In matematica esiste il limite di una funzione. Per capire come trovare i limiti occorre ricordare la definizione di limite di una funzione: una funzione f(x) ha limite L in un punto x = a se per ogni sequenza di valori di x che converge al punto a, la sequenza dei valori di y si avvicina:

• Llim f(x) = L

Concetto e proprietà dei limiti

Cos'è un limite lo si capisce da un esempio. Supponiamo di avere la funzione y=1/x. Se aumentiamo costantemente il valore di x e guardiamo a cosa è uguale y, otterremo valori sempre più decrescenti: a x=10000 y=1/10000; a x=1000000 y=1/1000000. Quelli. più x, meno y. Se x=∞, y sarà così piccolo da poter essere considerato uguale a 0. Pertanto, il limite della funzione y=1/x quando x tende a ∞ è uguale a 0. Si scrive così:

• lim1/х=0

Il limite di una funzione ha diverse proprietà che è necessario ricordare: ciò faciliterà notevolmente la risoluzione dei problemi sulla ricerca dei limiti:

• Limite di importo pari alla somma limiti: lim(x+y)=lim x+lim y
• Limite del prodotto uguale al prodotto limiti: lim(xy)=lim x*lim y
• Il limite del quoziente è uguale al quoziente dei limiti: lim(x/y)=lim x/lim y
• Il fattore costante viene tolto dal segno limite: lim(Cx)=C lim x

La funzione y=1/x, in cui x→∞, ha limite pari a zero; per x→0, il limite è pari a ∞.

• lim (sen x)/x=1 x→0

Abbiamo capito le funzioni elementari di base.

Quando si passa alle funzioni più tipo complesso incontreremo sicuramente la comparsa di espressioni il cui significato non è definito. Tali espressioni sono chiamate incertezze.

Elenchiamo tutto principali tipologie di incertezze: zero diviso zero (0 per 0), infinito diviso per infinito, zero moltiplicato per infinito, infinito meno infinito, uno alla potenza dell'infinito, zero alla potenza di zero, infinito alla potenza di zero.

TUTTE LE ALTRE ESPRESSIONI DI INCERTEZZA NON SONO ED ASSUMONO UN VALORE FINITO O INFINITO COMPLETAMENTE SPECIFICO.

Scopri l'incertezza consente:

• semplificare la forma di una funzione (trasformare un'espressione utilizzando formule di moltiplicazione abbreviate, formule trigonometriche, moltiplicazione per espressioni coniugate seguita da riduzione, ecc.);
• utilizzo di limiti notevoli;
• applicazione della regola di L'Hopital;
• utilizzando la sostituzione di un'espressione infinitesima con la sua equivalente (utilizzando una tabella di infinitesimi equivalenti).

Raggruppiamo le incertezze in tabella delle incertezze. Ad ogni tipologia di incertezza associamo un metodo per la sua divulgazione (metodo di ricerca del limite).

Questa tabella, insieme alla tabella dei limiti delle funzioni elementari di base, saranno i tuoi strumenti principali per trovare eventuali limiti.

Facciamo un paio di esempi in cui tutto funziona subito dopo aver sostituito il valore e non si presenta alcuna incertezza.

Esempio.

Calcola limite

Soluzione.

Sostituisci il valore:

E abbiamo subito ricevuto una risposta.

Risposta:

Esempio.

Calcola limite

Soluzione.

Sostituiamo il valore x=0 nella base della nostra funzione di potenza esponenziale:

Cioè, il limite può essere riscritto come

Ora diamo un'occhiata all'indicatore. Questa è una funzione di potenza. Facciamo riferimento alla tabella dei limiti per funzioni di potere con un indicatore negativo. Da lì abbiamo E , quindi, possiamo scrivere .

In base a ciò, il nostro limite sarà scritto come:

Torniamo nuovamente alla tabella dei limiti, ma per funzioni esponenziali con base maggiore di uno, da cui si ha:

Risposta:

Diamo un'occhiata ad esempi con soluzioni dettagliate Scoprire le incertezze trasformando le espressioni.

Molto spesso l'espressione sotto il segno limite necessita di essere leggermente trasformata per eliminare le incertezze.

Esempio.

Calcola limite

Soluzione.

Sostituisci il valore:

Siamo arrivati ​​all’incertezza. Esaminiamo la tabella delle incertezze per selezionare un metodo di soluzione. Proviamo a semplificare l'espressione.

Risposta:

Esempio.

Calcola limite

Soluzione.

Sostituisci il valore:

Siamo arrivati ​​all'incertezza (da 0 a 0). Osserviamo la tabella delle incertezze per scegliere un metodo di soluzione e proviamo a semplificare l'espressione. Moltiplichiamo sia il numeratore che il denominatore per l'espressione coniugata al denominatore.

Per il denominatore l'espressione coniugata sarà

Abbiamo moltiplicato il denominatore in modo da poter applicare la formula di moltiplicazione abbreviata - differenza dei quadrati e quindi ridurre l'espressione risultante.

Dopo una serie di trasformazioni, l’incertezza è scomparsa.

Risposta:

COMMENTO: Per limiti di questo tipo è tipico il metodo della moltiplicazione per espressioni coniugate, quindi sentitevi liberi di usarlo.

Esempio.

Calcola limite

Soluzione.

Sostituisci il valore:

Siamo arrivati ​​all’incertezza. Osserviamo la tabella delle incertezze per scegliere un metodo di soluzione e proviamo a semplificare l'espressione. Poiché sia ​​il numeratore che il denominatore si annullano in x = 1, utilizzando queste espressioni sarà possibile ridurre (x-1) e l'incertezza scomparirà.

Fattorizziamo il numeratore:

Fattorizziamo il denominatore:

Il nostro limite assumerà la forma:

Dopo la trasformazione, l’incertezza si è rivelata.

Risposta:

Consideriamo i limiti all'infinito dalle espressioni di potere. Se gli esponenti dell'espressione della potenza sono positivi, allora il limite all'infinito è infinito. Inoltre il grado maggiore è di primaria importanza; il resto può essere scartato.

Esempio.

Esempio.

Se l'espressione sotto il segno limite è una frazione, e sia il numeratore che il denominatore sono espressioni di potenza (m è la potenza del numeratore e n è la potenza del denominatore), allora quando un'incertezza della forma da infinito a infinito sorge, in questo caso si rivela l’incertezza dividendo sia il numeratore che il denominatore per

Esempio.

Calcola limite

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Immettere un'espressione di funzione

Calcola limite

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Una piccola teoria.

Limite della funzione a x->x 0

Sia definita la funzione f(x) su un insieme X e sia il punto \(x_0 \in X\) o \(x_0 \notin X\)

Prendiamo da X una successione di punti diversi da x 0:
x1, x2, x3, ..., xn, ... (1)
convergente a x*. Anche i valori della funzione nei punti di questa sequenza formano una sequenza numerica
f(x 1), f(x 2), f(x 3), ..., f(x n), ... (2)
e si può sollevare la questione dell'esistenza del suo limite.

Definizione. Il numero A è detto limite della funzione f(x) nel punto x = x 0 (o in x -> x 0), se per qualsiasi sequenza (1) di valori dell'argomento x diversi da x 0 convergendo a x 0, la corrispondente sequenza (2) di funzioni valori converge al numero A.

$$ \lim_(x\to x_0)( f(x)) = A $$

La funzione f(x) può avere un solo limite nel punto x 0. Ciò deriva dal fatto che la sequenza
(f(x n)) ha un solo limite.

Esiste un'altra definizione di limite di una funzione.

Definizione Il numero A si dice limite della funzione f(x) nel punto x = x 0 se per ogni numero \(\varepsilon > 0\) esiste un numero \(\delta > 0\) tale che per tutti \ (x \in X, \; x \neq x_0 \), soddisfacendo la disuguaglianza \(|x-x_0| Utilizzando simboli logici, questa definizione può essere scritta come
\((\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x \in X, \; x \neq x_0, \; |x-x_0| Notare che le disuguaglianze \(x \neq x_0 , \; |x-x_0|. La prima definizione si basa sul concetto di limite di una sequenza numerica, per questo è spesso chiamata la definizione “nel linguaggio delle sequenze”. \(\varepsilon - \delta \)”.
Queste due definizioni del limite di una funzione sono equivalenti ed è possibile utilizzarne una a seconda di quale sia più conveniente per risolvere un particolare problema.

Si noti che la definizione del limite di una funzione “nel linguaggio delle successioni” è anche chiamata definizione del limite di una funzione secondo Heine, e la definizione del limite di una funzione “nel linguaggio \(\varepsilon - \delta \)” è detta anche definizione del limite di una funzione secondo Cauchy.

Limite della funzione in x->x 0 - e in x->x 0 +

Nel seguito utilizzeremo i concetti di limiti unilaterali di una funzione, che sono definiti come segue.

Definizione Il numero A è detto limite destro (sinistro) della funzione f(x) nel punto x 0 se per qualsiasi successione (1) convergente a x 0, i cui elementi x n sono maggiori (minori) di x 0, il la sequenza corrispondente (2) converge ad A.

Simbolicamente è scritto così:
$$ \lim_(x \to x_0+) f(x) = A \; \left(\lim_(x \to x_0-) f(x) = A \right) $$

Possiamo dare una definizione equivalente di limiti unilaterali di una funzione “nel linguaggio \(\varepsilon - \delta \)”:

Definizione un numero A è detto limite destro (sinistro) della funzione f(x) nel punto x 0 se per ogni \(\varepsilon > 0\) esiste \(\delta > 0\) tale che per ogni x soddisfacente le disuguaglianze \(x_0 Voci simboliche:

\((\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x, \; x_0

Limite di una funzione all'infinito:
|f(x) - a|< ε при |x| >N

Determinazione del limite di Cauchy
Sia la funzione f (X)è definito in un certo intorno del punto all'infinito, con |x| > Il numero a è chiamato limite della funzione F (X) con x tendente all'infinito (), eventualmente, per quanto piccolo numero positivo ε > 0 , esiste un numero N ε >K, dipendente da ε, che per ogni x, |x| > N ε, i valori della funzione appartengono al quartiere ε del punto a:
|f (x)-a|< ε .
Il limite di una funzione all'infinito è indicato come segue:
.
O a .

Viene spesso utilizzata anche la seguente notazione:
.

Scriviamo questa definizione utilizzando i simboli logici dell'esistenza e dell'universalità:
.
Ciò presuppone che i valori appartengano al dominio della funzione.

Limiti unilaterali

Limite sinistro di una funzione all'infinito:
|f(x) - a|< ε при x < -N

Ci sono spesso casi in cui una funzione è definita solo per positivo o valori negativi variabile x (più precisamente in prossimità del punto o ). Inoltre, possono avere limiti all'infinito per valori positivi e negativi di x significati diversi. Quindi vengono utilizzati i limiti unilaterali.

Limite sinistro all'infinito oppure il limite per x tende a meno infinito () è definito come segue:
.
Limite destro all'infinito oppure il limite per cui x tende a più infinito ():
.
I limiti unilaterali all'infinito sono spesso indicati come segue:
; .

Limite infinito di una funzione all'infinito

Limite infinito di una funzione all'infinito:
|f(x)| > M per |x| >N

Definizione di limite infinito secondo Cauchy
Sia la funzione f (X)è definito in un certo intorno del punto all'infinito, con |x| > K, dove K è un numero positivo. Limite della funzione f (X) poiché x tende all'infinito (), è uguale all'infinito, se non altro, arbitrariamente elevato numero M > 0 , esiste un tale numero N M >K, dipendente da M, che per ogni x, |x| > N M , i valori della funzione appartengono all'intorno del punto all'infinito:
|f (x) | >M.
Il limite infinito per x tende all'infinito è indicato come segue:
.
O a .

Utilizzando i simboli logici dell'esistenza e dell'universalità, la definizione del limite infinito di una funzione può essere scritta come segue:
.

Allo stesso modo, vengono introdotte le definizioni di limiti infiniti di certi segni uguali a e :
.
.

Definizioni di limiti unilaterali all'infinito.
Limiti di sinistra.
.
.
.
Giusti limiti.
.
.
.

Determinazione del limite di una funzione secondo Heine

Sia la funzione f (X) definito in alcuni intorno di un punto all'infinito X 0 , dove o o .
Il numero a (finito o all'infinito) è chiamato limite della funzione f (X) al punto x 0 :
,
se per qualsiasi sequenza (xn), convergente a x 0 : ,
i cui elementi appartengono all'intorno, sequenza (f(xn)) converge a:
.

Se prendiamo come intorno l'intorno di un punto senza segno all'infinito: , allora otteniamo la definizione del limite di una funzione quando x tende all'infinito, . Se prendiamo un intorno del punto x a sinistra o a destra all'infinito 0 : oppure , allora otteniamo la definizione del limite poiché x tende rispettivamente a meno infinito e più infinito.

Definizioni di limite secondo Heine e Cauchy equivalente.

Esempi

Esempio 1

Usando la definizione di Cauchy per dimostrarlo
.

Introduciamo la seguente notazione:
.
Troviamo il dominio di definizione della funzione. Poiché il numeratore e il denominatore della frazione sono polinomi, la funzione è definita per tutti gli x tranne i punti in cui il denominatore svanisce. Troviamo questi punti. Decidiamo equazione quadrata. ;
.
Radici dell'equazione:
; .
Da allora e .
Pertanto, la funzione è definita in . Lo useremo più tardi.

Scriviamo la definizione di limite finito di una funzione all'infinito secondo Cauchy:
.
Trasformiamo la differenza:
.
Dividi numeratore e denominatore per e moltiplica per -1 :
.

Permettere .
Poi
;
;
;
.

Quindi, abbiamo scoperto che quando,
.
.
Ne consegue che
a , e .

Dato che puoi sempre aumentarlo, prendiamo . Allora per chiunque,
A .
Significa che .

Esempio 2

Permettere .
Utilizzando la definizione di limite di Cauchy, dimostrare che:
1) ;
2) .

1) Soluzione poiché x tende a meno infinito

Poiché , la funzione è definita per tutti gli x.
Scriviamo la definizione del limite di una funzione pari a meno infinito:
.

Permettere . Poi
;
.

Quindi, abbiamo scoperto che quando,
.
Inserisci numeri positivi e:
.
Ne consegue che per ogni numero positivo M esiste un numero, quindi per ,
.

Significa che .

2) Soluzione poiché x tende a più infinito

Trasformiamo la funzione originale. Moltiplica il numeratore e il denominatore della frazione per e applica la formula della differenza dei quadrati:
.
Abbiamo:

.
Scriviamo la definizione del limite destro della funzione in:
.

Introduciamo la notazione: .
Trasformiamo la differenza:
.
Moltiplicare numeratore e denominatore per:
.

Permettere
.
Poi
;
.

Quindi, abbiamo scoperto che quando,
.
Inserisci numeri positivi e:
.
Ne consegue che
a e .

Poiché questo vale per qualsiasi numero positivo, allora
.

Riferimenti:
CM. Nikolsky. BENE analisi matematica. Volume 1. Mosca, 1983.