Problemer å løse for å konsolidere nytt materiale

Oppgave nr. 1. På hvor mange måter kan de 5 deltakerne i finalen arrangeres?

løp på 5 tredemøller?

Løsning: P 5 = 5!= 1 ∙2 ∙3 ∙4 ∙5 = 120 måter.

Oppgave nr. 2. Hvor mange tresifrede tall kan lages fra sifrene 1,2,3, hvis hver

vises et siffer i et tallbilde bare én gang?

Løsning: Antallet av alle permutasjoner av tre elementer er lik P 3 =3!, hvor 3!=1 * 2 * 3=6

Dette betyr at det er seks tresifrede tall som består av tallene 1,2,3.

Oppgave nr. 3. På hvor mange måter kan fire unge menn invitere fire av seks

jenter å danse?

Løsning: to gutter kan ikke invitere samme jente samtidig. OG

alternativer der de samme jentene danser med forskjellige gutter,

anses som forskjellige, derfor:

Oppgave nr. 4. Hvor mange forskjellige tresifrede tall kan lages fra tallene 1, 2, 3, 4, 5,

6, 7, 8, 9, forutsatt at det skriftlige nummeret kun brukes hvert siffer

en gang?

Løsning: I problemstillingen foreslås det å telle antall mulige kombinasjoner fra

tre sifre hentet fra de antatte ni sifrene, og rekkefølgen

plasseringen av tall i en kombinasjon er viktig (for eksempel tallet 132)

og 231 forskjellige). Du må med andre ord finne antall plasseringer av ni

tre elementer hver.

Ved å bruke formelen for antall plasseringer finner vi:

Svar: 504 tresifrede tall.

Problem #5 På hvor mange måter kan en komité på 3 velges blant 7 personer?

Løsning: For å vurdere alle mulige provisjoner, må du vurdere alle

mulige 3-elements undersett av et sett bestående av 7

Menneskelig. Det nødvendige antall måter er

Oppgave nr. 6. 12 lag deltar i konkurransen. Hvor mange alternativer er det?

utdeling av premie (1, 2, 3) plasser?

Løsning: Og 12 3 = 12 ∙11 ∙10 = 1320 alternativer for fordeling av premieplasser.

Svar: 1320 alternativer.

Oppgave nr. 7. På konkurranser friidrett skolen vår var representert med et lag fra

10 idrettsutøvere. På hvor mange måter kan treneren bestemme hvilken av dem

vil løpe 4x100m stafett på første, andre, tredje og fjerde etappe?

Løsning: Valg fra 10 til 4, tatt i betraktning rekkefølgen:
måter.

Svar: 5040 måter.

Oppgave nr. 8. På hvor mange måter kan rødt, svart, blått og

grønne kuler?

Løsning: Du kan sette hvilken som helst av de fire ballene i første omgang (4 måter), på

andre - noen av de tre gjenværende (3 metoder), tredje plass - noen av

de resterende to (2 måter), for fjerde plass - den gjenværende siste ballen.

Totalt 4 · 3 · 2 · 1 = 24 måter.

P 4 = 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24. Svar: 24 måter.

Oppgave nr. 9. Elevene fikk en liste med 10 bøker som anbefales å lese i

ferietid. På hvor mange måter kan en student velge 6 bøker fra dem?

Løsning: Valg 6 av 10 uten hensyn til bestilling:
måter.

Svar: 210 måter.

Oppgave nr. 10. Det er 7 elever på 9. trinn, 9 elever på 10. trinn, og 8 elever på 11. trinn. Til

arbeider på skoleplassen, er det nødvendig å tildele to elever fra klasse 9,

tre av 10 og én av 11. Hvor mange måter er det å velge?

elever å jobbe i skoleområdet?

Løsning: Valg fra tre sett uten hensyn til rekkefølge, hvert valg fra

første sett (C 7 2) kan kombineres med hvert valg fra

den andre (C 9 3)) og med hvert valg av den tredje (C 8 1) i henhold til regelen

multiplikasjon får vi:

Svar: 14 112 måter.

Oppgave nr. 11. Niendeklassingene Zhenya, Seryozha, Kolya, Natasha og Olya løp til

bytte til tennisbordet, hvor kampen allerede var i gang. Hvor mange

måter fem niendeklassinger som løper opp til bordet kan ta

kø for bordtennis?

Løsning: En hvilken som helst niendeklassing kunne stå først i køen, og hvilken som helst av elevene kunne bli nummer to.

de resterende tre, den tredje - noen av de resterende to og den fjerde -

en niendeklassing som løp opp nest sist, og en femteklassing som løp sist. Ved

Multiplikasjonsregelen for fem elever har 5 4321=120 måter

METODOLOGISK UTVIKLING AV EN PRAKTISK LEKSJON i faget: "MATEMATIKK"

Emne: «GRUNNLEGGENDE OM SANNSYNLIGHETSTEORI OG MATEMATISK STATISTIKK»

Eksempel 1 . Beregn: a) ; b) ; V).

Løsning. A) .

b) Siden , så kan vi sette den utenfor parentes

Så får vi

V) .

Eksempel 2 . På hvor mange måter kan seks forskjellige bøker ordnes på én hylle?

Løsning. Det nødvendige antallet måter er lik antall permutasjoner av 6 elementer, dvs.

Eksempel 3. Hvor mange alternativer for å distribuere tre kuponger til sanatorier med ulike profiler kan settes sammen for fem søkere?

Løsning. Det nødvendige antallet alternativer er lik antall plasseringer av 5 elementer av 3 elementer, dvs.

.

Eksempel 4 . I et team på 25 personer må du tildele fire til å jobbe i et bestemt område. På hvor mange måter kan dette gjøres?

Løsning. Siden rekkefølgen på de fire personene som er valgt ikke spiller noen rolle, kan dette gjøresmåter.

Vi finner å bruke den første formelen

.

I tillegg, når du løser problemer, brukes følgende formler som uttrykker de grunnleggende egenskapene til kombinasjoner:

(per definisjon antar de og);

.

1.2. Løse kombinatoriske problemer

Oppgave 1. Fakultetet studerer 16 emner. Du må sette 3 emner på timeplanen din for mandag. På hvor mange måter kan dette gjøres?

Løsning. Det er like mange måter å planlegge tre elementer av 16 på som du kan ordne plasseringer av 16 elementer med 3.

Oppgave 2. Av 15 objekter må 10 objekter velges. På hvor mange måter kan dette gjøres?

Løsning.

Oppgave 3. Fire lag deltok i konkurransen. Hvor mange alternativer for å fordele seter mellom dem er mulig?

Løsning.

.

Oppgave 4. På hvor mange måter kan en patrulje på tre soldater og en offiser dannes hvis det er 80 soldater og 3 offiserer?

Løsning. Du kan velge en soldat på patrulje

måter, og offiserer på måter. Siden enhver offiser kan gå med hvert team av soldater, er det bare så mange måter.

Oppgave 5. Finn om det er kjent at .

Løsning.

Siden får vi

,

,

, .

Per definisjon av en kombinasjon følger det at . At. .

Svar: 9

1.3. Konseptet med en tilfeldig hendelse. Typer hendelser. Sannsynlighet for hendelse

Eksempel. Boksen inneholder 30 nummererte kuler. Bestem hvilke av følgende hendelser som er umulige, pålitelige eller motsatte:

tok ut en nummerert ball(EN);

fikk en ball med partall(I);

fikk en ball med et oddetall(MED);

fikk en ball uten nummer(D).

Hvem av dem utgjør en komplett gruppe?

Løsning. EN - pålitelig hendelse;D - umulig hendelse;

I OgMED - motsatte hendelser.

Den komplette gruppen av arrangementer består avEN OgD, V OgMED .

Sannsynlighet for hendelse , anses som et mål på den objektive muligheten for forekomsten av en tilfeldig hendelse.

1.4. Klassisk definisjon av sannsynlighet

Oppgave 1. I et lotteri på 1000 lodd er det 200 vinnende. Én billett tas ut tilfeldig. Hva er sannsynligheten for at denne billetten er en vinner?

Løsning. Det totale antallet forskjellige utfall ern =1000. Antallet utfall som er gunstige for å vinne erm=200. I følge formelen får vi

.

Oppgave 2. I en batch på 18 deler er det 4 defekte. 5 deler er valgt tilfeldig. Finn sannsynligheten for at to av disse 5 delene vil være defekte.

Løsning. Antall alle like mulige uavhengige utfalln lik antall kombinasjoner av 18 ganger 5, dvs.

La oss telle talletm, gunstig for hendelse A. Blant 5 deler tatt tilfeldig, skal det være 3 av høy kvalitet og 2 defekte. Antall måter å velge to defekte deler fra 4 eksisterende defekte er lik antall kombinasjoner av 4 x 2:

Antall måter å velge tre kvalitetsdeler fra 14 tilgjengelige kvalitetsdeler er lik

.

Enhver gruppe av gode deler kan kombineres med en hvilken som helst gruppe av defekte deler, så totalt antall kombinasjonerm utgjør

Den ønskede sannsynligheten for hendelse A er lik forholdet mellom antall utfallm, gunstig for denne hendelsen, til nummeretnalle like mulige uavhengige utfall:

.

1.5. Teorem for å legge til sannsynligheter for uforenlige hendelser

Beløp av et begrenset antall hendelser er en hendelse som består av forekomsten av minst én av dem.

Summen av to hendelser er angitt med symbolet A+B, og summenn hendelsessymbol A 1 +A 2 + … +A n .

Sannsynlighetsaddisjonsteorem.

Oppgave 1. Det er 100 lodd. Det er kjent at 5 billetter vinner 20 000 rubler hver, 10 billetter vinner 15 000 rubler, 15 billetter vinner 10 000 rubler, 25 billetter vinner 2000 rubler. og ingenting for resten. Finn sannsynligheten for at den kjøpte billetten vil motta en gevinst på minst 10 000 rubler.

Løsning. La A, B og C være begivenheter som består i at den kjøpte billetten mottar en gevinst som tilsvarer henholdsvis 20 000, 15 000 og 10 000 rubler. siden hendelser A, B og C er uforenlige, da

Oppgave 2. På korrespondanseavdelingen teknisk skole mottar prøver i matematikk fra byerA, B OgMED . Sannsynlighet for å motta en prøveoppgave fra byenEN lik 0,6, fra byenI - 0,1. Finn sannsynligheten for at neste test vil komme fra byenMED .

Løsning. Hendelser «testen kom fra byenEN ", "testen kom fra by B" og "testen kom fra by C". komplett system, så summen av sannsynlighetene deres er lik én:

, dvs. .

Oppgave 3. Sannsynligheten for at dagen blir klar er . Finn sannsynligheten for at dagen blir overskyet.

Løsning. Begivenhetene "klar dag" og "skyet dag" er derfor motsatte

Det vil si

1.6. Sanuavhengige arrangementer

Oppgave 1. Regn ut sannsynligheten for at i en familie der det er en baby gutt, en ny gutt vil bli født.

Løsning. La arrangementetEN er at det er to gutter i familien, og arrangementetI - den ene gutten.

La oss vurdere alt mulige utfall: gutt og gutt; gutt og jente; jente og gutt; jente og jente.

Deretter, og ved å bruke formelen vi finner

.

Oppgave 2. Den første urnen inneholder 6 sorte og 4 hvite kuler, den andre urnen inneholder 5 svarte og 7 hvite kuler. En ball trekkes fra hver urne. Hva er sannsynligheten for at begge kulene blir hvite?

Løsning. La - en hvit ball trekkes fra den første urnen; - en hvit ball trekkes fra den andre urnen. Det er åpenbart at hendelsene er uavhengige.

Fordi , , så bruker vi formelen vi finner

.

Oppgave 3. Enheten består av to elementer som fungerer uavhengig av hverandre. Sannsynligheten for svikt i det første elementet er 0,2; sannsynligheten for svikt i det andre elementet er 0,3. Finn sannsynligheten for at: a) begge elementene vil mislykkes; b) begge elementene vil fungere.

Løsning. La arrangementetEN - svikt i det første elementet, hendelseI - utgangen av deres struktur av det andre elementet. Disse hendelsene er uavhengige (etter tilstand).

a) Samtidig opptredenEN OgI det er en hendelseAB . Derfor,

b) Hvis det første elementet fungerer, oppstår en hendelse (motsatt til hendelsenEN - svikt i dette elementet); hvis det andre elementet fungerer - hendelseI. La oss finne sannsynlighetene for hendelser og:

Da er hendelsen at begge elementene vil fungere, og derfor,

II . TILFELDIG VARIABEL, DENS DISTRIBUSJONSFUNKSJON

2.1. Tilfeldig variabel, metoder for å spesifisere den

Tilfeldig er en mengde som, som et resultat av testing, kan ta en eller annen numerisk verdi, og det er ikke kjent på forhånd hvilken.

Hvis målingen for en mengde gjentas mange ganger under nesten identiske forhold, vil du finne at hver gang du får litt forskjellige resultater. Dette er påvirkningen av to typer årsaker: 1) grunnleggende, som bestemmer hovedbetydningen av resultatet; 2) sekundære, forårsaker deres divergens.

Med felles handling av disse årsakene er begrepene nødvendighet og tilfeldighet nært knyttet til hverandre, men det nødvendige går foran sjansen.

Dermed tilhører de mulige verdiene til tilfeldige variabler noen numeriske sett.

Det som er tilfeldig er at på disse settene kan mengder få hvilken som helst verdi, men som ikke kan sies på forhånd.

En tilfeldig variabel er assosiert med en tilfeldig hendelse.

Hvis en tilfeldig hendelse -kvalitetskarakteristikk tester, så er den tilfeldige variabelen denskvantitativ karakteristikk .

Tilfeldige variabler er merket med store bokstaver med latinske bokstaver og deres betydning er med store bokstaver - .

Sannsynligheten for at en tilfeldig variabel tar en verdi er angitt med:

osv.

Tilfeldige variabler er spesifisert av distribusjonslover.

Fordelingsloven tilfeldig variabel er samsvaret etablert mellom de mulige verdiene til en tilfeldig variabel og deres sannsynligheter.

Distribusjonslover kan spesifiseres på tre måter: tabellform, grafisk, analytisk. Metoden for innstilling avhenger av typen tilfeldig variabel.

Det er to hovedtyper av tilfeldige variabler:diskrete og kontinuerlig distribuerte tilfeldige variabler.

2.2. Diskrete og kontinuerlige tilfeldige variabler

Hvis verdiene som en gitt tilfeldig variabel kan ta, danner en diskret (endelig eller uendelig) serie med tall, kalles selve tilfeldig variabelendiskret.

Hvis verdiene som en gitt tilfeldig variabel kan ta fyller et endelig eller uendelig intervall (a, b) av den numeriske aksenÅ, så kalles den tilfeldige variabelenkontinuerlig.

Hver verdi av en tilfeldig variabel av en diskret type tilsvarer en viss sannsynlighet; Hvert intervall (a, b) fra verdiområdet til en tilfeldig variabel av kontinuerlig type tilsvarer også en viss sannsynlighet for at verdien tatt av den tilfeldige variabelen faller inn i dette intervallet.

2.3. Fordelingsloven for en tilfeldig variabel

Et forhold som på en eller annen måte etablerer en sammenheng mellom de mulige verdiene til en tilfeldig variabel og deres sannsynligheter kallesdistribusjonsloven tilfeldig variabel.

Fordelingsloven til en diskret tilfeldig variabel er vanligvis gittneste distribusjon:

Samtidig, hvor summeringen strekker seg til hele (endelig eller uendelig) settet mulige verdier gitt tilfeldig variabel.

Det er praktisk å spesifisere distribusjonsloven til en kontinuerlig tilfeldig variabel ved å brukesannsynlighetstetthetsfunksjoner .

Sannsynligheten for at verdien tatt av den stokastiske variabelen faller inn i intervallet (a, b) bestemmes av likheten

.

Grafen til funksjonen kallesdistribusjonskurve . Geometrisk er sannsynligheten for at en tilfeldig variabel faller inn i intervallet (a, b) lik arealet til den tilsvarende buet trapes, begrenset av fordelingskurven, akseÅh og rettx=a, x=b.

Oppgave 1. Sannsynlighetene for de tilfeldige variabelverdiene er gitt: verdien 10 har en sannsynlighet på 0,3; verdi 2 – sannsynlighet 0,4; verdi 8 – sannsynlighet 0,1; verdi 4 – sannsynlighet 0,2. Konstruer en distribusjonsserie av en tilfeldig variabel.

Løsning. Ved å ordne verdiene til den tilfeldige variabelen i stigende rekkefølge får vi fordelingsserien:

La oss ta det på et flykor poeng (2; 0,4), (4; 0,2), (8; 0,1) og (10; 0,3). Ved å koble suksessive punkter med rette linjestykker får vipolygon (ellerpolygon ) fordeling av en tilfeldig variabel

X

Oppgave 2. To gjenstander verdt 5 000 rubler hver og én gjenstand verdt 30 000 rubler er å hente. Lag en lov om fordeling av gevinster for en person som kjøpte en lodd av 50.

Løsning. Den ønskede tilfeldige variabelen er en gevinst og kan ta tre verdier: 0, 5000 og 30000 rubler. Det første resultatet favoriseres av 47 saker, det andre resultatet av to saker og det tredje av ett tilfelle. La oss finne sannsynlighetene deres:

; ; .

Fordelingsloven til en tilfeldig variabel har formen:

Som en sjekk finner vi

Oppgave 3. Den stokastiske variabelen er underlagt en fordelingslov med tetthet , og

Påkrevd: 1) Finn koeffisient a; 2) bygge en tetthetsfordelingsgraf; 3) finn sannsynligheten for å falle inn i intervallet (1; 2).

Løsning. 1) Siden alle verdier av en gitt tilfeldig variabel er inneholdt i segmentet, da

, hvor

, eller

De. .

2) Grafen til en funksjon i intervallet er en parabel, og utenfor dette intervallet fungerer selve x-aksen som graf.

X

) Sannsynligheten for at en tilfeldig variabel faller inn i intervallet (1; 2) kan finnes fra likheten

2.4. Binomial fordeling

La et visst antall produseresn uavhengige eksperimenter, og i hver av dem kan en hendelse oppstå med samme sannsynlighetR . Tenk på en tilfeldig variabel som representerer antall forekomster av hendelserEN Vn eksperimenter. Loven om dens distribusjon har formen

Hvor, beregnes ved å bruke Bernoullis formel.

Fordelingsloven, som er preget av en slik tabell, kallesbinomial .

Oppgave. Mynten kastes 5 ganger. Tegn en fordelingslov for en tilfeldig variabel - nummeret på våpenskjoldet.

Løsning. Følgende verdier av den tilfeldige variabelen er mulige: 0, 1, 2, 3, 4, 5. Når vi vet at sannsynligheten for at et våpenskjold faller ut i ett forsøk er lik , vil vi finne sannsynlighetene for verdiene av den tilfeldige variabelen ved å bruke Bernoulli-formelen:

Fordelingsloven har formen

La oss sjekke:

III . MATEMATISK FORVENTNING OG VARIANS AV EN TILFELDIG VARIABEL

3.1. Forventning om en diskret tilfeldig variabel

Eksempel 1 . Finn den matematiske forventningen til en tilfeldig variabel, og kjenn loven for fordelingen

Løsning.

Egenskaper for matematisk forventning.

1. Konstantfaktoren kan tas ut av det matematiske forventningstegnet:

2. Matematisk forventning om en konstant verdiMED lik denne verdien i seg selv:

3. Den matematiske forventningen til summen av to tilfeldige variabler er lik summen av deres matematiske forventninger:

4. Den matematiske forventningen til produktet av uavhengige tilfeldige variabler er lik produktet av de matematiske forventningene til disse variablene:

3.2. Standardavvik og varians for en tilfeldig variabel.

Eksempel 2. La oss finne den matematiske forventningen til tilfeldige variabler og kjenne lovene for deres distribusjon

2)

Løsning:

P

Vi fikk et interessant resultat: lovene for fordeling av mengder og er forskjellige, men deres matematiske forventninger er de samme.

b)

Fra tegningenb det er tydelig at verdien av mengden er mer konsentrert rundt den matematiske forventningen enn verdiene av mengden som er spredt (spredt) i forhold til dens matematiske forventning (figurEN ).

Den viktigste numeriske egenskapen til spredningsgraden av verdiene til en tilfeldig variabel i forhold til dens matematiske forventning er spredning, som er betegnet med .

På hvor mange måter kan to studenter velges ut til en konferanse hvis det er 33 personer i gruppen?

Løs ligninger

EN) . b) .

Hvor mange firesifrede tall som er delbare med 5 kan lages fra sifrene 0, 1, 2, 5, 7, hvis hvert tall ikke må inneholde de samme sifrene?

Fra en gruppe på 15 personer bør en arbeidsleder og 4 teammedlemmer velges. På hvor mange måter kan dette gjøres?

Morsekodebokstaver er bygd opp av symboler (prikker og bindestreker). Hvor mange bokstaver kan du tegne hvis du krever at hver bokstav ikke skal inneholde mer enn fem tegn?

På hvor mange måter kan firefargebånd lages av syv bånd i forskjellige farger?

På hvor mange måter kan fire personer velges fra ni kandidater til fire ulike stillinger?

På hvor mange måter kan du velge 3 av 6 kort?

Før eksamen utvekslet en gruppe på 30 studenter bilder. Hvor mange fotokort ble delt ut?

På hvor mange måter kan 10 gjester sitte på ti steder ved et festlig bord?

Hvor mange kamper bør 20 fotballag spille i et mesterskap med én runde?

På hvor mange måter kan 12 personer fordeles mellom lagene hvis hvert lag har 6 personer?

Sannsynlighetsteori

Urnen inneholder 7 røde og 6 blå kuler. To kuler trekkes fra urnen samtidig. Hva er sannsynligheten for at begge kulene er røde (hendelse A)?

Ni forskjellige bøker er tilfeldig ordnet på én hylle. Finn sannsynligheten for at fire spesifikke bøker blir plassert ved siden av hverandre (hendelse C).

Av 10 lodd er det 2 som vinner. Bestem sannsynligheten for at én vinner.

3 kort trekkes tilfeldig fra en kortstokk (52 kort). Finn sannsynligheten for at det er en treer, en sjuer, et ess.

Et barn leker med de fem bokstavene i det delte alfabetet A, K, R, Sh, Y. Hva er sannsynligheten for at hvis bokstavene er tilfeldig ordnet på rad, vil han få ordet "Tak".

Det er 6 hvite og 4 røde kuler i boksen. To baller tas tilfeldig. Hva er sannsynligheten for at de har samme farge?

Den første urnen inneholder 6 svarte og 4 hvite kuler, den andre urnen inneholder 5 svarte og 7 hvite kuler. En ball trekkes fra hver urne. Hva er sannsynligheten for at begge kulene er hvite?

Tilfeldig variabel, matematisk forventning og varians av en tilfeldig variabel

Lag en fordelingslov for antall treff på en skive med seks skudd, hvis sannsynligheten for et treff med ett skudd er 0,4.

Sannsynligheten for at en student finner boken han trenger på biblioteket er 0,3. Lag en distribusjonslov for antall biblioteker han skal besøke dersom det er fire bibliotek i byen.

Jegeren skyter på viltet til første treff, men klarer ikke å skyte mer enn fire skudd. Finn variansen av antall bom hvis sannsynligheten for å treffe målet med ett skudd er 0,7.

Finn den matematiske forventningen til en tilfeldig variabelX, hvis loven for distribusjonen er gitt av tabellen:

Anlegget driver fire automatiske linjer. Sannsynligheten for at den første linjen ikke krever justering under et arbeidsskift er 0,9, den andre – 0,8, den tredje – 0,75, den fjerde – 0,7. finne den matematiske forventningen til antall linjer som ikke vil kreve justering under et arbeidsskift.

Finn variansen til den tilfeldige variabelen X, og kjenn loven for fordelingen: 5. REFERANSER

Hoved:

1. Bogomolov N.V. Praktiske timer i matematikk. – M.: forskerskolen, 1990. – 495 s.

   Soloveychik I.L. Samling av problemer i matematikk for tekniske skoler / I.L. Soloveychik, V.T. Lisichkin. – M.: Onyx 21. århundre, 2003. – 464 s.

   Valutse I.I. Matematikk for tekniske skoler / I.I. Valuta, G.D. Diligul. - M.: Nauka, 1989. – 575 s.

   Danko P.E. Høyere matematikk i oppgaver og oppgaver. I to deler. DelII/ P.E. Danko, A.G. Popov, T.Ya. Kozhevnikova. – M.: Høyere skole, 1986. – 415 s.

   Vygodsky M.Ya. Håndbok i høyere matematikk. – M.: Nauka, 1975. – 872 s.

Ytterligere:

Griguletsky V.G. Matematikk for studenter av økonomiske spesialiteter. Del 2 / V.G. Griguletsky, I.V. Lukyanova, I.A. Petunina. – Krasnodar, 2002. – 348 s.

Malykhin V.I. Matematikk i økonomi. – M.: Infra-M, 1999. – 356 s.

Gusak A.A. Høyere matematikk. I 2 bind, T.2. – opplæringsmanual for universitetsstudenter. – M.: TetraSystems, 1988. – 448 s.

Griguletsky V.G. Høyere matematikk / V.G. Griguletsky, Z.V. Jasjtsjenko. – Krasnodar, 1998.-186 s.

Gmurman V.E. En guide til å løse problemer i sannsynlighetsteori og matematisk statistikk. – M.: Videregående skole, 2000. – 400 s.

Metoder for å løse kombinatoriske problemer

Oppregning av mulige alternativer

Enkle problemer løses ved et ordinært uttømmende søk av mulige alternativer uten å lage ulike tabeller og diagrammer.

Oppgave 1.
Hvilken doble tall kan det lages fra tallene 1, 2, 3, 4, 5?

Svare: 11, 12, 13, 14, 15, 21, 22, 23, 24, 25, 31, 32, 33, 34, 35, 41, 42, 43, 44, 45, 51, 52, 53, 54, 55.

Oppgave 2.
Ivanov, Gromov og Orlov deltar i det siste 100 m-løpet. Navn mulige alternativer utdeling av premier.

Svare:
Alternativ 1: 1) Ivanov, 2) Gromov, 3) Orlov.
Alternativ 2: 1) Ivanov, 2) Orlov, 3) Gromov.
Alternativ 3: 1) Orlov, 2) Ivanov, 3) Gromov.
Alternativ 4: 1) Orlov, 2) Gromov, 3) Ivanov.
Alternativ 5: 1) Gromov, 2) Orlov, 3) Ivanov.
Alternativ 6: 1) Gromov, 2) Ivanov, 3) Orlov.

Oppgave 3.
Petya, Kolya, Vitya, Oleg, Tanya, Olya, Natasha, Sveta meldte seg på ballroomdanseklubben. Hvilke dansepar av en jente og en gutt kan danne?

Svare:
1) Tanya - Petya, 2) Tanya - Kolya, 3) Tanya - Vitya, 4) Tanya - Oleg, 5) Olya - Petya, 6) Olya - Kolya, 7) Olya - Vitya, 8) Olya - Oleg, 9) Natasha - Petya, 10) Natasha - Kolya, 11) Natasha - Vitya, 12) Natasha - Oleg, 13) Sveta - Petya, 14) Sveta - Kolya, 15) Sveta - Vitya, 16) Sveta - Oleg.

Tre over mulige alternativer

En rekke kombinatoriske problemer løses ved å lage spesielle kretser. Utad ligner dette opplegget et tre, derav navnet på metoden - treet av mulige alternativer.

Oppgave 4.
Hvilken tresifrede tall kan det lages fra tallene 0, 2, 4?

Løsning.La oss bygge et tre med mulige alternativer, og ta i betraktning at 0 ikke kan være det første sifferet i tallet.

Svare: 200, 202, 204, 220, 222, 224, 240, 242, 244, 400, 402, 404, 420, 422, 424, 440, 442, 444.

Oppgave 5.
Skoleturister bestemte seg for å ta en tur til et fjellvann. Den første etappen av reisen kan dekkes med tog eller buss. Den andre etappen er med kajakk, sykkel eller til fots. Og den tredje etappen av reisen er til fots eller med taubane. Hvilke mulige reisemuligheter har skoleturister?

Løsning.La oss bygge et tre med mulige alternativer, som angir reise med tog P, med buss - A, med kajakk - B, med sykkel - B, til fots - X, med taubane - K.

Svare:Figuren lister opp alle 12 mulige reisealternativer for skoleturister.

Oppgave 6.
Skriv ned alle mulige alternativer for å planlegge fem leksjoner per dag fra fagene: matematikk, russisk, historie, engelsk språk, kroppsøving og matematikk bør være den andre leksjonen.

Løsning.La oss bygge et tre med mulige alternativer, som betegner M - matematikk, R - russisk, I - historie, A - engelsk, F - kroppsøving.

Svare:Det er totalt 24 mulige alternativer:

R M OG EN F

R M OG F EN

R M EN OG F

R M EN F OG

R M F OG EN

R M F EN OG

OG M R EN F

OG M R F EN

OG M EN R F

OG M EN F R

OG M F R EN

OG M F EN R

EN M R OG F

EN M R F OG

EN M OG R F

EN M OG F R

EN M F R OG

EN M F OG R

F M R OG EN

F M R EN OG

F M OG R EN

F M OG EN R

F M EN R OG

F M EN OG R

Oppgave 7.
Sasha går på skolen i bukser eller jeans, han bruker grå, blå, grønne eller rutete skjorter med dem, og tar sko eller joggesko som skifte av sko.
a) Hvor mange dager vil Sasha kunne se ny ut?
b) Hvor mange dager vil han bruke joggesko?
c) Hvor mange dager vil han ha på seg en rutete skjorte og jeans?

Løsning.La oss bygge et tre med mulige alternativer, som betegner B - bukser, D - jeans, C - grå skjorte, G - blå skjorte, Z - grønn skjorte, P - rutete skjorte, T - sko, K - joggesko.

Svare:a) 16 dager; b) 8 dager; c) 2 dager.

Sammenstilling av tabeller

Du kan løse kombinatoriske problemer ved å bruke tabeller. De, som treet av mulige alternativer, representerer klart løsningen på slike problemer.

Oppgave 8.
Hvor mange tosifrede oddetall kan lages fra sifrene 1, 3, 4, 6, 7, 8, 9?

Løsning.La oss lage en tabell: den første kolonnen til venstre er de første sifrene i de nødvendige tallene, den første raden øverst er de andre sifrene.

Svare: 28.

Oppgave 9.
Masha, Olya, Vera, Ira, Andrey, Misha og Igor forberedte seg på å bli programledere kl. Nyttårsferie. Nevn mulige alternativer hvis bare én jente og én gutt kan lede.

Løsning.La oss lage en tabell: den første kolonnen til venstre er navnene på jenter, den første raden øverst er navnene på guttene.

Svare:Alle mulige alternativer er oppført i radene og kolonnene i tabellen.

Multiplikasjonsregel

Denne metoden for å løse kombinatoriske problemer brukes når det ikke er nødvendig å liste opp alle mulige alternativer, men du må svare på spørsmålet - hvor mange av dem finnes.

Oppgave 10.
Flere lag deltar i fotballturneringen. Det viste seg at de alle brukte hvitt, rødt, blått og grønne farger, og alle mulige alternativer ble presentert. Hvor mange lag deltok i turneringen?

Løsning.
Truser kan være hvite, røde, blå eller grønne, dvs. det er 4 alternativer. Hvert av disse alternativene har 4 jerseyfarger.

4 x 4 = 16.

Svare: 16 lag.

Oppgave 11.
6 elever tar en prøve i matematikk. På hvor mange måter kan de ordnes i listen?

Løsning.
Den første på listen kan være hvilken som helst av de 6 elevene,
den andre på listen kan være hvilken som helst av de resterende 5 studentene,
tredje - noen av de resterende 4 studentene,
fjerde - noen av de resterende 3 studentene,
femte - noen av de resterende 2 studentene,
sjette - den siste 1 eleven.

6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720.

Svare: 720 måter.

Oppgave 12.
Hvor mange like tosifrede tall kan lages fra sifrene 0, 2, 3, 4, 6, 7?

Løsning.
Det første i et tosifret tall kan være 5 sifre (siffer 0 kan ikke være det første i tallet), det andre i et tosifret tall kan være 4 sifre (0, 2, 4, 6, siden tallet må være til og med).
5 x 4 = 20.

Svare: 20 tall.

Oppgave 12. Av elevene som går på matematikkklubben, der det er 5 jenter og 3 gutter, må to sendes til olympiaden: en jente og en gutt. Hvor mange forskjellige par er det som kan sendes til OL?

Løsning: En jente fra kretsen kan velges på fem måter, og en gutt på tre. Et par (en jente med en gutt) kan velges ut på femten forskjellige måter

5 3 = 15 måter.

Svar: 15 måter.

Oppgave 13. 12 lag deltar i konkurransen. Hvor mange alternativer er det for fordeling av premieplasser (1, 2, 3)?

Løsning: EN 12 3 = 12 11 10 = 1320 muligheter for utdeling av premieplasser.

Svar: 1320 alternativer.

Oppgave 14. På friidrettsstevnet var skolen vår representert med et lag på 10 utøvere. På hvor mange måter kan en trener bestemme hvem av dem som skal løpe på 4100 m stafett i første, andre, tredje og fjerde etappe?

Løsning: Valg fra 10 til 4, tatt i betraktning rekkefølgen: metoder.

Svar: 5040 måter.

Oppgave 15. På hvor mange måter kan røde, svarte, blå og grønne kuler plasseres på rad?

Løsning: Du kan plassere hvilken som helst av de fire ballene på første plass (4 måter), hvilken som helst av de resterende tre ballene på andre plass (3 måter), hvilken som helst av de resterende to ballene på tredje plass (2 måter), og den siste gjenværende ball på fjerdeplass. Totalt 4 · 3 · 2 · 1 = 24 måter.

R 4 = 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24.

Svar: 24 måter.

Oppgave 16 . Elevene fikk en liste med 10 bøker de skulle lese i løpet av ferien. På hvor mange måter kan en student velge 6 bøker fra dem?

Løsning: Velg 6 av 10 uten å ta hensyn til rekkefølgen: metoder.

Svar: 210 måter.

Oppgave 17 . Volodya drar til klassekameratenes bursdagsfest, tvillingene Yulia og Ira. Han ønsker å gi hver av dem en ball. Det er kun 3 baller igjen til salgs i butikken forskjellige farger: hvit, svart og stripete. På hvor mange måter kan Volodya gi gaver til søstrene sine ved å kjøpe 2 baller?

Løsning: I henhold til betingelsene for problemet er det gitt to sekvensielle valg: først velger Volodya 2 baller av tre tilgjengelige i butikken, og bestemmer seg deretter for hvilken av tvillingbrødrene som skal gi hver av de kjøpte ballene. To av tre baller kan velges på tre måter. Etter det kan hvert utvalgte par gis på to måter (metoder) (rekkefølgen er viktig). Deretter, i henhold til multiplikasjonsregelen, er det nødvendige antallet måter lik veiene.

Svar: 6 måter.

Oppgave 18 . Det er 7 elever på 9. trinn, 9 elever på 10. trinn, og 8 elever på 11. trinn. For å jobbe på en skoleplass må to elever fra 9. klasse velges ut, tre fra 10. klasse og én fra 11. klasse. Hvor mange måter er det for å velge ut elever til å jobbe på en skoleplass?

Løsning: Velg mellom tre sett uten å ta hensyn til rekkefølgen, hvert valg fra det første settet (C 7 2) kan kombineres med hvert valg fra det andre (C 9 3) og med hvert valg fra det tredje (C 8 1) ved å bruke multiplikasjonsregelen får vi:

S 7 2 · S 9 3 · S 8 1 =------ · -------- · ---- = 14 112 måter elevene kan velge på.

Svar: 14 112 måter.

Oppgave 19. Niendeklassingene Zhenya, Seryozha, Kolya, Natasha og Olya løp i friminuttet til tennisbordet, hvor en kamp allerede var i gang. På hvor mange måter kan fem niendeklassinger som løper opp til bordet ta en tur for å spille bordtennis?

Løsning: En hvilken som helst niendeklassing kan være den første i rekken, den andre - hvilken som helst av de tre resterende, den tredje - hvilken som helst av de to gjenværende, og den fjerde - niendeklassingen som løp opp nest sist, og den femte-siste. I følge multiplikasjonsregelen har fem elever

5· 4321=120 måter å komme i kø.

Svar: 120 måter.

Grunnleggende begreper om kombinatorikk

I grenen av matematikk som kalles kombinatorikk, løses problemer knyttet til hensynet til mengder og sammensetningen av ulike kombinasjoner av elementer i disse settene. For eksempel, hvis vi tar 10 forskjellige tall 0, 1, 2, 3, ..., 9 og lag kombinasjoner av dem, så får vi forskjellige tall, for eksempel 345, 534, 1036, 45 osv.

Vi ser at noen av disse kombinasjonene avviker bare i rekkefølgen på sifrene (for eksempel 345 og 534), andre i sifrene de inneholder (for eksempel 1036 og 5671), og andre er også forskjellige i antall sifre (f. eksempel 345 og 45).

Dermed tilfredsstiller de resulterende kombinasjonene ulike forhold. Avhengig av reglene for sammensetning, kan tre typer kombinasjoner skilles: permutasjoner, plasseringer, kombinasjoner. La oss vurdere dem separat. Gjør deg imidlertid først kjent med konseptet faktoriell.

1. Konseptet med faktoriell

Produkt av alle naturlige tall fra 1 til n inkludert kalt n-faktor og skriv n! = 1 · 2 · 3 · ... · (n – 1) · n.

Eksempel 1. Kalkulere:

a) 3!; b) 7! – 5!; V)

Løsning. a) 3! = 1 · 2 · 3 = 6.

b) Siden 7! = 1 2 3 4 5 6 7 og 5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5, så kan vi sette 5 i parentes!. Da får vi 5! (6 · 7 – 1) = 5! · 41 = 120 · 41 = 4920.

V)

Eksempel 2. Forenkle:

Løsning. a) Med tanke på at (n + 1)! = 1 · 2 · 3 · … · n · (n + 1), og n! = 1 · 2 · 3 ... · n, reduser brøken;

b) Siden (n + 1)! = 1 · 2 · 3 · ... · (n – 1) · n · (n + 1), så etter reduksjon får vi

(n+1)! = 1 · 2 · 3 · ... · n · (n + 1), n! = 1 · 2 · 3 · ... · n.

La oss bringe brøken til en fellesnevner, som vi tar (n + 1)!. Så får vi

1 – 3. Kalkulere:

1. 2. 3.

4 – 9. Forenkle uttrykkene:

4. 6. 8.

5. 7. 9. -

2. Omorganiseringer

La oss gi tre bokstaver A, B, C La oss lage alle mulige kombinasjoner av disse bokstavene: ABC, ASV, BSA, BAC, CAB, CBA (totalt 6 kombinasjoner). Vi ser at de skiller seg fra hverandre bare i rekkefølgen på bokstavene.

Kombinasjoner av n elementer som skiller seg fra hverandre bare i rekkefølgen av elementene kalles permutasjoner.

Permutasjoner er merket med symbolet Рn, hvor n er antall elementer som er inkludert i hver permutasjon.

Antall permutasjoner kan beregnes ved hjelp av formelen

Рn = n (n – 1) (n – 2) · ... · 3 · 2 · 1 (1)

eller ved å bruke faktoriell:

Pn = n!. (2)

Dermed er antallet permutasjoner av tre elementer i henhold til formel (2).

P3 = 3! = 3 · 2 · 1 = 6, som sammenfaller med resultatet av eksemplet diskutert ovenfor.

Faktisk kan tre bokstaver plasseres på første plass i en kombinasjon (permutasjon). Bare to av de tre bokstavene kan plasseres på andreplass (en tok førsteplassen), og bare én av de resterende vil være på tredjeplass. Dette betyr 3 · 2 · 1 = 6 = P3.

10. Hvor mange forskjellige femsifrede tall kan lages av sifrene 1, 2, 3, 4, 5, forutsatt at ikke et enkelt siffer gjentas i tallet?

11. Fire lag deltok i konkurransen. Hvor mange alternativer for å fordele seter mellom dem er mulig?

12 – 14. Kalkulere:

12. 13. 14.

3. Plasseringer

La det være fire bokstaver A, B, C, D. Ved å komponere alle kombinasjoner av bare to bokstaver får vi:

Vi ser at alle de resulterende kombinasjonene er forskjellige enten i bokstaver eller i rekkefølge (kombinasjoner BA og AB anses som forskjellige).

Kombinasjoner av m elementer av n elementer som er forskjellige fra hverandre eller av elementene i seg selv, kalles arrangementer.

Plasseringer er indikert med symbolet A, der m er antallet av alle tilgjengelige elementer, n er antall elementer i hver kombinasjon. I dette tilfellet er det antatt at n m. Antall plasseringer kan beregnes ved hjelp av formelen

n faktorer

A = (3)

det vil si at antallet av alle mulige arrangementer av m elementer med n er lik produktet av n påfølgende heltall, hvorav det største er m.

Så, A = 4 · 3 = 12, som sammenfaller med resultatet av eksemplet ovenfor: siden antall rader tilsvarer antallet av alle tilgjengelige bokstaver, dvs. m = 4, og antall kolonner er 3, er det 12 forskjellige kombinasjoner totalt.

Eksempel 3. Regn ut: a) A; b)

Løsning. a) A = 6 5 4 = 120.

b) Siden A = 15 14 13, A = 15 14 13 12, A = 15 14 13 12 11, så

Eksempel 4. Hvor mange tosifrede tall kan lages av fem sifre 1, 2, 3, 4, 5, forutsatt at ingen av dem gjentas?

Løsning. Siden tosifrede tall skiller seg fra hverandre enten i selve tallene eller i deres rekkefølge, er den nødvendige mengden lik antall plasseringer av fem elementer i to: A = 5 · 4 = 20. Så du kan lage 20 forskjellige tosifrede tall.

Når vi finner antall plasseringer, multipliserer vi n suksessivt avtagende heltall, det vil si at det ikke er nok (m – n) suksessivt avtagende heltallsfaktorer for å nå hele faktoren.

m faktorer

Derfor kan formelen for antall plasseringer skrives som

A =

Derfor, med tanke på at telleren er lik m!, og nevneren er lik (m – n)!, skriver vi denne formelen i faktoriell form:

A = (4)

Eksempel 5. Regn ut A i faktoriell form.

Løsning. A =

15-20. Beregn på noen måte:

15. EN; 16. EN; 17. EN; 18. EN; 19. EN; 20.

21. Hvor mange muligheter er det for å dele ut tre premier hvis 7 lag deltar i trekningen?

22. Hvor mange forskjellige firesifrede tall kan lages av sifrene 0, 1, 2, ..., 8, 9?

23. Hvor mange tidsplanalternativer kan opprettes for en dag hvis det er 8 totalt? pedagogiske fag, og bare tre av dem kan inkluderes i den daglige timeplanen?

24. Hvor mange alternativer for å distribuere tre kuponger til sanatorier med ulike profiler kan settes sammen for fem søkere?

4. Kombinasjoner

Kombinasjoner er alle kombinasjoner av m elementer av n som skiller seg fra hverandre med minst ett element (her er m og n naturlige tall og nm).

Så fra fire forskjellige bokstaver A, B, C, D kan du lage følgende kombinasjoner som skiller seg fra hverandre i minst ett element: AB, AC, AD, BC, BD, CD. Dette betyr at antall kombinasjoner av fire elementer av to er 6. Dette skrives kort slik: C = 6.

I hver kombinasjon vil vi omorganisere elementene:

AB, AC, AD, BC, BD, CD;

BA, CA, DA, CB, DB, DC.

Som et resultat fikk vi et arrangement med fire elementer, to hver. Derfor er CP2 = A, hvorfra C =