Calcolatrice online. Semplificazione di un polinomio. Come usare le parentesi semplici

L'espansione delle parentesi è un tipo di trasformazione dell'espressione. In questa sezione descriveremo le regole per aprire le parentesi e vedremo anche gli esempi di problemi più comuni.

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Cos'è l'apertura delle parentesi?

Le parentesi vengono utilizzate per indicare l'ordine in cui le azioni vengono eseguite nelle espressioni numeriche, letterali e variabili. È conveniente passare da un'espressione con parentesi a un'espressione identicamente uguale senza parentesi. Ad esempio, sostituisci l'espressione 2 · (3 + 4) con un'espressione della forma 23+24 senza parentesi. Questa tecnica è chiamata parentesi aperte.

Definizione 1

L'espansione delle parentesi si riferisce alle tecniche per eliminare le parentesi e viene solitamente considerata in relazione alle espressioni che possono contenere:

i segni “+” o “-” prima delle parentesi contenenti somme o differenze;
il prodotto di un numero, lettera o più lettere e la somma o differenza, che viene posta tra parentesi.

Questo è il modo in cui siamo abituati a considerare il processo di apertura delle parentesi nel corso curriculum scolastico. Tuttavia, nessuno ci impedisce di considerare questa azione in modo più ampio. Possiamo chiamare parentesi aprendo la transizione da un'espressione che contiene numeri negativi tra parentesi a un'espressione che non ha parentesi. Ad esempio, possiamo andare da 5 + (− 3) − (− 7) a 5 − 3 + 7. In effetti anche questa è un'apertura di parentesi.

Allo stesso modo possiamo sostituire il prodotto delle espressioni tra parentesi della forma (a + b) · (c + d) con la somma a · c + a · d + b · c + b · d. Anche questa tecnica non contraddice il significato di aprire parentesi.

Ecco un altro esempio. Possiamo supporre che qualsiasi espressione possa essere utilizzata nelle espressioni invece di numeri e variabili. Ad esempio, l'espressione x 2 · 1 a - x + sin (b) corrisponderà a un'espressione senza parentesi della forma x 2 · 1 a - x 2 · x + x 2 · sin (b).

Un altro punto merita un'attenzione speciale, che riguarda le peculiarità della registrazione delle decisioni all'apertura delle parentesi. Possiamo scrivere l'espressione iniziale tra parentesi e il risultato ottenuto dopo aver aperto le parentesi come un'uguaglianza. Ad esempio, dopo aver espanso le parentesi invece dell'espressione 3 − (5 − 7) otteniamo l'espressione 3 − 5 + 7 . Possiamo scrivere entrambe queste espressioni come l'uguaglianza 3 − (5 − 7) = 3 − 5 + 7.

L'esecuzione di azioni con espressioni complesse può richiedere la registrazione di risultati intermedi. Allora la soluzione avrà la forma di una catena di uguaglianze. Per esempio, 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − (3 − 2 + 1) = 5 − 3 + 2 − 1 O 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − 3 + (2 − 1) = 5 − 3 + 2 − 1 .

Regole per aprire le parentesi, esempi

Cominciamo a guardare le regole per aprire le parentesi.

Per i singoli numeri tra parentesi

I numeri negativi tra parentesi si trovano spesso nelle espressioni. Ad esempio, (- 4) e 3 + (- 4) . Anche i numeri positivi tra parentesi hanno un posto.

Formuliamo una regola per aprire parentesi contenenti singoli numeri positivi. Supponiamo che a sia un numero positivo qualsiasi. Quindi possiamo sostituire (a) con a, + (a) con + a, - (a) con – a. Se invece di a prendiamo un numero specifico, secondo la regola: il numero (5) verrà scritto come 5 , l'espressione 3 + (5) senza parentesi assumerà la forma 3 + 5 , poiché + (5) è sostituito da + 5 e l'espressione 3 + (− 5) è equivalente all'espressione 3 − 5 , Perché + (− 5) è sostituito da − 5 .

I numeri positivi vengono solitamente scritti senza l'uso delle parentesi, poiché in questo caso le parentesi non sono necessarie.

Consideriamo ora la regola per aprire parentesi che contengono un singolo numero negativo. + (- un) sostituiamo con − a, − (− a) è sostituito da + a. Se l'espressione inizia con un numero negativo (- un), che è scritto tra parentesi, quindi le parentesi vengono omesse e invece (- un) resti − a.

Ecco alcuni esempi: (− 5) può essere scritto come − 5, (− 3) + 0, 5 diventa − 3 + 0, 5, 4 + (− 3) diventa 4 − 3 , e − (− 4) − (− 3) dopo aver aperto le parentesi assume la forma 4 + 3, poiché − (− 4) e − (− 3) è sostituito da + 4 e + 3 .

Dovrebbe essere chiaro che l'espressione 3 · (− 5) non può essere scritta come 3 · − 5. Questo sarà discusso nei paragrafi seguenti.

Vediamo su cosa si basano le regole per l'apertura delle parentesi.

Secondo la regola, la differenza a − b è uguale a a + (− b) . Sulla base delle proprietà delle azioni con i numeri, possiamo creare una catena di uguaglianze (a + (− b)) + b = a + ((− b) + b) = a + 0 = a il che sarà giusto. Questa catena di uguaglianze, in virtù del significato di sottrazione, dimostra che l'espressione a + (− b) è la differenza un - b.

Basato sulle proprietà dei numeri opposti e sulle regole di sottrazione numeri negativi possiamo affermare che − (− a) = a, a − (− b) = a + b.

Esistono espressioni composte da un numero, segni meno e diverse coppie di parentesi. L'utilizzo delle regole di cui sopra consente di eliminare in sequenza le parentesi, spostandosi dalle parentesi interne a quelle esterne o nella direzione opposta. Un esempio di tale espressione sarebbe − (− ((− (5)))) . Apriamo le parentesi, spostandoci dall'interno verso l'esterno: − (− ((− (5)))) = − (− ((− 5))) = − (− (− 5)) = − (5) = − 5 . Questo esempio può essere analizzato anche nella direzione opposta: − (− ((− (5)))) = ((− (5))) = (− (5)) = − (5) = − 5 .

Sotto UN e b possono essere intesi non solo come numeri, ma anche come numerici arbitrari o espressioni letterali con un segno "+" davanti, che non sono somme o differenze. In tutti questi casi, puoi applicare le regole nello stesso modo in cui abbiamo fatto per i singoli numeri tra parentesi.

Ad esempio, dopo aver aperto le parentesi l'espressione − (− 2 x) − (x 2) + (− 1 x) − (2 x y 2: z) assumerà la forma 2 · x − x 2 − 1 x − 2 · x · y 2: z . Come lo abbiamo fatto? Sappiamo che − (− 2 x) è + 2 x, e poiché questa espressione viene prima, allora + 2 x può essere scritto come 2 x, − (x2) = − x2, + (− 1 x) = − 1 x e − (2 x y 2: z) = − 2 x y 2: z.

Nei prodotti di due numeri

Cominciamo con la regola per aprire le parentesi nel prodotto di due numeri.

Supponiamolo UN e b è due numeri positivi. In questo caso, il prodotto di due numeri negativi − a e − b della forma (− a) · (− b) possiamo sostituire con (a · b) , e i prodotti di due numeri con segni opposti della forma (− a) · b e a · (− b) può essere sostituito con (- a b). Moltiplicare un meno per un meno dà un più, e moltiplicare un meno per un più, come moltiplicare un più per un meno dà un meno.

La correttezza della prima parte della regola scritta è confermata dalla regola per moltiplicare i numeri negativi. Per confermare la seconda parte della regola, possiamo utilizzare le regole per moltiplicare i numeri con segni diversi.

Diamo un'occhiata ad alcuni esempi.

Esempio 1

Consideriamo un algoritmo per aprire parentesi nel prodotto di due numeri negativi - 4 3 5 e - 2, della forma (- 2) · - 4 3 5. Per fare ciò, sostituisci l'espressione originale con 2 · 4 3 5 . Apriamo le parentesi e otteniamo 2 · 4 3 5 .

E se prendiamo il quoziente dei numeri negativi (- 4) : (- 2), la voce dopo l'apertura delle parentesi sarà simile a 4: 2

Al posto dei numeri negativi − a e − b può essere qualsiasi espressione preceduta da un segno meno che non sia somma o differenza. Ad esempio, possono essere prodotti, quozienti, frazioni, potenze, radici, logaritmi, funzioni trigonometriche ecc.

Apriamo le parentesi nell'espressione - 3 · x x 2 + 1 · x · (- ln 5) . Secondo la regola possiamo effettuare le seguenti trasformazioni: - 3 x x 2 + 1 x (- ln 5) = - 3 x x 2 + 1 x ln 5 = 3 x x 2 + 1 x ln 5.

Espressione (-3) 2 può essere convertito nell'espressione (− 3 2) . Successivamente puoi espandere le parentesi: − 3 2.

2 3 · - 4 5 = - 2 3 · 4 5 = - 2 3 · 4 5

La divisione dei numeri con segni diversi può anche richiedere l'espansione preliminare delle parentesi: (− 5) : 2 = (− 5: 2) = − 5: 2 e 2 3 4: (- 3, 5) = - 2 3 4: 3, 5 = - 2 3 4: 3, 5.

La regola può essere utilizzata per eseguire moltiplicazioni e divisioni di espressioni con segni diversi. Facciamo due esempi.

1 x + 1: x - 3 = - 1 x + 1: x - 3 = - 1 x + 1: x - 3

peccato (x) (- x 2) = (- peccato (x) x 2) = - peccato (x) x 2

Nei prodotti di tre o più numeri

Passiamo ai prodotti e ai quozienti che contengono Di più numeri. Per aprire le parentesi, qui verrà applicata la seguente regola. A numero pari Per i numeri negativi, puoi omettere le parentesi e sostituire i numeri con i loro opposti. Successivamente, è necessario racchiudere l'espressione risultante tra nuove parentesi. Se c'è un numero dispari di numeri negativi, ometti le parentesi e sostituisci i numeri con i loro opposti. Successivamente l'espressione risultante deve essere racchiusa tra nuove parentesi e preceduta da un segno meno.

Esempio 2

Ad esempio, prendi l'espressione 5 · (− 3) · (− 2) , che è il prodotto di tre numeri. Ci sono due numeri negativi, quindi possiamo scrivere l'espressione come (5 · 3 · 2) e infine aprire le parentesi, ottenendo l'espressione 5 · 3 · 2.

Nel prodotto (− 2, 5) · (− 3) : (− 2) · 4: (− 1, 25) : (− 1) cinque numeri sono negativi. quindi (− 2, 5) · (− 3) : (− 2) · 4: (− 1, 25) : (− 1) = (− 2, 5 · 3: 2 · 4: 1, 25: 1) . Dopo aver finalmente aperto le parentesi, otteniamo −2,5 3:2 4:1,25:1.

La regola di cui sopra può essere giustificata come segue. Innanzitutto, possiamo riscrivere tali espressioni come un prodotto, sostituendole con la moltiplicazione per numero reciproco divisione. Rappresentiamo ciascun numero negativo come il prodotto di un numero moltiplicativo e - 1 o - 1 viene sostituito da (-1) a.

Usando la proprietà commutativa della moltiplicazione, scambiamo i fattori e trasferiamo tutti i fattori uguali a − 1 , all'inizio dell'espressione. Il prodotto di un numero pari meno uno è uguale a 1, mentre il prodotto di un numero dispari è uguale a − 1 , che ci permette di usare il segno meno.

Se non utilizzassimo la regola, la catena di azioni per aprire le parentesi nell'espressione - 2 3: (- 2) · 4: - 6 7 sarebbe simile a questa:

2 3: (- 2) 4: - 6 7 = - 2 3 - 1 2 4 - 7 6 = = (- 1) 2 3 (- 1) 1 2 4 (- 1 ) · 7 6 = = (- 1 ) · (- 1) · (- 1) · 2 3 · 1 2 · 4 · 7 6 = (- 1) · 2 3 · 1 2 · 4 · 7 6 = = - 2 3 1 2 4 7 6

La regola precedente può essere utilizzata quando si aprono parentesi in espressioni che rappresentano prodotti e quozienti con un segno meno che non sono somme o differenze. Prendiamo ad esempio l'espressione

x 2 · (- x) : (- 1 x) · x - 3: 2 .

Si può ridurre all'espressione senza parentesi x 2 · x: 1 x · x - 3: 2.

Parentesi espandibili precedute da un segno +

Considera una regola che può essere applicata per espandere le parentesi precedute da un segno più e il "contenuto" di tali parentesi non viene moltiplicato o diviso per alcun numero o espressione.

Secondo la regola, le parentesi, insieme al segno che le precede, vengono omesse, mentre vengono conservati i segni di tutti i termini tra parentesi. Se non c'è alcun segno prima del primo termine tra parentesi, è necessario inserire un segno più.

Esempio 3

Ad esempio, diamo l'espressione (12 − 3 , 5) − 7 . Omettendo le parentesi, manteniamo i segni dei termini tra parentesi e mettiamo il segno più davanti al primo termine. La voce sarà simile a (12 − 3, 5) − 7 = + 12 − 3, 5 − 7. Nell'esempio riportato non è necessario anteporre il segno al primo termine, poiché + 12 − 3, 5 − 7 = 12 − 3, 5 − 7.

Esempio 4

Diamo un'occhiata a un altro esempio. Prendiamo l'espressione x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x ed eseguiamo con essa le azioni x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x = = x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x

Ecco un altro esempio di espansione delle parentesi:

Esempio 5

2 + x 2 + 1 x - x y z + 2 x - 1 + (- 1 + x - x 2) = = 2 + x 2 + 1 x - x y z + 2 x - 1 - 1 + x + x 2

Come si espandono le parentesi precedute dal segno meno?

Consideriamo i casi in cui è presente un segno meno davanti alle parentesi e che non vengono moltiplicate (o divise) per alcun numero o espressione. Secondo la regola per aprire le parentesi precedute dal segno “-”, le parentesi con il segno “-” vengono omesse e i segni di tutti i termini all’interno delle parentesi vengono invertiti.

Esempio 6

Per esempio:

1 2 = 1 2 , - 1 x + 1 = - 1 x + 1 , - (- x 2) = x 2

Le espressioni con variabili possono essere convertite utilizzando la stessa regola:

X + x 3 - 3 - - 2 x 2 + 3 x 3 x + 1 x - 1 - x + 2,

otteniamo x - x 3 - 3 + 2 · x 2 - 3 · x 3 · x + 1 x - 1 - x + 2 .

Apertura di parentesi quando si moltiplica un numero per una parentesi, espressioni per parentesi

Qui esamineremo i casi in cui è necessario espandere le parentesi moltiplicate o divise per un numero o un'espressione. Formule della forma (a 1 ± a 2 ± … ± a n) b = (a 1 b ± a 2 b ± … ± a n b) oppure b · (a 1 ± a 2 ± … ± a n) = (b · a 1 ± b · a 2 ± … ± b · a n), Dove un 1, un 2, …, un n e b sono alcuni numeri o espressioni.

Esempio 7

Ad esempio, espandiamo le parentesi nell'espressione (3-7)2. Secondo la regola possiamo effettuare le seguenti trasformazioni: (3 − 7) · 2 = (3 · 2 − 7 · 2) . Otteniamo 3 · 2 − 7 · 2 .

Aprendo le parentesi nell'espressione 3 x 2 1 - x + 1 x + 2, otteniamo 3 x 2 1 - 3 x 2 x + 3 x 2 1 x + 2.

Moltiplicazione parentesi per parentesi

Consideriamo il prodotto di due parentesi della forma (a 1 + a 2) · (b 1 + b 2) . Questo ci aiuterà a ottenere una regola per l'apertura delle parentesi quando si esegue la moltiplicazione parentesi per parentesi.

Per risolvere l'esempio fornito, denotiamo l'espressione (b1 + b2) come b. Questo ci permetterà di usare la regola per moltiplicare una parentesi per un'espressione. Otteniamo (a 1 + a 2) · (b 1 + b 2) = (a 1 + a 2) · b = (a 1 · b + a 2 · b) = a 1 · b + a 2 · b. Eseguendo una sostituzione inversa B per (b 1 + b 2), applica nuovamente la regola di moltiplicare un'espressione per una parentesi: a 1 b + a 2 b = = a 1 (b 1 + b 2) + a 2 (b 1 + b 2) = = (a 1 b 1 + a 1 b 2) + (a 2 b 1 + a 2 b 2) = = a 1 b 1 + a 1 b 2 + a 2 b 1 + a 2 b 2

Grazie ad alcune semplici tecniche possiamo arrivare alla somma dei prodotti di ciascuno dei termini della prima parentesi per ciascuno dei termini della seconda parentesi. La regola può essere estesa a qualsiasi numero di termini all'interno delle parentesi.

Formuliamo le regole per moltiplicare parentesi per parentesi: per moltiplicare due somme insieme, è necessario moltiplicare ciascuno dei termini della prima somma per ciascuno dei termini della seconda somma e sommare i risultati.

La formula sarà simile a:

(a 1 + a 2 + . . . + a m) · (b 1 + b 2 + . . . + b n) = = a 1 b 1 + a 1 b 2 + . . . + a 1 b n + + a 2 b 1 + a 2 b 2 + . . . + a 2 b n + + . . . + + amb 1 + amb1 + . . . a m b n

Espandiamo le parentesi nell'espressione (1 + x) · (x 2 + x + 6) È il prodotto di due somme. Scriviamo la soluzione: (1 + x) · (x 2 + x + 6) = = (1 · x 2 + 1 · x + 1 · 6 + x · x 2 + x · x + x · 6) = = 1 · x 2 + 1 x + 1 6 + x x 2 + x x + x 6

Vale la pena menzionare separatamente quei casi in cui è presente un segno meno tra parentesi insieme ai segni più. Ad esempio, prendi l'espressione (1 − x) · (3 · x · y − 2 · x · y 3) .

Innanzitutto, presentiamo le espressioni tra parentesi come somme: (1 + (− x)) · (3 · x · y + (− 2 · x · y 3)). Ora possiamo applicare la regola: (1 + (− x)) (3 x y + (− 2 x y 3)) = = (1 3 x y + 1 (− 2 x · y 3) + (− x) · 3 · x · y + (− x) · (− 2 · x · y 3))

Apriamo le parentesi: 1 · 3 · x · y − 1 · 2 · x · y 3 − x · 3 · x · y + x · 2 · x · y 3 .

Parentesi espandibili nei prodotti di più parentesi ed espressioni

Se in un'espressione sono presenti tre o più espressioni tra parentesi, le parentesi devono essere aperte in sequenza. È necessario iniziare la trasformazione mettendo tra parentesi i primi due fattori. All'interno di queste parentesi possiamo effettuare trasformazioni secondo le regole discusse sopra. Ad esempio, le parentesi nell'espressione (2 + 4) · 3 · (5 + 7 · 8) .

L'espressione contiene tre fattori contemporaneamente (2 + 4) , 3 e (5 + 7 8) . Apriremo le parentesi in sequenza. Racchiudiamo i primi due fattori in un’altra parentesi, che per chiarezza metteremo in rosso: (2 + 4) 3 (5 + 7 8) = ((2 + 4) 3) (5 + 7 8).

Secondo la regola per moltiplicare una parentesi per un numero, possiamo eseguire le seguenti azioni: ((2 + 4) · 3) · (5 + 7 · 8) = (2 · 3 + 4 · 3) · ( 5 + 7 · 8) .

Moltiplica parentesi per parentesi: (2 3 + 4 3) (5 + 7 8) = 2 3 5 + 2 3 7 8 + 4 3 5 + 4 3 7 8 .

Staffa in natura

I gradi, le cui basi sono alcune espressioni scritte tra parentesi, con esponenti naturali, possono essere considerati come il prodotto di più parentesi. Inoltre, secondo le regole dei due paragrafi precedenti, possono essere scritti senza queste parentesi.

Considera il processo di trasformazione dell'espressione (a + b + c) 2 . Può essere scritto come il prodotto di due parentesi (a+b+c) · (a+b+c). Moltiplichiamo parentesi per parentesi e otteniamo a · a + a · b + a · c + b · a + b · b + b · c + c · a + c · b + c · c.

Diamo un'occhiata a un altro esempio:

Esempio 8

1 x + 2 3 = 1 x + 2 1 x + 2 1 x + 2 = = 1 x 1 x + 1 x 2 + 2 1 x + 2 2 1 x + 2 = = 1 x · 1 x · 1 x + 1 x · 2 · 1 x + 2 · 1 x · 1 x + 2 · 2 · 1 x + 1 x · 1 x · 2 + + 1 x 2 · 2 + 2 · 1 x · 2 + 2 2 2

Dividere parentesi per numero e parentesi per parentesi

La divisione di una parentesi per un numero richiede che tutti i termini racchiusi tra parentesi siano divisi per il numero. Ad esempio, (x 2 - x) : 4 = x 2: 4 - x: 4 .

La divisione può essere prima sostituita dalla moltiplicazione, dopodiché è possibile utilizzare la regola appropriata per aprire le parentesi in un prodotto. La stessa regola vale quando si divide una parentesi per una parentesi.

Ad esempio, dobbiamo aprire le parentesi nell'espressione (x + 2) : 2 3 . Per fare ciò, sostituisci prima la divisione moltiplicando per il numero reciproco (x + 2): 2 3 = (x + 2) · 2 3. Moltiplica la parentesi per il numero (x + 2) · 2 3 = x · 2 3 + 2 · 2 3 .

Ecco un altro esempio di divisione per parentesi:

Esempio 9

1x+x+1: (x+2) .

Sostituiamo la divisione con la moltiplicazione: 1 x + x + 1 · 1 x + 2.

Facciamo la moltiplicazione: 1 x + x + 1 · 1 x + 2 = 1 x · 1 x + 2 + x · 1 x + 2 + 1 · 1 x + 2 .

Ordine di apertura delle parentesi

Consideriamo ora l'ordine di applicazione delle regole discusse sopra nelle espressioni generali, vale a dire nelle espressioni che contengono somme con differenze, prodotti con quozienti, parentesi al grado naturale.

Procedura:

il primo passo è elevare le parentesi a potenza naturale;
nella seconda fase si procede all'apertura delle parentesi in opere e quozienti;
Il passo finale è aprire le parentesi nelle somme e nelle differenze.

Consideriamo l'ordine delle azioni usando l'esempio dell'espressione (− 5) + 3 · (− 2) : (− 4) − 6 · (− 7) . Trasformiamo dalle espressioni 3 · (− 2) : (− 4) e 6 · (− 7) , che dovrebbero assumere la forma (3 2:4) e (− 6 · 7) . Sostituendo i risultati ottenuti nell'espressione originale, otteniamo: (− 5) + 3 · (− 2) : (− 4) − 6 · (− 7) = (− 5) + (3 · 2: 4) − (− 6 · 7) . Apri le parentesi: − 5 + 3 · 2: 4 + 6 · 7.

Quando si ha a che fare con espressioni che contengono parentesi all'interno di parentesi, è conveniente effettuare le trasformazioni lavorando dall'interno verso l'esterno.

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A+(b + c) può essere scritto senza parentesi: a+(b + c)=a + b + c. Questa operazione si chiama apertura di parentesi.

Esempio 1. Apriamo le parentesi nell'espressione a + (- b + c).

Soluzione. a + (-b+c) = a + ((-b) + c)=a + (-b) + c = a-b + c.

Se c'è un segno "+" davanti alle parentesi, puoi omettere le parentesi e questo segno "+" mantenendo i segni dei termini tra parentesi. Se il primo termine tra parentesi è scritto senza segno, allora deve essere scritto con il segno “+”.

Esempio 2. Troviamo il valore dell'espressione -2.87+ (2.87-7.639).

Soluzione. Aprendo le parentesi, otteniamo - 2,87 + (2,87 - 7,639) = - - 2,87 + 2,87 - 7,639 = 0 - 7,639 = - 7,639.

Per trovare il valore dell'espressione - (- 9 + 5), è necessario aggiungere numeri-9 e 5 e trova il numero opposto alla somma risultante: -(- 9 + 5)= -(- 4) = 4.

Lo stesso valore può essere ottenuto in un altro modo: prima annotare i numeri opposti a questi termini (cioè cambiare i loro segni), quindi aggiungere: 9 + (- 5) = 4. Quindi, -(- 9 + 5) = 9 -5 = 4.

Per scrivere una somma opposta alla somma di più termini, è necessario cambiare i segni di questi termini.

Ciò significa - (a + b) = - a - b.

Esempio 3. Troviamo il valore dell'espressione 16 - (10 -18 + 12).

Soluzione. 16-(10 -18 + 12) = 16 + (-(10 -18 + 12)) = = 16 + (-10 +18-12) = 16-10 +18-12 = 12.

Per aprire le parentesi precedute dal segno "-", è necessario sostituire questo segno con "+", cambiando i segni di tutti i termini tra parentesi con quelli opposti, quindi aprire le parentesi.

Esempio 4. Troviamo il valore dell'espressione 9.36-(9.36 - 5.48).

Soluzione. 9,36 - (9,36 - 5,48) = 9,36 + (- 9,36 + 5,48) = = 9,36 - 9,36 + 5,48 = 0 -f 5,48 = 5 ,48.

Espansione di parentesi e applicazione di proprietà commutative e associative aggiunta consentono di semplificare i calcoli.

Esempio 5. Troviamo il valore dell'espressione (-4-20)+(6+13)-(7-8)-5.

Soluzione. Innanzitutto, apriamo le parentesi, quindi troviamo separatamente la somma di tutti i numeri positivi e separatamente la somma di tutti i numeri negativi e, infine, sommiamo i risultati:

(- 4 - 20)+(6+ 13)-(7 - 8) - 5 = -4-20 + 6 + 13-7 + 8-5 = = (6 + 13 + 8)+(- 4 - 20 - 7 - 5)= 27-36=-9.

Esempio 6. Troviamo il valore dell'espressione

Soluzione. Innanzitutto, immaginiamo ciascun termine come la somma delle loro parti intere e frazionarie, quindi apriamo le parentesi, quindi aggiungiamo i numeri interi e separatamente frazionario parti e infine sommare i risultati:

Come si aprono le parentesi precedute dal segno “+”? Come trovare il valore di un'espressione opposta alla somma di più numeri? Come espandere le parentesi precedute dal segno "-"?

1218. Aprire le parentesi:

a) 3,4+(2,6+ 8,3); c) m+(n-k);

b) 4,57+(2,6 - 4,57); d) c+(-a + b).

1219. Trova il significato dell'espressione:

1220. Aprire le parentesi:

a) 85+(7,8+ 98); d) -(80-16) + 84; g) a-(b-k-n);
b) (4,7 -17)+7,5; e) -a + (m-2,6); h) -(a-b + c);
c) 64-(90 + 100); e) c+(- a-b); i) (m-n)-(p-k).

1221. Apri le parentesi e trova il significato dell'espressione:

1222. Semplifichiamo l'espressione:

1223. Scrivi quantità due espressioni e semplificarle:

a) - 4 - mem + 6,4; d) a+b e p - b
b) 1.1+ae -26-a; e) - m + n e -k - n;
c) a+13 e -13+b; e)m - n e n - m.

1224. Scrivi la differenza di due espressioni e semplificala:

1226. Utilizza l'equazione per risolvere il problema:

a) Ci sono 42 libri su uno scaffale e 34 sull'altro. Diversi libri sono stati rimossi dal secondo scaffale e dal primo scaffale sono stati prelevati tanti libri quanti ne erano rimasti sul secondo. Successivamente, sul primo scaffale erano rimasti 12 libri. Quanti libri sono stati rimossi dal secondo scaffale?

b) Nella prima elementare ci sono 42 alunni, nella seconda 3 alunni in meno che nella terza. Quanti studenti ci sono nella terza elementare se ci sono 125 studenti in queste tre classi?

1227. Trova il significato dell'espressione:

1228. Calcola oralmente:

1229. Trova valore più alto espressioni:

1230. Specificare 4 numeri interi consecutivi se:

a) il più piccolo è -12; c) il più piccolo è n;
b) il più grande è -18; d) il maggiore tra essi è pari a k.

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Quella parte dell'equazione è l'espressione tra parentesi. Per aprire le parentesi, guarda il segno davanti alle parentesi. Se c'è un segno più, l'apertura delle parentesi nell'espressione non cambierà nulla: basta rimuovere le parentesi. Se è presente un segno meno, quando si aprono le parentesi è necessario sostituire tutti i segni originariamente tra parentesi con quelli opposti. Ad esempio, -(2x-3)=-2x+3.

Moltiplicazione di due parentesi.
Se l'equazione contiene il prodotto di due parentesi, espandi le parentesi secondo la regola standard. Ogni termine della prima parentesi viene moltiplicato per ogni termine della seconda parentesi. I numeri risultanti vengono riassunti. In questo caso, il prodotto di due “più” o di due “meno” dà al termine un segno “più”, e se i fattori hanno segni diversi, quindi riceve un segno meno.
Consideriamo.
(5x+1)(3x-4)=5x*3x-5x*4+1*3x-1*4=15x^2-20x+3x-4=15x^2-17x-4.

Aprendo le parentesi, a volte elevando un'espressione a . Le formule per il quadrato e il cubo devono essere conosciute a memoria e ricordate.
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
(a+b)^3=a^3+3a^2*b+3ab^2+b^3
(a-b)^3=a^3-3a^2*b+3ab^2-b^3
Le formule per costruire espressioni maggiori di tre possono essere eseguite utilizzando il triangolo di Pascal.

Fonti:

formula di espansione delle parentesi

Le operazioni matematiche racchiuse tra parentesi possono contenere variabili ed espressioni vari gradi complessità. Per moltiplicare tali espressioni, dovrai cercare una soluzione in visione generale, aprendo le parentesi e semplificando il risultato. Se le parentesi contengono operazioni senza variabili, solo con valori numerici, non è necessario aprire le parentesi, poiché se si dispone di un computer, il suo utente ha accesso a risorse informatiche molto significative: è più facile usarle che semplificare il espressione.

Istruzioni

Moltiplica in sequenza ciascuno (o minuendo con ) contenuto in una parentesi per il contenuto di tutte le altre parentesi se vuoi ottenere il risultato in forma generale. Ad esempio, lascia che l'espressione originale sia scritta in questo modo: (5+x)∗(6-x)∗(x+2). Quindi la moltiplicazione sequenziale (cioè l'apertura delle parentesi) darà il seguente risultato: (5+x)∗(6-x)∗(x+2) = (5∗6-5∗x)∗(5∗x+ 5∗2) + (6∗x-x∗x)∗(x∗x+2∗x) = (5∗6∗5∗x+5∗6∗5∗2) - (5∗x∗5∗x+ 5∗ x∗5∗2) + (6∗x∗x∗x+6∗x∗2∗x) - (x∗x∗x∗x+x∗x∗2∗x) = 5∗6∗5 ∗x + 5∗6∗5∗2 - 5∗x∗5∗x - 5∗x∗5∗2 + 6∗x∗x∗x + 6∗x∗2∗x - x∗x∗x∗x - x∗x∗2∗x = 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² - x∗x³ - 2∗x³.

Semplifica il risultato abbreviando le espressioni. Ad esempio, l'espressione ottenuta nel passaggio precedente può essere semplificata come segue: 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² - x∗x³ - 2∗x³ = 100∗x + 300 - 13∗x² - 8∗x³ - x∗x³.

Usa una calcolatrice se devi moltiplicare x uguale a 4,75, ovvero (5+4,75)∗(6-4,75)∗(4,75+2). Per calcolare questo valore, vai sul sito del motore di ricerca Google o Nigma e inserisci l'espressione nel campo della query nella sua forma originale (5+4.75)*(6-4.75)*(4.75+2). Google mostrerà immediatamente 82.265625, senza fare clic su un pulsante, ma Nigma deve inviare i dati al server con un clic di un pulsante.

In questa lezione imparerai come trasformare un'espressione contenente parentesi in un'espressione senza parentesi. Imparerai come aprire le parentesi precedute da un segno più e un segno meno. Ricorderemo come aprire le parentesi utilizzando la legge distributiva della moltiplicazione. Gli esempi considerati ti permetteranno di collegare materiale nuovo e precedentemente studiato in un unico insieme.

Argomento: risoluzione di equazioni

Lezione: espandere le parentesi

Come espandere le parentesi precedute dal segno “+”. Utilizzando la legge associativa dell'addizione.

Se devi aggiungere la somma di due numeri a un numero, puoi prima aggiungere il primo termine a questo numero e poi il secondo.

A sinistra del segno uguale c'è un'espressione con parentesi e a destra c'è un'espressione senza parentesi. Ciò significa che quando ci si sposta dal lato sinistro dell'uguaglianza a destra, si verifica l'apertura delle parentesi.

Diamo un'occhiata agli esempi.

Esempio 1.

Aprendo le parentesi, abbiamo cambiato l'ordine delle azioni. È diventato più conveniente contare.

Esempio 2.

Esempio 3.

Nota che in tutti e tre gli esempi abbiamo semplicemente rimosso le parentesi. Formuliamo una regola:

Commento.

Se il primo termine tra parentesi non ha segno, deve essere scritto con il segno più.

Puoi seguire l'esempio passo dopo passo. Per prima cosa aggiungi 445 a 889. Questa azione può essere eseguita mentalmente, ma non è molto semplice. Apriamo le parentesi e vediamo che la procedura modificata semplificherà notevolmente i calcoli.

Se segui la procedura indicata, devi prima sottrarre 345 da 512, e poi aggiungere 1345 al risultato. Aprendo le parentesi, cambieremo la procedura e semplificheremo notevolmente i calcoli.

Esempio e regola illustrativi.

Consideriamo un esempio: . Puoi trovare il valore di un'espressione sommando 2 e 5, quindi prendendo il numero risultante da segno opposto. Otteniamo -7.

Lo stesso risultato si ottiene invece sommando i numeri opposti di quelli originali.

Formuliamo una regola:

Esempio 1.

Esempio 2.

La regola non cambia se tra parentesi non ci sono due, ma tre o più termini.

Esempio 3.

Commento. I segni sono invertiti solo davanti ai termini.

Per aprire le parentesi occorre in questo caso ricordare la proprietà distributiva.

Per prima cosa moltiplica la prima parentesi per 2 e la seconda per 3.

La prima parentesi è preceduta dal segno “+”, il che significa che i segni devono essere lasciati invariati. Il secondo segno è preceduto dal segno "-", quindi tutti i segni devono essere cambiati con il segno opposto

Riferimenti

Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematica 6. - M.: Mnemosyne, 2012.
Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematica 6° elementare. - Palestra, 2006.
Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Dietro le pagine di un libro di matematica. - Illuminismo, 1989.
Rurukin A.N., Čajkovskij I.V. Compiti per il corso di matematica gradi 5-6 - ZSh MEPhI, 2011.
Rurukin A.N., Sochilov S.V., Čajkovskij K.G. Matematica 5-6. Un manuale per gli studenti del 6° anno della scuola per corrispondenza MEPhI. - ZSh MEPhI, 2011.
Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Matematica: libro di testo-interlocutore per le classi 5-6 Scuola superiore. La biblioteca dell'insegnante di matematica. - Illuminismo, 1989.

Test online di matematica ().
È possibile scaricare quelli specificati nella clausola 1.2. libri().

Compiti a casa

Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematica 6. - M.: Mnemosyne, 2012. (link vedi 1.2)
Compiti a casa: N. 1254, N. 1255, N. 1256 (b, d)
Altri compiti: N. 1258(c), N. 1248

Ovunque. Ovunque e ovunque guardi, puoi vedere queste costruzioni:

Queste “costruzioni” provocano reazioni contrastanti tra le persone alfabetizzate. Almeno come "è davvero corretto?"
In generale, personalmente non riesco a capire da dove venga la “moda” di non chiudere le virgolette esterne. La prima e unica analogia che arriva a questo è l'analogia con le parentesi. Nessuno dubita che due parentesi di fila siano normali. Ad esempio: "Pagare l'intera tiratura (200 pezzi (di cui 100 difettosi))." Ma qualcuno ha dubitato della normalità di mettere due virgolette di seguito (chissà chi è stato il primo?)... E adesso tutti sono diventati completamente coscienza pulita per produrre strutture come la ditta Pupkov and Co. LLC.
Ma anche se non hai mai visto la regola in vita tua, di cui parleremo di seguito, l'unica opzione logica (usando l'esempio delle parentesi) sarebbe la seguente: LLC Firm Pupkov and Co.
Quindi, la regola stessa:
Se all'inizio o alla fine di una citazione (lo stesso vale per il discorso diretto) ci sono virgolette interne ed esterne, allora dovrebbero differire l'una dall'altra nel design (le cosiddette "spine di pesce" e "petali"), e le virgolette esterne non dovrebbero essere omesse, ad esempio: C Le fiancate del piroscafo comunicarono via radio: "Leningrado è entrata nei tropici e continua la sua rotta". A proposito di Zhukovsky, Belinsky scrive: “I contemporanei della giovinezza di Zhukovsky lo consideravano principalmente come un autore di ballate, e in una delle sue lettere Batyushkov lo chiamava un "ballerino".
© Regole di ortografia e punteggiatura russa. - Tula: Autografo, 1995. - 192 p.
Di conseguenza... se non hai la possibilità di digitare virgolette "a spina di pesce", allora cosa puoi fare, dovrai utilizzare tali icone "". Tuttavia, l'incapacità (o la riluttanza) a utilizzare le virgolette russe non è affatto un motivo per cui non è possibile chiudere le virgolette esterne.
Pertanto, l'inesattezza del progetto della LLC "Ditta Pupkov and Co" sembra essere stata risolta. Esistono anche progetti del tipo della Ditta LLC "Pupkov and Co".
Dalla regola è del tutto chiaro che anche tali costruzioni sono analfabete... (Esatto: LLC "Ditta "Pupkov and Co""
Tuttavia!
La Guida per l'editore e l'autore di A.E. Milchin (edizione 2004) afferma che in questi casi è possibile utilizzare due opzioni di progettazione. L'uso di “spine” e di “zampe” e (in assenza di mezzi tecnici) l'uso di sole “spine”: due di apertura e una di chiusura.
La directory è “fresca” e personalmente ho immediatamente 2 domande qui. In primo luogo, con quale gioia si può usare una virgoletta di chiusura (beh, questo è illogico, vedi sopra), e in secondo luogo, la frase "in assenza di mezzi tecnici" attira particolarmente l'attenzione. Com'è questo, scusa? Ora apri Blocco note e digita “solo alberi di Natale: due di apertura e uno di chiusura”. Non ci sono simboli di questo tipo sulla tastiera. Non riesco a scrivere “spina di pesce”... La combinazione Shift + 2 produce il segno " (che, come sai, non è una virgoletta). Ora apri Microsoft Word e premi nuovamente Maiusc + 2. Il programma correggerà " in " (o "). Bene, si scopre che la regola che esisteva da decenni è stata presa e riscritta sotto Microsoft Word? Ad esempio, dal momento che la parola della "Ditta "Pupkov and Co" produce la "Ditta "Pupkov and Co", quindi lasciamo che ora sia accettabile e corretto???
Sembra così. E se è così, allora ci sono tutte le ragioni per dubitare della correttezza di tale innovazione.
Sì, e ancora una precisazione… proprio sulla “mancanza di mezzi tecnici”. Il fatto è che su qualsiasi computer con Windows ci sono sempre “mezzi tecnici” per inserire sia “alberi di Natale” che “gambe”, quindi questa nuova “regola” (per me è tra virgolette) è sbagliata fin dall'inizio!
Tutti i caratteri speciali in un font possono essere facilmente digitati conoscendo il numero corrispondente di quel carattere. Basta tenere premuto Alt e digitare sulla tastiera NumLock (NumLock è premuto, la spia è accesa) il numero del simbolo corrispondente:
„ Alt + 0132 (piede sinistro)
“ Alt + 0147 (piede destro)
« Alt + 0171 (spina di pesce sinistra)
» Alt + 0187 (spina di pesce destra)