Finn den deriverte av en kompleks funksjon. Derivat av en kompleks funksjon

I «gamle» lærebøker kalles det også «kjede»-regelen. Så hvis y = f (u), og u = φ (x), det er

y = f (φ (x))

kompleks - sammensatt funksjon (sammensetning av funksjoner) da

Hvor , etter beregning er vurdert kl u = φ(x).

Legg merke til at vi her tok "forskjellige" komposisjoner fra de samme funksjonene, og resultatet av differensiering viste seg naturligvis å avhenge av rekkefølgen på "blanding".

Kjederegelen strekker seg naturligvis til sammensetninger av tre eller flere funksjoner. I dette tilfellet vil det være tre eller flere "lenker" i "kjeden" som utgjør derivatet. Her er en analogi med multiplikasjon: "vi har" en tabell med deriverte; "der" - multiplikasjonstabell; "hos oss" er kjederegelen og "der" er multiplikasjonsregelen for "kolonne". Når man beregner slike "komplekse" derivater, introduseres selvfølgelig ingen hjelpeargumenter (u¸v, etc.), men etter å ha notert seg selv antallet og rekkefølgen av funksjoner som er involvert i sammensetningen, blir de tilsvarende koblingene "strengt" i den angitte rekkefølgen.

Her, med "x" for å oppnå verdien av "y", utføres fem operasjoner, det vil si at det er en sammensetning av fem funksjoner: "ekstern" (den siste av dem) - eksponentiell - e  ;

deretter i omvendt rekkefølge, kraft. (♦) 2 ;

trigonometrisk synd();

beroligende. () 3 og til slutt logaritmisk ln.().

Derfor

Med de følgende eksemplene vil vi "drepe et par fluer i en smekk": vi vil øve på å differensiere komplekse funksjoner og legge til tabellen over derivater av elementære funksjoner. Så:

4. For en potensfunksjon - y = x α - omskriver den ved å bruke den velkjente "grunnleggende logaritmiske identiteten" - b=e ln b - i formen x α = x α ln x vi oppnår

5. For en vilkårlig eksponentiell funksjon, ved å bruke samme teknikk som vi vil ha

6. For en vilkårlig logaritmisk funksjon, ved å bruke den velkjente formelen for overgang til en ny base, oppnår vi konsekvent
,

7. For å differensiere tangenten (cotangens), bruker vi regelen for å differensiere kvotienter:

Etter foreløpig artilleriforberedelse vil eksempler med 3-4-5 hekker av funksjoner være mindre skumle. De følgende to eksemplene kan virke kompliserte for noen, men hvis du forstår dem (noen vil lide), vil nesten alt annet i differensialregning virke som en barnespøk.

Eksempel 2

Finn den deriverte av en funksjon

Som allerede nevnt, når du finner derivatet av en kompleks funksjon, er det først og fremst nødvendig Ikke sant FORSTÅ investeringene dine. I tilfeller der det er tvil, minner jeg deg om en nyttig teknikk: vi tar for eksempel den eksperimentelle verdien av "x", og prøver (mentalt eller i et utkast) å erstatte denne verdien med det "forferdelige uttrykket".

1) Først må vi beregne uttrykket, som betyr at summen er den dypeste innebyggingen.

2) Deretter må du beregne logaritmen:

4) Deretter kuber cosinus:

5) På det femte trinnet er forskjellen:

6) Og til slutt, den ytterste funksjonen er kvadratroten:

Formel for å differensiere en kompleks funksjon brukes i omvendt rekkefølge, fra den ytterste funksjonen til den innerste. Vi bestemmer:

Det virker uten feil:

1) Ta den deriverte av kvadratroten.

2) Ta den deriverte av differansen ved å bruke regelen

3) Den deriverte av en trippel er null. I andre ledd tar vi den deriverte av graden (kuben).

4) Ta derivatet av cosinus.

6) Og til slutt tar vi derivatet av den dypeste innebyggingen.

Det kan virke for vanskelig, men dette er ikke det mest brutale eksemplet. Ta for eksempel Kuznetsovs samling, og du vil sette pris på all skjønnheten og enkelheten til det analyserte derivatet. Jeg la merke til at de liker å gi en lignende ting i en eksamen for å sjekke om en student forstår hvordan man finner den deriverte av en kompleks funksjon eller ikke forstår.

Følgende eksempel er for deg å løse på egen hånd.

Eksempel 3

Finn den deriverte av en funksjon

Hint: Først bruker vi linearitetsreglene og produktdifferensieringsregelen

Full løsning og svar på slutten av timen.

Det er på tide å gå videre til noe mindre og finere.
Det er ikke uvanlig at et eksempel viser produktet av ikke to, men tre funksjoner. Hvordan finne den deriverte av produktet av tre faktorer?

Eksempel 4

Finn den deriverte av en funksjon

Først ser vi, er det mulig å gjøre produktet av tre funksjoner til produktet av to funksjoner? For eksempel, hvis vi hadde to polynomer i produktet, så kunne vi åpne parentesene. Men i eksemplet under vurdering er alle funksjonene forskjellige: grad, eksponent og logaritme.

I slike tilfeller er det nødvendig sekvensielt bruke produktdifferensieringsregelen to ganger

Trikset er at vi med "y" betegner produktet av to funksjoner: , og med "ve" betegner vi logaritmen: . Hvorfor kan dette gjøres? Er det virkelig - dette er ikke et produkt av to faktorer og regelen fungerer ikke?! Det er ikke noe komplisert:

Nå gjenstår det å bruke regelen en gang til til brakett:

Du kan også bli vridd og sette noe ut av parentes, men i dette tilfellet er det bedre å la svaret nøyaktig i dette skjemaet - det vil være lettere å sjekke.

Det betraktede eksemplet kan løses på den andre måten:

Begge løsningene er helt like.

Eksempel 5

Finn den deriverte av en funksjon

Dette er et eksempel for å løse det selv i prøven er det løst ved hjelp av den første metoden.

La oss se på lignende eksempler med brøker.

Eksempel 6

Finn den deriverte av en funksjon

Det er flere måter du kan gå her:

Eller slik:

Men løsningen vil skrives mer kompakt hvis vi først bruker regelen om differensiering av kvotienten , tar for hele telleren:

I prinsippet er eksemplet løst, og hvis det blir stående som det er, vil det ikke være en feil. Men hvis du har tid, er det alltid lurt å sjekke et utkast for å se om svaret kan forenkles?

La oss redusere uttrykket av telleren til en fellesnevner og bli kvitt den tre-etasjes strukturen til brøken:

Ulempen med ytterligere forenklinger er at det er en risiko for å gjøre feil ikke når man finner den deriverte, men under banale skoletransformasjoner. På den annen side avviser lærere ofte oppgaven og ber om å "minne det på det" avledet.

Et enklere eksempel å løse på egen hånd:

Eksempel 7

Finn den deriverte av en funksjon

Vi fortsetter å mestre metodene for å finne den deriverte, og nå vil vi vurdere et typisk tilfelle når en "forferdelig" logaritme foreslås for differensiering

I denne leksjonen lærer vi hvordan du finner avledet av en kompleks funksjon. Leksjonen er en logisk fortsettelse av leksjonen Hvordan finne den deriverte?, der vi analyserte de enkleste derivatene, og ble også kjent med differensieringsreglene og noen tekniske teknikker for å finne derivater. Derfor, hvis du ikke er veldig god med avledede funksjoner eller noen punkter i denne artikkelen ikke er helt klare, så les først leksjonen ovenfor. Vær så snill å kom i seriøst humør - materialet er ikke enkelt, men jeg vil likevel prøve å presentere det enkelt og tydelig.

I praksis må du forholde deg til den deriverte av en kompleks funksjon veldig ofte, jeg vil til og med si, nesten alltid, når du får oppgaver med å finne deriverte.

Vi ser på tabellen ved regelen (nr. 5) for å differensiere en kompleks funksjon:

La oss finne ut av det. Først av alt, la oss ta hensyn til oppføringen. Her har vi to funksjoner – og , og funksjonen, billedlig talt, er nestet i funksjonen . En funksjon av denne typen (når en funksjon er nestet i en annen) kalles en kompleks funksjon.

Jeg vil kalle funksjonen ekstern funksjon, og funksjonen – intern (eller nestet) funksjon.

! Disse definisjonene er ikke teoretiske og skal ikke fremkomme i den endelige utformingen av oppgavene. Jeg bruker uformelle uttrykk "ekstern funksjon", "intern" funksjon kun for å gjøre det lettere for deg å forstå stoffet.

For å avklare situasjonen, vurder:

Eksempel 1

Finn den deriverte av en funksjon

Under sinusen har vi ikke bare bokstaven "X", men et helt uttrykk, så det vil ikke fungere å finne den deriverte med en gang fra tabellen. Vi legger også merke til at det er umulig å bruke de fire første reglene her, det ser ut til å være en forskjell, men faktum er at sinusen ikke kan "reves i stykker":

I dette eksemplet er det allerede intuitivt klart fra mine forklaringer at en funksjon er en kompleks funksjon, og polynomet er en intern funksjon (embedding), og en ekstern funksjon.

Første skritt det du må gjøre når du finner den deriverte av en kompleks funksjon er å forstå hvilken funksjon som er intern og hvilken som er ekstern.

Når det gjelder enkle eksempler, virker det klart at et polynom er innebygd under sinusen. Men hva om alt ikke er åpenbart? Hvordan bestemme nøyaktig hvilken funksjon som er ekstern og hvilken som er intern? For å gjøre dette foreslår jeg å bruke følgende teknikk, som kan gjøres mentalt eller i et utkast.

La oss forestille oss at vi må beregne verdien av uttrykket på en kalkulator (i stedet for en kan det være et hvilket som helst tall).

Hva skal vi beregne først? Først av alt du må utføre følgende handling: , derfor vil polynomet være en intern funksjon:

for det andre må finnes, så sinus – vil være en ekstern funksjon:

Etter vi UTSOLGT Med interne og eksterne funksjoner er det på tide å bruke regelen om differensiering av komplekse funksjoner.

La oss begynne å bestemme oss. Fra klassen Hvordan finne den deriverte? vi husker at utformingen av en løsning til en hvilken som helst derivat alltid begynner slik - vi omslutter uttrykket i parentes og setter et strøk øverst til høyre:

Først vi finner den deriverte av den ytre funksjonen (sinus), ser på tabellen over avledede av elementære funksjoner og legger merke til at . Alle tabellformler kan også brukes hvis "x" erstattes med et komplekst uttrykk, i dette tilfellet:

Vær oppmerksom på at den indre funksjonen har ikke endret seg, vi rører den ikke.

Vel, det er ganske åpenbart det

Det endelige resultatet av å bruke formelen ser slik ut:

Konstantfaktoren plasseres vanligvis i begynnelsen av uttrykket:

Hvis det er noen misforståelser, skriv ned løsningen på papir og les forklaringene på nytt.

Eksempel 2

Finn den deriverte av en funksjon

Eksempel 3

Finn den deriverte av en funksjon

Som alltid skriver vi ned:

La oss finne ut hvor vi har en ekstern funksjon og hvor vi har en intern. For å gjøre dette prøver vi (mentalt eller i et utkast) å beregne verdien av uttrykket ved . Hva bør du gjøre først? Først av alt må du beregne hva basen er lik: derfor er polynomet den interne funksjonen:

Og først da utføres eksponentieringen, derfor er potensfunksjonen en ekstern funksjon:

I henhold til formelen må du først finne den deriverte av den eksterne funksjonen, i dette tilfellet graden. Vi ser etter den nødvendige formelen i tabellen: . Vi gjentar igjen: enhver tabellformel er gyldig ikke bare for "X", men også for et komplekst uttrykk. Dermed er resultatet av å bruke regelen for å differensiere en kompleks funksjon som følger:

Jeg understreker igjen at når vi tar den deriverte av den eksterne funksjonen, endres ikke vår interne funksjon:

Nå gjenstår det bare å finne en veldig enkel avledning av den interne funksjonen og justere resultatet litt:

Eksempel 4

Finn den deriverte av en funksjon

Dette er et eksempel du kan løse på egen hånd (svar på slutten av leksjonen).

For å konsolidere din forståelse av den deriverte av en kompleks funksjon, vil jeg gi et eksempel uten kommentarer, prøve å finne ut av det på egen hånd, begrunne hvor den eksterne og hvor den interne funksjonen er, hvorfor oppgavene løses på denne måten?

Eksempel 5

a) Finn den deriverte av funksjonen

b) Finn den deriverte av funksjonen

Eksempel 6

Finn den deriverte av en funksjon

Her har vi en rot, og for å skille roten må den representeres som en kraft. Derfor bringer vi først funksjonen til den formen som passer for differensiering:

Ved å analysere funksjonen kommer vi til at summen av de tre leddene er en intern funksjon, og å heve til en potens er en ekstern funksjon. Vi bruker regelen om differensiering av komplekse funksjoner:

Vi representerer igjen graden som en radikal (rot), og for den deriverte av den interne funksjonen bruker vi en enkel regel for å differensiere summen:

Klar. Du kan også redusere uttrykket til en fellesnevner i parentes og skrive alt ned som én brøk. Det er selvfølgelig vakkert, men når du får tungvinte lange derivater, er det bedre å ikke gjøre dette (det er lett å bli forvirret, gjøre en unødvendig feil, og det vil være upraktisk for læreren å sjekke).

Eksempel 7

Finn den deriverte av en funksjon

Dette er et eksempel du kan løse på egen hånd (svar på slutten av leksjonen).

Det er interessant å merke seg at noen ganger i stedet for regelen for å differensiere en kompleks funksjon, kan du bruke regelen for å differensiere en kvotient , men en slik løsning vil se ut som en morsom perversjon. Her er et typisk eksempel:

Eksempel 8

Finn den deriverte av en funksjon

Her kan du bruke regelen om differensiering av kvotienten , men det er mye mer lønnsomt å finne den deriverte gjennom regelen for differensiering av en kompleks funksjon:

Vi forbereder funksjonen for differensiering - vi flytter minus ut av det deriverte tegnet, og hever cosinus til telleren:

Cosinus er en intern funksjon, eksponentiering er en ekstern funksjon.
La oss bruke vår regel:

Vi finner den deriverte av den interne funksjonen og tilbakestiller cosinus:

Klar. I det betraktede eksemplet er det viktig å ikke bli forvirret i skiltene. Forresten, prøv å løse det ved å bruke regelen , må svarene samsvare.

Eksempel 9

Finn den deriverte av en funksjon

Dette er et eksempel du kan løse på egen hånd (svar på slutten av leksjonen).

Så langt har vi sett på tilfeller der vi kun hadde én hekking i en kompleks funksjon. I praktiske oppgaver kan du ofte finne derivater, der, som hekkende dukker, den ene inne i den andre, 3 eller til og med 4-5 funksjoner er nestet samtidig.

Eksempel 10

Finn den deriverte av en funksjon

La oss forstå vedleggene til denne funksjonen. La oss prøve å beregne uttrykket ved å bruke den eksperimentelle verdien. Hvordan vil vi regne med en kalkulator?

Først må du finne , som betyr at arcsine er den dypeste innebyggingen:

Denne arcsinen til en skal da kvadrateres:

Og til slutt hever vi syv til en makt:

Det vil si at vi i dette eksemplet har tre forskjellige funksjoner og to innbygginger, mens den innerste funksjonen er arcsinus, og den ytterste funksjonen er eksponentialfunksjonen.

La oss begynne å bestemme oss

I henhold til regelen må du først ta den deriverte av den eksterne funksjonen. Vi ser på tabellen med deriverte og finner den deriverte av eksponentialfunksjonen: Den eneste forskjellen er at i stedet for "x" har vi et komplekst uttrykk, som ikke negerer gyldigheten til denne formelen. Så resultatet av å bruke regelen for å differensiere en kompleks funksjon er som følger:

Under slaget har vi igjen en kompleks funksjon! Men det er allerede enklere. Det er lett å verifisere at den indre funksjonen er arcsine, den ytre funksjonen er graden. I henhold til regelen for å differensiere en kompleks funksjon, må du først ta den deriverte av potensen.

Veldig lett å huske.

Vel, la oss ikke gå langt, la oss umiddelbart vurdere den inverse funksjonen. Hvilken funksjon er inversen til eksponentialfunksjonen? Logaritme:

I vårt tilfelle er basen tallet:

En slik logaritme (det vil si en logaritme med en base) kalles "naturlig", og vi bruker en spesiell notasjon for den: vi skriver i stedet.

Hva er det lik? Selvfølgelig, .

Den deriverte av den naturlige logaritmen er også veldig enkel:

Eksempler:

Finn den deriverte av funksjonen.
Hva er den deriverte av funksjonen?

Svar: Den eksponentielle og naturlige logaritmen er unikt enkle funksjoner fra et derivert perspektiv. Eksponentielle og logaritmiske funksjoner med en hvilken som helst annen base vil ha en annen derivert, som vi vil analysere senere, etter at vi har gått gjennom reglene for differensiering.

Regler for differensiering

Regler for hva? Igjen en ny periode, igjen?!...

Differensiering er prosessen med å finne den deriverte.

Det er alt. Hva annet kan du kalle denne prosessen med ett ord? Ikke derivert... Matematikere kaller differensialet det samme inkrementet til en funksjon ved. Dette begrepet kommer fra det latinske differentia - forskjell. Her.

Når vi utleder alle disse reglene, vil vi bruke to funksjoner, for eksempel og. Vi trenger også formler for trinnene deres:

Det er 5 regler totalt.

Konstanten tas ut av det deriverte tegnet.

Hvis - et konstant tall (konstant), da.

Selvfølgelig fungerer denne regelen også for forskjellen: .

La oss bevise det. La det være, eller enklere.

Eksempler.

Finn de deriverte av funksjonene:

på et punkt;
på et punkt;
på et punkt;
på punktet.

Løsninger:

(den deriverte er den samme på alle punkter, siden det er en lineær funksjon, husker du?);

Derivat av produktet

Alt er likt her: la oss introdusere en ny funksjon og finne dens økning:

Derivat:

Eksempler:

Finn de deriverte av funksjonene og;
Finn den deriverte av funksjonen i et punkt.

Løsninger:

Derivert av en eksponentiell funksjon

Nå er kunnskapen din nok til å lære hvordan du finner den deriverte av en hvilken som helst eksponentiell funksjon, og ikke bare eksponenter (har du glemt hva det er ennå?).

Så, hvor er et tall.

Vi kjenner allerede den deriverte av funksjonen, så la oss prøve å redusere funksjonen vår til en ny base:

For å gjøre dette bruker vi en enkel regel: . Deretter:

Vel, det fungerte. Prøv nå å finne den deriverte, og ikke glem at denne funksjonen er kompleks.

Skjedd?

Her, sjekk deg selv:

Formelen viste seg å være veldig lik den deriverte av en eksponent: som den var, forblir den den samme, bare en faktor dukket opp, som bare er et tall, men ikke en variabel.

Eksempler:
Finn de deriverte av funksjonene:

Svar:

Dette er bare et tall som ikke kan beregnes uten kalkulator, det vil si at det ikke kan skrives ned på en enklere form. Derfor lar vi det stå i denne formen i svaret.

Merk at her er kvotienten til to funksjoner, så vi bruker den tilsvarende differensieringsregelen:

I dette eksemplet er produktet av to funksjoner:

Derivert av en logaritmisk funksjon

Det er likt her: du kjenner allerede den deriverte av den naturlige logaritmen:

Derfor, for å finne en vilkårlig logaritme med en annen base, for eksempel:

Vi må redusere denne logaritmen til basen. Hvordan endrer du basen til en logaritme? Jeg håper du husker denne formelen:

Først nå vil vi skrive i stedet:

Nevneren er ganske enkelt en konstant (et konstant tall, uten en variabel). Deriverten oppnås veldig enkelt:

Derivater av eksponentielle og logaritmiske funksjoner finnes nesten aldri i Unified State Examination, men det vil ikke være overflødig å kjenne dem.

Derivat av en kompleks funksjon.

Hva er en "kompleks funksjon"? Nei, dette er ikke en logaritme, og ikke en arctangent. Disse funksjonene kan være vanskelige å forstå (selv om du synes logaritmen er vanskelig, les emnet "Logarithms" så går det bra), men fra et matematisk synspunkt betyr ikke ordet "kompleks" "vanskelig".

Se for deg et lite transportbånd: to personer sitter og gjør noen handlinger med noen gjenstander. For eksempel pakker den første en sjokoladeplate inn i en innpakning, og den andre binder den med et bånd. Resultatet er en sammensatt gjenstand: en sjokoladeplate pakket inn og bundet med et bånd. For å spise en sjokoladeplate, må du gjøre de omvendte trinnene i motsatt rekkefølge.

La oss lage en lignende matematisk rørledning: først vil vi finne cosinus til et tall, og deretter kvadrere det resulterende tallet. Så vi får et tall (sjokolade), jeg finner dens cosinus (omslag), og så firer du det jeg har (bind det med et bånd). Hva skjedde? Funksjon. Dette er et eksempel på en kompleks funksjon: når vi, for å finne verdien, utfører den første handlingen direkte med variabelen, og deretter en andre handling med det som ble resultatet av den første.

Med andre ord, en kompleks funksjon er en funksjon hvis argument er en annen funksjon: .

For vårt eksempel, .

Vi kan enkelt gjøre de samme trinnene i omvendt rekkefølge: først kvadrerer du det, og så ser jeg etter cosinus til det resulterende tallet: . Det er lett å gjette at resultatet nesten alltid vil være annerledes. Et viktig trekk ved komplekse funksjoner: når rekkefølgen av handlinger endres, endres funksjonen.

Andre eksempel: (samme). .

Handlingen vi gjør sist vil bli kalt "ekstern" funksjon, og handlingen utført først - tilsvarende "intern" funksjon(dette er uformelle navn, jeg bruker dem kun for å forklare stoffet på et enkelt språk).

Prøv selv å finne ut hvilken funksjon som er ekstern og hvilken intern:

Svar:Å skille indre og ytre funksjoner er veldig likt å endre variabler: for eksempel i en funksjon

Hvilken handling vil vi utføre først? La oss først beregne sinusen, og først deretter kube den. Dette betyr at det er en intern funksjon, men en ekstern.
Og den opprinnelige funksjonen er deres sammensetning: .
Internt: ; ekstern: .
Eksamen:.
Internt: ; ekstern: .
Eksamen:.
Internt: ; ekstern: .
Eksamen:.
Internt: ; ekstern: .
Eksamen:.

Vi endrer variabler og får en funksjon.

Vel, nå skal vi trekke ut sjokoladebaren vår og se etter derivatet. Prosedyren er alltid omvendt: først ser vi etter den deriverte av den ytre funksjonen, deretter multipliserer vi resultatet med den deriverte av den indre funksjonen. I forhold til det originale eksemplet ser det slik ut:

Et annet eksempel:

Så la oss til slutt formulere den offisielle regelen:

Algoritme for å finne den deriverte av en kompleks funksjon:

Det virker enkelt, ikke sant?

La oss sjekke med eksempler:

Løsninger:

1) Internt: ;

Ekstern: ;

2) Internt: ;

(Bare ikke prøv å kutte det nå! Ingenting kommer ut under kosinus, husker du?)

3) Internt: ;

Ekstern: ;

Det er umiddelbart klart at dette er en kompleks funksjon på tre nivåer: tross alt er dette allerede en kompleks funksjon i seg selv, og vi trekker også ut roten fra den, det vil si at vi utfører den tredje handlingen (legg sjokoladen i en innpakning). og med et bånd i kofferten). Men det er ingen grunn til å være redd: vi vil fortsatt "pakke ut" denne funksjonen i samme rekkefølge som vanlig: fra slutten.

Det vil si at vi først differensierer roten, deretter cosinus, og først deretter uttrykket i parentes. Og så multipliserer vi det hele.

I slike tilfeller er det praktisk å nummerere handlingene. Det vil si, la oss forestille oss hva vi vet. I hvilken rekkefølge vil vi utføre handlinger for å beregne verdien av dette uttrykket? La oss se på et eksempel:

Jo senere handlingen utføres, jo mer "ekstern" vil den tilsvarende funksjonen være. Rekkefølgen av handlinger er den samme som før:

Her er hekkingen generelt 4-nivå. La oss bestemme handlingsforløpet.

1. Radikalt uttrykk. .

2. Rot. .

3. Sinus. .

4. Firkantet. .

5. Sette det hele sammen:

DERIVAT. KORT OM HOVEDTINGENE

Derivert av en funksjon- forholdet mellom økningen av funksjonen og økningen av argumentet for en uendelig inkrement av argumentet:

Grunnleggende derivater:

Regler for differensiering:

Konstanten tas ut av det deriverte tegnet:

Avledet av summen:

Avledet av produktet:

Derivat av kvotienten:

Derivert av en kompleks funksjon:

Algoritme for å finne den deriverte av en kompleks funksjon:

Vi definerer den "interne" funksjonen og finner dens deriverte.
Vi definerer den "eksterne" funksjonen og finner dens deriverte.
Vi multipliserer resultatene av det første og andre punktet.

Hvis du følger definisjonen, er den deriverte av en funksjon i et punkt grensen for forholdet mellom økningen av funksjonen Δ y til argumentøkningen Δ x:

Alt ser ut til å være klart. Men prøv å bruke denne formelen til å beregne for eksempel den deriverte av funksjonen f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x synd x. Hvis du gjør alt per definisjon, vil du bare sovne etter et par sider med beregninger. Derfor finnes det enklere og mer effektive måter.

Til å begynne med merker vi at fra hele utvalget av funksjoner kan vi skille de såkalte elementære funksjonene. Dette er relativt enkle uttrykk, hvis avledede har lenge vært beregnet og tabellert. Slike funksjoner er ganske enkle å huske - sammen med deres derivater.

Derivater av elementære funksjoner

Elementære funksjoner er alle de som er oppført nedenfor. Derivatene av disse funksjonene må være kjent utenat. Dessuten er det slett ikke vanskelig å huske dem - det er derfor de er elementære.

Så, derivater av elementære funksjoner:

Navn	Funksjon	Derivat
Konstant	f(x) = C, C ∈ R	0 (ja, null!)
Kraft med rasjonell eksponent	f(x) = x n	n · x n − 1
Sinus	f(x) = synd x	cos x
Cosinus	f(x) = cos x	−synd x(minus sinus)
Tangent	f(x) = tg x	1/cos 2 x
Cotangens	f(x) = ctg x	− 1/synd 2 x
Naturlig logaritme	f(x) = logg x	1/x
Vilkårlig logaritme	f(x) = logg en x	1/(x ln en)
Eksponentiell funksjon	f(x) = e x	e x(ingenting endret seg)

Hvis en elementær funksjon multipliseres med en vilkårlig konstant, beregnes også den deriverte av den nye funksjonen:

(C · f)’ = C · f ’.

Generelt kan konstanter tas ut av tegnet til den deriverte. For eksempel:

(2x 3)' = 2 · ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Det er klart at elementære funksjoner kan legges til hverandre, multipliseres, deles – og mye mer. Slik vil nye funksjoner fremstå, ikke lenger spesielt elementære, men også differensierte etter visse regler. Disse reglene er omtalt nedenfor.

Derivert av sum og differanse

La funksjonene være gitt f(x) Og g(x), hvis derivater er kjent for oss. For eksempel kan du ta de elementære funksjonene som er diskutert ovenfor. Deretter kan du finne den deriverte av summen og differansen av disse funksjonene:

(f + g)’ = f ’ + g ’
(f − g)’ = f ’ − g ’

Så den deriverte av summen (forskjellen) av to funksjoner er lik summen (forskjellen) av de deriverte. Det kan være flere vilkår. For eksempel, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Strengt tatt er det ikke noe begrep om "subtraksjon" i algebra. Det er et konsept om "negativt element". Derfor forskjellen f − g kan skrives om som en sum f+ (−1) g, og da gjenstår bare én formel - den deriverte av summen.

f(x) = x 2 + sin x; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Funksjon f(x) er summen av to elementære funksjoner, derfor:

f ’(x) = (x 2 + synd x)’ = (x 2)’ + (synd x)’ = 2x+ cos x;

Vi resonnerer tilsvarende for funksjonen g(x). Bare det er allerede tre begreper (fra algebras synspunkt):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Svar:
f ’(x) = 2x+ cos x;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Derivat av produktet

Matematikk er en logisk vitenskap, så mange tror at hvis den deriverte av en sum er lik summen av deriverte, så er den deriverte av produktet streik">lik produktet av derivater. Men tull! Den derivative av et produkt beregnes ved hjelp av en helt annen formel. Nemlig:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Formelen er enkel, men den blir ofte glemt. Og ikke bare skoleelever, men også studenter. Resultatet er feil løste problemer.

Oppgave. Finn deriverte av funksjoner: f(x) = x 3 cos x; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · e x .

Funksjon f(x) er produktet av to elementære funksjoner, så alt er enkelt:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3)' cos x + x 3 (cos x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (-synd x) = x 2 (3cos x − x synd x)

Funksjon g(x) den første multiplikatoren er litt mer komplisert, men den generelle ordningen endres ikke. Åpenbart den første faktoren til funksjonen g(x) er et polynom og dens deriverte er den deriverte av summen. Vi har:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)’ · e x + (x 2 + 7x− 7) ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x− 7) · e x = e x· (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

Svar:
f ’(x) = x 2 (3cos x − x synd x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Vær oppmerksom på at i siste trinn blir den deriverte faktorisert. Formelt sett trenger ikke dette å gjøres, men de fleste derivater beregnes ikke på egen hånd, men for å undersøke funksjonen. Dette betyr at videre vil den deriverte bli likestilt med null, dens fortegn vil bli bestemt, og så videre. For et slikt tilfelle er det bedre å få et uttrykk faktorisert.

Hvis det er to funksjoner f(x) Og g(x), og g(x) ≠ 0 på settet vi er interessert i, kan vi definere en ny funksjon h(x) = f(x)/g(x). For en slik funksjon kan du også finne den deriverte:

Ikke svak, hva? Hvor kom minuset fra? Hvorfor g 2? Og sånn! Dette er en av de mest komplekse formlene - du kan ikke finne ut av det uten en flaske. Derfor er det bedre å studere det med spesifikke eksempler.

Oppgave. Finn deriverte av funksjoner:

Telleren og nevneren for hver brøk inneholder elementære funksjoner, så alt vi trenger er formelen for den deriverte av kvotienten:

I følge tradisjonen, la oss faktorisere telleren - dette vil i stor grad forenkle svaret:

En kompleks funksjon er ikke nødvendigvis en halv kilometer lang formel. For eksempel er det nok å ta funksjonen f(x) = synd x og erstatte variabelen x, si, på x 2 + ln x. Det ordner seg f(x) = synd ( x 2 + ln x) - dette er en kompleks funksjon. Den har også et derivat, men det vil ikke være mulig å finne det ved å bruke reglene diskutert ovenfor.

Hva burde jeg gjøre? I slike tilfeller hjelper det å erstatte en variabel og formel for den deriverte av en kompleks funksjon:

f ’(x) = f ’(t) · t', hvis x er erstattet av t(x).

Som regel er situasjonen med å forstå denne formelen enda mer trist enn med den deriverte av kvotienten. Derfor er det også bedre å forklare det ved hjelp av spesifikke eksempler, med en detaljert beskrivelse av hvert trinn.

Oppgave. Finn deriverte av funksjoner: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = synd ( x 2 + ln x)

Merk at hvis i funksjonen f(x) i stedet for uttrykk 2 x+ 3 vil være enkelt x, så får vi en elementær funksjon f(x) = e x. Derfor gjør vi en erstatning: la 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Vi ser etter den deriverte av en kompleks funksjon ved å bruke formelen:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

Og nå - oppmerksomhet! Vi utfører omvendt erstatning: t = 2x+ 3. Vi får:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

La oss nå se på funksjonen g(x). Det er klart at det må skiftes ut x 2 + ln x = t. Vi har:

g ’(x) = g ’(t) · t’ = (synd t)’ · t’ = cos t · t ’

Omvendt erstatning: t = x 2 + ln x. Deretter:

g ’(x) = cos ( x 2 + ln x) · ( x 2 + ln x)' = cos ( x 2 + ln x) · (2 x + 1/x).

Det er alt! Som det fremgår av det siste uttrykket, er hele problemet redusert til å beregne den deriverte summen.

Svar:
f ’(x) = 2 · e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) fordi ( x 2 + ln x).

Svært ofte i timene mine, i stedet for begrepet "derivat", bruker jeg ordet "prime". For eksempel er streken til summen lik summen av strekene. Er det klarere? Vel, det er bra.

Dermed kommer beregning av derivatet ned til å bli kvitt de samme slagene i henhold til reglene diskutert ovenfor. Som et siste eksempel, la oss gå tilbake til den deriverte potensen med en rasjonell eksponent:

(x n)’ = n · x n − 1

De færreste vet det i rollen n kan godt være et brøktall. For eksempel er roten x 0,5. Hva om det er noe fancy under roten? Igjen blir resultatet en kompleks funksjon – de gir gjerne slike konstruksjoner i prøver og eksamener.