Summen av en aritmetisk progresjon.

Summen av en aritmetisk progresjon er en enkel ting. Både i betydning og i formel. Men det er alle slags oppgaver om dette emnet. Fra grunnleggende til ganske solid.

Først, la oss forstå betydningen og formelen for beløpet. Og så bestemmer vi oss. For din egen fornøyelse.) Betydningen av beløpet er så enkel som en moo. For å finne summen av en aritmetisk progresjon, trenger du bare å legge til alle leddene nøye. Hvis disse begrepene er få, kan du legge til uten formler. Men hvis det er mye, eller mye... tillegg er irriterende.) I dette tilfellet kommer formelen til unnsetning.

Formelen for mengden er enkel:

La oss finne ut hva slags bokstaver som er inkludert i formelen. Dette vil oppklare mye.

S n - summen av en aritmetisk progresjon. Tilleggsresultat alle medlemmer, med først Ved siste. Dette er viktig. De summerer seg nøyaktig Alle medlemmer på rad, uten å hoppe eller hoppe. Og, nettopp, med utgangspunkt i først. I problemer som å finne summen av tredje og åttende ledd, eller summen av femte til tjuende ledd, vil direkte anvendelse av formelen skuffe.)

en 1 - først medlem av progresjonen. Alt er klart her, det er enkelt først radnummer.

en n- sist medlem av progresjonen. Det siste nummeret i serien. Ikke et veldig kjent navn, men når det brukes på mengden, er det veldig passende. Da vil du se selv.

n - nummer på siste medlem. Det er viktig å forstå at i formelen dette tallet sammenfaller med antall tilføyde termer.

La oss definere konseptet siste medlem en n. Vanskelig spørsmål: hvilket medlem vil være den siste hvis gitt endeløs aritmetisk progresjon?)

For å svare trygt, må du forstå den grunnleggende betydningen av en aritmetisk progresjon og ... lese oppgaven nøye!)

I oppgaven med å finne summen av en aritmetisk progresjon, vises alltid siste ledd (direkte eller indirekte), som bør begrenses. Ellers et endelig, spesifikt beløp eksisterer rett og slett ikke. For løsningen spiller det ingen rolle om progresjonen er gitt: endelig eller uendelig. Det spiller ingen rolle hvordan det er gitt: en serie tall eller en formel for det n-te leddet.

Det viktigste er å forstå at formelen fungerer fra første ledd i progresjonen til leddet med tall n. Faktisk ser det fulle navnet på formelen slik ut: summen av de første n leddene i en aritmetisk progresjon. Antallet av disse aller første medlemmene, dvs. n, bestemmes utelukkende av oppgaven. I en oppgave er all denne verdifulle informasjonen ofte kryptert, ja... Men bry deg ikke, i eksemplene nedenfor avslører vi disse hemmelighetene.)

Eksempler på oppgaver på summen av en aritmetisk progresjon.

Først av alt, nyttig informasjon:

Hovedvanskeligheten i oppgaver som involverer summen av en aritmetisk progresjon ligger i riktig bestemmelse av elementene i formelen.

Oppgaveskriverne krypterer nettopp disse elementene med grenseløs fantasi.) Hovedsaken her er å ikke være redd. For å forstå essensen av elementene, er det nok å bare dechiffrere dem. La oss se på noen få eksempler i detalj. La oss starte med en oppgave basert på en ekte GIA.

1. Aritmetisk progresjon gitt av betingelsen: a n = 2n-3,5. Finn summen av de 10 første leddene.

Bra jobbet. Enkelt.) Hva trenger vi å vite for å bestemme mengden ved hjelp av formelen? Første medlem en 1, siste semester en n, ja nummeret til det siste medlemmet n.

Hvor kan jeg få det siste medlemsnummeret? n? Ja, akkurat der, på betingelse! Det står: finn summen første 10 medlemmer. Vel, hvilket nummer blir det med? siste, tiende medlem?) Du vil ikke tro det, nummeret hans er tiende!) Derfor, i stedet for en n Vi vil erstatte i formelen en 10, og i stedet n- ti. Jeg gjentar, nummeret på det siste medlemmet faller sammen med antallet medlemmer.

Det gjenstår å fastslå en 1 Og en 10. Dette beregnes enkelt ved hjelp av formelen for n'te ledd, som er gitt i problemstillingen. Vet du ikke hvordan du gjør dette? Delta på forrige leksjon, uten dette er det ingen måte.

en 1= 2 1 - 3,5 = -1,5

en 10=2·10 - 3,5 =16,5

S n = S 10.

Vi har funnet ut betydningen av alle elementene i formelen for summen av en aritmetisk progresjon. Alt som gjenstår er å erstatte dem og telle:

Det er det. Svar: 75.

En annen oppgave basert på GIA. Litt mer komplisert:

2. Gitt en aritmetisk progresjon (a n), hvor forskjellen er 3,7; a 1 = 2,3. Finn summen av de første 15 leddene.

Vi skriver umiddelbart sumformelen:

Denne formelen lar oss finne verdien av et hvilket som helst ledd etter tallet. Vi ser etter en enkel erstatning:

a 15 = 2,3 + (15-1) 3,7 = 54,1

Det gjenstår å erstatte alle elementene i formelen for summen av en aritmetisk progresjon og beregne svaret:

Svar: 423.

Forresten, hvis i sumformelen i stedet for en n Vi erstatter ganske enkelt formelen for det n-te leddet og får:

La oss ta med lignende, får vi ny formel summer av ledd av en aritmetisk progresjon:

Som du kan se, er det ikke nødvendig her nte termin en n. I noen problemer hjelper denne formelen mye, ja... Du kan huske denne formelen. Er det mulig i rett øyeblikk det er enkelt å vise det, som her. Tross alt må du alltid huske formelen for summen og formelen for n'te ledd.)

Nå oppgaven i form av en kort kryptering):

3. Finn summen av alle positive tosifrede tall, multipler av tre.

Wow! Verken ditt første medlem, eller ditt siste, eller progresjon i det hele tatt... Hvordan leve!?

Du må tenke med hodet og trekke ut alle elementene i summen av den aritmetiske progresjonen fra tilstanden. Vi vet hva tosifrede tall er. De består av to tall.) Hvilket tosifret tall blir først? 10, antagelig.) A siste tosifret tall? 99, selvfølgelig! De tresifrede vil følge ham...

Multipler av tre... Hm... Dette er tall som er delbare med tre, her! Ti er ikke delelig med tre, 11 er ikke delelig... 12... er delelig! Så noe er i ferd med å dukke opp. Du kan allerede skrive ned en serie i henhold til betingelsene for problemet:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Vil denne serien være en aritmetisk progresjon? Sikkert! Hvert begrep skiller seg fra den forrige med strengt tatt tre. Hvis du legger til 2 eller 4 til en term, for eksempel resultatet, dvs. det nye tallet er ikke lenger delelig med 3. Du kan umiddelbart bestemme forskjellen på den aritmetiske progresjonen: d = 3. Det kommer godt med!)

Så vi kan trygt skrive ned noen progresjonsparametere:

Hva blir tallet? n siste medlem? Alle som tror at 99 tar fatalt feil... Tallene går alltid på rekke og rad, men våre medlemmer hopper over tre. De stemmer ikke.

Det er to løsninger her. En måte er for de super hardtarbeidende. Du kan skrive ned progresjonen, hele tallserien, og telle antall medlemmer med fingeren.) Den andre måten er for de gjennomtenkte. Du må huske formelen for det n'te leddet. Hvis vi bruker formelen på problemet vårt, finner vi at 99 er det trettiende leddet i progresjonen. De. n = 30.

La oss se på formelen for summen av en aritmetisk progresjon:

Vi ser og gleder oss.) Vi trakk ut fra problemformuleringen alt som er nødvendig for å beregne beløpet:

en 1= 12.

en 30= 99.

S n = S 30.

Alt som gjenstår er elementær aritmetikk. Vi setter inn tallene i formelen og regner ut:

Svar: 1665

En annen type populær puslespill:

4. Gitt en aritmetisk progresjon:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Finn summen av ledd fra tjuende til trettifire.

Vi ser på formelen for beløpet og... vi blir opprørte.) Formelen, la meg minne deg, beregner beløpet fra den første medlem. Og i oppgaven må du beregne summen siden det tjuende... Formelen vil ikke fungere.

Du kan selvfølgelig skrive ut hele progresjonen i en serie, og legge til termer fra 20 til 34. Men... det er liksom dumt og tar lang tid, ikke sant?)

Det finnes en mer elegant løsning. La oss dele serien vår i to deler. Den første delen blir fra første periode til nittende. Andre del - fra tjue til trettifire. Det er klart at hvis vi beregner summen av vilkårene i den første delen S 1-19, la oss legge det til med summen av vilkårene i den andre delen S 20-34, får vi summen av progresjonen fra første ledd til trettifjerde S 1-34. Slik:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

Fra dette kan vi se at finne summen S 20-34 kan gjøres ved enkel subtraksjon

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

Begge beløpene på høyre side vurderes fra den første medlem, dvs. standardsumformelen er ganske anvendelig for dem. La oss komme i gang?

Vi trekker ut progresjonsparametrene fra problemformuleringen:

d = 1,5.

en 1= -21,5.

For å beregne summene av de første 19 og første 34 leddene, trenger vi de 19. og 34. leddene. Vi beregner dem ved å bruke formelen for det n-te leddet, som i oppgave 2:

en 19= -21,5 +(19-1) 1,5 = 5,5

en 34= -21,5 +(34-1) 1,5 = 28

Det er ingenting igjen. Trekk fra summen av 34 ledd summen av 19 ledd:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Svar: 262,5

En viktig merknad! Det er et veldig nyttig triks for å løse dette problemet. I stedet for direkte beregning det du trenger (S 20-34), vi telte noe som ikke ser ut til å være nødvendig - S 1-19. Og så bestemte de seg S 20-34, forkaster det unødvendige fra det komplette resultatet. Denne typen "finte med ørene" sparer deg ofte for slemme problemer.)

I denne leksjonen så vi på problemer der det er nok å forstå betydningen av summen av en aritmetisk progresjon. Vel, du må kunne et par formler.)

Praktiske råd:

Når du løser ethvert problem som involverer summen av en aritmetisk progresjon, anbefaler jeg umiddelbart å skrive ut de to hovedformlene fra dette emnet.

Formel for n'te termin:

Disse formlene vil umiddelbart fortelle deg hva du skal se etter og i hvilken retning du skal tenke for å løse problemet. Hjelper.

Og nå oppgavene for uavhengig løsning.

5. Finn summen av alle tosifrede tall som ikke er delbare med tre.

Kult?) Hintet er skjult i notatet til oppgave 4. Vel, oppgave 3 vil hjelpe.

6. Den aritmetiske progresjonen er gitt av betingelsen: a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Finn summen av de første 24 leddene.

Uvanlig?) Dette er en tilbakevendende formel. Du kan lese om det i forrige leksjon. Ikke ignorer koblingen, slike problemer finnes ofte i State Academy of Sciences.

7. Vasya sparte opp penger til ferien. Så mye som 4550 rubler! Og jeg bestemte meg for å gi favorittpersonen min (meg selv) noen dager med lykke). Lev vakkert uten å nekte deg selv noe. Bruk 500 rubler på den første dagen, og bruk 50 rubler mer på hver påfølgende dag enn den forrige! Helt til pengene tar slutt. Hvor mange dager med lykke hadde Vasya?

Er det vanskelig?) Tilleggsformelen fra oppgave 2 vil hjelpe.

Svar (i uorden): 7, 3240, 6.

Hvis du liker denne siden...

Forresten, jeg har et par flere interessante nettsteder for deg.)

Du kan trene på å løse eksempler og finne ut nivået ditt. Testing med umiddelbar verifisering. La oss lære - med interesse!)

Du kan bli kjent med funksjoner og derivater.

Aritmetisk progresjon navngi en tallsekvens (betingelser for en progresjon)

Der hver påfølgende term skiller seg fra den forrige med en ny term, som også kalles trinn eller progresjonsforskjell.

Ved å spesifisere progresjonstrinnet og dets første ledd, kan du derfor finne alle elementene ved hjelp av formelen

Egenskaper for en aritmetisk progresjon

1) Hvert medlem av en aritmetisk progresjon, fra det andre tallet, er det aritmetiske gjennomsnittet av forrige og neste medlem av progresjonen

Det motsatte er også sant. Hvis det aritmetiske gjennomsnittet av tilstøtende odde (partall) ledd i en progresjon er lik leddet som står mellom dem, så er denne tallsekvensen en aritmetisk progresjon. Ved å bruke denne setningen er det veldig enkelt å sjekke hvilken som helst sekvens.

Dessuten, ved egenskapen til aritmetisk progresjon, kan formelen ovenfor generaliseres til følgende

Dette er lett å verifisere hvis du skriver vilkårene til høyre for likhetstegnet

Det brukes ofte i praksis for å forenkle beregninger i oppgaver.

2) Summen av de første n leddene i en aritmetisk progresjon beregnes ved hjelp av formelen

Husk godt formelen for summen av en aritmetisk progresjon den er uunnværlig i beregninger og finnes ganske ofte i enkle livssituasjoner.

3) Hvis du ikke trenger å finne hele summen, men en del av sekvensen fra dens kth ledd, vil følgende sumformel være nyttig for deg

4) Av praktisk interesse er å finne summen av n ledd av en aritmetisk progresjon som starter fra det kth tallet. For å gjøre dette, bruk formelen

Dette avslutter det teoretiske materialet og går videre til å løse vanlige problemer i praksis.

Eksempel 1. Finn det førtiende leddet i den aritmetiske progresjonen 4;7;...

Løsning:

Etter tilstanden vi har

La oss bestemme progresjonstrinnet

Ved å bruke en velkjent formel finner vi det førtiende leddet i progresjonen

Eksempel 2.

Løsning:

En aritmetisk progresjon er gitt av dens tredje og syvende ledd. Finn det første leddet i progresjonen og summen av ti.

La oss skrive ned de gitte elementene i progresjonen ved å bruke formlene

Vi trekker den første fra den andre ligningen, som et resultat finner vi progresjonstrinnet

Vi erstatter den funnet verdien i en av ligningene for å finne det første leddet i den aritmetiske progresjonen

Vi beregner summen av de ti første leddene i progresjonen

Uten å bruke komplekse beregninger fant vi alle nødvendige mengder.

Løsning:

Eksempel 3. En aritmetisk progresjon er gitt av nevneren og en av dens ledd. Finn det første leddet i progresjonen, summen av dets 50 ledd fra 50 og summen av de første 100.

La oss skrive ned formelen for det hundrede elementet i progresjonen

og finn den første

Basert på den første finner vi 50. ledd i progresjonen

Finne summen av delen av progresjonen

Progresjonsbeløpet er 250.

Eksempel 4.

Finn antall ledd i en aritmetisk progresjon hvis:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

Løsning:

La oss skrive ligningene i form av det første leddet og progresjonstrinnet og bestemme dem

Vi erstatter de oppnådde verdiene i sumformelen for å bestemme antall ledd i summen

Vi utfører forenklinger

og løse andregradsligningen

Av de to verdiene som er funnet, er det bare tallet 8 som passer til problemforholdene. Dermed er summen av de første åtte leddene i progresjonen 111.

Eksempel 5.

Løs ligningen

1+3+5+...+x=307.

Løsning: Denne ligningen er summen av en aritmetisk progresjon. La oss skrive ut det første leddet og finne forskjellen i progresjon

Inngangsnivå

Aritmetisk progresjon. Detaljert teori med eksempler (2019)

Nummerrekkefølge

Så la oss sette oss ned og begynne å skrive noen tall. For eksempel:
Du kan skrive alle tall, og det kan være så mange av dem du vil (i vårt tilfelle er det dem). Uansett hvor mange tall vi skriver, kan vi alltid si hvilket som er først, hvilket som er nummer to, og så videre til det siste, det vil si at vi kan nummerere dem. Dette er et eksempel på en tallsekvens:

Nummerrekkefølge
For eksempel for vår sekvens:

Det tildelte nummeret er spesifikt for bare ett nummer i sekvensen. Det er med andre ord ingen tre sekunders tall i sekvensen. Det andre tallet (som det th tallet) er alltid det samme.
Tallet med tall kalles det te leddet i sekvensen.

Vi kaller vanligvis hele sekvensen med en bokstav (for eksempel), og hvert medlem av denne sekvensen er den samme bokstaven med en indeks som er lik nummeret til dette medlemmet: .

I vårt tilfelle:

La oss si at vi har en tallrekke der forskjellen mellom tilstøtende tall er den samme og lik.
For eksempel:

osv.
Denne tallsekvensen kalles en aritmetisk progresjon.
Begrepet "progresjon" ble introdusert av den romerske forfatteren Boethius tilbake på 600-tallet og ble forstått i bredere forstand som en uendelig numerisk rekkefølge. Navnet "aritmetikk" ble overført fra teorien om kontinuerlige proporsjoner, som ble studert av de gamle grekerne.

Dette er en tallsekvens, hvor hvert medlem er lik den forrige lagt til det samme tallet. Dette tallet kalles forskjellen til en aritmetisk progresjon og er utpekt.

Prøv å finne ut hvilke tallsekvenser som er en aritmetisk progresjon og hvilke som ikke er det:

en)
b)
c)
d)

Har du det? La oss sammenligne svarene våre:
Er aritmetisk progresjon - b, c.
er ikke aritmetisk progresjon - a, d.

La oss gå tilbake til den gitte progresjonen () og prøve å finne verdien av dets tredje ledd. Finnes to måte å finne det på.

1. Metode

Vi kan legge til progresjonstallet til den forrige verdien til vi når den tredje ledd av progresjonen. Det er bra at vi ikke har så mye å oppsummere - bare tre verdier:

Så det tredje leddet i den beskrevne aritmetiske progresjonen er lik.

2. Metode

Hva om vi trengte å finne verdien av det tredje leddet i progresjonen? Summeringen ville tatt oss mer enn én time, og det er ikke et faktum at vi ikke ville gjort feil når vi legger til tall.
Selvfølgelig har matematikere kommet opp med en måte der det ikke er nødvendig å legge forskjellen til en aritmetisk progresjon til den forrige verdien. Ta en nærmere titt på det tegnede bildet... Du har sikkert allerede lagt merke til et bestemt mønster, nemlig:

La oss for eksempel se hva verdien av det tredje leddet i denne aritmetiske progresjonen består av:


Med andre ord:

Prøv å finne verdien av et medlem av en gitt aritmetisk progresjon selv på denne måten.

Har du regnet ut? Sammenlign notatene dine med svaret:

Vær oppmerksom på at du fikk nøyaktig samme tall som i den forrige metoden, da vi sekvensielt la til vilkårene for den aritmetiske progresjonen til den forrige verdien.
La oss prøve å "depersonalisere" denne formelen - la oss ta den inn generelt syn og vi får:

Aritmetisk progresjonsligning.

Aritmetiske progresjoner kan være økende eller avtagende.

Økende- progresjoner der hver påfølgende verdi av begrepene er større enn den forrige.
For eksempel:

Synkende- progresjoner der hver påfølgende verdi av vilkårene er mindre enn den forrige.
For eksempel:

Den utledede formelen brukes i beregningen av ledd i både økende og avtagende termer for en aritmetisk progresjon.
La oss sjekke dette i praksis.
Vi får en aritmetisk progresjon som består av følgende tall: La oss sjekke hva tallet i denne aritmetiske progresjonen vil være hvis vi bruker formelen vår til å beregne den:

Siden da:

Dermed er vi overbevist om at formelen fungerer i både avtagende og økende aritmetisk progresjon.
Prøv å finne de th og th leddene i denne aritmetiske progresjonen selv.

La oss sammenligne resultatene:

Aritmetisk progresjonsegenskap

La oss komplisere problemet - vi vil utlede egenskapen til aritmetisk progresjon.
La oss si at vi får følgende betingelse:
- aritmetisk progresjon, finn verdien.
Lett, sier du og begynner å telle etter formelen du allerede kjenner:

La, ah, da:

Helt sant. Det viser seg at vi først finner, så legger vi det til det første tallet og får det vi leter etter. Hvis progresjonen er representert av små verdier, så er det ikke noe komplisert med det, men hva om vi får tall i tilstanden? Enig, det er en mulighet for å gjøre feil i beregningene.
Tenk nå på om det er mulig å løse dette problemet i ett trinn ved å bruke en formel? Selvfølgelig ja, og det er det vi skal prøve å få frem nå.

La oss betegne den nødvendige termen for den aritmetiske progresjonen som formelen for å finne den er kjent for oss - dette er den samme formelen vi avledet i begynnelsen:
, Deretter:

• forrige termin av progresjonen er:
• neste termin i progresjonen er:

La oss oppsummere de forrige og påfølgende betingelsene for progresjonen:

Det viser seg at summen av de forrige og påfølgende leddene i progresjonen er den doble verdien av progresjonsleddet som ligger mellom dem. Med andre ord, for å finne verdien av et progresjonsledd med kjente tidligere og påfølgende verdier, må du legge dem til og dele med.

Det stemmer, vi har samme nummer. La oss sikre materialet. Beregn verdien for progresjonen selv, det er slett ikke vanskelig.

Godt gjort! Du vet nesten alt om progresjon! Det gjenstår å finne ut bare en formel, som ifølge legenden lett ble utledet for seg selv av en av tidenes største matematikere, "matematikernes konge" - Karl Gauss ...

Da Carl Gauss var 9 år gammel, spurte en lærer, opptatt med å sjekke arbeidet til elevene i andre klasser, følgende problem i klassen: «Regn ut summen av alle naturlige tall fra til (ifølge andre kilder opp til) inkluderende." Se for deg lærerens overraskelse da en av elevene hans (dette var Karl Gauss) et minutt senere ga riktig svar på oppgaven, mens de fleste av våghalsens klassekamerater, etter lange utregninger, fikk feil resultat...

Unge Carl Gauss la merke til et bestemt mønster som du også lett kan legge merke til.
La oss si at vi har en aritmetisk progresjon som består av -th ledd: Vi må finne summen av disse leddene av den aritmetiske progresjonen. Selvfølgelig kan vi manuelt summere alle verdiene, men hva om oppgaven krever å finne summen av leddene, slik Gauss var ute etter?

La oss skildre progresjonen gitt til oss. Ta en nærmere titt på de uthevede tallene og prøv å utføre ulike matematiske operasjoner med dem.


Har du prøvd det? Hva la du merke til? Høyre! Summene deres er like

Si meg nå, hvor mange slike par er det totalt i progresjonen gitt til oss? Selvfølgelig, nøyaktig halvparten av alle tall, altså.
Basert på det faktum at summen av to ledd i en aritmetisk progresjon er lik, og like par er like, får vi at den totale summen er lik:
.
Dermed vil formelen for summen av de første leddene i enhver aritmetisk progresjon være:

I noen problemer kjenner vi ikke begrepet, men vi vet forskjellen på progresjonen. Prøv å erstatte formelen til det te leddet med sumformelen.
Hva fikk du?

Godt gjort! La oss nå gå tilbake til problemet som ble spurt til Carl Gauss: beregn selv hva summen av tall som starter fra th er lik og summen av tallene som starter fra th.

Hvor mye fikk du?
Gauss fant at summen av leddene er lik, og summen av leddene. Var det det du bestemte deg for?

Faktisk ble formelen for summen av vilkårene for en aritmetisk progresjon bevist av den antikke greske vitenskapsmannen Diophantus tilbake på 300-tallet, og gjennom denne tiden benyttet vittige mennesker egenskapene til den aritmetiske progresjonen til fulle.
Tenk deg for eksempel Det gamle Egypt og datidens største byggeprosjekt - byggingen av en pyramide... Bildet viser den ene siden av den.

Hvor er progresjonen her, sier du? Se nøye og finn et mønster i antall sandblokker i hver rad av pyramideveggen.


Hvorfor ikke en aritmetisk progresjon? Regn ut hvor mange blokker som trengs for å bygge én vegg hvis blokkklosser er plassert ved basen. Jeg håper du ikke vil telle mens du beveger fingeren over skjermen, husker du den siste formelen og alt vi sa om aritmetisk progresjon?

I dette tilfellet ser progresjonen slik ut: .
Aritmetisk progresjonsforskjell.
Antall ledd i en aritmetisk progresjon.
La oss erstatte dataene våre i de siste formlene (beregn antall blokker på 2 måter).

Metode 1.

Metode 2.

Og nå kan du beregne på skjermen: sammenlign de oppnådde verdiene med antall blokker som er i pyramiden vår. Har du det? Godt gjort, du har mestret summen av de n-te leddene i en aritmetisk progresjon.
Selvfølgelig kan du ikke bygge en pyramide fra blokker ved basen, men fra? Prøv å beregne hvor mange sandklosser som trengs for å bygge en vegg med denne tilstanden.
Klarte du deg?
Riktig svar er blokker:

Opplæring

Oppgaver:

1. Masha kommer i form til sommeren. Hver dag øker hun antall knebøy med. Hvor mange ganger vil Masha trene knebøy i løpet av en uke hvis hun gjorde knebøy på den første treningsøkten?
2. Hva er summen av alle oddetall som finnes i.
3. Ved lagring av tømmerstokker stabler loggere dem på en slik måte at hver topplag inneholder én logg mindre enn den forrige. Hvor mange stokker er det i ett murverk, hvis fundamentet til murverket er stokker?

Svar:

1. La oss definere parametrene for den aritmetiske progresjonen. I dette tilfellet
   (uker = dager).

   Svare: Om to uker bør Masha gjøre knebøy en gang om dagen.

2. Først oddetall, siste nummer.
   Aritmetisk progresjonsforskjell.
   Antall oddetall i er halvparten, men la oss sjekke dette faktum ved å bruke formelen for å finne det tredje leddet i en aritmetisk progresjon:

   Tall inneholder oddetall.
   La oss erstatte de tilgjengelige dataene i formelen:

   Svare: Summen av alle oddetall i er lik.

3. La oss huske problemet med pyramider. For vårt tilfelle, en , siden hvert topplag reduseres med en stokk, så er det totalt en haug med lag, altså.
   La oss erstatte dataene i formelen:

   Svare: Det er stokker i murverket.

La oss oppsummere det

1. - en tallsekvens der forskjellen mellom tilstøtende tall er lik og lik. Det kan være økende eller avtagende.
2. Finne formel Det tredje leddet i en aritmetisk progresjon skrives med formelen - , hvor er antall tall i progresjonen.
3. Eiendom til medlemmer av en aritmetisk progresjon- - hvor er antall tall i progresjon.
4. Summen av leddene til en aritmetisk progresjon kan finnes på to måter:
   
   , hvor er antall verdier.

ARITMETISK PROGRESJON. MIDDELNIVÅ

Nummerrekkefølge

La oss sette oss ned og begynne å skrive noen tall. For eksempel:

Du kan skrive alle tall, og det kan være så mange av dem du vil. Men vi kan alltid si hvilken som er først, hvilken som er nummer to, og så videre, det vil si at vi kan nummerere dem. Dette er et eksempel på en tallrekke.

Nummerrekkefølge er et sett med tall, som hver kan tildeles et unikt nummer.

Med andre ord kan hvert tall assosieres med et visst naturlig tall, og et unikt. Og vi vil ikke tildele dette nummeret til noe annet nummer fra dette settet.

Tallet med nummer kalles det th medlem av sekvensen.

Vi kaller vanligvis hele sekvensen med en bokstav (for eksempel), og hvert medlem av denne sekvensen er den samme bokstaven med en indeks som er lik nummeret til dette medlemmet: .

Det er veldig praktisk hvis det tredje leddet i sekvensen kan spesifiseres med en formel. For eksempel formelen

setter sekvensen:

Og formelen er følgende sekvens:

For eksempel er en aritmetisk progresjon en sekvens (det første leddet her er likt, og forskjellen er det). Eller (, forskjell).

formel for n. ledd

Vi kaller en formel tilbakevendende der du, for å finne ut begrepet, må kjenne til de forrige eller flere tidligere:

For å finne for eksempel det tredje leddet i progresjonen ved å bruke denne formelen, må vi beregne de ni foregående. For eksempel, la det. Da:

Vel, er det klart nå hva formelen er?

I hver linje legger vi til, multiplisert med et eller annet tall. Hvilken? Veldig enkelt: dette er nummeret på gjeldende medlem minus:

Mye mer praktisk nå, ikke sant? Vi sjekker:

Bestem selv:

I en aritmetisk progresjon, finn formelen for det n'te leddet og finn det hundrede leddet.

Løsning:

Det første leddet er likt. Hva er forskjellen? Her er hva:

(Dette er grunnen til at det kalles forskjell fordi det er lik forskjellen mellom påfølgende ledd i progresjonen).

Så formelen:

Da er det hundrede leddet lik:

Hva er summen av alle naturlige tall fra til?

Ifølge legenden beregnet den store matematikeren Carl Gauss, som en 9 år gammel gutt, dette beløpet på noen få minutter. Han la merke til at summen av de første og siste dato er lik, summen av den andre og den nest siste er den samme, summen av den tredje og den tredje fra slutten er den samme, og så videre. Hvor mange slike par er det totalt? Det stemmer, nøyaktig halvparten av alle tall, altså. Så,

Den generelle formelen for summen av de første leddene i enhver aritmetisk progresjon vil være:

Eksempel:
Finn summen av alle tosifrede multipler.

Løsning:

Det første slike nummer er dette. Hvert etterfølgende nummer oppnås ved å legge til det forrige nummeret. Dermed danner tallene vi er interessert i en aritmetisk progresjon med det første leddet og differansen.

Formel for begrepet for denne progresjonen:

Hvor mange ledd er det i progresjonen hvis de alle må være tosifrede?

Veldig enkelt:.

Den siste perioden av progresjonen vil være lik. Så summen:

Svar: .

Bestem nå selv:

1. Hver dag løper utøveren flere meter enn dagen før. Hvor mange totalt kilometer vil han løpe i løpet av en uke hvis han løp km m den første dagen?
2. En syklist reiser flere kilometer hver dag enn dagen før. Den første dagen reiste han km. Hvor mange dager trenger han å reise for å tilbakelegge en kilometer? Hvor mange kilometer vil han reise i løpet av den siste dagen av reisen?
3. Prisen på kjøleskap i butikk synker like mye hvert år. Bestem hvor mye prisen på et kjøleskap falt hvert år hvis det ble lagt ut for salg for rubler seks år senere ble solgt for rubler.

Svar:

1. Det viktigste her er å gjenkjenne den aritmetiske progresjonen og bestemme dens parametere. I dette tilfellet (uker = dager). Du må bestemme summen av de første leddene i denne progresjonen:
   .
   Svare:
2. Her er det gitt: , må finnes.
   Selvfølgelig må du bruke samme sumformel som i forrige oppgave:
   .
   Bytt ut verdiene:

   Roten passer tydeligvis ikke, så svaret er.
   La oss beregne banen som ble reist i løpet av den siste dagen ved å bruke formelen til begrepet:
   (km).
   Svare:

3. Gitt:. Finn: .
   Det kunne ikke vært enklere:
   (gni).
   Svare:

ARITMETISK PROGRESJON. KORT OM DE VIKTIGSTE TINGENE

Dette er en tallsekvens der forskjellen mellom tilstøtende tall er den samme og lik.

Aritmetisk progresjon kan være økende () og avtagende ().

For eksempel:

Formel for å finne det n-te leddet i en aritmetisk progresjon

er skrevet av formelen, hvor er antall tall i progresjon.

Eiendom til medlemmer av en aritmetisk progresjon

Den lar deg enkelt finne et ledd i en progresjon hvis naboleddet er kjent - hvor er antallet tall i progresjonen.

Summen av ledd i en aritmetisk progresjon

Det er to måter å finne beløpet på:

Hvor er antall verdier.

Hvor er antall verdier.

Eller aritmetikk er en type ordnet numerisk rekkefølge, hvis egenskaper er studert i skolekurs algebra. Denne artikkelen diskuterer i detalj spørsmålet om hvordan man finner summen av en aritmetisk progresjon.

Hva slags progresjon er dette?

Før du går videre til spørsmålet (hvordan finne summen av en aritmetisk progresjon), er det verdt å forstå hva vi snakker om.

Enhver sekvens av reelle tall som oppnås ved å legge til (subtrahere) en verdi fra hvert forrige tall kalles en algebraisk (aritmetisk) progresjon. Denne definisjonen, når den oversettes til matematisk språk, har formen:

Her jeg - serienummer element i serien a i . Dermed kan du enkelt gjenopprette hele serien hvis du bare kjenner ett startnummer. Parameteren d i formelen kalles progresjonsforskjellen.

Det kan enkelt vises at for tallseriene som vurderes gjelder følgende likhet:

a n = a 1 + d * (n - 1).

Det vil si at for å finne verdien av det n-te elementet i rekkefølge, bør du legge til differansen d til det første elementet a 1 n-1 ganger.

Hva er summen av en aritmetisk progresjon: formel

Før du gir formelen for den angitte mengden, er det verdt å vurdere en enkel spesielt tilfelle. Gitt en progresjon av naturlige tall fra 1 til 10, må du finne summen deres. Siden det er få ledd i progresjonen (10), er det mulig å løse oppgaven direkte, det vil si summere alle elementene i rekkefølge.

S 10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.

En ting verdt å vurdere interessant ting: siden hvert ledd er forskjellig fra det neste med samme verdi d = 1, vil parvise summering av den første med den tiende, den andre med den niende, og så videre gi samme resultat. Virkelig:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Som du kan se, er det bare 5 av disse summene, det vil si nøyaktig to ganger mindre enn antall elementer i serien. Deretter multipliserer du antall summer (5) med resultatet av hver sum (11), vil du komme frem til resultatet oppnådd i det første eksemplet.

Hvis vi generaliserer disse argumentene, kan vi skrive følgende uttrykk:

S n = n * (a 1 + a n) / 2.

Dette uttrykket viser at det slett ikke er nødvendig å summere alle elementene på rad, det er nok å vite verdien av den første a 1 og den siste a n , samt totalt antall n vilkår.

Det antas at Gauss var den første som tenkte på denne likheten da han lette etter en løsning på et gitt problem. skolelærer oppgave: summer de første 100 heltallene.

Sum av elementer fra m til n: formel

Formelen gitt i forrige avsnitt svarer på spørsmålet om hvordan man finner summen av en aritmetisk progresjon (de første elementene), men ofte i oppgaver er det nødvendig å summere en serie tall i midten av progresjonen. Hvordan gjøre dette?

Den enkleste måten å svare på dette spørsmålet på er ved å vurdere følgende eksempel: la det være nødvendig å finne summen av ledd fra m-te til n-te. For å løse oppgaven bør du presentere det gitte segmentet fra m til n av progresjonen i form av en ny tallserie. I denne visningen mnd termin a m vil være først, og a n vil være nummerert n-(m-1). I dette tilfellet, ved å bruke standardformelen for summen, vil følgende uttrykk oppnås:

S m n = (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

Eksempel på bruk av formler

Når du vet hvordan du finner summen av en aritmetisk progresjon, er det verdt å vurdere et enkelt eksempel på bruk av formlene ovenfor.

Nedenfor er en numerisk sekvens, du bør finne summen av leddene, som starter fra den 5. og slutter med den 12.:

De oppgitte tallene indikerer at forskjellen d er lik 3. Ved å bruke uttrykket for det n'te elementet kan du finne verdiene til 5. og 12. ledd i progresjonen. Det viser seg:

a 5 = a 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 = 8;

a 12 = a 1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.

Når du kjenner verdiene til tallene på slutten av den algebraiske progresjonen som vurderes, samt å vite hvilke tall i serien de opptar, kan du bruke formelen for summen oppnådd i forrige avsnitt. Det vil vise seg:

S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.

Det er verdt å merke seg at denne verdien kan oppnås annerledes: finn først summen av de første 12 elementene ved å bruke standardformelen, beregn deretter summen av de første 4 elementene med samme formel, og trekk deretter den andre fra den første summen.

For eksempel sekvensen \(2\); \(5\); \(8\); \(11\); \(14\)... er en aritmetisk progresjon, fordi hvert påfølgende element er forskjellig fra det forrige og tre (kan fås fra det forrige ved å legge til tre):

I denne progresjonen er forskjellen \(d\) positiv (lik \(3\)), og derfor er hvert neste ledd større enn det forrige. Slike progresjoner kalles økende.

Imidlertid kan \(d\) også være det negativt tall. For eksempel, i aritmetisk progresjon \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... progresjonsforskjellen \(d\) er lik minus seks.

Og i dette tilfellet vil hvert neste element være mindre enn det forrige. Disse progresjonene kalles avtagende.

Aritmetisk progresjonsnotasjon

Progresjon er indikert med en liten latinsk bokstav.

Tall som danner en progresjon kalles medlemmer(eller elementer).

De er merket med samme bokstav som en aritmetisk progresjon, men med en numerisk indeks lik nummeret på elementet i rekkefølge.

For eksempel består den aritmetiske progresjonen \(a_n = \venstre\( 2; 5; 8; 11; 14...\høyre\)\) av elementene \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) og så videre.

Med andre ord, for progresjonen \(a_n = \venstre\(2; 5; 8; 11; 14...\høyre\)\)

Løse aritmetiske progresjonsproblemer

I prinsippet er informasjonen presentert ovenfor allerede nok til å løse nesten alle aritmetiske progresjonsproblemer (inkludert de som tilbys ved OGE).

Eksempel (OGE). Den aritmetiske progresjonen er spesifisert av betingelsene \(b_1=7; d=4\). Finn \(b_5\).
Løsning:

Svare: \(b_5=23\)

Eksempel (OGE). De tre første leddene i en aritmetisk progresjon er gitt: \(62; 49; 36…\) Finn verdien av det første negative leddet i denne progresjonen.
Løsning:

	Vi får de første elementene i sekvensen og vet at det er en aritmetisk progresjon. Det vil si at hvert element skiller seg fra naboen med samme tall. La oss finne ut hvilken ved å trekke den forrige fra det neste elementet: \(d=49-62=-13\).
	Nå kan vi gjenopprette progresjonen til det (første negative) elementet vi trenger.
	Ferdig. Du kan skrive et svar.

Svare: \(-3\)

Eksempel (OGE). Gitt flere påfølgende elementer i en aritmetisk progresjon: \(…5; x; 10; 12,5...\) Finn verdien til elementet angitt med bokstaven \(x\).
Løsning:

	For å finne \(x\), må vi vite hvor mye det neste elementet skiller seg fra det forrige, med andre ord progresjonsforskjellen. La oss finne det fra to kjente naboelementer: \(d=12,5-10=2,5\).
	Og nå kan vi enkelt finne det vi leter etter: \(x=5+2,5=7,5\).
	Ferdig. Du kan skrive et svar.

Svare: \(7,5\).

Eksempel (OGE). Den aritmetiske progresjonen er definert av følgende betingelser: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Finn summen av de seks første leddene i denne progresjonen.
Løsning:

	Vi må finne summen av de første seks leddene i progresjonen. Men vi vet ikke hva de betyr, vi får bare det første elementet. Derfor beregner vi først verdiene en etter en, ved å bruke det som er gitt til oss: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) Og etter å ha beregnet de seks elementene vi trenger, finner vi summen deres.
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)	Det nødvendige beløpet er funnet.

Svare: \(S_6=9\).

Eksempel (OGE). I aritmetisk progresjon \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Finn forskjellen på denne progresjonen.
Løsning:

Svare: \(d=7\).

Viktige formler for aritmetisk progresjon

Som du kan se, kan mange problemer med aritmetisk progresjon løses ganske enkelt ved å forstå det viktigste - at en aritmetisk progresjon er en kjede av tall, og hvert påfølgende element i denne kjeden oppnås ved å legge det samme tallet til det forrige (den forskjell i progresjon).

Noen ganger er det imidlertid situasjoner der det er veldig upraktisk å bestemme seg for "head-on". Tenk deg for eksempel at i det aller første eksemplet må vi ikke finne det femte elementet \(b_5\), men det tre hundre og åttiseksende \(b_(386)\). Skal vi legge til fire \(385\) ganger? Eller se for deg at du i det nest siste eksemplet må finne summen av de første syttitre elementene. Du blir lei av å telle...

Derfor løser de i slike tilfeller ikke ting "head-on", men bruker spesielle formler utledet for aritmetisk progresjon. Og de viktigste er formelen for det n'te leddet i progresjonen og formelen for summen av \(n\) første ledd.

Formel for \(n\)te ledd: \(a_n=a_1+(n-1)d\), der \(a_1\) er det første leddet i progresjonen;
\(n\) – nummeret på det nødvendige elementet;
\(a_n\) – ledd for progresjonen med nummer \(n\).

Denne formelen lar oss raskt finne selv det trehundrede eller millionte elementet, og bare vite det første og forskjellen i progresjonen.

Eksempel. Den aritmetiske progresjonen er spesifisert av betingelsene: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Finn \(b_(246)\).
Løsning:

Svare: \(b_(246)=1850\).

Formel for summen av de første n leddene: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), hvor

\(a_n\) – det siste summerte leddet;

Eksempel (OGE). Den aritmetiske progresjonen er spesifisert av betingelsene \(a_n=3.4n-0.6\). Finn summen av de første \(25\) leddene i denne progresjonen.
Løsning:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		For å beregne summen av de første tjuefem leddene, må vi vite verdien av de første og tjuefemte leddene. Progresjonen vår er gitt av formelen til det n-te leddet avhengig av antallet (for mer detaljer, se). La oss beregne det første elementet ved å erstatte en med \(n\).
\(n=1;\) \(a_1=3,4·1-0,6=2,8\)		La oss nå finne det tjuefemte leddet ved å erstatte tjuefem i stedet for \(n\).
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4·25-0,6=84,4\)		Vel, nå kan vi enkelt beregne det nødvendige beløpet.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2.8+84.4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		Svaret er klart.

Svare: \(S_(25)=1090\).

For summen \(n\) av de første leddene, kan du få en annen formel: du trenger bare \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \) (\cdot 25\ ) i stedet for \(a_n\) erstatte formelen for det \(a_n=a_1+(n-1)d\). Vi får:

Formel for summen av de første n leddene: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), hvor

\(S_n\) – den nødvendige summen av \(n\) første elementer;
\(a_1\) – det første summerte leddet;
\(d\) – progresjonsforskjell;
\(n\) – antall elementer i summen.

Eksempel. Finn summen av de første \(33\)-ex leddene i den aritmetiske progresjonen: \(17\); \(15,5\); \(14\)...
Løsning:

Svare: \(S_(33)=-231\).

Mer komplekse aritmetiske progresjonsproblemer

Nå har du alt nødvendig informasjon for å løse nesten alle aritmetiske progresjonsproblemer. La oss avslutte emnet med å vurdere problemer der du ikke bare trenger å bruke formler, men også tenke litt (i matematikk kan dette være nyttig ☺)

Eksempel (OGE). Finn summen av alle negative ledd i progresjonen: \(-19.3\); \(-19\); \(-18,7\)...
Løsning:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		Oppgaven er veldig lik den forrige. Vi begynner å løse det samme: først finner vi \(d\).
\(d=a_2-a_1=-19-(-19,3)=0,3\)		Nå vil jeg gjerne erstatte \(d\) i formelen for summen... og her kommer en liten nyanse frem - vi vet ikke \(n\). Med andre ord, vi vet ikke hvor mange termer som må legges til. Hvordan finne ut av det? La oss tenke. Vi slutter å legge til elementer når vi når det første positive elementet. Det vil si at du må finne ut nummeret på dette elementet. Hvordan? La oss skrive ned formelen for å beregne et hvilket som helst element i en aritmetisk progresjon: \(a_n=a_1+(n-1)d\) for vårt tilfelle.
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19,3+(n-1)·0,3\)		Vi trenger \(a_n\) for å bli større enn null. La oss finne ut hva \(n\) dette vil skje.
\(-19,3+(n-1)·0,3>0\)
\((n-1)·0.3>19.3\) \(|:0.3\)		Vi deler begge sider av ulikheten med \(0,3\).
\(n-1>\)\(\frac(19.3)(0.3)\)		Vi overfører minus én, ikke glemme å endre skiltene
\(n>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) \(+1\)		La oss beregne...
\(n>65 333...\)		...og det viser seg at det første positive elementet vil ha tallet \(66\). Følgelig har den siste negative \(n=65\). Bare i tilfelle, la oss sjekke dette.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1)·0,3=-0,1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19,3+(66-1)·0,3=0,2\)		Så vi må legge til de første \(65\) elementene.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19.3)+(65-1)0.3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38.6+19.2)(2)\)\(\cdot 65=-630.5\)		Svaret er klart.

Svare: \(S_(65)=-630,5\).

Eksempel (OGE). Den aritmetiske progresjonen er spesifisert av betingelsene: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Finn summen fra \(26\)-elementet til \(42\)-elementet.
Løsning:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	I denne oppgaven må du også finne summen av elementene, men starter ikke fra den første, men fra den \(26\)th. For et slikt tilfelle har vi ingen formel. Hvordan bestemme? Det er enkelt - for å få summen fra \(26\)te til \(42\)te, må du først finne summen fra \(1\)te til \(42\)te, og deretter trekke fra fra den summen fra første til \(25\)th (se bilde).
	For vår progresjon \(a_1=-33\), og forskjellen \(d=4\) (tross alt legger vi de fire til det forrige elementet for å finne det neste). Når vi vet dette, finner vi summen av de første \(42\)-y elementene.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Nå summen av de første \(25\) elementene.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	Og til slutt beregner vi svaret.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Svare: \(S=1683\).

For aritmetisk progresjon er det flere formler som vi ikke vurderte i denne artikkelen på grunn av deres lave praktiske nytte. Du kan imidlertid enkelt finne dem.