Hvad er et nok tal. Mindste fælles multiplum af LCM

Skoleelever får en masse opgaver i matematik. Blandt dem er der meget ofte problemer med følgende formulering: der er to betydninger. Hvordan finder man det mindste fælles multiplum af givne tal? Det er nødvendigt at kunne udføre sådanne opgaver, da de erhvervede færdigheder bruges til at arbejde med brøker hvornår forskellige nævnere. I denne artikel vil vi se på, hvordan man finder LOC og grundlæggende begreber.

Før du finder svaret på spørgsmålet om, hvordan du finder LCM, skal du definere begrebet multiplum. Oftest lyder formuleringen af ​​dette koncept som følger: et multiplum af en bestemt værdi A er et naturligt tal, der vil være deleligt med A uden en rest. Så for 4 vil multiplerne være 8, 12, 16, 20. og så videre, til den krævede grænse.

Desuden kan antallet af divisorer for en bestemt værdi begrænses, men multiplerne er uendeligt mange. Der er også samme værdi for naturværdier. Dette er en indikator, der er opdelt i dem uden en rest. Efter at have forstået konceptet med den mindste værdi for visse indikatorer, lad os gå videre til, hvordan man finder det.

At finde NOC

Det mindste multiplum af to eller flere eksponenter er det mindste naturlige tal, der er fuldstændigt deleligt med alle specificerede tal.

Der er flere måder at finde en sådan værdi på, overvej følgende metoder:

1. Hvis tallene er små, så skriv ned på en linje alle dem, der er delelige med dem. Bliv ved med at gøre dette, indtil du finder noget til fælles blandt dem. Skriftligt er de betegnet med bogstavet K. For eksempel er det mindste multiplum for 4 og 3 12.
2. Hvis disse er store, eller du skal finde et multiplum af 3 eller flere værdier, bør du bruge en anden teknik, der involverer nedbrydning af tal til primfaktorer. Læg først den største på listen, derefter alle de andre. Hver af dem har sit eget antal multiplikatorer. Som et eksempel, lad os dekomponere 20 (2*2*5) og 50 (5*5*2). For den mindste skal du understrege faktorerne og tilføje dem til den største. Resultatet bliver 100, hvilket vil være det mindste fælles multiplum af ovenstående tal.
3. Når man finder 3 tal (16, 24 og 36) er principperne de samme som for de to andre. Lad os udvide hver af dem: 16 = 2*2*2*2, 24=2*2*2*3, 36=2*2*3*3. Kun to toere fra udvidelsen af ​​tallet 16 var ikke med i udvidelsen af ​​den største. Vi tilføjer dem og får 144, som er det mindste resultat for de tidligere angivne numeriske værdier.

Nu ved vi hvad generel metode finde den mindste værdi for to, tre eller flere værdier. Der er dog også private metoder, hjælper med at søge efter NOC, hvis de foregående ikke hjælper.

Sådan finder du GCD og NOC.

Private metoder til at finde

Som med enhver matematisk sektion er der særlige tilfælde af at finde LCM, der hjælper i specifikke situationer:

• hvis et af tallene er deleligt med de andre uden en rest, så er det laveste multiplum af disse tal lig med det (LCM på 60 og 15 er 15);
• relativt primtal har ingen fælles primtal. Deres mindste værdi er lig med produktet af disse tal. For tallene 7 og 8 vil det således være 56;
• samme regel gælder for andre sager, også særlige, som kan læses om i speciallitteratur. Dette bør også omfatte tilfælde af nedbrydning af sammensatte tal, som er emnet for individuelle artikler og endda kandidatafhandlinger.

Særlige tilfælde er mindre almindelige end standardeksempler. Men takket være dem kan du lære at arbejde med fraktioner af forskellig grad af kompleksitet. Dette gælder især for fraktioner, hvor der er ulige nævnere.

Få eksempler

Lad os se på et par eksempler, der vil hjælpe dig med at forstå princippet om at finde det mindste multiple:

1. Find LOC (35; 40). Vi dekomponerer først 35 = 5*7, derefter 40 = 5*8. Tilføj 8 til det mindste tal og få LOC 280.
2. NOC (45; 54). Vi nedbryder hver af dem: 45 = 3*3*5 og 54 = 3*3*6. Vi tilføjer tallet 6 til 45. Vi får en LCM lig med 270.
3. Nå, det sidste eksempel. Der er 5 og 4. Der er ingen primtal af dem, så det mindste fælles multiplum i dette tilfælde vil være deres produkt, som er lig med 20.

Takket være eksemplerne kan du forstå, hvordan NOC er placeret, hvad nuancerne er, og hvad meningen med sådanne manipulationer er.

At finde NOC er meget nemmere, end det umiddelbart ser ud til. For at gøre dette bruges både simpel ekspansion og multiplikation simple værdier oven på hinanden. Evnen til at arbejde med denne sektion af matematik hjælper med yderligere studier af matematiske emner, især brøker varierende grader kompleksitet.

Glem ikke at løse eksempler med jævne mellemrum forskellige metoder, dette udvikler det logiske apparat og giver dig mulighed for at huske adskillige udtryk. Lær, hvordan du finder en sådan eksponent, og du vil være i stand til at gøre det godt i resten af ​​matematikafsnittene. God fornøjelse med at lære matematik!

Video

Denne video hjælper dig med at forstå og huske, hvordan du finder det mindste fælles multiplum.

Emnet "Multiples" studeres i 5. klasse gymnasiet. Dens mål er at forbedre skriftlige og mundtlige matematiske beregningsfærdigheder. I denne lektion introduceres nye begreber - "flere tal" og "divisorer", teknikken til at finde divisorer og multipla af et naturligt tal, og evnen til at finde LCM på forskellige måder.

Dette emne er meget vigtigt. Viden om det kan anvendes ved løsning af eksempler med brøker. For at gøre dette skal du finde fællesnævneren ved at beregne det mindste fælles multiplum (LCM).

Et multiplum af A er et heltal, der er deleligt med A uden en rest.

Hvert naturligt tal har et uendeligt antal multipla af det. Det betragtes i sig selv som det mindste. Multiplet kan ikke være mindre end selve tallet.

Du skal bevise, at tallet 125 er et multiplum af tallet 5. For at gøre dette skal du dividere det første tal med det andet. Hvis 125 er deleligt med 5 uden en rest, så er svaret ja.

Denne metode er anvendelig for små tal.

Der er særlige tilfælde ved beregning af LOC.

1. Hvis du skal finde et fælles multiplum af 2 tal (f.eks. 80 og 20), hvor det ene af dem (80) er deleligt med det andet (20), så er dette tal (80) det mindste multiplum af disse to numre.

LCM(80; 20) = 80.

2. Hvis to ikke har en fælles divisor, så kan vi sige, at deres LCM er produktet af disse to tal.

LCM(6, 7) = 42.

Lad os se på det sidste eksempel. 6 og 7 i forhold til 42 er divisorer. De dividerer et multiplum af et tal uden en rest.

I dette eksempel er 6 og 7 parrede faktorer. Deres produkt er lig med det mest multiple tal (42).

Et tal kaldes primtal, hvis det kun er deleligt med sig selv eller med 1 (3:1=3; 3:3=1). Resten kaldes komposit.

Et andet eksempel involverer at bestemme, om 9 er en divisor af 42.

42:9=4 (resten 6)

Svar: 9 er ikke en divisor af 42, fordi svaret har en rest.

En divisor adskiller sig fra et multiplum ved, at divisor er det tal, som naturlige tal divideres med, og selve multiplumet er divideret med dette tal.

Største fælles divisor af tal -en Og b, ganget med deres mindste multiplum, vil give produktet af selve tallene -en Og b.

Nemlig: gcd (a, b) x gcd (a, b) = a x b.

Fælles multipla for mere komplekse tal findes på følgende måde.

Find f.eks. LCM for 168, 180, 3024.

Vi indregner disse tal i simple faktorer og skriver dem som et produkt af potenser:

168=2³x3¹x7¹

2⁴х3³х5¹х7¹=15120

LCM(168; 180; 3024) = 15120.

Et multiplum er et tal, der er deleligt med et givet tal uden en rest. Det mindste fælles multiplum (LCM) af en gruppe af tal er det mindste tal, der er deleligt med hvert tal i gruppen uden at efterlade en rest. For at finde det mindste fælles multiplum skal du finde primfaktorerne for givne tal. LCM kan også beregnes ved hjælp af en række andre metoder, der gælder for grupper på to eller flere tal.

Trin

Serie af multipler

Se på disse tal. Metoden beskrevet her bruges bedst, når der gives to tal, som hver er mindre end 10. Hvis der er givet større tal, skal du bruge en anden metode.

• Find for eksempel det mindste fælles multiplum af 5 og 8. Det er små tal, så du kan bruge denne metode.

1. Et multiplum er et tal, der er deleligt med et givet tal uden en rest. Multipler kan findes i multiplikationstabellen.

   • For eksempel er tal, der er multipla af 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

2. Skriv en række tal ned, der er multipla af det første tal. Gør dette under multipla af det første tal for at sammenligne to sæt tal.

   • For eksempel er tal, der er multipla af 8: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 og 64.

3. Find det mindste tal, der er til stede i begge sæt af multipla. Du skal muligvis skrive lange rækker multipla at finde samlet antal. Det mindste tal, der er til stede i begge sæt af multipler, er det mindste fælles multiplum.

   • f.eks. det mindste antal, som er til stede i rækken af ​​multipla af 5 og 8, er tallet 40. Derfor er 40 det mindste fælles multiplum af 5 og 8.

   Primfaktorisering

   1. Se på disse tal. Metoden beskrevet her bruges bedst, når der gives to tal, som hver er større end 10. Hvis der er givet mindre tal, skal du bruge en anden metode.

      • Find for eksempel det mindste fælles multiplum af tallene 20 og 84. Hvert af tallene er større end 10, så du kan bruge denne metode.

   2. Faktor det første tal i primfaktorer. Det vil sige, at du skal finde sådanne primtal, der, når de ganges, vil give et givet tal. Når du har fundet de primære faktorer, så skriv dem som ligheder.

      • f.eks. 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2) )\ gange 10=20) Og 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\time (\mathbf (5) )=10). Primtalsfaktorerne for tallet 20 er altså tallene 2, 2 og 5. Skriv dem som et udtryk:.

   3. Faktor det andet tal i primfaktorer. Gør dette på samme måde, som du faktorerede det første tal, det vil sige find sådanne primtal, der, når de ganges, vil give det givne tal.

      • f.eks. 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2) )\ gange 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\ gange 6=42) Og 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\times (\mathbf (2) )=6). Primfaktorerne for tallet 84 er altså tallene 2, 7, 3 og 2. Skriv dem som et udtryk:.

   4. Skriv ned de faktorer, der er fælles for begge tal. Skriv sådanne faktorer som en multiplikationsoperation. Når du skriver hver faktor, så streg den ud i begge udtryk (udtryk, der beskriver faktoriseringer af tal til primfaktorer).

      • For eksempel har begge tal en fælles faktor på 2, så skriv 2 × (\displaystyle 2\ gange ) og streg 2 ud i begge udtryk.
      • Fælles for begge tal er en anden faktor på 2, så skriv 2 × 2 (\displaystyle 2\time 2) og streg de 2 andet over i begge udtryk.

   5. Tilføj de resterende faktorer til multiplikationsoperationen. Det er faktorer, der ikke er overstreget i begge udtryk, altså faktorer, der ikke er fælles for begge tal.

      • For eksempel i udtrykket 20 = 2 × 2 × 5 (\displaystyle 20=2\ gange 2\ gange 5) Begge to (2) er streget over, fordi de er fælles faktorer. Faktoren 5 er ikke overstreget, så skriv multiplikationsoperationen sådan her: 2 × 2 × 5 (\displaystyle 2\times 2\times 5)
      • I udtryk 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84=2\ gange 7\ gange 3\ gange 2) begge to (2) er også streget over. Faktorerne 7 og 3 er ikke overstreget, så skriv multiplikationsoperationen sådan her: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\displaystyle 2\ gange 2\ gange 5\ gange 7\ gange 3).

   6. Beregn det mindste fælles multiplum. For at gøre dette skal du gange tallene i den skriftlige multiplikationsoperation.

      • f.eks. 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\displaystyle 2\ gange 2\ gange 5\ gange 7\ gange 3 = 420). Så det mindste fælles multiplum af 20 og 84 er 420.

   At finde fælles faktorer

   1. Tegn et gitter som til en omgang tic-tac-toe. Et sådant gitter består af to parallelle linjer, der skærer (i rette vinkler) med yderligere to parallelle linjer. Dette vil give dig tre rækker og tre kolonner (gitteret ligner meget #-ikonet). Skriv det første tal i første linje og anden kolonne. Skriv det andet tal i første række og tredje kolonne.

      • Find for eksempel det mindste fælles multiplum af tallene 18 og 30. Skriv tallet 18 i første række og anden kolonne, og skriv tallet 30 i første række og tredje kolonne.

   2. Find divisoren fælles for begge tal. Skriv det ned i første række og første kolonne. Det er bedre at kigge efter primære faktorer, men dette er ikke et krav.

      • For eksempel er 18 og 30 lige tal, så deres fælles divisor tallet bliver 2. Så skriv 2 i første række og første kolonne.

   3. Divider hvert tal med den første divisor. Skriv hver kvotient under det relevante tal. En kvotient er resultatet af at dividere to tal.

      • f.eks. 18 ÷ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9), så skriv 9 under 18.
      • 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15), så skriv 15 under 30 ned.

   4. Find divisoren fælles for begge kvotienter. Hvis der ikke er en sådan divisor, spring to over næste skridt. Ellers skriv divisor i anden række og første kolonne.

      • For eksempel er 9 og 15 delelige med 3, så skriv 3 i anden række og første kolonne.

   5. Divider hver kvotient med dens anden divisor. Skriv hvert divisionsresultat under den tilsvarende kvotient.

      • f.eks. 9 ÷ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3), så skriv 3 under 9.
      • 15 ÷ 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5), så skriv 5 under 15.

   6. Tilføj om nødvendigt yderligere celler til gitteret. Gentag de beskrevne trin, indtil kvotienterne har en fælles divisor.

   7. Sæt en cirkel om tallene i den første kolonne og sidste række i gitteret. Skriv derefter de valgte tal som en multiplikationsoperation.

      • For eksempel er tallene 2 og 3 i første kolonne, og tallene 3 og 5 er i sidste række, så skriv multiplikationsoperationen sådan: 2 × 3 × 3 × 5 (\displaystyle 2\ gange 3\ gange 3\ gange 5).

   8. Find resultatet af at gange tal. Dette vil beregne det mindste fælles multiplum af to givne tal.

      • f.eks. 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\displaystyle 2\ gange 3\ gange 3\ gange 5=90). Så det mindste fælles multiplum af 18 og 30 er 90.

   Euklids algoritme

   1. Husk terminologien forbundet med divisionsoperationen. Udbyttet er det tal, der bliver delt. Divisor er det tal, der divideres med. En kvotient er resultatet af at dividere to tal. En rest er det tal, der er tilbage, når to tal deles.

      • For eksempel i udtrykket 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2) ost. 3:
        15 er udbyttet
        6 er en divisor
        2 er kvotient
        3 er resten.

For at forstå, hvordan man beregner LCM, skal du først bestemme betydningen af ​​udtrykket "multiple".

Et multiplum af A er et naturligt tal, der er deleligt med A uden en rest. Tal, der er multipla af 5, kan således betragtes som 15, 20, 25 og så videre.

Der kan være divisorer af et bestemt tal begrænset mængde, men der er et uendeligt antal multipler.

Fælles multiplum naturlige tal- et tal, der er deleligt med dem uden en rest.

Sådan finder du det mindste fælles multiplum af tal

Det mindste fælles multiplum (LCM) af tal (to, tre eller flere) er det mindste naturlige tal, der er deleligt med alle disse tal.

For at finde LOC'en kan du bruge flere metoder.

For små tal er det praktisk at skrive alle multipla af disse tal ned på en linje, indtil du finder noget fælles blandt dem. Multipler er angivet med stort K.

For eksempel kan multipla af 4 skrives sådan:

K (4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

K (6) = (12, 18, 24, ...)

Således kan du se, at det mindste fælles multiplum af tallene 4 og 6 er tallet 24. Denne notation udføres som følger:

LCM(4, 6) = 24

Hvis tallene er store, skal du finde det fælles multiplum af tre eller flere tal, så er det bedre at bruge en anden metode til at beregne LCM.

For at fuldføre opgaven skal du indregne de givne tal i primtal.

Først skal du skrive nedbrydningen af ​​det største tal på en linje, og under det - resten.

I udvidelsen af ​​hvert nummer kan der være forskellig mængde multiplikatorer.

Lad os f.eks. faktorisere tallene 50 og 20 til primfaktorer.

I udvidelsen af ​​det mindre antal er det nødvendigt at understrege de faktorer, der er fraværende i udvidelsen af ​​den første. stort antal, og føj dem derefter til det. I det præsenterede eksempel mangler en toer.

Nu kan du beregne det mindste fælles multiplum af 20 og 50.

LCM(20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

Altså produktet af primære faktorer mere og de faktorer af det andet tal, der ikke var inkluderet i udvidelsen af ​​det større tal, vil være det mindste fælles multiplum.

For at finde LCM for tre eller flere tal, bør du indregne dem alle i primfaktorer, som i det foregående tilfælde.

Som et eksempel kan du finde det mindste fælles multiplum af tallene 16, 24, 36.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Således var kun to toere fra udvidelsen af ​​seksten ikke inkluderet i faktoriseringen af ​​et større tal (en er i udvidelsen af ​​fireogtyve).

De skal således føjes til udvidelsen af ​​et større antal.

LCM(12; 16; 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

Der er særlige tilfælde med at bestemme det mindste fælles multiplum. Så hvis et af tallene kan divideres uden en rest med et andet, så vil det største af disse tal være det mindste fælles multiplum.

For eksempel er LCM for tolv og fireogtyve er fireogtyve.

Hvis du skal finde det mindste fælles multiplum af hinanden primtal, som ikke har identiske divisorer, så vil deres LCM være lig med deres produkt.

For eksempel LCM (10, 11) = 110.