Hvilket sæt er en forening af sæt. "Systemteori og systemanalyse

En operation på sæt er en regel, som et resultat af hvilken et nyt sæt entydigt opnås fra givne sæt.

Lad os betegne en vilkårlig operation med *. Sæt opnået fra givne sæt A og B, skrevet i formen A*B. Det resulterende sæt og selve operationen kaldes normalt ét led.

Kommentar. For grundlæggende numeriske operationer bruges to udtryk: den ene betegner selve operationen som en handling, den anden betegner det tal, der opnås efter at have udført handlingen. For eksempel kaldes operationen angivet med + addition, og tallet som følge af addition kaldes en sum af tal. Tilsvarende tegnet for multiplikationsoperationen og resultatet a b - produkt af tal a og b. Men mindre ofte tages denne forskel ikke i betragtning, og de siger "Overvej summen af tal", hvilket betyder ikke et specifikt resultat, men selve operationen.

Vejkrydsdrift.Skæringspunktet mellem sæt A og B AglV, bestående af alle objekter, som hver tilhører begge sæt EN Og I samtidigt.

Med andre ord, AsV - er sættet af alle.g sådan at heA Og heV:

Merge operation.Sammenslutning af sæt A og B kaldes et sæt betegnet med A" og B, bestående af alle objekter, som hver tilhører mindst ét sæt EN eller I.

Foreningsoperationen er nogle gange angivet med et +-tegn og kaldes sæt addition.

Forskelsoperationer.Forskellen mellem sæt A og B kaldes et sæt betegnet med AB, bestående af alle objekter, som hver især ligger i EN, men lyver ikke I.

Udtryk ApV Læs "EN i kryds med I», AkjB- ”Og i forening med B", AB - "A uden I".

Eksempel 7.1.1. Lade EN = {1, 3,4, 5, 8,9}, I = {2,4, 6, 8}.

Derefter AkjB= (1,2, 3,4, 5, 6, 8, 9), AcB=( 4,8}, AB= (1,3, 5, 9), YAL = (2,6)."

Baseret på disse operationer kan yderligere to vigtige operationer identificeres.

Tilføjelsesoperation. Lade AqS. Så forskellen S.A. hedder tilføjelse af sæt A til S og er udpeget Som.

Lad ethvert sæt under overvejelse være en delmængde af et sæt U. Tilføjelse til et sådant fast (i forbindelse med løsning af et bestemt problem) sæt U simpelthen betyde EN. Notationen bruges også SA, Med A, A."

Eksempel 7.1.2. Komplementet af sættet (1, 3,4, 5, 8, 9) til sættet af alle decimalcifre er (0, 2, 6, 7).

Komplementering af sættet Q til sættet R der er et sæt af 1.

Komplementet af et sæt kvadrater til et sæt rektangler er mængden af alle rektangler med uens tilstødende sider.

Vi ser, at operationerne af forening, skæring og komplement af sæt svarer til de logiske operationer af disjunktion, konjunktion og negation.

Symmetrisk forskelsoperation.Den symmetriske forskel mellem sæt A og B kaldes et sæt betegnet med A®B, bestående af alle objekter, som hver især hører til præcis et af sættene A og B:

Det er let at se, at den symmetriske forskel er foreningen af to sæt AB Og VA. Det samme sæt kan fås, hvis vi først kombinerer sættene EN Og I, og fjern derefter fra sættet fælles elementer.

Eksempel 7.1.3. Lad reelle tal angives a Så for de tilsvarende numeriske intervaller har vi:

Bemærk, at siden segmentet [EN; b] indeholder et nummer c> og intervallet (c;d) punkt Med indeholder ikke nummeret Med ligger i forskellen [EN; b] uden [med; jfr. Men forskellen, for eksempel (2;5), indeholder ikke tallet 3, da det ligger i segmentet. Vi har (2;5)=(2;3).

Lad usammenhængende sæt gives EN Og I. Da n er tegnet for skæringsoperationen, så indtastningen A(bb ukorrekt. Det er også forkert at sige, at sæt ikke har noget skæringspunkt. Der er altid et kryds, det er defineret for alle sæt. At sættene ikke krydser hinanden betyder, at deres skæringspunkt er tomt (det vil sige, ved at udføre den angivne operation får vi et tomt sæt). Hvis mængderne skærer hinanden, er deres skæringspunkt ikke tomt. Vi konkluderer:

Lad os generalisere operationerne af intersection union til tilfældet, når der er mere end to sæt.

Lad systemet være givet TIL sæt. Skæringspunktet mellem sæt af et givet system er mængden af alle elementer, som hver ligger i alle sæt af deres TIL.

Unionen af sæt af et givet system er mængden af alle elementer, som hver ligger i mindst et sæt af dem TIL.

Lad sæt af systemet TIL nummereret efter elementer i en eller anden indeksfamilie /. Derefter ethvert sæt af TIL kan udpeges EN,-, Hvor iel. Hvis mængden er endelig, bruges sættet af de første som / naturlige tal(1,2,...,og). Generelt kan / være uendelig.

Så i det generelle tilfælde foreningen af sæt EN for alle iel betegne (J EN( , og krydset - f]A i.

Lad helheden TIL endelig altså K= I dette tilfælde

skrive AyjA 2 v...KjA„ Og AG4 2 (^---G4p-

Eksempel 7.1.4. Lad os overveje intervallerne for tallinjen А| = [-oo;2], L2=H°; 3], L3 = ?

Løsning.

Lad os konstruere geometriske billeder af talsæt A og B:

Grænsepunkterne for de givne mængder deler tallinjen i følgende mængder: (−∞, −4) , (−4) , (−4, −2) , (−2) , (−2, 1) , ( 1), (1, 3), (3), (3, 5), (5), (5, +∞).

Det er let at se, at det numeriske sæt A kan "samles" fra de netop skrevet mængder ved at kombinere (−2), (1, 3), (3) og (3, 5) . For at finde skæringspunktet mellem sæt A og B er det nok at kontrollere, om sidstnævnte sæt er inkluderet i sæt B. De af dem, der indgår i B, vil udgøre det ønskede kryds. Lad os udføre den passende kontrol.

Det er klart, at (−2) er inkluderet i mængden B (da punktet med koordinat −2 er et indre punkt i segmentet [−4, 3]). Intervallet (1, 3) er også inkluderet i B (der er en luge over det). Sæt (3) er også inkluderet i B (punktet med koordinat 3 er et grænse og ikke-punkteret punkt for mængden B). Og intervallet (3, 5) er ikke inkluderet i det numeriske sæt B (der er ingen skygge over det). Efter at have markeret konklusionerne på tegningen, vil den antage denne form

Således er den ønskede skæring af to oprindelige numeriske mængder A og B foreningen af følgende sæt (−2), (1, 3) , (3) , som kan skrives som (−2)∪(1, 3] .

Svar:

{−2}∪(1, 3] .

Tilbage er kun at diskutere, hvordan man finder krydset og foreningen af tre og mere nummersæt. Dette problem kan reduceres til sekventielt at finde skæringspunktet og foreningen af to sæt: først det første med det andet, derefter det opnåede resultat med det tredje, derefter det opnåede resultat med det fjerde, og så videre. Eller du kan bruge en algoritme, der ligner den allerede annoncerede. Dens eneste forskel er, at kontrollen af forekomsten af intervaller og sæt bestående af individuelle tal skal udføres ikke af to, men af alle indledende sæt. Lad os overveje et eksempel på at finde skæringspunktet og foreningen af tre sæt.

Eksempel.

Find skæringspunktet og foreningen af tre talsæt A=(−∞, 12] , B=(−3, 25] , D=(−∞, 25)∪(40) .

Løsning.

Først, som sædvanlig, skildrer vi nummersæt på koordinatlinjer, og til venstre for dem placerer vi en krøllet parentes, der angiver skæringspunktet, og en firkantet parentes for forening, og nedenfor skildrer vi koordinatlinjer med grænsepunkterne for numeriske sæt markeret med streger:

Så koordinatlinjen viser sig at være repræsenteret af numeriske mængder (−∞, −3), (−3) , (−3, 12) , (12) , (12, 25) , (25) , (25, 40) ), (40), (40, ∞).

Vi begynder at søge efter kryds for at gøre dette, ser vi på skift for at se, om de optagede sæt er inkluderet i hvert af sættene A, B og D. Alle tre indledende numeriske sæt inkluderer intervallet (−3, 12) og sættet (12). De udgør det ønskede skæringspunkt mellem sættene A, B og D. Vi har A∩B∩D=(−3, 12] .

Til gengæld vil den ønskede forening bestå af sættene (−∞, −3) (inkluderet i A), (−3) (inkluderet i A), (−3, 12) (inkluderet i A), (12) ( inkluderet i A ), (12, 25) (inkluderet i B ), (25) (inkluderet i B ) og (40) (inkluderet i D ). Således er A∪B∪D=(−∞, 25]∪(40) .

Svar:

A∩B∩D=(−3, 12] , A∪B∪D=(−∞, 25]∪(40) .

Afslutningsvis bemærk, at skæringspunktet mellem talsæt ofte er det tomme sæt. Dette svarer til tilfælde, hvor de originale sæt ikke har elementer, der samtidig hører til dem alle.

(10, 27), (27), (27, +∞). Ingen af de skrevne sæt indgår samtidigt i de fire originale sæt, hvilket betyder, at skæringspunktet mellem sættene A, B, D og E er det tomme sæt.

Svar:

A∩B∩D∩E=∅.

Bibliografi.

Algebra: lærebog for 8. klasse. almen uddannelse institutioner / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; redigeret af S. A. Telyakovsky. - 16. udg. - M.: Uddannelse, 2008. - 271 s. : syg. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Mordkovich A.G. Algebra. 9. klasse. Om 2 timer Del 1. Lærebog for studerende ved almene uddannelsesinstitutioner / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13. udg., slettet. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 s.: ill. ISBN 978-5-346-01752-3.

I matematik er begrebet mængde et af de vigtigste, grundlæggende, men der er ingen enkelt definition på mængde. En af de mest veletablerede definitioner af et sæt er følgende: et sæt er enhver samling af bestemte og distinkte objekter, der kan opfattes som en enkelt helhed. Skaberen af mængdeteori, den tyske matematiker Georg Cantor (1845-1918), sagde dette: "En mængde er mange ting, som vi tænker på som en helhed."

Sæt som datatype har vist sig at være meget praktisk til programmering af komplekse livssituationer, da de kan bruges til nøjagtigt at modellere objekter i den virkelige verden og kompakt vise komplekse logiske relationer. Sæt bruges i programmeringssproget Pascal, og vi vil se på et eksempel på en løsning nedenfor. Derudover blev konceptet relationelle databaser baseret på mængdeteori skabt, og baseret på operationer på sæt - relationel algebra og dens operationer- bruges i databaseforespørgselssprog, især SQL.

Eksempel 0 (Pascal). Der sælges et udvalg af produkter i flere butikker i byen. Bestem: hvilke produkter er tilgængelige i alle butikker i byen; komplet udvalg af produkter i byen.

Løsning. Vi definerer en grundlæggende datatype Fødevarer (produkter), den kan tage værdier, der svarer til navnene på produkter (for eksempel hleb). Vi erklærer en sættype; den definerer alle delmængder, der består af kombinationer af værdier af basistypen, det vil sige mad. Og vi danner undergrupper: butikker "Solnyshko", "Veterok", "Ogonyok", såvel som afledte undergrupper: MinFood (produkter, der er tilgængelige i alle butikker), MaxFood (et komplet udvalg af produkter i byen). Dernæst foreskriver vi operationer for at opnå afledte delmængder. MinFood-delmængden opnås som et resultat af skæringspunktet mellem Solnyshko, Veterok og Ogonyok-delmængderne og inkluderer dem og kun de elementer af disse undermængder, der er inkluderet i hver af disse undermængder (i Pascal er operationen af skæringspunktet mellem sæt angivet med en stjerne: A * B * C, den matematiske betegnelse for skæringspunktet mellem mængder er givet nedenfor). MaxFood-delmængden opnås ved at kombinere de samme undermængder og inkluderer elementer, der er inkluderet i alle undermængder (i Pascal er operationen af at kombinere mængder angivet med plustegnet: A + B + C, den matematiske betegnelse for at kombinere mængder er givet nedenfor ).

Kode PASCAL

Program Butikker;

type Mad=(hleb, moloko, myaso, syr, sol, sukker, maslo, ryba);

Butik = sæt Mad;

var Solnyshko, Veterok, Ogonyok, MinFood, MaxFood: Butik;

Begynd Solnyshko:=;

Veterok:=;

Ogonyok:=;

... MinFood:=Solnyshko * Veterok * Ogonyok;

MaxFood:=Solnyshko + Veterok + Ogonyok; Ende. En mængde, der ikke er endelig, kaldes uendelig. For eksempel er mængden af alle naturlige tal en uendelig mængde.

Hvis M- meget, og -en- dets element, så skriver de: -en∈M, hvilket betyder " -en hører til sættet M".

Fra det første (nul) eksempel i Pascal med produkter, der er tilgængelige i visse butikker:

hleb∈VETEROK ,

hvilket betyder: elementet "hleb" hører til mange produkter, der er tilgængelige i "VETEROK" butikken.

Der er to hovedmåder at definere sæt: opregning og beskrivelse.

Et sæt kan defineres ved at angive alle dets elementer, for eksempel:

VETEROK = {hleb, syr, smør} ,

EN = {7 , 14 , 28 } .

En opregning kan kun definere en endelig mængde. Selvom du kan gøre dette med en beskrivelse. Men uendelige mængder kan kun defineres ved beskrivelse.

Følgende metode bruges til at beskrive sæt. Lade s(x) - et udsagn, der beskriver egenskaberne for en variabel x, hvis rækkevidde er sættet M. Så igennem M = {x | s(x)} betegner mængden, der består af alle disse og kun de elementer, for hvilke udsagnet s(x) er sandt. Dette udtryk lyder således: "Mange M, bestående af alle sådanne x, Hvad s(x) ".

For eksempel optage

M = {x | x² - 3 x + 2 = 0}

Eksempel 6. Ifølge en undersøgelse blandt 100 markedskøbere, der købte citrusfrugter, blev appelsiner købt af 29 købere, citroner - 30 købere, mandariner - 9, kun mandariner - 1, appelsiner og citroner - 10, citroner og mandariner - 4, alle tre typer af frugt - 3 købere. Hvor mange kunder har ikke købt nogen af de citrusfrugter, der er anført her? Hvor mange kunder købte kun citroner?

Drift af kartesisk produkt af sæt

For at definere en anden vigtig operation på sæt - Kartesisk produkt af sæt Lad os introducere konceptet med et ordnet sæt længder n.

Længden af sættet er nummeret n dens komponent. Et sæt sammensat af elementer taget i nøjagtig denne rækkefølge er angivet . Hvori jeg i () sæt komponent er .

Nu vil der følge en streng definition, som måske ikke er umiddelbart klar, men efter denne definition vil der være et billede, hvorfra det vil blive klart, hvordan man opnår det kartesiske produkt af sæt.

Kartesisk (direkte) produkt af sæt kaldes et sæt betegnet med og består af alle disse og kun disse sæt af længde n, jeg-th komponent, som hører til .

For eksempel, hvis , , ,

- (sum af mængder) begrebet mængdelære; forening af mængder er et sæt bestående af alle de elementer, som hver især tilhører mindst et af de givne sæt. Foreningen af sæt A og B er angivet med AUB eller A+B...

- (sum af mængder), begrebet mængdelære; forening af mængder er et sæt bestående af de elementer, som hver især tilhører mindst et af de givne sæt. Foreningen af mængderne A og B er angivet med A + B. * * * FORBINDELSE AF MÆNGDE... ... encyklopædisk ordbog

- (sum af mængder), begrebet mængdelære; O. m. et sæt bestående af de elementer, som hver tilhører mindst et af de givne sæt. O. m. A og B betegner A UB eller A + B ... Naturvidenskab. encyklopædisk ordbog

Forening af A og B Foreningen af mængder (også sum eller sammenhæng) i mængdeteori er en mængde, der indeholder alle elementerne i de oprindelige mængder. Foreningen af to sæt A og B betegnes normalt, men nogle gange kan du finde den skrevet i formen... ... Wikipedia

Den gren af matematik, hvor de studerer generelle egenskaber sæt, for det meste uendelige. begrebet et sæt er det enkleste matematiske begreb, det er ikke defineret, men kun forklaret ved hjælp af eksempler: mange bøger på en hylde, mange punkter... Stor encyklopædisk ordbog

En gren af matematikken, der studerer de generelle egenskaber af mængder, især uendelige. Begrebet et sæt er det enkleste matematiske begreb, det er ikke defineret, men kun forklaret ved hjælp af eksempler: mange bøger på en hylde, mange... ... encyklopædisk ordbog

En matematisk teori, der studerer problemet med uendelighed med præcise midler. Emne M. l. egenskaber ved sæt (samlinger, klasser, ensembler), kap. arr. endeløs. Et sæt A er enhver samling af definerede og skelnelige objekter... Ordbog over logiske termer

Association: Wiktionary har en artikel "forening" Association er en type organisation ... Wikipedia

Mængdeori er en gren af matematikken, der studerer mængders generelle egenskaber. Mængdelære ligger til grund for de fleste matematiske discipliner; det havde en dybtgående indflydelse på forståelsen af selve matematikfaget. Indhold 1 Teori ... ... Wikipedia

Association er et polysemantisk udtryk, der er en del af komplekse termer. Wiktionary har en post for "forening." En forening almindeligt navn store militærformationer ... Wikipedia

Bøger

Tæller til 20. Arbejdsbog for børn 6 - 7 år. Federal State Educational Standard of Education, Shevelev Konstantin Valerievich. Arbejdsbog Designet til at arbejde med børn 6-7 år. Bidrager til opnåelse af målene for kognitionsblokken ved at danne elementært matematiske fremstillinger. Metodisk...

Lektionens mål:

uddannelsesmæssigt: udvikling af evnen til at identificere sæt og delmængder; udvikle færdigheder i at finde området for skæringspunkter og forening af sæt i billeder og navngivning af elementer fra dette område, løse problemer;
udvikle: udvikling kognitiv interesse studerende; udvikling af individets intellektuelle sfære, udvikling af færdigheder til at sammenligne og generalisere.
pædagogisk: at dyrke nøjagtighed og opmærksomhed, når der træffes beslutninger.

Under timerne.

1. Organisatorisk øjeblik.

2. Læreren bekendtgør undervisningens emne og formulerer sammen med eleverne mål og målsætninger.

3. Læreren husker sammen med eleverne det undersøgte materiale om emnet "Sættes" i 7. klasse, introducerer nye begreber og definitioner, formler til problemløsning.

"Flere er mange ting, som vi tænker på som én" (grundlægger af mængdelære - Georg Cantor). Georg CANTOR (1845-1918) - Tysk matematiker, logiker, teolog, skaberen af teorien om transfinite (uendelige) mængder, som havde en afgørende indflydelse på udviklingen af matematiske videnskaber i begyndelsen af det 19. og 20. århundrede.

Sæt er et af de grundlæggende begreber i moderne matematik, der bruges i næsten alle dets sektioner.

Desværre kan teoriens grundbegreb – begrebet mængde – ikke gives en streng definition. Selvfølgelig kan vi sige, at et sæt er et "sæt", "samling", "ensemble", "samling", "familie", "system", "klasse" osv. men alt dette ville ikke være en matematisk definition, men derimod misbrug af det russiske sprogs ordforrådsrigdom.

For at definere ethvert begreb er det først og fremmest nødvendigt at angive, hvilken konkret sag der er mest generelt koncept, det er, for begrebet en mængde er dette umuligt, fordi der ikke er noget mere generelt begreb end en mængde i matematik.

Ofte er vi nødt til at tale om flere ting, der er forenet af en karakteristik. Så vi kan tale om sættet af alle stole i rummet, sættet af alle celler menneskelige legeme, om mængden af alle kartofler i en given pose, om mængden af alle fisk i havet, om mængden af alle kvadrater på et fly, om mængden af alle punkter på en given cirkel osv.

De objekter, der udgør et givet sæt, kaldes dets elementer.

For eksempel består mange ugedage af elementerne: mandag, tirsdag, onsdag, torsdag, fredag, lørdag, søndag.

Mange måneder - fra elementerne: januar, februar, marts, april, maj, juni, juli, august, september, oktober, november, december.

En masse aritmetiske operationer- fra elementerne: addition, subtraktion, multiplikation, division.

For eksempel, hvis A betyder mængden af alle naturlige tal, så hører 6 til A, men 3 hører ikke til A.

Hvis A er mængden af alle årets måneder, så hører maj til A, men onsdag hører ikke til A.

Hvis et sæt indeholder et endeligt antal elementer, så kaldes det endeligt, og hvis det har uendeligt mange elementer, så kaldes det uendeligt. Så mængden af træer i en skov er begrænset, men mængden af punkter på en cirkel er uendelig.

Paradoks i logik- dette er en selvmodsigelse, der har status som en logisk korrekt konklusion, og som samtidig repræsenterer ræsonnementer, der fører til gensidigt udelukkende konklusioner.

Som allerede nævnt er begrebet mængde i kernen af matematik. Ved hjælp af de enkleste sæt og forskellige matematiske konstruktioner kan du konstruere næsten ethvert matematisk objekt. Ideen om at konstruere al matematik på basis af mængdeteori blev aktivt fremmet af G. Cantor. Men i al sin enkelhed er begrebet sæt fyldt med faren for modsætninger eller, som de også siger, paradokser. Forekomsten af paradokser skyldes det faktum, at ikke alle konstruktioner og ikke alle sæt kan tages i betragtning.

Det enkleste af paradokser er " barber paradoks".

En soldat blev beordret til at barbere dem og kun de soldater i hans deling, som ikke barberede sig. Undladelse af at adlyde ordrer i hæren, som det er kendt, grusom forbrydelse. Spørgsmålet opstod dog, om denne soldat skulle barbere sig. Hvis han barberer sig, så skal han klassificeres blandt de mange soldater, der barberer sig, og han har ingen ret til at barbere sådanne mennesker. Hvis han ikke barberer sig, vil han ende blandt mange soldater, der ikke barberer sig, og ifølge ordren er han forpligtet til at barbere sådanne soldater. Paradoks.

På mængder, som på mange andre matematiske objekter, kan du udføre forskellige operationer, som nogle gange kaldes mængdeteoretiske operationer eller mængdeoperationer. Som et resultat af operationer opnås nye sæt fra de originale sæt. Sæt er angivet med store bogstaver med latinske bogstaver, og deres elementer er små bogstaver. Optage -en R betyder, at elementet EN hører til sættet R, det er EN R. Ellers hvornår EN hører ikke til sættet R, de skriver -en R .

To sæt EN Og I hedder lige (EN =I), hvis de består af de samme elementer, det vil sige hvert element i sættet EN er en del af sættet I og omvendt, hvert element i sættet I er en del af sættet EN .

Sammenligning af sæt.

Et sæt A er indeholdt i et sæt B (et sæt B inkluderer et sæt A), hvis hvert element i A er et element af B:

De siger, at der er mange EN indeholdt i mange I eller mange EN er delmængde sæt I(i dette tilfælde skriver de EN I), hvis hvert element i sættet EN er samtidig et element i sættet I. Denne afhængighed mellem sæt kaldes tænder . Til ethvert sæt EN indeslutninger forekommer: Ø EN Og EN EN

I dette tilfælde EN hedder delmængde B, B - supersæt A. Hvis, så EN hedder eget undersæt I. Læg mærke til det ,

A-priory,

De to sæt kaldes lige, hvis de er delmængder af hinanden

Indstil operationer

Vejkryds.

En forening.

Ejendomme.

1. Funktionen af at kombinere sæt er kommutativ

2. Funktionen af at kombinere sæt er transitiv

3. Det tomme sæt X er et neutralt element i sætunionens drift

1. Lad A = (1,2,3,4),B = (3,4,5,6,7). Derefter

2. A = (2,4,6,8,10), B = (3,6,9,12). Lad os finde foreningen og skæringspunktet mellem disse sæt:

{2,4,6,8, 10,3,6,9,12}, = {6}.

3. Sættet af børn er en delmængde af hele befolkningen

4. Skæringspunktet mellem et sæt af heltal og et sæt positive tal er mængden af naturlige tal.

5. Ved at kombinere sættet rationelle tal med mængden af irrationelle tal er mængden af positive tal.

6. Nul er komplementet af mængden af naturlige tal i forhold til mængden af ikke-negative heltal.

Venn diagrammer(Venn diagrammer) - den generelle betegnelse for en række visualiseringsmetoder og grafiske illustrationsmetoder, der er meget udbredt inden for forskellige områder af videnskab og matematik: mængdelære, faktisk "Venn diagram" viser alle mulige forhold mellem sæt eller begivenheder fra en bestemt familie; sorter Venn diagram tjene: Euler diagrammer,

Venn diagram af fire sæt.

Rent faktisk "Venn diagram" viser alle mulige relationer mellem sæt eller begivenheder fra en bestemt familie. Et typisk Venn-diagram har tre sæt. Venn selv forsøgte at finde elegant måde med symmetriske former, der repræsenterer i diagrammet større antal sæt, men han var kun i stand til at gøre dette i fire sæt (se figuren til højre) ved hjælp af ellipser.

Euler diagrammer

Euler-diagrammer ligner Venn-diagrammer kan bruges til at evaluere plausibiliteten af mængdeteoretiske identiteter.

Opgave 1. Der er 30 personer i klassen, som hver synger eller danser. Det er kendt, at 17 personer synger, og 19 personer kan danse. Hvor mange mennesker synger og danser på samme tid?

Løsning: Lad os først bemærke, at ud af 30 personer kan 30 - 17 = 13 personer ikke synge.

De ved alle, hvordan man danser, fordi... Alt efter betingelsen synger eller danser hver elev i klassen. I alt kan 19 personer danse, 13 af dem kan ikke synge, hvilket betyder at 19-13 = 6 personer kan danse og synge på samme tid.

Problemer, der involverer skæring og forening af sæt.

Givet sæt A = (3,5, 0, 11, 12, 19), B = (2,4, 8, 12, 18,0).
Find sættene AU B,
Lav mindst syv ord, hvis bogstaver udgør delmængder af sættet
A - (k, a, p, y, s, e, l, b).
Lad A være mængden af naturlige tal, der er delelig med 2, og B mængden af naturlige tal, der er delelig med 4. Hvilken konklusion kan man drage vedrørende disse mængder?
Virksomheden beskæftiger 67 medarbejdere. Heraf kender 47 engelsk sprog, 35 er tysk, og 23 er begge sprog. Hvor mange personer i virksomheden kan ikke hverken engelsk eller tyske sprog?
Af de 40 elever i vores klasse kan 32 lide mælk, 21 lide limonade og 15 kan lide både mælk og limonade. Hvor mange børn i vores klasse kan ikke lide mælk eller limonade?
12 af mine klassekammerater kan godt lide at læse krimier, 18 elsker science fiction, tre nyder at læse begge dele, og én læser slet ikke noget. Hvor mange elever er der i vores klasse?
Af de 18 af mine klassekammerater, der kan lide at se thrillere, er kun 12 ikke afvisende over for at se tegnefilm. Hvor mange af mine klassekammerater ser kun "tegnefilm", hvis der i alt er 25 elever i vores klasse, som hver især kan lide at se enten thrillere eller tegnefilm eller begge dele?
Af de 29 drenge i vores gård er det kun to, der ikke dyrker sport, og resten deltager i fodbold- eller tennisafdelinger, eller endda begge dele. 17 drenge spiller fodbold, og 19 drenge spiller tennis. Hvor mange fodboldspillere spiller tennis? Hvor mange tennisspillere spiller fodbold?
65 % af bedstemors kaniner elsker gulerødder, 10 % elsker både gulerødder og kål. Hvor mange procent af kaniner vil gerne spise kål?
Der er 25 elever i en klasse. Af disse elsker 7 pærer, 11 elsker kirsebær. To elsker pærer og kirsebær; 6 - pærer og æbler; 5 - æbler og kirsebær. Men der er to elever i klassen, der elsker alt, og fire, der slet ikke kan lide frugt. Hvor mange elever i denne klasse kan lide æbler?
22 piger deltog i skønhedskonkurrencen. Af disse var 10 smukke, 12 var smarte og 9 var søde. Kun 2 piger var både smukke og smarte; De 6 piger var smarte og søde på samme tid. Bestem, hvor mange smukke og samtidig venlige piger, der var, hvis jeg fortæller dig, at der blandt deltagerne ikke var en eneste smart, venlig og på samme tid smuk pige?
Der er 35 elever i vores klasse. I løbet af første kvartal havde 14 elever A-karakterer i russisk; i matematik - 12; i historie - 23. I russisk og matematik - 4; i matematik og historie - 9; i russisk sprog og historie - 5. Hvor mange elever har A'er i alle tre fag, hvis der ikke er en enkelt elev i klassen, som ikke har A i mindst et af disse fag?
Ud af 100 personer kan 85 engelsk, 80 taler spansk, 75 taler tysk. Alle taler mindst ét fremmedsprog. Blandt dem er der ingen, der kan to fremmedsprog, men der er dem, der taler tre sprog. Hvor mange af disse 100 mennesker taler tre sprog?
Af virksomhedens ansatte besøgte 16 Frankrig, 10 - Italien, 6 - England; i England og Italien - 5; i England og Frankrig - 6; i alle tre lande - 5 ansatte. Hvor mange mennesker besøgte både Italien og Frankrig, hvis i alt 19 personer arbejder i virksomheden, og hver af dem besøgte mindst et af disse lande?