Aritmētiskās progresijas summa.

Aritmētiskās progresijas summa ir vienkārša lieta. Gan pēc nozīmes, gan pēc formulas. Bet par šo tēmu ir visādi uzdevumi. No pamata līdz diezgan cietam.

Vispirms sapratīsim summas nozīmi un formulu. Un tad mēs izlemsim. Savam priekam.) Summas nozīme ir vienkārša kā moo. Lai atrastu aritmētiskās progresijas summu, jums vienkārši rūpīgi jāsaskaita visi tās termini. Ja šo vienumu ir maz, varat pievienot bez formulām. Bet, ja ir daudz, vai daudz... papildinājums ir kaitinošs.) Šajā gadījumā formula nāk palīgā.

Summas formula ir vienkārša:

Izdomāsim, kādi burti ir iekļauti formulā. Tas daudz ko noskaidros.

S n - aritmētiskās progresijas summa. Papildinājuma rezultāts visiem biedri, ar vispirms Autors pēdējais. Tas ir svarīgi. Viņi precīzi saskaita Visi dalībnieki pēc kārtas, neizlaižot vai neizlaižot. Un, precīzi, sākot no vispirms. Tādos problēmās kā trešā un astotā vārda summas vai piektā līdz divdesmitā termina summas atrašana formulas tieša piemērošana radīs vilšanos.)

a 1 - vispirms progresijas dalībnieks. Šeit viss ir skaidrs, tas ir vienkārši vispirms rindas numurs.

a n- pēdējais progresijas dalībnieks. Sērijas pēdējais numurs. Nav ļoti pazīstams nosaukums, bet, ja to attiecina uz summu, tas ir ļoti piemērots. Tad tu redzēsi pats.

n - pēdējā dalībnieka numurs. Ir svarīgi saprast, ka formulā šis skaitlis sakrīt ar pievienoto terminu skaitu.

Definēsim jēdzienu pēdējais biedrs a n. Viltīgs jautājums: kurš dalībnieks būs pēdējais ja dota bezgalīgs aritmētiskā progresija?)

Lai atbildētu pārliecinoši, jāsaprot aritmētiskās progresijas elementārā nozīme un... rūpīgi jāizlasa uzdevums!)

Uzdevumā atrast aritmētiskās progresijas summu vienmēr parādās pēdējais termins (tieši vai netieši), kas būtu jāierobežo. Citādi galīga, konkrēta summa vienkārši neeksistē. Risinājumam nav nozīmes tam, vai ir dota progresija: ierobežota vai bezgalīga. Nav svarīgi, kā tas tiek dots: skaitļu virkne vai n-tā vārda formula.

Vissvarīgākais ir saprast, ka formula darbojas no pirmā progresijas termiņa līdz terminam ar skaitli n. Faktiski formulas pilns nosaukums izskatās šādi: aritmētiskās progresijas pirmo n vārdu summa.Šo pašu pirmo dalībnieku skaits, t.i. n, nosaka tikai un vienīgi uzdevums. Uzdevumā visa šī vērtīgā informācija bieži vien tiek šifrēta, jā... Bet vienalga, zemāk esošajos piemēros mēs atklājam šos noslēpumus.)

Uzdevumu piemēri par aritmētiskās progresijas summu.

Pirmkārt, noderīga informācija:

Galvenās grūtības uzdevumos, kas saistīti ar aritmētiskās progresijas summu, ir pareiza formulas elementu noteikšana.

Uzdevumu autori šifrē tieši šos elementus ar neierobežotu iztēli.) Šeit galvenais ir nebaidīties. Izprotot elementu būtību, pietiek tos vienkārši atšifrēt. Apskatīsim dažus piemērus sīkāk. Sāksim ar uzdevumu, kura pamatā ir īsts GIA.

1. Aritmētiskā progresija dots ar nosacījumu: a n = 2n-3.5. Atrodiet tā pirmo 10 terminu summu.

Labs darbs. Viegli.) Lai noteiktu summu, izmantojot formulu, kas mums jāzina? Pirmais dalībnieks a 1, pēdējais termiņš a n, jā pēdējā dalībnieka numurs n.

Kur es varu iegūt pēdējā dalībnieka numuru? n? Jā, tieši tur, ar nosacījumu! Tas saka: atrodiet summu pirmie 10 dalībnieki. Nu ar kādu numuru tas būs? pēdējais, desmitais dalībnieks?) Jūs neticēsiet, viņa numurs ir desmitais!) Tāpēc tā vietā a n mēs aizvietosim formulā a 10, un tā vietā n- desmit. Es atkārtoju, pēdējā biedra skaits sakrīt ar biedru skaitu.

Atliek noteikt a 1 Un a 10. To var viegli aprēķināt, izmantojot n-tā termina formulu, kas ir dota problēmas izklāstā. Vai nezināt, kā to izdarīt? Apmeklējiet iepriekšējo nodarbību, bez šīs nav iespējas.

a 1= 2 1 - 3,5 = -1,5

a 10=2·10 - 3,5 =16,5

S n = S 10.

Mēs esam noskaidrojuši visu aritmētiskās progresijas summas formulas elementu nozīmi. Atliek tikai tos aizstāt un saskaitīt:

Tas arī viss. Atbilde: 75.

Vēl viens uzdevums, kas balstīts uz GIA. Nedaudz sarežģītāk:

2. Dota aritmētiskā progresija (a n), kuras starpība ir 3,7; a 1 = 2,3. Atrodiet tā pirmo 15 terminu summu.

Mēs nekavējoties rakstām summas formulu:

Šī formula ļauj mums atrast jebkura termina vērtību pēc tā skaitļa. Mēs meklējam vienkāršu aizstāšanu:

a 15 = 2,3 + (15-1) 3,7 = 54,1

Atliek tikai aizstāt visus elementus aritmētiskās progresijas summas formulā un aprēķināt atbildi:

Atbilde: 423.

Starp citu, ja summas formulā vietā a n Mēs vienkārši aizstājam formulu ar n-to terminu un iegūstam:

Atvedīsim līdzīgos, sanāk jauna formula aritmētiskās progresijas terminu summas:

Kā redzat, šeit tas nav nepieciešams n-tais termiņš a n. Dažās problēmās šī formula ļoti palīdz, jā... Jūs varat atcerēties šo formulu. Vai tas ir iespējams iekšā īstais brīdis to ir viegli parādīt, piemēram, šeit. Galu galā jums vienmēr ir jāatceras summas formula un n-tā termina formula.)

Tagad uzdevums īsas šifrēšanas veidā):

3. Atrodiet visu pozitīvo summu divciparu skaitļi, trīs reizes.

Oho! Ne jūsu pirmais biedrs, ne pēdējais, ne progresija vispār... Kā dzīvot!?

Būs jādomā ar galvu un jāizvelk no nosacījuma visi aritmētiskās progresijas summas elementi. Mēs zinām, kas ir divciparu skaitļi. Tie sastāv no diviem cipariem.) Kāds būs divciparu skaitlis vispirms? 10, domājams.) A pēdējais divciparu skaitlis? 99, protams! Viņam sekos trīsciparu...

Trīs reizes... Hm... Tie ir skaitļi, kas dalās ar trīs, lūk! Desmit nedalās ar trīs, 11 nedalās... 12... dalās! Tātad, kaut kas parādās. Jūs jau varat pierakstīt sēriju atbilstoši problēmas apstākļiem:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Vai šī sērija būs aritmētiskā progresija? Noteikti! Katrs termins atšķiras no iepriekšējā stingri par trim. Ja terminam pievieno 2 vai 4, teiksim, rezultāts, t.i. jaunais skaitlis vairs nedalās ar 3. Jūs varat uzreiz noteikt aritmētiskās progresijas starpību: d = 3. Tas noderēs!)

Tātad, mēs varam droši pierakstīt dažus progresēšanas parametrus:

Kāds būs numurs? n pēdējais dalībnieks? Ikviens, kurš domā, ka 99, ir liktenīgi kļūdījies... Skaitļi vienmēr iet pēc kārtas, bet mūsu biedri lec pāri trīs. Tie nesakrīt.

Šeit ir divi risinājumi. Viens veids ir īpaši strādīgiem. Varat pierakstīt progresu, visu skaitļu sēriju un ar pirkstu saskaitīt dalībnieku skaitu.) Otrs veids ir domāts pārdomātajiem. Jums jāatceras n-tā termina formula. Ja mēs pielietojam formulu savai problēmai, mēs atklājam, ka 99 ir progresijas trīsdesmitais loceklis. Tie. n = 30.

Apskatīsim aritmētiskās progresijas summas formulu:

Skatāmies un priecājamies.) No problēmas izklāsta izvilkām visu nepieciešamo summas aprēķināšanai:

a 1= 12.

a 30= 99.

S n = S 30.

Atliek tikai elementārā aritmētika. Mēs aizstājam skaitļus formulā un aprēķinām:

Atbilde: 1665

Cits populāru mīklu veids:

4. Dota aritmētiskā progresija:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Atrodiet terminu summu no divdesmitā līdz trīsdesmit četriem.

Skatāmies summas formulu un... sarūgtinām.) Formula, atgādināšu, aprēķina summu no pirmā biedrs. Un uzdevumā jums jāaprēķina summa kopš divdesmitā... Formula nedarbosies.

Jūs, protams, varat izrakstīt visu progresu sērijā un pievienot terminus no 20 līdz 34. Bet... tas ir kaut kā muļķīgi un prasa ilgu laiku, vai ne?)

Ir elegantāks risinājums. Sadalīsim mūsu sēriju divās daļās. Pirmā daļa būs no pirmā termiņa līdz deviņpadsmitajam. Otrā daļa - no divdesmit līdz trīsdesmit četriem. Ir skaidrs, ka, ja mēs aprēķinām pirmās daļas nosacījumu summu S 1-19, saskaitīsim to ar otrās daļas terminu summu S 20-34, mēs iegūstam progresijas summu no pirmā termina līdz trīsdesmit ceturtajam S 1-34. kā šis:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

No tā mēs varam redzēt, ka atrast summu S 20-34 var izdarīt ar vienkāršu atņemšanu

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

Tiek ņemtas vērā abas summas labajā pusē no pirmā biedrs, t.i. standarta summas formula tiem ir diezgan piemērojama. Sāksim?

Mēs izņemam progresēšanas parametrus no problēmas paziņojuma:

d = 1,5.

a 1= -21,5.

Lai aprēķinātu pirmo 19 un pirmo 34 terminu summas, mums būs nepieciešams 19. un 34. termins. Mēs tos aprēķinām, izmantojot n-tā termina formulu, kā tas ir 2. uzdevumā:

a 19= -21,5 +(19-1) 1,5 = 5,5

a 34= -21,5 +(34-1) 1,5 = 28

Nekas nav palicis pāri. No 34 terminu summas atņemiet 19 terminu summu:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Atbilde: 262,5

Viena svarīga piezīme! Šīs problēmas risināšanai ir ļoti noderīgs triks. Tiešā aprēķina vietā kas jums nepieciešams (S 20-34), mēs saskaitījām kaut kas, šķiet, nav vajadzīgs - S 1-19. Un tad viņi noteica S 20-34, atmetot nevajadzīgo no pilnīga rezultāta. Šāda veida “mānīšanās ar ausīm” bieži izglābj jūs no ļaunām problēmām.)

Šajā nodarbībā aplūkojām problēmas, kurām pietiek saprast aritmētiskās progresijas summas nozīmi. Nu, jums jāzina dažas formulas.)

Praktiski padomi:

Risinot jebkuru uzdevumu, kas saistīts ar aritmētiskās progresijas summu, es iesaku nekavējoties no šīs tēmas izrakstīt divas galvenās formulas.

n-tā termiņa formula:

Šīs formulas uzreiz pateiks, ko meklēt un kādā virzienā domāt, lai problēmu atrisinātu. Palīdz.

Un tagad uzdevumi patstāvīgam risinājumam.

5. Atrodiet visu divciparu skaitļu summu, kas nedalās ar trīs.

Forši?) Mājiens ir paslēpts piezīmē uz 4. problēmu. Nu, 3. problēma palīdzēs.

6. Aritmētisko progresiju uzrāda nosacījums: a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Atrodiet tā pirmo 24 vārdu summu.

Neparasti?) Šī ir atkārtota formula. Par to var lasīt iepriekšējā nodarbībā. Neignorējiet saiti, šādas problēmas bieži sastopamas Valsts Zinātņu akadēmijā.

7. Vasja sakrāja naudu svētkiem. Tik daudz kā 4550 rubļi! Un es nolēmu savam mīļākajam cilvēkam (sev) dot dažas laimes dienas). Dzīvo skaisti, sev neko neliedzot. Pirmajā dienā iztērējiet 500 rubļus, un katrā nākamajā dienā iztērējiet par 50 rubļiem vairāk nekā iepriekšējā! Kamēr nauda beigsies. Cik daudz laimes dienu bija Vasijai?

Vai tas ir grūti?) Papildu formula no 2. uzdevuma palīdzēs.

Atbildes (nekārtīgi): 7, 3240, 6.

Ja jums patīk šī vietne...

Starp citu, man jums ir vēl dažas interesantas vietnes.)

Jūs varat praktizēt piemēru risināšanu un uzzināt savu līmeni. Testēšana ar tūlītēju verifikāciju. Mācīsimies - ar interesi!)

Var iepazīties ar funkcijām un atvasinājumiem.

Aritmētiskā progresija nosauciet skaitļu virkni (progresijas nosacījumus)

Kurā katrs nākamais termins atšķiras no iepriekšējā ar jaunu terminu, ko arī sauc soļa vai progresa atšķirība.

Tādējādi, norādot progresēšanas soli un tā pirmo terminu, jūs varat atrast jebkuru no tā elementiem, izmantojot formulu

Aritmētiskās progresijas īpašības

1) Katrs aritmētiskās progresijas dalībnieks, sākot no otrā skaitļa, ir progresijas iepriekšējā un nākamā locekļa vidējais aritmētiskais

Arī otrādi ir taisnība. Ja progresijas blakus esošo nepāra (pāra) vārdu vidējais aritmētiskais ir vienāds ar vārdu, kas atrodas starp tiem, tad šī skaitļu virkne ir aritmētiskā progresija. Izmantojot šo paziņojumu, ir ļoti viegli pārbaudīt jebkuru secību.

Arī pēc aritmētiskās progresijas īpašību iepriekš minēto formulu var vispārināt šādi

To ir viegli pārbaudīt, rakstot vārdus pa labi no vienādības zīmes

To bieži izmanto praksē, lai vienkāršotu aprēķinus uzdevumos.

2) Aritmētiskās progresijas pirmo n vārdu summu aprēķina, izmantojot formulu

Labi atcerieties aritmētiskās progresijas summas formulu, tā ir neaizstājama aprēķinos un diezgan bieži sastopama vienkāršās dzīves situācijās.

3) Ja jums ir jāatrod nevis visa summa, bet daļa no secības, sākot no tās k-tā vārda, tad jums noderēs šāda summas formula

4) Praktiski interesants ir aritmētiskās progresijas n vārdu summas atrašana, sākot no k-tā skaitļa. Lai to izdarītu, izmantojiet formulu

Tas noslēdz teorētisko materiālu un pāriet uz kopīgu problēmu risināšanu praksē.

Piemērs 1. Atrodiet aritmētiskās progresijas 4;7 četrdesmito daļu;...

Risinājums:

Atbilstoši mūsu stāvoklim

Noteiksim progresēšanas posmu

Izmantojot labi zināmu formulu, mēs atrodam progresijas četrdesmito termiņu

2. piemērs.

Risinājums:

Aritmētiskā progresija tiek dota ar tās trešo un septīto terminu. Atrodiet progresijas pirmo biedru un summu desmit.

Pierakstīsim dotos progresijas elementus, izmantojot formulas

Mēs atņemam pirmo no otrā vienādojuma, kā rezultātā mēs atrodam progresēšanas soli

Atrasto vērtību aizstājam ar jebkuru no vienādojumiem, lai atrastu aritmētiskās progresijas pirmo terminu

Mēs aprēķinām progresijas pirmo desmit vārdu summu

Neizmantojot sarežģītus aprēķinus, mēs atradām visus nepieciešamos daudzumus.

Risinājums:

3. piemērs. Aritmētisko progresiju uzrāda saucējs un viens no tā vārdiem. Atrodiet progresijas pirmo daļu, tā 50 vārdu summu, sākot no 50, un pirmo 100 summu.

Pierakstīsim progresijas simtā elementa formulu

un atrodi pirmo

Pamatojoties uz pirmo, mēs atrodam progresijas 50. termiņu

Progresijas daļas summas atrašana

Progresēšanas summa ir 250.

4. piemērs.

Atrodiet aritmētiskās progresijas vārdu skaitu, ja:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

Risinājums:

Uzrakstīsim vienādojumus pirmā vārda un progresēšanas soļa izteiksmē un noteiksim tos

Iegūtās vērtības aizstājam summas formulā, lai noteiktu terminu skaitu summā

Mēs veicam vienkāršojumus

un atrisiniet kvadrātvienādojumu

No divām atrastajām vērtībām tikai skaitlis 8 atbilst problēmas apstākļiem. Tādējādi progresijas pirmo astoņu terminu summa ir 111.

5. piemērs.

Atrisiniet vienādojumu

1+3+5+...+x=307.

Risinājums: Šis vienādojums ir aritmētiskās progresijas summa. Izrakstīsim tā pirmo termiņu un noskaidrosim progresēšanas atšķirību

Ieejas līmenis

Aritmētiskā progresija. Detalizēta teorija ar piemēriem (2019)

Skaitļu secība

Tātad, apsēdīsimies un sāksim rakstīt dažus skaitļus. Piemēram:
Jūs varat rakstīt jebkurus ciparus, un to var būt tik daudz, cik vēlaties (mūsu gadījumā tie ir). Neatkarīgi no tā, cik skaitļus mēs rakstām, mēs vienmēr varam pateikt, kurš no tiem ir pirmais, kurš ir otrais un tā tālāk līdz pēdējam, tas ir, mēs varam tos numurēt. Šis ir skaitļu secības piemērs:

Skaitļu secība
Piemēram, mūsu secībai:

Piešķirtais numurs ir raksturīgs tikai vienam numuram secībā. Citiem vārdiem sakot, secībā nav trīs sekunžu skaitļu. Otrais cipars (tāpat kā th cipars) vienmēr ir vienāds.
Skaitli ar skaitli sauc par secības th terminu.

Mēs parasti saucam visu secību ar kādu burtu (piemēram,), un katrs šīs secības dalībnieks ir viens un tas pats burts ar indeksu, kas vienāds ar šī elementa numuru: .

Mūsu gadījumā:

Pieņemsim, ka mums ir skaitļu secība, kurā starpība starp blakus esošajiem skaitļiem ir vienāda un vienāda.
Piemēram:

utt.
Šo skaitļu secību sauc par aritmētisko progresiju.
Terminu "progresēšana" tālajā 6. gadsimtā ieviesa romiešu autors Boetijs, un plašākā nozīmē to saprata kā bezgalīgu ciparu secību. Nosaukums "aritmētika" tika pārcelts no nepārtraukto proporciju teorijas, kuru pētīja senie grieķi.

Šī ir skaitļu virkne, kuras katrs dalībnieks ir vienāds ar iepriekšējo, kas pievienots tam pašam skaitlim. Šo skaitli sauc par aritmētiskās progresijas starpību un apzīmē.

Mēģiniet noteikt, kuras skaitļu secības ir aritmētiskā progresija un kuras nav:

a)
b)
c)
d)

Vai sapratāt? Salīdzināsim mūsu atbildes:
Ir aritmētiskā progresija - b, c.
Vai nav aritmētiskā progresija - a, d.

Atgriezīsimies pie dotās progresijas () un mēģināsim atrast tās th vārda vērtību. Pastāv divi veids, kā to atrast.

1. Metode

Mēs varam pievienot progresijas skaitli iepriekšējai vērtībai, līdz mēs sasniedzam progresijas th. Labi, ka mums nav daudz ko apkopot - tikai trīs vērtības:

Tātad aprakstītās aritmētiskās progresijas th loceklis ir vienāds ar.

2. Metode

Ko darīt, ja mums būtu jāatrod progresijas th termina vērtība? Summēšana mums aizņemtu vairāk nekā vienu stundu, un tas nav fakts, ka mēs nekļūdītos, saskaitot skaitļus.
Protams, matemātiķi ir izdomājuši veidu, kā aritmētiskās progresijas starpību nav nepieciešams pievienot iepriekšējai vērtībai. Apskatiet uzzīmēto attēlu tuvāk... Noteikti jau esat pamanījuši noteiktu rakstu, proti:

Piemēram, paskatīsimies, no kā sastāv šīs aritmētiskās progresijas th termiņa vērtība:


Citiem vārdiem sakot:

Mēģiniet pats šādā veidā atrast dotās aritmētiskās progresijas locekļa vērtību.

Vai jūs aprēķinājāt? Salīdziniet savas piezīmes ar atbildi:

Lūdzu, ņemiet vērā, ka jūs saņēmāt tieši tādu pašu skaitli kā iepriekšējā metodē, kad mēs secīgi pievienojām aritmētiskās progresijas nosacījumus iepriekšējai vērtībai.
Mēģināsim “depersonalizēt” šo formulu – iekļausim to vispārējs skats un mēs iegūstam:

Aritmētiskās progresijas vienādojums.

Aritmētiskā progresija var palielināties vai samazināties.

Pieaug- progresijas, kurās katra nākamā terminu vērtība ir lielāka par iepriekšējo.
Piemēram:

Dilstoša- progresijas, kurās katra nākamā terminu vērtība ir mazāka par iepriekšējo.
Piemēram:

Atvasinātā formula tiek izmantota aritmētiskās progresijas terminu aprēķināšanai gan pieaugošajos, gan samazinošajos termiņos.
Pārbaudīsim to praksē.
Mums tiek dota aritmētiskā progresija, kas sastāv no šādiem skaitļiem: Pārbaudīsim, kāds būs šīs aritmētiskās progresijas skaitlis, ja izmantosim formulu, lai to aprēķinātu:

Kopš tā laika:

Tādējādi esam pārliecināti, ka formula darbojas gan dilstošā, gan pieaugošā aritmētiskajā progresijā.
Mēģiniet pats atrast šīs aritmētiskās progresijas th un th nosacījumus.

Salīdzināsim rezultātus:

Aritmētiskās progresijas īpašība

Sarežģīsim uzdevumu – atvasināsim aritmētiskās progresijas īpašību.
Pieņemsim, ka mums ir šāds nosacījums:
- aritmētiskā progresija, atrodiet vērtību.
Vienkārši, jūs sakāt un sāciet skaitīt pēc formulas, kuru jau zināt:

Ļaujiet, ah, tad:

Pilnīgi taisnība. Sanāk, ka vispirms atrodam, tad pievienojam pirmajam ciparam un iegūstam to, ko meklējam. Ja progresiju attēlo mazas vērtības, tad tajā nav nekā sarežģīta, bet ja nu nosacījumā mums ir doti skaitļi? Piekrītu, aprēķinos ir iespējama kļūda.
Tagad padomājiet, vai šo problēmu ir iespējams atrisināt vienā solī, izmantojot jebkuru formulu? Protams, jā, un tieši to mēs tagad mēģināsim izcelt.

Apzīmēsim vajadzīgo aritmētiskās progresijas terminu kā mums zināmo formulu tā atrašanai - šī ir tā pati formula, ko mēs atvasinājām sākumā:
, Tad:

• iepriekšējais progresēšanas termiņš ir:
• nākamais progresēšanas termiņš ir:

Apkoposim iepriekšējos un turpmākos progresēšanas nosacījumus:

Izrādās, ka iepriekšējo un nākamo progresijas nosacījumu summa ir starp tiem esošā progresijas vārda dubultā vērtība. Citiem vārdiem sakot, lai atrastu progresijas vārda vērtību ar zināmām iepriekšējām un secīgām vērtībām, tās ir jāpievieno un jādala ar.

Tieši tā, mums ir vienāds numurs. Nostiprināsim materiālu. Aprēķiniet progresēšanas vērtību pats, tas nepavisam nav grūti.

Labi darīts! Jūs zināt gandrīz visu par progresu! Atliek noskaidrot tikai vienu formulu, kuru, saskaņā ar leģendu, viegli izsecināja viens no visu laiku izcilākajiem matemātiķiem, “matemātiķu karalis” - Karls Gauss...

Kad Kārlim Gausam bija 9 gadi, skolotājs, kas bija aizņemts, pārbaudot skolēnu darbu citās klasēs, klasē uzdeva šādu uzdevumu: “Aprēķiniet visu summu naturālie skaitļi no līdz (saskaņā ar citiem avotiem līdz) ieskaitot.” Iedomājieties skolotāja pārsteigumu, kad viens no viņa audzēkņiem (tas bija Kārlis Gauss) minūti vēlāk sniedza pareizo atbildi uz uzdevumu, savukārt lielākā daļa pārdrošnieka klasesbiedru pēc ilgiem aprēķiniem saņēma nepareizu rezultātu...

Jaunais Karls Gauss pamanīja noteiktu modeli, ko arī jūs varat viegli pamanīt.
Pieņemsim, ka mums ir aritmētiskā progresija, kas sastāv no --ajiem vārdiem: Mums jāatrod šo aritmētiskās progresijas nosacījumu summa. Protams, mēs varam manuāli summēt visas vērtības, bet ja uzdevums prasa atrast tā terminu summu, kā to meklēja Gauss?

Attēlosim mums doto progresu. Apskatiet izceltos skaitļus tuvāk un mēģiniet ar tiem veikt dažādas matemātiskas darbības.


Vai esat to mēģinājuši? Ko jūs pamanījāt? Pareizi! Viņu summas ir vienādas

Tagad sakiet, cik mums dotajā progresijā kopumā ir šādu pāru? Protams, tieši puse no visiem skaitļiem, tas ir.
Pamatojoties uz to, ka aritmētiskās progresijas divu vārdu summa ir vienāda un līdzīgi pāri ir vienādi, mēs iegūstam, ka kopējā summa ir vienāda ar:
.
Tādējādi jebkuras aritmētiskās progresijas pirmo vārdu summas formula būs:

Dažās problēmās mēs nezinām th terminu, bet mēs zinām progresijas atšķirību. Mēģiniet aizstāt th termina formulu ar summas formulu.
ko tu dabūji?

Labi darīts! Tagad atgriezīsimies pie uzdevuma, kas tika uzdots Kārlim Gausam: pats aprēķiniet, ar ko ir vienāda skaitļu summa, sākot no th, un skaitļu summa, kas sākas no th.

Cik tu dabūji?
Gauss atklāja, ka terminu summa ir vienāda, un terminu summa. Vai tā nolēmāt?

Faktiski aritmētiskās progresijas terminu summas formulu jau 3. gadsimtā pierādīja sengrieķu zinātnieks Diofants, un visu šo laiku asprātīgi cilvēki pilnībā izmantoja aritmētiskās progresijas īpašības.
Piemēram, iedomājieties Senā Ēģipte un tā laika lielākais būvprojekts - piramīdas celtniecība... Bildē redzama viena puse.

Kur te ir progresija, jūs sakāt? Paskatieties uzmanīgi un atrodiet smilšu bloku skaitu katrā piramīdas sienas rindā.


Kāpēc ne aritmētiskā progresija? Aprēķiniet, cik bloku nepieciešams vienas sienas uzbūvēšanai, ja pie pamatnes ir likti bloku ķieģeļi. Es ceru, ka jūs neskaitīsit, pārvietojot pirkstu pa monitoru, atceraties pēdējo formulu un visu, ko mēs teicām par aritmētisko progresiju?

Šajā gadījumā progresēšana izskatās šādi: .
Aritmētiskās progresijas atšķirība.
Aritmētiskās progresijas terminu skaits.
Aizstāsim savus datus pēdējās formulās (bloku skaitu aprēķināsim divos veidos).

1. metode.

2. metode.

Un tagad jūs varat aprēķināt monitorā: salīdziniet iegūtās vērtības ar bloku skaitu, kas atrodas mūsu piramīdā. Vai sapratāt? Labi darīts, jūs esat apguvis aritmētiskās progresijas n-to vārdu summu.
Protams, jūs nevarat uzbūvēt piramīdu no blokiem pie pamatnes, bet no tā? Mēģiniet aprēķināt, cik smilšu ķieģeļu ir nepieciešams, lai izveidotu sienu ar šo nosacījumu.
Vai jums izdevās?
Pareizā atbilde ir bloki:

Apmācība

Uzdevumi:

1. Maša iegūst formu vasarai. Katru dienu viņa palielina pietupienu skaitu par. Cik reizes Maša veiks pietupienus nedēļā, ja viņa veica pietupienus pirmajā treniņā?
2. Kāda ir visu nepāra skaitļu summa, kas ietverta.
3. Uzglabājot baļķus, mežizstrādātāji tos sakrauj tā, lai katrs augšējais slānis satur par vienu žurnālu mazāk nekā iepriekšējā. Cik baļķu ir vienā mūrī, ja mūra pamats ir baļķi?

Atbildes:

1. Definēsim aritmētiskās progresijas parametrus. Šajā gadījumā
   (nedēļas = dienas).

   Atbilde: Divu nedēļu laikā Mašai reizi dienā jāveic pietupieni.

2. Pirmkārt nepāra skaitlis, pēdējais numurs.
   Aritmētiskās progresijas atšķirība.
   Nepāra skaitļu skaits ir uz pusi, tomēr pārbaudīsim šo faktu, izmantojot formulu aritmētiskās progresijas biedra atrašanai:

   Cipari satur nepāra skaitļus.
   Aizstāsim pieejamos datus formulā:

   Atbilde: Visu nepāra skaitļu summa ir vienāda.

3. Atcerēsimies problēmu par piramīdām. Mūsu gadījumā a , jo katrs virsējais slānis ir samazināts par vienu baļķi, tad kopā ir slāņu ķekars, tas ir.
   Aizstāsim datus formulā:

   Atbilde: Mūrē ir baļķi.

Apkoposim to

1. - skaitļu secība, kurā starpība starp blakus esošajiem skaitļiem ir vienāda un vienāda. Tas var palielināties vai samazināties.
2. Formulas atrašana Aritmētiskās progresijas th termiņu raksta ar formulu - , kur ir skaitļu skaits progresijā.
3. Aritmētiskās progresijas locekļu īpašība- - kur ir progresējošo skaitļu skaits.
4. Aritmētiskās progresijas vārdu summa var atrast divos veidos:
   
   , kur ir vērtību skaits.

ARITMĒTISKĀ PROGRESIJA. VIDĒJS LĪMENIS

Skaitļu secība

Apsēdīsimies un sāksim rakstīt dažus skaitļus. Piemēram:

Jūs varat rakstīt jebkurus ciparus, un to var būt tik daudz, cik vēlaties. Bet mēs vienmēr varam pateikt, kurš ir pirmais, kurš otrais un tā tālāk, tas ir, mēs varam tos numurēt. Šis ir skaitļu virknes piemērs.

Skaitļu secība ir skaitļu kopa, katram no kuriem var piešķirt unikālu numuru.

Citiem vārdiem sakot, katru skaitli var saistīt ar noteiktu naturālu skaitli un unikālu. Un mēs nepiešķirsim šo numuru nevienam citam numuram no šī komplekta.

Skaitli ar skaitli sauc par secības th locekli.

Mēs parasti saucam visu secību ar kādu burtu (piemēram,), un katrs šīs secības dalībnieks ir viens un tas pats burts ar indeksu, kas vienāds ar šī elementa numuru: .

Tas ir ļoti ērti, ja secības th var norādīt ar kādu formulu. Piemēram, formula

nosaka secību:

Un formula ir šāda secība:

Piemēram, aritmētiskā progresija ir secība (pirmais vārds šeit ir vienāds, un atšķirība ir). Vai (, atšķirība).

n-tā termina formula

Mēs saucam par atkārtotu formulu, kurā, lai uzzinātu th terminu, jums jāzina iepriekšējais vai vairāki iepriekšējie:

Lai, piemēram, atrastu progresijas th, izmantojot šo formulu, mums būs jāaprēķina iepriekšējie deviņi. Piemēram, ļaujiet tam. Pēc tam:

Nu, vai tagad ir skaidrs, kāda ir formula?

Katrā rindā mēs pievienojam, reizinot ar kādu skaitli. Kuru? Ļoti vienkārši: šis ir pašreizējā dalībnieka numurs mīnus:

Tagad daudz ērtāk, vai ne? Mēs pārbaudām:

Izlemiet paši:

Aritmētiskajā progresijā atrodiet n-tā vārda formulu un atrodiet simto daļu.

Risinājums:

Pirmais termiņš ir vienāds. Kāda ir atšķirība? Lūk, kas:

(Tāpēc to sauc par atšķirību, jo tā ir vienāda ar secīgu progresijas nosacījumu starpību).

Tātad, formula:

Tad simtais loceklis ir vienāds ar:

Kāda ir visu naturālo skaitļu summa no līdz?

Saskaņā ar leģendu, izcilais matemātiķis Karls Gauss, būdams 9 gadus vecs zēns, šo summu aprēķināja dažu minūšu laikā. Viņš pamanīja, ka summa pirmo un pēdējais datums ir vienāda, otrā un priekšpēdējā summa ir vienāda, trešā un 3. summa no beigām ir vienāda utt. Cik tādu pāru kopumā ir? Tieši tā, tieši puse no visu skaitļu skaita, tas ir. Tātad,

Jebkuras aritmētiskās progresijas pirmo vārdu summas vispārējā formula būs:

Piemērs:
Atrodiet visu divciparu reizinājumu summu.

Risinājums:

Pirmais šāds skaitlis ir šis. Katru nākamo skaitli iegūst, pievienojot iepriekšējam skaitlim. Tādējādi mūs interesējošie skaitļi veido aritmētisko progresiju ar pirmo biedru un starpību.

Šīs progresēšanas termiņa formula:

Cik terminu ir progresijā, ja tiem visiem ir jābūt divciparu skaitlim?

Ļoti viegli:.

Pēdējais progresēšanas termiņš būs vienāds. Tad summa:

Atbilde:.

Tagad izlemiet paši:

1. Katru dienu sportists noskrien vairāk metru nekā iepriekšējā dienā. Cik kopumā kilometrus viņš noskries nedēļā, ja pirmajā dienā noskrēja km m?
2. Velosipēdists katru dienu nobrauc vairāk kilometru nekā iepriekšējā dienā. Pirmajā dienā viņš nobrauca km. Cik dienas viņam jābrauc, lai nobrauktu kilometru? Cik kilometrus viņš nobrauks pēdējā ceļojuma dienā?
3. Ledusskapja cena veikalā katru gadu samazinās par tādu pašu summu. Nosakiet, par cik katru gadu samazinājās ledusskapja cena, ja, laists pārdošanā par rubļiem, pēc sešiem gadiem tas tika pārdots par rubļiem.

Atbildes:

1. Šeit vissvarīgākais ir atpazīt aritmētisko progresiju un noteikt tās parametrus. Šajā gadījumā (nedēļas = dienas). Jums ir jānosaka šīs progresēšanas pirmo nosacījumu summa:
   .
   Atbilde:
2. Šeit ir dots: , jāatrod.
   Acīmredzot jums ir jāizmanto tā pati summas formula kā iepriekšējā uzdevumā:
   .
   Aizstāt vērtības:

   Sakne acīmredzami neder, tāpēc atbilde ir.
   Aprēķināsim pēdējās dienas laikā noieto ceļu, izmantojot th termina formulu:
   (km).
   Atbilde:

3. Ņemot vērā:. Atrast: .
   Tas nevar būt vienkāršāk:
   (berzēt).
   Atbilde:

ARITMĒTISKĀ PROGRESIJA. ĪSUMĀ PAR GALVENĀM LIETĀM

Šī ir skaitļu secība, kurā starpība starp blakus esošajiem skaitļiem ir vienāda un vienāda.

Aritmētiskā progresija var palielināties () un samazināties ().

Piemēram:

Formula aritmētiskās progresijas n-tā vārda atrašanai

tiek uzrakstīts pēc formulas, kur ir progresējošo skaitļu skaits.

Aritmētiskās progresijas locekļu īpašība

Tas ļauj viegli atrast progresijas terminu, ja ir zināmi tā blakus vārdi - kur ir progresijas skaitļu skaits.

Aritmētiskās progresijas terminu summa

Ir divi veidi, kā atrast summu:

Kur ir vērtību skaits.

Kur ir vērtību skaits.

Vai aritmētika ir sakārtotas skaitliskās secības veids, kuras īpašības tiek pētītas skolas kurss algebra. Šajā rakstā ir detalizēti aplūkots jautājums par to, kā atrast aritmētiskās progresijas summu.

Kas tas par progresu?

Pirms pāriet pie jautājuma (kā atrast aritmētiskās progresijas summu), ir vērts saprast, par ko mēs runājam.

Jebkuru reālu skaitļu secību, kas iegūta, saskaitot (atņemot) kādu vērtību no katra iepriekšējā skaitļa, sauc par algebrisko (aritmētisko) progresiju. Šī definīcija, tulkojot matemātiskā valodā, izpaužas šādā formā:

Šeit es - sērijas numurs sērijas elements a i . Tādējādi, zinot tikai vienu sākuma numuru, jūs varat viegli atjaunot visu sēriju. Parametru d formulā sauc par progresijas starpību.

Var viegli parādīt, ka aplūkojamai skaitļu sērijai ir spēkā šāda vienādība:

a n = a 1 + d * (n - 1).

Tas ir, lai secībā atrastu n-tā elementa vērtību, starpība d jāpievieno pirmajam elementam a 1 n-1 reizi.

Kāda ir aritmētiskās progresijas summa: formula

Pirms norādītās summas formulas došanas ir vērts apsvērt vienkāršu īpašs gadījums. Ņemot vērā naturālo skaitļu progresēšanu no 1 līdz 10, jums jāatrod to summa. Tā kā progresijā (10) ir maz terminu, problēmu ir iespējams atrisināt uzreiz, tas ir, summēt visus elementus secībā.

S 10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.

Viena lieta, ko vērts apsvērt interesanta lieta: tā kā katrs loceklis atšķiras no nākamā ar tādu pašu vērtību d = 1, tad pirmo pāru summēšana ar desmito, otro ar devīto un tā tālāk dos tādu pašu rezultātu. Tiešām:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Kā redzat, šīs summas ir tikai 5, tas ir, tieši divas reizes mazāk nekā sērijas elementu skaits. Pēc tam, reizinot summu skaitu (5) ar katras summas rezultātu (11), jūs iegūsit pirmajā piemērā iegūto rezultātu.

Ja mēs vispārinām šos argumentus, mēs varam uzrakstīt šādu izteiksmi:

S n = n * (a 1 + a n) / 2.

Šī izteiksme parāda, ka nemaz nav nepieciešams summēt visus elementus pēc kārtas, pietiek zināt pirmā a 1 un pēdējā a n vērtību, kā arī kopējais skaits n termini.

Tiek uzskatīts, ka Gauss bija pirmais, kas domāja par šo vienlīdzību, kad viņš meklēja risinājumu konkrētai problēmai. skolas skolotājs uzdevums: summējiet pirmos 100 veselos skaitļus.

Elementu summa no m līdz n: formula

Iepriekšējā rindkopā dotā formula atbild uz jautājumu, kā atrast aritmētiskās progresijas summu (pirmos elementus), taču bieži vien uzdevumos ir nepieciešams summēt skaitļu virkni progresijas vidū. Kā to izdarīt?

Vienkāršākais veids, kā atbildēt uz šo jautājumu, ir, ņemot vērā šādu piemēru: lai būtu nepieciešams atrast terminu summu no m-tā līdz n-tajai. Lai atrisinātu problēmu, jums jāiesniedz dotais progresijas segments no m līdz n jaunas skaitļu sērijas veidā. Šajā skatījumā mth termiņš a m būs pirmais, un a n tiks numurēts ar n-(m-1). Šajā gadījumā, piemērojot summas standarta formulu, tiks iegūta šāda izteiksme:

S m n = (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

Formulu izmantošanas piemērs

Zinot, kā atrast aritmētiskās progresijas summu, ir vērts apsvērt vienkāršu iepriekš minēto formulu izmantošanas piemēru.

Zemāk ir skaitliska secība, jums vajadzētu atrast tās terminu summu, sākot no 5. un beidzot ar 12.:

Dotie skaitļi norāda, ka starpība d ir vienāda ar 3. Izmantojot n-tā elementa izteiksmi, var atrast progresijas 5. un 12. vārda vērtības. Izrādās:

a 5 = a 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 = 8;

a 12 = a 1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.

Zinot skaitļu vērtības aplūkojamās algebriskās progresijas galos, kā arī zinot, kādus skaitļus sērijā tie aizņem, varat izmantot iepriekšējā punktā iegūtās summas formulu. Izrādīsies:

S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.

Ir vērts atzīmēt, ka šo vērtību var iegūt citādi: vispirms atrodiet pirmo 12 elementu summu, izmantojot standarta formulu, pēc tam aprēķiniet pirmo 4 elementu summu, izmantojot to pašu formulu, pēc tam atņemiet otro no pirmās summas.

Piemēram, secība \(2\); \(5\); \(8\); \(11\); \(14\)... ir aritmētiskā progresija, jo katrs nākamais elements no iepriekšējā atšķiras par trīs (var iegūt no iepriekšējā, pievienojot trīs):

Šajā progresijā starpība \(d\) ir pozitīva (vienāda ar \(3\)), un tāpēc katrs nākamais termins ir lielāks par iepriekšējo. Šādas progresijas sauc pieaug.

Tomēr var būt arī \(d\). negatīvs skaitlis. Piemēram, aritmētiskā progresijā \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... progresijas starpība \(d\) ir vienāda ar mīnus seši.

Un šajā gadījumā katrs nākamais elements būs mazāks nekā iepriekšējais. Šīs progresijas sauc samazinās.

Aritmētiskās progresijas apzīmējums

Progresiju norāda ar mazu latīņu burtu.

Tiek saukti skaitļi, kas veido progresiju biedriem(vai elementi).

Tie ir apzīmēti ar vienu un to pašu burtu kā aritmētiskā progresija, bet ar skaitlisko indeksu, kas vienāds ar elementa numuru secībā.

Piemēram, aritmētiskā progresija \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) sastāv no elementiem \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) un tā tālāk.

Citiem vārdiem sakot, progresijai \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

Aritmētiskās progresijas uzdevumu risināšana

Principā iepriekš sniegtā informācija jau ir pietiekama, lai atrisinātu gandrīz jebkuru aritmētiskās progresijas problēmu (ieskaitot tos, kas tiek piedāvāti OGE).

Piemērs (OGE). Aritmētisko progresiju nosaka nosacījumi \(b_1=7; d=4\). Atrodiet \(b_5\).
Risinājums:

Atbilde: \(b_5=23\)

Piemērs (OGE). Ir doti pirmie trīs aritmētiskās progresijas locekļi: \(62; 49; 36…\) Atrodiet šīs progresijas pirmā negatīvā vārda vērtību.
Risinājums:

	Mums ir doti pirmie secības elementi un zinām, ka tā ir aritmētiskā progresija. Tas ir, katrs elements atšķiras no kaimiņa ar tādu pašu numuru. Noskaidrosim, kurš, no nākamā elementa atņemot iepriekšējo: \(d=49-62=-13\).
	Tagad mēs varam atjaunot savu progresu uz mums nepieciešamo (pirmo negatīvo) elementu.
	Gatavs. Jūs varat uzrakstīt atbildi.

Atbilde: \(-3\)

Piemērs (OGE). Doti vairāki secīgi aritmētiskās progresijas elementi: \(…5; x; 10; 12,5...\) Atrodiet elementa vērtību, kas apzīmēta ar burtu \(x\).
Risinājums:

	Lai atrastu \(x\), mums jāzina, cik ļoti nākamais elements atšķiras no iepriekšējā, citiem vārdiem sakot, progresijas atšķirība. Atradīsim to no diviem zināmiem blakus elementiem: \(d=12,5-10=2,5\).
	Un tagad mēs varam viegli atrast to, ko meklējam: \(x=5+2.5=7.5\).
	Gatavs. Jūs varat uzrakstīt atbildi.

Atbilde: \(7,5\).

Piemērs (OGE). Aritmētisko progresiju nosaka šādi nosacījumi: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Atrodiet šīs progresijas pirmo sešu vārdu summu.
Risinājums:

	Mums jāatrod progresa pirmo sešu terminu summa. Bet mēs nezinām to nozīmi, mums ir dots tikai pirmais elements. Tāpēc vispirms mēs aprēķinām vērtības pa vienam, izmantojot to, kas mums ir dots: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) Un, aprēķinot sešus mums nepieciešamos elementus, mēs atrodam to summu.
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)	Nepieciešamā summa ir atrasta.

Atbilde: \(S_6=9\).

Piemērs (OGE). Aritmētiskajā progresijā \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Atrodiet šīs progresijas atšķirību.
Risinājums:

Atbilde: \(d=7\).

Svarīgas aritmētiskās progresijas formulas

Kā redzat, daudzas aritmētiskās progresijas problēmas var atrisināt, vienkārši saprotot galveno - ka aritmētiskā progresija ir skaitļu ķēde, un katrs nākamais elements šajā ķēdē tiek iegūts, pievienojot to pašu skaitli iepriekšējam ( progresijas atšķirība).

Tomēr dažreiz ir situācijas, kad ir ļoti neērti izlemt "uz galvu". Piemēram, iedomājieties, ka pašā pirmajā piemērā mums jāatrod nevis piektais elements \(b_5\), bet trīs simti astoņdesmit sestais \(b_(386)\). Vai mums ir jāpievieno četras \(385\) reizes? Vai arī iedomājieties, ka priekšpēdējā piemērā jums jāatrod pirmo septiņdesmit trīs elementu summa. Tev būs apnicis skaitīt...

Tāpēc šādos gadījumos viņi nerisina lietas “uz priekšu”, bet izmanto īpašas formulas, kas iegūtas aritmētiskajai progresijai. Un galvenās ir progresijas n-tā vārda formula un \(n\) pirmo terminu summas formula.

\(n\)-tā termina formula: \(a_n=a_1+(n-1)d\), kur \(a_1\) ir progresijas pirmais loceklis;
\(n\) – vajadzīgā elementa numurs;
\(a_n\) – progresijas termins ar skaitli \(n\).

Šī formula ļauj ātri atrast pat trīssimtdaļu vai miljono elementu, zinot tikai pirmo un progresijas starpību.

Piemērs. Aritmētisko progresiju nosaka nosacījumi: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Atrodiet \(b_(246)\).
Risinājums:

Atbilde: \(b_(246)=1850\).

Pirmo n vārdu summas formula: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), kur

\(a_n\) – pēdējais summētais termins;

Piemērs (OGE). Aritmētisko progresiju nosaka nosacījumi \(a_n=3,4n-0,6\). Atrodiet šīs progresijas pirmo \(25\) vārdu summu.
Risinājums:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25\)		Lai aprēķinātu pirmo divdesmit piecu terminu summu, mums jāzina pirmā un divdesmit piektā termina vērtība. Mūsu progresiju uzrāda n-tā vārda formula atkarībā no tā skaita (sīkāku informāciju sk.). Aprēķināsim pirmo elementu, aizstājot \(n\) ar vienu.
\(n=1;\) \(a_1=3,4·1-0,6=2,8\)		Tagad atradīsim divdesmit piekto terminu, aizstājot divdesmit piecus \(n\) vietā.
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4·25-0,6=84,4\)		Nu, tagad mēs varam viegli aprēķināt nepieciešamo summu.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2.8+84.4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		Atbilde ir gatava.

Atbilde: \(S_(25)=1090\).

Pirmo terminu summai \(n\) varat iegūt citu formulu: jums vienkārši nepieciešams \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) \(a_n\) vietā aizstājiet formulu \(a_n=a_1+(n-1)d\). Mēs iegūstam:

Pirmo n vārdu summas formula: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), kur

\(S_n\) – nepieciešamā \(n\) pirmo elementu summa;
\(a_1\) – pirmais summētais termins;
\(d\) – progresijas atšķirība;
\(n\) – elementu skaits kopā.

Piemērs. Atrodiet aritmētiskās progresijas pirmo \(33\)-ex vārdu summu: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Risinājums:

Atbilde: \(S_(33)=-231\).

Sarežģītākas aritmētiskās progresijas problēmas

Tagad jums ir viss nepieciešamo informāciju gandrīz jebkura aritmētiskās progresijas problēmas risināšanai. Pabeigsim tēmu, apsverot problēmas, kurās ne tikai jāpielieto formulas, bet arī nedaudz jāpadomā (matemātikā tas var noderēt ☺)

Piemērs (OGE). Atrodiet visu progresijas negatīvo vārdu summu: \(-19,3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Risinājums:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		Uzdevums ir ļoti līdzīgs iepriekšējam. Mēs sākam risināt to pašu: vispirms atrodam \(d\).
\(d=a_2-a_1=-19-(-19,3)=0,3\)		Tagad mēs gribētu summas formulā aizstāt \(d\)... un šeit parādās neliela nianse - mēs nezinām \(n\). Citiem vārdiem sakot, mēs nezinām, cik vienumu būs jāpievieno. Kā to noskaidrot? Padomāsim. Mēs pārtrauksim pievienot elementus, kad sasniegsim pirmo pozitīvo elementu. Tas ir, jums ir jānoskaidro šī elementa numurs. Kā? Pierakstīsim formulu jebkura aritmētiskās progresijas elementa aprēķināšanai: \(a_n=a_1+(n-1)d\) mūsu gadījumā.
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19,3+(n-1)·0,3\)		Mums ir nepieciešams \(a_n\), lai tas būtu lielāks par nulli. Noskaidrosim, kad \(n\) tas notiks.
\(-19,3+(n-1)·0,3>0\)
\((n-1)·0,3>19,3\) \(|:0,3\)		Mēs sadalām abas nevienādības puses ar \(0,3\).
\(n-1>\)\(\frac(19.3)(0.3)\)		Pārskaitām mīnus viens, neaizmirstot nomainīt zīmes
\(n>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) \(+1\)		Parēķināsim...
\(n>65 333…\)		...un izrādās, ka pirmajam pozitīvajam elementam būs skaitlis \(66\). Attiecīgi pēdējam negatīvajam ir \(n=65\). Katram gadījumam, pārbaudīsim šo.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1)·0,3=-0,1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19,3+(66-1)·0,3=0,2\)		Tāpēc mums jāpievieno pirmie \(65\) elementi.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19.3)+(65-1)0.3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38,6+19,2)(2)\)\(\cdot 65=-630,5\)		Atbilde ir gatava.

Atbilde: \(S_(65)=-630,5\).

Piemērs (OGE). Aritmētisko progresiju nosaka nosacījumi: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Atrodiet summu no \(26\) līdz elementam \(42\) ieskaitot.
Risinājums:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	Šajā uzdevumā jāatrod arī elementu summa, taču sākot nevis no pirmā, bet gan no \(26\)th. Šādam gadījumam mums nav formulas. Kā izlemt? Tas ir vienkārši — lai iegūtu summu no \(26\) līdz \(42\), vispirms jāatrod summa no \(1\) līdz \(42\) un pēc tam jāatņem. no tā summa no pirmās līdz \(25\)th (skat. attēlu).
	Mūsu progresijai \(a_1=-33\) un starpībai \(d=4\) (galu galā tie ir četri, ko mēs pievienojam iepriekšējam elementam, lai atrastu nākamo). Zinot to, mēs atrodam pirmo \(42\)-y elementu summu.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Tagad pirmo \(25\) elementu summa.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	Un visbeidzot mēs aprēķinām atbildi.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Atbilde: \(S=1683\).

Aritmētiskajai progresijai ir vēl vairākas formulas, kuras mēs šajā rakstā neņēmām vērā to zemās praktiskās lietderības dēļ. Tomēr jūs varat tos viegli atrast.