Der kastes 2 terninger og sandsynligheden er lig. Løsning af problemer med terningkast

Et andet populært problem inden for sandsynlighedsteori (sammen med møntkastproblemet) er problem med terningkastning.

Normalt lyder opgaven sådan: der kastes en eller flere terninger (normalt 2, sjældnere 3). Du skal finde sandsynligheden for, at antallet af point er 4, eller summen af pointene er 10, eller produktet af antallet af point er deleligt med 2, eller antallet af point afviger med 3, og så videre.

Den vigtigste metode til at løse sådanne problemer er at bruge den klassiske sandsynlighedsformel, som vi vil analysere ved hjælp af eksempler nedenfor.

Efter at have sat dig ind i løsningsmetoderne, kan du downloade en superbrugelig løsning til at kaste 2 terninger (med tabeller og eksempler).

En terning

Med én terning er situationen uanstændigt enkel. Lad mig minde dig om, at sandsynligheden findes ved formlen $P=m/n$, hvor $n$ er antallet af alle lige mulige elementære udfald af et eksperiment med at kaste en terning eller terning, og $m$ er tallet af de resultater, der favoriserer begivenheden.

Eksempel 1. Terningen kastes én gang. Hvad er sandsynligheden for, at det skete lige tal briller?

Da terningen er en terning (siger man også fair terninger, det vil sige, at terningen er balanceret, så den lander på alle sider med samme sandsynlighed), terningen har 6 sider (med et antal punkter fra 1 til 6, normalt angivet med punkter), så samlet antal resultater i opgaven $n=6$. De eneste resultater, der favoriserer begivenheden, er dem, hvor en side med 2, 4 eller 6 point (kun én) vises, der er $m=3$ af sådanne sider. Så er den nødvendige sandsynlighed lig med $P=3/6=1/2=0,5$.

Eksempel 2. Terningerne kastes. Find sandsynligheden for at rulle mindst 5 point.

Vi ræsonnerer på samme måde som i det foregående eksempel. Det samlede antal er mulige resultater når man kaster en terning $n=6$, og betingelsen "mindst 5 point rullet op", det vil sige "enten 5 eller 6 point rullet op", opfylder 2 resultater, $m=2$. Den nødvendige sandsynlighed er $P=2/6=1/3=0,333$.

Jeg kan ikke engang se meningen med at give flere eksempler, lad os gå videre til to terninger, hvor alt bliver mere interessant og kompliceret.

To terninger

Når vi taler om om problemer med at kaste 2 terninger, meget praktisk at bruge point tabel. Vandret plotter vi antallet af point, der faldt på den første terning, og lodret antallet af point, der faldt på den anden terning. Lad os få noget som dette (jeg plejer at gøre det i Excel, du kan downloade filen):

Hvad er der i tabelcellerne, spørger du? Og det afhænger af, hvilket problem vi vil løse. Der vil være en opgave om summen af point - vi skriver summen der, om forskellen - vi skriver forskellen og så videre. Lad os komme i gang?

Eksempel 3. Der kastes 2 terninger på samme tid. Find sandsynligheden for, at totalen bliver mindre end 5 point.

Lad os først se på det samlede antal resultater af eksperimentet. da vi kastede en terning, var alt indlysende, 6 sider - 6 udfald. Der er allerede to terninger her, så udfaldene kan repræsenteres som ordnede talpar af formen $(x,y)$, hvor $x$ er hvor mange point der faldt på den første terning (fra 1 til 6), $ y$ er hvor mange point der faldt på den anden terning (fra 1 til 6). Det er klart, at det samlede antal af sådanne talpar vil være $n=6\cdot 6=36$ (og de svarer til nøjagtigt 36 celler i tabellen over resultater).

Nu er det tid til at udfylde tabellen. I hver celle indtaster vi summen af antallet af point kastet på den første og anden terning, og vi får følgende billede:

Nu vil denne tabel hjælpe os med at finde antallet af udfald, der er gunstige for begivenheden "i alt mindre end 5 point vises." For at gøre dette tæller vi antallet af celler, hvor sumværdien er mindre end 5 (det vil sige 2, 3 eller 4). For klarhedens skyld, lad os farve disse celler, der vil være $m=6$:

Så er sandsynligheden lig med: $P=6/36=1/6$.

Eksempel 4. Der kastes to terninger. Find sandsynligheden for, at produktet af antallet af point er deleligt med 3.

Vi laver en tabel over produkterne af de point, der er rullet på den første og anden terning. Vi fremhæver straks de tal, der er multipla af 3:

Tilbage er blot at skrive ned, at det samlede antal udfald er $n=36$ (se det foregående eksempel, ræsonnementet er det samme), og antallet af gunstige udfald (antallet af skraverede celler i tabellen ovenfor) er $m=20$. Så vil sandsynligheden for hændelsen være lig med $P=20/36=5/9$.

Som du kan se, kan denne type problemer, med ordentlig forberedelse (lad os se på et par flere problemer), løses hurtigt og enkelt. For variation, lad os lave en opgave mere med en anden tabel (alle tabeller kan downloades nederst på siden).

Eksempel 5. Terningerne kastes to gange. Find sandsynligheden for, at forskellen i antallet af point på den første og anden terning vil være fra 2 til 5.

Lad os nedskrive en tabel med punktforskelle, fremhæve cellerne i den, hvor forskelsværdien vil være mellem 2 og 5:

Så det samlede antal lige så mulige elementære udfald er $n=36$, og antallet af gunstige resultater (antallet af skraverede celler i tabellen ovenfor) er $m=10$. Så vil sandsynligheden for hændelsen være lig med $P=10/36=5/18$.

Så i det tilfælde, hvor vi taler om at kaste 2 terninger og en simpel begivenhed, skal du bygge en tabel, vælge de nødvendige celler i den og dividere deres antal med 36, dette vil være sandsynligheden. Ud over opgaver om summen, produktet og forskellen af antallet af point, er der også problemer med modulus af forskellen, det mindste og største antal point, der trækkes (du finder passende tabeller i).

Andre problemer om terninger og terninger

Naturligvis er sagen ikke begrænset til de to klasser af problemer med at kaste terninger, der er diskuteret ovenfor (de er simpelthen de hyppigst forekommende i problembøger og træningsmanualer), der er andre. For variation og forståelse af den omtrentlige løsningsmetode vil vi analysere tre mere typiske eksempler: for at kaste 3 terninger, for betinget sandsynlighed og for Bernoullis formel.

Eksempel 6. Der kastes 3 terninger. Find sandsynligheden for, at totalen er 15 point.

I tilfælde af 3 terninger tegnes tabeller sjældnere, da du skal bruge så mange som 6 stykker (og ikke én, som ovenfor), de klarer sig ved blot at søge gennem de nødvendige kombinationer.

Lad os finde det samlede antal udfald af eksperimentet. Udfald kan repræsenteres som ordnede tripletter af tal på formen $(x,y,z)$, hvor $x$ er hvor mange point der faldt på den første terning (fra 1 til 6), $y$ er hvor mange point der faldt på den anden terning (fra 1 til 6), $z$ - hvor mange point der kastes på den tredje terning (fra 1 til 6). Det er klart, at det samlede antal af sådanne tripler af tal vil være $n=6\cdot 6\cdot 6=216$.

Lad os nu vælge resultater, der giver i alt 15 point.

$$ (3,6,6), (6,3,6), (6,6,3),\\ (4,5,6), (4,6,5), (5,4,6), (6,5,4), (5,6,4), (6,4,5),\\ (5,5,5). $$

Vi fik $m=3+6+1=10$ resultater. Den ønskede sandsynlighed er $P=10/216=0,046$.

Eksempel 7. Der kastes 2 terninger. Find sandsynligheden for, at den første terning ikke kaster mere end 4 point, forudsat at det samlede antal point er lige.

Den nemmeste måde at løse dette problem på er at bruge bordet igen (alt vil være klart), som før. Vi udskriver en tabel med pointbeløb og vælger kun celler med lige værdier:

Vi får, at der ifølge eksperimentets betingelser ikke er 36, men $n=18$ udfald (når summen af point er lige).

Nu fra disse celler Lad os kun vælge dem, der svarer til begivenheden "ikke mere end 4 point kastet på den første terning" - det vil sige, faktisk, cellerne i de første 4 rækker af tabellen (fremhævet med orange), vil der være $m= 12$.

Den krævede sandsynlighed $P=12/18=2/3.$

Den samme opgave kan udføres beslutte anderledes ved hjælp af den betingede sandsynlighedsformel. Lad os indtaste begivenhederne:
A = Summen af antallet af point er lige
B = Ikke mere end 4 point kastet på den første terning
AB = Summen af antallet af point er lige, og der blev ikke kastet mere end 4 point på den første terning
Så har formlen for den ønskede sandsynlighed formen: $$ P(B|A)=\frac(P(AB))(P(A)). $$ Finde sandsynligheder. Det samlede antal udfald er $n=36$, for begivenhed A er antallet af gunstige udfald (se tabellerne ovenfor) $m(A)=18$, og for begivenhed AB - $m(AB)=12$. Vi får: $$ P(A)=\frac(m(A))(n)=\frac(18)(36)=\frac(1)(2); \quad P(AB)=\frac(m(AB))(n)=\frac(12)(36)=\frac(1)(3);\\ P(B|A)=\frac(P) (AB))(P(A))=\frac(1/3)(1/2)=\frac(2)(3). $$ Svarene var de samme.

Eksempel 8. Terningerne kastes 4 gange. Find sandsynligheden for, at et lige antal point optræder præcis 3 gange.

I tilfældet, når terningerne kaster flere gange, og arrangementet handler ikke om summen, produktet mv. integrerede egenskaber, men kun ca antal dråber bestemt type, kan bruges til at beregne sandsynligheden

Med den klassiske definition er sandsynligheden for en begivenhed bestemt af ligheden

hvor m – antallet af elementære testresultater svarende til forekomsten af hændelse A; n – det samlede antal mulige elementære testresultater. Det antages, at elementære udfald er de eneste mulige og lige mulige.

Den relative hyppighed af begivenhed A bestemmes af ligheden

hvor m – antallet af forsøg, hvor begivenhed A fandt sted; n – det samlede antal udførte tests. Ved statistisk bestemmelse tages sandsynligheden for en begivenhed til at være dens relative hyppighed.

Eksempel 1.1. Der kastes to terninger. Find sandsynligheden for, at summen af point på de kastede sider er lige, og en sekser vises på siden af mindst én af terningerne.

Løsning.På den faldne kant af den "første" terninger et point, to point,..., der kan forekomme seks point. På samme måde er seks elementære udfald mulige, når man kaster den "anden" terning. Hvert af udfaldene ved at kaste den "første" terning kan kombineres med hvert af resultaterne af at kaste den "anden". Således er det samlede antal mulige elementære testresultater 6∙6 = 36.

Gunstige resultater for den begivenhed, vi er interesserede i (mindst en sekser vil dukke op på den ene side, summen af de rullede point er lige) er de følgende fem udfald (det første er antallet af point, der faldt på den "første" terning , den anden er antallet af point, der faldt på den "anden" terning, derefter summen af deres point:

1.6, 2, 6 + 2 = 8,

2.6, 4, 6 + 4 = 10,

3.6, 6, 6 + 6 = 12.

4.2, 6, 2 + 6 = 8,

5.4, 6, 4 + 6 = 10.

Den krævede sandsynlighed er lig med forholdet mellem antallet af udfald, der er gunstige for begivenheden, og antallet af alle mulige elementære udfald:

Opgave 1.1Der kastes to terninger. Find sandsynligheden for, at summen af point på de faldede sider er syv.

Opgave 1.2.Der kastes to terninger. Find sandsynligheden for følgende hændelser: a) summen af de trukket point er otte og forskellen er fire, b) summen af de trukket point er otte, hvis det vides, at deres forskel er fire.

Opgave 1.3.Der kastes to terninger. Find sandsynligheden for, at summen af punkterne på de faldede sider er fem, og produktet er fire.

Opgave 1.4. Mønten kastes to gange. Find sandsynligheden for, at våbenskjoldet dukker op mindst én gang.

Dernæst vil vi overveje et eksempel, når antallet af objekter stiger, og som følge heraf stiger både det samlede antal elementære resultater og gunstige resultater, og deres antal vil allerede være bestemt af formlerne for kombinationer og placeringer.

Eksempel 1.2 Æsken indeholder 10 ens dele, markeret med tallene 1, 2, ..., 10. 6 dele trækkes tilfældigt. Find sandsynligheden for, at der blandt de udtrukne dele vil være: a) del nr. 1; b) del nr. 1 og nr. 2.

Løsning.Det samlede antal mulige elementære testresultater er lig med antallet af måder (kombinationer), hvorpå 6 dele kan udtrækkes fra 10, dvs. Fra 610.

a) Lad os tælle antallet af resultater, der er gunstige for den begivenhed, der er af interesse for os: Blandt de udvalgte seks dele er der del nr. 1, og derfor har de resterende 5 dele forskellige numre. Antallet af sådanne udfald er åbenbart lig med antallet af måder, hvorpå 5 dele kan vælges blandt de resterende 9, dvs. Fra 5 9.

Den krævede sandsynlighed er lig med forholdet mellem antallet af udfald, der er gunstige for den pågældende begivenhed, og det samlede antal mulige elementære udfald:

b) Antallet af udfald, der er gunstige for begivenheden af interesse for os (blandt de udvalgte seks dele er der del nr. 1 og del nr. 2, derfor har de resterende 4 dele forskellige tal) er lig med antallet af måder i hvilke 4 dele kan vælges blandt de resterende 8, dvs. Fra 48.

Påkrævet sandsynlighed

Eksempel 1.3 . Mens han ringede til et telefonnummer, glemte abonnenten de sidste tre cifre, og huskede kun, at de var forskellige, ringede til dem tilfældigt. Find sandsynligheden for, at de nødvendige numre bliver ringet op.

Løsning.Det samlede antal mulige elementære treelementskombinationer på 10 cifre, som adskiller sig både i sammensætning og i rækkefølgen af cifrene, er lig med antallet af placeringer på 10 cifre med 3, dvs. A 3 10.

Gunstigt resultat - et.

Påkrævet sandsynlighed

Eksempel 1.4. I et parti af N dele er der n standard Valgt tilfældigt m detaljer. Find sandsynligheden for, at blandt de udvalgte nøjagtigt k standard dele.

Løsning.Det samlede antal mulige elementære udfald af testen er lig med antallet af måder, hvorpå det er muligt at udtrække m dele fra N dele, dvs. Med m N – antal kombinationer af N ved m.

Lad os tælle antallet af resultater, der er gunstige for den begivenhed, vi er interesserede i (blandt m dele nøjagtigt k standard): k standarddele kan tages fra n standard dele C k n måder; mens resten m–k dele skal være ikke-standard: tag det m–k ikke-standarddele fra N–n ikke-standarddele kan tages fra m - k N - n måder. Derfor er antallet af gunstige resultater C k n С m - k N - n .

Den nødvendige sandsynlighed er lig med

Opgave 1.5.Der arbejder 6 mænd og 4 kvinder på værkstedet. 7 personer blev udvalgt tilfældigt ved hjælp af deres personaletal. Find sandsynligheden for, at der blandt de udvalgte personer vil være 3 kvinder.

Geometriske sandsynligheder

Lad segmentet lindgår i et segment L. LFor et segmentlet punkt blev gjort tilfældigt. Hvis vi antager, at sandsynligheden for, at et punkt falder på et segmenter proportional med længden af dette segment og afhænger ikke af dets placering i forhold til segmentetLl, så sandsynligheden for, at et punkt falder på segmentet

er bestemt af lighed Lad den flade figur g indgår i en flad figur G. Lad den flade figur For G-figur En prik kastes tilfældigt. Hvis vi antager, at sandsynligheden for, at et kastet punkt rammer en figur er proportional med arealet af denne figur og afhænger ikke af dens placering i forhold til G, hverken fra formen g , så sandsynligheden for, at et punkt falder på segmentet

, så sandsynligheden for, at et punkt rammer figuren g Sandsynligheden for, at et punkt falder ind i en rumlig figur, bestemmes på samme måde v

, som udgør en del af figuren V: Eksempel 1.5 For segment L længde 20 cm Et mindre segment placeres

llængde 10 cm Find sandsynligheden for, at et punkt placeret tilfældigt på et stort segment også falder på et mindre segment.

Løsning: Da sandsynligheden for, at et punkt falder på et segment er proportional med dets længde og ikke afhænger af dets placering, vil vi bruge ovenstående forhold og finde: Eksempel 1.6 I en cirkel med radius R en lille cirkel med radius placeres

r .

Find sandsynligheden for, at et punkt, der kastes tilfældigt ind i en stor cirkel, også falder ind i en lille cirkel. Løsning: da sandsynligheden for, at et punkt falder ind i en cirkel er proportional med arealet af cirklen og ikke afhænger af dets placering, bruger vi ovenstående forhold og finder: Opgave 1.6.

Inde i radiuscirklen Den hurtigt roterende skive er opdelt i et lige antal lige store sektorer, skiftevis farvet hvid og sort. Der blev affyret et skud mod skiven. Find sandsynligheden for, at kuglen rammer en af de hvide sektorer. Det antages, at sandsynligheden for at ramme en flad figur er proportional med arealet af denne figur.

Sandsynlighedsadditions- og multiplikationssætninger

MEDplacering af sandsynligheder for uforenelige begivenheder.

Sandsynligheden for forekomsten af en af to uforenelige begivenheder, uanset hvilken, er lig med summen af sandsynligheden for disse begivenheder:

P(A + B) = P(A) + P(B).

Følge. Sandsynligheden for forekomsten af en af flere parvise uforenelige hændelser, uanset hvilken, er lig med summen af sandsynligheden for disse hændelser:

P(A1 + A2 +…+ An) = P(A1) + P(A2) +…+ P(An). Tilføjelse af sandsynligheder for fælles begivenheder.

Sandsynligheden for forekomsten af mindst en af to fælles begivenheder er lig med summen af sandsynligheden for disse begivenheder uden sandsynligheden for deres fælles forekomst:

P(A + B) = P(A) + P(B) – P(AB).

Sætningen kan generaliseres til et hvilket som helst begrænset antal fælles begivenheder. For eksempel til tre fælles arrangementer:

P(A + B + C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(AB) – P(AC) – P(BC) + P(ABC). Sætning til at gange sandsynligheden for uafhængige hændelser. Sandsynligheden for to samtidige forekomster uafhængige arrangementer

lig med produktet af sandsynligheden for disse hændelser:

P(AB) = P(A)*P(B).

Følge. Sandsynligheden for fælles forekomst af flere hændelser, der er uafhængige i aggregatet, er lig med produktet af sandsynligheden for disse hændelser:

P(A1A2...An) = P(A1)*P(A2)...P(An). Sætning til multiplikation af sandsynligheden for afhængige hændelser.

Sandsynligheden for fælles forekomst af to afhængige begivenheder er lig med produktet af en af dem og den betingede sandsynlighed for den anden:

P(AB) = P(A)*PA(B),

P(AB) = P(B)*PB(A).

Følge. Sandsynligheden for fælles forekomst af flere afhængige hændelser er lig med produktet af en af dem ved de betingede sandsynligheder for alle de andre, og sandsynligheden for hver efterfølgende beregnes under den antagelse, at alle tidligere hændelser er beregnet under den antagelse, at alle tidligere begivenheder har allerede fundet sted:

P(A1A2...An) = P(A1)*PA1(A2)*PA1A2(A3)...PA1A2...An-1(An),

hvor RA1A2...An-1(An) er sandsynligheden for hændelsen An, beregnet under den antagelse, at hændelserne A1A2...An-1 er indtruffet. Eksempel 1.7.

Der er 15 lærebøger tilfældigt placeret på en bibliotekshylde, hvoraf 5 er indbundet.. Kravet om, at mindst én af de optagne lærebøger er indbundet, vil være opfyldt, hvis nogen af følgende tre uforenelige hændelser indtræffer: B - en lærebog indbundet, to uden indbinding, C - to lærebøger indbundet, én uden indbinding, D - tre lærebøger i bundet.

Hændelsen A, der interesserer os (mindst en af de tre indbundne lærebøger taget) kan repræsenteres som summen af tre hændelser:

A = B + C + D.

Ved teoremet om tilføjelse af uforenelige hændelser

p(A) = p(B) + p(C) + p(D) (1).

Lad os finde sandsynligheden for hændelser B, C og D (se løsning til eksempel 1.4.):

Ved at erstatte disse sandsynligheder med lighed (1), opnår vi endelig

p(A) = 45/91 + 20/91 + 2/91 = 67/91.

Eksempel 1.8. Hvor mange terninger skal der kastes, så man med en sandsynlighed på mindre end 0,3 kan forvente, at der ikke kommer 6 point på nogen kastet side?

Der er 15 lærebøger tilfældigt placeret på en bibliotekshylde, hvoraf 5 er indbundet.. Lad os introducere betegnelserne for begivenheder: A – 6 punkter vises ikke på nogen af de tabte sider; Аi – 6 point vises ikke på den rullede side af den i-te terning (i = 1, 2, …n).

Den begivenhed A, der interesserer os, består af en kombination af begivenheder

A1, A2, …, An

det vil sige A = A1A2…An.

Sandsynligheden for, at et tal, der ikke er lig med seks, vises på en side, der falder, er lig med

p(Ai) = 5/6.

Begivenhederne Ai er kollektivt uafhængige, så multiplikationssætningen gælder:

р(А) = р(А1А2...Аn) = р(А1)*р(А2)*...р(Аn) = (5/6)n.

Efter betingelse (5/6)n< 0,3. Следовательно n*log(5/6) < log0,3, отсюда найдем n >6.6. Således er det nødvendige antal terninger n ≥ 7.

Eksempel 1.9. På læsesalen er der 6 lærebøger om sandsynlighedsteori, hvoraf 3 er indbundet.

Der er 15 lærebøger tilfældigt placeret på en bibliotekshylde, hvoraf 5 er indbundet. Bibliotekaren tog to lærebøger tilfældigt. Find sandsynligheden for, at begge lærebøger bliver indbundet.

. Lad os introducere betegnelserne for begivenheder: A – den første lærebog er indbundet, B – den anden lærebog er indbundet.

Sandsynligheden for at den første lærebog er indbundet er

p(A) = 3/6 = 1/2.

Sandsynligheden for, at den anden lærebog er bundet, forudsat at den første lærebog var bundet, det vil sige, at den betingede sandsynlighed for begivenhed B er lig med:

pA(B) = 2/5.

Den ønskede sandsynlighed for, at begge lærebøger er bundet, ifølge sætningen om multiplikation af sandsynligheder for afhængige begivenheder, er lig med

p(AB) = p(A)*pA(B) = 1/2*2/5 = 0,2. Opgave 1.8

To skytter skyder mod et mål. Sandsynligheden for at ramme målet med et skud er 0,7 for den første jæger og 0,8 for den anden. Find sandsynligheden for, at kun én af jægerne i løbet af en salve rammer målet. Eleven leder efter den formel, han skal bruge, i tre opslagsbøger. Sandsynligheden for, at formlen er indeholdt i den første, anden, tredje opslagsbog er henholdsvis lig med 0,6; 0,7; 0,8. Find sandsynligheden for, at formlen er indeholdt: a) i kun én opslagsbog; b) kun i to mapper; c) i alle opslagsværker.

Opgave 1.10 . Der arbejder 7 mænd og 3 kvinder på værkstedet. 3 personer blev udvalgt tilfældigt ved hjælp af deres personaletal.

Find sandsynligheden for, at alle udvalgte personer vil være mænd.

Derefter udførte han det samme eksperiment med tre terninger. På et stykke papir skrev jeg tallene fra 3 til 18 ned i en kolonne Det er de beløb, der kan dukke op, når man kaster tre terninger. Jeg lavede 400 kast. Jeg beregnede resultatet og indtastede det i tabellen. (Bilag 3 og 4) Summerne 10 og 11 optræder oftere.

Jeg udførte endnu et eksperiment med fire terninger. Kolonnen indeholdt tal fra 4 til 24. Det er de beløb, der kan vises, når man kaster fire terninger. Jeg slog 400 skud igen. Jeg beregnede resultatet og indtastede det i tabellen. (Bilag 5 og 6) Summen 14 rulles oftere.

Så besluttede jeg at lave regnestykket. Jeg lavede en tabel til to terninger og udfyldte den. (Bilag 7) Jeg fik resultatet - summen af syv kommer oftere op. (Bilag 8). Seks gange ud af seksogtredive tilfælde. Jeg lavede først de samme matematiske beregninger for tre terninger. (Bilag 9) De summer, der oftest kommer op, er 10 og 11. Det er 27 sager ud af 216. Og de mindst sandsynlige tal, der kommer op, er 3 og 18, kun 1 tilfælde ud af 216. (Bilag 10) Og så for fire terninger. (Bilag 11) Der er 1296 sager i alt. Den mest almindelige sum er 14, hvilket er 146 sager ud af 1296. Og den mindste almindelige sum er 4 og 24, kun 1 sag ud af 1296. (Bilag 12).

Jeg fandt en beskrivelse af tricks med terninger. Jeg blev overrasket over enkelheden og originaliteten af nogle af tricks. Den konventionelle rækkefølge af markeringer på siderne af terningerne er grundlaget for mange terningetricks. Og jeg prøvede at lave flere tricks. Jeg gjorde det. Men for at udføre dem med succes, skal du tælle hurtigt og godt.

Succesen for hvert trick afhænger af god forberedelse og træning, af letheden ved at udføre hvert nummer, nøjagtig udregning og dygtig brug af de nødvendige teknikker til at udføre tricket. Sådanne tricks gør et stort indtryk på publikum og fanger dem.

Fokus 1. "Gætter beløbet"

Personen, der demonstrerer, vender ryggen til publikum, og på dette tidspunkt kaster en af dem tre terninger på bordet. Tilskueren bliver derefter bedt om at lægge de tre udtrukne tal sammen, tage en terning og lægge tallet på undersiden til det samlede antal, der netop er opnået. Slå derefter den samme terning igen og læg det tal, der kommer ud, til totalen igen. Demonstranten henleder publikums opmærksomhed på, at han på ingen måde kan vide, hvilken af de tre terninger der blev kastet to gange, samler derefter terningerne, ryster dem i hånden og navngiver straks det endelige beløb korrekt.

Forklaring. Inden han samler terningerne, lægger den fremmødte opad tallene sammen. Ved at lægge syv til den resulterende sum, finder han den endelige sum.

Dette trick er afhængig af egenskaben af summen af tal på modsatte flader - det er altid lig med syv.

Kapitel 2. Terningernes hemmelighed

2.1. Beregn resultatet

For at finde ud af, hvilken mængde der oftere kommer op, når man kaster to, tre, fire osv. terninger, har jeg udført flere eksperimenter.

Før jeg startede arbejdet, kompilerede jeg en tabel for at indtaste data. Kolonnen indeholder tal fra 2 til 12. Det er de beløb, der kan dukke op, når man kaster to terninger. På den glatte overflade af bordet, så der ikke ville være nogen udefrakommende indblanding, begyndte han at kaste terninger. Hvert forsøg blev markeret modsat nummeret på den tabte mængde - med en lodret linje.

Eksperiment 1:

1) Jeg tager to terninger og et glas.

Jeg gentager forsøget 400 gange.

Eksperimentet hjalp med at finde ud af, hvilken sum der oftere kommer op, når man kaster to terninger. (bilag 1 og 2)

Jeg gennemførte eksperiment 2 med tre terninger for at finde ud af, hvilket beløb der vil dukke op oftere nu.

Eksperiment 2:

1) Jeg tager tre terninger og et glas.

2) Jeg ryster glasset med terningerne.

3) Jeg kaster terningerne på bordet.

4) Jeg beregner beløbet og markerer det i tabellen.

Jeg gentager forsøget 400 gange.

Eksperimentet hjalp med at finde ud af, hvilken sum der oftere kommer op, når man kaster tre terninger. (bilag 3 og 4)

Eksperimentet hjalp mig med at sikre, at når jeg kastede tre terninger, var mængden, der kom ud, anderledes end når jeg kastede to terninger.

Jeg udførte eksperiment 3 med fire terninger for at se dynamikken i ændringer.

Inden jeg begyndte at arbejde, kompilerede jeg igen en tabel for at indtaste data.

Eksperiment 3:

1) Jeg tager fire terninger og et glas.

2) Jeg ryster glasset med terningerne.

3) Jeg kaster terningerne på bordet.

4) Jeg beregner beløbet og markerer det i tabellen.

Jeg gentager forsøget 400 gange.

Eksperimentet hjalp mig med at sikre, at når der kastes fire terninger, er mængden, der kommer op igen, anderledes. (bilag 5 og 6)

Efter at have undersøgt resultaterne af eksperimenterne, blev det klart for mig, hvorfor mængder tættere på midten af bordet forekommer oftere. Summen af tallene på modsatte sider er jo altid lig med syv. Derfor, når du kaster terninger, er det mere sandsynligt, at der kommer et beløb tæt på denne midte.

2.2. Sammenligner resultaterne

Efter at have sammenlignet resultaterne af forsøg med terninger (bilag 1 - 6) og resultaterne af matematiske beregninger (bilag 7 - 12), bemærkede jeg, at den mængde, der er tættere på midten, falder ud oftere. Så jeg fandt gennemsnittet aritmetisk sum tal på terningernes sider. (1+2+3+4+5+6): 6 = 3,5. Resultatet blev 3,5. Jeg gangede så dette tal med antallet af terninger. Hvis du tager to terninger, så er produktet 3,5 · 2 = 7. Tallet syv er det tal, der kommer oftere op, når du kaster to terninger. Hvis vi tager tre terninger, får vi 3,5 · 3 = 10,5. Og da tallet skal være et heltal, så tages to tilstødende tal. Disse tal er 10 og 11, de vises oftere, når du kaster tre terninger. For et hvilket som helst antal terninger kan du beregne det tal, der oftest optræder ved hjælp af formlen 3.5 n , (Hvor n- antal terninger). Desuden, hvis n ulige tal, så tages der to tilstødende tal for at bestemme det tal, der optræder oftere, når man kaster terninger.

jeg har anmeldt bibelsk tegning og fandt en uoverensstemmelse. To terninger har forkerte markeringer. Da summen af tallene på modsatte sider skal være lig med syv. Og på en af terningerne er der tre på oversiden, og fire på siden, selvom fire burde være på undersiden. På den anden terning er der fem på den øverste side, og på siden er der to. Eller måske er det fordi der i det område blev vedtaget en anden markering på terningerne.

Konklusion

I mit arbejde lærte jeg hemmeligheden bag terninger. Denne hemmelighed ligger på overfladen af terningerne selv. Hemmeligheden ligger i layoutet af markeringerne. Summen af tallene på modsatte sider er altid syv. Gennem eksperimenter og matematiske udregninger fandt jeg den mængde, der oftere kommer frem, når man kaster terninger, og som afhænger af antallet af terninger. Dette beløb kan skrives som en formel 3,5 · n, Hvor n antal terninger. Mens jeg undersøgte dette emne, lærte jeg, at terninger opstod omkring 3000 f.Kr. Steder, hvor de blev fundet arkæologer de ældste emner for spillet er Egypten, Iran, Irak og Indien. Jeg lærte om de mange forskellige former og typer af terninger. Og også hvor der bruges terninger og de egenskaber de har. Jeg har slet ikke overvejet emnet problemløsning. Det er bare, at sandsynlighedsteorien stadig er svær for mig. Men jeg håber at vende tilbage til det igen.

Mange store matematikere forskellige tider løst problemer med terninger. Men jeg var ikke i stand til at finde forfatteren til formlen for at finde den største sum, når jeg kaster terninger. Måske ledte jeg ikke længe nok. Men jeg fortsætter med at søge. Jeg er interesseret i at vide, hvem der først fandt på denne formel.

Referencer

1. Azariev encyklopædisk ordbog [Elektronisk ressource] http://www. slovarus. ru/?di=72219

2. Suvorov om sandsynlighed i spil. Introduktion til sandsynlighedsteori for elever i 8.-11. – Yaroslavl: Academy of Development, 2006. –192 s.

3. Fribus problemer. – M.: Uddannelse, 1994. – 128 s.

4. Wikipedia gratis encyklopædi [Elektronisk ressource] https://ru. wikipedia. org/wiki/Dice

5. Spillevirksomhed. Om. fra engelsk og fr. /NEC "Bibliomarked"; Udg.-komp. . - M. 1994. - 208 s.

6. Knogler, zary, terninger [Elektronisk ressource] http://www. /ru/articles/igralnye_kosti-34

7. Lyutikas om sandsynlighedsteorien. – M.: Uddannelse, 1983. – 127 s.

8. Nikiforovsky matematikere Bernoulli. – M.: Nauka, 1984. – 180 s.

9. Bag siderne i en algebra lærebog. Bog for elever 7-9 klassetrin. almen uddannelse Institutioner. – M.: Uddannelse, 1999. – 237 s.

10. 100 store videnskabsmænd. – M.: Veche, 2000. – 592 s.

11. Ordbog fremmede ord[Elektronisk ressource] http:///søg

12. Ushakovs forklarende ordbog [Elektronisk ressource] http://www. /3/193/772800.html

13. Shen A. Sandsynlighed: eksempler og opgaver. - M.: Forlaget MTsNMO, 2008. – 64 s.

14. Yakovlev problemer med terninger i studiet af elementer af sandsynlighedsteori [Elektronisk ressource] http://festival.1september. ru/articles/517883/

15. Yakovleva og sjove tricks med terninger [Elektronisk ressource] http://festival.1september. ru/articles/624782/

Bilag 1. Resultater af at kaste 2 terninger

Bilag 2. Resultater af at kaste 2 terninger

Tilbage Frem

Opmærksomhed! Forhåndsvisninger af dias er kun til informationsformål og repræsenterer muligvis ikke alle funktionerne i præsentationen. Hvis du er interesseret dette arbejde, download venligst den fulde version.

Pædagogiske teknologier : Teknologi for forklarende og illustreret undervisning, computerteknologi, personcentreret tilgang til læring, sundhedsbesparende teknologier.

Lektionstype: lektion i at tilegne sig ny viden.

Varighed: 1 lektion.

Klasse: 8. klasse.

Lektionens mål:

Uddannelsesmæssigt:

gentage færdighederne ved at bruge formlen til at finde sandsynligheden for en begivenhed og lære at bruge den i problemer med terninger;
udføre demonstrativt ræsonnement, når du løser problemer, vurdere den logiske rigtighed af ræsonnement, genkende logisk forkert ræsonnement.

Uddannelsesmæssigt:

udvikle færdigheder i at søge, behandle og præsentere information;
udvikle evnen til at sammenligne, analysere og drage konklusioner;
udvikle observations- og kommunikationsevner.

Uddannelsesmæssigt:

dyrke opmærksomhed og udholdenhed;
at danne sig en forståelse af matematikkens betydning som en måde at forstå verden omkring os på.

Lektionsudstyr: computer, multimedie, markører, mimio kopienhed (eller interaktiv tavle), konvolut (indeholder en opgave til praktisk arbejde, lektier, tre kort: gul, grøn, rød), modeller af terninger.

Lektionsplan

Organisatorisk øjeblik.

I den foregående lektion lærte vi om den klassiske sandsynlighedsformel.

Sandsynligheden P for forekomsten af en tilfældig hændelse A er forholdet mellem m og n, hvor n er antallet af alle mulige udfald af eksperimentet, og m er antallet af alle gunstige udfald.

Formlen er den såkaldte klassiske definition af sandsynlighed ifølge Laplace, som kom fra gamblingområdet, hvor sandsynlighedsteori blev brugt til at bestemme udsigten til at vinde. Denne formel bruges til eksperimenter med et begrænset antal lige mulige udfald.

Sandsynlighed for en hændelse = Antal gunstige udfald / antal af alle lige mulige udfald

Så sandsynlighed er et tal mellem 0 og 1.

Sandsynligheden er 0, hvis hændelsen er umulig.

Sandsynligheden er 1, hvis hændelsen er sikker.

Lad os løse problemet mundtligt: Der står 20 bøger på en reol, hvoraf 3 er opslagsbøger. Hvad er sandsynligheden for, at en bog taget fra en hylde ikke bliver en opslagsbog?

Løsning:

Det samlede antal lige mulige udfald er 20

Antal gunstige resultater – 20 – 3 = 17

Svar: 0,85.

2. At få ny viden.

Lad os nu vende tilbage til emnet for vores lektion: "Sandsynligheder for begivenheder", lad os underskrive det i vores notesbøger.

Formål med lektionen: Lær at løse problemer med at finde sandsynligheden, når du kaster en terning eller 2 terninger.

Vores emne i dag er relateret til terningerne eller det kaldes også terninger. Terninger har været kendt siden oldtiden. Terningespillet er en af de ældste terninger, der blev fundet i Egypten, og de dateres tilbage til det 20. århundrede f.Kr. e. Der er mange varianter, fra simple (kasteren vinder mere point) til komplekse, hvor du kan bruge forskellige spiltaktikker.

De ældste knogler går tilbage til det 20. århundrede f.Kr. e. opdaget i Theben. Oprindeligt fungerede knogler som redskaber til spådom. Ifølge arkæologiske udgravninger blev der spillet terninger overalt i alle hjørner af kloden. Navnet kommer fra det oprindelige materiale - dyreknogler.

De gamle grækere troede, at Lydianerne opfandt knogler for at undslippe sult, for i det mindste at optage deres sind med noget.

Terningespillet blev afspejlet i gammel egyptisk, græsk-romersk og vedisk mytologi. Nævnt i Bibelen, "Iliaden", "Odyssey", "Mahabharata", samlingen af vediske salmer "Rigveda". I gudernes pantheoner var mindst én gud ejer af terninger som en integreret egenskab http://ru.wikipedia.org/wiki/%CA%EE%F1%F2%E8_%28%E8%E3%F0%E0%29 - cite_note-2 .

Efter Romerrigets fald spredte spillet sig over hele Europa, og var især populært i middelalderen. Da terninger ikke kun blev brugt til at spille, men også til spådom, forsøgte kirken gentagne gange at forbyde spillet til dette formål, men alle forsøg endte i fiasko.

Ifølge arkæologiske data blev der også spillet terninger i det hedenske Rus. Efter dåben forsøgte den ortodokse kirke at udrydde spillet, men blandt almuen forblev det populært, i modsætning til i Europa, hvor den højeste adel og endda gejstligheden gjorde sig skyldig i at spille terninger.

Krig erklæret af myndighederne forskellige lande Terningespillet har givet anledning til mange forskellige snydetricks.

I oplysningstiden begyndte hobbyen for at spille terninger gradvist at falde, folk udviklede nye hobbyer og blev mere interesseret i litteratur, musik og maleri. Nu om dage er det ikke så udbredt at spille terninger.

Korrekte terninger giver lige chance for at lande en side. For at gøre dette skal alle kanter være ens: glatte, flade, have det samme område, afrundinger (hvis nogen), huller skal bores i samme dybde. Summen af point på modsatte sider er 7.

En matematisk terning, som bruges i sandsynlighedsteori, er et matematisk billede af en almindelig terning. Matematisk knoglen har ingen størrelse, ingen farve, ingen vægt osv.

Når man kaster spiller knogler(terning) enhver af dens seks flader kan falde ud, dvs. nogen af begivenheder- tab fra 1 til 6 point (point). Men ingen to og flere ansigter kan ikke vises samtidigt. Sådan begivenheder kaldes inkompatible.

Overvej tilfældet, når 1 terning kastes. Lad os lave nummer 2 i form af en tabel.

Overvej nu det tilfælde, hvor der kastes 2 terninger.

Hvis den første terning kaster et point, så kan den anden terning kaste 1, 2, 3, 4, 5, 6. Vi får parrene (1;1), (1;2), (1;3), (1) ;4), (1;5), (1;6) og så videre med hvert ansigt. Alle sager kan præsenteres i form af en tabel med 6 rækker og 6 kolonner:

Elementære begivenhedstabel

Der ligger en konvolut på dit skrivebord.

Tag arket med opgaverne fra kuverten.

Nu skal du udføre en praktisk opgave ved at bruge tabellen over elementære begivenheder.

Vis med skygge de begivenheder, der favoriserer begivenhederne:

Opgave 1. "Samme antal point faldt";

1; 1	2; 1	3; 1	4; 1	5; 1	6; 1
1; 2	2; 2	3; 2	4; 2	5; 2	6; 2
1; 3	2; 3	3; 3	4; 3	5; 3	6; 3
1; 4	2; 4	3; 4	4; 4	5; 4	6; 4
1; 5	2; 5	3; 5	4; 5	5; 5	6; 5
1; 6	2; 6	3; 6	4; 6	5; 6	6; 6

Opgave 2. "Summen af point er 7";

1; 1	2; 1	3; 1	4; 1	5; 1	6; 1
1; 2	2; 2	3; 2	4; 2	5; 2	6; 2
1; 3	2; 3	3; 3	4; 3	5; 3	6; 3
1; 4	2; 4	3; 4	4; 4	5; 4	6; 4
1; 5	2; 5	3; 5	4; 5	5; 5	6; 5
1; 6	2; 6	3; 6	4; 6	5; 6	6; 6

Opgave 3. "Summen af point er ikke mindre end 7."

Hvad betyder "ikke mindre"? (Svaret er "større end eller lig med")

1; 1	2; 1	3; 1	4; 1	5; 1	6; 1
1; 2	2; 2	3; 2	4; 2	5; 2	6; 2
1; 3	2; 3	3; 3	4; 3	5; 3	6; 3
1; 4	2; 4	3; 4	4; 4	5; 4	6; 4
1; 5	2; 5	3; 5	4; 5	5; 5	6; 5
1; 6	2; 6	3; 6	4; 6	5; 6	6; 6

Lad os nu finde sandsynligheden for begivenheder, for hvilke praktisk arbejde Gunstige begivenheder blev skygget.

Lad os skrive det ned i notesbøger nr. 3

Opgave 1.

Samlet antal resultater - 36

Svar: 1/6.

Opgave 2.

Samlet antal resultater - 36

Antal gunstige resultater - 6

Svar: 1/6.

Opgave 3.

Samlet antal resultater - 36

Antal gunstige resultater - 21

P = 21/36 = 7/12.

Svar: 7/12.

№4. Sasha og Vlad spiller terninger. Alle slår terningen to gange. Den med det højeste antal point vinder. Hvis pointene er lige, ender spillet uafgjort. Sasha var den første til at kaste terningerne, og han fik 5 point og 3 point. Nu kaster Vlad terningerne.

a) I tabellen over elementære begivenheder skal du angive (ved at skygge) de elementære begivenheder, der favoriserer begivenheden "Vlad vil vinde."

b) Find sandsynligheden for begivenheden "Vlad vinder".