Hvordan beregne gjennomsnittlig absolutt feil. Beregning av feil ved direkte målinger

De eksakte naturvitenskapene er basert på målinger. Ved måling uttrykkes verdiene av mengder i form av tall som indikerer hvor mange ganger den målte mengden er større eller mindre enn en annen mengde, hvis verdi tas som en enhet. De numeriske verdiene av forskjellige mengder oppnådd som et resultat av målinger kan avhenge av hverandre. Forholdet mellom slike mengder uttrykkes i form av formler som viser hvordan de numeriske verdiene til noen mengder kan finnes fra de numeriske verdiene til andre.

Det oppstår uunngåelig feil under målinger. Det er nødvendig å mestre metodene som brukes til å bearbeide resultatene oppnådd fra målinger. Dette vil tillate deg å lære hvordan du oppnår resultater som er nærmest sannheten fra et sett med målinger, legger merke til inkonsekvenser og feil i tide, intelligent organiserer selve målingene og vurderer nøyaktigheten til de oppnådde verdiene.

Hvis målingen består i å sammenligne en gitt mengde med en annen, homogen mengde tatt som en enhet, så kalles målingen i dette tilfellet direkte.

Direkte (direkte) målinger- dette er målinger der vi får den numeriske verdien av målt mengde enten ved direkte sammenligning med et mål (standard), eller ved hjelp av instrumenter kalibrert i enheter av målt mengde.

En slik sammenligning gjøres imidlertid ikke alltid direkte. I de fleste tilfeller er det ikke mengden som interesserer oss som måles, men andre mengder knyttet til den av visse relasjoner og mønstre. I dette tilfellet, for å måle den nødvendige mengden, er det nødvendig å først måle flere andre mengder, hvis verdi bestemmer verdien av ønsket mengde ved beregning. Denne målingen kalles indirekte.

Indirekte målinger bestå av direkte målinger av en eller flere mengder knyttet til mengden som bestemmes av en kvantitativ avhengighet, og beregninger av mengden bestemmes ut fra disse dataene.

Målinger involverer alltid måleinstrumenter, som setter en verdi i samsvar med en annen knyttet til den, tilgjengelig for kvantitativ vurdering ved hjelp av våre sanser. For eksempel samsvarer strømstyrken med pilens avbøyningsvinkel på en gradert skala. I dette tilfellet må to hovedbetingelser for måleprosessen oppfylles: entydighet og reproduserbarhet av resultatet. disse to betingelsene er alltid bare tilnærmet oppfylt. Det er derfor Måleprosessen inneholder, sammen med å finne ønsket verdi, en vurdering av målunøyaktigheten.

En moderne ingeniør må være i stand til å evaluere feilen i måleresultatene under hensyntagen til den nødvendige påliteligheten. Derfor er det lagt stor vekt på å behandle måleresultater. Kjennskap til de grunnleggende metodene for å beregne feil er en av hovedoppgavene til laboratorieverkstedet.

Hvorfor oppstår det feil?

Det er mange årsaker til at målefeil oppstår. La oss liste noen av dem.

· prosesser som skjer under interaksjonen mellom enheten og måleobjektet endrer uunngåelig den målte verdien. For eksempel, måling av dimensjonene til en del ved hjelp av en skyvelære fører til komprimering av delen, det vil si en endring i dens dimensjoner. Noen ganger kan enhetens påvirkning på den målte verdien gjøres relativt liten, men noen ganger er den sammenlignbar eller til og med overstiger selve den målte verdien.

· Enhver enhet har begrensede muligheter for entydig å bestemme den målte verdien på grunn av dens designfeil. For eksempel fører friksjon mellom ulike deler i pekerblokken til et amperemeter til det faktum at en endring i strømmen med en liten, men begrenset mengde ikke vil forårsake en endring i pekerens avbøyningsvinkel.

· Deltar alltid i alle prosesser med interaksjon mellom enheten og måleobjektet. ytre miljø, hvis parametere kan endres og ofte på uforutsigbare måter. Dette begrenser reproduserbarheten av måleforholdene, og dermed måleresultatet.

· Når du tar instrumentavlesninger visuelt, kan det være uklarhet i avlesningen av instrumentet pga funksjonshemningerøyet vårt.

· De fleste mengder bestemmes indirekte basert på vår kunnskap om forholdet mellom ønsket mengde og andre mengder direkte målt med instrumenter. Åpenbart avhenger feilen ved indirekte måling av feilene til alle direkte målinger. I tillegg bidrar begrensningene i vår kunnskap om det målte objektet, forenklingen av den matematiske beskrivelsen av sammenhengene mellom mengder, og ignorering av påvirkningen fra de størrelsene hvis påvirkning anses som ubetydelig under måleprosessen til feil i indirekte måling.

Feilklassifisering

Feilverdi målinger av en viss mengde er vanligvis karakterisert:

1. Absolutt feil - forskjellen mellom den eksperimentelt funnet (målt) og den sanne verdien av en viss mengde

. (1)

Den absolutte feilen viser hvor mye vi tar feil når vi måler en viss verdi av X.

2. Relativ feil lik forholdet absolutt feil til den sanne verdien av den målte størrelsen X

Den relative feilen viser med hvilken brøkdel av den sanne verdien av X vi tar feil.

Kvalitet Resultatene av målinger av en viss mengde er preget av en relativ feil. Verdien kan uttrykkes i prosent.

Fra formlene (1) og (2) følger det at for å finne de absolutte og relative målefeilene, må vi vite ikke bare den målte, men også den sanne verdien av mengden som er av interesse for oss. Men hvis den sanne verdien er kjent, er det ikke nødvendig å foreta målinger. Hensikten med målinger er alltid å finne ut den ukjente verdien av en viss mengde og å finne, om ikke dens sanne verdi, så i det minste en verdi som avviker ganske litt fra den. Derfor er ikke formlene (1) og (2), som bestemmer størrelsen på feil, egnet i praksis. Ved praktiske målinger beregnes ikke feil, men estimeres. Vurderingene tar hensyn til de eksperimentelle forholdene, metodikkens nøyaktighet, kvaliteten på instrumentene og en rekke andre faktorer. Vår oppgave: å lære hvordan man konstruerer en eksperimentell metodikk og bruker erfaringsdataene riktig for å finne verdier av målte mengder som er tilstrekkelig nær de sanne verdiene, og for å rimelig vurdere målefeil.

Når vi snakker om målefeil, bør vi først og fremst nevne grove feil (glipp) som oppstår på grunn av forsøkslederens tilsyn eller utstyrsfeil. Alvorlige feil bør unngås. Hvis det fastslås at de har skjedd, må de tilsvarende målingene forkastes.

Eksperimentelle feil som ikke er knyttet til grove feil deles inn i tilfeldige og systematiske.

Medtilfeldige feil. Ved å gjenta de samme målingene mange ganger, kan du legge merke til at resultatene ofte ikke er nøyaktig like hverandre, men "danser" rundt et gjennomsnitt (fig. 1). Feil som endrer størrelse og fortegn fra eksperiment til eksperiment kalles tilfeldige. Tilfeldige feil introduseres ufrivillig av eksperimentatoren på grunn av ufullkommenhet i sanseorganene, tilfeldig eksterne faktorer osv. Hvis feilen til hver enkelt måling er fundamentalt uforutsigbar, så endrer de tilfeldig verdien av den målte størrelsen. Disse feilene kan kun vurderes ved hjelp av statistisk behandling av flere målinger av ønsket mengde.

Systematisk feil kan være assosiert med instrumentfeil (feil skala, ujevn strekkfjær, ujevn skruestigning på mikrometer, ulik balansearmer osv.) og med selve eksperimentet. De beholder sin størrelse (og fortegn!) under eksperimentet. Som et resultat av systematiske feil svinger ikke forsøksresultatene spredt på grunn av tilfeldige feil rundt den sanne verdien, men rundt en viss skjev verdi (fig. 2). feilen for hver måling av den ønskede verdien kan forutsies på forhånd, med kjennskap til egenskapene til enheten.

Beregning av feil ved direkte målinger

Systematiske feil. Systematiske feil endrer naturligvis verdiene til den målte mengden. Feilene introdusert i målinger av instrumenter vurderes lettest dersom de er relatert til designfunksjoner selve enhetene. Disse feilene er angitt i passet for enhetene. Feilene til enkelte enheter kan vurderes uten å referere til databladet. For mange elektriske måleinstrumenter er deres nøyaktighetsklasse angitt direkte på skalaen.

Instrumentets nøyaktighetsklasse- dette er forholdet mellom den absolutte feilen til enheten og den maksimale verdien av den målte verdien, som kan bestemmes ved hjelp av denne enheten (dette er den systematiske relative feilen til denne enheten, uttrykt som en prosentandel av skalavurderingen).

.

Da bestemmes den absolutte feilen til en slik enhet av forholdet:

.

For elektriske måleinstrumenter er det innført 8 nøyaktighetsklasser: 0,05; 0,1; 0,5; 1,0; 1,5; 2,0; 2,5; 4.

Jo nærmere den målte verdien er den nominelle verdien, desto mer nøyaktig vil måleresultatet være. Den maksimale nøyaktigheten (dvs. den minste relative feilen) som en gitt enhet kan gi er lik nøyaktighetsklassen. Denne omstendigheten må tas i betraktning ved bruk av multiskala instrumenter. Skalaen må velges på en slik måte at den målte verdien, mens den forblir innenfor skalaen, er så nær den nominelle verdien som mulig.

Hvis nøyaktighetsklassen for enheten ikke er spesifisert, må følgende regler følges:

· Den absolutte feilen til instrumenter med en vernier er lik nøyaktigheten til vernieren.

· Den absolutte feilen for instrumenter med en fast pilhøyde er lik divisjonsverdien.

· Den absolutte feilen for digitale enheter er lik ett minimumssiffer.

· For alle andre instrumenter antas den absolutte feilen å være lik halvparten av divisjonsverdien.

Tilfeldige feil. Disse feilene er av statistisk natur og er beskrevet av sannsynlighetsteori. Det er fastslått at med et svært stort antall målinger kan sannsynligheten for å oppnå et eller annet resultat i hver enkelt måling bestemmes ved bruk av Gauss normalfordeling. Med et lite antall målinger kalles den matematiske beskrivelsen av sannsynligheten for å få et eller annet måleresultat Studentfordelingen (du kan lese mer om dette i manualen "Målefeil av fysiske mengder").

Hvordan evaluere den sanne verdien av den målte mengden?

Anta at når vi målte en viss verdi, fikk vi N resultater: . Det aritmetiske gjennomsnittet av en serie målinger er nærmere den sanne verdien av den målte størrelsen enn de fleste individuelle målinger. For å oppnå resultatet av å måle en viss verdi, brukes følgende algoritme.

1). Beregnet aritmetisk gjennomsnitt serie med N direkte målinger:

2). Beregnet absolutt tilfeldig feil for hver måling er forskjellen mellom det aritmetiske gjennomsnittet av en serie med N direkte målinger og denne målingen:

.

3). Beregnet gjennomsnittlig kvadratisk absolutt feil:

.

4). Beregnet absolutt tilfeldig feil. Hvis ikke stort antall målinger, kan den absolutte tilfeldige feilen beregnes gjennom middelkvadratfeilen og en viss koeffisient kalt Studentkoeffisienten:

,

Student-koeffisienten avhenger av antall målinger N og reliabilitetskoeffisienten (Tabell 1 viser avhengigheten til Student-koeffisienten av antall målinger ved en fast verdi av reliabilitetskoeffisienten).

Pålitelighetsfaktor er sannsynligheten for at den sanne verdien av den målte verdien faller innenfor konfidensintervallet.

Konfidensintervall er et numerisk intervall der den sanne verdien av den målte størrelsen faller med en viss sannsynlighet.

Dermed er Student-koeffisienten tallet som den gjennomsnittlige kvadratfeilen må multipliseres med for å sikre den angitte påliteligheten til resultatet for et gitt antall målinger.

Jo større reliabilitet som kreves for et gitt antall målinger, jo større er Student-koeffisienten. På den annen side enn større antall målinger, jo lavere er Student-koeffisienten for en gitt pålitelighet. I laboratoriearbeidet til verkstedet vårt vil vi anta at påliteligheten er gitt og lik 0,9. Numeriske verdier av studentens koeffisienter ved denne påliteligheten for forskjellige tall målene er gitt i tabell 1.

Tabell 1

Antall målinger N

Elevens koeffisient

5). Beregnet total absolutt feil. I enhver måling er det både tilfeldige og systematiske feil. Å beregne den totale (totale) absolutte målefeilen er ikke en enkel oppgave, siden disse feilene er av ulik natur.

For tekniske målinger er det fornuftig å summere de systematiske og tilfeldige absolutte feilene

.

For enkelhets skyld er det vanlig å estimere den totale absolutte feilen som summen av de absolutte tilfeldige og absolutte systematiske (instrumentelle) feilene, hvis feilene er av samme størrelsesorden, og å neglisjere en av feilene hvis den er mer enn en størrelsesorden (10 ganger) mindre enn den andre.

6). Feilen og resultatet er avrundet. Siden måleresultatet presenteres som et intervall av verdier, hvis verdi bestemmes av den totale absolutte feilen, er riktig avrunding av resultat og feil viktig.

Avrunding begynner med absolutt feil!!! Antall signifikante tall som er igjen i feilverdien, avhenger generelt sett av pålitelighetskoeffisienten og antall målinger. Men selv for veldig presise målinger(for eksempel astronomisk), der den nøyaktige verdien av feilen er viktig, ikke la mer enn to signifikante tall ligge igjen. Et større antall tall gir ikke mening, siden definisjonen av feil i seg selv har sin egen feil. Vår praksis har en relativt liten pålitelighetskoeffisient og et lite antall målinger. Derfor, ved avrunding (med overskytende), blir den totale absolutte feilen overlatt til ett signifikant tall.

Sifferet til det signifikante sifferet til den absolutte feilen bestemmer sifferet til det første tvilsomme sifferet i resultatverdien. Følgelig må verdien av selve resultatet avrundes (med korreksjon) til det signifikante sifferet hvis siffer sammenfaller med sifferet til det signifikante sifferet i feilen. Den formulerte regelen bør også brukes i tilfeller der noen av tallene er null.

Hvis resultatet oppnådd ved måling av kroppsvekt er , er det nødvendig å skrive nuller på slutten av tallet 0,900. Opptaket ville bety at ingenting var kjent om de neste signifikante tallene, mens målingene viste at de var null.

7). Beregnet relativ feil.

Når du avrunder den relative feilen, er det nok å forlate to signifikante tall.

r resultatet av en serie målinger av en viss fysisk mengde presenteres i form av et intervall av verdier, som indikerer sannsynligheten for at den sanne verdien faller inn i dette intervallet, det vil si at resultatet må skrives i formen:

Her er den totale absolutte feilen, avrundet til det første signifikante sifferet, og er gjennomsnittsverdien av den målte verdien, avrundet med hensyn til den allerede avrundede feilen. Når du registrerer et måleresultat, må du angi måleenheten for verdien.

La oss se på noen eksempler:

1. Anta at når vi måler lengden på et segment, fikk vi følgende resultat: cm og cm Hvordan skrive ned resultatet av å måle lengden på et segment? Først runder vi av den absolutte feilen med overskytende, og etterlater ett signifikant siffer, se Signifikant siffer av feilen på hundredeler. Deretter, med korreksjonen, runder vi av gjennomsnittsverdien til nærmeste hundredel, dvs. til det signifikante sifferet hvis siffer sammenfaller med sifferet til det signifikante sifferet i feilen se Beregn den relative feilen

.

cm; ; .

2. La oss anta at når vi beregner ledermotstanden, fikk vi følgende resultat: Og . Først runder vi den absolutte feilen, og etterlater ett betydelig tall. Deretter avrunder vi gjennomsnittet til nærmeste heltall. Beregn den relative feilen

.

Vi skriver måleresultatet som følger:

; ; .

3. Anta at når vi beregner massen til lasten, fikk vi følgende resultat: kg og kg. Først runder vi den absolutte feilen, og etterlater ett betydelig tall kg. Deretter runder vi av gjennomsnittet til nærmeste tiere kg. Beregn den relative feilen

.

.

Spørsmål og oppgaver om feilteori

1. Hva vil det si å måle en fysisk størrelse? Gi eksempler.

2. Hvorfor oppstår målefeil?

3. Hva er absolutt feil?

4. Hva er relativ feil?

5. Hvilken feil kjennetegner kvaliteten på målingen? Gi eksempler.

6. Hva er et konfidensintervall?

7. Definer begrepet "systematisk feil".

8. Hva er årsakene til systematiske feil?

9. Hva er nøyaktighetsklassen måleinstrument?

10. Hvordan bestemmes de absolutte feilene til ulike fysiske instrumenter?

11. Hvilke feil kalles tilfeldige og hvordan oppstår de?

12. Beskriv fremgangsmåten for å beregne gjennomsnittlig kvadratfeil.

13. Beskriv fremgangsmåten for å beregne den absolutte tilfeldige feilen ved direkte målinger.

14. Hva er en "pålitelighetsfaktor"?

15. Hvilke parametere og hvordan avhenger Studentkoeffisienten av?

16. Hvordan beregnes den totale absolutte feilen for direkte målinger?

17. Skriv formler for å bestemme relative og absolutte feil ved indirekte målinger.

18. Formuler reglene for avrunding av resultatet med en feil.

19. Finn den relative feilen ved å måle lengden på veggen ved hjelp av et målebånd med en delingsverdi på 0,5 cm. Målt verdi var 4,66 m.

20. Ved måling av lengden på sidene A og B i rektangelet ble det gjort henholdsvis absolutte feil ΔA og ΔB. Skriv en formel for å beregne den absolutte feilen ΔS oppnådd ved å bestemme arealet fra resultatene av disse målingene.

21. Målingen av kubekantlengden L hadde en feil ΔL. Skriv en formel for å bestemme den relative feilen til volumet til en terning basert på resultatene av disse målingene.

22. En kropp beveget seg jevnt akselerert fra en hviletilstand. For å beregne akselerasjonen målte vi banen S som kroppen reiste og tidspunktet for bevegelsen t. De absolutte feilene for disse direkte målingene var henholdsvis ΔS og Δt. Utled en formel for å beregne den relative akselerasjonsfeilen fra disse dataene.

23. Ved beregning av kraften til varmeapparatet i henhold til måledata ble verdiene Pav = 2361.7893735 W og ΔР = 35.4822 W oppnådd. Registrer resultatet som et konfidensintervall, avrund etter behov.

24. Ved beregning av motstandsverdien basert på måledata ble følgende verdier oppnådd: Rav = 123,7893735 Ohm, ΔR = 0,348 Ohm. Registrer resultatet som et konfidensintervall, avrund etter behov.

25. Ved beregning av friksjonskoeffisienten basert på måledata ble verdiene μav = 0,7823735 og Δμ = 0,03348 oppnådd. Registrer resultatet som et konfidensintervall, avrund etter behov.

26. En strømstyrke på 16,6 A ble bestemt ved å bruke en enhet med en nøyaktighetsklasse på 1,5 og en skala på 50 A. Finn de absolutte instrumentelle og relative feilene til denne målingen.

27. I en serie på 5 målinger av pendelens oscillasjonsperiode ble følgende verdier oppnådd: 2,12 s, 2,10 s, 2,11 s, 2,14 s, 2,13 s. Finn den absolutte tilfeldige feilen ved å bestemme perioden fra disse dataene.

28. Eksperimentet med å slippe en last fra en viss høyde ble gjentatt 6 ganger. I dette tilfellet ble følgende verdier for lastfallstiden oppnådd: 38,0 s, 37,6 s, 37,9 s, 37,4 s, 37,5 s, 37,7 s. Finn den relative feilen ved å bestemme tidspunktet for høsten.

Divisjonsverdien er en målt verdi som får pekeren til å avvike med én divisjon. Delingsverdien bestemmes som forholdet mellom den øvre målegrensen for enheten og antall skaladelinger.

På grunn av feilene som er iboende i måleinstrumentet, den valgte metoden og måleprosedyren, forskjeller ytre forhold, der målingen utføres, av etablerte og andre grunner, er resultatet av nesten hver måling belastet med feil. Denne feilen beregnes eller estimeres og tilordnes det oppnådde resultatet.

Måleresultatfeil(kort sagt - målefeil) - avviket til måleresultatet fra den sanne verdien av den målte verdien.

Den sanne verdien av mengden forblir ukjent på grunn av tilstedeværelsen av feil. Det brukes til å løse teoretiske problemer innen metrologi. I praksis brukes den faktiske verdien av kvantumet, som erstatter den sanne verdien.

Målefeilen (Δx) er funnet av formelen:

x = x mål. - x gyldig (1.3)

hvor x måler. - verdien av mengden oppnådd på grunnlag av målinger; x gyldig — verdien av mengden tatt som reell.

For enkeltmålinger blir den faktiske verdien ofte tatt for å være verdien oppnådd ved bruk av et standard måleinstrument for flere målinger, det aritmetiske gjennomsnittet av verdiene til individuelle målinger inkludert i en gitt serie.

Målefeil kan klassifiseres etter følgende kriterier:

Av manifestasjonenes natur - systematisk og tilfeldig;

I henhold til uttrykksmetoden - absolutt og relativ;

I henhold til betingelsene for endring i den målte verdien - statisk og dynamisk;

I henhold til metoden for å behandle en rekke målinger - aritmetiske gjennomsnitt og rotmiddelkvadrater;

I henhold til fullstendigheten av dekningen av måleoppgaven - delvis og fullstendig;

I forhold til en enhet av fysisk mengde - feil ved reprodusering av enheten, lagring av enheten og overføring av størrelsen på enheten.

Systematisk målefeil(kort sagt - systematisk feil) - en komponent av feilen til et måleresultat som forblir konstant for en gitt serie målinger eller endres naturlig med gjentatte målinger av samme fysiske mengde.

I henhold til arten av deres manifestasjon er systematiske feil delt inn i permanente, progressive og periodiske. Konstante systematiske feil(kort sagt - konstante feil) - feil, lang tid beholde verdien (for eksempel gjennom hele måleserien). Dette er den vanligste typen feil.

Progressive systematiske feil(kort sagt - progressive feil) - kontinuerlig økende eller minkende feil (for eksempel feil fra slitasje på målespisser som kommer i kontakt med delen under slipeprosessen ved overvåking med en aktiv kontrollenhet).

Periodisk systematisk feil(kort - periodisk feil) - en feil, hvis verdi er en funksjon av tid eller en funksjon av bevegelsen til pekeren til en måleenhet (for eksempel forårsaker tilstedeværelsen av eksentrisitet i goniometerenheter med en sirkulær skala en systematisk feil som varierer i henhold til en periodisk lov).

Ut fra årsakene til at systematiske feil oppstår skilles det mellom instrumentelle feil, metodefeil, subjektive feil og feil som skyldes avvik ved ytre måleforhold fra metodene etablert.

Instrumentell målefeil(kort - instrumentell feil) er en konsekvens av en rekke årsaker: slitasje på enhetsdeler, overdreven friksjon i enhetsmekanismen, unøyaktig markering av slag på skalaen, avvik mellom de faktiske og nominelle verdiene for målingen, etc.

Målemetodefeil(kort sagt - metodefeil) kan oppstå på grunn av ufullkommenhet i målemetoden eller dens forenklinger etablert av målemetodikken. For eksempel kan en slik feil skyldes utilstrekkelig ytelse til måleinstrumentene som brukes ved måling av parametrene for raske prosesser eller uoppdagede urenheter ved bestemmelse av tettheten til et stoff basert på resultatene av måling av dets masse og volum.

Subjektiv målefeil(kort sagt - subjektiv feil) skyldes de individuelle feilene til operatøren. Denne feilen kalles noen ganger personlig forskjell. Det skyldes for eksempel en forsinkelse eller fremskritt i operatørens aksept av et signal.

Feil på grunn av avvik(i én retning) fører de ytre måleforholdene fra de som er etablert av måleteknikken til fremveksten av en systematisk komponent av målefeilen.

Systematiske feil forvrenger måleresultatet, så de må elimineres så langt som mulig ved å innføre korrigeringer eller justere enheten for å bringe systematiske feil til et akseptabelt minimum.

Uekskludert systematisk feil(kort sagt - ikke-ekskludert feil) er feilen i måleresultatet, på grunn av feilen i beregningen og innføringen av en korreksjon for handlingen av en systematisk feil, eller en liten systematisk feil, som korreksjonen ikke er introdusert for pga. til sin litenhet.

Noen ganger kalles denne typen feil ikke-ekskluderte rester av systematisk feil(kort sagt - ikke-ekskluderte saldoer). For eksempel, ved måling av lengden på en linjemåler i bølgelengder av referansestråling, ble flere ikke-ekskluderte systematiske feil identifisert (i): på grunn av unøyaktig temperaturmåling - 1; på grunn av unøyaktig bestemmelse av brytningsindeksen til luft - 2, på grunn av unøyaktig bølgelengde - 3.

Vanligvis blir summen av ikke-ekskluderte systematiske feil tatt i betraktning (deres grenser er satt). Når antall ledd er N ≤ 3, beregnes grensene for ikke-ekskluderte systematiske feil ved å bruke formelen

Når antall ledd er N ≥ 4, brukes formelen for beregninger

(1.5)

hvor k er avhengighetskoeffisienten for ikke-ekskluderte systematiske feil på den valgte konfidenssannsynligheten P når de er jevnt fordelt. Ved P = 0,99, k = 1,4, ved P = 0,95, k = 1,1.

Tilfeldig målefeil(kort sagt - tilfeldig feil) - en komponent av feilen til et måleresultat som endres tilfeldig (i fortegn og verdi) i en serie målinger av samme størrelse som en fysisk mengde. Årsaker til tilfeldige feil: avrundingsfeil ved avlesninger, variasjon i avlesninger, endringer i måleforhold tilfeldig osv.

Tilfeldige feil forårsaker spredning av måleresultater i en serie.

Teorien om feil er basert på to prinsipper, bekreftet av praksis:

1. Med et stort antall målinger, tilfeldige feil av samme numerisk verdi, Men annet tegn, forekommer like ofte;

2. Store (i absolutt verdi) feil er mindre vanlige enn små.

Fra den første posisjonen følger en viktig konklusjon for praksis: ettersom antall målinger øker, avtar den tilfeldige feilen til resultatet oppnådd fra en serie målinger, siden summen av feilene til individuelle målinger av en gitt serie har en tendens til null, dvs.

(1.6)

For eksempel, som et resultat av målinger, ble en rekke verdier oppnådd elektrisk motstand(korrigert for systematiske feil): R 1 = 15,5 Ohm, R 2 = 15,6 Ohm, R 3 = 15,4 Ohm, R 4 = 15,6 Ohm og R 5 = 15,4 Ohm . Derfor R = 15,5 Ohm. Avvik fra R (R 1 = 0,0; R 2 = +0,1 Ohm, R 3 = -0,1 Ohm, R 4 = +0,1 Ohm og R 5 = -0,1 Ohm) er tilfeldige feil ved individuelle målinger i denne serien. Det er lett å verifisere at summen R i = 0,0. Dette indikerer at feilene i individuelle målinger av denne serien ble beregnet riktig.

Til tross for at når antall målinger øker, har summen av tilfeldige feil en tendens til null (i i dette eksemplet det viste seg ved et uhell å være lik null), må den tilfeldige feilen til måleresultatet vurderes. I teorien om tilfeldige variabler er karakteristikken for spredning av verdier tilfeldig variabel fungerer som dispersjon o2. "|/o2 = a kalles gjennomsnittlig kvadratavvik for populasjonen eller standardavvik.

Det er mer praktisk enn spredning, siden dimensjonen sammenfaller med dimensjonen til den målte mengden (for eksempel oppnås verdien av mengden i volt, standardavviket vil også være i volt). Siden vi i målepraksis omhandler begrepet "feil", bør det deriverte begrepet "middelkvadratfeil" brukes for å karakterisere en rekke målinger. Et kjennetegn ved en serie målinger kan være den aritmetiske gjennomsnittsfeilen eller rekkevidden av måleresultater.

Rekkevidde av måleresultater (span for kort) - algebraisk forskjell de største og minste resultatene av individuelle målinger som danner en serie (eller prøve) av n målinger:

R n = X maks - X min (1,7)

hvor Rn er området; X maks og X min - den største og minste verdi verdier i en gitt serie målinger.

For eksempel, av fem målinger av hulldiameteren d, viste verdiene R 5 = 25,56 mm og R 1 = 25,51 mm å være dens maksimale og minimumsverdier. I dette tilfellet er Rn = d 5 - d 1 = 25,56 mm - 25,51 mm = 0,05 mm. Dette betyr at de resterende feilene i denne serien er mindre enn 0,05 mm.

Aritmetisk gjennomsnittsfeil for en individuell måling i en serie(kort - aritmetisk gjennomsnittsfeil) - en generalisert karakteristikk av spredningen (på grunn av tilfeldige årsaker) til individuelle måleresultater (av samme mengde) inkludert i en serie med n uavhengige målinger med like presisjon, beregnet med formelen

(1.8)

hvor X i er resultatet av den i-te målingen inkludert i serien; x er det aritmetiske gjennomsnittet av n verdier: |Х і - X| — absolutt verdi av feilen til den i-te målingen; r er den aritmetiske gjennomsnittsfeilen.

Den sanne verdien av den gjennomsnittlige aritmetiske feilen p bestemmes fra relasjonen

p = lim r, (1,9)

Med antall målinger n > 30 mellom aritmetisk gjennomsnitt (r) og rotmiddelkvadrat (s) det er sammenhenger mellom feil

s = 1,25 r; r og = 0,80 s. (1,10)

Fordelen med den aritmetiske gjennomsnittsfeilen er enkelheten i beregningen. Men likevel bestemmes den gjennomsnittlige kvadratfeilen oftere.

Gjennomsnittlig kvadratfeil individuell måling i en serie (kort sagt - gjennomsnittlig kvadratfeil) - en generalisert karakteristikk av spredningen (på grunn av tilfeldige årsaker) til individuelle måleresultater (av samme verdi) inkludert i en serie av n lik presisjon uavhengige målinger, beregnet av formelen

(1.11)

Gjennomsnittlig kvadratfeil for generelt utvalg o, som er den statistiske grensen for S, kan beregnes ved /i-mx > ved å bruke formelen:

Σ = lim S (1.12)

I virkeligheten er antallet målinger alltid begrenset, så det er ikke σ , og dens omtrentlige verdi (eller estimat), som er s. Jo flere p, jo nærmere s er grensen σ .

På normal lov fordeling, er sannsynligheten for at feilen for en individuell måling i en serie ikke vil overstige den beregnede gjennomsnittlige kvadratfeilen liten: 0,68. Derfor, i 32 tilfeller av 100 eller 3 tilfeller av 10, kan den faktiske feilen være større enn den beregnede.

Figur 1.2 Nedgang i verdien av den tilfeldige feilen for resultatet av flere målinger med en økning i antall målinger i en serie

I en serie målinger er det en sammenheng mellom rotmiddelkvadratfeilen til en individuell måling s og rotmiddelkvadratfeilen til det aritmetiske gjennomsnittet S x:

som ofte kalles "U n-regelen". Av denne regelen følger det at målefeilen på grunn av tilfeldige årsaker kan reduseres med n ganger dersom det utføres n målinger av samme størrelse av en hvilken som helst mengde, og det aritmetiske gjennomsnittet tas som sluttresultat (fig. 1.2).

Å utføre minst 5 målinger i en serie gjør det mulig å redusere påvirkningen av tilfeldige feil med mer enn 2 ganger. Med 10 målinger reduseres påvirkningen av tilfeldig feil med 3 ganger. En ytterligere økning i antall målinger er ikke alltid økonomisk gjennomførbar og utføres som regel kun for kritiske målinger som krever høy nøyaktighet.

Rotmiddelkvadratfeilen for en enkelt måling fra et antall homogene dobbeltmålinger S α beregnes ved formelen

(1.14)

hvor x" i og x"" i er de i-te resultatene av målinger av samme størrelse i forover- og bakoverretningen med ett måleinstrument.

Ved ulik målinger bestemmes rotmiddelkvadratfeilen til det aritmetiske gjennomsnittet i serien av formelen

(1.15)

hvor p i er vekten av den i-te målingen i en serie av ulik målinger.

Rotmiddelkvadratfeilen for resultatet av indirekte målinger av verdien Y, som er en funksjon av Y = F (X 1, X 2, X n), beregnes ved hjelp av formelen

(1.16)

hvor S 1, S 2, S n er rotmiddelkvadratfeilen til måleresultatene for mengdene X 1, X 2, X n.

Hvis det utføres flere målingsserier for å oppnå større pålitelighet for å oppnå et tilfredsstillende resultat, finner man ved hjelp av formelen rotmiddelkvadratfeilen for en individuell måling fra m-serien (S m).

(1.17)

Hvor n er antall målinger i serien; N— totalt antall målinger i alle serier; m er antall serier.

Med et begrenset antall målinger er det ofte nødvendig å kjenne til rotmiddelkvadratfeilen. For å bestemme feilen S, beregnet ved formel (2.7), og feilen S m, beregnet ved formel (2.12), kan du bruke følgende uttrykk

(1.18)

(1.19)

hvor S og S m er gjennomsnittlige kvadratfeil for henholdsvis S og S m .

For eksempel, når vi behandlet resultatene av en rekke målinger av lengde x, fikk vi

= 86 mm 2 ved n = 10,

= 3,1 mm

= 0,7 mm eller S = ±0,7 mm

Verdien S = ±0,7 mm betyr at på grunn av regnefeilen er s i området fra 2,4 til 3,8 mm, derfor er tideler av en millimeter upålitelige her. I det aktuelle tilfellet må vi skrive: S = ±3 mm.

For å ha større tillit til å vurdere feilen til et måleresultat, beregne konfidensfeilen eller konfidensgrensene for feilen. Under normalfordelingsloven beregnes konfidensgrensene for feilen som ±t-s eller ±t-s x, hvor s og s x er henholdsvis gjennomsnittlige kvadratfeil for en individuell måling i serien og det aritmetiske gjennomsnittet; t er et tall avhengig av konfidenssannsynligheten P og antall målinger n.

Et viktig konsept er påliteligheten til måleresultatet (α), d.v.s. sannsynligheten for at ønsket verdi av den målte størrelsen vil falle innenfor et gitt konfidensintervall.

For eksempel, når du behandler deler på verktøymaskiner i en stabil teknologisk modus, følger fordelingen av feil normalloven. La oss anta at dellengdetoleransen er satt til 2a. I dette tilfellet vil konfidensintervallet som ønsket verdi av dellengden a befinner seg i være (a - a, a + a).

Hvis 2a = ±3s, så er påliteligheten til resultatet a = 0,68, dvs. i 32 tilfeller av 100 bør man forvente at delstørrelsen overskrider toleranse 2a. Ved vurdering av kvaliteten på en del i henhold til en toleranse på 2a = ±3s, vil påliteligheten til resultatet være 0,997. I dette tilfellet kan bare tre deler av 1000 forventes å overskride den etablerte toleransen. En økning i påliteligheten er imidlertid bare mulig ved å redusere feilen i lengden på delen. For å øke påliteligheten fra a = 0,68 til a = 0,997, må feilen i lengden på delen reduseres med tre ganger.

I i det siste Begrepet "målepålitelighet" har blitt utbredt. I noen tilfeller er det urimelig brukt i stedet for begrepet "målenøyaktighet." For eksempel, i noen kilder kan du finne uttrykket "etablering av enhet og pålitelighet av målinger i landet." Mens det ville være mer korrekt å si "etablering av enhet og nødvendig nøyaktighet av målinger." Vi anser reliabilitet som en kvalitativ egenskap som gjenspeiler nærhet til null av tilfeldige feil. Det kan bestemmes kvantitativt gjennom upålitelighet av målinger.

Upålitelighet av målinger(kort sagt - upålitelighet) - en vurdering av avviket mellom resultatene i en serie målinger på grunn av påvirkningen av den totale påvirkningen av tilfeldige feil (bestemt av statistiske og ikke-statistiske metoder), preget av verdiområdet hvor den sanne verdien av den målte verdien er plassert.

I samsvar med anbefalingene fra International Bureau of Weights and Measures uttrykkes upålitelighet i form av en total gjennomsnittlig kvadratfeil - Su, inkludert gjennomsnittlig kvadratfeil S (bestemt ved statistiske metoder) og gjennomsnittlig kvadratfeil u (bestemt ved ikke-statistiske metoder), dvs.

(1.20)

Maksimal målefeil(kort - maksimal feil) - den maksimale målefeilen (pluss, minus), hvis sannsynlighet ikke overstiger verdien P, mens forskjellen 1 - P er ubetydelig.

For eksempel, med en normalfordelingslov, er sannsynligheten for en tilfeldig feil lik ±3s 0,997, og forskjellen 1-P = 0,003 er ubetydelig. Derfor tas konfidensfeilen på ±3s i mange tilfeller som maksimum, dvs. pr = ±3s. Om nødvendig kan pr ha andre sammenhenger med s ved tilstrekkelig stor P (2s, 2,5s, 4s, etc.).

På grunn av det faktum at i GSI-standardene, i stedet for begrepet "middelkvadratfeil", brukes begrepet "middelkvadratavvik", i videre diskusjoner vil vi holde oss til nettopp dette begrepet.

Absolutt målefeil(kort sagt - absolutt feil) - målefeil uttrykt i enheter av den målte verdien. Dermed representerer feilen X ved måling av lengden til del X, uttrykt i mikrometer, en absolutt feil.

Begrepene "absolutt feil" og "absolutt feilverdi" skal ikke forveksles, som forstås som verdien av feilen uten å ta hensyn til fortegnet. Så hvis den absolutte målefeilen er ±2 μV, vil den absolutte verdien av feilen være 0,2 μV.

Relativ målefeil(kort sagt - relativ feil) - målefeil, uttrykt i brøkdeler av verdien av den målte verdien eller i prosent. Den relative feilen δ er funnet fra relasjonene:

(1.21)

For eksempel er det en reell verdi av dellengden x = 10,00 mm og en absolutt verdi av feilen x = 0,01 mm. Den relative feilen vil være

Statisk feil— feil i måleresultatet på grunn av forholdene for statisk måling.

Dynamisk feil— feil i måleresultatet på grunn av betingelsene for dynamisk måling.

Enhetsreproduksjonsfeil— feil i resultatet av målinger utført ved reprodusering av en fysisk mengdeenhet. Dermed er feilen ved å reprodusere en enhet ved bruk av en tilstandsstandard indikert i form av dens komponenter: den ikke-ekskluderte systematiske feilen, preget av dens grense; tilfeldig feil preget av standardavvik s og ustabilitet over året ν.

Overføringsfeil for enhetsstørrelse— feil i resultatet av målinger utført ved overføring av størrelsen på en enhet. Feilen ved overføring av enhetsstørrelse inkluderer ikke-ekskluderte systematiske feil og tilfeldige feil i metoden og midler for å overføre enhetsstørrelsen (for eksempel en komparator).

I dette emnet vil jeg skrive noe som et kort jukseark om feil. Igjen, denne teksten er på ingen måte offisiell og henvisning til den er uakseptabel. Jeg vil være takknemlig for korrigering av eventuelle feil eller unøyaktigheter som kan være i denne teksten.

Hva er feil?

Å registrere resultatet av et eksperiment av formen () betyr at hvis vi utfører mange identiske eksperimenter, vil de oppnådde resultatene i 70% ligge i intervallet, og i 30% vil de ikke.

Eller, som er det samme, hvis vi gjentar eksperimentet, da nytt resultat vil falle innenfor konfidensintervallet med en sannsynlighet lik konfidenssannsynligheten.

Hvordan runde feilen og resultatet?

Feilen er avrundet til det første signifikante sifferet, hvis det ikke er en. Hvis en - så opptil to. Samtidig betydelig tall et hvilket som helst siffer i resultatet unntatt innledende nuller kalles.

Rund til eller eller men under ingen omstendigheter eller , siden det er 2 signifikante tall - 2 og 0 etter de to.

Rund opp til eller

Rund opp til eller eller

Vi runder resultatet slik at det siste betydelig tall resultatet tilsvarte det siste signifikante sifferet i feilen.

Eksempler riktig oppføring:

mm

Um, la oss beholde feilen her til 2 signifikante tall fordi det første signifikante tallet i feilen er ett.

mm

Eksempler feil inntasting:

Mm. Her ekstra tegn som et resultat. mm vil være riktig.

mm. Her ekstra skilt både ved feil og som et resultat. mm vil være riktig.

I arbeidet mitt bruker jeg verdien gitt meg bare som et tall. For eksempel en masse vekter. Hva er dens feilmargin?

Hvis feilen ikke er eksplisitt angitt, kan du ta en i siste siffer. Det vil si at hvis m = 1,35 g skrives, bør feilen tas som 0,01 g.

Det er en funksjon av flere mengder. Hver av disse mengder har sin egen feil. For å finne feilen til funksjonen må du gjøre følgende:

Symbolet betyr den partielle deriverte av f med hensyn til x. Les mer om partielle derivater.

Anta at du målte samme mengde x flere (n) ganger. Vi fikk et sett med verdier. . Du må beregne spredningsfeilen, beregne instrumentfeilen og legge dem sammen.

Punkt for punkt.

1. Vi beregner spredningsfeilen

Hvis alle verdiene sammenfaller, har du ingen spredning. Ellers er det en spredningsfeil som må beregnes. Til å begynne med beregnes rotmiddelkvadratfeilen til gjennomsnittet:

Her betyr gjennomsnittet over alt.
Spredningsfeilen oppnås ved å multiplisere rotmiddelkvadratfeilen til gjennomsnittet med studentkoeffisienten, som avhenger av konfidenssannsynligheten du velger og antall målinger n:

Vi tar studentens koeffisienter fra tabellen nedenfor. Konfidenssannsynligheten genereres vilkårlig, antall målinger n vi vet også.

2. Vi vurderer instrumentfeilen til gjennomsnittet

Hvis feilene til forskjellige punkter er forskjellige, så i henhold til formelen

Naturligvis bør alles tillitssannsynlighet være den samme.

3. Legg til gjennomsnittet med spredningen

Feil legger alltid opp som kvadratroten:

I dette tilfellet må du sørge for at tillitssannsynlighetene som ble beregnet og sammenfaller.

Hvordan bestemme instrumentfeilen til gjennomsnittet fra en graf? Vel, det vil si å bruke metoden med parede poeng eller metoden minste kvadrater, vil vi finne feilen i spredningen av den gjennomsnittlige motstanden. Hvordan finne instrumentfeilen til den gjennomsnittlige motstanden?

Både minste kvadraters metode og paret poeng metode kan gi et strengt svar på dette spørsmålet. For MLS-forumet i Svetozarov er det ("Grunnleggende...", en del om minste kvadraters metode), og for parede punkter er det første du tenker på (i pannen, som de sier) å beregne den instrumentelle feil av hver skråning. Vel, videre på alle punkter...

Hvis du ikke vil lide, så er det i laboratoriebøkene en enkel måte å gjøre det på vurderinger instrumentfeil av vinkelkoeffisienten, nemlig fra følgende MNC (for eksempel før arbeid 1 i laboratorieboken "Elektriske måleinstrumenter...." siste side av Metodiske anbefalinger).

Hvor er det maksimale avviket langs Y-aksen til et punkt med en feil fra den tegnede rette linjen, og nevneren er bredden på området til grafen vår langs Y-aksen. Likeledes for X-aksen.

Nøyaktighetsklassen er skrevet på motstandsmagasinet: 0,05/4*10^-6? Hvordan finne instrumentfeilen fra dette?

Dette betyr at den maksimale relative feilen til enheten (i prosent) har formen:
, Hvor
- høyeste verdi lagre motstand, a er den nominelle verdien av den inkluderte motstanden.
Det er lett å se at den andre termen er viktig når vi jobber med svært lave motstander.

Flere detaljer finner du alltid i enhetspasset. Passet finner du på Internett ved å skrive inn enhetens merke i Google.

Litteratur om feil

Mye mer informasjon om dette emnet finnes i boken anbefalt for ferskinger:
V.V. Svetozarov "Elementær behandling av måleresultater"

Som tilleggslitteratur (for førsteårsstudenter tilleggslitteratur) kan vi anbefale:
V.V. Svetozarov "Grunnleggende for statistisk behandling av måleresultater"

Og de som endelig vil forstå alt bør definitivt se her:
J. Taylor. "Introduksjon til feilteori"

Takk for at du fant og la ut disse fantastiske bøkene på nettstedet ditt.

1. Introduksjon

Arbeidet til kjemikere, fysikere og representanter for andre naturvitenskapelige profesjoner innebærer ofte å foreta kvantitative målinger av ulike størrelser. I dette tilfellet oppstår spørsmålet om å analysere påliteligheten til de oppnådde verdiene, behandle resultatene av direkte målinger og vurdere feilene i beregninger som bruker verdiene til direkte målte egenskaper (sistnevnte prosess kalles også behandling av resultater indirekte mål). Av en rekke objektive grunner er kunnskapen til nyutdannede ved Det kjemiske fakultet ved Moskva statsuniversitet om beregningsfeil ikke alltid tilstrekkelig for korrekt behandling av de innhentede dataene. En av disse årsakene er fraværet i fakultetspensum av et emne om statistisk behandling av måleresultater.

TIL i dette øyeblikket Spørsmålet om regnefeil har selvsagt blitt studert uttømmende. Finnes stort antall metodologisk utvikling, lærebøker o.l., hvor du kan finne informasjon om regnefeil. Dessverre er de fleste av disse arbeidene overbelastet med ekstra og ikke alltid nødvendig informasjon. Spesielt krever det meste av arbeidet med studentverksteder ikke slike handlinger som å sammenligne utvalg, vurdere konvergens osv. Derfor synes det hensiktsmessig å lage en kort utvikling som skisserer algoritmene for de mest brukte beregningene, som er hva denne utviklingen er viet til.

2. Notasjon vedtatt i dette arbeidet

Den målte verdien, - gjennomsnittsverdien av den målte verdien, - den absolutte feilen for gjennomsnittsverdien av den målte verdien, - den relative feilen til gjennomsnittsverdien til den målte verdien.

3. Beregning av feil ved direkte målinger

Så, la oss anta at de ble utført n målinger av samme mengde under samme forhold. I dette tilfellet kan du beregne gjennomsnittsverdien av denne verdien i målingene som er tatt:

(1)

Hvordan beregne feilen? I henhold til følgende formel:

(2)

Denne formelen bruker Student-koeffisienten. Dens verdier ved forskjellige tillitssannsynligheter og verdier er gitt inn.

3.1. Et eksempel på beregning av feil ved direkte målinger:

Oppgave.

Lengden på metallstangen ble målt. 10 målinger ble gjort og følgende verdier ble oppnådd: 10 mm, 11 mm, 12 mm, 13 mm, 10 mm, 10 mm, 11 mm, 10 mm, 10 mm, 11 mm. Det er nødvendig å finne gjennomsnittsverdien av den målte verdien (lengden på søylen) og dens feil.

Løsning.

Ved å bruke formel (1) finner vi:

mm

Nå, ved å bruke formel (2), finner vi den absolutte feilen til gjennomsnittsverdien med konfidenssannsynlighet og antall frihetsgrader (vi bruker verdien = 2,262, hentet fra):

La oss skrive ned resultatet:

10,8±0,7 0,95 mm

4. Beregning av feil ved indirekte målinger

La oss anta at under forsøket måles mengdene og deretter c Ved å bruke de oppnådde verdiene, beregnes verdien ved hjelp av formelen .

I dette tilfellet beregnes feilene for direkte målte mengder som beskrevet i avsnitt 3.

Beregningen av gjennomsnittsverdien av en mengde utføres i henhold til avhengigheten ved å bruke gjennomsnittsverdiene til argumentene.

,(3)

Feilverdien beregnes ved hjelp av følgende formel:

hvor er antall argumenter, er den partielle deriverte av funksjonen i forhold til argumentene, er den absolutte feilen til gjennomsnittsverdien til argumentet.

Den absolutte feilen, som ved direkte målinger, beregnes ved hjelp av formelen.

Oppgave.

4.1. Et eksempel på beregning av feil ved direkte målinger:

Det ble utført 5 direkte målinger av og. Følgende verdier ble oppnådd for verdien: 50, 51, 52, 50, 47; følgende verdier ble oppnådd for mengden: 500, 510, 476, 354, 520. Det er nødvendig å beregne verdien av mengden bestemt av formelen og finne feilen til den oppnådde verdien.

I vår tid har mennesket oppfunnet og bruker et stort utvalg av alle slags måleinstrumenter. Men uansett hvor perfekt teknologien for deres produksjon er, har de alle en større eller mindre feil. Denne parameteren er som regel angitt på selve instrumentet, og for å vurdere nøyaktigheten til verdien som bestemmes, må du være i stand til å forstå hva tallene som er angitt på merkingen betyr. I tillegg oppstår det uunngåelig relative og absolutte feil under komplekse matematiske beregninger. Det er mye brukt i statistikk, industri (kvalitetskontroll) og på en rekke andre områder. Hvordan denne verdien beregnes og hvordan man tolker verdien - dette er nøyaktig hva som vil bli diskutert i denne artikkelen.

Absolutt feil La oss angi med x den omtrentlige verdien av en mengde, oppnådd for eksempel gjennom en enkelt måling, og med x 0 dens eksakte verdi. La oss nå beregne størrelsen på forskjellen mellom disse to tallene. Den absolutte feilen er nøyaktig verdien vi fikk som et resultat av denne enkle operasjonen. På formlenes språk, denne definisjonen

kan skrives på denne formen: Δ x = | x - x 0 |.

Absolutt avvik har en viktig ulempe - det tillater ikke å vurdere graden av betydning av feilen. For eksempel kjøper vi 5 kg poteter på markedet, og en skruppelløs selger gjorde en feil på 50 gram i sin favør ved måling av vekten. Det vil si at den absolutte feilen var 50 gram. For oss vil en slik forglemmelse bare være en bagatell, og vi vil ikke engang ta hensyn til den. Kan du forestille deg hva som vil skje hvis en lignende feil oppstår mens du tilbereder medisinen? Her vil alt være mye mer seriøst. Og når du laster en godsvogn, vil avvik sannsynligvis forekomme mye større enn denne verdien. Derfor er den absolutte feilen i seg selv ikke veldig informativ. I tillegg til det beregner de i tillegg det relative avviket, lik forholdet mellom den absolutte feilen og eksakt verdi tall. Dette er skrevet med følgende formel: δ = Δ x / x 0 .

Feilegenskaper

Anta at vi har to uavhengige størrelser: x og y. Vi må beregne avviket til den omtrentlige verdien av summen deres. I dette tilfellet kan vi beregne den absolutte feilen som summen av de forhåndsberegnet absolutte avvikene til hver av dem. I noen målinger kan det skje at feil ved å bestemme verdiene til x og y opphever hverandre. Eller det kan skje at avvikene som følge av tillegg blir maksimalt intensivert. Derfor, når total absolutt feil beregnes, bør det verste tilfellet vurderes. Det samme gjelder forskjellen mellom feil av flere størrelser. Denne eiendommen er kun karakteristisk for absolutt feil, og kan ikke brukes på relativt avvik, siden dette uunngåelig vil føre til et feil resultat. La oss se på denne situasjonen ved å bruke følgende eksempel.

Anta at målinger inne i sylinderen viste at den indre radius (R 1) er 97 mm, og den ytre radius (R 2) er 100 mm. Det er nødvendig å bestemme tykkelsen på veggen. La oss først finne forskjellen: h = R 2 - R 1 = 3 mm. Hvis problemet ikke indikerer hva den absolutte feilen er, blir det tatt som halvparten av måleenhetens skaladeling. Således er Δ(R 2) = Δ(R 1) = 0,5 mm. Den totale absolutte feilen er: Δ(h) = Δ(R 2) + Δ(R 1) = 1 mm. La oss nå beregne det relative avviket til alle verdier:

δ(R 1) = 0,5/100 = 0,005,

δ(R 1) = 0,5/97 ≈ 0,0052,

δ(h) = Δ(h)/h = 1/3 ≈ 0,3333>> δ(R 1).

Som du kan se, overstiger ikke feilen ved måling av begge radiene 5,2 %, og feilen ved beregning av forskjellen deres - tykkelsen på sylinderveggen - var hele 33,(3) %!

Følgende egenskap sier: det relative avviket til produktet av flere tall er omtrent lik summen av de relative avvikene til de individuelle faktorene:

δ(xy) ≈ δ(x) + δ(y).

Dessuten denne regelen er sant uavhengig av antall verdier som blir evaluert. Den tredje og siste egenskapen til relativ feil er at det relative estimatet kth tall grad omtrent i | k | ganger den relative feilen til det opprinnelige tallet.