Il quadrato è la figura più semplice della geometria. È da questo, dal rettangolo e dal quadrato, che iniziano a studiare questo argomento. La capacità di risolvere i problemi con un quadrato ti aiuterà a padroneggiare materiali più complessi. Questo articolo ti spiegherà come trovare la diagonale di un quadrato.

La soluzione dei problemi geometrici è interessante perché possono essere risolti in diversi modi. Ogni metodo è interessante a modo suo. Non fa eccezione la diagonale di un quadrato, che può essere trovata in modi diretti e indiretti.

Come trovare la diagonale di un quadrato - formula

C'è abbastanza formula semplice per trovare la diagonale di un quadrato. Assomiglia a questo: a√2. a è il lato del quadrato. Ricorda che tutti i lati di un quadrato sono uguali. Quindi se conosci la dimensione di un lato, conosci la dimensione degli altri tre lati. Per trovare la diagonale di un quadrato devi moltiplicare il suo lato per la radice di due.

Esempio 1: Trova la diagonale di un quadrato se sa che il suo lato è 5.

Soluzione: Sostituendo il valore nella formula sopra, non è difficile indovinare che la diagonale sarà uguale a 5√2.

Esempio 2: Trova il lato di un quadrato se sai che la sua diagonale è 5√2.

Soluzione: La diagonale è indicata da un piccolo Lettera latina D. d = a√2. Pertanto, per trovare il lato che conosce la diagonale, è necessario dividere il valore della diagonale per la radice di due. Dopo aver eseguito questa azione, scopriamo il lato del quadrato, che in questo caso è uguale a 5.

Come trovare la diagonale di un quadrato passante per un triangolo rettangolo

Se disegni una diagonale in un quadrato, è facile vederne due triangolo rettangolo. Ricordiamo che un triangolo rettangolo ha un angolo retto. È costituito da due cateti (lati con un angolo di 90 gradi) e un'ipotenusa (opposta di 90 angolo di -gradi lati). Quadrato dell'ipotenusa pari alla somma quadrati di gambe. In questo caso l'ipotenusa è la diagonale del nostro quadrato. Poiché le gambe sono i lati del quadrato, la formula avrà vista successiva: d² = a² + a² = 2a². Ne consegue che d = √2a² = a√2.

Esempio 3: Trova la diagonale di un quadrato se il suo lato è 3.

Soluzione:

1. Sommando i quadrati dei lati otteniamo 18.
2. Contiamo la radice di 18 e otteniamo 3√2.

Nonostante l'ultimo metodo sia più lungo e alla fine ci ritroviamo con la formula del primo esempio, è necessario conoscerlo. In sostanza, questo metodo è una dimostrazione della formula per la diagonale di un quadrato. Questa è la prova che può arrivare in un esame o in una Olimpiade. Imparatelo bene perché potrà aiutarvi negli eventi sopra menzionati.

Calcolatore in linea

Sebbene risolvere tali problemi non sia difficile, alcuni studenti potrebbero dimenticare la formula. Per questi casi c'è calcolatore in linea, che permette di trovare la risposta corretta in base a quanto indicato nel problema. Per utilizzare questo servizio, seguire il collegamento.

1. Scorri la pagina e troverai il sottotitolo “trova la diagonale di un quadrato dato il lato.
2. Sotto questa sottovoce ci sarà una formula, dopo averla guardata non avrai bisogno di una calcolatrice.
3. Tuttavia, se non sei sicuro, inserisci il valore della lunghezza del quadrato nel campo, quindi fai clic sul pulsante "Calcola".
4. La calcolatrice ti darà la risposta corretta in 1 secondo.

Ora, conoscendo diversi modi per risolvere un problema su questo argomento, non dovrai sfogliare un libro di matematica alla ricerca della formula giusta, ma semplicemente utilizzare una calcolatrice online o gli esempi sopra riportati.

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Definizione.

Rettangoloè un quadrilatero in cui i due lati opposti sono uguali e tutti e quattro gli angoli sono uguali.

I rettangoli differiscono l'uno dall'altro solo nel rapporto tra il lato lungo e il lato corto, ma tutti e quattro gli angoli sono retti, cioè 90 gradi.

Si chiama il lato lungo di un rettangolo lunghezza del rettangolo, e quello corto - larghezza del rettangolo.

I lati di un rettangolo sono anche le sue altezze.

Proprietà fondamentali di un rettangolo

Un rettangolo può essere un parallelogramma, un quadrato o un rombo.

1. I lati opposti del rettangolo hanno la stessa lunghezza, cioè sono uguali:

AB = CD, BC = d.C

2. I lati opposti del rettangolo sono paralleli:

3. I lati adiacenti di un rettangolo sono sempre perpendicolari:

AB ┴ BC, BC ┴ CD, CD ┴ AD, AD ┴ AB

4. Tutti e quattro gli angoli del rettangolo sono diritti:

∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°

5. La somma degli angoli di un rettangolo è 360 gradi:

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°

6. Le diagonali di un rettangolo hanno la stessa lunghezza:

7. La somma dei quadrati della diagonale di un rettangolo è uguale alla somma dei quadrati dei lati:

2d2 = 2a2 + 2b2

8. Ciascuna diagonale di un rettangolo divide il rettangolo in due figure identiche, cioè triangoli rettangoli.

9. Le diagonali del rettangolo si intersecano e sono divise a metà nel punto di intersezione:

		AO=BO=CO=DO=	D
			2

10. Il punto di intersezione delle diagonali si chiama centro del rettangolo ed è anche centro della circonferenza circoscritta

11. La diagonale di un rettangolo è il diametro della circonferenza circoscritta

12. Puoi sempre descrivere un cerchio attorno a un rettangolo, poiché la somma degli angoli opposti è pari a 180 gradi:

∠ABC = ∠CDA = 180° ∠BCD = ∠DAB = 180°

13. Un cerchio non può essere inscritto in un rettangolo la cui lunghezza non è uguale alla larghezza, poiché le somme dei lati opposti non sono uguali tra loro (un cerchio può essere inscritto solo in caso speciale rettangolo - quadrato).

Lati di un rettangolo

Definizione.

Lunghezza del rettangolo chiama di più la lunghezza coppia lunga i suoi lati. Larghezza del rettangoloè la lunghezza della coppia più corta dei suoi lati.

Formule per determinare le lunghezze dei lati di un rettangolo

1. Formula per il lato di un rettangolo (lunghezza e larghezza del rettangolo) passante per la diagonale e l'altro lato:

un = √ d2 - b2

b = √ d2-a2

2. Formula per il lato di un rettangolo (lunghezza e larghezza del rettangolo) passante per l'area e l'altro lato:

b = dcos	β
	2

Diagonale di un rettangolo

Definizione.

Rettangolo diagonale Viene chiamato qualsiasi segmento che collega due vertici di angoli opposti di un rettangolo.

Formule per determinare la lunghezza della diagonale di un rettangolo

1. Formula per la diagonale di un rettangolo utilizzando due lati del rettangolo (tramite il teorema di Pitagora):

d = √ a2+b2

2. Formula per la diagonale di un rettangolo utilizzando l'area e qualsiasi lato:

4. Formula per la diagonale di un rettangolo in termini di raggio del cerchio circoscritto:

d = 2R

5. Formula per la diagonale di un rettangolo in termini di diametro della circonferenza circoscritta:

d = D o

6. Formula per la diagonale di un rettangolo utilizzando il seno dell'angolo adiacente alla diagonale e la lunghezza del lato opposto a questo angolo:

8. Formula per la diagonale di un rettangolo passante per il seno angolo acuto tra le diagonali e l'area del rettangolo

d = √2S: peccato β

Perimetro di un rettangolo

Definizione.

Perimetro di un rettangoloè la somma delle lunghezze di tutti i lati di un rettangolo.

Formule per determinare la lunghezza del perimetro di un rettangolo

1. Formula per il perimetro di un rettangolo utilizzando due lati del rettangolo:

P = 2a + 2b

P = 2(a+b)

2. Formula per il perimetro di un rettangolo utilizzando l'area e qualsiasi lato:

P=	2S+2a2	=	2S+2b2
	UN		B

3. Formula per il perimetro di un rettangolo utilizzando la diagonale e un lato qualsiasi:

P = 2(a + √ d2-a2) = 2(b + √ d2 - b2)

4. Formula per il perimetro di un rettangolo utilizzando il raggio della circonferenza circoscritta e qualsiasi lato:

P = 2(a + √4R 2 - un 2) = 2(b + √4R 2 - b2)

5. Formula per il perimetro di un rettangolo utilizzando il diametro della circonferenza circoscritta e qualsiasi lato:

P = 2(a + √D o 2 - un 2) = 2(b + √D o 2 - b2)

Area di un rettangolo

Definizione.

Area di un rettangolo chiamato lo spazio limitato dai lati del rettangolo, cioè entro il perimetro del rettangolo.

Formule per determinare l'area di un rettangolo

1. Formula per l'area di un rettangolo che utilizza due lati:

S = un b

2. Formula per l'area di un rettangolo utilizzando il perimetro e qualsiasi lato:

5. Formula per l'area di un rettangolo utilizzando il raggio della circonferenza circoscritta e qualsiasi lato:

S = a√4R 2 - un 2= b√4R2 - b2

6. Formula per l'area di un rettangolo utilizzando il diametro del cerchio circoscritto e qualsiasi lato:

S = a √D o 2 - un 2= b √D o 2 - b2

Cerchio circoscritto ad un rettangolo

Definizione.

Un cerchio circoscritto ad un rettangoloè un cerchio passante per i quattro vertici di un rettangolo, il cui centro si trova all'intersezione delle diagonali del rettangolo.

Formule per determinare il raggio di un cerchio circoscritto ad un rettangolo

1. Formula per il raggio di un cerchio circoscritto a un rettangolo passante per due lati:

Istruzioni

Determina la lunghezza della diagonale di un rettangolo con i lati 3 e 4 cm.

Trova la somma dei quadrati dei lati del rettangolo 32 + 42 = 9 + 16 = 25.

Estrai dal risultato Radice quadrata– lunghezza diagonale 5 cm.

Video sull'argomento

Nota

Le diagonali di un rettangolo sono uguali. Se viene trovata la lunghezza di uno, la lunghezza del secondo sarà esattamente la stessa.

Fonti:

• come trovare la lunghezza della diagonale in un rettangolo

Un quadrato è una figura geometrica piatta bella e semplice. Questo è un rettangolo con lati uguali. Come trovare diagonale piazza, se si conosce la lunghezza del suo lato?

Istruzioni

lunghezza diagonale piazza uguale alla lunghezza del suo lato moltiplicata per due.

Video sull'argomento

Consigli utili

Se l'accuratezza del risultato matematico non è molto importante, al posto della radice di due è possibile utilizzare il suo valore approssimativo di 1,41.

Suggerimento 6: come trovare la diagonale di un parallelogramma dati i lati

Un parallelogramma è un quadrilatero i cui lati opposti sono paralleli. Le rette che uniscono gli angoli opposti si chiamano diagonali. La loro lunghezza dipende non solo dalle lunghezze dei lati della figura, ma anche dai valori degli angoli ai vertici di questo poligono, quindi, senza conoscere almeno uno degli angoli, è possibile calcolare le lunghezze delle diagonali solo dentro casi eccezionali. Questi sono casi speciali di parallelogramma: un quadrato e un rettangolo.

Istruzioni

Se le lunghezze di tutti i lati di un parallelogramma sono uguali (a), allora questa figura può anche essere chiamata quadrato. I valori di tutti i suoi angoli sono 90°, e le lunghezze delle diagonali (L) sono le stesse e si calcolano utilizzando il teorema di Pitagora per un triangolo rettangolo. Moltiplica la lunghezza del lato per la radice di due: il risultato sarà la lunghezza di ciascuna delle sue diagonali: L=a*√2.

Se si sa di un parallelogramma che è un rettangolo con la lunghezza (a) e la larghezza (b) specificate, in questo caso le lunghezze delle diagonali (L) saranno uguali. E anche qui usa il teorema di Pitagora per un triangolo in cui l'ipotenusa è la diagonale e le gambe sono due lati adiacenti del quadrilatero. Calcola il valore richiesto estraendo la radice di quello quadrato e di quello rettangolare: L=√(a²+b²).

Per tutti gli altri casi, la sola conoscenza delle lunghezze dei lati è sufficiente solo per un valore che include contemporaneamente le lunghezze di entrambe le diagonali: la somma dei loro quadrati, per definizione, è uguale al doppio della somma dei quadrati delle lunghezze dei lati. Se l'angolo tra loro (γ) è noto anche per le lunghezze di due lati adiacenti del parallelogramma (aeb), ciò ci consentirà di calcolare le lunghezze di ciascun segmento che collega angoli opposti. Trova la lunghezza della diagonale (L₁) opposta a un angolo noto utilizzando il teorema del coseno: somma i quadrati delle lunghezze dei lati adiacenti, sottrai dal risultato il prodotto delle stesse lunghezze per il coseno dell'angolo compreso tra loro ed estrai la radice quadrata dal valore risultante: L₁ = √(a²+b² -2*a*b*cos(γ)). Per trovare la lunghezza dell'altra diagonale (L₂), puoi utilizzare la proprietà del parallelogramma data all'inizio di questo passaggio: raddoppia la somma dei quadrati delle lunghezze dei due lati, sottrai il quadrato della diagonale già calcolata dal risultato e prendi la radice dal valore risultante. IN vista generale questa formula può essere scritta come segue: L₂ = √(a²+b²- L₁²) = √(a²+b²-(a²+b²-2*a*b*cos(γ))) = √(a²+b²-a² -b² +2*a*b*cos(γ)) = √(2*a*b*cos(γ)).

Fonti:

• come trovare la lunghezza della diagonale di un parallelogramma

Possiamo chiamarlo un parallelogramma le cui diagonali dividono in due gli angoli ai vertici della figura. Oltre a questa proprietà della diagonale rombo sono notevoli per il fatto che sono assi di simmetria di un poligono, si intersecano solo ad angolo retto, e un unico punto comune divide ciascuno di essi in due segmenti uguali. Queste proprietà facilitano il calcolo della lunghezza di una delle diagonali se si conoscono la lunghezza dell'altra e qualche altro parametro della figura: dimensione del lato, angolo su uno dei vertici, area, ecc.

Istruzioni

Se, oltre alla lunghezza di uno dei (l), si sa del quadrilatero in questione che si tratta di un caso speciale rombo- quadrato, non sarà necessario effettuare calcoli. In questo caso, le lunghezze di entrambe le diagonali equiparano semplicemente il valore desiderato (L) a quello noto: L=l.

Conoscere la lunghezza del lato rombo(a) oltre alla lunghezza di una delle diagonali (l) consentirà la lunghezza dell'altra (L) secondo il teorema di Pitagora. Questo perché le due metà delle diagonali che si intersecano formano un lato rombo triangolo rettangolo. La metà delle diagonali in esso contenute sono cateti e il lato è l'ipotenusa, quindi l'uguaglianza derivante dal teorema di Pitagora può essere scritta come segue: a² = (l/2)² + (L/2)². Per utilizzarlo nei calcoli, convertirlo in questa forma: L = √(4*a²-l²).

Con un valore noto di uno degli angoli (α) rombo e la lunghezza di una delle diagonali (l) per trovare il valore dell'altra (L), consideriamo lo stesso triangolo rettangolo. La tangente di mezzo angolo noto in esso è il rapporto tra la lunghezza della gamba opposta - metà della diagonale l - e quella adiacente - metà della diagonale L: tan(α/2) = (l/2)/ (L/2) = l/L. Pertanto, per il valore desiderato, utilizzare la formula L = l/tg(α/2).

Se le condizioni problematiche danno la lunghezza del perimetro (P) rombo e la dimensione della sua diagonale (l), la formula per calcolare la lunghezza della seconda (L) può essere ridotta all'uguaglianza utilizzata nel secondo passaggio. Per fare ciò, dividi il perimetro per quattro e sostituisci la lunghezza del lato con questa espressione: L = √(4*(P/4)²-l²) = √(P²/4-l²).

Nelle condizioni iniziali, oltre alla lunghezza di una delle diagonali (l), si può dare anche l'area (S) della figura. Quindi calcolare la lunghezza della seconda diagonale rombo(L) usa un algoritmo molto semplice: raddoppia l'area e dividi il valore risultante per la lunghezza della diagonale nota: L = 2*S/l.

Contenuto:

Una diagonale è un segmento di linea che collega due vertici opposti di un rettangolo. Un rettangolo ha due diagonali uguali. Se si conoscono i lati di un rettangolo, la diagonale può essere trovata utilizzando il teorema di Pitagora perché la diagonale divide il rettangolo in due triangoli rettangoli. Se i lati non sono dati, ma si conoscono altre quantità, come l'area e il perimetro o le proporzioni, è possibile trovare i lati del rettangolo e quindi utilizzare il teorema di Pitagora per calcolare la diagonale.

Passi

1 Ai lati

1. 1 Scrivi il teorema di Pitagora. Formula: a2 + b2 = c2
2. 2 Sostituisci i valori dei lati nella formula. Sono dati nel problema o devono essere misurati. I valori laterali vengono sostituiti con un 3
   • Nel nostro esempio:
     4 2 + 3 2 = c 2 4

     2 Per area e perimetro

     1. 1 Formula: S = l w (Nella figura, al posto di S, viene utilizzata la designazione A.)
     2. 2 Questo valore sostituisce S 3 Riscrivi la formula per isolare w 4 Scrivi la formula per calcolare il perimetro di un rettangolo. Formula: P = 2 (w + l)
     3. 5 Sostituisci il perimetro del rettangolo nella formula. Questo valore sostituisce P 6 Dividi entrambi i membri dell'equazione per 2. Otterrai la somma dei lati del rettangolo, ovvero w + l 7 Sostituisci l'espressione per calcolare w 8 nella formula Sbarazzarsi della frazione. Per fare ciò, moltiplica entrambi i lati dell'equazione per l 9 Imposta l'equazione uguale a 0. Per fare ciò, sottrai il termine della variabile del primo ordine da entrambi i lati dell'equazione.
        • Nel nostro esempio:
          12 l = 35 + l 2 10 Ordina i termini dell'equazione. Il primo termine sarà il termine della variabile del secondo ordine, poi il termine della variabile del primo ordine e infine il termine libero. Allo stesso tempo, non dimenticare i segni (“più” e “meno”) che appaiono davanti ai membri. Si noti che l'equazione verrà scritta come un'equazione quadratica.
          • Nel nostro esempio 0 = 35 + l 2 − 12 l 11
            • Nel nostro esempio, l'equazione è 0 = l 2 − 12 l + 35 12 Trova l 13 Scrivi il teorema di Pitagora. Formula: a2 + b2 = c2
              • Usa il teorema di Pitagora perché ogni diagonale di un rettangolo lo divide in due triangoli rettangoli uguali. Inoltre, i lati del rettangolo sono i cateti del triangolo, e la diagonale del rettangolo è l'ipotenusa del triangolo.
            • 14 Questi valori vengono sostituiti con 15 Quadrata la lunghezza e la larghezza, quindi somma i risultati. Ricorda che quando elevi al quadrato un numero, questo si moltiplica per se stesso.
              • Nel nostro esempio:
                5 2 + 7 2 = c 2 16 Prendi la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione. Usa una calcolatrice per trovare rapidamente la radice quadrata. Puoi anche utilizzare un calcolatore online. Troverai c

                3 Per area e proporzioni

                1. 1 Scrivi un'equazione che caratterizza il rapporto tra i lati. Isolare l 2 Scrivi la formula per calcolare l'area di un rettangolo. Formula: S = l w (Nella figura, al posto di S, viene utilizzata la designazione A.)
                   • Questo metodo è applicabile anche quando è noto il perimetro del rettangolo, ma in questo caso è necessario utilizzare la formula per calcolare il perimetro, non l'area. Formula per calcolare il perimetro di un rettangolo: P = 2 (w + l)
                2. 3 Sostituisci l'area del rettangolo nella formula. Questo valore sostituisce S 4 Nella formula, sostituire un'espressione che caratterizza il rapporto tra le parti. Nel caso di un rettangolo, puoi sostituire un'espressione per calcolare l 5 Scrivilo equazione quadrata. Per fare ciò, apri le parentesi e imposta l'equazione uguale a zero.
                   • Nel nostro esempio:
                     35 = w(w+2)6 Fattorizzare l'equazione quadratica. Ottenere istruzioni dettagliate, Leggere.
                     • Nel nostro esempio, l'equazione è 0 = w 2 − 12 w + 35 7 Trova w 8 Sostituisci la larghezza (o lunghezza) trovata nell'equazione che caratterizza le proporzioni. In questo modo puoi trovare l'altro lato del rettangolo.
                       • Ad esempio, se calcoli che la larghezza di un rettangolo è 5 cm e le proporzioni sono date dall'equazione l = w + 2 9 Scrivi il teorema di Pitagora. Formula: a2 + b2 = c2
                         • Usa il teorema di Pitagora perché ogni diagonale di un rettangolo lo divide in due triangoli rettangoli uguali. Inoltre, i lati del rettangolo sono i cateti del triangolo, e la diagonale del rettangolo è l'ipotenusa del triangolo.
                       • 10 Sostituisci i valori di lunghezza e larghezza nella formula. Questi valori vengono sostituiti con un 11 Quadrata la lunghezza e la larghezza, quindi somma i risultati. Ricorda che quando elevi al quadrato un numero, questo si moltiplica per se stesso.
                         • Nel nostro esempio:
                           5 2 + 7 2 = c 2 12 Prendi la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione. Usa una calcolatrice per trovare rapidamente la radice quadrata. Puoi anche utilizzare un calcolatore online. Troverai c (displaystyle c), cioè l'ipotenusa del triangolo, e quindi la diagonale del rettangolo.
                           • Nel nostro esempio:
                             74 = c 2 (stile display 74=c^(2))
                             74 = c 2 (stile display (sqrt (74))=(sqrt (c^(2))))
                             8 , 6024 = c (stile display 8,6024=c)
                             Pertanto, la diagonale di un rettangolo la cui lunghezza è 2 cm maggiore della larghezza e la cui area è 35 cm 2 è circa 8,6 cm.