Find den afledede: Algoritme og eksempler på løsninger. Afledt af en funktion

Afledning af derivatformlen power funktion(x i a potensen). Afledte fra rødder af x overvejes. Formel for afledet af en højere ordens potensfunktion. Eksempler på beregning af derivater.

Den afledte af x i potensen af a er lig med a gange x i potensen af en minus en:
(1) .

Den afledte af den n'te rod af x til mth potens er:
(2) .

Afledning af formlen for den afledede af en potensfunktion

Tilfælde x > 0

Overvej en potensfunktion af variablen x med eksponent a:
(3) .
Her er a et vilkårligt reelt tal. Lad os først overveje sagen.

For at finde den afledede af funktion (3) bruger vi egenskaberne af en potensfunktion og transformerer den til følgende form:
.

Nu finder vi den afledte ved hjælp af:
;
.
Her .

Formel (1) er blevet bevist.

Afledning af formlen for afledningen af en rod af grad n af x til graden af m

Overvej nu en funktion, der er roden til følgende form:
(4) .

For at finde den afledede transformerer vi roden til en potensfunktion:
.
Sammenligner vi med formel (3) ser vi det
.
Så
.

Ved hjælp af formel (1) finder vi den afledede:
(1) ;
;
(2) .

I praksis er det ikke nødvendigt at huske formel (2). Det er meget mere bekvemt først at transformere rødderne til potensfunktioner og derefter finde deres afledte ved hjælp af formel (1) (se eksempler sidst på siden).

Tilfælde x = 0

Hvis , så er potensfunktionen defineret for værdien af variablen x = 0 . 0 Lad os finde den afledede af funktion (3) ved x =
.

. 0 :
.
For at gøre dette bruger vi definitionen af en afledt:

Lad os erstatte x =
.
I dette tilfælde mener vi med afledt den højre grænse for hvilken .
Så vi fandt:
Så vi fandt:
Heraf er det klart, at for .
(1) .
Kl , . 0 .

Dette resultat er også opnået fra formel (1):< 0

Derfor er formel (1) også gyldig for x =
(3) .
Tilfælde x Overvej funktion (3) igen: For visse værdier af konstanten a er den også defineret for negative værdier variabel x.
,
Nemlig lad en være rationelt tal.

. Så kan det repræsenteres som en irreducerbar brøk: 3 hvor m og n er heltal uden 1 fælles divisor
.
Hvis n er ulige, er potensfunktionen også defineret for negative værdier af variablen x.

For eksempel, når n = og m = vi har terningroden af x:
.
Det er også defineret for negative værdier af variablen x.
.
Vi finder den afledede ved at placere konstanten uden for fortegnet for den afledede og anvende reglen for at differentiere en kompleks funktion:

.
Her . Men
.
Siden da
.
Så
.
Det vil sige, formel (1) er også gyldig for:
(1) .

Afledte af højere orden

Lad os nu finde højere ordens afledte af potensfunktionen
(3) .
Vi har allerede fundet den første ordens afledte:
.

Tager vi konstanten a uden for fortegnet for den afledede, finder vi andenordens afledte:
.
På samme måde finder vi afledte af tredje og fjerde orden:
;

.

Heraf er det klart, at afledt af vilkårlig n. orden har følgende form:
.

Bemærk det hvis a er et naturligt tal, så er den n'te afledede konstant:
.
Så er alle efterfølgende derivater lig med nul:
,
kl.

Eksempler på beregning af derivater

Eksempel

Find den afledede af funktionen:
.

Løsning

Lad os konvertere rødder til magter:
;
.
Så har den oprindelige funktion formen:
.

Find afledede potenser:
;
.
Den afledede af konstanten er nul:
.

Afledt beregning- en af de vigtigste operationer i differentialregning. Nedenfor er en tabel til at finde afledte af simple funktioner. Mere komplekse regler differentiering, se andre lektioner:

Tabel over afledte eksponentielle og logaritmiske funktioner

Brug de givne formler som referenceværdier. De vil hjælpe med at løse differentialligninger og problemer. På billedet, i tabellen over afledte funktioner af simple funktioner, er der et "snydeark" af de vigtigste tilfælde af at finde et afledt i en form, der er forståelig til brug, ved siden af er der forklaringer for hvert enkelt tilfælde.

Afledninger af simple funktioner

1. Den afledte af et tal er nul
с´ = 0
Eksempel:
5' = 0

Forklaring:
Den afledte viser den hastighed, hvormed værdien af en funktion ændres, når dens argument ændres. Da tallet ikke ændres på nogen måde under nogen betingelser, er ændringshastigheden altid nul.

2. Afledt af en variabel lig med én
x´ = 1

Forklaring:
Med hver stigning af argument (x) med én, øges værdien af funktionen (resultatet af beregninger) med det samme beløb. Således er ændringshastigheden i værdien af funktionen y = x nøjagtigt lig med ændringshastigheden i værdien af argumentet.

3. Afledten af en variabel og en faktor er lig med denne faktor
сx´ = с
Eksempel:
(3x)' = 3
(2x)' = 2
Forklaring:
I dette tilfælde, hver gang funktionsargumentet ændres ( X) dens værdi (y) stiger i Med engang. Således er ændringshastigheden af funktionsværdien i forhold til ændringshastigheden af argumentet nøjagtigt lig med værdien Med.

Hvorfra følger det
(cx + b)" = c
dvs. differentialet for den lineære funktion y=kx+b er lig med hældning hældning af den rette linje (k).

4. Modulo afledt af en variabel lig med kvotienten af denne variabel til dens modul
|x|"= x / |x| forudsat at x ≠ 0
Forklaring:
Da den afledede af en variabel (se formel 2) er lig med én, afviger modulets afledte kun ved, at værdien af ændringshastigheden for funktionen ændres til det modsatte, når man krydser oprindelsespunktet (prøv at tegne en graf af funktionen y = |x| og se selv Dette er præcis hvilken værdi og returnerer udtrykket x / |x|< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - en. Det vil sige, for negative værdier af variablen x, med hver stigning i ændringen i argumentet, falder værdien af funktionen med nøjagtig den samme værdi, og for positive værdier, tværtimod, stiger den, men med nøjagtigt samme værdi.

5. Afledt af en variabel til en potens lig med produktet af et tal af denne potens og en variabel til effekten reduceret med én
(x c)"= cx c-1, forudsat at x c og cx c-1 er defineret og c ≠ 0
Eksempel:
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
At huske formlen:
Flyt graden af variablen ned som en faktor, og reducer derefter selve graden med én. For eksempel, for x 2 - var de to foran x, og så gav den reducerede styrke (2-1 = 1) os simpelthen 2x. Det samme skete for x 3 - vi "flytter ned" triplen, reducerer den med en og i stedet for en terning har vi en firkant, det vil sige 3x 2. Lidt "uvidenskabeligt" men meget let at huske.

6.Afledt af en brøk 1/x
(1/x)" = - 1/x 2
Eksempel:
Da en brøk kan repræsenteres ved at hæve den til negativ grad
(1/x)" = (x -1)", så kan du anvende formlen fra regel 5 i tabellen over afledte
(x -1)" = -1x -2 = -1 / x 2

7. Afledt af en brøk med en variabel af vilkårlig grad i nævneren
(1 / x c)" = - c/x c+1
Eksempel:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3

8. Afledt af roden(afledt af variabel under kvadratrod)
(√x)" = 1 / (2√x) eller 1/2 x -1/2
Eksempel:
(√x)" = (x 1/2)" betyder, at du kan anvende formlen fra regel 5
(x 1/2)" = 1/2 x -1/2 = 1 / (2√x)

9. Afledt af en variabel under roden af en vilkårlig grad
(n √x)" = 1 / (n n √x n-1)

Med denne video begynder jeg en lang række lektioner om derivater. Denne lektion består af flere dele.

Først og fremmest vil jeg fortælle dig, hvad derivater er generelt, og hvordan man beregner dem, men ikke i et sofistikeret akademisk sprog, men den måde, jeg selv forstår det på, og hvordan jeg forklarer det til mine elever. For det andet vil vi overveje den enkleste regel til løsning af problemer, hvor vi vil lede efter afledte af summer, afledte af forskelle og afledte af en potensfunktion.

Vi vil se på mere komplekse kombinerede eksempler, hvorfra du især vil lære, at lignende problemer, der involverer rødder og lige brøker, kan løses ved hjælp af formlen for den afledede af en potensfunktion. Derudover vil der selvfølgelig være mange problemer og eksempler på løsninger for de fleste forskellige niveauer kompleksitet.

Generelt skulle jeg oprindeligt optage en kort 5-minutters video, men du kan se, hvordan det blev. Så nok med teksterne – lad os komme i gang.

Hvad er et derivat?

Så lad os starte på afstand. For mange år siden, da træerne var grønnere og livet var sjovere, tænkte matematikere over dette: overvej en simpel funktion defineret af dens graf, kald den $y=f\left(x \right)$. Grafen eksisterer selvfølgelig ikke alene, så du skal tegne $x$-akserne såvel som $y$-aksen. Lad os nu vælge et hvilket som helst punkt på denne graf, absolut ethvert. Lad os kalde abscissen $((x)_(1))$, ordinaten, som du måske kan gætte, vil være $f\left(((x)_(1)) \right)$.

Lad os se på et andet punkt på den samme graf. Det er lige meget hvilken, det vigtigste er, at den adskiller sig fra den originale. Den har igen en abscisse, lad os kalde den $((x)_(2))$, og også en ordinat - $f\left(((x)_(2)) \right)$.

Så vi har to point: de har forskellige abscisser og derfor forskellige betydninger funktioner, selvom sidstnævnte er valgfrit. Men det, der virkelig er vigtigt, er, at vi ved fra planimetrikurset: gennem to punkter kan du tegne en lige linje og desuden kun en. Så lad os udføre det.

Lad os nu tegne en lige linje gennem den allerførste af dem, parallelt med abscisseaksen. Vi får retvinklet trekant. Lad os kalde det $ABC$, ret vinkel $C$. Denne trekant har en meget interessant ejendom: faktum er, at vinklen $\alpha $ faktisk er lig med den vinkel, hvor den rette linie $AB$ skærer abscissens fortsættelse. Bedøm selv:

den rette linje $AC$ er parallel med $Ox$-aksen ved konstruktion,
linje $AB$ skærer $AC$ under $\alpha $,
derfor skærer $AB$ $Ox$ under den samme $\alpha $.

Hvad kan vi sige om $\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )$? Ikke noget specifikt, bortset fra at i trekanten $ABC$ er forholdet mellem ben $BC$ og ben $AC$ lig med tangenten til netop denne vinkel. Så lad os skrive det ned:

Selvfølgelig er $AC$ i dette tilfælde let beregnet:

Ligeledes for $BC$:

Med andre ord kan vi skrive følgende:

\[\operatørnavn(tg)\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )=\frac(f\left(((x)_(2)) \right)-f\left( ((x)_(1)) \højre))(((x)_(2))-((x)_(1)))\]

Nu hvor vi har fået alt det af vejen, lad os gå tilbage til vores graf og se på nyt punkt$B$. Lad os slette de gamle værdier og tage $B$ et sted tættere på $((x)_(1))$. Lad os igen betegne dens abscisse med $((x)_(2))$, og dens ordinat med $f\left(((x)_(2)) \right)$.

Lad os igen se på vores lille trekant $ABC$ og $\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )$ inde i den. Det er helt åbenlyst, at dette vil være en helt anden vinkel, tangenten vil også være anderledes, fordi længderne af segmenterne $AC$ og $BC$ har ændret sig væsentligt, men formlen for vinklens tangent er slet ikke ændret - dette er stadig forholdet mellem en ændring i funktionen og en ændring i argumentet.

Til sidst fortsætter vi med at flytte $B$ tættere på det oprindelige punkt $A$, som følge heraf bliver trekanten endnu mindre, og den rette linje, der indeholder segmentet $AB$, vil ligne mere og mere en tangent til grafen for funktionen.

Som et resultat, hvis vi fortsætter med at bringe punkterne tættere på hinanden, dvs. reducere afstanden til nul, vil den rette linje $AB$ faktisk blive til en tangent til grafen i et givet punkt, og $\text( )\ !\!\alpha\!\ !\text( )$ vil transformere fra et regulært trekantelement til vinklen mellem tangenten til grafen og den positive retning af $Ox$-aksen.

Og her går vi jævnt videre til definitionen af $f$, nemlig at den afledede af en funktion i punktet $((x)_(1))$ er tangenten til vinklen $\alpha $ mellem tangenten til graf ved punktet $((x)_( 1))$ og den positive retning af $Ox$-aksen:

\[(f)"\venstre(((x)_(1)) \right)=\operatørnavn(tg)\tekst( )\!\!\alfa\!\!\tekst( )\]

For at vende tilbage til vores graf, skal det bemærkes, at $((x)_(1))$ kan være et hvilket som helst punkt på grafen. For eksempel kunne vi med samme succes fjerne slaget på det punkt, der er vist på figuren.

Lad os kalde vinklen mellem tangenten og den positive retning af aksen $\beta$. Følgelig vil $f$ i $((x)_(2))$ være lig med tangenten af denne vinkel $\beta $.

\[(f)"\venstre(((x)_(2)) \right)=tg\tekst( )\!\!\beta\!\!\tekst( )\]

Hvert punkt på grafen vil have sin egen tangent og derfor sin egen funktionsværdi. I hvert af disse tilfælde, ud over det punkt, hvor vi leder efter den afledte af en forskel eller sum, eller den afledte af en potensfunktion, er det nødvendigt at tage et andet punkt placeret i en vis afstand fra det, og derefter lede dette peger på den oprindelige og, selvfølgelig, finde ud af, hvordan i processen En sådan bevægelse vil ændre tangenten af hældningsvinklen.

Afledt af en potensfunktion

Desværre passer sådan en definition slet ikke til os. Alle disse formler, billeder, vinkler giver os ikke den mindste idé om, hvordan man beregner den reelle afledte i virkelige problemer. Lad os derfor gå lidt væk fra den formelle definition og overveje mere effektive formler og teknikker, som du allerede kan løse reelle problemer med.

Lad os starte med de simpleste konstruktioner, nemlig funktioner af formen $y=((x)^(n))$, dvs. magt funktioner. I dette tilfælde kan vi skrive følgende: $(y)"=n\cdot ((x)^(n-1))$. Med andre ord vises graden der var i eksponenten i frontmultiplikatoren, og selve eksponenten reduceres med enhed.

\[\begin(align)& y=((x)^(2)) \\& (y)"=2\cdot ((x)^(2-1))=2x \\\end(align) \]

Her er en anden mulighed:

\[\begin(align)& y=((x)^(1)) \\& (y)"=((\venstre(x \right))^(\prime ))=1\cdot ((x )^(0))=1\cdot 1=1 \\& ((\venstre(x \right))^(\prime ))=1 \\\end(align)\]

Bruger disse simple regler, lad os prøve at fjerne stregen i følgende eksempler:

Så vi får:

\[((\venstre(((x)^(6)) \right))^(\prime ))=6\cdot ((x)^(5))=6((x)^(5)) \]

Lad os nu løse det andet udtryk:

\[\begin(align)& f\left(x \right)=((x)^(100)) \\& ((\left(((x)^(100)) \right))^(\ prime ))=100\cdot ((x)^(99))=100((x)^(99)) \\\end(align)\]

Selvfølgelig var disse meget simple opgaver. Men reelle problemer er mere komplekse, og de er ikke begrænset til kun grader af funktion.

Så regel nr. 1 - hvis en funktion præsenteres i form af de to andre, så er den afledte af denne sum lig med summen af de afledte:

\[((\venstre(f+g \højre))^(\prime ))=(f)"+(g)"\]

På samme måde er den afledte af forskellen mellem to funktioner lig med forskellen mellem de afledte:

\[((\venstre(f-g \højre))^(\prime ))=(f)"-(g)"\]

\[((\venstre(((x)^(2))+x \højre))^(\prime ))=((\venstre(((x)^(2)) \højre))^(\ prime ))+((\venstre(x \højre))^(\prime ))=2x+1\]

Derudover er der en mere vigtig regel: hvis nogle $f$ er forudgået af en konstant $c$, som denne funktion ganges med, så beregnes $f$ af hele denne konstruktion som følger:

\[((\venstre(c\cdot f \right))^(\prime ))=c\cdot (f)"\]

\[((\venstre(3((x)^(3)) \højre))^(\prime ))=3((\venstre(((x)^(3)) \højre))^(\ prime ))=3\cdot 3((x)^(2))=9((x)^(2))\]

Til sidst en meget vigtig regel mere: i problemer er der ofte et separat udtryk, der slet ikke indeholder $x$. Det kan vi for eksempel observere i vores udtryk i dag. Den afledte af en konstant, altså et tal, der ikke på nogen måde afhænger af $x$, er altid lig med nul, og det er slet ikke ligegyldigt, hvad konstanten $c$ er lig med:

\[((\venstre(c \højre))^(\prime ))=0\]

Eksempel på løsning:

\[((\left(1001 \right))^(\prime ))=((\left(\frac(1)(1000) \right))^(\prime ))=0\]

Nøglepunkter igen:

Den afledte af summen af to funktioner er altid lig med summen af de afledte: $((\venstre(f+g \højre))^(\primtal ))=(f)"+(g)"$;
Af lignende årsager er den afledte af forskellen mellem to funktioner lig med forskellen mellem to afledte: $((\left(f-g \right))^(\prime ))=(f)"-(g)"$;
Hvis en funktion har en konstant faktor, så kan denne konstant tages ud som et afledt tegn: $((\left(c\cdot f \right))^(\prime ))=c\cdot (f)"$;
Hvis hele funktionen er en konstant, så er dens afledte altid nul: $((\left(c \right))^(\prime ))=0$.

Lad os se, hvordan det hele fungerer med rigtige eksempler. Så:

Vi skriver ned:

\[\begin(align)& ((\venstre(((x)^(5))-3((x)^(2))+7 \right))^(\prime ))=((\venstre (((x)^(5)) \right))^(\prime ))-((\left(3((x)^(2)) \right))^(\prime )))+(7) "= \\& =5((x)^(4))-3((\venstre(((x)^(2)) \right))^(\prime ))+0=5((x) ^(4))-6x \\\end(align)\]

I dette eksempel ser vi både den afledede af summen og den afledte af forskellen. I alt er den afledte lig med $5((x)^(4))-6x$.

Lad os gå videre til den anden funktion:

Lad os skrive løsningen ned:

\[\begin(align)& ((\left(3((x)^(2))-2x+2 \right))^(\prime ))=(\left(3((x)^( 2)) \right))^(\prime ))-((\venstre(2x \højre))^(\prime ))+(2)"= \\& =3((\venstre(((x)) ^(2)) \right))^(\prime ))-2(x)"+0=3\cdot 2x-2\cdot 1=6x-2 \\\end(align)\]

Her har vi fundet svaret.

Lad os gå videre til den tredje funktion - den er mere alvorlig:

\[\begin(align)& ((\left(2((x)^(3))-3((x)^(2))+\frac(1)(2)x-5 \right)) ^(\prime ))=((\venstre(2((x)^(3)) \højre))^(\prime ))-((\venstre(3((x)^(2)) \højre ))^(\prime ))+((\venstre(\frac(1)(2)x \right))^(\prime ))-(5)"= \\& =2((\venstre(( (x)^(3)) \right))^(\prime ))-3((\venstre(((x)^(2)) \right))^(\prime ))+\frac(1) (2)\cdot (x)"=2\cdot 3((x)^(2))-3\cdot 2x+\frac(1)(2)\cdot 1=6((x)^(2)) -6x+\frac(1)(2) \\\end(align)\]

Vi har fundet svaret.

Lad os gå videre til det sidste udtryk - det mest komplekse og længste:

Så vi overvejer:

\[\begin(align)& ((\left(6((x)^(7))-14((x)^(3))+4x+5 \right))^(\prime ))=( (\left(6((x)^(7)) \right))^(\prime ))-((\left(14((x)^(3)) \right))^(\prime )) +((\left(4x \right))^(\prime ))+(5)"= \\& =6\cdot 7\cdot ((x)^(6))-14\cdot 3((x) )^(2))+4\cdot 1+0=42((x)^(6))-42((x)^(2))+4 \\\end(align)\]

Men løsningen slutter ikke der, fordi vi bliver bedt om ikke bare at fjerne et streg, men om at beregne dets værdi på et bestemt punkt, så vi erstatter −1 i stedet for $x$ i udtrykket:

\[(y)"\venstre(-1 \højre)=42\cdot 1-42\cdot 1+4=4\]

Lad os gå videre og gå videre til endnu mere komplekse og interessante eksempler. Faktum er, at formlen for at løse potensafledte $((\venstre(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1) )$ har et endnu bredere anvendelsesområde, end man normalt tror. Med dens hjælp kan du løse eksempler med brøker, rødder osv. Det vil vi nu gøre.

Til at begynde med, lad os igen nedskrive formlen, der vil hjælpe os med at finde den afledede af en potensfunktion:

Og nu opmærksomhed: indtil videre har vi kun betragtet som $n$ naturlige tal, men intet forhindrer os i at overveje brøker og endda negative tal. For eksempel kan vi skrive følgende:

\[\begin(align)& \sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2))) \\& ((\left(\sqrt(x) \right))^(\ prime ))=((\venstre(((x)^(\frac(1)(2))) \right))^(\prime ))=\frac(1)(2)\cdot ((x) ^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(x))=\frac(1)(2\sqrt(x)) \\\end(align)\]

Intet kompliceret, så lad os se, hvordan denne formel vil hjælpe os, når vi løser mere komplekse problemer. Så et eksempel:

Lad os skrive løsningen ned:

\[\begin(align)& \left(\sqrt(x)+\sqrt(x)+\sqrt(x) \right)=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))+((\venstre(\sqrt(x) \right))^(\prime ))+((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime )) \\& ((\ venstre(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=\frac(1)(2\sqrt(x)) \\& ((\left(\sqrt(x) \right))^( \prime ))=((\venstre(((x)^(\frac(1)(3))) \right))^(\prime ))=\frac(1)(3)\cdot ((x) )^(-\frac(2)(3)))=\frac(1)(3)\cdot \frac(1)(\sqrt(((x)^(2)))) \\& (( \left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(4))) \right))^(\prime )) =\frac(1)(4)((x)^(-\frac(3)(4)))=\frac(1)(4)\cdot \frac(1)(\sqrt(((x) ^(3)))) \\\end(align)\]

Lad os gå tilbage til vores eksempel og skrive:

\[(y)"=\frac(1)(2\sqrt(x))+\frac(1)(3\sqrt(((x)^(2))))+\frac(1)(4) \sqrt(((x)^(3))))\]

Det er så svær en beslutning.

Lad os gå videre til det andet eksempel - der er kun to udtryk, men hver af dem indeholder både en klassisk grad og rødder.

Nu vil vi lære, hvordan man finder den afledede af en potensfunktion, som desuden indeholder roden:

\[\begin(align)& ((\venstre(((x)^(3))\sqrt(((x)^(2)))+((x)^(7))\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\venstre(((x)^(3))\cdot \sqrt(((x)^(2))) \right))^(\prime )) =((\venstre(((x)^(3))\cdot ((x)^(\frac(2)(3))) \right))^(\prime ))= \\& =(( \venstre(((x)^(3+\frac(2)(3))) \right))^(\prime ))=((\venstre(((x)^(\frac(11)(3) ))) \right))^(\prime ))=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(\frac(8)(3)))=\frac(11)(3)\ cdot ((x)^(2\frac(2)(3)))=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(2) ))) \\& ((\venstre(((x)^(7))\cdot \sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\venstre(((x)^(7) ))\cdot ((x)^(\frac(1)(3))) \right))^(\prime ))=((\venstre(((x)^(7\frac(1)(3) ))) \right))^(\prime ))=7\frac(1)(3)\cdot ((x)^(6\frac(1)(3)))=\frac(22)(3) )\cdot ((x)^(6))\cdot \sqrt(x) \\\end(align)\]

Begge termer er blevet beregnet, alt der er tilbage er at skrive det endelige svar ned:

\[(y)"=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(2)))+\frac(22)(3) \cdot ((x)^(6))\cdot \sqrt(x)\]

Vi har fundet svaret.

Afledt af en brøk gennem en potensfunktion

Men formlens muligheder for at løse den afledede af en potensfunktion slutter ikke der. Faktum er, at med dens hjælp kan du ikke kun beregne eksempler med rødder, men også med brøker. Dette er netop den sjældne mulighed, der i høj grad forenkler løsningen af sådanne eksempler, men som ofte ignoreres ikke kun af elever, men også af lærere.

Så nu vil vi prøve at kombinere to formler på én gang. På den ene side den klassiske afledte af en potensfunktion

\[((\venstre(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]

På den anden side ved vi, at et udtryk på formen $\frac(1)(((x)^(n)))$ kan repræsenteres som $((x)^(-n))$. Derfor,

\[\venstre(\frac(1)(((x)^(n))) \right)"=((\venstre(((x)^(-n)) \right))^(\prime ) )=-n\cdot ((x)^(-n-1))=-\frac(n)(((x)^(n+1)))\]

\[((\venstre(\frac(1)(x) \right))^(\prime ))=\venstre(((x)^(-1)) \right)=-1\cdot ((x) )^(-2))=-\frac(1)(((x)^(2)))\]

Således beregnes også de afledte brøker, hvor tælleren er en konstant, og nævneren er en grad, ved hjælp af den klassiske formel. Lad os se, hvordan det fungerer i praksis.

Så den første funktion:

\[((\venstre(\frac(1)(((x)^(2))) \højre))^(\prime ))=((\venstre(((x)^(-2)) \ højre))^(\prime ))=-2\cdot ((x)^(-3))=-\frac(2)(((x)^(3))))\]

Det første eksempel er løst, lad os gå videre til det andet:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(7)(4((x)^(4)))-\frac(2)(3((x)^(3)))+\ frac(5)(2)((x)^(2))+2((x)^(3))-3((x)^(4)) \right))^(\prime ))= \ \& =((\left(\frac(7)(4((x)^(4))) \right))^(\prime ))-((\left(\frac(2)(3(( x)^(3))) \right))^(\prime ))+((\venstre(2((x)^(3)) \right))^(\prime ))-((\venstre( 3((x)^(4)) \right))^(\prime )) \\& ((\left(\frac(7)(4((x)^(4))) \right))^ (\prime ))=\frac(7)(4)((\venstre(\frac(1)(((x)^(4))) \right))^(\prime ))=\frac(7 )(4)\cdot ((\venstre(((x)^(-4)) \right))^(\prime ))=\frac(7)(4)\cdot \left(-4 \right) \cdot ((x)^(-5))=\frac(-7)(((x)^(5))) \\& ((\venstre(\frac(2)(3((x)^ (3))) \right))^(\prime ))=\frac(2)(3)\cdot ((\left(\frac(1)((x)^(3))) \right) )^(\prime ))=\frac(2)(3)\cdot ((\venstre(((x)^(-3)) \right))^(\prime ))=\frac(2)( 3)\cdot \venstre(-3 \højre)\cdot ((x)^(-4))=\frac(-2)(((x)^(4))) \\& ((\venstre( \frac(5)(2)((x)^(2)) \right))^(\prime ))=\frac(5)(2)\cdot 2x=5x \\& ((\venstre(2) ((x)^(3)) \right))^(\prime ))=2\cdot 3((x)^(2))=6((x)^(2)) \\& ((\ venstre(3((x)^(4)) \right))^(\prime ))=3\cdot 4((x)^(3))=12((x)^(3)) \\\ end(align)\]...

Nu samler vi alle disse udtryk i en enkelt formel:

\[(y)"=-\frac(7)(((x)^(5)))+\frac(2)(((x)^(4)))+5x+6((x)^ (2))-12((x)^(3))\]

Vi har fået svar.

Men før jeg går videre, vil jeg gerne henlede din opmærksomhed på formen for at skrive selve de oprindelige udtryk: i det første udtryk skrev vi $f\left(x \right)=...$, i det andet: $y =...$ Mange elever farer vild, når de ser forskellige former optegnelser. Hvad er forskellen mellem $f\left(x \right)$ og $y$? Ikke rigtig noget. Det er bare forskellige poster med samme betydning. Det er bare, når vi siger $f\left(x \right)$, så vi taler om, først og fremmest om en funktion, og når vi taler om $y$, mener vi oftest grafen for en funktion. Ellers er dette det samme, dvs. at den afledte i begge tilfælde anses for den samme.

Komplekse problemer med derivater

Afslutningsvis vil jeg overveje et par komplekse kombinerede opgaver, der bruger alt, hvad vi har overvejet i dag. De indeholder rødder, brøker og summer. Disse eksempler vil dog kun være komplekse i dagens videotutorial, fordi virkelig komplekse afledte funktioner venter på dig forude.

Så den sidste del af dagens videolektion, bestående af to kombinerede opgaver. Lad os starte med den første af dem:

\[\begin(align)& ((\venstre(((x)^(3))-\frac(1)(((x)^(3)))+\sqrt(x) \right))^ (\prime ))=((\venstre(((x)^(3)) \right))^(\prime ))-((\venstre(\frac(1)(((x)^(3) )) \right))^(\prime ))+\left(\sqrt(x) \right) \\& ((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime ) )=3((x)^(2)) \\& ((\venstre(\frac(1)(((x)^(3))) \right))^(\prime ))=((\ venstre(((x)^(-3)) \right))^(\prime ))=-3\cdot ((x)^(-4))=-\frac(3)(((x)^ (4))) \\& ((\venstre(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\venstre(((x)^(\frac(1)(3))) \right))^(\prime ))=\frac(1)(3)\cdot \frac(1)(((x)^(\frac(2)(3))))=\frac(1) (3\sqrt(((x)^(2)))) \\\end(align)\]

Den afledede af funktionen er lig med:

\[(y)"=3((x)^(2))-\frac(3)(((x)^(4)))+\frac(1)(3\sqrt(((x)^ (2))))\]

Det første eksempel er løst. Lad os overveje det andet problem:

I det andet eksempel går vi frem på samme måde:

\[((\venstre(-\frac(2)(((x)^(4)))+\sqrt(x)+\frac(4)(x\sqrt(((x)^(3)) )) \right))^(\prime ))=((\venstre(-\frac(2)(((x)^(4))) \right))^(\prime ))+((\venstre (\sqrt(x) \right))^(\prime ))+((\left(\frac(4)(x\cdot \sqrt(((x)^(3)))) \right))^ (\prime ))\]

Lad os tælle hvert led for sig:

\[\begin(align)& ((\left(-\frac(2)(((x)^(4))) \right))^(\prime ))=-2\cdot ((\left( ((x)^(-4)) \right))^(\prime ))=-2\cdot \left(-4 \right)\cdot ((x)^(-5))=\frac(8) )(((x)^(5))) \\& ((\venstre(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\venstre(((x)^(\frac( 1)(4))) \right))^(\prime ))=\frac(1)(4)\cdot ((x)^(-\frac(3)(4)))=\frac(1) )(4\cdot ((x)^(\frac(3)(4))))=\frac(1)(4\sqrt(((x)^(3)))) \\& ((\ venstre(\frac(4)(x\cdot \sqrt(((x)^(3)))) \right))^(\prime ))=(\left(\frac(4)(x\cdot ((x)^(\frac(3)(4)))) \right))^(\prime ))=((\venstre(\frac(4)(((x)^(1\frac(3) )(4)))) \right))^(\prime ))=4\cdot ((\left(((x)^(-1\frac(3)(4))) \right))^( \prime ))= \\& =4\cdot \left(-1\frac(3)(4) \right)\cdot ((x)^(-2\frac(3)(4)))=4 \cdot \left(-\frac(7)(4) \right)\cdot \frac(1)(((x)^(2\frac(3)(4))))=\frac(-7) (((x)^(2))\cdot ((x)^(\frac(3)(4))))=-\frac(7)(((x)^(2))\cdot \sqrt (((x)^(3)))) \\\end(align)\]

Alle vilkår er beregnet. Nu vender vi tilbage til den oprindelige formel og lægger alle tre led sammen. Vi får, at det endelige svar bliver sådan:

\[(y)"=\frac(8)(((x)^(5)))+\frac(1)(4\sqrt(((x)^(3))))-\frac(7) )(((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(3))))\]

Og det er alt. Dette var vores første lektion. I de følgende lektioner vil vi se på mere komplekse konstruktioner, og også finde ud af, hvorfor der er behov for derivater i første omgang.

Definition af magtlov eksponentiel funktion. Udledning af en formel til beregning af dens afledte. Eksempler på beregning af afledte af potenseksponentielle funktioner analyseres i detaljer.

Power-eksponentiel funktion er en funktion, der har form af en potensfunktion
y = u v,
hvor grundtallet u og eksponenten v er nogle funktioner af variablen x:
u = u (x); (x).
v = v Denne funktion kaldes også eksponentiel

eller .
.
Bemærk, at den potenseksponentielle funktion kan repræsenteres i eksponentiel form: Derfor kaldes det også.

kompleks eksponentiel funktion

Beregning ved hjælp af logaritmisk afledet
(2) ,
Lad os finde den afledede af potenseksponentialfunktionen
hvor og er funktioner af variablen.
.
For at gøre dette logaritmer vi ligningen (2) ved hjælp af egenskaben for logaritmen:
(3) .
Differentier med hensyn til variablen x: Vi ansøger regler for differentiering af komplekse funktioner
;
.

og virker:
.
Vi erstatter i (3):
.

Herfra
(1) .
Så vi fandt den afledede af potenseksponentialfunktionen:
.
Hvis eksponenten er konstant, så .
.
Så er den afledede lig med den afledede af en kompleks potensfunktion:

Hvis bunden af graden er konstant, så .

Så er den afledede lig med den afledede af en kompleks eksponentiel funktion:
(2) ,
Når og er funktioner af x, så er den afledede af potens-eksponentialfunktionen lig med summen af de afledte af de komplekse potens- og eksponentialfunktioner.
(4) .

Beregning af den afledede ved reduktion til en kompleks eksponentiel funktion
.
Lad os nu finde den afledede af potenseksponentialfunktionen præsenterer det som en kompleks eksponentiel funktion::

.
Lad os differentiere produktet:

Anvend reglen for at finde den afledte

kompleks funktion
.

Løsning

Og vi fik igen formel (1).
Eksempel 1 .

Find den afledede af følgende funktion:
;
.
Vi beregner ved hjælp af den logaritmiske afledte. Lad os logaritme den oprindelige funktion:
.
(A1.1)
.
Fra tabellen over afledte finder vi:
,
Ved at bruge produktderivatformlen har vi:
.

Vi skelner (A1.1):

Siden

At
.

Løsning

Svar
Eksempel 2 .

Find den afledede af funktionen

Lad os logaritme den oprindelige funktion: (A2.1) Operationen med at finde den afledede kaldes differentiering.

Som et resultat af at løse problemer med at finde afledte af de simpleste (og ikke meget simple) funktioner ved at definere den afledede som grænsen for forholdet mellem stigningen og stigningen af argumentet, dukkede en tabel med afledte op og nøjagtigt

For at finde den afledte, skal du bruge et udtryk under primtegnet opdele simple funktioner i komponenter og bestemme hvilke handlinger (produkt, sum, kvotient) disse funktioner er relaterede. Dernæst finder vi afledte af elementære funktioner i tabellen over afledte, og formlerne for afledte af produktet, sum og kvotient - i reglerne for differentiering. Den afledte tabel og differentieringsregler er givet efter de to første eksempler.

Eksempel 1. Find den afledede af en funktion

Løsning. Ud fra reglerne for differentiering finder vi ud af, at den afledte af en sum af funktioner er summen af afledte af funktioner, dvs.

Fra tabellen over afledte finder vi ud af, at den afledede af "x" er lig med en, og den afledede af sinus er lig med cosinus. Vi erstatter disse værdier i summen af afledte og finder den afledede, der kræves af problemets tilstand:

Eksempel 2. Find den afledede af en funktion

Løsning. Vi differentierer som en afledt sum, hvor det andet led har en konstant faktor, det kan tages ud af det afledte tegn:

Hvis der stadig opstår spørgsmål om, hvor noget kommer fra, bliver de normalt ryddet op efter at have gjort sig bekendt med tabellen over afledte værdier og de enkleste regler for differentiering. Vi går videre til dem lige nu.

Tabel over afledte funktioner af simple funktioner

1. Afledt af en konstant (tal). Ethvert tal (1, 2, 5, 200...), der er i funktionsudtrykket. Altid lig med nul. Dette er meget vigtigt at huske, da det er nødvendigt meget ofte
2. Afledt af den uafhængige variabel. Oftest "X". Altid lig med én. Dette er også vigtigt at huske i lang tid
3. Afledt af grad. Når du løser problemer, skal du konvertere ikke-kvadratrødder til potenser.
4. Afledt af en variabel i potensen -1
5. Afledt kvadratrod
6. Afledt af sinus
7. Afledt af cosinus
8. Afledt af tangent
9. Afledt af cotangens
10. Afledt af arcsine
11. Afledt af arc cosinus
12. Afledt af arctangens
13. Afledt af lysbue-cotangens
14. Afledt af den naturlige logaritme
15. Afledt af en logaritmisk funktion
16. Afledt af eksponenten
17. Afledt af en eksponentiel funktion

Regler for differentiering

1. Afledt af en sum eller forskel
2. Afledt af produktet
2a. Afledt af et udtryk ganget med en konstant faktor
3. Afledt af kvotienten
4. Afledt af en kompleks funktion

Regel 1.Hvis funktionerne

er differentierbare på et tidspunkt, så er funktionerne differentierbare på samme punkt

dem. den afledede af den algebraiske sum af funktioner er lig med algebraisk sum afledte af disse funktioner.

Følge. Hvis to differentiable funktioner adskiller sig med et konstant led, så er deres afledte ens, dvs.

Regel 2.Hvis funktionerne

er differentierbare på et tidspunkt, så er deres produkt differentierbart på samme tidspunkt

dem. Den afledte af produktet af to funktioner er lig med summen af produkterne af hver af disse funktioner og den afledte af den anden.

Konsekvens 1. Konstantfaktoren kan tages ud af fortegn for den afledte:

Konsekvens 2. Den afledte af produktet af flere differentiable funktioner er lig med summen af produkterne af den afledte af hver faktor og alle de andre.

For eksempel for tre multiplikatorer:

Regel 3.Hvis funktionerne

differentierbar på et tidspunkt Og , så på dette tidspunkt er deres kvotient også differentierbaru/v, og

dem. den afledte af kvotienten af to funktioner er lig med en brøk, hvis tæller er forskellen mellem produkterne af nævneren og den afledte af tælleren og tælleren og den afledte af nævneren, og nævneren er kvadratet af den tidligere tæller.

Hvor man kan lede efter ting på andre sider

Når man skal finde den afledte af et produkt og en kvotient i reelle problemer, er det altid nødvendigt at anvende flere differentieringsregler på én gang, så der er flere eksempler på disse afledte i artiklen"Afledt af produktet og kvotient af funktioner".

Kommentar. Du skal ikke forveksle en konstant (det vil sige et tal) som et led i en sum og som en konstant faktor! I tilfælde af et led er dets afledte lig med nul, og i tilfælde af en konstant faktor tages det ud af fortegn for de afledte. Denne typisk fejl, som opstår i den indledende fase af at studere derivater, men da den gennemsnitlige studerende løser flere en- og todelte eksempler, begår han ikke længere denne fejl.

Og hvis du, når du differentierer et produkt eller en kvotient, har en term u"v, hvori u- et tal, for eksempel 2 eller 5, det vil sige en konstant, så vil den afledede af dette tal være lig med nul, og derfor vil hele udtrykket være lig med nul (dette tilfælde er diskuteret i eksempel 10).

Andre almindelig fejl- mekanisk løsning af den afledte af en kompleks funktion som en afledt af en simpel funktion. Det er derfor afledet af en kompleks funktion en separat artikel er afsat. Men først vil vi lære at finde afledte af simple funktioner.

Undervejs kan du ikke undvære at transformere udtryk. For at gøre dette skal du muligvis åbne manualen i nye vinduer. Handlinger med kræfter og rødder Og Operationer med brøker .

Hvis du leder efter løsninger på afledte brøker med potenser og rødder, altså når funktionen ser ud , følg derefter lektionen "Afledt af summer af brøker med potenser og rødder."

Hvis du har en opgave som f.eks , så vil du tage lektionen "Afledninger af simple trigonometriske funktioner".

Trin-for-trin eksempler - hvordan man finder derivatet

Eksempel 3. Find den afledede af en funktion

Løsning. Vi definerer delene af funktionsudtrykket: hele udtrykket repræsenterer et produkt, og dets faktorer er summer, i det andet af hvilke et af ledene indeholder en konstant faktor. Vi anvender produktdifferentieringsreglen: den afledte af produktet af to funktioner er lig med summen af produkterne af hver af disse funktioner med den afledte af den anden:

Dernæst anvender vi reglen om sumdifferentiering: den afledede af en algebraisk sum af funktioner er lig med den algebraiske sum af disse funktioners afledte. I vores tilfælde har det andet led i hver sum et minustegn. I hver sum ser vi både en uafhængig variabel, hvis afledte er lig med én, og en konstant (tal), hvis afledte er lig med nul. Så "X" bliver til en, og minus 5 bliver til nul. I det andet udtryk ganges "x" med 2, så vi gange to med den samme enhed som den afledte af "x". Vi får følgende afledte værdier:

Vi erstatter de fundne afledte i summen af produkter og opnår den afledede af hele den funktion, der kræves af problemets tilstand:

Eksempel 4. Find den afledede af en funktion

Løsning. Vi er forpligtet til at finde den afledte af kvotienten. Vi anvender formlen til at differentiere kvotienten: den afledte af kvotienten af to funktioner er lig med en brøk, hvis tæller er forskellen mellem produkterne af nævneren og den afledte af tælleren og tælleren og den afledte af nævneren, og nævneren er kvadratet på den tidligere tæller. Vi får:

Vi har allerede fundet den afledede af faktorerne i tælleren i eksempel 2. Lad os heller ikke glemme, at produktet, som er den anden faktor i tælleren i det aktuelle eksempel, tages med et minustegn:

Hvis du leder efter løsninger på problemer, hvor du skal finde den afledede af en funktion, hvor der er en sammenhængende bunke af rødder og potenser, som f.eks. , så velkommen til undervisningen "Afledt af summer af brøker med potenser og rødder" .

Hvis du har brug for at lære mere om derivaterne af sinus, cosinus, tangenter og andre trigonometriske funktioner, altså når funktionen ser ud , så en lektion til dig "Afledte af simple trigonometriske funktioner" .

Eksempel 5. Find den afledede af en funktion

Løsning. I denne funktion ser vi et produkt, hvor en af faktorerne er kvadratroden af den uafhængige variabel, hvis afledte vi har gjort os bekendt med i tabellen over afledte. Ved at bruge reglen for differentiering af produktet og tabelværdien af den afledte af kvadratroden får vi:

Eksempel 6. Find den afledede af en funktion

Løsning. I denne funktion ser vi en kvotient, hvis udbytte er kvadratroden af den uafhængige variabel. Ved at bruge reglen om differentiering af kvotienter, som vi gentog og anvendte i eksempel 4, og den tabulerede værdi af den afledte af kvadratroden, får vi: