Hvordan finne sidene til et rektangel hvis området er kjent. Omkrets og areal av et rektangel

Når du løser, er det nødvendig å ta hensyn til at løse problemet med å finne arealet til et rektangel bare fra lengden på sidene det er forbudt.

Dette er enkelt å verifisere. La omkretsen av rektangelet være lik 20 cm. Dette vil være sant hvis sidene er 1 og 9, 2 og 8, 3 og 7 cm. Alle disse tre rektanglene vil ha samme omkrets, lik tjue centimeter. (1 + 9) * 2 = 20 er nøyaktig det samme som (2 + 8) * 2 = 20 cm.
Som du kan se, kan vi velge uendelig mange alternativer dimensjonene til sidene av rektangelet, hvis omkrets vil være lik den angitte verdien.

Arealet av rektangler med en gitt omkrets på 20 cm, men med forskjellige sider, vil være annerledes. For eksempelet gitt - henholdsvis 9, 16 og 21 kvadratcentimeter.
S 1 = 1 * 9 = 9 cm 2
S 2 = 2 * 8 = 16 cm 2
S 3 = 3 * 7 = 21 cm 2
Som du kan se, er det et uendelig antall alternativer for arealet til en figur for en gitt omkrets.

Merknad for nysgjerrige. Ved et rektangel med en gitt omkrets vil det maksimale arealet være en firkant.

Derfor, for å beregne arealet til et rektangel fra omkretsen, må du vite enten forholdet mellom sidene eller lengden på en av dem. Den eneste figuren som har en utvetydig avhengighet av området på omkretsen er en sirkel. Kun for sirkel og en løsning er mulig.

I denne leksjonen:

Oppgave 4. Endre lengden på sidene mens du opprettholder arealet til rektangelet

Oppgave 1. Finn sidene til et rektangel fra området

Omkretsen av rektangelet er 32 centimeter, og summen av arealene til kvadratene bygget på hver av sidene er 260 kvadratcentimeter. Finn sidene av rektangelet.
Løsning.

2(x+y)=32
I henhold til betingelsene for oppgaven vil summen av arealene til kvadratene konstruert på hver av sidene (henholdsvis fire kvadrater) være lik
2x 2 +2y 2 =260
x+y=16
x=16-y
2(16-y)2 +2y2 =260
2(256-32y+y2)+2y2=260
512-64y+4y 2 -260=0
4y 2 -64y+252=0
D=4096-16x252=64
x 1 = 9
x 2 = 7
La oss nå ta hensyn til det basert på det faktum at x+y=16 (se ovenfor) ved x=9, så y=7 og omvendt, hvis x=7, så y=9
Svar: Sidene av rektangelet er 7 og 9 centimeter

Oppgave 2. Finn sidene til et rektangel fra omkretsen

Omkretsen av rektangelet er 26 cm, og summen av arealene til firkantene bygget på de to tilstøtende sidene er 89 kvadratmeter. cm Finn sidene til rektangelet.
Løsning.
La oss betegne sidene av rektangelet som x og y.
Da er omkretsen av rektangelet:
2(x+y)=26
Summen av arealene av rutene bygget på hver av sidene (det er henholdsvis to firkanter, og disse er kvadrater med bredde og høyde, siden sidene er tilstøtende) vil være lik
x 2 + y 2 = 89
Vi løser det resulterende ligningssystemet. Fra den første ligningen utleder vi det
x+y=13
y=13-y
Nå utfører vi en substitusjon i den andre ligningen, og erstatter x med ekvivalenten.
(13-y)2+y2=89
169-26y+y2 +y2 -89=0
2y 2 -26y+80=0
Vi løser den resulterende kvadratiske ligningen.
D=676-640=36
x 1 = 5
x 2 = 8
La oss nå ta i betraktning at basert på det faktum at x+y=13 (se ovenfor) ved x=5, så y=8 og omvendt, hvis x=8, så y=5
Svar: 5 og 8 cm

Oppgave 3. Finn arealet til et rektangel fra proporsjonen av sidene

Finn arealet til et rektangel hvis omkretsen er 26 cm og sidene er proporsjonale som 2 til 3.

Løsning.
La oss betegne sidene av rektangelet med proporsjonalitetskoeffisienten x.
Derfor vil lengden på den ene siden være lik 2x, den andre - 3x.

Deretter:
2(2x+3x)=26
2x+3x=13
5x=13
x=13/5
Nå, basert på dataene som er oppnådd, bestemmer vi arealet av rektangelet:
2x*3x=2*13/5*3*13/5=40,56 cm 2

Oppgave 4. Endre lengden på sidene mens du opprettholder rektangelets areal

Lengden på rektangelet økes med 25 %. Hvor mange prosent bør bredden reduseres slik at arealet ikke endres?

Løsning.
Arealet av rektangelet er
S = ab

I vårt tilfelle økte en av faktorene med 25 %, noe som betyr a 2 = 1,25a. Så det nye området av rektangelet skal være lik
S2 = 1,25ab

Derfor, for å returnere rektangelets areal til den opprinnelige verdien
S2 = S/1,25
S2 = 1,25ab / 1,25

Siden den nye størrelsen a ikke kan endres, da
S2 = (1,25a) b / 1,25

1 / 1,25 = 0,8
Dermed må verdien av den andre siden reduseres med (1 - 0,8) * 100% = 20%

Svar: bredden skal reduseres med 20 %.

4a, hvor a er siden av en firkant eller rombe. Så lengden sider lik en fjerdedel av omkretsen: a = p/4.

Dette problemet kan også enkelt løses for en trekant. Han har tre like lange sider, så omkretsen p av en likesidet trekant er 3a. Da er siden av den likesidede trekanten a = p/3.

For de resterende tallene trenger du tilleggsdata. For eksempel kan du finne sider, kjenne sin omkrets og område. Anta at lengden på de to motsatte sidene av rektangelet er a, og lengden på de to andre sidene er b. Da er omkretsen p av rektangelet 2(a+b), og arealet s er lik ab. Vi får et system med to ukjente:
p = 2(a+b)
s = ab Uttrykk fra den første ligningen a: a = p/2 - b. Bytt inn i den andre og finn b: s = pb/2 - b². Diskriminanten til denne ligningen er D = p²/4 - 4s. Da er b = (p/2±D^1/2)/2. Kast roten som er mindre enn null og bytt inn for sider en.

Kilder:

Finn sidene til et rektangel

Hvis du vet verdien av a, kan du si at du har løst andregradsligningen, fordi røttene vil bli funnet veldig enkelt.

Du vil trenge

-diskriminerende formel for en andregradsligning;
-kunnskap om multiplikasjonstabeller

Bruksanvisning

Video om emnet

Nyttige råd

Diskriminanten til en kvadratisk ligning kan være positiv, negativ eller lik 0.

Kilder:

Løsning andregradsligninger
diskriminerende til og med

Et spesielt tilfelle av et parallellogram - et rektangel - er bare kjent i euklidisk geometri. U rektangel Alle vinkler er like, og hver av dem utgjør 90 grader hver for seg. Basert på private eiendommer rektangel, og også fra egenskapene til et parallellogram om parallelliteten til motsatte sider kan finnes sider figurer langs gitte diagonaler og vinkelen fra deres skjæringspunkt. Beregner sider rektangel er basert på tilleggskonstruksjoner og anvendelse av egenskapene til de resulterende figurene.

Bruksanvisning

Bruk bokstaven A for å markere skjæringspunktet mellom diagonalene. Tenk på EFA dannet av konstruksjonene. I følge eiendom rektangel dens diagonaler er like og halvert av skjæringspunktet A. Regn ut verdiene til FA og EA. Siden trekant EFA er likebenet og dens sider EA og FA er lik hverandre og henholdsvis lik halvparten av den diagonale EG.

Deretter beregner du den første EF rektangel. Denne siden er den tredje ukjente siden av trekanten EFA som vurderes. I følge cosinussetningen, bruk den passende formelen for å finne siden EF. For å gjøre dette, erstatte de tidligere oppnådde verdiene av sidene FA EA og cosinus til den kjente vinkelen mellom dem α i cosinusformelen. Beregn og registrer den resulterende EF-verdien.

Finn den andre siden rektangel F.G. For å gjøre dette, vurdere en annen trekant EFG. Den er rektangulær, hvor hypotenusen EG og benet EF er kjent. I følge Pythagoras teorem, finn den andre delen av FG ved å bruke den riktige formelen.

Tips 4: Hvordan finne omkretsen til en likesidet trekant

En likesidet trekant, sammen med en firkant, er kanskje den enkleste og mest symmetriske figuren i planimetri. Selvfølgelig er alle relasjoner som er gyldige for en vanlig trekant også sanne for en likesidet trekant. Men for en vanlig trekant blir alle formler mye enklere.

Du vil trenge

kalkulator, linjal

Bruksanvisning

For å måle lengden på en av sidene og multiplisere målingen med tre. Dette kan skrives som følger:

Prt = Ds * 3,

Prt - omkretsen av trekanten,
Ds er lengden på noen av sidene.

Omkretsen av trekanten vil være i samme dimensjoner som lengden på siden.

Siden en likesidet trekant har en høy grad av symmetri, er en av parameterne tilstrekkelig til å beregne omkretsen. For eksempel areal, høyde, innskrevet eller omskreven sirkel.

Hvis du kjenner radiusen til insirkelen til en likesidet trekant, bruk følgende formel for å beregne omkretsen:

Prt = 6 * √3 * r,

hvor: r er radiusen til den innskrevne sirkelen.
Denne regelen følger av det faktum at radiusen til insirkelen til en likesidet trekant uttrykkes i form av lengden på siden ved følgende forhold:
r = √3/6 * Ds.

For å beregne omkretsen i form av circumradius, bruk formelen:

Prt = 3 * √3 * R,

hvor: R er radiusen til den omskrevne sirkelen.
Dette er lett å utlede fra det faktum at omkretsradiusen til en regulær trekant uttrykkes gjennom lengden på siden ved følgende relasjon: R = √3/3 * Ds.

For å beregne omkretsen til en likesidet trekant ved å bruke kjent firkant bruk følgende forhold:
Srt = Dst² * √3 / 4,
hvor: Sрт – arealet av en likesidet trekant.
Herfra kan vi utlede: Dst² = 4 * Sрт / √3, derfor: Dst = 2 * √(Sрт / √3).
Ved å erstatte dette forholdet med omkretsformelen gjennom lengden på siden av en likesidet trekant, får vi:

Prt = 3 * Dst = 3 * 2 * √(Srt / √3) = 6 * √Sst / √(√3) = 6√Sst / 3^¼.

Video om emnet

Et kvadrat er en geometrisk figur som består av fire like lange sider og fire rette vinkler, som hver er 90°. Fastsettelse av areal el omkrets firkant, noe som helst, kreves ikke bare når man løser problemer i geometri, men også i Hverdagen. Disse ferdighetene kan bli nyttige, for eksempel under reparasjoner ved beregning av nødvendig mengde materialer - belegg for gulv, vegger eller tak, samt for å legge ut plener og senger, etc.

Området til et rektangel høres kanskje ikke arrogant ut, men det er et viktig konsept. I hverdagen møter vi det hele tiden. Finn ut størrelsen på åkre, grønnsakshager, beregn mengden maling som trengs for å kalke taket, hvor mye tapet som trengs for å lime inn

penger og mer.

Geometrisk figur

Først, la oss snakke om rektangelet. Dette er en figur på et plan som har fire rette vinkler og dens motsatte sider er like. Sidene kalles vanligvis lengde og bredde. De måles i millimeter, centimeter, desimeter, meter, etc. Nå skal vi svare på spørsmålet: "Hvordan finner jeg arealet til et rektangel?" For å gjøre dette må du multiplisere lengden med bredden.

Areal=lengde*bredde

Men ett forbehold til: lengde og bredde må uttrykkes i samme måleenheter, det vil si meter og meter, ikke meter og centimeter. Området er registrert latinsk bokstav S. La oss for enkelhets skyld angi lengden med den latinske bokstaven b, og bredden med den latinske bokstaven a, som vist på figuren. Fra dette konkluderer vi med at arealenheten er mm 2, cm 2, m 2 osv.

La oss se på et spesifikt eksempel på hvordan du finner arealet til et rektangel. Lengde b=10 enheter. Bredde a=6 enheter. Løsning: S=a*b, S=10 enheter*6 enheter, S=60 enheter 2. Oppgave. Hvordan finne ut arealet til et rektangel hvis lengden er 2 ganger bredden og er 18 m? Løsning: hvis b=18 m, så a=b/2, a=9 m Hvordan finne arealet til et rektangel hvis begge sider er kjent? Det stemmer, bytt det inn i formelen. S=a*b, S=18*9, S=162 m 2. Svar: 162 m2. Oppgave. Hvor mange tapetruller trenger du å kjøpe for et rom hvis dimensjonene er: lengde 5,5 m, bredde 3,5 m og høyde 3 m? Mål på en tapetrull: lengde 10 m, bredde 50 cm Løsning: lag en tegning av rommet.

Arealene på motsatte sider er like. La oss beregne arealet til en vegg med dimensjoner på 5,5 m og 3 m S vegg 1 = 5,5 * 3,

S vegg 1 = 16,5 m 2. Derfor har den motsatte veggen et areal på 16,5 m2. La oss finne arealet til de neste to veggene. Sidene deres er henholdsvis 3,5 m og 3 m S vegg 2 = 3,5 * 3, S vegg 2 = 10,5 m 2. Dette betyr at motsatt side også er lik 10,5 m2. La oss legge sammen alle resultatene. 16,5+16,5+10,5+10,5=54 m2. Hvordan beregne arealet til et rektangel hvis sidene er uttrykt i forskjellige måleenheter. Tidligere beregnet vi arealer i m2, så vil vi i dette tilfellet bruke målere. Da vil bredden på tapetrullen være lik 0,5 m S rull = 10 * 0,5, S rull = 5 m 2. Nå skal vi finne ut hvor mange ruller som trengs for å dekke et rom. 54:5=10,8 (ruller). Siden de måles i hele tall, må du kjøpe 11 ruller med tapet. Svar: 11 ruller med tapet. Oppgave. Hvordan beregne arealet til et rektangel hvis det er kjent at bredden er 3 cm kortere enn lengden, og summen av sidene til rektangelet er 14 cm? Løsning: la lengden være x cm, så er bredden (x-3) cm x+(x-3)+x+(x-3)=14, 4x-6=14, 4x=20, x=5 cm. - lengde rektangel, 5-3=2 cm - bredde på rektangelet, S=5*2, S=10 cm 2 Svar: 10 cm 2.

Sammendrag

Etter å ha sett på eksemplene, håper jeg det har blitt klart hvordan man finner arealet til et rektangel. La meg minne om at måleenhetene for lengde og bredde må stemme overens, ellers får du feil resultat For å unngå feil, les oppgaven nøye. Noen ganger kan en side uttrykkes gjennom den andre siden, ikke vær redd. Vennligst se våre løste problemer, de kan kanskje hjelpe. Men minst en gang i livet står vi overfor å finne området til et rektangel.

Bruksanvisning

For eksempel vet du at lengden på en av sidene (a) er 7 cm, og omkrets rektangel(P) er lik 20 cm Siden omkrets hvilken som helst figur lik summen lengdene på sidene, og rektangel motsatte sider er like, så dens omkrets a vil se slik ut: P = 2 x (a + b), eller P = 2a + 2b. Fra denne formelen følger det at du kan finne lengden på den andre siden (b) ved å bruke en enkel operasjon: b = (P – 2a): 2. Så i vårt tilfelle vil side b være lik (20 – 2 x 7): 2 = 3 cm.

Når du nå kjenner lengdene på begge tilstøtende sider (a og b), kan du erstatte dem med arealformelen S = ab. I dette tilfellet rektangel vil være lik 7x3 = 21. Vær oppmerksom på at måleenhetene ikke lenger vil være , men kvadratcentimeter, siden du også multipliserte lengdene på de to sidene av deres måleenheter (centimeter) med hverandre.

Kilder:

Hva er omkretsen til et rektangel?

En flat figur som består av fire sider og fire rette vinkler. Av alle figurene torget rektangel må beregnes oftere enn andre. Dette og torget leiligheter, og torget hage tomt, Og torget bord- eller hylleoverflater. For eksempel, å bare tapetsere et rom, beregner de torget dens rektangulære vegger.

Bruksanvisning

Forresten, fra rektangel kan enkelt beregnes torget. Det er nok å fullføre den rektangulære til rektangel slik at hypotenusen blir en diagonal rektangel. Da vil det være åpenbart at torget slik rektangel er lik produktet av trekantens ben, og torget av selve trekanten er følgelig lik halvparten av produktet av bena.

Video om emnet

Bruksanvisning

Refererer til de enkleste flate geometriske figurene og er et av spesialtilfellene av et parallellogram. Særpreget trekk av et slikt parallellogram - rette vinkler ved alle fire hjørner. Begrenset av parter rektangel torget kan beregnes på flere måter, ved å bruke dimensjonene til sidene, diagonaler og vinkler mellom dem, radiusen til den innskrevne sirkelen, etc.

Bruksanvisning

Hvis størrelsen på vinkelen (α) som utgjør diagonalen er kjent rektangel på en av sidene, så vel som lengden (C) av denne diagonalen, for å beregne arealet kan du bruke definisjonene av trigonometrisk i en rektangulær. Den rette trekanten er her dannet av to sider av firkanten og dens diagonal. Fra definisjonen av cosinus følger det at lengden på en av sidene vil være lik produktet av lengden på diagonalen og vinkelen, verdien er kjent. Fra definisjonen av sinus kan vi utlede formelen for lengden på den andre siden - den er lik produktet av lengden på diagonalen og sinusen til samme vinkel. Bytt inn disse identitetene i formelen fra forrige trinn, og det viser seg at for å finne arealet må du multiplisere sinus og cosinus til en kjent vinkel, samt lengden på diagonalen rektangel: S=sin(α)*cos(α)*С².

Hvis, i tillegg til diagonallengden (C) rektangel Hvis størrelsen på vinkelen (β) som diagonalene danner er kjent, kan du for å beregne arealet til figuren også bruke en av trigonometriske funksjoner- sinus. Kvadrar lengden på diagonalen og gang resultatet med halvparten av sinusen til den kjente vinkelen: S=С²*sin(β)/2.

Hvis (r) av sirkelen innskrevet i rektangelet er kjent, så for å beregne arealet, heve denne verdien til andre potens og firdoble resultatet: S=4*r². En firkant som det er mulig vil være en firkant, og lengden på siden er lik diameteren til den innskrevne sirkelen, det vil si to ganger radius. Formelen oppnås ved å erstatte lengdene på sidene, uttrykt i termer av radius, i identiteten fra første trinn.

Hvis lengdene (P) og en av sidene (A) er kjent rektangel, for å finne arealet innenfor denne omkretsen, beregne halve produktet av sidelengden og forskjellen mellom lengden på omkretsen og de to lengdene på denne siden: S=A*(P-2*A)/2.

Video om emnet

Ikke bare studenter i geometritimer står overfor oppgaven med å finne omkretsen eller området til en polygon. Noen ganger blir det løst av en voksen. Har du noen gang måttet beregne den nødvendige mengden tapet for et rom? Eller kanskje du målte omfanget sommerhytteå gjerde den av? Derfor er kunnskap om det grunnleggende om geometri noen ganger uunnværlig for gjennomføring av viktige prosjekter.

Et rektangel er spesielt tilfelle firkant. Dette betyr at rektangelet har fire sider. Dens motsatte sider er like: for eksempel, hvis en av sidene er 10 cm, vil den motsatte siden også være lik 10 cm. Et spesialtilfelle av et rektangel er en firkant. Et kvadrat er et rektangel med alle sider like. For å beregne arealet av et kvadrat kan du bruke samme algoritme som for å beregne arealet til et rektangel.

Hvordan finne ut arealet til et rektangel basert på to sider

For å finne arealet til et rektangel, må du multiplisere lengden med bredden: Areal = Lengde × Bredde. I tilfellet gitt nedenfor: Areal = AB × BC.

Hvordan finne ut arealet til et rektangel ved side og diagonallengde

Noen problemer krever at du finner arealet til et rektangel ved å bruke lengden på diagonalen og en av sidene. Diagonalen til et rektangel deler det i to like deler høyre trekant. Derfor kan vi bestemme den andre siden av rektangelet ved hjelp av Pythagoras teoremet. Etter dette reduseres oppgaven til forrige punkt.

Hvordan finne ut arealet til et rektangel etter omkretsen og siden

Omkretsen til et rektangel er summen av alle sidene. Hvis du kjenner omkretsen til rektangelet og den ene siden (for eksempel bredden), kan du beregne arealet til rektangelet ved å bruke følgende formel:
Område = (perimeter×bredde – bredde^2)/2.

Arealet av et rektangel gjennom sinusen til den spisse vinkelen mellom diagonalene og lengden på diagonalen

Diagonalene i et rektangel er like, så for å beregne arealet basert på lengden på diagonalen og sinusen spiss vinkel mellom dem, bør du bruke følgende formel: Areal = Diagonal^2 × sin(spiss vinkel mellom diagonaler)/2.