Finn den deriverte av en funksjon med en detaljert løsning. Hvordan finne den deriverte? Eksempler på løsninger

På hvilken vi analyserte de enkleste derivatene, og også ble kjent med reglene for differensiering og noen tekniske metoder finne derivater. Derfor, hvis du ikke er veldig god med avledede funksjoner eller noen punkter i denne artikkelen ikke er helt klare, så les først leksjonen ovenfor. Vær så snill å kom i seriøst humør - materialet er ikke enkelt, men jeg vil likevel prøve å presentere det enkelt og tydelig.

I praksis må du forholde deg til den deriverte av en kompleks funksjon veldig ofte, jeg vil til og med si, nesten alltid, når du får oppgaver med å finne deriverte.

Vi ser på tabellen ved regelen (nr. 5) for å differensiere en kompleks funksjon:

La oss finne ut av det. Først av alt, la oss ta hensyn til oppføringen. Her har vi to funksjoner - og , og funksjonen er billedlig talt nestet i funksjonen . En funksjon av denne typen (når en funksjon er nestet i en annen) kalles en kompleks funksjon.

Jeg vil kalle funksjonen ekstern funksjon, og funksjonen – intern (eller nestet) funksjon.

! Disse definisjonene er ikke teoretiske og skal ikke fremkomme i den endelige utformingen av oppgavene. Jeg bruker uformelle uttrykk "ekstern funksjon", "intern" funksjon kun for å gjøre det lettere for deg å forstå stoffet.

For å avklare situasjonen, vurder:

Eksempel 1

Finn den deriverte av en funksjon

Under sinusen har vi ikke bare bokstaven "X", men et helt uttrykk, så det vil ikke fungere å finne den deriverte med en gang fra tabellen. Vi legger også merke til at det er umulig å bruke de fire første reglene her, det ser ut til å være en forskjell, men faktum er at sinusen ikke kan "reves i stykker":

I i dette eksemplet Det er allerede intuitivt klart fra mine forklaringer at en funksjon er kompleks funksjon, og polynomet er en intern funksjon (embedding), og er en ekstern funksjon.

Første steg det du må gjøre når du finner den deriverte av en kompleks funksjon er å forstå hvilken funksjon som er intern og hvilken som er ekstern.

I tilfelle enkle eksempler Det virker klart at et polynom er innebygd under sinusen. Men hva om alt ikke er åpenbart? Hvordan bestemme nøyaktig hvilken funksjon som er ekstern og hvilken som er intern? For å gjøre dette foreslår jeg å bruke følgende teknikk, som kan gjøres mentalt eller i et utkast.

La oss forestille oss at vi må beregne verdien av uttrykket på en kalkulator (i stedet for en kan det være et hvilket som helst tall).

Hva skal vi beregne først? Først av alt du må utføre følgende handling: , derfor vil polynomet være en intern funksjon:

For det andre må finnes, så sinus – vil være en ekstern funksjon:

Etter vi UTSOLGT med interne og eksterne funksjoner er det på tide å bruke regelen om differensiering av komplekse funksjoner .

La oss begynne å bestemme oss. Fra leksjonen Hvordan finne den deriverte? vi husker at utformingen av en løsning til en hvilken som helst derivat alltid begynner slik - vi omslutter uttrykket i parentes og setter et strøk øverst til høyre:

Først vi finner den deriverte av den ytre funksjonen (sinus), ser på tabellen over avledede av elementære funksjoner og legger merke til at . Alle tabellformler kan også brukes hvis "x" erstattes med et komplekst uttrykk, i dette tilfellet:

Vær oppmerksom på at den indre funksjonen har ikke endret seg, vi rører den ikke.

Vel, det er ganske åpenbart det

Resultatet av å bruke formelen i sin endelige form ser det slik ut:

Konstantfaktoren plasseres vanligvis i begynnelsen av uttrykket:

Hvis det er noen misforståelser, skriv ned løsningen på papir og les forklaringene på nytt.

Eksempel 2

Finn den deriverte av en funksjon

Eksempel 3

Finn den deriverte av en funksjon

Som alltid skriver vi ned:

La oss finne ut hvor vi har en ekstern funksjon og hvor vi har en intern. For å gjøre dette prøver vi (mentalt eller i et utkast) å beregne verdien av uttrykket ved . Hva bør du gjøre først? Først av alt må du beregne hva basen er lik: derfor er polynomet den interne funksjonen:

Og først da utføres eksponentieringen, derfor er potensfunksjonen en ekstern funksjon:

I henhold til formelen , først må du finne den deriverte av den eksterne funksjonen, i dette tilfellet graden. Vi ser etter den nødvendige formelen i tabellen: . Vi gjentar igjen: enhver tabellformel er gyldig ikke bare for "X", men også for et komplekst uttrykk. Dermed resultatet av å bruke regelen for å differensiere en kompleks funksjon neste:

Jeg understreker igjen at når vi tar den deriverte av den eksterne funksjonen, endres ikke vår interne funksjon:

Nå gjenstår det bare å finne en veldig enkel avledning av den interne funksjonen og justere resultatet litt:

Eksempel 4

Finn den deriverte av en funksjon

Dette er et eksempel du kan løse på egen hånd (svar på slutten av leksjonen).

For å konsolidere din forståelse av den deriverte av en kompleks funksjon, vil jeg gi et eksempel uten kommentarer, prøve å finne ut av det på egen hånd, begrunne hvor den eksterne og hvor den interne funksjonen er, hvorfor oppgavene løses på denne måten?

Eksempel 5

a) Finn den deriverte av funksjonen

b) Finn den deriverte av funksjonen

Eksempel 6

Finn den deriverte av en funksjon

Her har vi en rot, og for å skille roten må den representeres som en kraft. Derfor bringer vi først funksjonen til den formen som passer for differensiering:

Ved å analysere funksjonen kommer vi til at summen av de tre leddene er en intern funksjon, og å heve til en potens er en ekstern funksjon. Vi bruker regelen om differensiering av komplekse funksjoner :

Vi representerer igjen graden som en radikal (rot), og for den deriverte av den interne funksjonen bruker vi en enkel regel for å differensiere summen:

Ferdig. Du kan også redusere uttrykket til en fellesnevner i parentes og skrive alt ned som én brøk. Det er selvfølgelig vakkert, men når du får tungvinte lange derivater, er det bedre å ikke gjøre dette (det er lett å bli forvirret, gjøre en unødvendig feil, og det vil være upraktisk for læreren å sjekke).

Eksempel 7

Finn den deriverte av en funksjon

Dette er et eksempel du kan løse på egen hånd (svar på slutten av leksjonen).

Det er interessant å merke seg at noen ganger i stedet for regelen for å differensiere en kompleks funksjon, kan du bruke regelen for å differensiere en kvotient , men en slik løsning vil se ut som en uvanlig perversjon. Her er et typisk eksempel:

Eksempel 8

Finn den deriverte av en funksjon

Her kan du bruke regelen om differensiering av kvotienten , men det er mye mer lønnsomt å finne den deriverte gjennom regelen for differensiering av en kompleks funksjon:

Vi forbereder funksjonen for differensiering - vi flytter minus ut av det deriverte tegnet, og hever cosinus til telleren:

Cosinus er en intern funksjon, eksponentiering er en ekstern funksjon.
La oss bruke vår regel :

Vi finner den deriverte av den interne funksjonen og tilbakestiller cosinus:

Ferdig. I det betraktede eksemplet er det viktig å ikke bli forvirret i skiltene. Forresten, prøv å løse det ved å bruke regelen , må svarene samsvare.

Eksempel 9

Finn den deriverte av en funksjon

Dette er et eksempel du kan løse på egen hånd (svar på slutten av leksjonen).

Så langt har vi sett på tilfeller der vi kun hadde én hekking i en kompleks funksjon. I praktiske oppgaver kan du ofte finne derivater, der, som hekkende dukker, den ene inne i den andre, 3 eller til og med 4-5 funksjoner er nestet på en gang.

Eksempel 10

Finn den deriverte av en funksjon

La oss forstå vedleggene til denne funksjonen. La oss prøve å beregne uttrykket ved å bruke den eksperimentelle verdien. Hvordan vil vi regne med en kalkulator?

Først må du finne , som betyr at arcsine er den dypeste innebyggingen:

Denne arcsinen til en skal da kvadrateres:

Og til slutt hever vi syv til en makt:

Det vil si at vi i dette eksemplet har tre forskjellige funksjoner og to innbygginger, mens den innerste funksjonen er arcsinus, og den ytterste funksjonen er eksponentialfunksjonen.

La oss begynne å bestemme oss

I følge regelen Først må du ta den deriverte av den ytre funksjonen. Vi ser på tabellen over deriverte og finner den deriverte eksponentiell funksjon: Den eneste forskjellen er at i stedet for "x" har vi et komplekst uttrykk, som ikke opphever gyldigheten til denne formelen. Så resultatet av å bruke regelen for å differensiere en kompleks funksjon neste.

På denne leksjonen vi skal lære å finne avledet av en kompleks funksjon. Leksjonen er en logisk fortsettelse av leksjonen Hvordan finne den deriverte?, der vi undersøkte de enkleste derivatene, og ble også kjent med differensieringsreglene og noen tekniske teknikker for å finne derivater. Derfor, hvis du ikke er veldig god med avledede funksjoner eller noen punkter i denne artikkelen ikke er helt klare, så les først leksjonen ovenfor. Vær så snill å kom i seriøs stemning - materialet er ikke enkelt, men jeg vil likevel prøve å presentere det enkelt og tydelig.

I praksis må du forholde deg til den deriverte av en kompleks funksjon veldig ofte, jeg vil til og med si, nesten alltid, når du får oppgaver med å finne deriverte.

Vi ser på tabellen ved regelen (nr. 5) for å differensiere en kompleks funksjon:

Jeg vil kalle funksjonen ekstern funksjon, og funksjonen – intern (eller nestet) funksjon.

For å avklare situasjonen, vurder:

Eksempel 1

Finn den deriverte av en funksjon

I dette eksemplet er det allerede intuitivt klart fra mine forklaringer at en funksjon er en kompleks funksjon, og polynomet er en intern funksjon (embedding), og en ekstern funksjon.

Første steg det du må gjøre når du finner den deriverte av en kompleks funksjon er å forstå hvilken funksjon som er intern og hvilken som er ekstern.

Når det gjelder enkle eksempler, virker det klart at et polynom er innebygd under sinusen. Men hva om alt ikke er åpenbart? Hvordan bestemme nøyaktig hvilken funksjon som er ekstern og hvilken som er intern? For å gjøre dette foreslår jeg å bruke følgende teknikk, som kan gjøres mentalt eller i et utkast.

La oss forestille oss at vi må beregne verdien av uttrykket på en kalkulator (i stedet for en kan det være et hvilket som helst tall).

Hva skal vi beregne først? Først av alt du må utføre følgende handling: , derfor vil polynomet være en intern funksjon:

For det andre må finnes, så sinus – vil være en ekstern funksjon:

Etter vi UTSOLGT Med interne og eksterne funksjoner er det på tide å bruke regelen om differensiering av komplekse funksjoner.

La oss begynne å bestemme oss. Fra klassen Hvordan finne den deriverte? vi husker at utformingen av en løsning til en hvilken som helst derivat alltid begynner slik - vi omslutter uttrykket i parentes og setter et strøk øverst til høyre:

Vær oppmerksom på at den indre funksjonen har ikke endret seg, vi rører den ikke.

Vel, det er ganske åpenbart det

Det endelige resultatet av å bruke formelen ser slik ut:

Konstantfaktoren plasseres vanligvis i begynnelsen av uttrykket:

Hvis det er noen misforståelser, skriv ned løsningen på papir og les forklaringene på nytt.

Eksempel 2

Finn den deriverte av en funksjon

Eksempel 3

Finn den deriverte av en funksjon

Som alltid skriver vi ned:

La oss finne ut hvor vi har en ekstern funksjon og hvor vi har en intern. For å gjøre dette prøver vi (mentalt eller i et utkast) å beregne verdien av uttrykket ved . Hva bør du gjøre først? Først av alt må du beregne hva basen er lik: derfor er polynomet den interne funksjonen:

Og først da utføres eksponentieringen, derfor er potensfunksjonen en ekstern funksjon:

I henhold til formelen må du først finne den deriverte av den eksterne funksjonen, i dette tilfellet graden. Vi ser etter den nødvendige formelen i tabellen: . Vi gjentar igjen: enhver tabellformel er gyldig ikke bare for "X", men også for et komplekst uttrykk. Dermed er resultatet av å bruke regelen for å differensiere en kompleks funksjon som følger:

Eksempel 4

Finn den deriverte av en funksjon

Dette er et eksempel du kan løse på egen hånd (svar på slutten av leksjonen).

Eksempel 5

a) Finn den deriverte av funksjonen

b) Finn den deriverte av funksjonen

Eksempel 6

Finn den deriverte av en funksjon

Her har vi en rot, og for å skille roten må den representeres som en kraft. Derfor bringer vi først funksjonen til den formen som passer for differensiering:

Vi representerer igjen graden som en radikal (rot), og for den deriverte av den interne funksjonen bruker vi en enkel regel for å differensiere summen:

Eksempel 7

Finn den deriverte av en funksjon

Dette er et eksempel du kan løse på egen hånd (svar på slutten av leksjonen).

Eksempel 8

Finn den deriverte av en funksjon

Her kan du bruke regelen om differensiering av kvotienten , men det er mye mer lønnsomt å finne den deriverte gjennom regelen for differensiering av en kompleks funksjon:

Vi forbereder funksjonen for differensiering - vi flytter minus ut av det deriverte tegnet, og hever cosinus til telleren:

Cosinus er en intern funksjon, eksponentiering er en ekstern funksjon.
La oss bruke vår regel:

Vi finner den deriverte av den interne funksjonen og tilbakestiller cosinus:

Ferdig. I det betraktede eksemplet er det viktig å ikke bli forvirret i skiltene. Forresten, prøv å løse det ved å bruke regelen , må svarene samsvare.

Eksempel 9

Finn den deriverte av en funksjon

Dette er et eksempel du kan løse på egen hånd (svar på slutten av leksjonen).

Eksempel 10

Finn den deriverte av en funksjon

La oss forstå vedleggene til denne funksjonen. La oss prøve å beregne uttrykket ved å bruke den eksperimentelle verdien. Hvordan vil vi regne med en kalkulator?

Først må du finne , som betyr at arcsine er den dypeste innebyggingen:

Denne arcsinen til en skal da kvadrateres:

Og til slutt hever vi syv til en makt:

Det vil si at vi i dette eksemplet har tre forskjellige funksjoner og to innbygginger, mens den innerste funksjonen er arcsinus, og den ytterste funksjonen er eksponentialfunksjonen.

La oss begynne å bestemme oss

I henhold til regelen må du først ta den deriverte av den eksterne funksjonen. Vi ser på tabellen med deriverte og finner den deriverte av eksponentialfunksjonen: Den eneste forskjellen er at i stedet for "x" har vi et komplekst uttrykk, som ikke negerer gyldigheten til denne formelen. Så resultatet av å bruke regelen for å differensiere en kompleks funksjon er som følger.

Definisjon. La funksjonen $y = f(x) $ være definert i et bestemt intervall som inneholder punktet $x_0$ i seg selv. La oss gi argumentet en økning $\Delta x $ slik at det ikke forlater dette intervallet. La oss finne den tilsvarende økningen av funksjonen $\Delta y $ (når vi flytter fra punktet $x_0 $ til punktet $x_0 + \Delta x $) og komponere relasjonen $\frac(\Delta) y)(\Delta x) $. Hvis det er en grense for dette forholdet ved $\Delta x \rightarrow 0$, kalles den angitte grensen avledet av en funksjon$y=f(x) $ ved punktet $x_0 $ og angi $f"(x_0) $.

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

Symbolet y brukes ofte for å betegne den deriverte. Merk at y" = f(x) er en ny funksjon, men naturlig relatert til funksjonen y = f(x), definert på alle punktene x der grensen ovenfor eksisterer. Denne funksjonen kalles slik: deriverte av funksjonen y = f(x).

Geometrisk betydning av derivat er som følger. Hvis det er mulig å tegne en tangent til grafen til funksjonen y = f(x) i punktet med abscisse x=a, som ikke er parallell med y-aksen, så uttrykker f(a) helningen til tangenten :
$k = f"(a)$

Siden $k = tg(a) $, så er likheten $f"(a) = tan(a) $ sann.

La oss nå tolke definisjonen av derivat fra synspunktet om omtrentlige likheter. La funksjonen $y = f(x)$ ha en derivert i et spesifikt punkt $x$:
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Dette betyr at nær punktet x den omtrentlige likheten $\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x) $, dvs. $\Delta y \approx f"(x) \cdot\ Delta x$. Den meningsfulle betydningen av den resulterende omtrentlige likheten er som følger: økningen av funksjonen er "nesten proporsjonal" med økningen av argumentet, og proporsjonalitetskoeffisienten er verdien av den deriverte i gitt poeng X. For eksempel, for funksjonen $y = x^2$ er den omtrentlige likheten $\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x $ gyldig. Hvis vi nøye analyserer definisjonen av en derivert, vil vi finne at den inneholder en algoritme for å finne den.

La oss formulere det.

Hvordan finne den deriverte av funksjonen y = f(x)?

1. Fiks verdien av $x$, finn $f(x)$
2. Gi argumentet $x$ en økning $\Delta x$, gå til nytt punkt$x+ \Delta x $, finn $f(x+ \Delta x) $
3. Finn inkrementet til funksjonen: $\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) $
4. Opprett relasjonen $\frac(\Delta y)(\Delta x) $
5. Beregn $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Denne grensen er den deriverte av funksjonen i punkt x.

Hvis en funksjon y = f(x) har en derivert i et punkt x, kalles den differensierbar i et punkt x. Prosedyren for å finne den deriverte av funksjonen y = f(x) kalles differensiering funksjoner y = f(x).

La oss diskutere følgende spørsmål: hvordan er kontinuitet og differensierbarhet av en funksjon på et punkt relatert til hverandre?

La funksjonen y = f(x) være differensierbar i punktet x. Deretter kan en tangent trekkes til grafen til funksjonen i punktet M(x; f(x)), og husk at vinkelkoeffisienten til tangenten er lik f "(x). En slik graf kan ikke "bryte" ved punkt M, dvs. funksjonen må være kontinuerlig i punkt x.

Dette var "hands-on" argumenter. La oss gi en mer streng begrunnelse. Hvis funksjonen y = f(x) er differensierbar i punktet x, så gjelder den omtrentlige likheten $\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x$. Hvis i denne likheten $\Delta x $ har en tendens til null, så vil $\Delta y$ ha en tendens til null, og dette er betingelsen for kontinuiteten til funksjonen i et punkt.

Så, hvis en funksjon er differensierbar i et punkt x, så er den kontinuerlig i det punktet.

Det motsatte utsagnet er ikke sant. For eksempel: funksjon y = |x| er kontinuerlig overalt, spesielt i punktet x = 0, men tangenten til grafen til funksjonen ved "krysspunktet" (0; 0) eksisterer ikke. Hvis en tangent på et tidspunkt ikke kan trekkes til grafen til en funksjon, eksisterer ikke den deriverte på det punktet.

Et annet eksempel. Funksjonen $y=\sqrt(x)$ er kontinuerlig på hele tallinjen, inkludert i punktet x = 0. Og tangenten til grafen til funksjonen eksisterer på et hvilket som helst punkt, inkludert i punktet x = 0 Men på dette tidspunktet faller tangenten sammen med y-aksen, dvs. den er vinkelrett på abscisseaksen, dens ligning har formen x = 0. Helningskoeffisient en slik linje har ikke, noe som betyr at $f"(0) $ heller ikke eksisterer

Så vi ble kjent med en ny egenskap til en funksjon - differensieringsevne. Hvordan kan man konkludere fra grafen til en funksjon at den er differensierbar?

Svaret er faktisk gitt ovenfor. Hvis det på et tidspunkt er mulig å tegne en tangent til grafen til en funksjon som ikke er vinkelrett på abscisseaksen, så er funksjonen på dette punktet differensierbar. Hvis tangenten til grafen til en funksjon på et tidspunkt ikke eksisterer eller den er vinkelrett på abscisseaksen, er funksjonen på dette tidspunktet ikke differensierbar.

Regler for differensiering

Operasjonen med å finne den deriverte kalles differensiering. Når du utfører denne operasjonen, må du ofte jobbe med kvotienter, summer, produkter av funksjoner, så vel som "funksjoner av funksjoner", det vil si komplekse funksjoner. Ut fra definisjonen av derivat kan vi utlede differensieringsregler som gjør dette arbeidet enklere. Hvis C - konstant antall og f=f(x), g=g(x) er noen differensierbare funksjoner, så er følgende sanne differensieringsregler:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \right) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ Derivert av en kompleks funksjon:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

Tabell over derivater av noen funksjoner

$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arcctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $

Problemet med å finne den deriverte av gitt funksjon er et av hovedkursene i matematikk videregående skole og i høyere utdanningsinstitusjoner. Det er umulig å utforske en funksjon fullstendig og konstruere grafen uten å ta den deriverte. Den deriverte av en funksjon kan lett finnes hvis du kjenner de grunnleggende reglene for differensiering, samt tabellen over avledede funksjoner. La oss finne ut hvordan du finner den deriverte av en funksjon.

Den deriverte av en funksjon er grensen for forholdet mellom økningen av funksjonen og økningen av argumentet når økningen av argumentet har en tendens til null.

Å forstå denne definisjonen er ganske vanskelig, siden konseptet med en grense ikke er fullt studert på skolen. Men for å finne deriverte av ulike funksjoner, er det ikke nødvendig å forstå definisjonen, la oss overlate det til matematikere og gå rett til å finne den deriverte.

Prosessen med å finne den deriverte kalles differensiering. Når vi differensierer funksjonen får vi ny funksjon.

For å betegne dem vil vi bruke latinske bokstaver f, g osv.

Det finnes mange forskjellige notasjoner for derivater. Vi vil bruke et slag. For eksempel, å skrive g" betyr at vi finner den deriverte av funksjonen g.

Derivattabell

For å svare på spørsmålet om hvordan du finner derivatet, er det nødvendig å gi en tabell over derivater av hovedfunksjonene. For å beregne deriverte av elementære funksjoner, er det ikke nødvendig å utføre komplekse beregninger. Det er nok bare å se på verdien i tabellen over derivater.

(sin x)"=cos x
(cos x)"= –sin x
(x n)"=n x n-1
(e x)"=e x
(ln x)"=1/x
(a x)"=a x ln a
(log a x)"=1/x ln a
(tg x)"=1/cos 2 x
(ctg x)"= – 1/sin 2 x
(arcsin x)"= 1/√(1-x 2)
(arccos x)"= - 1/√(1-x 2)
(arctg x)"= 1/(1+x 2)
(arcctg x)"= - 1/(1+x 2)

Eksempel 1. Finn den deriverte av funksjonen y=500.

Vi ser at dette er en konstant. Fra tabellen over deriverte er det kjent at den deriverte av en konstant er lik null (formel 1).

Eksempel 2. Finn den deriverte av funksjonen y=x 100.

Dette er en potensfunksjon hvis eksponent er 100, og for å finne dens deriverte må du multiplisere funksjonen med eksponenten og redusere den med 1 (formel 3).

(x 100)"=100 x 99

Eksempel 3. Finn den deriverte av funksjonen y=5 x

Dette er en eksponentiell funksjon, la oss beregne dens deriverte ved å bruke formel 4.

Eksempel 4. Finn den deriverte av funksjonen y= log 4 x

Vi finner den deriverte av logaritmen ved å bruke formel 7.

(log 4 x)"=1/x ln 4

Regler for differensiering

La oss nå finne ut hvordan du finner den deriverte av en funksjon hvis den ikke er i tabellen. De fleste funksjonene som er studert er ikke elementære, men er kombinasjoner av elementære funksjoner ved bruk av enkle operasjoner (addisjon, subtraksjon, multiplikasjon, divisjon og multiplikasjon med et tall). For å finne deres derivater, må du kjenne reglene for differensiering. Under angir bokstavene f og g funksjoner, og C er en konstant.

1. Konstantkoeffisienten kan tas ut av fortegnet til den deriverte

Eksempel 5. Finn den deriverte av funksjonen y= 6*x 8

Vi tar den ut konstant koeffisient 6 og differensier kun x 4 . Dette er en potensfunksjon, hvis deriverte er funnet ved hjelp av formel 3 i tabellen over deriverte.

(6*x 8)" = 6*(x 8)"=6*8*x 7 =48* x 7

2. Den deriverte av en sum er lik summen av de deriverte

(f + g)"=f" + g"

Eksempel 6. Finn den deriverte av funksjonen y= x 100 +sin x

En funksjon er summen av to funksjoner, de deriverte vi kan finne fra tabellen. Siden (x 100)"=100 x 99 og (sin x)"=cos x. Den deriverte av summen vil være lik summen av disse derivatene:

(x 100 +sin x)"= 100 x 99 +cos x

3. Den deriverte av differansen er lik differansen av de deriverte

(f – g)"=f" – g"

Eksempel 7. Finn den deriverte av funksjonen y= x 100 – cos x

Denne funksjonen er forskjellen mellom to funksjoner, de deriverte som vi også kan finne i tabellen. Da er den deriverte av forskjellen lik forskjellen av de deriverte og ikke glem å endre tegnet, siden (cos x)"= – sin x.

(x 100 – cos x)"= 100 x 99 + sin x

Eksempel 8. Finn den deriverte av funksjonen y=e x +tg x– x 2.

Denne funksjonen har både en sum og en forskjell, la oss finne de deriverte av hvert ledd:

(e x)"=e x, (tg x)"=1/cos 2 x, (x 2)"=2 x. Da er den deriverte av den opprinnelige funksjonen lik:

(e x +tg x– x 2)"= e x +1/cos 2 x –2 x

4. Avledet av produktet

(f * g)"=f" * g + f * g"

Eksempel 9. Finn den deriverte av funksjonen y= cos x *e x

For å gjøre dette finner vi først den deriverte av hver faktor (cos x)"=–sin x og (e x)"=e x. La oss nå erstatte alt i produktformelen. Vi multipliserer den deriverte av den første funksjonen med den andre og adderer produktet av den første funksjonen med den deriverte av den andre.

(cos x* e x)"= e x cos x – e x *sin x

5. Derivat av kvotienten

(f / g)"= f" * g – f * g"/ g 2

Eksempel 10. Finn den deriverte av funksjonen y= x 50 /sin x

For å finne den deriverte av en kvotient, finner vi først den deriverte av telleren og nevneren hver for seg: (x 50)"=50 x 49 og (sin x)"= cos x. Ved å erstatte den deriverte av kvotienten i formelen får vi:

(x 50 /sin x)"= 50x 49 *sin x – x 50 *cos x/sin 2 x

Derivat av en kompleks funksjon

En kompleks funksjon er en funksjon representert ved en sammensetning av flere funksjoner. Det er også en regel for å finne den deriverte av en kompleks funksjon:

(u (v))"=u"(v)*v"

La oss finne ut hvordan du finner den deriverte av en slik funksjon. La y= u(v(x)) være en kompleks funksjon. La oss kalle funksjonen u ekstern, og v - intern.

For eksempel:

y=sin (x 3) er en kompleks funksjon.

Da er y=sin(t) den ytre funksjonen

t=x 3 - intern.

La oss prøve å beregne den deriverte av denne funksjonen. I henhold til formelen må du multiplisere derivatene til de interne og eksterne funksjonene.

(sin t)"=cos (t) - derivert av den eksterne funksjonen (der t=x 3)

(x 3)"=3x 2 - derivert av den interne funksjonen

Da er (sin (x 3))"= cos (x 3)* 3x 2 den deriverte av en kompleks funksjon.

Inngangsnivå

Derivert av en funksjon. Omfattende guide (2019)

La oss forestille oss en rett vei som går gjennom et kupert område. Det vil si at den går opp og ned, men svinger ikke til høyre eller venstre. Hvis aksen er rettet horisontalt langs veien og vertikalt, vil veilinjen være veldig lik grafen til en kontinuerlig funksjon:

Aksen er et visst nivå av null høyde i livet, vi bruker havnivået som det.

Når vi beveger oss fremover langs en slik vei, beveger vi oss også opp eller ned. Vi kan også si: når argumentet endres (bevegelse langs abscisseaksen), endres verdien av funksjonen (bevegelse langs ordinataksen). La oss nå tenke på hvordan vi bestemmer "brattheten" på veien vår? Hva slags verdi kan dette være? Det er veldig enkelt: hvor mye høyden vil endre seg når du beveger deg en viss avstand fremover. Faktisk, på forskjellige deler av veien, når vi beveger oss fremover (langs x-aksen) med en kilometer, vil vi stige eller falle med forskjellige mengder meter i forhold til havnivået (langs ordinataksen).

La oss betegne fremgang (les "delta x").

Den greske bokstaven (delta) brukes ofte i matematikk som et prefiks som betyr "endring". Det vil si - dette er en endring i mengde, - en endring; hva er det da? Det stemmer, en endring i størrelsesorden.

Viktig: et uttrykk er en enkelt helhet, én variabel. Aldri skille "delta" fra "x" eller noen annen bokstav!

Det er for eksempel.

Så vi har gått fremover, horisontalt, ved. Hvis vi sammenligner veiens linje med grafen til en funksjon, hvordan betegner vi da stigningen? Gjerne,. Det vil si at når vi beveger oss fremover, stiger vi høyere.

Verdien er lett å beregne: hvis vi i begynnelsen var i en høyde, og etter å ha flyttet vi befant oss i en høyde, da. Hvis endepunktet er lavere enn startpunktet, vil det være negativt - dette betyr at vi ikke stiger opp, men synker.

La oss gå tilbake til "bratthet": dette er en verdi som viser hvor mye (bratt) høyden øker når du beveger deg en avstandsenhet fremover:

La oss anta at på en del av veien, når man beveger seg en kilometer fremover, stiger veien opp med en kilometer. Da er helningen på dette stedet lik. Og hvis veien, mens den beveget seg fremover med m, sank med km? Da er helningen lik.

La oss nå se på toppen av en ås. Hvis du tar begynnelsen av strekningen en halv kilometer før toppen, og slutten en halv kilometer etter den, kan du se at høyden er nesten den samme.

I det virkelige livÅ måle avstander til nærmeste millimeter er mer enn nok. Men matematikere streber alltid etter perfeksjon. Derfor ble konseptet oppfunnet uendelig liten, det vil si at den absolutte verdien er mindre enn et hvilket som helst tall vi kan navngi. For eksempel sier du: en trilliondel! Hvor mye mindre? Og du deler dette tallet på - og det blir enda mindre. Og så videre. Hvis vi vil skrive at en mengde er uendelig, skriver vi slik: (vi leser «x har en tendens til null»). Det er veldig viktig å forstå at dette tallet ikke er lik null! Men veldig nærme det. Dette betyr at du kan dele på det.

Konseptet motsatt til infinitesimal er uendelig stort (). Du har sikkert allerede kommet over det da du jobbet med ulikheter: dette tallet er modulo større enn noe tall du kan tenke deg. Hvis du kommer opp med det størst mulige tallet, multipliserer du det med to og du får et enda større tall. Og uendeligheten er enda større enn det som skjer. Faktisk er det uendelig store og det uendelig små det motsatte av hverandre, det vil si ved, og omvendt: at.

La oss nå gå tilbake til veien vår. Den ideelt beregnede helningen er helningen beregnet for et uendelig lite segment av banen, det vil si:

Jeg legger merke til at med en uendelig forskyvning vil høydeendringen også være uendelig. Men la meg minne deg på at infinitesimal ikke betyr lik null. Hvis du deler uendelige tall med hverandre, kan du få et helt ordinært tall, for eksempel . Det vil si at en liten verdi kan være nøyaktig ganger større enn en annen.

Hva er alt dette for noe? Veien, brattheten... Vi skal ikke på bilrally, men vi underviser i matematikk. Og i matematikk er alt nøyaktig det samme, bare kalt annerledes.

Konseptet avledet

Den deriverte av en funksjon er forholdet mellom økningen av funksjonen og økningen av argumentet for en uendelig inkrement av argumentet.

Inkrementelt i matematikk kaller de endring. I hvilken grad argumentet () endres når det beveger seg langs aksen kalles argumentøkning og angis hvor mye funksjonen (høyden) har endret seg når man beveger seg en avstand fremover langs aksen funksjonsøkning og er utpekt.

Så den deriverte av en funksjon er forholdet til når. Vi betegner den deriverte med samme bokstav som funksjonen, bare med et primtall øverst til høyre: eller ganske enkelt. Så la oss skrive den deriverte formelen ved å bruke disse notasjonene:

Som i analogien med veien, her når funksjonen øker, er den deriverte positiv, og når den avtar, er den negativ.

Er det mulig for den deriverte å være lik null? Sikkert. For eksempel, hvis vi kjører på en flat horisontal vei, er brattheten null. Og det er sant, høyden endres ikke i det hele tatt. Slik er det med den deriverte: den deriverte av en konstant funksjon (konstant) er lik null:

siden økningen av en slik funksjon er lik null for en hvilken som helst.

La oss huske eksempelet på en bakketopp. Det viste seg at det var mulig å arrangere endene av segmentet langs forskjellige sider fra toppen, slik at høyden i endene er den samme, det vil si at segmentet er parallelt med aksen:

Men store segmenter er et tegn på unøyaktig måling. Vi vil heve segmentet vårt opp parallelt med seg selv, så vil lengden minke.

Til slutt, når vi er uendelig nær toppen, vil lengden på segmentet bli uendelig liten. Men samtidig forble den parallelt med aksen, det vil si at høydeforskjellen i endene er lik null (den har ikke en tendens til, men er lik). Så den deriverte

Dette kan forstås slik: når vi står helt øverst, endrer en liten forskyvning til venstre eller høyre høyden vår ubetydelig.

Det er også en rent algebraisk forklaring: til venstre for toppunktet øker funksjonen, og til høyre reduseres den. Som vi fant ut tidligere, når en funksjon øker, er den deriverte positiv, og når den avtar, er den negativ. Men den endrer seg jevnt, uten hopp (siden veien ikke endrer helningen kraftig noe sted). Derfor, mellom negativ og positive verdier det må definitivt være. Det vil være der funksjonen verken øker eller minker - ved toppunktet.

Det samme gjelder for trauet (området der funksjonen til venstre avtar og til høyre øker):

Litt mer om økninger.

Så vi endrer argumentet til størrelsesorden. Vi endrer fra hvilken verdi? Hva har det (argumentet) blitt til nå? Vi kan velge hvilket som helst punkt, og nå skal vi danse fra det.

Tenk på et punkt med en koordinat. Verdien av funksjonen i den er lik. Så gjør vi det samme trinnet: vi øker koordinaten med. Hva er argumentet nå? Veldig enkelt:. Hva er verdien av funksjonen nå? Der argumentet går, gjør også funksjonen: . Hva med funksjonsøkning? Ikke noe nytt: Dette er fortsatt beløpet som funksjonen har endret seg med:

Øv på å finne trinn:

Finn økningen til funksjonen på et punkt når økningen av argumentet er lik.
Det samme gjelder funksjonen på et punkt.

Løsninger:

På forskjellige punkter med samme argumentøkning vil funksjonen inkrement være forskjellig. Dette betyr at den deriverte på hvert punkt er forskjellig (vi diskuterte dette helt i begynnelsen - brattheten til veien er forskjellig på forskjellige punkter). Derfor, når vi skriver en derivert, må vi indikere på hvilket tidspunkt:

Power funksjon.

En potensfunksjon er en funksjon der argumentet til en viss grad er (logisk, ikke sant?).

Dessuten - i noen grad: .

Det enkleste tilfellet er når eksponenten er:

La oss finne dens deriverte på et punkt. La oss huske definisjonen av et derivat:

Så argumentasjonen endres fra til. Hva er økningen av funksjonen?

Inkrement er dette. Men en funksjon til enhver tid er lik argumentet. Det er derfor:

Den deriverte er lik:

Den deriverte av er lik:

b) Vurder nå kvadratisk funksjon (): .

La oss nå huske det. Dette betyr at verdien av økningen kan neglisjeres, siden den er uendelig liten, og derfor ubetydelig på bakgrunn av det andre begrepet:

Så vi kom opp med en annen regel:

c) Vi fortsetter den logiske rekken: .

Dette uttrykket kan forenkles på forskjellige måter: Åpne den første parentesen ved å bruke formelen for forkortet multiplikasjon av kuben av summen, eller faktoriser hele uttrykket ved å bruke formelen for forskjellen av terninger. Prøv å gjøre det selv ved å bruke en av de foreslåtte metodene.

Så jeg fikk følgende:

Og igjen la oss huske det. Dette betyr at vi kan neglisjere alle termer som inneholder:

Vi får:.

d) Lignende regler kan oppnås for store makter:

e) Det viser seg at denne regelen kan generaliseres for en potensfunksjon med en vilkårlig eksponent, ikke engang et heltall:

(2)

Regelen kan formuleres med ordene: "graden føres frem som en koeffisient, og deretter reduseres med ."

Vi vil bevise denne regelen senere (nesten helt på slutten). La oss nå se på noen få eksempler. Finn den deriverte av funksjonene:

(på to måter: ved formel og ved å bruke definisjonen av derivert - ved å beregne økningen av funksjonen);

. Tro det eller ei, dette er en kraftfunksjon. Hvis du har spørsmål som "Hvordan er dette? Hvor er graden?", husk emnet ""!
Ja, ja, roten er også en grad, bare brøk: .
Så vår kvadratrot- dette er bare en grad med en indikator:
.
Vi ser etter den deriverte ved å bruke den nylig lærte formelen:
Hvis det på dette tidspunktet blir uklart igjen, gjenta emnet ""!!! (omtrent en grad med negativ eksponent)
. Nå eksponenten:
Og nå gjennom definisjonen (har du glemt ennå?):
;
.
Nå, som vanlig, neglisjerer vi begrepet som inneholder:
.
. Kombinasjon av tidligere saker: .

Trigonometriske funksjoner.

Her skal vi bruke ett faktum fra høyere matematikk:

Med uttrykk.

Du vil lære beviset i det første året på instituttet (og for å komme dit må du bestå Unified State Exam godt). Nå skal jeg bare vise det grafisk:

Vi ser at når funksjonen ikke eksisterer - kuttes punktet på grafen ut. Men jo nærmere verdien, desto nærmere er funksjonen. Dette er det som "måler".

I tillegg kan du sjekke denne regelen ved hjelp av en kalkulator. Ja, ja, ikke vær sjenert, ta en kalkulator, vi er ikke på Unified State Exam ennå.

Så la oss prøve: ;

Ikke glem å bytte kalkulatoren til Radians-modus!

osv. Vi ser at jo mindre, jo nærmere er verdien av forholdet.

a) Vurder funksjonen. Som vanlig, la oss finne økningen:

La oss gjøre forskjellen på sinus til et produkt. For å gjøre dette bruker vi formelen (husk emnet ""): .

Nå den deriverte:

La oss gjøre en erstatning: . Så for infinitesimal er det også infinitesimal: . Uttrykket for har formen:

Og nå husker vi det med uttrykket. Og også, hva om en uendelig mengde kan neglisjeres i summen (det vil si at).

Så vi får følgende regel: den deriverte av sinus er lik cosinus:

Dette er grunnleggende ("tabellform") derivater. Her er de i en liste:

Senere vil vi legge til noen flere til dem, men disse er de viktigste, siden de brukes oftest.

Øv:

Finn den deriverte av funksjonen i et punkt;
Finn den deriverte av funksjonen.

Løsninger:

Først, la oss finne den deriverte i generelt syn, og erstatte deretter verdien:
;
.
Her har vi noe lignende strømfunksjon. La oss prøve å bringe henne til
normal visning:
.
Flott, nå kan du bruke formelen:
.
.
. Eeeeeee….. Hva er dette????

Ok, du har rett, vi vet ennå ikke hvordan vi finner slike derivater. Her har vi en kombinasjon av flere typer funksjoner. For å jobbe med dem, må du lære noen flere regler:

Eksponent og naturlig logaritme.

Det er en funksjon i matematikk hvis deriverte for en hvilken som helst verdi er lik verdien av selve funksjonen på samme tid. Det kalles "eksponent", og er en eksponentiell funksjon

Grunnlaget for denne funksjonen er en konstant - den er uendelig desimal, det vil si et irrasjonelt tall (som f.eks.). Det kalles "Euler-nummeret", som er grunnen til at det er angitt med en bokstav.

Så, regelen:

Veldig lett å huske.

Vel, la oss ikke gå langt, la oss umiddelbart vurdere den inverse funksjonen. Hvilken funksjon er inversen til eksponentialfunksjonen? Logaritme:

I vårt tilfelle er basen tallet:

En slik logaritme (det vil si en logaritme med en base) kalles "naturlig", og vi bruker en spesiell notasjon for den: vi skriver i stedet.

Hva er det lik? Selvfølgelig.

Den deriverte av den naturlige logaritmen er også veldig enkel:

Eksempler:

Finn den deriverte av funksjonen.
Hva er den deriverte av funksjonen?

Svar: Utstiller og naturlig logaritme- funksjoner er unikt enkle når det gjelder derivater. Eksponentielle og logaritmiske funksjoner med en hvilken som helst annen base vil ha en annen derivert, som vi vil analysere senere, etter at vi har gått gjennom reglene for differensiering.

Regler for differensiering

Regler for hva? Igjen en ny periode, igjen?!...

Differensiering er prosessen med å finne den deriverte.

Det er alt. Hva annet kan du kalle denne prosessen med ett ord? Ikke derivert... Matematikere kaller differensialet det samme inkrementet til en funksjon ved. Dette begrepet kommer fra det latinske differentia - forskjell. Her.

Når vi utleder alle disse reglene, vil vi bruke to funksjoner, for eksempel og. Vi trenger også formler for trinnene deres:

Det er 5 regler totalt.

Konstanten tas ut av det deriverte tegnet.

Hvis - et konstant tall (konstant), da.

Selvfølgelig fungerer denne regelen også for forskjellen: .

La oss bevise det. La det være, eller enklere.

Eksempler.

Finn de deriverte av funksjonene:

på et punkt;
på et punkt;
på et punkt;
på punktet.

Løsninger:

(den deriverte er den samme på alle punkter, siden det er en lineær funksjon, husker du?);

Derivat av produktet

Alt er likt her: la oss introdusere en ny funksjon og finne dens økning:

Derivat:

Eksempler:

Finn de deriverte av funksjonene og;
Finn den deriverte av funksjonen i et punkt.

Løsninger:

Derivert av en eksponentiell funksjon

Nå er kunnskapen din nok til å lære hvordan du finner den deriverte av en hvilken som helst eksponentiell funksjon, og ikke bare eksponenter (har du glemt hva det er ennå?).

Så, hvor er et tall.

Vi kjenner allerede den deriverte av funksjonen, så la oss prøve å redusere funksjonen vår til en ny base:

Til dette vil vi bruke enkel regel: . Da:

Vel, det fungerte. Prøv nå å finne den deriverte, og ikke glem at denne funksjonen er kompleks.

Fungerte det?

Her, sjekk deg selv:

Formelen viste seg å være veldig lik den deriverte av en eksponent: som den var, forblir den den samme, bare en faktor dukket opp, som bare er et tall, men ikke en variabel.

Eksempler:
Finn de deriverte av funksjonene:

Svar:

Dette er bare et tall som ikke kan beregnes uten en kalkulator, det vil si at det ikke kan skrives ned mer i enkel form. Derfor lar vi det stå i denne formen i svaret.

Derivert av en logaritmisk funksjon

Det er likt her: du kjenner allerede den deriverte av den naturlige logaritmen:

Derfor, for å finne en vilkårlig logaritme med en annen base, for eksempel:

Vi må redusere denne logaritmen til basen. Hvordan endrer du basen til en logaritme? Jeg håper du husker denne formelen:

Først nå vil vi skrive i stedet:

Nevneren er ganske enkelt en konstant (et konstant tall, uten en variabel). Deriverten oppnås veldig enkelt:

Derivater av eksponentielle og logaritmiske funksjoner finnes nesten aldri i Unified State Examination, men det vil ikke være overflødig å kjenne dem.

Derivat av en kompleks funksjon.

Hva er en "kompleks funksjon"? Nei, dette er ikke en logaritme, og ikke en arctangent. Disse funksjonene kan være vanskelige å forstå (selv om du synes logaritmen er vanskelig, les emnet "Logarithms" så går det bra), men fra et matematisk synspunkt betyr ikke ordet "kompleks" "vanskelig".

Se for deg et lite transportbånd: to personer sitter og gjør noen handlinger med noen gjenstander. For eksempel pakker den første en sjokoladeplate inn i en innpakning, og den andre binder den med et bånd. Resultatet er en sammensatt gjenstand: en sjokoladeplate pakket inn og bundet med et bånd. For å spise en sjokoladeplate, må du gjøre de omvendte trinnene i motsatt rekkefølge.

La oss lage en lignende matematisk rørledning: først vil vi finne cosinus til et tall, og deretter kvadrere det resulterende tallet. Så vi får et tall (sjokolade), jeg finner dens cosinus (omslag), og deretter firer du det jeg har (bind det med et bånd). Hva skjedde? Funksjon. Dette er et eksempel på en kompleks funksjon: når vi, for å finne verdien, utfører den første handlingen direkte med variabelen, og deretter en andre handling med det som ble resultatet av den første.

Vi kan enkelt gjøre de samme trinnene i omvendt rekkefølge: først kvadrerer du det, og så ser jeg etter cosinus til det resulterende tallet: . Det er lett å gjette at resultatet nesten alltid vil være annerledes. Viktig funksjon komplekse funksjoner: når rekkefølgen av handlinger endres, endres funksjonen.

Med andre ord, en kompleks funksjon er en funksjon hvis argument er en annen funksjon: .

For det første eksemplet, .

Andre eksempel: (samme). .

Handlingen vi gjør sist vil bli kalt "ekstern" funksjon, og handlingen utført først - tilsvarende "intern" funksjon(dette er uformelle navn, jeg bruker dem kun for å forklare stoffet på et enkelt språk).

Prøv selv å finne ut hvilken funksjon som er ekstern og hvilken intern:

Svar:Å skille indre og ytre funksjoner er veldig likt å endre variabler: for eksempel i en funksjon

Hvilken handling vil vi utføre først? La oss først beregne sinusen, og først deretter kube den. Dette betyr at det er en intern funksjon, men en ekstern.
Og den opprinnelige funksjonen er deres sammensetning: .
Internt: ; ekstern: .
Eksamen:.
Internt: ; ekstern: .
Eksamen:.
Internt: ; ekstern: .
Eksamen:.
Internt: ; ekstern: .
Eksamen:.

Vi endrer variabler og får en funksjon.

Vel, nå skal vi trekke ut sjokoladeplaten vår og se etter derivatet. Prosedyren er alltid omvendt: først ser vi etter den deriverte av den ytre funksjonen, deretter multipliserer vi resultatet med den deriverte av den indre funksjonen. I forhold til det originale eksemplet ser det slik ut:

Et annet eksempel:

Så la oss til slutt formulere den offisielle regelen:

Algoritme for å finne den deriverte av en kompleks funksjon:

Det virker enkelt, ikke sant?

La oss sjekke med eksempler:

Løsninger:

1) Internt: ;

Ekstern: ;

2) Internt: ;

(Bare ikke prøv å kutte det nå! Ingenting kommer ut under kosinus, husker du?)

3) Internt: ;

Ekstern: ;

Det er umiddelbart klart at dette er en kompleks funksjon på tre nivåer: tross alt er dette allerede en kompleks funksjon i seg selv, og vi trekker også ut roten fra den, det vil si at vi utfører den tredje handlingen (legg sjokoladen i en innpakning). og med et bånd i kofferten). Men det er ingen grunn til å være redd: vi vil fortsatt "pakke ut" denne funksjonen i samme rekkefølge som vanlig: fra slutten.

Det vil si at vi først differensierer roten, deretter cosinus, og først deretter uttrykket i parentes. Og så multipliserer vi det hele.

I slike tilfeller er det praktisk å nummerere handlingene. Det vil si, la oss forestille oss hva vi vet. I hvilken rekkefølge vil vi utføre handlinger for å beregne verdien av dette uttrykket? La oss se på et eksempel:

Jo senere handlingen utføres, jo mer "ekstern" vil den tilsvarende funksjonen være. Rekkefølgen av handlinger er den samme som før:

Her er hekkingen generelt 4-nivå. La oss bestemme handlingsforløpet.

1. Radikalt uttrykk. .

2. Rot. .

3. Sinus. .

4. Firkantet. .

5. Sette det hele sammen: