kun én af dem er sikker på at forekomme som et resultat af testen.

Summen (foreningen) af begivenheder A 1, A 2, ..., A n kaldes en sådan hændelse C, som består i, at mindst en af hændelserne A 1, A 2, ..., A n opstår Summen af hændelser er angivet som følger:

C = A1 +A2 +...+A n.

Produktet (skæringspunktet) af begivenheder A 1, A 2, ..., A n kaldes sådan en hændelse P, som består i, at alle hændelser A 1, A 2, ..., A n indtraf samtidigt. Produktionen af begivenheder er angivet

Sandsynlighed P(A) i sandsynlighedsteori fungerer som en numerisk karakteristik af graden af mulighed for forekomsten af en specifik tilfældig hændelse A, når test gentages mange gange.

Lad os sige, at i 1000 kast af en terning optræder tallet 4 160 gange. Forholdet 160/1000 = 0,16 viser den relative frekvens af tallet 4 i en given serie af test. I et mere generelt tilfælde hyppigheden af en tilfældig hændelse Og når man udfører en række eksperimenter, kaldes forholdet mellem antallet af eksperimenter, hvor en given begivenhed fandt sted, og det samlede antal eksperimenter:

hvor P*(A) er frekvensen af hændelse A; m er antallet af eksperimenter, hvor begivenhed A fandt sted; n er det samlede antal eksperimenter.

Sandsynligheden for en tilfældig hændelse Og de kalder et konstant tal, omkring hvilket frekvenserne af en given hændelse grupperes, efterhånden som antallet af eksperimenter stiger ( statistisk bestemmelse af sandsynligheden for en hændelse ). Sandsynligheden for en tilfældig hændelse er angivet med P(A).

Naturligvis vil ingen nogensinde være i stand til at udføre et ubegrænset antal tests for at bestemme sandsynligheden. Det er der ikke behov for. I praksis kan hyppigheden af en hændelse over et stort antal forsøg tages som sandsynlighed. For eksempel, ud fra de statistiske fødselsmønstre, der er etableret over mange års observation, er sandsynligheden for, at den nyfødte vil være en dreng, estimeret til 0,515.

Hvis der under testen ikke er nogen grunde til, at én tilfældig hændelse ville optræde oftere end andre ( lige mulige begivenheder), kan sandsynligheden bestemmes ud fra teoretiske overvejelser. Lad os f.eks. finde ud af i tilfælde af at kaste en mønt, hvor ofte våbenskjoldet falder ud (begivenhed A). Forskellige forsøgsledere over flere tusinde test har vist, at den relative frekvens af en sådan hændelse tager værdier tæt på 0,5. I betragtning af, at udseendet af våbenskjoldet og den modsatte side af mønten (begivenhed B) er lige mulige begivenheder, hvis mønten er symmetrisk, kunne bedømmelsen P(A) = P(B) = 0,5 foretages uden at bestemme frekvensen af disse begivenheder. Ud fra begrebet "lige muligheder" for begivenheder formuleres en anden definition af sandsynlighed.

Lad den overvejede begivenhed A forekomme i m tilfælde, som kaldes gunstige for A, og ikke forekommer i de resterende n-m, ugunstige for A.

Så er sandsynligheden for begivenhed A lig med forholdet mellem antallet af elementære begivenheder, der er gunstige for den, og deres samlede antal(klassisk definition af sandsynligheden for en begivenhed):

hvor m er antallet af elementære begivenheder, der er gunstige for begivenhed A; n - Samlet antal elementære begivenheder.

Lad os se på et par eksempler:

Eksempel #1:En urne indeholder 40 kugler: 10 sorte og 30 hvide. Find sandsynligheden for, at en tilfældigt valgt kugle bliver sort.

Antallet af gunstige tilfælde er lig med antallet af sorte kugler i urnen: m = 10. Det samlede antal lige mulige hændelser (at tage en kugle ud) er lig med det samlede antal kugler i urnen: n = 40. Disse begivenheder er inkonsekvente, da kun én bold er taget ud. P(A) = 10/40 = 0,25

Eksempel #2:Find sandsynligheden for at få et lige tal, når du kaster en terning.

Når man kaster en terning, sker der seks lige så mulige uforenelige hændelser: fremkomsten af et tal: 1,2,3,4,5 eller 6, dvs. n = 6. gunstige tilfælde er forekomsten af et af tallene 2,4 eller 6: m = 3. den ønskede sandsynlighed P(A) = m/N = 3/6 = ½.

Som vi ser ud fra definitionen af sandsynligheden for en begivenhed, for alle begivenheder

0 < Р(А) < 1.

Det er klart, at sandsynligheden for en bestemt begivenhed er 1, og sandsynligheden for en umulig begivenhed er 0.

Sætningen om tilføjelse af sandsynligheder: sandsynligheden for forekomsten af en (uanset hvilken) begivenhed fra flere uforenelige begivenheder er lig med summen af deres sandsynligheder.

For to uforenelige hændelser A og B er sandsynligheden for disse hændelser lig med summen af deres sandsynligheder:

P(A eller B) = P(A) + P(B).

Eksempel #3:find sandsynligheden for at få 1 eller 6, når du kaster en terning.

Hændelser A (ruller 1) og B (ruller 6) er lige så mulige: P(A) = P(B) = 1/6, derfor P(A eller B) = 1/6 + 1/6 = 1/3

Tilføjelsen af sandsynligheder er gyldig ikke kun for to, men også for et hvilket som helst antal uforenelige hændelser.

Eksempel #4:Der er 50 kugler i urnen: 10 hvide, 20 sorte, 5 røde og 15 blå. Find sandsynligheden for, at en hvid, sort eller rød kugle dukker op under en enkelt operation med at fjerne en kugle fra urnen.

Sandsynligheden for at trække den hvide kugle (begivenhed A) er P(A) = 10/50 = 1/5, den sorte kugle (begivenhed B) er P(B) = 20/50 = 2/5 og den røde kugle ( hændelse C) er P (C) = 5/50 = 1/10. Herfra, ved at bruge formlen til at addere sandsynligheder, får vi P(A eller B eller C) = P(A) + P(B) = P(C) = 1/5 + 2/5 + 1/10 = 7/ 10

Summen af sandsynligheden for to modsatte begivenheder, som følger af sætningen om tilføjelse af sandsynligheder, er lig med én:

P(A) + P() = 1

I ovenstående eksempel vil det at tage en hvid, sort og rød kugle være begivenheden A 1, P(A 1) = 7/10. Den modsatte begivenhed af 1 er at trække den blå kugle. Da der er 15 blå kugler, og det samlede antal kugler er 50, får vi P(1) = 15/50 = 3/10 og P(A) + P() = 7/10 +3/10 = 1.

Hvis hændelser A 1, A 2, ..., A n danner et komplet system af parvis uforenelige hændelser, så er summen af deres sandsynligheder lig med 1.

Generelt beregnes sandsynligheden for summen af to begivenheder A og B som

P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB).

Sandsynlighedsmultiplikationssætning:

Hændelser A og B kaldes uafhængig , hvis sandsynligheden for forekomst af begivenhed A ikke afhænger af, om begivenhed B fandt sted eller ej, og omvendt, afhænger sandsynligheden for forekomst af begivenhed B ikke af, om begivenhed A fandt sted eller ej.

Sandsynligheden for fælles forekomst af uafhængige begivenheder er lig med produktet af deres sandsynligheder. Til to arrangementer P(A og B)=P(A)·P(B).

Eksempel: Den ene urne indeholder 5 sorte og 10 hvide kugler, den anden indeholder 3 sorte og 17 hvide kugler. Find sandsynligheden for, at når bolde først trækkes fra hver urne, vil begge bolde være sorte.

Løsning: sandsynligheden for at trække en sort kugle fra den første urne (begivenhed A) er P(A) = 5/15 = 1/3, en sort kugle fra den anden urne (begivenhed B) er P(B) = 3/ 20

P(A og B)=P(A)·P(B) = (1/3)(3/20) = 3/60 = 1/20.

I praksis afhænger sandsynligheden for begivenhed B ofte af, om en anden begivenhed A indtraf eller ej. I dette tilfælde taler de om betinget sandsynlighed , dvs. sandsynligheden for begivenhed B givet, at begivenhed A indtræffer. Betinget sandsynlighed er angivet med P(B/A).

For kvantitativt at sammenligne begivenheder med hinanden i overensstemmelse med graden af deres mulighed, er det naturligvis nødvendigt at knytte et vist antal til hver begivenhed, som er større, jo mere mulig begivenheden er. Vi vil kalde dette nummer sandsynligheden for en hændelse. Således, sandsynligheden for en begivenhed er et numerisk mål for graden af objektiv mulighed for denne begivenhed.

Den første definition af sandsynlighed bør betragtes som den klassiske, som opstod fra analysen af gambling og oprindeligt blev anvendt intuitivt.

Den klassiske metode til at bestemme sandsynlighed er baseret på begrebet lige mulige og uforenelige begivenheder, som er resultaterne af en given oplevelse og danner en komplet gruppe af uforenelige begivenheder.

Det enkleste eksempel på lige mulige og uforenelige begivenheder, der danner en komplet gruppe, er udseendet af en eller anden kugle fra en urne, der indeholder flere kugler af samme størrelse, vægt og andre håndgribelige egenskaber, kun afvigende i farve, grundigt blandet, før de fjernes.

Derfor siges en test, hvis resultater danner en komplet gruppe af uforenelige og lige så mulige hændelser, at kunne reduceres til et mønster af urner, eller et mønster af tilfælde, eller passer ind i det klassiske mønster.

Lige mulige og uforenelige begivenheder, der udgør en komplet gruppe, vil blot blive kaldt tilfælde eller chancer. Desuden kan der i hvert eksperiment, sammen med tilfælde, forekomme mere komplekse hændelser.

Eksempel: Når vi kaster en terning, sammen med tilfældene A i - tabet af i-point på oversiden, kan vi overveje sådanne begivenheder som B - tabet af et lige antal point, C - tabet af et antal point, der er et multiplum af tre...

I forhold til hver hændelse, der kan opstå under forsøget, er cases opdelt i gunstige, hvor denne begivenhed indtræffer, og ugunstig, hvor begivenheden ikke indtræffer. I det foregående eksempel er begivenhed B begunstiget af tilfælde A 2, A 4, A 6; begivenhed C - tilfælde A 3, A 6.

Klassisk sandsynlighed forekomsten af en bestemt hændelse kaldes forholdet mellem antallet af tilfælde, der er gunstigt for forekomsten af denne hændelse, og det samlede antal lige så mulige, inkompatible tilfælde, der udgør den komplette gruppe i et givet eksperiment:

Hvor P(A)- sandsynlighed for forekomst af begivenhed A; m- antallet af sager til fordel for begivenhed A; n- det samlede antal sager.

Eksempler:

1) (se eksemplet ovenfor) P(B)= , P(C) =.

2) Urnen indeholder 9 røde og 6 blå kugler. Find sandsynligheden for, at en eller to kugler, der trækkes tilfældigt, viser sig at være røde.

EN- en rød kugle trukket tilfældigt:

m= 9, n= 9 + 6 = 15, P(A)=

B- to røde kugler trukket tilfældigt:

Følgende egenskaber følger af den klassiske definition af sandsynlighed (vis dig selv):

1) Sandsynligheden for en umulig hændelse er 0;

2) Sandsynligheden for en pålidelig hændelse er 1;

3) Sandsynligheden for enhver hændelse ligger mellem 0 og 1;

4) Sandsynligheden for en hændelse modsat hændelse A,

Den klassiske definition af sandsynlighed antager, at antallet af udfald af et forsøg er begrænset. I praksis er der meget ofte tests, hvor antallet af mulige tilfælde er uendeligt. Derudover er svagheden ved den klassiske definition, at det meget ofte er umuligt at repræsentere resultatet af en test i form af et sæt elementære begivenheder. Det er endnu sværere at angive årsagerne til at betragte de elementære resultater af en test for at være lige mulige. Normalt konkluderes ligemuligheden af elementære testresultater ud fra overvejelser om symmetri. Sådanne opgaver er dog meget sjældne i praksis. Af disse grunde anvendes sammen med den klassiske definition af sandsynlighed også andre definitioner af sandsynlighed.

Statistisk sandsynlighed hændelse A er den relative hyppighed af forekomst af denne hændelse i de udførte tests:

hvor er sandsynligheden for forekomst af begivenhed A;

Relativ hyppighed af forekomst af hændelse A;

Antallet af forsøg, hvor begivenhed A optrådte;

Samlet antal forsøg.

I modsætning til klassisk sandsynlighed er statistisk sandsynlighed en eksperimentel egenskab.

Eksempel: For at kontrollere kvaliteten af produkter fra et parti blev 100 produkter udvalgt tilfældigt, hvoraf 3 produkter viste sig at være defekte. Bestem sandsynligheden for ægteskab.

Den statistiske metode til at bestemme sandsynlighed er kun anvendelig for de hændelser, der har følgende egenskaber:

De begivenheder, der overvejes, bør kun være resultaterne af de test, der kan gengives et ubegrænset antal gange under samme sæt betingelser.

Hændelser skal have statistisk stabilitet (eller stabilitet af relative frekvenser). Dette betyder, at den relative frekvens af hændelsen i forskellige serier af test ændres lidt.

Antallet af forsøg, der resulterer i begivenhed A, skal være ret stort.

Det er let at verificere, at sandsynlighedens egenskaber, der stammer fra den klassiske definition, også er bevaret i den statistiske definition af sandsynlighed.