Røttene refererer til rasjonelle tall. Rasjonale tall, definisjon, eksempler

Definisjon rasjonelle tall:

Et rasjonelt tall er et tall som kan representeres som en brøk. Telleren til en slik brøk tilhører settet med heltall, og nevneren tilhører settet med naturlige tall.

Hvorfor kalles tall rasjonelle?

På latin betyr ratio ratio. Rasjonale tall kan representeres som et forhold, dvs. med andre ord, som en brøkdel.

Eksempel på rasjonelt tall

Tallet 2/3 er et rasjonelt tall. Hvorfor? Dette tallet er representert som en brøk, hvis teller tilhører settet med heltall, og nevneren til settet med naturlige tall.

For flere eksempler på rasjonelle tall, se artikkelen.

Like rasjonelle tall

Diverse fraksjoner kan representere ett rasjonelt tall.

Tenk på det rasjonelle tallet 3/5. Dette rasjonelle tallet er lik

Reduser telleren og nevneren med en felles faktor på 2:

6	=	2 * 3	=	3
10		2 * 5		5

Vi fikk brøken 3/5, som betyr det

I denne delen vil vi gi flere definisjoner av rasjonelle tall. Til tross for forskjellene i ordlyden, har alle disse definisjonene samme betydning: rasjonelle tall kombinerer hele tall og brøker, akkurat som hele tall kombinerer naturlige tall, deres motsatte tall og tallet null. Med andre ord, rasjonelle tall generaliserer hele og brøktall.

La oss begynne med definisjoner av rasjonelle tall, som oppfattes mest naturlig.

Definisjon.

Rasjonelle tall er tall som kan skrives som en positiv brøk, en negativ brøk eller tallet null.

Fra den angitte definisjonen følger det at et rasjonelt tall er:

Ethvert naturlig tall n. Faktisk kan du representere et hvilket som helst naturlig tall som en vanlig brøk, for eksempel, 3=3/1 .

· Ethvert heltall, spesielt tallet null. Faktisk kan ethvert heltall skrives som enten en positiv brøk, en negativ brøk eller null. For eksempel 26=26/1 , .

· Enhver vanlig brøk (positiv eller negativ). Dette bekreftes direkte av den gitte definisjonen av rasjonelle tall.

· Enhver blandet antall. Faktisk kan du alltid representere et blandet tall som en uekte brøk. For eksempel, og.

· Enhver endelig desimalbrøk eller uendelig periodisk brøk. Dette skyldes det faktum at de angitte desimalbrøkene konverteres til vanlige brøker. For eksempel, en 0,(3)=1/3 .

Det er også klart at enhver uendelig ikke-periodisk desimalbrøk IKKE er et rasjonelt tall, siden den ikke kan representeres som en vanlig brøk.

Nå kan vi enkelt gi eksempler på rasjonelle tall. Tall 4 ,903 , 100 321 Dette er rasjonelle tall fordi de er naturlige tall. Heltall 58 ,−72 , 0 , −833 333 333 er også eksempler på rasjonelle tall. Vanlige brøker 4/9 , 99/3 , er også eksempler på rasjonelle tall. Rasjonelle tall er også tall.

Fra eksemplene ovenfor er det klart at det er både positive og negative rasjonelle tall, og det rasjonelle tallet null er verken positivt eller negativt.

Ovennevnte definisjon av rasjonelle tall kan formuleres i en mer kortfattet form.

Definisjon.

Rasjonelle tall navn på tall som kan skrives som brøker z/n, Hvor z er et heltall, og n– naturlig tall.

La oss bevise at denne definisjonen av rasjonelle tall er ekvivalent med den forrige definisjonen. Vi vet at vi kan betrakte linjen til en brøk som et divisjonstegn, så fra egenskapene til å dele heltall og reglene for å dele heltall, følger gyldigheten av følgende likheter. Dermed er det beviset.

La oss gi eksempler på rasjonelle tall basert på denne definisjonen. Tall −5 , 0 , 3 , og er rasjonelle tall, siden de kan skrives som brøker med en heltallsteller og en naturlig nevner av formen og hhv.

Definisjonen av rasjonelle tall kan gis i følgende formulering.

Definisjon.

Rasjonelle tall er tall som kan skrives som en endelig eller uendelig periodisk desimalbrøk.

Denne definisjonen er også ekvivalent med den første definisjonen, siden hver vanlig brøk tilsvarer en endelig eller periodisk desimalbrøk og omvendt, og et hvilket som helst heltall kan assosieres med en desimalbrøk med null etter desimaltegnet.

For eksempel tall 5 , 0 , −13 , er eksempler på rasjonelle tall, siden de kan skrives som følgende desimalbrøker 5,0 , 0,0 ,−13,0 , 0,8 Og −7,(18) .

La oss avslutte teorien om dette punktet med følgende utsagn:

· heltall og brøker (positive og negative) utgjør settet med rasjonelle tall;

· hvert rasjonelt tall kan representeres som en brøk med en heltallsteller og en naturlig nevner, og hver slik brøk representerer et visst rasjonelt tall;

· hvert rasjonelt tall kan representeres som en endelig eller uendelig periodisk desimalbrøk, og hver slik brøk representerer et visst rasjonelt tall.

Øverst på siden

Tilsetningen av positive rasjonelle tall er kommutativ og assosiativ,

("a, b О Q +) a + b= b + a;

("a, b, c О Q +) (a + b)+ c = a + (b+ c)

Før du formulerer definisjonen av multiplikasjon av positive rasjonelle tall, vurder følgende problem: det er kjent at lengden til et segment X uttrykkes som en brøkdel med en lengdeenhet E, og lengden til et enhetssegment måles med en enhet E 1 og uttrykkes som en brøk. Hvordan finne tallet som vil representere lengden på segmentet X hvis det måles med lengdeenheten E 1?

Siden X = E, så er nX = mE, og av det faktum at E = E 1 følger det at qE = pE 1. La oss multiplisere den første likheten oppnådd med q, og den andre med m. Da er (nq)X = (mq)E og (mq)E= (mp)E 1, hvorav (nq)X= (mp)E 1. Denne likheten viser at lengden til segmentet x med en lengdeenhet uttrykkes som en brøk, som betyr , =, dvs. å multiplisere brøker innebærer å flytte fra en lengdeenhet til en annen når man måler lengden på samme segment.

Definisjon: Hvis et positivt tall a er representert av en brøk, og et positivt rasjonelt tall b er en brøk, så er produktet deres tallet a b, som er representert med en brøk.

Multiplisere positive rasjonelle tall kommutativ, assosiativ og distributiv med hensyn til addisjon og subtraksjon. Beviset for disse egenskapene er basert på definisjonen av multiplikasjon og addisjon av positive rasjonelle tall, samt på de tilsvarende egenskapene til addisjon og multiplikasjon av naturlige tall.

46. ​​Som kjent subtraksjon– Dette er den motsatte handlingen av tillegg.

Hvis en Og b - positive tall, å trekke tallet b fra tallet a betyr å finne et tall c som, når det legges til tallet b, gir tallet a.
a - b = c eller c + b = a
Definisjonen av subtraksjon gjelder for alle rasjonelle tall. Det vil si at subtraksjon av positive og negative tall kan erstattes med addisjon.
For å trekke et annet fra ett tall, må du legge til det motsatte tallet til det som trekkes fra.
Eller på en annen måte kan vi si at å trekke tallet b er det samme som addisjon, men med motsatt tall til b.
a - b = a + (- b)
Eksempel.
6 - 8 = 6 + (- 8) = - 2
Eksempel.
0 - 2 = 0 + (- 2) = - 2
Det er verdt å huske uttrykkene nedenfor.
0 - a = - a
a - 0 = a
a - a = 0

Regler for å trekke fra negative tall
Å trekke et tall b er å legge det sammen med det motsatte tallet av b.
Denne regelen gjelder ikke bare når du trekker et mindre tall fra et større tall, men lar deg også trekke fra et mindre tall større antall, det vil si at du alltid kan finne forskjellen mellom to tall.
Forskjellen kan være et positivt tall, et negativt tall eller et nulltall.
Eksempler på å trekke fra negative og positive tall.
- 3 - (+ 4) = - 3 + (- 4) = - 7
- 6 - (- 7) = - 6 + (+ 7) = 1
5 - (- 3) = 5 + (+ 3) = 8
Det er praktisk å huske tegnregelen, som lar deg redusere antall parenteser.
Plusstegnet endrer ikke tegnet på tallet, så hvis det er et pluss foran parentesen, endres ikke tegnet i parentesen.
+ (+ a) = + a
+ (- a) = - a
Minustegnet foran parentesen snur tegnet på tallet i parentesen.
- (+ a) = - a
- (- a) = + a
Fra likhetene er det klart at hvis det er identiske tegn før og innenfor parentesene, får vi "+", og hvis tegnene er forskjellige, får vi "-".
(- 6) + (+ 2) - (- 10) - (- 1) + (- 7) = - 6 + 2 + 10 + 1 - 7 = - 13 + 13 = 0
Tegnregelen er bevart selv om det ikke står ett tall i parentes, men algebraisk sum tall.
a - (- b + c) + (d - k + n) = a + b - c + d - k + n
Vær oppmerksom på at hvis det er flere tall i parentes og det er et minustegn foran parentes, så må skiltene foran alle tallene i disse parentesene endres.
For å huske tegnregelen kan du lage en tabell for å bestemme tegnene til et tall.
Tegnregel for tall+ (+) = + + (-) = -
- (-) = + - (+) = -
Eller lær deg en enkel regel.
To negative gir en bekreftende,
Pluss ganger minus er lik minus.

Regler for å dele negative tall.
For å finne modulen til en kvotient, må du dele modulen til utbyttet med modulen til divisoren.
Så for å dele to tall med de samme fortegnene, må du:

· utbyttemodulen er delt med divisormodulen;

· Sett et "+"-tegn foran resultatet.

Eksempler på å dele tall med forskjellige tegn:

Du kan også bruke følgende tabell for å bestemme kvotienttegnet.
Tegnregel for deling
+ : (+) = + + : (-) = -
- : (-) = + - : (+) = -

Når du beregner "lange" uttrykk der bare multiplikasjon og divisjon vises, er det veldig praktisk å bruke fortegnsregelen. For eksempel å regne ut en brøk
Vær oppmerksom på at telleren har 2 minustegn, som multiplisert vil gi et pluss. Det er også tre minustegn i nevneren, som multiplisert vil gi et minustegn. Derfor vil resultatet til slutt vise seg med et minustegn.
Å redusere en brøk (ytterligere handlinger med tallmodulene) utføres på samme måte som før:
Kvoten av null delt på et annet tall enn null er null.
0: a = 0, a ≠ 0
Du KAN IKKE dele på null!
Alle tidligere kjente regler for deling med én gjelder også for settet med rasjonelle tall.
a: 1 = a
a: (- 1) = - a
a: a = 1, hvor a er et hvilket som helst rasjonelt tall.
Forholdet mellom resultatene av multiplikasjon og divisjon, kjent for positive tall, forblir de samme for alle rasjonelle tall (unntatt null):
hvis a × b = c; a = c: b; b = c: a;
hvis a: b = c; a = c × b; b = a: c
Disse avhengighetene brukes til å finne den ukjente faktoren, utbytte og divisor (når man løser ligninger), samt for å sjekke resultatene av multiplikasjon og divisjon.
Et eksempel på å finne det ukjente.
x × (- 5) = 10
x = 10: (- 5)
x = - 2

Relatert informasjon.

) er tall med positive eller negativt tegn(heltall og brøker) og null. Et mer presist konsept for rasjonelle tall høres slik ut:

Rasjonalt tall- tallet som er representert vanlig brøkdel m/n, hvor telleren m er heltall, og nevneren n- naturlige tall, for eksempel 2/3.

Uendelige ikke-periodiske brøker er IKKE inkludert i settet med rasjonelle tall.

a/b, Hvor en∈ Z (en tilhører heltall), b∈ N (b tilhører naturlige tall).

Bruke rasjonelle tall i det virkelige liv.

I det virkelige liv settet med rasjonelle tall brukes til å telle delene av noen heltallsdelbare objekter, For eksempel, kaker eller annen mat som kuttes i biter før inntak, eller for grov estimering av romforholdet til utvidede objekter.

Egenskaper til rasjonelle tall.

Grunnleggende egenskaper til rasjonelle tall.

1. Ordentlighet en Og b det er en regel som lar deg entydig identifisere 1 og bare en av 3 relasjoner mellom dem: "<», «>" eller "=". Dette er regelen - bestillingsregel og formuler det slik:

• 2 positive tall a=m a /n a Og b=m b /n b er relatert av samme forhold som 2 heltall m a⋅ n b Og m b⋅ n a;
• 2 negative tall en Og b er relatert med samme forhold som 2 positive tall |b| Og |a|;
• Når en positiv og b– negativt altså a>b.

∀ a,b∈ Q(a ∨ a>b∨ a=b)

2. Tilleggsoperasjon. For alle rasjonelle tall en Og b Det er det summeringsregel, som forbinder dem med et visst rasjonelt tall c. Samtidig, selve tallet c- Dette sum tall en Og b og det er betegnet som (a+b) summering.

Oppsummeringsregel ser slik ut:

m a/n a + m b/n b =(m a⋅ n b + m b⋅ n a)/(n a⋅ n b).

∀ a,b∈ Q∃ !(a+b)∈ Q

3. Multiplikasjonsoperasjon. For alle rasjonelle tall en Og b Det er det multiplikasjonsregel, det assosierer dem med et visst rasjonelt tall c. Tallet c kalles arbeid tall en Og b og betegne (a⋅b), og prosessen med å finne dette nummeret kalles multiplikasjon.

Multiplikasjonsregel ser slik ut: m a n a⋅ m b n b =m a⋅ m b n a⋅ n b.

∀a,b∈Q ∃(a⋅b)∈Q

4. Transitivitet av ordrerelasjonen. For alle tre rasjonelle tall en, b Og c Hvis en mindre b Og b mindre c, Det en mindre c, og hvis en lik b Og b lik c, Det en lik c.

∀ a,b,c∈ Q(a ∧ b ⇒ en ∧ (a = b∧ b = c⇒ a = c)

5. Kommutativitet av tillegg. Å endre plasseringen av de rasjonelle leddene endrer ikke summen.

∀ a,b∈ Q a+b=b+a

6. Tillegg assosiativitet. Rekkefølgen som 3 rasjonelle tall legges til i, påvirker ikke resultatet.

∀ a,b,c∈ Q (a+b)+c=a+(b+c)

7. Tilstedeværelse av null. Det er et rasjonelt tall 0, det bevarer hvert annet rasjonelt tall når det legges til.

∃ 0 ∈ Q∀ en∈ Q a+0=a

8. Tilstedeværelse av motsatte tall. Ethvert rasjonelt tall har et motsatt rasjonelt tall, og når de legges til, er resultatet 0.

∀ en∈ Q∃ (−a)∈ Q a+(−a)=0

9. Kommutativitet av multiplikasjon. Å endre stedene for rasjonelle faktorer endrer ikke produktet.

∀ a,b∈ Q a⋅ b=b⋅ en

10. Assosiativitet av multiplikasjon. Rekkefølgen som 3 rasjonelle tall multipliseres i har ingen effekt på resultatet.

∀ a,b,c∈ Q(a⋅ b)⋅ c=a⋅ (b⋅ c)

11. Enhetens tilgjengelighet. Det er et rasjonelt tall 1, det bevarer hvert annet rasjonelt tall i prosessen med multiplikasjon.

∃ 1 ∈ Q∀ en∈ Q a⋅ 1=a

12. Tilgjengelighet gjensidige tall . Hvert rasjonelt tall annet enn null har et inverst rasjonelt tall, multiplisert med hvilket vi får 1 .

∀ en∈ Q∃ a−1∈ Q a⋅ a−1=1

13. Fordeling av multiplikasjon i forhold til addisjon. Multiplikasjonsoperasjonen er relatert til addisjon ved å bruke den distributive loven:

∀ a,b,c∈ Q(a+b)⋅ c=a⋅ c+b⋅ c

14. Forholdet mellom ordrerelasjonen og addisjonsoperasjonen. Det samme rasjonelle tallet legges til venstre og høyre side av en rasjonell ulikhet.

∀ a,b,c∈ Q a ⇒ a+c

15. Forholdet mellom ordensrelasjonen og multiplikasjonsoperasjonen. Venstre og høyre side av en rasjonell ulikhet kan multipliseres med det samme ikke-negative rasjonelle tallet.

∀ a,b,c∈ Q c>0∧ en ⇒ en⋅ c ⋅ c

16. Arkimedes aksiom. Uansett det rasjonelle tallet en, er det lett å ta så mange enheter at summen deres blir større en.

Tall- et viktig matematisk begrep som har endret seg gjennom århundrene.

De første ideene om tall oppsto ved å telle mennesker, dyr, frukt, ulike produkter osv. Resultatet er naturlige tall: 1, 2, 3, 4, ...

Historisk sett er den første utvidelsen av tallbegrepet tillegget av brøktall til det naturlige tallet.

Brøk en del (andel) av en enhet eller flere like deler kalles.

Utpekt av: , hvor m, n- heltall;

Brøker med nevner 10 n, Hvor n- et heltall, kalt desimal: .

Blant desimaler spesiell plass okkupere periodiske brøker: - ren periodisk fraksjon, - blandet periodisk fraksjon.

Ytterligere utvidelse av tallbegrepet er forårsaket av utviklingen av selve matematikken (algebra). Descartes på 1600-tallet. introduserer konseptet negativt tall.

Tallene heltall (positive og negative), brøker (positive og negative) og null kalles rasjonelle tall. Ethvert rasjonelt tall kan skrives som en endelig og periodisk brøk.

For å studere kontinuerlig skiftende variable mengder, viste det seg at en ny utvidelse av tallbegrepet var nødvendig - introduksjonen av reelle (reelle) tall - ved å legge til irrasjonelle tall til rasjonelle tall: irrasjonelle tall er uendelig desimal ikke-periodiske brøker.

Irrasjonelle tall dukket opp ved måling av inkommensurable segmenter (siden og diagonalen til et kvadrat), i algebra - når man trekker ut røtter, er et eksempel på et transcendentalt, irrasjonelt tall π, e .

Tall naturlig(1, 2, 3,...), hel(..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,...), rasjonell(representerbar som brøk) og irrasjonell(ikke representert som en brøkdel ) danne et sett ekte (ekte) tall.

Komplekse tall skilles separat i matematikk.

Komplekse tall oppstå i forbindelse med problemet med å løse ruter for saken D< 0 (здесь D– diskriminant av en andregradsligning). I lang tid fant ikke disse tallene fysisk anvendelse, og derfor ble de kalt "imaginære" tall. Imidlertid er de nå veldig mye brukt i forskjellige felt av fysikk og teknologi: elektroteknikk, hydro- og aerodynamikk, elastisitetsteori, etc.

Komplekse tall skrives på formen: z= en+ bi. Her en Og b – reelle tall, A jeg – imaginær enhet, dvs.e. jeg 2 = –1. Tall en ringte abscisse, a b –ordinere komplekst tall en+ bi. To komplekse tall en+ bi Og a–bi kalles konjugerer komplekse tall.

Egenskaper:

1. Reelt tall EN kan også skrives i kompleks tallform: en+ 0jeg eller en – 0jeg. For eksempel 5 + 0 jeg og 5-0 jeg betyr det samme tallet 5.

2. Kompleks tall 0 + bi ringte rent imaginært tall. Rekord bi betyr det samme som 0 + bi.

3. To komplekse tall en+ bi Og c+ di anses like hvis en= c Og b= d. Noe annet komplekse tall ikke like.

Handlinger:

Addisjon. Summen av komplekse tall en+ bi Og c+ di kalles et komplekst tall ( en+ c) + (b+ d)jeg. Slik, Når du legger til komplekse tall, legges abscissene og ordinatene deres til separat.

Subtraksjon. Forskjellen mellom to komplekse tall en+ bi(minsket) og c+ di(subtrahend) kalles et komplekst tall ( a–c) + (b–d)jeg. Slik, Når du trekker fra to komplekse tall, trekkes abscissene og ordinatene deres separat.

Multiplikasjon. Produkt av komplekse tall en+ bi Og c+ di kalles et komplekst tall:

(ac–bd) + (annonse+ f.Kr)jeg. Denne definisjonen følger av to krav:

1) tall en+ bi Og c+ di må multipliseres som algebraiske binomialer,

2) nummer jeg har hovedegenskapen: jeg 2 = –1.

EKSEMPEL ( a+ bi)(a–bi)=a 2 + b 2 . Derfor, arbeidav to konjugerte komplekse tall er lik et positivt reelt tall.

Inndeling. Del et komplekst tall en+ bi(delelig) med en annen c+ di (deler) - betyr å finne det tredje tallet e+ f i(chat), som når multiplisert med en divisor c+ di, resulterer i utbytte en+ bi. Hvis divisor ikke er null, er divisjon alltid mulig.

EKSEMPEL Finn (8+ jeg) : (2 – 3jeg) .

Løsning La oss omskrive dette forholdet som en brøk:

Multipliser telleren og nevneren med 2 + 3 jeg og etter å ha utført alle transformasjonene får vi:

Oppgave 1: Addere, subtrahere, multiplisere og dele z 1 på z 2

Trekk ut kvadratroten: Løs ligningen x 2 = -en. For å løse denne ligningen vi er tvunget til å bruke tall av en ny type - imaginære tall . Slik, innbilt ringte nummeret den andre potensen er et negativt tall. I henhold til denne definisjonen av imaginære tall kan vi definere og innbilt enhet:

Så for ligningen x 2 = – 25 får vi to innbilt rot:

Oppgave 2: Løs ligningen:

1) x 2 = – 36; 2) x 2 = – 49; 3) x 2 = – 121

Geometrisk representasjon av komplekse tall. Reelle tall er representert med punkter på tallinjen:

Her er poenget EN betyr tallet –3, prikk B– nummer 2, og O-null. I kontrast er komplekse tall representert av punkter på koordinatplanet. Til dette formålet velger vi rektangulære (kartesiske) koordinater med samme skala på begge akser. Deretter det komplekse tallet en+ bi vil bli representert med en prikk P med abscisseEN og ordinereb. Dette koordinatsystemet kalles komplekst plan .

Modul komplekst tall er lengden på vektoren OP, som representerer et komplekst tall på koordinaten ( omfattende) fly. Modulus til et komplekst tall en+ bi betegnet | en+ bi| eller) brev r og er lik:

Konjugerte komplekse tall har samme modul.

Reglene for å tegne en tegning er nesten de samme som for en tegning i et kartesisk koordinatsystem Langs aksene må du sette dimensjonen, merk:

e
enhet langs den reelle aksen; Re z

imaginær enhet langs den imaginære aksen. Jeg er z

Oppgave 3. Konstruer følgende komplekse tall på det komplekse planet: , , , , , , ,

1. Tallene er nøyaktige og omtrentlige. Tallene vi møter i praksis er av to slag. Noen gir den sanne verdien av mengden, andre bare omtrentlige. Den første kalles eksakt, den andre - omtrentlig. Oftest er det praktisk å bruke et omtrentlig tall i stedet for et eksakt, spesielt siden det i mange tilfeller eksakt antall umulig å finne i det hele tatt.

Så hvis de sier at det er 29 elever i en klasse, er tallet 29 nøyaktig. Hvis de sier at avstanden fra Moskva til Kiev er 960 km, her er tallet 960 omtrentlig, siden måleinstrumentene våre på den ene siden ikke er helt nøyaktige, på den annen side har byene selv en viss grad.

Resultatet av handlinger med omtrentlige tall er også et omtrentlig tall. Ved å utføre noen operasjoner på eksakte tall (divisjon, rotekstraksjon), kan du også få omtrentlige tall.

Teorien om omtrentlige beregninger tillater:

1) vite graden av nøyaktighet av dataene, evaluere graden av nøyaktighet av resultatene;

2) ta data med en passende grad av nøyaktighet som er tilstrekkelig til å sikre den nødvendige nøyaktigheten av resultatet;

3) rasjonalisere beregningsprosessen, frigjør den fra de beregningene som ikke vil påvirke nøyaktigheten til resultatet.

2. Avrunding. En kilde for å få omtrentlige tall er avrunding. Både omtrentlige og nøyaktige tall er avrundet.

Å avrunde et gitt tall til et bestemt siffer kalles å erstatte det med et nytt tall, som er hentet fra det gitte ved å forkaste alle sifrene skrevet til høyre for sifferet til dette sifferet, eller ved å erstatte dem med nuller. Disse nullene er vanligvis understreket eller skrevet mindre. For å sikre at det avrundede tallet er så nært som mulig til det som avrundes, bør du bruke følgende regler: for å avrunde et tall til ett av et bestemt siffer, må du forkaste alle sifrene etter sifferet til dette sifferet, og erstatte dem med nuller i hele tallet. Følgende er tatt i betraktning:

1) hvis det første (til venstre) av de forkastede sifrene er mindre enn 5, endres ikke det siste gjenværende sifferet (avrunding nedover);

2) hvis det første sifferet som skal forkastes er større enn 5 eller lik 5, økes det siste sifferet som er igjen med én (avrunding med overskytende).

La oss vise dette med eksempler. Rund:

a) opptil tideler 12.34;

b) opptil hundredeler 3,2465; 1038,785;

c) opptil tusendeler 3,4335.

d) opptil tusen 12375; 320729.

a) 12,34 ≈ 12,3;

b) 3,2465 ≈ 3,25; 1038,785 ≈ 1038,79;

c) 3,4335 ≈ 3,434.

d) 12375 ≈ 12.000; 320729 ≈ 321000.

3. Absolutte og relative feil. Forskjellen mellom det nøyaktige tallet og dets omtrentlige verdi kalles den absolutte feilen til det omtrentlige tallet. For eksempel, hvis det nøyaktige tallet 1,214 rundes av til nærmeste tiendedel, får vi et omtrentlig tall på 1,2. I dette tilfellet absolutt feil det omtrentlige tallet 1.2 er lik 1.214 - 1.2, dvs. 0,014.

Men i de fleste tilfeller eksakt verdi mengden som vurderes er ukjent, men kun omtrentlig. Da er den absolutte feilen ukjent. I disse tilfellene, angi grensen som den ikke overskrider. Dette tallet kalles den begrensende absolutte feilen. De sier at den nøyaktige verdien av et tall er lik dens omtrentlige verdi med en feil mindre enn marginalfeilen. For eksempel er tallet 23,71 en omtrentlig verdi av tallet 23,7125 med en nøyaktighet på 0,01, siden den absolutte feilen for tilnærmingen er 0,0025 og mindre enn 0,01. Her er den begrensende absolutte feilen 0,01 *.

Absolutt grensefeil for det omtrentlige tallet EN angitt med symbolet Δ en. Rekord

x≈en(±Δ en)

skal forstås som følger: den nøyaktige verdien av mengden x er mellom tallene EN– Δ en Og EN+ Δ EN, som kalles henholdsvis nedre og øvre grenser X og angir NG x VG X.

For eksempel hvis x≈ 2,3 (±0,1), deretter 2,2<x< 2,4.

Omvendt, hvis 7.3< X< 7,4, тоX≈ 7,35 (±0,05). Den absolutte eller marginale absolutte feilen karakteriserer ikke kvaliteten på den utførte målingen. Den samme absolutte feilen kan betraktes som betydelig og ubetydelig avhengig av tallet som måleverdien uttrykkes med. For eksempel, hvis vi måler avstanden mellom to byer med en nøyaktighet på én kilometer, er en slik nøyaktighet ganske tilstrekkelig for denne endringen, men på samme tid, når vi måler avstanden mellom to hus i samme gate, vil en slik nøyaktighet være uakseptabelt. Følgelig avhenger nøyaktigheten av den omtrentlige verdien av en mengde ikke bare av størrelsen på den absolutte feilen, men også av verdien av den målte mengden. Derfor er den relative feilen et mål på nøyaktighet.

Relativ feil er forholdet mellom den absolutte feilen og verdien av det omtrentlige tallet. Forholdet mellom den begrensende absolutte feilen og det omtrentlige tallet kalles den begrensende relative feilen; de betegner det slik: . Relative og marginale relative feil uttrykkes vanligvis i prosent. For eksempel hvis målinger viste at avstanden X mellom to punkter er mer enn 12,3 km, men mindre enn 12,7 km, så tas det aritmetiske gjennomsnittet av disse to tallene som sin omtrentlige verdi, dvs. deres halvsum, så er den marginale absolutte feilen lik halve forskjellen til disse tallene. I dette tilfellet X≈ 12,5 (±0,2). Her er den begrensende absolutte feilen 0,2 km, og den begrensende relative

Eldre skoleelever og matematikkstudenter vil sannsynligvis svare på dette spørsmålet med letthet. Men for de som er langt unna dette av yrke, blir det vanskeligere. Hva er det egentlig?

Essens og betegnelse

Rasjonale tall er de som kan representeres som en vanlig brøk. Positive, negative og null er også inkludert i dette settet. Telleren til brøken må være et heltall, og nevneren må være

Dette settet i matematikk er betegnet som Q og kalles "feltet for rasjonelle tall." Den inkluderer alle heltall og naturlige tall, betegnet henholdsvis Z og N. Selve mengden Q er inkludert i mengden R. Det er denne bokstaven som betegner den såkalte reelle eller

Ytelse

Som allerede nevnt, er rasjonelle tall et sett som inkluderer alle heltalls- og brøkverdier. De kan komme i forskjellige former. For det første i form av en vanlig brøk: 5/7, 1/5, 11/15, osv. Heltall kan selvfølgelig også skrives i lignende form: 6/2, 15/5, 0/1, - 10/2 osv. For det andre er en annen type representasjon en desimalbrøk med en siste brøkdel: 0,01, -15,001006 osv. Dette er kanskje en av de vanligste formene.

Men det er også en tredje - en periodisk brøk. Denne typen er ikke veldig vanlig, men brukes fortsatt. For eksempel kan brøken 10/3 skrives som 3,33333... eller 3,(3). I dette tilfellet vil forskjellige representasjoner betraktes som like tall. Brøker som er like med hverandre vil også kalles like, for eksempel 3/5 og 6/10. Det ser ut til at det har blitt klart hva rasjonelle tall er. Men hvorfor brukes dette begrepet for å referere til dem?

Opprinnelsen til navnet

Ordet "rasjonell" på moderne russisk har generelt en litt annen betydning. Det er mer som "rimelig", "gjennomtenkt". Men de matematiske begrepene er nær den direkte betydningen av dette. På latin er "ratio" et "forhold", "brøk" eller "divisjon". Dermed fanger navnet essensen av hva rasjonelle tall er. Imidlertid den andre betydningen

ikke langt fra sannheten.

Handlinger med dem

Når vi løser matematiske problemer, støter vi hele tiden på rasjonelle tall uten å vite det selv. Og de har en rekke interessante egenskaper. Alle følger enten av definisjonen av et sett eller fra handlinger.

For det første har rasjonelle tall ordensrelasjonsegenskapen. Dette betyr at det bare kan være ett forhold mellom to tall - de er enten like med hverandre, eller det ene er større eller mindre enn det andre. Det vil si:

eller a = b; eller a > b, eller en< b.

I tillegg følger også relasjonens transitivitet av denne egenskapen. Det vil si hvis en flere b, b flere c, Det en flere c. I matematisk språk ser det slik ut:

(a > b) ^ (b > c) => (a > c).

For det andre er det aritmetiske operasjoner med rasjonelle tall, det vil si addisjon, subtraksjon, divisjon og selvfølgelig multiplikasjon. Samtidig, i prosessen med transformasjoner, kan en rekke egenskaper også identifiseres.

• a + b = b + a (endring av steder av begreper, kommutativitet);
• 0 + a = a + 0;
• (a + b) + c = a + (b + c) (assosiativitet);
• a + (-a) = 0;
• ab = ba;
• (ab)c = a(bc) (fordelingsevne);
• a x 1 = 1 x a = a;
• a x (1 / a) = 1 (i dette tilfellet er a ikke lik 0);
• (a + b)c = ac + ab;
• (a > b) ^ (c > 0) => (ac > bc).

Når vi snakker om om vanlige tall og ikke heltall, kan operasjoner med dem forårsake visse vanskeligheter. Dermed er addisjon og subtraksjon kun mulig hvis nevnerne er like. Hvis de i utgangspunktet er forskjellige, bør du finne den vanlige ved å multiplisere hele brøken med visse tall. Sammenligning er også oftest mulig bare hvis denne betingelsen er oppfylt.

Divisjon og multiplikasjon vanlige brøker er produsert i samsvar med tilstrekkelig enkle regler. Reduksjon til en fellesnevner er ikke nødvendig. Tellerne og nevnerne multipliseres hver for seg, og i prosessen med å utføre handlingen, om mulig, bør brøken reduseres og forenkles så mye som mulig.

Når det gjelder deling, er denne handlingen lik den første med en liten forskjell. For den andre brøken skal du finne inversen, altså

"snu" den. Dermed må telleren til den første brøken multipliseres med nevneren til den andre og omvendt.

Til slutt kalles en annen egenskap som er iboende i rasjonelle tall Arkimedes 'aksiom. Ofte i litteraturen finnes også navnet "prinsipp". Den er gyldig for hele settet med reelle tall, men ikke overalt. Dermed gjelder ikke dette prinsippet for noen sett med rasjonelle funksjoner. I hovedsak betyr dette aksiomet at gitt eksistensen av to størrelser a og b, kan du alltid ta nok a til å overstige b.

Anvendelsesområde

Så for de som har lært eller husket hva rasjonelle tall er, blir det klart at de brukes overalt: i regnskap, økonomi, statistikk, fysikk, kjemi og andre vitenskaper. Naturligvis har de også en plass i matematikk. Når vi ikke alltid vet at vi har med dem å gjøre, bruker vi hele tiden rasjonelle tall. Selv små barn, som lærer å telle gjenstander, skjærer et eple i biter eller utfører andre enkle handlinger, møter dem. De omgir oss bokstavelig talt. Og likevel er de ikke nok til å løse noen problemer spesielt, ved å bruke Pythagoras teorem som eksempel, kan man forstå behovet for å introdusere konseptet