Finn arealet av trapeset hvis alle sider er kjent. Hvordan finne høyden på en trapes: formler for alle anledninger

(S) trapes, begynn å beregne høyden (h) ved å finne halve summen av lengdene til de parallelle sidene: (a+b)/2. Deretter deler du arealet med den resulterende verdien - resultatet blir ønsket verdi: h = S/((a+b)/2) = 2*S/(a+b).

Når du kjenner lengden på senterlinjen (m) og området (S), kan du forenkle formelen fra forrige trinn. Per definisjon er midtlinjen til en trapes lik halvparten av summen av basene, så for å beregne høyden (h) på figuren, del ganske enkelt arealet med lengden på midtlinjen: h = S/m.

Det er mulig å bestemme høyden (h) på en slik ting hvis bare lengden på en av sidene (c) og vinkelen (α) dannet av den og den lange basen er gitt. I dette tilfellet bør man vurdere formen dannet av denne siden, høyden og det korte segmentet av basen, som er avskåret av høyden senket på den. Denne trekanten vil være rettvinklet kjent side vil være hypotenusen i den, og høyden vil være benet. Forholdet mellom lengdene og hypotenusen er lik vinkelen på motsatt side av benet, så for å beregne høyden på trapesen, multipliser den kjente lengden på siden med sinusen til den kjente vinkelen: h = с*sin(α).

Den samme trekanten er verdt å vurdere hvis lengden på siden (c) og størrelsen på vinkelen (β) mellom den og den andre (korte) basen er gitt. I dette tilfellet vil vinkelen mellom siden (hypotenusen) og høyden (benet) være 90° mindre enn vinkelen kjent fra forholdene: β-90°. Siden forholdet mellom lengdene til benet og hypotenusen er lik cosinus av vinkelen mellom dem, beregner høyden på trapesen ved å multiplisere cosinus til vinkelen redusert med 90° med lengden på siden: h = с* cos(β-90°).

Hvis en sirkel med kjent radius (r) er innskrevet, vil beregning av høyden (h) være veldig enkel og vil ikke kreve noen andre parametere. En slik sirkel må per definisjon bare ha ett punkt ved hver av sine baser, og disse punktene vil ligge på samme linje med sentrum. Dette betyr at avstanden mellom dem vil være lik diameteren (to ganger radius) tegnet vinkelrett på basene, det vil si sammenfallende med høyden på trapesen: h=2*r.

En trapes er en firkant der to sider er parallelle og de to andre ikke. Høyden på en trapes er et segment tegnet vinkelrett mellom to parallelle linjer. Avhengig av kildedataene kan de beregnes på forskjellige måter.

Du vil trenge

• Kunnskap om sidene, basene, midtlinjen til en trapes, og også, eventuelt, området og/eller omkretsen.

Bruksanvisning

La oss si at det er en trapes med samme data som i figur 1. La oss tegne 2 høyder, vi får , som har 2 mindre sider ved bena til rettvinklede trekanter. La oss betegne den mindre rullen som x. Han er inne

Geometri er en av vitenskapene som folk møter i praksis nesten hver dag. Blant mangfoldet geometriske former Trapeset fortjener også spesiell oppmerksomhet. Det er en konveks figur med fire sider, hvorav to er parallelle med hverandre. De siste kalles baser, og de to resterende kalles sider. Segmentet vinkelrett på basene og bestemme størrelsen på gapet mellom dem vil være høyden på trapesen. Hvordan kan du beregne lengden?

Finn høyden på en vilkårlig trapes

Basert på de første dataene er det mulig å bestemme høyden på en figur på flere måter.

Kjent område

Hvis lengden på de parallelle sidene er kjent, og området til figuren også er angitt, kan du bruke følgende forhold for å bestemme ønsket vinkelrett:

S=h*(a+b)/2,
h – ønsket verdi (høyde),
S - området av figuren,
a og b er sider parallelle med hverandre.
Av formelen ovenfor følger det at h=2S/(a+b).

Verdien av midtlinjen er kjent

Hvis blant de første dataene, i tillegg til arealet av trapesen (S), også lengden på midtlinjen (l) er kjent, er en annen formel nyttig for beregninger. For det første er det verdt å avklare hva midtlinjen er for denne typen firkant. Begrepet definerer den delen av den rette linjen som forbinder midtpunktene til de laterale sidene av figuren.

Basert på trapesegenskapen l=(a+b)/2,
l – midtlinje,
a, b – basissidene til firkanten.
Derfor h=2S/(a+b)=S/l.

4 sider av figuren er kjent

I dette tilfellet vil Pythagoras teorem hjelpe. Etter å ha senket perpendikulærene til den større grunnsiden, bruk den for de to resulterende rettvinklene. Det endelige uttrykket vil se slik ut:

h=√c 2 -(((a-b) 2 +c 2 -d 2)/2(a-b)) 2,

c og d – 2 andre sider.

Vinkler i bunnen

Hvis du har data om grunnvinklene, bruk trigonometriske funksjoner.

h = c* sinα = d*sinβ,

α og β er vinklene ved bunnen av firkanten,
c og d er sidene.

Diagonaler til en figur og vinklene som skjærer de danner

Lengden på diagonalen er lengden på segmentet som forbinder de motsatte hjørnene av figuren. La oss betegne disse størrelsene med symbolene d1 og d2, og vinklene mellom dem med γ og φ. Deretter:

h = (d1*d2)/(a+b) sin γ = (d1*d2)/(a+b) sinφ,

h = (d1*d2)/2l sin γ = (d1*d2)/2l sinφ,

a og b er grunnsidene av figuren,
d1 og d2 er diagonalene til trapesen,
γ og φ er vinklene mellom diagonalene.

Høyden på figuren og radiusen til sirkelen som er innskrevet i den

Som følger av definisjonen av denne typen sirkel, berører den hver base ved 1 punkt, som er en del av en rett linje. Derfor er avstanden mellom dem diameteren - ønsket høyde på figuren. Og siden diameteren er to ganger radiusen, så:

h = 2 * r,
r er radiusen til sirkelen som er innskrevet i denne trapesen.

Finn høyden på en likebenet trapes

• Som det følger av formuleringen, er en karakteristisk egenskap ved en likebenet trapes likheten mellom sidesidene. Derfor, for å finne høyden på en figur, bruk formelen for å bestemme denne verdien i tilfellet når sidene av trapesen er kjent.

Så hvis c = d, så er h=√c 2 -(((a-b) 2 +c 2 -d 2)/2(a-b)) 2 = √c 2 -(a-b) 2 /4,
a, b – grunnsidene av firkanten,
c = d – sidene.

• Hvis det er vinkler dannet av to sider (base og side), bestemmes høyden på trapesen av følgende forhold:

h = c* sinα,
h = с * tgα *cosα = с * tgα * (b – a)/2c = tgα * (b-a)/2,

α – vinkel ved bunnen av figuren,
a, b(a< b) – основания фигуры,
c = d – sidene.

• Hvis verdiene til diagonalene til figuren er gitt, vil uttrykket for å finne høyden på figuren endres, fordi d1 = d2:

h = d1 2 /(a+b)*sinγ = d1 2 /(a+b)*sinφ,

h = d1 2 /2*l*sinγ = d1 2 /2*l*sinφ.

Utøvelsen av fjorårets Unified State Examination og State Examination viser at geometriproblemer skaper vanskeligheter for mange skoleelever. Du kan enkelt takle dem hvis du husker alle nødvendige formler og trener på å løse problemer.

I denne artikkelen vil du se formler for å finne arealet til en trapes, samt eksempler på problemer med løsninger. Du kan komme over de samme i KIM-er under sertifiseringseksamener eller ved olympiade. Behandle dem derfor forsiktig.

Hva du trenger å vite om trapes?

Til å begynne med, la oss huske det trapes kalles en firkant der to motsatte sider, også kalt baser, er parallelle, og de to andre ikke er det.

I en trapes kan høyden (vinkelrett på basen) også senkes. Midtlinjen er tegnet - dette er en rett linje som er parallell med basene og lik halvparten av summen deres. Samt diagonaler som kan krysse hverandre og danne spisse og stumpe vinkler. Eller, i noen tilfeller, i rett vinkel. I tillegg, hvis trapesen er likebenet, kan en sirkel skrives inn i den. Og beskriv en sirkel rundt den.

Trapesformler for område

Først, la oss se på standardformlene for å finne arealet til en trapes. Vi vil vurdere måter å beregne arealet av likebenede og krumlinjede trapeser nedenfor.

Så forestill deg at du har en trapes med basene a og b, hvor høyden h er senket til den større basen. Å beregne arealet til en figur i dette tilfellet er like enkelt som å avskalle pærer. Du trenger bare å dele summen av lengdene til basene med to og multiplisere resultatet med høyden: S = 1/2(a + b)*h.

La oss ta et annet tilfelle: anta at i en trapes, i tillegg til høyden, er det en midtlinje m. Vi kjenner formelen for å finne lengden på midtlinjen: m = 1/2(a + b). Derfor kan vi med rette forenkle formelen for arealet til en trapes til følgende type: S = m* t. Med andre ord, for å finne arealet til en trapes, må du multiplisere midtlinjen med høyden.

La oss vurdere et annet alternativ: trapesen inneholder diagonaler d 1 og d 2, som ikke skjærer hverandre i rette vinkler α. For å beregne arealet til en slik trapes, må du dele produktet av diagonalene med to og multiplisere resultatet med synden til vinkelen mellom dem: S= 1/2d 1 d 2 *sinα.

Vurder nå formelen for å finne arealet til en trapes hvis ingenting er kjent om det bortsett fra lengdene på alle sidene: a, b, c og d. Dette er en tungvint og kompleks formel, men det vil være nyttig for deg å huske den i tilfelle: S = 1/2(a + b) * √c 2 – ((1/2(b – a)) * ((b – a) 2 + c 2 – d 2)) 2.

Forresten, eksemplene ovenfor er også sanne for tilfellet når du trenger formelen for arealet til en rektangulær trapes. Dette er en trapes, hvis side grenser til basene i rett vinkel.

Likebenet trapes

En trapes med like sider kalles likebenet. Vi vil vurdere flere alternativer for formelen for området til en likebenet trapes.

Første alternativ: for tilfellet når en sirkel med radius r er skrevet inn i en likebenet trapes, og siden og den større basen danner skarpt hjørneα. En sirkel kan skrives inn i en trapes, forutsatt at summen av lengdene på dens baser er lik summen av lengdene på sidene.

Arealet til en likebenet trapes beregnes som følger: multipliser kvadratet av radiusen til den innskrevne sirkelen med fire og del det hele med sinα: S = 4r2/sina. En annen arealformel er et spesialtilfelle for alternativet når vinkelen mellom den store basen og siden er 30 0: S = 8r2.

Andre alternativ: denne gangen tar vi en likebenet trapes, der i tillegg diagonalene d 1 og d 2 er tegnet, samt høyden h. Hvis diagonalene til en trapes er innbyrdes perpendikulære, er høyden halve summen av basene: h = 1/2(a + b). Når du vet dette, er det lett å transformere formelen for området til en trapes som allerede er kjent for deg til denne formen: S = h 2.

Formel for området til en buet trapes

La oss starte med å finne ut hva en buet trapes er. Se for deg en koordinatakse og en graf for en kontinuerlig og ikke-negativ funksjon f som ikke endrer fortegn innenfor et gitt segment på x-aksen. En kurvelinjeformet trapes dannes av grafen til funksjonen y = f(x) - øverst er x-aksen nederst (segmentet), og på sidene - rette linjer tegnet mellom punktene a og b og grafen til funksjonen.

Det er umulig å beregne arealet til en slik ikke-standard figur ved å bruke metodene ovenfor. Her må du søke matematisk analyse og bruk integralet. Nemlig: Newton-Leibniz-formelen - S = ∫ b a f(x)dx = F(x)│ b a = F(b) – F(a). I denne formelen er F antiderivatet av funksjonen vår på det valgte segmentet. Og området buet trapes tilsvarer økningen av antiderivatet på et gitt segment.

Prøveproblemer

For å gjøre alle disse formlene lettere å forstå i hodet ditt, her er noen eksempler på problemer for å finne arealet til en trapes. Det beste vil være om du først prøver å løse problemene selv, og først deretter sammenligner svaret du får med den ferdige løsningen.

Oppgave 1: Gitt en trapes. Den største basen er 11 cm, den minste er 4 cm. Trapeset har diagonaler, den ene 12 cm lang, den andre 9 cm.

Løsning: Konstruer en trapesformet AMRS. Tegn en rett linje РХ gjennom toppunktet P slik at den er parallell med diagonalen MC og skjærer den rette linjen AC i punkt X. Du vil få en trekant APХ.

Vi vil vurdere to figurer oppnådd som et resultat av disse manipulasjonene: trekant APX og parallellogram CMRX.

Takket være parallellogrammet lærer vi at PX = MC = 12 cm og CX = MR = 4 cm. Fra hvor vi kan beregne siden AX av trekanten ARX: AX = AC + CX = 11 + 4 = 15 cm.

Vi kan også bevise at trekanten APX er rettvinklet (for å gjøre dette, bruk Pythagoras teorem - AX 2 = AP 2 + PX 2). Og beregn arealet: S APX = 1/2(AP * PX) = 1/2(9 * 12) = 54 cm 2.

Deretter må du bevise at trekantene AMP og PCX er like i areal. Grunnlaget vil være likestillingen mellom partene MR og CX (allerede bevist ovenfor). Og også høydene som du senker på disse sidene - de er lik høyden på AMRS trapes.

Alt dette vil tillate deg å si at S AMPC = S APX = 54 cm 2.

Oppgave #2: Trapeset KRMS er gitt. På dens laterale sider er det punkt O og E, mens OE og KS er parallelle. Det er også kjent at arealene til trapesene ORME og OKSE er i forholdet 1:5. RM = a og KS = b. Du må finne OE.

Løsning: Tegn en linje parallelt med RK gjennom punktet M, og angi skjæringspunktet med OE som T. A er skjæringspunktet for en linje trukket gjennom punktet E parallelt med RK med grunnflaten KS.

La oss introdusere en notasjon til - OE = x. Og også høyden h 1 for trekanten TME og høyden h 2 for trekanten AEC (du kan uavhengig bevise likheten til disse trekantene).

Vi vil anta at b > a. Arealene til trapesene ORME og OKSE er i forholdet 1:5, noe som gir oss rett til å lage følgende ligning: (x + a) * h 1 = 1/5(b + x) * h 2. La oss transformere og få: h 1 / h 2 = 1/5 * ((b + x)/(x + a)).

Siden trekantene TME og AEC er like, har vi h 1 / h 2 = (x – a)/(b – x). La oss kombinere begge oppføringene og få: (x – a)/(b – x) = 1/5 * ((b + x)/(x + a)) ↔ 5(x – a)(x + a) = ( b + x)(b – x) ↔ 5(x 2 – a 2) = (b 2 – x 2) ↔ 6x 2 = b 2 + 5a 2 ↔ x = √(5a 2 + b 2)/6.

Dermed er OE = x = √(5a 2 + b 2)/6.

Konklusjon

Geometri er ikke den enkleste av vitenskapene, men du kan sikkert takle eksamensspørsmålene. Det er nok å vise litt utholdenhet i forberedelsene. Og husk selvfølgelig alle nødvendige formler.

Vi prøvde å samle alle formlene for å beregne arealet til en trapes på ett sted, slik at du kan bruke dem når du forbereder deg til eksamen og reviderer materialet.

Sørg for å fortelle dine klassekamerater og venner om denne artikkelen. i sosiale nettverk. La det bli flere gode karakterer til Unified State Examination og State Examination!

nettside, ved kopiering av materiale helt eller delvis, kreves det en lenke til kilden.

Det er mange måter å finne arealet til en trapes på. Vanligvis kjenner en matteveileder flere metoder for å beregne det, la oss se på dem mer detaljert:
1) , hvor AD og BC er basene, og BH er høyden på trapesen. Bevis: tegn diagonalen BD og uttrykk arealene til trekantene ABD og CDB gjennom halvproduktet av deres baser og høyder:

, der DP er den ytre høyden inn

La oss legge til disse likhetene termin for termin og ta i betraktning at høydene BH og DP er like, får vi:

La oss sette det utenfor parentes

Q.E.D.

En konsekvens av formelen for arealet til en trapes:
Siden halvsummen av basene er lik MN - midtlinjen til trapesen, da

2) applikasjon generell formel arealet av en firkant.
Arealet til en firkant er lik halvparten av produktet av diagonalene multiplisert med sinusen til vinkelen mellom dem
For å bevise det, er det nok å dele trapesen i 4 trekanter, uttrykke arealet til hver gjennom "halve produktet av diagonalene og sinusen til vinkelen mellom dem" (tatt som vinkelen, legg til de resulterende uttrykkene, ta dem ut av parentesen og faktor denne parentesen ved å bruke grupperingsmetoden for å oppnå likestilling med uttrykket

3) Diagonalforskyvningsmetode
Dette er navnet mitt. En matteveileder vil ikke komme over en slik overskrift i skolebøkene. En beskrivelse av teknikken finnes bare i tillegg lærebøker som et eksempel på å løse et problem. Jeg legger merke til at de fleste av de interessante og nyttige fakta planimetri matematikk veiledere avslører for studenter i prosessen med å utføre praktisk jobb. Dette er ekstremt suboptimalt, fordi studenten må isolere dem i separate teoremer og kalle dem " store navn" En av disse er "diagonalforskyvning". Om hva vi snakker om?La oss tegne en linje parallelt med AC gjennom toppunktet B til den skjærer den nedre basen i punktet E. I dette tilfellet vil firkanten EBCA være et parallellogram (per definisjon) og derfor BC=EA og EB=AC. Den første likestillingen er viktig for oss nå. Vi har:

Merk at trekanten BED, hvis areal er lik arealet til trapesen, har flere mer bemerkelsesverdige egenskaper:
1) Arealet er lik arealet til trapeset
2) Dens likebente forekommer samtidig med de likebenede til selve trapesen
3) Dens øvre vinkel ved toppunktet B er lik vinkelen mellom diagonalene til trapesen (som veldig ofte brukes i problemer)
4) Medianen BK er lik avstanden QS mellom midtpunktene til basene til trapesen. Jeg har nylig støtt på bruken av denne egenskapen da jeg forberedte en student på mekanikk og matematikk ved Moskva statsuniversitet ved å bruke Tkachuks lærebok, 1973-versjon (problemet er gitt nederst på siden).

Spesielle teknikker for en matteveileder.

Noen ganger foreslår jeg problemer ved å bruke en veldig vanskelig måte å finne området til en trapes på. Jeg klassifiserer det som en spesiell teknikk fordi veilederen i praksis bruker dem ekstremt sjelden. Hvis du trenger forberedelse til Unified State-eksamen i matematikk bare i del B, trenger du ikke å lese om dem. For andre skal jeg fortelle deg videre. Det viser seg at arealet av trapeset er to ganger mer område en trekant med hjørner i endene av den ene siden og midten av den andre, det vil si ABS-trekanten i figuren:
Bevis: tegn høydene SM og SN i trekanter BCS og ADS og uttrykk summen av arealene til disse trekantene:

Siden punkt S er midtpunktet til CD, så (bevis det selv).

Siden denne summen viste seg å være lik halvparten av arealet av trapesen, så dens andre halvdel. Etc.

Jeg vil inkludere i veilederens samling av spesielle teknikker formen for å beregne arealet til en likebenet trapes langs sidene: hvor p er halvperimeteren til trapesen. Jeg vil ikke gi bevis. Ellers vil mattelæreren din stå uten jobb :). Kom til timen!

Problemer på området til en trapes:

Mattelærerens notat: Listen nedenfor er ikke et metodisk akkompagnement til emnet, det er kun et lite utvalg av interessante oppgaver basert på teknikkene diskutert ovenfor.

1) Den nedre bunnen av en likebenet trapes er 13, og den øvre er 5. Finn arealet av trapesen hvis diagonalen er vinkelrett på siden.
2) Finn arealet til en trapes hvis basen er 2 cm og 5 cm, og sidene er 2 cm og 3 cm.
3) I en likebenet trapes er den største basen 11, siden er 5, og diagonalen er Finn arealet til trapesen.
4) Diagonalen til en likebenet trapes er 5 og midtlinjen er 4. Finn arealet.
5) I en likebenet trapes er basene 12 og 20, og diagonalene er innbyrdes perpendikulære. Beregn arealet til en trapes
6) Diagonalen til en likebenet trapes danner en vinkel med sin nedre base. Finn arealet til trapeset hvis høyden er 6 cm.
7) Arealet til trapeset er 20, og en av sidene er 4 cm Finn avstanden til den fra midten av motsatt side.
8) Diagonalen til en likebenet trapes deler den inn i trekanter med arealer på 6 og 14. Finn høyden hvis sidesiden er 4.
9) I en trapes er diagonalene lik 3 og 5, og segmentet som forbinder midtpunktene til basene er lik 2. Finn arealet til trapeset (Mekhmat MSU, 1970).

Jeg valgte ikke de vanskeligste problemene (ikke vær redd for maskinteknikk!) med forventning om at jeg ville være i stand til å løse dem uavhengig. Bestem deg for helsen din! Hvis du trenger forberedelse til Unified State-eksamen i matematikk, kan formler for området til en trapes oppstå uten deltakelse i denne prosessen alvorlige problemer selv med problem B6 og enda mer med C4. Ikke start emnet, og i tilfelle problemer, be om hjelp. En matteveileder er alltid glad for å hjelpe deg.

Kolpakov A.N.
Matematikklærer i Moskva, forberedelse til Unified State-eksamen i Strogino.

En trapes er en firkant hvis to sider er parallelle (disse er basene til trapesen, angitt i figur a og b), og de to andre er ikke (i figuren AD og CB). Høyden på en trapes er et segment h tegnet vinkelrett på basene.

Hvordan finne høyden på en trapes gitt de kjente verdiene for arealet til trapesen og lengdene på basene?

For å beregne arealet S av trapeset ABCD bruker vi formelen:

S = ((a+b) × h)/2.

Her er segmentene a og b basisen til trapesen, h er høyden til trapesen.

Ved å transformere denne formelen kan vi skrive:

Ved å bruke denne formelen får vi verdien av h hvis arealet S og lengdene til basene a og b er kjent.

Eksempel

Hvis det er kjent at arealet til trapeset S er 50 cm², lengden på basen a er 4 cm, og lengden på basen b er 6 cm, bruker vi formelen for å finne høyden h:

Vi erstatter kjente mengder i formelen.

h = (2 × 50)/(4+6) = 100/10 = 10 cm

Svar: Høyden på trapesen er 10 cm.

Hvordan finne høyden på en trapes hvis arealet av trapesen og lengden på midtlinjen er gitt?

La oss bruke formelen for å beregne arealet til en trapes:

Her er m midtlinjen, h er høyden på trapesen.

Hvis spørsmålet oppstår om hvordan man finner høyden på en trapes, er formelen:

h = S/m vil være svaret.

Dermed kan vi finne høyden på trapesen h, gitt de kjente verdiene for området S og midtlinjesegmentet m.

Eksempel

Lengden på midtlinjen til trapesen m, som er 20 cm, og arealet S, som er 200 cm², er kjent. La oss finne verdien av høyden til trapesen h.

Ved å erstatte verdiene til S og m får vi:

h = 200/20 = 10 cm

Svar: høyden på trapesen er 10 cm

Hvordan finne høyden på en rektangulær trapes?

Hvis en trapes er en firkant, med to parallelle sider (baser) av trapesen. Da er en diagonal et segment som forbinder to motsatte hjørner av hjørnene til en trapes (segment AC på figuren). Hvis trapeset er rektangulært, ved hjelp av diagonalen, finner vi høyden på trapeset h.

En rektangulær trapes er en trapes der en av sidene er vinkelrett på basene. I dette tilfellet faller lengden (AD) sammen med høyden h.

Så tenk på en rektangulær trapes ABCD, der AD er høyden, DC er basen, AC er diagonalen. La oss bruke Pythagoras teorem. Hypotenus kvadrat AC høyre trekant ADC lik summen kvadratene på bena AB og BC.

Da kan vi skrive:

AC² = AD² + DC².

AD er trekantens ben, sidesiden av trapesen og samtidig dens høyde. Segmentet AD er tross alt vinkelrett på basene. Lengden vil være:

AD = √(AC² - DC²)

Så vi har en formel for å beregne høyden til en trapes h = AD

Eksempel

Hvis lengden på basen til en rektangulær trapes (DC) er 14 cm, og diagonalen (AC) er 15 cm, bruker vi Pythagoras teorem for å få verdien av høyden (AD - side).

La x være det ukjente benet i en rettvinklet trekant (AD), da

AC² = AD² + DC² kan skrives

15² = 14² + x²,

x = √(15²-14²) = √(225-196) = √29 cm

Svar: Høyden på en rektangulær trapes (AB) vil være √29 cm, som er omtrent 5,385 cm

Hvordan finne høyden på en likebenet trapes?

En likebenet trapes er en trapes hvis sidelengder er lik hverandre. Den rette linjen trukket gjennom midtpunktene til basene til en slik trapes vil være symmetriaksen. Et spesielt tilfelle er en trapes, hvis diagonaler er vinkelrette på hverandre, da vil høyden h være lik halvparten av summen av basene.

La oss vurdere saken hvis diagonalene ikke er vinkelrette på hverandre. I en likesidet (likebenet) trapes er vinklene ved basene like og lengdene på diagonalene like. Det er også kjent at alle hjørnene til en likebenet trapes berører linjen i en sirkel som er tegnet rundt denne trapesen.

La oss se på tegningen. ABCD er en likebenet trapes. Det er kjent at basene til trapesen er parallelle, det vil si at BC = b er parallell med AD = a, siden AB = CD = c, som betyr at vinklene ved basene er tilsvarende like, vi kan skrive vinkelen BAQ = CDS = α, og vinkelen ABC = BCD = β. Dermed konkluderer vi med at trekant ABQ er lik trekant SCD, som betyr segmentet

AQ = SD = (AD - BC)/2 = (a - b)/2.

Etter å ha, i henhold til betingelsene for problemet, verdiene til basene a og b, og lengden på sidesiden c, finner vi høyden på trapesen h, lik segmentet BQ.

Tenk på rettvinklet trekant ABQ. VO er høyden på trapesen, vinkelrett på basis AD, og ​​derfor på segmentet AQ. Vi finner siden AQ av trekanten ABQ ved å bruke formelen vi utledet tidligere:

Ved å ha verdiene til to ben i en rettvinklet trekant finner vi hypotenusen BQ = h. Vi bruker Pythagoras teorem.

AB²= AQ² + BQ²

La oss erstatte disse oppgavene:

c² = AQ² + h².

Vi får en formel for å finne høyden til en likebenet trapes:

h = √(c²-AQ²).

Eksempel

Gitt en likebenet trapes ABCD, hvor base AD = a = 10cm, base BC = b = 4cm, og side AB = c = 12cm. Under slike forhold, la oss se på et eksempel på hvordan man finner høyden på en trapes, en likebenet trapes ABCD.

La oss finne siden AQ av trekanten ABQ ved å erstatte de kjente dataene:

AQ = (a - b)/2 = (10-4)/2=3 cm.

La oss nå erstatte verdiene til sidene i trekanten med formelen til Pythagoras teoremet.

h = √(c²- AQ²) = √(12²- 3²) = √135 = 11,6 cm.

Svar. Høyden h på den likebenede trapesen ABCD er 11,6 cm.