Firkanten er den enkleste figuren i geometri. Det er fra dette, rektangelet og kvadratet, de begynner å studere dette emnet. Evnen til å løse problemer med en firkant vil hjelpe deg med å mestre mer komplekst materiale. Denne artikkelen vil fortelle deg hvordan du finner diagonalen til en firkant.

Å løse geometriske problemer er interessant fordi de kan løses på flere måter. Hver metode er interessant på sin egen måte. Diagonalen til en firkant er intet unntak, som kan finnes på direkte og indirekte måter.

Hvordan finne diagonalen til et kvadrat - formel

Det er ganske enkel formel for å finne diagonalen til en firkant. Det ser slik ut: a√2. a er siden av firkanten. Husk at alle sidene i en firkant er like. Så hvis du vet størrelsen på den ene siden, vet du størrelsen på de tre andre sidene. For å finne ut diagonalen til et kvadrat, må du multiplisere siden med roten av to.

Eksempel 1: Finn diagonalen til et kvadrat hvis det er kjent at siden er 5.

Løsning: Ved å erstatte verdien i formelen ovenfor, er det ikke vanskelig å gjette at diagonalen vil være lik 5√2.

Eksempel 2: Finn siden til et kvadrat hvis det er kjent at diagonalen er 5√2.

Løsning: Diagonalen er indikert med en liten latinsk bokstav d. d = a√2. Derfor, for å finne siden som kjenner diagonalen, er det nødvendig å dele diagonalverdien med roten av to. Etter å ha gjort denne handlingen, finner vi ut siden av firkanten, som i dette tilfellet er lik 5.

Hvordan finne diagonalen til et kvadrat gjennom en rettvinklet trekant

Hvis du tegner en diagonal i en firkant, er det lett å se de to rettvinklet trekant. Husk at en rettvinklet trekant har én rett vinkel. Den består av to ben (sidene i en vinkel på 90 grader) og en hypotenuse (motsatt 90 -graders vinkel sider). Kvadrat på hypotenusen lik summen kvadrater av ben. I dette tilfellet er hypotenusen diagonalen til kvadratet vårt. Siden bena er sidene av firkanten, vil formelen ha neste visning: d² = a² + a² = 2a². Det følger at d = √2a² = a√2.

Eksempel 3: Finn diagonalen til et kvadrat hvis siden er 3.

Løsning:

1. Legg til kvadratene på sidene, vi får 18.
2. Vi teller roten av 18 og får 3√2.

Til tross for at den siste metoden er lengre og til slutt ender opp med formelen fra det første eksemplet, er det nødvendig å vite det. I hovedsak er denne metoden et bevis på formelen for diagonalen til en firkant. Dette er beviset som kan komme i en eksamen eller en olympiade. Lær det godt, da det kan hjelpe deg i de ovennevnte arrangementene.

Online kalkulator

Selv om det ikke er vanskelig å løse slike problemer, kan noen elever glemme formelen. For slike tilfeller er det online kalkulator, som lar deg finne riktig svar basert på det som er gitt i oppgaven. For å bruke denne tjenesten, følg lenken.

1. Rull ned på siden og du vil finne undertittelen "finn diagonalen til en firkant gitt siden.
2. Under denne underoverskriften vil det være en formel, etter å ha sett på hvilken du ikke trenger en kalkulator.
3. Men fortsatt, hvis du ikke er sikker, skriv inn verdien av lengden på kvadratet i feltet, og klikk deretter på "beregn" -knappen.
4. Kalkulatoren vil gi deg riktig svar på 1 sekund.

Når du nå kjenner til flere måter å løse et problem på dette emnet, trenger du ikke å bla gjennom en matematikkbok på jakt etter den riktige formelen, men bare bruke en online kalkulator eller eksemplene gitt ovenfor.

Videokurset "Få en A" inneholder alle emnene du trenger vellykket gjennomføring Unified State Examination i matematikk for 60-65 poeng. Helt alle oppgaver 1-13 Profil Unified State Examination i matematikk. Også egnet for å bestå Basic Unified State Examination i matematikk. Hvis du vil bestå Unified State-eksamenen med 90-100 poeng, må du løse del 1 på 30 minutter og uten feil!

Forberedelseskurs til Unified State Exam for klasse 10-11, samt for lærere. Alt du trenger for å løse del 1 av Unified State Exam i matematikk (de første 12 oppgavene) og oppgave 13 (trigonometri). Og dette er mer enn 70 poeng på Unified State Exam, og verken en 100-poengs student eller en humaniorastudent kan klare seg uten dem.

All nødvendig teori. Raske måter løsninger, fallgruver og hemmeligheter ved Unified State Exam. Alle gjeldende oppgaver i del 1 fra FIPI Task Bank er analysert. Kurset oppfyller fullt ut kravene til Unified State Exam 2018.

Kurset inneholder 5 store emner, 2,5 timer hver. Hvert emne er gitt fra bunnen av, enkelt og tydelig.

Hundrevis av Unified State Exam-oppgaver. Ordproblemer og sannsynlighetsteori. Enkle og lett å huske algoritmer for å løse problemer. Geometri. Teori, referansemateriale, analyse av alle typer Unified State Examination oppgaver. Stereometri. Vanskelige løsninger, nyttige jukseark, utvikling av romlig fantasi. Trigonometri fra scratch til problem 13. Forståelse i stedet for propp. Tydelige forklaringer av komplekse begreper. Algebra. Røtter, potenser og logaritmer, funksjon og derivert. Et grunnlag for å løse komplekse problemer i del 2 av Unified State Exam.

Definisjon.

Rektangel er en firkant der to motsatte sider er like og alle fire vinkler er like.

Rektanglene skiller seg bare fra hverandre i forholdet mellom langsiden og kortsiden, men alle fire hjørner er riktige, det vil si 90 grader.

Langsiden av et rektangel kalles rektangellengde, og den korte - rektangelbredde.

Sidene av et rektangel er også dets høyder.

Grunnleggende egenskaper til et rektangel

Et rektangel kan være et parallellogram, en firkant eller en rombe.

1. De motsatte sidene av rektangelet har samme lengde, det vil si at de er like:

AB = CD, BC = AD

2. Motstående sider av rektangelet er parallelle:

3. De tilstøtende sidene av et rektangel er alltid vinkelrette:

AB ┴ BC, BC ┴ CD, CD ┴ AD, AD ┴ AB

4. Alle fire hjørner av rektangelet er rette:

∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°

5. Summen av vinklene til et rektangel er 360 grader:

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°

6. Diagonalene til et rektangel har samme lengde:

7. Summen av kvadratene til diagonalen til et rektangel er lik summen av kvadratene til sidene:

2d 2 = 2a 2 + 2b 2

8. Hver diagonal i et rektangel deler rektangelet i to identiske figurer, nemlig rette trekanter.

9. Diagonalene til rektangelet skjærer hverandre og er delt i to i skjæringspunktet:

		AO=BO=CO=DO=	d
			2

10. Skjæringspunktet mellom diagonalene kalles midten av rektangelet og er også sentrum av den omskrevne sirkelen

11. Diagonalen til et rektangel er diameteren på den omskrevne sirkelen

12. Du kan alltid beskrive en sirkel rundt et rektangel, siden summen av motsatte vinkler er 180 grader:

∠ABC = ∠CDA = 180° ∠BCD = ∠DAB = 180°

13. En sirkel kan ikke skrives inn i et rektangel hvis lengde ikke er lik bredden, siden summen av de motsatte sidene ikke er lik hverandre (en sirkel kan bare skrives inn i spesielt tilfelle rektangel - kvadrat).

Sidene av et rektangel

Definisjon.

Rektangellengde kalle lengden mer langt par dens sider. Rektangelbredde er lengden på det kortere paret av sidene.

Formler for å bestemme lengdene på sidene i et rektangel

1. Formel for siden av et rektangel (lengde og bredde på rektangelet) gjennom diagonalen og den andre siden:

a = √ d 2 - b 2

b = √ d 2 - a 2

2. Formel for siden av et rektangel (lengde og bredde på rektangelet) gjennom området og den andre siden:

b = dcos	β
	2

Diagonal av et rektangel

Definisjon.

Diagonalt rektangel Ethvert segment som forbinder to hjørner av motsatte hjørner av et rektangel kalles.

Formler for å bestemme lengden på diagonalen til et rektangel

1. Formel for diagonalen til et rektangel ved å bruke to sider av rektangelet (via Pythagoras teorem):

d = √ a 2 + b 2

2. Formel for diagonalen til et rektangel ved bruk av arealet og hvilken som helst side:

4. Formel for diagonalen til et rektangel i form av radiusen til den omskrevne sirkelen:

d = 2R

5. Formel for diagonalen til et rektangel når det gjelder diameteren til den omskrevne sirkelen:

d = D o

6. Formel for diagonalen til et rektangel ved å bruke sinusen til vinkelen ved siden av diagonalen og lengden på siden motsatt denne vinkelen:

8. Formel for diagonalen til et rektangel gjennom sinus spiss vinkel mellom diagonalene og arealet av rektangelet

d = √2S: synd β

Omkretsen av et rektangel

Definisjon.

Omkretsen av et rektangel er summen av lengdene til alle sidene i et rektangel.

Formler for å bestemme lengden på omkretsen til et rektangel

1. Formel for omkretsen av et rektangel ved å bruke to sider av rektangelet:

P = 2a + 2b

P = 2(a + b)

2. Formel for omkretsen av et rektangel ved bruk av areal og hvilken som helst side:

P=	2S + 2a 2	=	2S + 2b 2
	en		b

3. Formel for omkretsen av et rektangel ved hjelp av diagonalen og hvilken som helst side:

P = 2(a + √ d 2 - a 2) = 2(b + √ d 2 - b 2)

4. Formel for omkretsen av et rektangel ved hjelp av radiusen til den omskrevne sirkelen og hvilken som helst side:

P = 2(a + √4R 2 - en 2) = 2(b + √4R 2 - b 2)

5. Formel for omkretsen av et rektangel ved hjelp av diameteren til den omskrevne sirkelen og hvilken som helst side:

P = 2(a + √D o 2 - en 2) = 2(b + √D o 2 - b 2)

Arealet av et rektangel

Definisjon.

Arealet av et rektangel kalt rommet begrenset av sidene til rektangelet, det vil si innenfor rektangelets omkrets.

Formler for å bestemme arealet til et rektangel

1. Formel for arealet av et rektangel med to sider:

S = a b

2. Formel for arealet av et rektangel ved hjelp av omkretsen og en hvilken som helst side:

5. Formel for arealet av et rektangel ved hjelp av radiusen til den omskrevne sirkelen og hvilken som helst side:

S = a √4R 2 - en 2= b √4R 2 - b 2

6. Formel for arealet til et rektangel ved hjelp av diameteren på den omskrevne sirkelen og hvilken som helst side:

S = a √D o 2 - en 2= b √D o 2 - b 2

Sirkel omskrevet rundt et rektangel

Definisjon.

En sirkel omskrevet rundt et rektangel er en sirkel som går gjennom de fire toppunktene i et rektangel, hvis sentrum ligger i skjæringspunktet mellom diagonalene til rektangelet.

Formler for å bestemme radiusen til en sirkel omskrevet rundt et rektangel

1. Formel for radiusen til en sirkel omskrevet rundt et rektangel gjennom to sider:

Instruksjoner

Bestem lengden på diagonalen til et rektangel med sidene 3 og 4 cm.

Finn summen av kvadratene til sidene i rektangelet 32 ​​+ 42 = 9 + 16 = 25.

Trekk ut fra resultatet kvadratrot– diagonal lengde 5 cm.

Video om emnet

Vær oppmerksom på

Diagonalene til et rektangel er like. Hvis lengden på den ene blir funnet, vil lengden på den andre være nøyaktig den samme.

Kilder:

• hvordan finne lengden på diagonalen i et rektangel

En firkant er en vakker og enkel flat geometrisk figur. Dette er et rektangel med like sider. Hvordan finne diagonal kvadrat, hvis lengden på siden er kjent?

Instruksjoner

diagonal lengde kvadrat lik lengden på siden multiplisert med to.

Video om emnet

Nyttige råd

Hvis nøyaktigheten av det matematiske resultatet ikke er veldig viktig, kan du i stedet for roten av to bruke dens omtrentlige verdi på 1,41.

Tips 6: Hvordan finne diagonalen til et parallellogram gitt sidene

Et parallellogram er en firkant hvis motsatte sider er parallelle. De rette linjene som forbinder de motsatte vinklene kalles diagonaler. Lengden deres avhenger ikke bare av lengdene på sidene av figuren, men også av verdiene til vinklene ved toppunktene til denne polygonen, derfor, uten å vite minst en av vinklene, er det mulig å beregne lengdene av diagonalene bare i unntakstilfeller. Dette er spesielle tilfeller av et parallellogram - et kvadrat og et rektangel.

Instruksjoner

Hvis lengdene på alle sider av et parallellogram er like (a), kan denne figuren også kalles en firkant. Verdiene av alle vinklene er 90°, og lengdene på diagonalene (L) er de samme og kan beregnes ved hjelp av Pythagoras teoremet for en rettvinklet trekant. Multipliser lengden på siden med roten av to - resultatet vil være lengden på hver av dens diagonaler: L=a*√2.

Hvis det er kjent om et parallellogram at det er et rektangel med den angitte lengden (a) og bredden (b), vil i dette tilfellet lengden på diagonalene (L) være like. Og her også, bruk Pythagoras teorem for en trekant der hypotenusen er diagonalen, og bena er to tilstøtende sider av firkanten. Beregn den nødvendige verdien ved å trekke ut roten av de kvadratiske og rektangulære: L=√(a²+b²).

For alle andre tilfeller er kunnskap om sidelengdene alene tilstrekkelig bare for en verdi som inkluderer lengdene til begge diagonalene samtidig - summen av kvadratene deres er per definisjon lik to ganger summen av kvadratene til sidelengdene. Hvis vinkelen mellom dem (γ) også er kjent for lengdene til to tilstøtende sider av parallellogrammet (a og b), vil dette tillate oss å beregne lengdene til hvert segment som forbinder motsatte vinkler. Finn lengden på diagonalen (L₁) som ligger motsatt en kjent vinkel ved å bruke cosinus-teoremet - legg til kvadratene av lengdene til tilstøtende sider, trekk produktet av de samme lengdene med cosinus til vinkelen mellom dem fra resultatet, og trekk ut produktet av de samme lengdene. kvadratroten fra den resulterende verdien: L₁ = √(a²+b² -2*a*b*cos(γ)). For å finne lengden på den andre diagonalen (L₂), kan du bruke egenskapen til et parallellogram gitt i begynnelsen av dette trinnet - doble summen av kvadratene av lengdene på de to sidene, trekk fra kvadratet av den allerede beregnede diagonalen fra resultatet, og ta roten fra den resulterende verdien. I generelt syn denne formelen kan skrives som følger: L₂ = √(a²+b²- L₁²) = √(a²+b²-(a²+b²-2*a*b*cos(γ))) = √(a²+b²-a² -b² +2*a*b*cos(γ)) = √(2*a*b*cos(γ)).

Kilder:

• hvordan finne lengden på diagonalen til et parallellogram

Vi kan kalle det et parallellogram hvis diagonaler halverer vinklene ved hjørnene av figuren. I tillegg til denne egenskapen til diagonalen rombe er bemerkelsesverdige for det faktum at de er symmetriakser til en polygon, krysser bare i rette vinkler, og et enkelt felles punkt deler hver av dem i to like segmenter. Disse egenskapene gjør det enkelt å beregne lengden på en av diagonalene hvis lengden på den andre og en annen parameter i figuren er kjent - sidestørrelse, vinkel ved en av toppunktene, areal osv.

Instruksjoner

Hvis det i tillegg til lengden av en av (l) er kjent om den aktuelle firkanten at det er et spesielt tilfelle rombe- kvadrat, det skal ikke gjøres noen beregninger. I dette tilfellet, lengdene på begge diagonalene - bare likestille ønsket verdi (L) med den kjente: L=l.

Å kjenne sidelengden rombe(a) i tillegg til lengden på en av diagonalene (l) vil tillate lengden til den andre (L) ved Pythagoras teoremet. Dette er fordi de to halvdelene av de kryssende diagonalene danner en side rombe rettvinklet trekant. Halvparten av diagonalene i den er ben, og siden er hypotenusen, så likheten som oppstår fra Pythagoras teorem kan skrives som følger: a² = (l/2)² + (L/2)². For bruk i beregninger, konverter den til denne formen: L = √(4*a²-l²).

Med en kjent verdi av en av vinklene (α) rombe og lengden på en av diagonalene (l) for å finne verdien av den andre (L), vurdere den samme rettvinklet trekant. Tangenten til en halv kjent vinkel i den er forholdet mellom lengden av det motsatte benet - halvparten av diagonalen l - og den tilstøtende - halvparten av diagonalen L: tan(α/2) = (l/2)/ (L/2) = l/L. Derfor, for ønsket verdi, bruk formelen L = l/tg(α/2).

Hvis problemforholdene gir lengden på omkretsen (P) rombe og størrelsen på diagonalen (l), kan formelen for å beregne lengden på den andre (L) reduseres til likheten som ble brukt i det andre trinnet. For å gjøre dette deler du omkretsen med fire og erstatter sidelengden med dette uttrykket: L = √(4*(P/4)²-l²) = √(P²/4-l²).

Under initiale forhold, i tillegg til lengden på en av diagonalene (l), kan også arealet (S) av figuren angis. Deretter for å beregne lengden på den andre diagonalen rombe(L) bruk en veldig enkel algoritme - doble arealet og del den resulterende verdien med lengden på den kjente diagonalen: L = 2*S/l.

Innhold:

En diagonal er et linjestykke som forbinder to motsatte hjørner av et rektangel. Et rektangel har to like diagonaler. Hvis sidene til et rektangel er kjent, kan diagonalen bli funnet ved hjelp av Pythagoras teorem fordi diagonalen deler rektangelet i to rette trekanter. Hvis sidene ikke er oppgitt, men andre størrelser er kjente, for eksempel areal og omkrets eller sideforhold, kan du finne sidene til rektangelet og deretter bruke Pythagoras teorem til å beregne diagonalen.

Trinn

1 På sidene

1. 1 Skriv ned Pythagoras teorem. Formel: a 2 + b 2 = c 2
2. 2 Bytt ut verdiene til sidene i formelen. De er gitt i oppgaven eller må måles. Sideverdiene erstattes med en 3
   • I vårt eksempel:
     4 2 + 3 2 = c 2 4

     2 Etter område og omkrets

     1. 1 Formel: S = l w (I figuren brukes betegnelsen A i stedet for S.)
     2. 2 Denne verdien erstattes med S 3 Skriv om formelen for å isolere w 4 Skriv ned formelen for å beregne omkretsen til et rektangel. Formel: P = 2 (w + l)
     3. 5 Bytt ut rektangelets omkrets med formelen. Denne verdien erstattes med P 6 Del begge sider av ligningen med 2. Du vil få summen av sidene til rektangelet, nemlig w + l 7 Bytt ut uttrykket for å beregne w 8 i formelen Bli kvitt brøkdelen. For å gjøre dette, multipliser begge sider av ligningen med l 9 Sett ligningen lik 0. For å gjøre dette, trekk fra førsteordens variabelledd fra begge sider av ligningen.
        • I vårt eksempel:
          12 l = 35 + l 2 10 Bestill vilkårene i ligningen. Det første leddet vil være andreordens variabelledd, deretter førsteordens variabelledd og deretter frileddet. Samtidig, ikke glem skiltene ("pluss" og "minus") som vises foran medlemmene. Merk at ligningen vil bli skrevet som en andregradsligning.
          • I vårt eksempel 0 = 35 + l 2 − 12 l 11
            • I vårt eksempel er ligningen 0 = l 2 − 12 l + 35 12 Finn l 13 Skriv ned Pythagoras teorem. Formel: a 2 + b 2 = c 2
              • Bruk Pythagoras teorem fordi hver diagonal i et rektangel deler det i to like rette trekanter. Dessuten er sidene av rektangelet trekantens ben, og diagonalen til rektangelet er hypotenusen til trekanten.
            • 14 Disse verdiene erstattes med en 15 Kvadrar lengden og bredden, og legg deretter til resultatene. Husk at når du kvadrerer et tall, multipliseres det med seg selv.
              • I vårt eksempel:
                5 2 + 7 2 = c 2 16 Ta kvadratroten av begge sider av ligningen. Bruk en kalkulator for raskt å finne kvadratroten. Du kan også bruke en online kalkulator. Du finner c

                3 Etter område og sideforhold

                1. 1 Skriv ned en ligning som karakteriserer forholdet mellom sidene. Isoler l 2 Skriv ned formelen for å beregne arealet til et rektangel. Formel: S = l w (I figuren brukes betegnelsen A i stedet for S.)
                   • Denne metoden er også anvendelig når omkretsen av rektangelet er kjent, men da må du bruke formelen for å beregne omkretsen, ikke arealet. Formel for å beregne omkretsen til et rektangel: P = 2 (w + l)
                2. 3 Bytt ut arealet av rektangelet i formelen. Denne verdien erstattes med S 4 Bytt ut et uttrykk som karakteriserer forholdet mellom partene i formelen. Når det gjelder et rektangel, kan du erstatte et uttrykk for å beregne l 5 Skriv det ned andregradsligning. For å gjøre dette, åpne parentesene og sett ligningen lik null.
                   • I vårt eksempel:
                     35 = w(w+2)6 Faktor den kvadratiske ligningen.Å få detaljerte instruksjoner, les.
                     • I vårt eksempel er ligningen 0 = w 2 − 12 w + 35 7 Finn w 8 Bytt inn den funnet bredden (eller lengden) i ligningen som karakteriserer sideforholdet. På denne måten kan du finne den andre siden av rektangelet.
                       • For eksempel, hvis du beregner at bredden på et rektangel er 5 cm og sideforholdet er gitt av ligningen l = w + 2 9 Skriv ned Pythagoras teorem. Formel: a 2 + b 2 = c 2
                         • Bruk Pythagoras teorem fordi hver diagonal i et rektangel deler det i to like rette trekanter. Dessuten er sidene av rektangelet trekantens ben, og diagonalen til rektangelet er hypotenusen til trekanten.
                       • 10 Bytt inn lengde- og breddeverdiene i formelen. Disse verdiene erstattes med en 11 Kvadrar lengden og bredden, og legg deretter til resultatene. Husk at når du kvadrerer et tall, multipliseres det med seg selv.
                         • I vårt eksempel:
                           5 2 + 7 2 = c 2 12 Ta kvadratroten av begge sider av ligningen. Bruk en kalkulator for raskt å finne kvadratroten. Du kan også bruke en online kalkulator. Du finner c (visningsstil c), det vil si hypotenusen til trekanten, og derfor diagonalen til rektangelet.
                           • I vårt eksempel:
                             74 = c 2 (visningsstil 74=c^(2))
                             74 = c 2 (visningsstil (sqrt (74))=(sqrt (c^(2))))
                             8 , 6024 = c (visningsstil 8,6024 = c)
                             Dermed er diagonalen til et rektangel hvis lengde er 2 cm større enn bredden og hvis areal er 35 cm 2 omtrent 8,6 cm.