Kā aprēķināt vidējo absolūto kļūdu. Tiešo mērījumu kļūdu aprēķins

Eksaktās dabaszinātnes balstās uz mērījumiem. Mērot lielumu vērtības tiek izteiktas skaitļu veidā, kas norāda, cik reižu izmērītais daudzums ir lielāks vai mazāks par citu lielumu, kura vērtība tiek ņemta par vienību. Mērījumu rezultātā iegūto dažādu daudzumu skaitliskās vērtības var būt atkarīgas viena no otras. Attiecības starp šādiem lielumiem tiek izteiktas formulu veidā, kas parāda, kā dažu daudzumu skaitliskās vērtības var atrast no citu lielumu skaitliskām vērtībām.

Mērījumu laikā neizbēgami rodas kļūdas. Nepieciešams apgūt mērījumos iegūto rezultātu apstrādē izmantotās metodes. Tas ļaus iemācīties no mērījumu kopas iegūt rezultātus, kas ir vistuvāk patiesībai, savlaicīgi pamanīt neatbilstības un kļūdas, gudri organizēt pašus mērījumus un pareizi novērtēt iegūto vērtību precizitāti.

Ja mērījums sastāv no dotā lieluma salīdzināšanas ar citu, viendabīgu lielumu, kas ņemts par vienību, tad mērījumu šajā gadījumā sauc par tiešo.

Tiešie (tiešie) mērījumi- tie ir mērījumi, kuros mēs iegūstam izmērītā daudzuma skaitlisko vērtību vai nu tieši salīdzinot ar mēru (standartu), vai ar mērītā daudzuma vienībās kalibrētu instrumentu palīdzību.

Tomēr šāds salīdzinājums ne vienmēr tiek veikts tieši. Vairumā gadījumu mēra nevis mūs interesējošo daudzumu, bet gan citus lielumus, ko ar to saista noteiktas attiecības un modeļi. Šajā gadījumā, lai izmērītu nepieciešamo daudzumu, vispirms ir nepieciešams izmērīt vairākus citus lielumus, kuru vērtība ar aprēķinu nosaka vēlamā daudzuma vērtību. Šo mērījumu sauc par netiešo.

Netiešie mērījumi sastāv no viena vai vairāku lielumu tiešiem mērījumiem, kas saistīti ar kvantitatīvās atkarības noteikto daudzumu, un daudzuma aprēķiniem, ko nosaka no šiem datiem.

Mērījumos vienmēr tiek izmantoti mērinstrumenti, kas vienu vērtību sasaista ar citu ar to saistīto, kas ir pieejams kvantitatīviem novērtējumiem ar mūsu maņu palīdzību. Piemēram, strāvas stiprums tiek saskaņots ar bultas novirzes leņķi graduētā skalā. Šajā gadījumā ir jāievēro divi galvenie mērīšanas procesa nosacījumi: rezultāta nepārprotamība un reproducējamība. šie divi nosacījumi vienmēr ir izpildīti tikai aptuveni. Tieši tāpēc Mērīšanas process kopā ar vēlamās vērtības atrašanu ietver mērījumu neprecizitātes novērtējumu.

Mūsdienu inženierim ir jāspēj novērtēt mērījumu rezultātu kļūda, ņemot vērā nepieciešamo ticamību. Tāpēc liela uzmanība tiek pievērsta mērījumu rezultātu apstrādei. Kļūdu aprēķināšanas pamatmetožu iepazīšana ir viens no galvenajiem laboratorijas darbnīcas uzdevumiem.

Kāpēc rodas kļūdas?

Mērījumu kļūdu rašanās iemesli ir daudz. Uzskaitīsim dažus no tiem.

· procesi, kas notiek ierīces mijiedarbības laikā ar mērīšanas objektu, neizbēgami maina izmērīto vērtību. Piemēram, detaļas izmēru mērīšana, izmantojot suportu, noved pie detaļas saspiešanas, tas ir, mainās tās izmēri. Dažreiz ierīces ietekmi uz izmērīto vērtību var padarīt salīdzinoši nelielu, bet dažreiz tā ir salīdzināma vai pat pārsniedz pašu izmērīto vērtību.

· Jebkurai ierīcei ir ierobežotas iespējas viennozīmīgi noteikt izmērīto vērtību tās konstrukcijas nepilnības dēļ. Piemēram, berze starp dažādām daļām ampērmetra rādītāja blokā noved pie tā, ka strāvas izmaiņas par nelielu, bet ierobežotu daudzumu neizraisīs rādītāja novirzes leņķa izmaiņas.

· Vienmēr piedalās visos mijiedarbības procesos starp ierīci un mērīšanas objektu. ārējā vide, kuras parametri var mainīties un bieži vien neparedzamā veidā. Tas ierobežo mērījumu apstākļu reproducējamību un līdz ar to arī mērījumu rezultātu.

· Nosakot instrumenta rādījumus vizuāli, instrumenta nolasīšanā var rasties neskaidrības, jo invaliditāti mūsu acs.

· Lielākā daļa daudzumu tiek noteikti netieši, pamatojoties uz mūsu zināšanām par vēlamā daudzuma saistību ar citiem lielumiem, ko tieši mēra ar instrumentiem. Acīmredzot netiešo mērījumu kļūda ir atkarīga no visu tiešo mērījumu kļūdām. Turklāt mūsu zināšanu par mērīto objektu ierobežojumi, lielumu attiecību matemātiskā apraksta vienkāršošana un to lielumu ietekmes ignorēšana, kuru ietekme mērīšanas procesā tiek uzskatīta par nenozīmīgu, veicina kļūdas netiešajos mērījumos.

Kļūdu klasifikācija

Kļūdas vērtība noteikta daudzuma mērījumus parasti raksturo:

1. Absolūtā kļūda - starpība starp eksperimentāli atrasto (izmērīto) un noteikta lieluma patieso vērtību

. (1)

Absolūtā kļūda parāda, cik daudz mēs kļūdāmies, mērot noteiktu X vērtību.

2. Relatīvā kļūda, kas vienāda ar attiecību absolūta kļūda līdz izmērītā daudzuma X patiesajai vērtībai

Relatīvā kļūda parāda, par kādu daļu no X patiesās vērtības mēs kļūdāmies.

Kvalitāte Dažu lielumu mērījumu rezultātus raksturo relatīva kļūda. Vērtību var izteikt procentos.

No (1) un (2) formulām izriet, ka, lai atrastu absolūtās un relatīvās mērījumu kļūdas, mums jāzina ne tikai izmērītā, bet arī patiesā mūs interesējošā daudzuma vērtība. Bet, ja ir zināma patiesā vērtība, tad mērījumi nav jāveic. Mērījumu mērķis vienmēr ir noskaidrot noteikta lieluma nezināmo vērtību un atrast ja ne patieso vērtību, tad vismaz lielumu, kas diezgan nedaudz atšķiras no tā. Tāpēc formulas (1) un (2), kas nosaka kļūdu lielumu, praksē nav piemērotas. Praktiskajos mērījumos kļūdas netiek aprēķinātas, bet gan novērtētas. Novērtējumos tiek ņemti vērā eksperimenta apstākļi, metodoloģijas precizitāte, instrumentu kvalitāte un vairāki citi faktori. Mūsu uzdevums: iemācīties konstruēt eksperimentālo metodiku un pareizi izmantot no pieredzes iegūtos datus, lai atrastu izmērīto lielumu vērtības, kas ir pietiekami tuvas patiesajām vērtībām, un pamatoti novērtētu mērījumu kļūdas.

Runājot par mērījumu kļūdām, vispirms jāpiemin rupjas kļūdas (kļūdas) radušies eksperimentētāja pārraudzības vai aprīkojuma nepareizas darbības dēļ. Jāizvairās no nopietnām kļūdām. Ja tiek konstatēts, ka tie ir notikuši, attiecīgie mērījumi ir jāatmet.

Eksperimentālās kļūdas, kas nav saistītas ar rupjām kļūdām, tiek iedalītas nejaušās un sistemātiskās.

Arnejaušas kļūdas. Daudzas reizes atkārtojot vienus un tos pašus mērījumus, var pamanīt, ka diezgan bieži to rezultāti nav gluži līdzvērtīgi viens otram, bet “dejo” ap kādu vidējo (1. att.). Kļūdas, kuru lielums un zīme mainās no eksperimenta uz eksperimentu, sauc par nejaušām. Nejaušas kļūdas eksperimentētājs nejauši ievada jutekļu orgānu nepilnību dēļ, nejauši ārējie faktori utt. Ja katra atsevišķa mērījuma kļūda ir fundamentāli neparedzama, tad tie nejauši maina izmērītā lieluma vērtību. Šīs kļūdas var novērtēt, tikai izmantojot vairāku vajadzīgā daudzuma mērījumu statistisko apstrādi.

Sistemātisks kļūdas var būt saistīta ar instrumenta kļūdām (nepareiza skala, nevienmērīgi izstiepta atspere, nevienmērīgs mikrometra skrūves solis, nevienlīdzīgas līdzsvara sviras utt.) un ar pašu eksperimentu. Eksperimenta laikā tie saglabā savu lielumu (un zīmi!). Sistemātisko kļūdu rezultātā nejaušu kļūdu dēļ izkaisītie eksperimenta rezultāti svārstās nevis ap patieso vērtību, bet gan ap noteiktu neobjektīvu vērtību (2. att.). katra vēlamās vērtības mērījuma kļūdu var paredzēt iepriekš, zinot ierīces raksturlielumus.

Tiešo mērījumu kļūdu aprēķins

Sistemātiskas kļūdas. Sistemātiskas kļūdas dabiski maina izmērītā daudzuma vērtības. Mērījumos ar instrumentiem ievestās kļūdas visvieglāk var novērtēt, ja tās ir saistītas ar dizaina iezīmes pašas ierīces. Šīs kļūdas ir norādītas ierīču pasēs. Dažu ierīču kļūdas var novērtēt, neatsaucoties uz datu lapu. Daudziem elektriskajiem mērinstrumentiem to precizitātes klase ir norādīta tieši uz skalas.

Instrumentu precizitātes klase- šī ir ierīces absolūtās kļūdas attiecība pret izmērītās vērtības maksimālo vērtību, ko var noteikt, izmantojot šo ierīci (tā ir šīs ierīces sistemātiskā relatīvā kļūda, kas izteikta procentos no skalas vērtējuma).

.

Tad šādas ierīces absolūto kļūdu nosaka attiecība:

.

Elektriskajiem mērinstrumentiem ieviestas 8 precizitātes klases: 0,05; 0,1; 0,5; 1,0; 1,5; 2,0; 2,5; 4.

Jo tuvāk izmērītā vērtība ir nominālajai vērtībai, jo precīzāks būs mērījuma rezultāts. Maksimālā precizitāte (t.i., mazākā relatīvā kļūda), ko konkrētā ierīce var nodrošināt, ir vienāda ar precizitātes klasi. Šis apstāklis ​​ir jāņem vērā, izmantojot daudzskalu instrumentus. Skala ir jāizvēlas tā, lai izmērītā vērtība, paliekot skalas robežās, būtu pēc iespējas tuvāka nominālvērtībai.

Ja ierīces precizitātes klase nav norādīta, jāievēro šādi noteikumi:

· Instrumentu ar noniju absolūtā kļūda ir vienāda ar nonija precizitāti.

· Instrumentu absolūtā kļūda ar fiksētu bultiņas soli ir vienāda ar dalījuma vērtību.

· Digitālo ierīču absolūtā kļūda ir vienāda ar vienu minimālo ciparu.

· Visiem pārējiem instrumentiem tiek pieņemts, ka absolūtā kļūda ir vienāda ar pusi no dalīšanas vērtības.

Nejaušas kļūdas. Šīs kļūdas ir statistiskas, un tās apraksta varbūtības teorija. Konstatēts, ka ar ļoti lielu mērījumu skaitu, izmantojot Gausa normālo sadalījumu, var noteikt iespēju katrā atsevišķā mērījumā iegūt vienu vai otru rezultātu. Ar nelielu mērījumu skaitu viena vai otra mērījuma rezultāta iegūšanas varbūtības matemātisko aprakstu sauc par Studenta sadalījumu (par to vairāk varat lasīt rokasgrāmatā “Fizikālo lielumu mērījumu kļūdas”).

Kā novērtēt izmērītā daudzuma patieso vērtību?

Pieņemsim, ka, mērot noteiktu vērtību, mēs saņēmām N rezultātus: . Mērījumu sērijas vidējais aritmētiskais ir tuvāks izmērītā daudzuma patiesajai vērtībai nekā lielākajai daļai atsevišķu mērījumu. Lai iegūtu noteiktas vērtības mērīšanas rezultātu, tiek izmantots šāds algoritms.

1). Aprēķināts vidējais aritmētiskais N tiešo mērījumu sērija:

2). Aprēķināts katra mērījuma absolūtā nejaušā kļūda ir starpība starp N tiešo mērījumu sērijas vidējo aritmētisko un šo mērījumu:

.

3). Aprēķināts vidējā kvadrātiskā absolūtā kļūda:

.

4). Aprēķināts absolūta nejauša kļūda. Ja nē liels skaits mērījumiem absolūto nejaušo kļūdu var aprēķināt, izmantojot vidējo kvadrātisko kļūdu un noteiktu koeficientu, ko sauc par Studenta koeficientu:

,

Studenta koeficients ir atkarīgs no mērījumu skaita N un ticamības koeficienta (1. tabulā parādīta Stjudenta koeficienta atkarība no mērījumu skaita pie fiksētas ticamības koeficienta vērtības).

Uzticamības faktors ir varbūtība, ar kādu izmērītās vērtības patiesā vērtība ietilpst ticamības intervālā.

Pārliecības intervāls ir skaitlisks intervāls, kurā ar noteiktu varbūtību iekrīt izmērītā daudzuma patiesā vērtība.

Tādējādi Studenta koeficients ir skaitlis, ar kuru jāreizina vidējā kvadrātiskā kļūda, lai nodrošinātu rezultāta noteikto ticamību noteiktam mērījumu skaitam.

Jo lielāka ir noteiktam mērījumu skaitam nepieciešamā ticamība, jo lielāks ir Studenta koeficients. No otras puses, nekā lielāks skaits mērījumiem, jo ​​zemāks ir Studenta koeficients noteiktai ticamībai. Mūsu darbnīcas laboratorijas darbā pieņemsim, ka ticamība ir dota un vienāda ar 0,9. Studenta koeficientu skaitliskās vērtības pie šīs ticamības dažādi skaitļi mērījumi ir norādīti 1. tabulā.

1. tabula

Mērījumu skaits N

Studenta koeficients

5). Aprēķināts kopējā absolūtā kļūda. Jebkurā mērījumā ir gan nejaušas, gan sistemātiskas kļūdas. Kopējās (kopējās) absolūtās mērījumu kļūdas aprēķināšana nav viegls uzdevums, jo šīs kļūdas ir dažāda rakstura.

Inženiermērījumiem ir jēga summēt sistemātiskās un nejaušās absolūtās kļūdas

.

Aprēķinu vienkāršības labad ir ierasts kopējo absolūto kļūdu novērtēt kā absolūto nejaušo un absolūto sistemātisko (instrumentālo) kļūdu summu, ja kļūdas ir vienāda lieluma, un atstāt novārtā vienu no kļūdām, ja tā ir vairāk nekā kārtu (10 reizes) mazāk nekā otra.

6). Kļūda un rezultāts ir noapaļoti. Tā kā mērījumu rezultāts tiek uzrādīts kā vērtību intervāls, kura vērtību nosaka kopējā absolūtā kļūda, svarīga ir pareiza rezultāta un kļūdas noapaļošana.

Noapaļošana sākas ar absolūtu kļūdu!!! Nozīmīgo skaitļu skaits, kas paliek kļūdas vērtībā, vispārīgi runājot, ir atkarīgs no ticamības koeficienta un mērījumu skaita. Tomēr pat ļoti precīzi mērījumi(piemēram, astronomiskais), kurā svarīga ir precīza kļūdas vērtība, neatstājiet vairāk par diviem zīmīgiem skaitļiem. Lielākam skaitļu skaitam nav jēgas, jo pašai kļūdas definīcijai ir sava kļūda. Mūsu praksē ir salīdzinoši neliels ticamības koeficients un neliels mērījumu skaits. Tāpēc, noapaļojot (ar pārpalikumu), kopējā absolūtā kļūda tiek atstāta līdz vienam zīmīgam skaitlim.

Absolūtās kļūdas nozīmīgā cipara cipars nosaka pirmā šaubīgā cipara ciparu rezultāta vērtībā. Līdz ar to paša rezultāta vērtība ir jānoapaļo (ar korekciju) līdz tam zīmīgajam ciparam, kura cipars sakrīt ar kļūdas zīmīgā cipara ciparu. Formulētais noteikums ir jāpiemēro arī gadījumos, kad daži skaitļi ir nulles.

Ja, mērot ķermeņa svaru, iegūtais rezultāts ir , tad skaitļa 0,900 beigās jāraksta nulles. Ieraksts nozīmētu, ka nekas nebija zināms par nākamajiem nozīmīgajiem skaitļiem, savukārt mērījumi liecināja, ka tie ir nulle.

7). Aprēķināts relatīvā kļūda.

Noapaļojot relatīvo kļūdu, pietiek atstāt divus zīmīgus skaitļus.

r noteikta fiziskā lieluma mērījumu sērijas rezultāts tiek uzrādīts vērtību intervāla veidā, norādot patiesās vērtības iekrišanas varbūtību šajā intervālā, tas ir, rezultāts jāraksta šādā formā:

Šeit ir norādīta kopējā absolūtā kļūda, noapaļota līdz pirmajam nozīmīgajam ciparam, un izmērītās vērtības vidējā vērtība, kas noapaļota, ņemot vērā jau noapaļoto kļūdu. Ierakstot mērījumu rezultātu, jānorāda vērtības mērvienība.

Apskatīsim dažus piemērus:

1. Pieņemsim, ka, mērot segmenta garumu, mēs saņēmām šādu rezultātu: cm un cm Kā pareizi pierakstīt segmenta garuma mērīšanas rezultātu? Vispirms absolūto kļūdu noapaļo ar pārpalikumu, atstājot vienu zīmīgo ciparu, sk. Kļūdas nozīmīgo ciparu simtdaļās. Pēc tam ar korekciju vidējo vērtību noapaļo līdz tuvākajai simtdaļai, t.i., līdz zīmīgajam ciparam, kura cipars sakrīt ar kļūdas zīmīgā cipara ciparu Skatiet sadaļu Relatīvās kļūdas aprēķināšana

.

cm; ; .

2. Pieņemsim, ka, aprēķinot vadītāja pretestību, mēs ieguvām šādu rezultātu: Un . Pirmkārt, mēs noapaļojam absolūto kļūdu, atstājot vienu nozīmīgu skaitli. Tad vidējo vērtību noapaļo līdz tuvākajam veselam skaitlim. Aprēķiniet relatīvo kļūdu

.

Mērījumu rezultātu ierakstām šādi:

; ; .

3. Pieņemsim, ka, aprēķinot kravas masu, mēs saņēmām šādu rezultātu: kg un kg. Pirmkārt, mēs noapaļojam absolūto kļūdu, atstājot vienu nozīmīgu skaitli kg. Tad vidējo vērtību noapaļo līdz tuvākajiem desmitiem kg. Aprēķiniet relatīvo kļūdu

.

.

Jautājumi un uzdevumi par kļūdu teoriju

1. Ko nozīmē izmērīt fizisko lielumu? Sniedziet piemērus.

2. Kāpēc rodas mērījumu kļūdas?

3. Kas ir absolūtā kļūda?

4. Kas ir relatīvā kļūda?

5. Kāda kļūda raksturo mērījumu kvalitāti? Sniedziet piemērus.

6. Kas ir ticamības intervāls?

7. Definējiet jēdzienu “sistemātiska kļūda”.

8. Kādi ir sistemātisko kļūdu cēloņi?

9. Kāda ir precizitātes klase mērinstruments?

10. Kā tiek noteiktas dažādu fizisko instrumentu absolūtās kļūdas?

11. Kādas kļūdas sauc par nejaušām un kā tās rodas?

12. Aprakstiet vidējās kvadrātiskās kļūdas aprēķināšanas kārtību.

13. Aprakstiet tiešo mērījumu absolūtās nejaušās kļūdas aprēķināšanas kārtību.

14. Kas ir “uzticamības faktors”?

15. No kādiem parametriem un kā ir atkarīgs Studenta koeficients?

16. Kā tiek aprēķināta tiešo mērījumu kopējā absolūtā kļūda?

17. Uzrakstiet formulas netiešo mērījumu relatīvo un absolūto kļūdu noteikšanai.

18. Formulējiet noteikumus rezultāta noapaļošanai ar kļūdu.

19. Atrodiet relatīvo kļūdu, mērot sienas garumu, izmantojot mērlenti ar dalījuma vērtību 0,5 cm. Izmērītā vērtība bija 4,66 m.

20. Mērot taisnstūra malu A un B garumu, tika izdarītas attiecīgi absolūtās kļūdas ΔA un ΔB. Uzrakstiet formulu, lai aprēķinātu absolūto kļūdu ΔS, kas iegūta, nosakot laukumu no šo mērījumu rezultātiem.

21. Kuba malas garuma L mērījumā bija kļūda ΔL. Uzrakstiet formulu, lai noteiktu kuba tilpuma relatīvo kļūdu, pamatojoties uz šo mērījumu rezultātiem.

22. Ķermenis kustējās vienmērīgi paātrināti no miera stāvokļa. Lai aprēķinātu paātrinājumu, mēs izmērījām ķermeņa noieto ceļu S un tā kustības laiku t. Šo tiešo mērījumu absolūtās kļūdas bija attiecīgi ΔS un Δt. Atvasiniet formulu, lai no šiem datiem aprēķinātu relatīvo paātrinājuma kļūdu.

23. Aprēķinot apkures iekārtas jaudu pēc mērījumu datiem, tika iegūtas vērtības Pav = 2361,7893735 W un ΔР = 35,4822 W. Ierakstiet rezultātu kā ticamības intervālu, pēc vajadzības noapaļojot.

24. Aprēķinot pretestības vērtību, pamatojoties uz mērījumu datiem, tika iegūtas šādas vērtības: Rav = 123,7893735 omi, ΔR = 0,348 omi. Ierakstiet rezultātu kā ticamības intervālu, pēc vajadzības noapaļojot.

25. Aprēķinot berzes koeficientu, pamatojoties uz mērījumu datiem, tika iegūtas vērtības μav = 0,7823735 un Δμ = 0,03348. Ierakstiet rezultātu kā ticamības intervālu, pēc vajadzības noapaļojot.

26. Strāva 16,6 A tika noteikta, izmantojot ierīci ar precizitātes klasi 1,5 un skalas vērtējumu 50 A. Atrodiet šī mērījuma absolūtās instrumentālās un relatīvās kļūdas.

27. Svārsta svārstību perioda 5 mērījumu sērijā tika iegūtas šādas vērtības: 2,12 s, 2,10 s, 2,11 s, 2,14 s, 2,13 s. Atrodiet absolūto nejaušības kļūdu perioda noteikšanā no šiem datiem.

28. Eksperiments ar kravas nomešanu no noteikta augstuma tika atkārtots 6 reizes. Šajā gadījumā tika iegūtas šādas slodzes krišanas laika vērtības: 38,0 s, 37,6 s, 37,9 s, 37,4 s, 37,5 s, 37,7 s. Atrodiet relatīvo kļūdu, nosakot krišanas laiku.

Dalījuma vērtība ir izmērīta vērtība, kas izraisa rādītāja novirzi par vienu dalījumu. Iedalījuma vērtību nosaka kā ierīces mērījumu augšējās robežas attiecību pret skalas iedalījumu skaitu.

Mērinstrumentam raksturīgo kļūdu dēļ, izvēlētā metode un mērīšanas procedūra, atšķirības ārējiem apstākļiem, kurā tiek veikts mērījums, noteiktu un citu iemeslu dēļ gandrīz katra mērījuma rezultāts ir apgrūtināts ar kļūdu. Šī kļūda tiek aprēķināta vai novērtēta un piešķirta iegūtajam rezultātam.

Mērījumu rezultāta kļūda(īsumā - mērījuma kļūda) - mērījuma rezultāta novirze no izmērītās vērtības patiesās vērtības.

Daudzuma patiesā vērtība paliek nezināma kļūdu dēļ. To izmanto metroloģijas teorētisko problēmu risināšanā. Praksē tiek izmantota daudzuma faktiskā vērtība, kas aizstāj patieso vērtību.

Mērījumu kļūdu (Δx) nosaka pēc formulas:

x = x mērs. - x derīgs (1.3)

kur x nozīmē. - uz mērījumu pamata iegūtā daudzuma vērtību; x derīgs — daudzuma vērtība, kas pieņemta kā reāla.

Atsevišķos mērījumos par faktisko vērtību bieži tiek uzskatīta vērtība, kas iegūta, izmantojot standarta mērinstrumentu vairākiem mērījumiem, atsevišķu mērījumu vērtību vidējā aritmētiskā vērtība, kas iekļauta noteiktā sērijā.

Mērījumu kļūdas var klasificēt pēc šādiem kritērijiem:

Pēc izpausmju rakstura - sistemātiska un nejauša;

Pēc izteiksmes metodes - absolūtais un relatīvais;

Atbilstoši izmērītās vērtības izmaiņu nosacījumiem - statiskā un dinamiskā;

Atbilstoši apstrādes metodei vairāki mērījumi - vidējie aritmētiskie un vidējie kvadrāti;

Atbilstoši mērīšanas uzdevuma pārklājuma pilnībai - daļēja un pilnīga;

Attiecībā uz fiziskā daudzuma vienību - kļūdas vienības reproducēšanā, vienības uzglabāšanā un vienības lieluma pārraidē.

Sistemātiska mērījumu kļūda(īsi sakot - sistemātiskā kļūda) - mērījuma rezultāta kļūdas sastāvdaļa, kas paliek nemainīga noteiktai mērījumu sērijai vai mainās dabiski, atkārtoti veicot viena un tā paša fiziskā lieluma mērījumus.

Atbilstoši to izpausmes veidam sistemātiskās kļūdas iedala pastāvīgās, progresīvās un periodiskās. Pastāvīgas sistemātiskas kļūdas(īsi sakot - pastāvīgas kļūdas) - kļūdas, ilgu laiku saglabājot to vērtību (piemēram, visā mērījumu sērijā). Šis ir visizplatītākais kļūdu veids.

Progresējošas sistemātiskas kļūdas(īsumā - progresīvas kļūdas) - nepārtraukti pieaugošas vai samazinošas kļūdas (piemēram, kļūdas no mēruzgaļu nodiluma, kas saskaras ar detaļu slīpēšanas procesā, uzraugot to ar aktīvo vadības ierīci).

Periodiska sistemātiska kļūda(īsi - periodiska kļūda) - kļūda, kuras vērtība ir laika funkcija vai mērīšanas ierīces rādītāja kustības funkcija (piemēram, ekscentricitātes klātbūtne goniometra ierīcēs ar apļveida skalu izraisa sistemātisku kļūda, kas mainās atkarībā no periodiska likuma).

Pamatojoties uz sistemātisko kļūdu rašanās iemesliem, tiek izšķirtas instrumentālās kļūdas, metodes kļūdas, subjektīvās kļūdas un kļūdas, kas radušās ārējo mērījumu apstākļu novirzes no metodēm, kas noteiktas.

Instrumentālā mērījuma kļūda(īsi - instrumentāla kļūda) ir vairāku iemeslu sekas: ierīces detaļu nodilums, pārmērīga berze ierīces mehānismā, neprecīzs gājienu marķējums uz skalas, neatbilstība starp mēra faktisko un nominālo vērtību utt.

Mērīšanas metodes kļūda(īsumā - metodes kļūda) var rasties mērīšanas metodes nepilnības vai tās vienkāršojumu dēļ, kas noteikti ar mērījumu metodiku. Piemēram, šāda kļūda var būt saistīta ar mērīšanas līdzekļu nepietiekamu veiktspēju, mērot ātru procesu parametrus, vai neuzskaitītiem piemaisījumiem, nosakot vielas blīvumu, pamatojoties uz tās masas un tilpuma mērīšanas rezultātiem.

Subjektīva mērījuma kļūda(īsi sakot - subjektīva kļūda) ir saistīta ar operatora individuālajām kļūdām. Šo kļūdu dažreiz sauc par personisko atšķirību. To izraisa, piemēram, operatora signāla akceptēšanas kavēšanās vai progresēšana.

Kļūda novirzes dēļ(vienā virzienā) ārējie mērījumu apstākļi no tiem, kas noteikti ar mērīšanas metodi, noved pie sistemātiskas mērījumu kļūdas komponentes rašanās.

Sistemātiskas kļūdas izkropļo mērījumu rezultātu, tāpēc tās iespēju robežās ir jānovērš, ieviešot korekcijas vai pielāgojot ierīci tā, lai sistemātiskās kļūdas tiktu samazinātas līdz pieņemamam minimumam.

Neizslēgta sistemātiska kļūda(īsi sakot - neizslēgtā kļūda) ir mērījuma rezultāta kļūda, kas radusies kļūdas dēļ aprēķinos un sistemātiskas kļūdas darbības korekcijas ieviešanas dēļ, vai neliela sistemātiska kļūda, kuras labojums nav ieviests. līdz tā mazumam.

Dažreiz šāda veida kļūda tiek saukta sistemātisku kļūdu neizslēgtie atlikumi(īsumā - neizslēgtie atlikumi). Piemēram, mērot līnijas skaitītāja garumu atskaites starojuma viļņu garumos, tika konstatētas vairākas neizslēdzamas sistemātiskas kļūdas (i): neprecīza temperatūras mērījuma dēļ - 1; neprecīzas gaisa laušanas koeficienta noteikšanas dēļ - 2, neprecīza viļņa garuma dēļ - 3.

Parasti tiek ņemta vērā neizslēgto sistemātisko kļūdu summa (tiek noteiktas to robežas). Ja terminu skaits ir N ≤ 3, neizslēdzamo sistemātisko kļūdu robežas aprēķina, izmantojot formulu

Ja terminu skaits ir N ≥ 4, aprēķiniem izmanto formulu

(1.5)

kur k ir neizslēgto sistemātisko kļūdu atkarības koeficients no izvēlētās ticamības varbūtības P, ja tās ir vienmērīgi sadalītas. Ja P = 0,99, k = 1,4, pie P = 0,95, k = 1,1.

Izlases mērījuma kļūda(īsi sakot - nejauša kļūda) - mērījuma rezultāta kļūdas sastāvdaļa, kas nejauši mainās (pēc zīmes un vērtības) vienāda lieluma fiziska lieluma mērījumu sērijā. Nejaušo kļūdu iemesli: noapaļošanas kļūdas, veicot rādījumus, rādījumu izmaiņas, mērījumu apstākļu izmaiņas nejauši utt.

Nejaušas kļūdas izraisa mērījumu rezultātu izkliedi sērijā.

Kļūdu teorija balstās uz diviem principiem, ko apstiprina prakse:

1. Ar lielu skaitu mērījumu, nejaušas kļūdas vienādi skaitliskā vērtība, Bet atšķirīga zīme, notiek vienlīdz bieži;

2. Lielas (absolūtā vērtībā) kļūdas ir retāk sastopamas nekā mazas.

No pirmās pozīcijas izriet praksei svarīgs secinājums: palielinoties mērījumu skaitam, no mērījumu sērijas iegūtā rezultāta nejaušā kļūda samazinās, jo noteiktas sērijas atsevišķu mērījumu kļūdu summai ir tendence uz nulli, t.i.

(1.6)

Piemēram, mērījumu rezultātā tika iegūtas vairākas vērtības elektriskā pretestība(labots sistemātisku kļūdu dēļ): R 1 = 15,5 omi, R 2 = 15,6 omi, R 3 = 15,4 omi, R 4 = 15,6 omi un R 5 = 15,4 omi. Tādējādi R = 15,5 omi. Novirzes no R (R 1 = 0,0; R 2 = +0,1 omi, R 3 = -0,1 omi, R 4 = +0,1 omi un R 5 = -0,1 omi) ir šīs sērijas atsevišķu mērījumu nejaušas kļūdas. Ir viegli pārbaudīt, vai summa R i = 0,0. Tas norāda, ka kļūdas šīs sērijas atsevišķos mērījumos tika aprēķinātas pareizi.

Neskatoties uz to, ka, palielinoties mērījumu skaitam, nejaušo kļūdu summai ir tendence uz nulli (in šajā piemērā tas nejauši izrādījās vienāds ar nulli), jānovērtē mērījumu rezultāta nejaušā kļūda. Nejaušo lielumu teorijā vērtību izkliedes īpašība ir nejaušais mainīgais kalpo kā dispersija o2. "|/o2 = a sauc par populācijas vidējo kvadrātveida novirzi vai standarta novirzi.

Tas ir ērtāk nekā dispersija, jo tā izmērs sakrīt ar izmērītā daudzuma izmēru (piemēram, daudzuma vērtību iegūst voltos, standarta novirze būs arī voltos). Tā kā mērījumu praksē mēs izmantojam terminu “kļūda”, atvasinātais termins “vidējā kvadrātiskā kļūda” ir jāizmanto, lai raksturotu vairākus mērījumus. Mērījumu sērijas raksturlielums var būt vidējā aritmētiskā kļūda vai mērījumu rezultātu diapazons.

Mērījumu rezultātu diapazons (īsumā span) - algebriskā atšķirība atsevišķo mērījumu lielākie un mazākie rezultāti, kas veido n mērījumu sēriju (vai paraugu):

R n = X max - X min (1,7)

kur R n ir diapazons; X max un X min - lielākais un mazākā vērtība vērtības noteiktā mērījumu sērijā.

Piemēram, no pieciem urbuma diametra d mērījumiem vērtības R 5 = 25,56 mm un R 1 = 25,51 mm izrādījās tā maksimālās un minimālās vērtības. Šajā gadījumā R n = d 5 - d 1 = 25,56 mm - 25,51 mm = 0,05 mm. Tas nozīmē, ka atlikušās kļūdas šajā sērijā ir mazākas par 0,05 mm.

Atsevišķa mērījuma sērijas vidējā aritmētiskā kļūda(īsi - vidējā aritmētiskā kļūda) - atsevišķu mērījumu rezultātu (vienāda daudzuma) izkliedes vispārināts raksturlielums (nejaušu iemeslu dēļ), kas iekļauts n vienādas precizitātes neatkarīgu mērījumu sērijā, kas aprēķināts pēc formulas

(1.8)

kur X i ir sērijā iekļautā i-tā mērījuma rezultāts; x ir n vērtību vidējais aritmētiskais: |Х і - X| — i-tā mērījuma kļūdas absolūtā vērtība; r ir vidējā aritmētiskā kļūda.

No sakarības nosaka vidējās aritmētiskās kļūdas p patieso vērtību

p = lim r, (1,9)

Ar mērījumu skaitu n > 30 starp vidējo aritmētisko (r) un vidējo kvadrātu (s) starp kļūdām pastāv korelācijas

s = 1,25 r; r un = 0,80 s. (1,10)

Vidējās aritmētiskās kļūdas priekšrocība ir tās aprēķina vienkāršība. Bet tomēr biežāk tiek noteikta vidējā kvadrātiskā kļūda.

Vidējā kvadrāta kļūda individuāls mērījums sērijā (īsi sakot - vidējā kvadrātiskā kļūda) - atsevišķu mērījumu rezultātu (vienādas vērtības) izkliedes vispārināts raksturlielums (nejaušu iemeslu dēļ), kas iekļauts virknē n vienādas precizitātes neatkarīgi mērījumi, kas aprēķināti pēc formulas

(1.11)

Vidējā kvadrāta kļūda: vispārējs paraugs o, kas ir S statistiskā robeža, var aprēķināt pie /i-mx >, izmantojot formulu:

Σ = Lims S (1.12)

Patiesībā mērījumu skaits vienmēr ir ierobežots, tāpēc tas nav σ , un tā aptuvenā vērtība (vai aplēse), kas ir s. Jo vairāk p, jo tuvāk s ir tās robežai σ .

Plkst normāls likums sadalījumu, varbūtība, ka atsevišķa mērījuma kļūda virknē nepārsniegs aprēķināto vidējo kvadrātisko kļūdu, ir maza: 0,68. Tāpēc 32 gadījumos no 100 vai 3 gadījumos no 10 faktiskā kļūda var būt lielāka par aprēķināto.

1.2. attēls Vairāku mērījumu rezultāta nejaušās kļūdas vērtības samazināšanās, palielinoties mērījumu skaitam sērijā

Mērījumu sērijā pastāv saistība starp atsevišķa mērījuma s vidējo kvadrātisko kļūdu un vidējā aritmētiskā S x kvadrātiskā saknes kļūdu:

ko bieži sauc par “U n likumu”. No šī noteikuma izriet, ka nejaušu iemeslu dēļ radušos mērījumu kļūdu var samazināt par n reizēm, ja tiek veikti n jebkura lieluma vienāda lieluma mērījumi, un par gala rezultātu tiek ņemts vidējais aritmētiskais (1.2. att.).

Veicot vismaz 5 mērījumus sērijā, ir iespējams samazināt nejaušo kļūdu ietekmi vairāk nekā 2 reizes. Ar 10 mērījumiem nejaušās kļūdas ietekme tiek samazināta 3 reizes. Mērījumu skaita turpmāka palielināšana ne vienmēr ir ekonomiski izdevīga un parasti tiek veikta tikai kritiskiem mērījumiem, kuriem nepieciešama augsta precizitāte.

Viena mērījuma vidējo kvadrātisko kļūdu no vairākiem viendabīgiem dubultiem mērījumiem S α aprēķina pēc formulas

(1.14)

kur x" i un x"" i ir vienāda izmēra daudzuma mērījumu i-tie rezultāti uz priekšu un atpakaļ virzienā ar vienu mērinstrumentu.

Nevienādu mērījumu gadījumā vidējā aritmētiskā vidējā kvadrātiskā kļūda rindā tiek noteikta pēc formulas

(1.15)

kur p i ir i-tā mērījuma svars nevienādu mērījumu sērijā.

Vērtības Y netiešo mērījumu rezultāta vidējo kvadrātisko kļūdu, kas ir funkcija no Y = F (X 1, X 2, X n), aprēķina, izmantojot formulu

(1.16)

kur S 1, S 2, S n ir lielumu X 1, X 2, X n mērījumu rezultātu vidējās kvadrātiskās kļūdas.

Ja, lai iegūtu lielāku ticamību apmierinoša rezultāta iegūšanai, tiek veiktas vairākas mērījumu sērijas, atsevišķa mērījuma vidējo kvadrātisko kļūdu no m sērijas (S m) nosaka, izmantojot formulu

(1.17)

kur n ir mērījumu skaits sērijā; N— kopējais skaits mērījumi visās sērijās; m ir sēriju skaits.

Ar ierobežotu skaitu mērījumu bieži ir jāzina kvadrātiskā kļūda. Lai noteiktu kļūdu S, kas aprēķināta pēc formulas (2.7) un kļūdu S m, kas aprēķināta pēc formulas (2.12), varat izmantot šādas izteiksmes

(1.18)

(1.19)

kur S un S m ir attiecīgi S un S m vidējās kvadrātiskās kļūdas.

Piemēram, apstrādājot vairāku garuma x mērījumu rezultātus, mēs ieguvām

= 86 mm 2 pie n = 10,

= 3,1 mm

= 0,7 mm vai S = ±0,7 mm

Vērtība S = ±0,7 mm nozīmē, ka aprēķina kļūdas dēļ s ir robežās no 2,4 līdz 3,8 mm, tāpēc milimetra desmitdaļas šeit ir neuzticamas. Aplūkotajā gadījumā jāraksta: S = ±3 mm.

Lai iegūtu lielāku pārliecību, novērtējot mērījumu rezultāta kļūdu, aprēķiniet ticamības kļūdu vai kļūdas ticamības robežas. Saskaņā ar parastā sadalījuma likumu kļūdas ticamības robežas aprēķina kā ±t-s vai ±t-s x, kur s un s x ir attiecīgi atsevišķa mērījuma vidējās kvadrātiskās kļūdas sērijā un aritmētiskais vidējais; t ir skaitlis, kas atkarīgs no ticamības varbūtības P un mērījumu skaita n.

Svarīgs jēdziens ir mērījumu rezultāta ticamība (α), t.i. varbūtība, ka izmērītā daudzuma vēlamā vērtība nonāks noteiktā ticamības intervālā.

Piemēram, apstrādājot detaļas uz darbgaldiem stabilā tehnoloģiskā režīmā, kļūdu sadalījums atbilst parastajam likumam. Pieņemsim, ka daļas garuma pielaide ir iestatīta uz 2a. Šajā gadījumā ticamības intervāls, kurā atrodas vēlamā daļas garuma a vērtība, būs (a - a, a + a).

Ja 2a = ±3s, tad rezultāta ticamība ir a = 0,68, t.i., 32 gadījumos no 100 ir jārēķinās, ka detaļas izmērs pārsniegs pielaidi 2a. Novērtējot detaļas kvalitāti pēc pielaides 2a = ±3s, rezultāta ticamība būs 0,997. Šajā gadījumā var sagaidīt, ka tikai trīs daļas no 1000 pārsniegs noteikto pielaidi. Tomēr uzticamības palielināšana ir iespējama, tikai samazinot detaļas garuma kļūdu. Tādējādi, lai palielinātu uzticamību no a = 0,68 līdz a = 0,997, kļūdas daļas garumā jāsamazina trīs reizes.

IN pēdējā laikā Termins “mērījumu ticamība” ir kļuvis plaši izplatīts. Dažos gadījumos tas tiek nepamatoti lietots termina “mērījumu precizitāte” vietā. Piemēram, dažos avotos var atrast izteicienu "mērījumu vienotības un ticamības noteikšana valstī". Tā kā pareizāk būtu teikt “vienotības un nepieciešamās mērījumu precizitātes noteikšana”. Mēs uzskatām, ka ticamība ir kvalitatīvs raksturlielums, kas atspoguļo nejaušu kļūdu tuvumu nullei. To var kvantitatīvi noteikt, izmantojot mērījumu neuzticamību.

Mērījumu neuzticamība(īsi sakot - neuzticamība) - mērījumu sērijas rezultātu neatbilstības novērtējums nejaušo kļūdu kopējās ietekmes dēļ (ko nosaka ar statistiskām un nestatistiskām metodēm), ko raksturo vērtību diapazons. kurā atrodas izmērītās vērtības patiesā vērtība.

Saskaņā ar Starptautiskā svaru un mēru biroja ieteikumiem neuzticamība tiek izteikta kopējās vidējās kvadrātiskās mērījumu kļūdas veidā - Su, ieskaitot vidējo kvadrātisko kļūdu S (noteikta ar statistikas metodēm) un vidējo kvadrātisko kļūdu u (noteikts). ar nestatistiskām metodēm), t.i.

(1.20)

Maksimālā mērījumu kļūda(īsi - maksimālā kļūda) - maksimālā mērījuma kļūda (plus, mīnus), kuras iespējamība nepārsniedz vērtību P, savukārt starpība 1 - P ir nenozīmīga.

Piemēram, ar normālā sadalījuma likumu nejaušas kļūdas iespējamība, kas vienāda ar ±3s, ir 0,997, un starpība 1-P = 0,003 ir nenozīmīga. Tāpēc daudzos gadījumos ticamības kļūda ±3s tiek ņemta par maksimālo, t.i. pr = ±3 s. Ja nepieciešams, pr var būt citas attiecības ar s pie pietiekami liela P (2s, 2,5s, 4s utt.).

Sakarā ar to, ka GSI standartos termina "vidējā kvadrātiskā kļūda" vietā tiek lietots termins "vidējā kvadrātiskā novirze", turpmākajās diskusijās pieturēsimies pie šī termina.

Absolūtā mērījumu kļūda(īsumā - absolūtā kļūda) - mērījuma kļūda, kas izteikta izmērītās vērtības vienībās. Tādējādi kļūda X, mērot X daļas garumu, izteikta mikrometros, ir absolūta kļūda.

Nevajadzētu jaukt terminus “absolūtā kļūda” un “absolūtās kļūdas vērtība”, kas tiek saprasts kā kļūdas vērtība, neņemot vērā zīmi. Tātad, ja absolūtā mērījuma kļūda ir ±2 μV, tad kļūdas absolūtā vērtība būs 0,2 μV.

Relatīvā mērījuma kļūda(īsumā - relatīvā kļūda) - mērījuma kļūda, kas izteikta izmērītās vērtības vērtības daļās vai procentos. Relatīvā kļūda δ tiek atrasta no relācijām:

(1.21)

Piemēram, ir detaļas garuma x = 10,00 mm reālā vērtība un kļūdas absolūtā vērtība x = 0,01 mm. Relatīvā kļūda būs

Statiskā kļūda— mērījuma rezultāta kļūda statiskā mērījuma apstākļu dēļ.

Dinamiska kļūda— mērījuma rezultāta kļūda dinamiskā mērījuma apstākļu dēļ.

Vienības reproducēšanas kļūda— kļūda mērījumu rezultātos, kas veikti, reproducējot fiziskā daudzuma vienību. Tādējādi kļūda, reproducējot vienību, izmantojot valsts standartu, tiek norādīta tās sastāvdaļu veidā: neizslēdzamā sistemātiskā kļūda, ko raksturo tās robeža; nejauša kļūda, ko raksturo standarta novirze s un nestabilitāte gada laikā ν.

Vienības lieluma pārraides kļūda— kļūda mērījumu rezultātos, kas veikti, pārraidot vienības izmēru. Vienības lieluma pārsūtīšanas kļūda ietver neizslēgtas sistemātiskas kļūdas un izlases kļūdas vienības lieluma pārsūtīšanas metodē un līdzekļos (piemēram, salīdzinājums).

Šajā tēmā es uzrakstīšu kaut ko līdzīgu īsai cheat sheet par kļūdām. Atkal, šis teksts nekādā ziņā nav oficiāls, un atsauce uz to ir nepieņemama. Būšu pateicīgs par kļūdu vai neprecizitāšu labošanu, kas varētu būt šajā tekstā.

Kas ir kļūda?

Formas () eksperimenta rezultāta reģistrēšana nozīmē, ka, ja mēs veicam daudz identisku eksperimentu, tad 70% iegūtie rezultāti atradīsies intervālā, bet 30% - nē.

Vai arī, kas ir tas pats, ja mēs atkārtojam eksperimentu, tad jauns rezultāts iekritīs ticamības intervālā ar varbūtību, kas vienāda ar ticamības varbūtību.

Kā noapaļot kļūdu un rezultātu?

Kļūda ir noapaļota līdz pirmajam nozīmīgajam ciparam, ja tas nav viens. Ja viens - tad līdz diviem. Tajā pašā laikā nozīmīgs skaitlis tiek izsaukts jebkurš rezultāta cipars, izņemot sākuma nulles.

Noapaļo uz vai vai bet nekādos apstākļos vai , jo ir 2 zīmīgi skaitļi - 2 un 0 aiz diviem.

Noapaļo līdz vai

Noapaļo līdz vai vai

Rezultātu noapaļojam tā, lai pēdējais nozīmīgs skaitlis rezultāts atbilda kļūdas pēdējam nozīmīgajam ciparam.

Piemēri pareizs ieraksts:

mm

Hm, saglabāsim kļūdu līdz 2 zīmīgajiem cipariem, jo ​​pirmais nozīmīgais cipars kļūdā ir viens.

mm

Piemēri nepareizs ieraksts:

Mm. Šeit kā rezultātā papildu zīme. mm būs pareizi.

mm. Šeit papildu zīme gan kļūdas dēļ, gan rezultātā. mm būs pareizi.

Savā darbā es izmantoju man doto vērtību vienkārši kā skaitli. Piemēram, atsvaru masa. Kāda ir tā kļūdas robeža?

Ja kļūda nav skaidri norādīta, varat to ierakstīt pēdējā ciparā. Tas ir, ja ir uzrakstīts m = 1,35 g, tad kļūda jāuzskata par 0,01 g.

Ir vairāku lielumu funkcija. Katram no šiem lielumiem ir sava kļūda. Lai atrastu funkcijas kļūdu, jums jāveic šādas darbības:

Simbols apzīmē f daļēju atvasinājumu attiecībā pret x. Lasiet vairāk par daļējiem atvasinājumiem.

Pieņemsim, ka esat izmērījis tādu pašu daudzumu x vairākas (n) reizes. Mēs saņēmām vērtību kopumu. . Jums jāaprēķina izkliedes kļūda, jāaprēķina instrumenta kļūda un jāsaskaita kopā.

Punkts pēc punkta.

1. Mēs aprēķinām izkliedes kļūdu

Ja visas vērtības sakrīt, jums nav izplatības. Pretējā gadījumā ir jāaprēķina izkliedes kļūda. Vispirms tiek aprēķināta vidējā kvadrātiskā kļūda:

Šeit nozīmē vidējo rādītāju kopumā.
Izkliedes kļūdu iegūst, reizinot vidējo kvadrātisko kļūdu ar Stjudenta koeficientu, kas ir atkarīgs no izvēlētās ticamības varbūtības un mērījumu skaita n:

Mēs ņemam Studenta koeficientus no zemāk esošās tabulas. Ticamības varbūtība tiek ģenerēta patvaļīgi, mērījumu skaits n mēs arī zinām.

2. Mēs uzskatām instrumenta kļūdu vidējo

Ja dažādu punktu kļūdas ir atšķirīgas, tad pēc formulas

Protams, ikviena pārliecības varbūtībai ir jābūt vienādai.

3. Pievienojiet vidējo ar spredu

Kļūdas vienmēr tiek summētas kā kvadrātu sakne:

Šajā gadījumā jums ir jāpārliecinās, vai ticamības varbūtības, ar kurām tika aprēķinātas, un sakrīt.

Kā no grafika noteikt vidējā instrumenta kļūdu? Nu, tas ir, izmantojot pārī savienoto punktu metodi vai metodi mazākie kvadrāti, mēs atradīsim kļūdu vidējās pretestības izplatībā. Kā atrast vidējās pretestības instrumenta kļūdu?

Gan mazāko kvadrātu metode, gan pāru punktu metode var sniegt stingru atbildi uz šo jautājumu. MLS forumam Svetozarovā ir ("Pamatinformācija...", sadaļa par mazāko kvadrātu metodi), un pāru punktiem pirmais, kas nāk prātā (kā saka, pierē) ir aprēķināt instrumentālo vērtību. katra kļūda slīpums. Nu tālāk par visiem punktiem...

Ja jūs nevēlaties ciest, tad laboratorijas grāmatās ir vienkāršs veids, kā to izdarīt novērtējumiem leņķa koeficienta instrumenta kļūda, proti, no sekojošā MNC (piemēram, pirms darba 1 laboratorijas grāmatā "Elektriskie mērinstrumenti...." Metodisko ieteikumu pēdējā lapa).

Kur ir maksimālā novirze pa Y asi punktam ar kļūdu no novilktās taisnes, un saucējs ir mūsu grafika laukuma platums gar Y asi Tāpat X asij.

Precizitātes klase ir uzrakstīta uz pretestības žurnāla: 0,05/4*10^-6? Kā no tā atrast instrumenta kļūdu?

Tas nozīmē, ka ierīces maksimālā relatīvā kļūda (procentos) ir šāda:
, Kur
- augstākā vērtība uzglabāt pretestību, a ir iekļautās pretestības nominālvērtība.
Ir viegli saprast, ka otrais termiņš ir svarīgs, ja mēs strādājam ar ļoti zemu pretestību.

Sīkāku informāciju vienmēr var atrast ierīces pasē. Pasi var atrast internetā, Google ierakstot ierīces zīmolu.

Literatūra par kļūdām

Daudz vairāk informācijas par šo tēmu var atrast pirmkursniekiem ieteiktajā grāmatā:
V.V. Svetozarovs "Mērījumu rezultātu elementāra apstrāde"

Kā papildu (pirmkursniekiem papildu) literatūru mēs varam ieteikt:
V.V.Svetozarovs "Mērījumu rezultātu statistiskās apstrādes pamati"

Un tiem, kas vēlas beidzot visu saprast, noteikti jāielūkojas šeit:
Dž. Teilore. "Ievads kļūdu teorijā"

Paldies, ka atradāt un ievietojāt šīs brīnišķīgās grāmatas savā vietnē.

1. Ievads

Ķīmiķu, fiziķu un citu dabaszinātņu profesiju pārstāvju darbs nereti ir saistīts ar dažādu lielumu kvantitatīvo mērījumu veikšanu. Šajā gadījumā rodas jautājums par iegūto vērtību ticamības analīzi, tiešo mērījumu rezultātu apstrādi un kļūdu novērtēšanu aprēķinos, kuros izmantotas tieši izmērīto raksturlielumu vērtības (pēdējo procesu sauc arī par rezultātu apstrādi netiešs mērījumi). Vairāku objektīvu iemeslu dēļ Maskavas Valsts universitātes Ķīmijas fakultātes absolventu zināšanas par kļūdu aprēķināšanu ne vienmēr ir pietiekamas, lai pareizi apstrādātu iegūtos datus. Viens no šiem iemesliem ir mācību rezultātu statistiskās apstrādes kursa trūkums fakultātes programmā.

UZ šajā brīdī kļūdu aprēķināšanas jautājums, protams, ir izsmeļoši izpētīts. Pastāv liels skaits metodiskā attīstība, mācību grāmatas u.c., kurās var atrast informāciju par kļūdu aprēķināšanu. Diemžēl lielākā daļa šo darbu ir pārslogoti ar papildu un ne vienmēr nepieciešamo informāciju. Jo īpaši lielākā daļa studentu darbnīcu darbu neprasa tādas darbības kā paraugu salīdzināšana, konverģences novērtēšana utt. Tāpēc šķiet lietderīgi izveidot īsu izstrādi, kurā ir izklāstīti visbiežāk izmantoto aprēķinu algoritmi, kas ir arī šī izstrāde. ir veltīts.

2. Šajā darbā pieņemtais apzīmējums

Izmērītā vērtība, - mērītās vērtības vidējā vērtība, - mērītās vērtības vidējās vērtības absolūtā kļūda, - mērītās vērtības vidējās vērtības relatīvā kļūda.

3. Tiešo mērījumu kļūdu aprēķins

Tātad, pieņemsim, ka tie tika veikti n viena un tā paša daudzuma mērījumi tādos pašos apstākļos. Šajā gadījumā jūs varat aprēķināt šīs vērtības vidējo vērtību veiktajos mērījumos:

(1)

Kā aprēķināt kļūdu? Saskaņā ar šādu formulu:

(2)

Šajā formulā tiek izmantots Studenta koeficients. Tās vērtības pie dažādām ticamības varbūtībām un vērtībām ir norādītas.

3.1. Piemērs tiešo mērījumu kļūdu aprēķināšanai:

Uzdevums.

Tika izmērīts metāla stieņa garums. Tika veikti 10 mērījumi un iegūtas šādas vērtības: 10 mm, 11 mm, 12 mm, 13 mm, 10 mm, 10 mm, 11 mm, 10 mm, 10 mm, 11 mm. Nepieciešams atrast izmērītās vērtības vidējo vērtību (stieņa garumu) un tās kļūdu.

Risinājums.

Izmantojot formulu (1), mēs atrodam:

mm

Tagad, izmantojot formulu (2), mēs atrodam vidējās vērtības absolūto kļūdu ar ticamības varbūtību un brīvības pakāpju skaitu (mēs izmantojam vērtību = 2,262, kas ņemta no):

Pierakstīsim rezultātu:

10,8±0,7 0,95 mm

4. Netiešo mērījumu kļūdu aprēķins

Pieņemsim, ka eksperimenta laikā lielumi tiek mērīti un tad c Izmantojot iegūtās vērtības, vērtību aprēķina pēc formulas .

Šajā gadījumā tieši izmērīto lielumu kļūdas aprēķina, kā aprakstīts 3. punktā.

Daudzuma vidējās vērtības aprēķins tiek veikts atbilstoši atkarībai, izmantojot argumentu vidējās vērtības.

,(3)

Kļūdas vērtību aprēķina, izmantojot šādu formulu:

kur ir argumentu skaits, ir funkcijas daļējs atvasinājums attiecībā pret argumentiem, ir argumenta vidējās vērtības absolūtā kļūda.

Absolūto kļūdu, tāpat kā tiešo mērījumu gadījumā, aprēķina, izmantojot formulu.

Uzdevums.

4.1. Piemērs tiešo mērījumu kļūdu aprēķināšanai:

Tika veikti 5 tiešie mērījumi un. Vērtībai tika iegūtas šādas vērtības: 50, 51, 52, 50, 47; daudzumam tika iegūtas šādas vērtības: 500, 510, 476, 354, 520. Jāaprēķina pēc formulas noteiktā daudzuma vērtība un jāatrod iegūtās vērtības kļūda.

Mūsu laikmetā cilvēks ir izgudrojis un lieto ļoti dažādus un visdažādākos mērinstrumentus. Bet neatkarīgi no tā, cik perfekta ir to ražošanas tehnoloģija, tiem visiem ir lielāka vai mazāka kļūda. Šis parametrs parasti ir norādīts uz paša instrumenta, un, lai novērtētu noteiktās vērtības precizitāti, jums ir jāsaprot, ko nozīmē marķējumā norādītie skaitļi. Turklāt sarežģītu matemātisko aprēķinu laikā neizbēgami rodas relatīvās un absolūtās kļūdas. To plaši izmanto statistikā, rūpniecībā (kvalitātes kontrole) un vairākās citās jomās. Kā šī vērtība tiek aprēķināta un kā interpretēt tās vērtību - tieši tas tiks apspriests šajā rakstā.

Absolūta kļūda Apzīmēsim ar x aptuveno lieluma vērtību, kas iegūta, piemēram, ar vienu mērījumu, un ar x 0 tā precīzu vērtību. Tagad aprēķināsim šo divu skaitļu starpības lielumu. Absolūtā kļūda ir tieši tā vērtība, ko ieguvām šīs vienkāršās darbības rezultātā. Formulu valodā,šī definīcija

var uzrakstīt šādā formā: Δ x = | x - x 0 |.

Absolūtajai novirzei ir viens būtisks trūkums – tā neļauj novērtēt kļūdas nozīmīguma pakāpi. Piemēram, mēs pērkam tirgū 5 kg kartupeļu, un kāds negodīgs pārdevējs, mērot svaru, kļūdījās par 50 gramiem par labu. Tas ir, absolūtā kļūda bija 50 grami. Mums tāda neuzmanība būs tīrais sīkums un mēs tam pat nepievērsīsim uzmanību. Vai varat iedomāties, kas notiks, ja, gatavojot zāles, notiks līdzīga kļūda? Šeit viss būs daudz nopietnāk. Un, iekraujot kravas vagonu, novirzes, visticamāk, būs daudz lielākas par šo vērtību. Tāpēc pati absolūtā kļūda nav īpaši informatīva. Papildus tam ļoti bieži viņi papildus aprēķina relatīvo novirzi, kas vienāda ar absolūtās kļūdas attiecību pret precīza vērtība cipariem. To raksta pēc šādas formulas: δ = Δ x / x 0 .

Kļūdu rekvizīti

Pieņemsim, ka mums ir divi neatkarīgi lielumi: x un y. Mums jāaprēķina to summas aptuvenās vērtības novirze. Šajā gadījumā mēs varam aprēķināt absolūto kļūdu kā katras no tām iepriekš aprēķināto absolūto noviržu summu. Dažos mērījumos var gadīties, ka kļūdas, nosakot x un y vērtības, izslēdz viena otru. Vai arī var gadīties, ka pievienošanas rezultātā novirzes maksimāli pastiprinās. Tāpēc, aprēķinot kopējo absolūto kļūdu, jāņem vērā sliktākais scenārijs. Tas pats attiecas uz atšķirību starp vairāku lielumu kļūdām. Šis īpašums ir raksturīga tikai absolūtai kļūdai, un to nevar attiecināt uz relatīvo novirzi, jo tas neizbēgami novedīs pie nepareiza rezultāta. Apskatīsim šo situāciju, izmantojot šādu piemēru.

Pieņemsim, ka mērījumi cilindra iekšpusē parādīja, ka iekšējais rādiuss (R 1) ir 97 mm un ārējais rādiuss (R 2) ir 100 mm. Ir nepieciešams noteikt tā sienas biezumu. Vispirms noskaidrosim atšķirību: h = R 2 - R 1 = 3 mm. Ja problēma nenorāda, kāda ir absolūtā kļūda, tad to ņem kā pusi no mērierīces skalas dalījuma. Tādējādi Δ(R 2) = Δ(R 1) = 0,5 mm. Kopējā absolūtā kļūda ir: Δ(h) = Δ(R 2) + Δ(R 1) = 1 mm. Tagad aprēķināsim visu vērtību relatīvo novirzi:

δ(R 1) = 0,5/100 = 0,005,

δ(R 1) = 0,5/97 ≈ 0,0052,

δ(h) = Δ(h)/h = 1/3 ≈ 0,3333>> δ(R 1).

Kā redzams, kļūda abu rādiusu mērīšanā nepārsniedz 5,2%, un kļūda to starpības - cilindra sieniņas biezuma - aprēķinā bija pat 33.(3)%!

Sekojošie īpašību stāvokļi: vairāku skaitļu reizinājuma relatīvā novirze ir aptuveni vienāda ar atsevišķu faktoru relatīvo noviržu summu:

δ(xy) ≈ δ(x) + δ(y).

Turklāt šo noteikumu ir patiess neatkarīgi no novērtējamo vērtību skaita. Trešā un pēdējā relatīvās kļūdas īpašība ir relatīvā aplēse kth skaitļi grāds aptuveni | k | reizes lielāka par sākotnējā skaitļa relatīvo kļūdu.