Sådan beregnes den gennemsnitlige absolutte fejl. Beregning af fejl ved direkte målinger

De eksakte naturvidenskaber er baseret på målinger. Ved måling er værdierne af mængder udtrykt i form af tal, der angiver, hvor mange gange den målte mængde er større eller mindre end en anden mængde, hvis værdi er taget som en enhed. De numeriske værdier af forskellige mængder opnået som et resultat af målinger kan afhænge af hinanden. Forholdet mellem sådanne mængder er udtrykt i form af formler, der viser, hvordan de numeriske værdier af nogle mængder kan findes ud fra andres numeriske værdier.

Der opstår uundgåeligt fejl under målinger. Det er nødvendigt at mestre de metoder, der bruges til at behandle resultaterne opnået fra målinger. Dette vil give dig mulighed for at lære, hvordan du opnår resultater, der er tættest på sandheden fra et sæt målinger, bemærker uoverensstemmelser og fejl i tide, intelligent organiserer selve målingerne og vurderer nøjagtigheden af ​​de opnåede værdier korrekt.

Hvis målingen består i at sammenligne en given størrelse med en anden, homogen størrelse taget som en enhed, så kaldes målingen i dette tilfælde direkte.

Direkte (direkte) målinger- det er målinger, hvor vi får den numeriske værdi af den målte størrelse enten ved direkte sammenligning med et mål (standard), eller ved hjælp af instrumenter kalibreret i enheder af den målte størrelse.

En sådan sammenligning foretages dog ikke altid direkte. I de fleste tilfælde er det ikke den mængde, der interesserer os, der måles, men andre størrelser forbundet med den af ​​bestemte relationer og mønstre. I dette tilfælde, for at måle den nødvendige mængde, er det nødvendigt først at måle flere andre mængder, hvis værdi bestemmer værdien af ​​den ønskede mængde ved beregning. Denne måling kaldes indirekte.

Indirekte målinger bestå af direkte målinger af en eller flere mængder, der er knyttet til mængden, der bestemmes af en kvantitativ afhængighed, og beregninger af mængden bestemmes ud fra disse data.

Målinger involverer altid måleinstrumenter, som sætter en værdi i overensstemmelse med en anden forbundet med den, tilgængelige for kvantitativ vurdering ved hjælp af vores sanser. For eksempel matches strømstyrken af ​​pilens afbøjningsvinkel på en gradueret skala. I dette tilfælde skal to hovedbetingelser for måleprocessen være opfyldt: entydighed og reproducerbarhed af resultatet. disse to betingelser er altid kun tilnærmelsesvis opfyldt. Det er derfor Måleprocessen indeholder, sammen med at finde den ønskede værdi, en vurdering af måleunøjagtigheden.

En moderne ingeniør skal være i stand til at vurdere fejlen i måleresultaterne under hensyntagen til den nødvendige pålidelighed. Derfor lægges der stor vægt på at behandle måleresultater. Kendskab til de grundlæggende metoder til beregning af fejl er en af ​​laboratorieværkstedets hovedopgaver.

Hvorfor opstår der fejl?

Der er mange årsager til, at der opstår målefejl. Lad os liste nogle af dem.

· processer, der opstår under apparatets interaktion med måleobjektet, ændrer uundgåeligt den målte værdi. For eksempel fører måling af dimensionerne af en del ved hjælp af en skydelære til komprimering af delen, det vil sige en ændring i dens dimensioner. Nogle gange kan enhedens indflydelse på den målte værdi gøres relativt lille, men nogle gange er den sammenlignelig eller endda overstiger selve den målte værdi.

· Enhver enhed har begrænsede muligheder for utvetydigt at bestemme den målte værdi på grund af dens designfejl. For eksempel fører friktion mellem forskellige dele i pointerblokken på et amperemeter til, at en ændring i strømmen med en lille, men begrænset mængde ikke vil forårsage en ændring i viserens afbøjningsvinkel.

· Deltager altid i alle interaktionsprocesser mellem apparatet og måleobjektet. ydre miljø, hvis parametre kan ændre sig og ofte på uforudsigelige måder. Dette begrænser reproducerbarheden af ​​målebetingelserne og dermed måleresultatet.

· Ved visuel optagelse af instrumentaflæsninger kan der være uklarhed i aflæsning af instrumentaflæsninger pga handicap vores øje.

· De fleste mængder bestemmes indirekte ud fra vores viden om sammenhængen mellem den ønskede mængde og andre mængder direkte målt af instrumenter. Det er klart, at fejlen ved indirekte måling afhænger af fejlene i alle direkte målinger. Derudover bidrager begrænsningerne af vores viden om det målte objekt, forenklingen af ​​den matematiske beskrivelse af sammenhængene mellem størrelser og ignorering af indflydelsen fra de størrelser, hvis indflydelse anses for ubetydelig under måleprocessen, til fejl i indirekte måling.

Fejlklassificering

Fejlværdi målinger af en vis mængde er normalt karakteriseret ved:

1. Absolut fejl - forskellen mellem den eksperimentelt fundne (målte) og den sande værdi af en bestemt mængde

. (1)

Absolut fejl viser, hvor meget vi tager fejl, når vi måler en bestemt værdi af X.

2. Relativ fejl lig med forholdet absolut fejl til den sande værdi af den målte størrelse X

Den relative fejl viser med hvilken brøkdel af den sande værdi af X vi tager fejl.

Kvalitet Resultaterne af målinger af en vis mængde er karakteriseret ved en relativ fejl. Værdien kan udtrykkes i procent.

Af formlerne (1) og (2) følger det, at for at finde de absolutte og relative målefejl skal vi kende ikke kun den målte, men også den sande værdi af den mængde, der er af interesse for os. Men hvis den sande værdi er kendt, er der ingen grund til at foretage målinger. Formålet med målinger er altid at finde ud af den ukendte værdi af en bestemt størrelse og at finde, hvis ikke dens sande værdi, så i det mindste en værdi, der afviger ganske lidt fra den. Derfor er formlerne (1) og (2), som bestemmer størrelsen af ​​fejl, ikke egnede i praksis. Ved praktiske målinger beregnes fejl ikke, men estimeres derimod. Vurderingerne tager højde for de eksperimentelle forhold, metodikkens nøjagtighed, instrumenternes kvalitet og en række andre faktorer. Vores opgave: at lære, hvordan man konstruerer en eksperimentel metodik og korrekt bruger de erfaringer, der er opnået, for at finde værdier af målte mængder, der er tilstrækkeligt tæt på de sande værdier, og for rimeligt at evaluere målefejl.

Når vi taler om målefejl, bør vi først og fremmest nævne grove fejl (misser) opstået på grund af forsøgslederens tilsyn eller udstyrsfejl. Alvorlige fejl bør undgås. Hvis det konstateres, at de er sket, skal de tilsvarende målinger kasseres.

Eksperimentelle fejl, der ikke er forbundet med grove fejl, er opdelt i tilfældige og systematiske.

Medtilfældige fejl. Ved at gentage de samme målinger mange gange, kan du bemærke, at deres resultater ganske ofte ikke er nøjagtigt ens med hinanden, men "danser" omkring et gennemsnit (fig. 1). Fejl, der ændrer størrelse og fortegn fra eksperiment til eksperiment, kaldes tilfældige. Tilfældige fejl introduceres ufrivilligt af forsøgslederen på grund af ufuldkommenhed i sanseorganerne, tilfældigt eksterne faktorer osv. Hvis fejlen i hver enkelt måling er fundamentalt uforudsigelig, så ændrer de tilfældigt værdien af ​​den målte størrelse. Disse fejl kan kun vurderes ved hjælp af statistisk behandling af flere målinger af den ønskede mængde.

Systematisk fejl kan være forbundet med instrumentfejl (forkert skala, ujævnt strækkende fjeder, ujævn mikrometerskruestigning, ulige balancearme osv.) og med selve forsøget. De bevarer deres størrelse (og fortegn!) under eksperimentet. Som følge af systematiske fejl svinger de eksperimentelle resultater, der er spredt på grund af tilfældige fejl, ikke omkring den sande værdi, men omkring en vis skæv værdi (fig. 2). fejlen for hver måling af den ønskede mængde kan forudsiges på forhånd, ved at kende enhedens egenskaber.

Beregning af fejl ved direkte målinger

Systematiske fejl. Systematiske fejl ændrer naturligvis værdierne af den målte mængde. De fejl, der indføres i målinger af instrumenter, vurderes nemmest, hvis de er relateret til designfunktioner selve enhederne. Disse fejl er angivet i passet til enhederne. Fejlene på nogle enheder kan vurderes uden at henvise til databladet. For mange elektriske måleinstrumenter er deres nøjagtighedsklasse angivet direkte på skalaen.

Instrumentets nøjagtighedsklasse- dette er forholdet mellem enhedens absolutte fejl og den maksimale værdi af den målte værdi, som kan bestemmes ved hjælp af denne enhed (dette er den systematiske relative fejl for denne enhed, udtrykt som en procentdel af skalavurderingen).

.

Så er den absolutte fejl for en sådan enhed bestemt af forholdet:

.

For elektriske måleinstrumenter er der indført 8 nøjagtighedsklasser: 0,05; 0,1; 0,5; 1,0; 1,5; 2,0; 2,5; 4.

Jo tættere den målte værdi er på den nominelle værdi, jo mere nøjagtigt vil måleresultatet være. Den maksimale nøjagtighed (dvs. den mindste relative fejl), som en given enhed kan give, er lig med nøjagtighedsklassen. Denne omstændighed skal tages i betragtning ved brug af multiskala instrumenter. Skalaen skal vælges på en sådan måde, at den målte værdi, mens den forbliver inden for skalaen, er så tæt som muligt på den nominelle værdi.

Hvis nøjagtighedsklassen for enheden ikke er specificeret, skal følgende regler følges:

· Den absolutte fejl af instrumenter med en noren er lig med nocens nøjagtighed.

· Den absolutte fejl for instrumenter med en fast pilehøjde er lig med divisionsværdien.

· Den absolutte fejl for digitale enheder er lig med et minimumsciffer.

· For alle andre instrumenter antages den absolutte fejl at være lig med halvdelen af ​​divisionsværdien.

Tilfældige fejl. Disse fejl er af statistisk karakter og er beskrevet ved sandsynlighedsteori. Det er fastslået, at med et meget stort antal målinger kan sandsynligheden for at opnå et eller andet resultat i hver enkelt måling bestemmes ved hjælp af den gaussiske normalfordeling. Med et lille antal målinger kaldes den matematiske beskrivelse af sandsynligheden for at opnå et eller andet måleresultat Elevfordelingen (det kan du læse mere om i manualen "Målefejl af fysiske størrelser").

Hvordan vurderer man den sande værdi af den målte mængde?

Antag, at når vi målte en bestemt værdi, modtog vi N resultater: . Det aritmetiske middelværdi af en række målinger er tættere på den sande værdi af den målte størrelse end de fleste individuelle målinger. For at opnå resultatet af måling af en bestemt værdi, bruges følgende algoritme.

1). Beregnet aritmetisk middelværdi serie af N direkte målinger:

2). Beregnet absolut tilfældig fejl for hver måling er forskellen mellem det aritmetiske middelværdi af en serie af N direkte målinger og denne måling:

.

3). Beregnet middel kvadratisk absolut fejl:

.

4). Beregnet absolut tilfældig fejl. Hvis ikke stort antal målinger, kan den absolutte tilfældige fejl beregnes gennem middelkvadratfejlen og en bestemt koefficient kaldet Studentkoefficienten:

,

Student-koefficienten afhænger af antallet af målinger N og reliabilitetskoefficienten (Tabel 1 viser Student-koefficientens afhængighed af antallet af målinger ved en fast værdi af reliabilitetskoefficienten).

Pålidelighedsfaktor er sandsynligheden for, at den sande værdi af den målte værdi falder inden for konfidensintervallet.

Konfidensinterval er et numerisk interval, hvori den sande værdi af den målte størrelse falder med en vis sandsynlighed.

Studentkoefficienten er således det tal, som middelkvadratfejlen skal ganges med for at sikre den angivne pålidelighed af resultatet for et givet antal målinger.

Jo større pålidelighed, der kræves for et givet antal målinger, jo større er Student-koefficienten. På den anden side end større antal målinger, jo lavere er Student-koefficienten for en given reliabilitet. I laboratoriearbejdet på vores værksted vil vi antage, at reliabiliteten er givet og lig med 0,9. Numeriske værdier af elevens koefficienter ved denne pålidelighed for forskellige tal målene er angivet i tabel 1.

Tabel 1

Antal målinger N

Elevens koefficient

5). Beregnet total absolut fejl. I enhver måling er der både tilfældige og systematiske fejl. At beregne den totale (totale) absolutte målefejl er ikke en let opgave, da disse fejl er af forskellig karakter.

For tekniske målinger giver det mening at opsummere de systematiske og tilfældige absolutte fejl

.

For at lette beregningerne er det sædvanligt at estimere den totale absolutte fejl som summen af ​​de absolutte tilfældige og absolutte systematiske (instrumentelle) fejl, hvis fejlene er af samme størrelsesorden, og at negligere en af ​​fejlene, hvis den er mere end en størrelsesorden (10 gange) mindre end den anden.

6). Fejlen og resultatet er afrundet. Da måleresultatet præsenteres som et interval af værdier, hvis værdi er bestemt af den totale absolutte fejl, er korrekt afrunding af resultat og fejl vigtig.

Afrunding begynder med absolut fejl!!! Antallet af signifikante tal, der er tilbage i fejlværdien, afhænger generelt af pålidelighedskoefficienten og antallet af målinger. Dog selv for meget præcise mål(for eksempel astronomisk), hvor den nøjagtige værdi af fejlen er vigtig, efterlad ikke mere end to signifikante tal. Et større antal tal giver ikke mening, da definitionen af ​​fejl i sig selv har sin egen fejl. Vores praksis har en relativt lille pålidelighedskoefficient og et lille antal målinger. Derfor, når der afrundes (med overskydende), overlades den samlede absolutte fejl til et signifikant tal.

Cifferet for det signifikante ciffer af den absolutte fejl bestemmer cifferet for det første tvivlsomme ciffer i resultatværdien. Følgelig skal værdien af ​​selve resultatet afrundes (med korrektion) til det signifikante ciffer, hvis ciffer falder sammen med cifferet for det signifikante ciffer i fejlen. Den formulerede regel bør også anvendes i tilfælde, hvor nogle af tallene er nuller.

Hvis resultatet opnået ved måling af kropsvægt er , så er det nødvendigt at skrive nuller i slutningen af ​​tallet 0,900. Registreringen ville betyde, at der ikke vides noget om de næste signifikante cifre, mens målingerne viste, at de var nul.

7). Beregnet relativ fejl.

Ved afrunding af den relative fejl er det nok at efterlade to væsentlige tal.

r resultatet af en række målinger af en bestemt fysisk størrelse præsenteres i form af et interval af værdier, der angiver sandsynligheden for, at den sande værdi falder ind i dette interval, det vil sige, at resultatet skal skrives i form:

Her er den totale absolutte fejl, afrundet til det første signifikante ciffer, og er gennemsnitsværdien af ​​den målte værdi, afrundet under hensyntagen til den allerede afrundede fejl. Når du registrerer et måleresultat, skal du angive måleenheden for værdien.

Lad os se på et par eksempler:

1. Antag, at når vi målte længden af ​​et segment, fik vi følgende resultat: cm og cm Hvordan skriver man korrekt ned resultatet af at måle længden af ​​et segment? Først runder vi den absolutte fejl af med overskydende, og efterlader et signifikant ciffer, se Signifikant ciffer i fejlen i hundrededele. Derefter afrunder vi med korrektionen gennemsnitsværdien til nærmeste hundrededel, dvs. til det signifikante ciffer, hvis ciffer falder sammen med cifferet for det signifikante ciffer i fejlen se Beregn den relative fejl

.

cm; ; .

2. Lad os antage, at vi ved beregning af ledermodstanden opnåede følgende resultat: Og . Først runder vi den absolutte fejl og efterlader et væsentligt tal. Så afrunder vi gennemsnittet til nærmeste heltal. Beregn den relative fejl

.

Vi skriver måleresultatet som følger:

; ; .

3. Antag, at vi ved beregning af belastningens masse modtog følgende resultat: kg og kg. Først runder vi den absolutte fejl og efterlader et væsentligt tal kg. Så afrunder vi gennemsnittet til nærmeste tiere kg. Beregn den relative fejl

.

.

Spørgsmål og opgaver om fejlteori

1. Hvad vil det sige at måle en fysisk størrelse? Giv eksempler.

2. Hvorfor opstår der målefejl?

3. Hvad er absolut fejl?

4. Hvad er relativ fejl?

5. Hvilken fejl karakteriserer kvaliteten af ​​målingen? Giv eksempler.

6. Hvad er et konfidensinterval?

7. Definer begrebet "systematisk fejl".

8. Hvad er årsagerne til systematiske fejl?

9. Hvad er nøjagtighedsklassen måleinstrument?

10. Hvordan bestemmes de absolutte fejl for forskellige fysiske instrumenter?

11. Hvilke fejl kaldes tilfældige, og hvordan opstår de?

12. Beskriv fremgangsmåden til beregning af middelkvadratfejlen.

13. Beskriv fremgangsmåden til beregning af den absolutte tilfældige fejl ved direkte målinger.

14. Hvad er en "pålidelighedsfaktor"?

15. Hvilke parametre og hvordan afhænger elevkoefficienten af?

16. Hvordan beregnes den totale absolutte fejl ved direkte målinger?

17. Skriv formler til bestemmelse af de relative og absolutte fejl ved indirekte målinger.

18. Formuler reglerne for afrunding af resultatet med en fejl.

19. Find den relative fejl ved at måle væggens længde ved hjælp af et målebånd med en divisionsværdi på 0,5 cm. Den målte værdi var 4,66 m.

20. Ved måling af længden af ​​siderne A og B i rektanglet blev der lavet absolutte fejl henholdsvis ΔA og ΔB. Skriv en formel til at beregne den absolutte fejl ΔS opnået ved bestemmelse af arealet ud fra resultaterne af disse målinger.

21. Målingen af ​​terningkantlængden L havde en fejl ΔL. Skriv en formel til at bestemme den relative fejl af rumfanget af en terning baseret på resultaterne af disse målinger.

22. En krop bevægede sig ensartet accelereret fra en hviletilstand. For at beregne accelerationen målte vi vejen S tilbagelagt af kroppen og tidspunktet for dets bevægelse t. De absolutte fejl af disse direkte målinger var henholdsvis ΔS og Δt. Udled en formel til at beregne den relative accelerationsfejl ud fra disse data.

23. Ved beregning af varmeapparatets effekt i henhold til måledata blev værdierne Pav = 2361.7893735 W og ΔР = 35.4822 W opnået. Registrer resultatet som et konfidensinterval, afrund efter behov.

24. Ved beregning af modstandsværdien baseret på måledata blev følgende værdier opnået: Rav = 123,7893735 Ohm, ΔR = 0,348 Ohm. Registrer resultatet som et konfidensinterval, afrund efter behov.

25. Ved beregning af friktionskoefficienten baseret på måledata blev værdierne μav = 0,7823735 og Δμ = 0,03348 opnået. Registrer resultatet som et konfidensinterval, afrund efter behov.

26. En strøm på 16,6 A blev bestemt ved hjælp af en enhed med en nøjagtighedsklasse på 1,5 og en skala på 50 A. Find de absolutte instrumentelle og relative fejl for denne måling.

27. I en serie på 5 målinger af pendulets svingningsperiode blev følgende værdier opnået: 2,12 s, 2,10 s, 2,11 s, 2,14 s, 2,13 s. Find den absolutte tilfældige fejl ved at bestemme perioden ud fra disse data.

28. Forsøget med at tabe en last fra en vis højde blev gentaget 6 gange. I dette tilfælde blev følgende værdier for belastningsfaldstiden opnået: 38,0 s, 37,6 s, 37,9 s, 37,4 s, 37,5 s, 37,7 s. Find den relative fejl ved bestemmelse af faldtidspunktet.

Divisionsværdien er en målt værdi, der får markøren til at afvige en division. Delingsværdien bestemmes som forholdet mellem den øvre grænse for målingen af ​​enheden og antallet af skalainddelinger.

På grund af de iboende fejl i måleinstrumentet, den valgte metode og måleteknik, forskelle ydre forhold, hvor målingen udføres, er resultatet af næsten enhver måling af etablerede og andre årsager behæftet med fejl. Denne fejl beregnes eller estimeres og tildeles det opnåede resultat.

Måleresultat fejl(kort sagt - målefejl) - afvigelsen af ​​måleresultatet fra den sande værdi af den målte værdi.

Den sande værdi af mængden forbliver ukendt på grund af tilstedeværelsen af ​​fejl. Det bruges til at løse teoretiske problemer inden for metrologi. I praksis anvendes den faktiske værdi af mængden, som erstatter den sande værdi.

Målefejlen (Δx) findes ved formlen:

x = x mål. - x gyldig (1.3)

hvor x måler. - værdien af ​​den opnåede mængde på grundlag af målinger; x gyldig — værdien af ​​den mængde, der tages som reel.

For enkeltmålinger antages den faktiske værdi ofte at være den værdi, der opnås ved brug af et standardmåleinstrument for flere målinger, det aritmetiske gennemsnit af værdierne af individuelle målinger, der er inkluderet i en given serie.

Målefejl kan klassificeres efter følgende kriterier:

Af karakteren af ​​manifestationerne - systematisk og tilfældig;

Ifølge udtryksmetoden - absolut og relativ;

Ifølge betingelserne for ændring i den målte værdi - statisk og dynamisk;

Ifølge metoden til behandling af en række målinger - aritmetiske gennemsnit og rodmiddelkvadrater;

Ifølge fuldstændigheden af ​​dækningen af ​​måleopgaven - delvis og fuldstændig;

I forhold til en fysisk størrelsesenhed - fejl ved gengivelse af enheden, lagring af enheden og transmission af enhedens størrelse.

Systematisk målefejl(kort sagt - systematisk fejl) - en komponent af fejlen i et måleresultat, der forbliver konstant for en given serie af målinger eller ændrer sig naturligt med gentagne målinger af samme fysiske størrelse.

Ifølge arten af ​​deres manifestation er systematiske fejl opdelt i permanente, progressive og periodiske. Konstante systematiske fejl(kort sagt - konstante fejl) - fejl, lang tid bevare deres værdi (f.eks. gennem hele rækken af ​​målinger). Dette er den mest almindelige type fejl.

Progressive systematiske fejl(kort sagt - progressive fejl) - konstant stigende eller faldende fejl (f.eks. fejl fra slid på målespidser, der kommer i kontakt med delen under slibningsprocessen, når den overvåges med en aktiv styreenhed).

Periodisk systematisk fejl(kortvarigt - periodisk fejl) - en fejl, hvis værdi er en funktion af tiden eller en funktion af bevægelsen af ​​viseren på en måleanordning (f.eks. forårsager tilstedeværelsen af ​​excentricitet i goniometeranordninger med en cirkulær skala en systematisk fejl, der varierer i henhold til en periodisk lov).

Ud fra årsagerne til, at der opstår systematiske fejl, skelnes der mellem instrumentelle fejl, metodefejl, subjektive fejl og fejl, der skyldes afvigelser af eksterne måleforhold fra dem, der er fastlagt af metoderne.

Instrumentel målefejl(kort - instrumentel fejl) er en konsekvens af en række årsager: slid på instrumentdele, overdreven friktion i instrumentmekanismen, unøjagtig markering af slag på skalaen, uoverensstemmelse mellem de faktiske og nominelle værdier af målingen osv.

Målemetode fejl(kort sagt - metodefejl) kan opstå på grund af målemetodens ufuldkommenhed eller dens forenklinger etableret af målemetoden. For eksempel kan en sådan fejl skyldes utilstrækkelig ydeevne af de måleinstrumenter, der anvendes ved måling af parametrene for hurtige processer, eller uovervejede urenheder ved bestemmelse af densiteten af ​​et stof baseret på resultaterne af måling af dets masse og volumen.

Subjektiv målefejl(kort sagt subjektiv fejl) skyldes operatørens individuelle fejl. Denne fejl kaldes nogle gange personlig forskel. Det skyldes for eksempel en forsinkelse eller fremskridt i operatørens accept af et signal.

Fejl på grund af afvigelse(i én retning) fører de eksterne måleforhold fra dem, der er etableret ved måleteknikken, til fremkomsten af ​​en systematisk komponent af målefejlen.

Systematiske fejl forvrænger måleresultatet, så de skal så vidt muligt elimineres ved at indføre rettelser eller justere apparatet for at bringe systematiske fejl til et acceptabelt minimum.

Ikke-ekskluderet systematisk fejl(kort sagt - ikke-udelukket fejl) er fejlen i måleresultatet, som skyldes fejlen i beregning og indførelse af en korrektion for virkningen af ​​en systematisk fejl, eller en lille systematisk fejl, hvis korrektion ikke er indført pga. til dens lillehed.

Nogle gange kaldes denne type fejl ikke-udelukkede rester af systematisk fejl(kort sagt - ikke-ekskluderede saldi). For eksempel, ved måling af længden af ​​en linjemåler i bølgelængder af referencestråling, blev der identificeret flere ikke-udelukkede systematiske fejl (i): på grund af unøjagtig temperaturmåling - 1; på grund af unøjagtig bestemmelse af luftens brydningsindeks - 2, på grund af unøjagtig bølgelængde - 3.

Normalt tages der højde for summen af ​​ikke-udelukkede systematiske fejl (deres grænser er sat). Når antallet af led er N ≤ 3, beregnes grænserne for ikke-udelukkede systematiske fejl ved hjælp af formlen

Når antallet af led er N ≥ 4, bruges formlen til beregninger

(1.5)

hvor k er afhængighedskoefficienten for ikke-udelukkede systematiske fejl på den valgte konfidenssandsynlighed P, når de er ensartet fordelt. Ved P = 0,99, k = 1,4, ved P = 0,95, k = 1,1.

Tilfældig målefejl(kort sagt - tilfældig fejl) - en komponent af fejlen i et måleresultat, der ændres tilfældigt (i fortegn og værdi) i en række målinger af samme størrelse som en fysisk størrelse. Årsager til tilfældige fejl: afrundingsfejl ved aflæsninger, variation i aflæsninger, ændringer i målebetingelser tilfældig osv.

Tilfældige fejl forårsager spredning af måleresultater i en serie.

Teorien om fejl er baseret på to principper, bekræftet af praksis:

1. Med et stort antal målinger, tilfældige fejl af samme numerisk værdi, Men anderledes tegn, forekomme lige ofte;

2. Store (i absolut værdi) fejl er mindre almindelige end små.

Fra den første position følger en vigtig konklusion for praksis: efterhånden som antallet af målinger stiger, falder den tilfældige fejl af resultatet opnået fra en række målinger, da summen af ​​fejlene af individuelle målinger af en given serie har en tendens til nul, dvs.

(1.6)

For eksempel, som et resultat af målinger, blev der opnået en række værdier elektrisk modstand(korrigeret for systematiske fejl): R 1 = 15,5 Ohm, R 2 = 15,6 Ohm, R 3 = 15,4 Ohm, R 4 = 15,6 Ohm og R 5 = 15,4 Ohm. R = 15,5 Ohm. Afvigelser fra R (R 1 = 0,0; R 2 = +0,1 Ohm, R 3 = -0,1 Ohm, R 4 = +0,1 Ohm og R 5 = -0,1 Ohm) er tilfældige fejl af individuelle målinger i denne serie. Det er let at verificere, at summen R i = 0,0. Dette indikerer, at fejlene i individuelle målinger i denne serie er beregnet korrekt.

På trods af det faktum, at når antallet af målinger stiger, har summen af ​​tilfældige fejl en tendens til nul (i i dette eksempel det viste sig ved et uheld at være lig nul), skal den tilfældige fejl i måleresultatet vurderes. I teorien om tilfældige variable er karakteristikken for spredning af værdier tilfældig variabel tjener som dispersion o2. "|/o2 = a kaldes den gennemsnitlige kvadratafvigelse af populationen eller standardafvigelsen.

Det er mere bekvemt end spredning, da dets dimension falder sammen med dimensionen af ​​den målte mængde (for eksempel opnås værdien af ​​mængden i volt, standardafvigelsen vil også være i volt). Da vi i målepraksis beskæftiger os med udtrykket "fejl", bør det afledte udtryk "middelkvadratfejl" bruges til at karakterisere en række målinger. Et kendetegn ved en række målinger kan være den aritmetiske middelfejl eller rækken af ​​måleresultater.

Udvalg af måleresultater (spændvidde for kort) — algebraisk forskel de største og mindste resultater af individuelle målinger, der danner en serie (eller stikprøve) af n målinger:

Rn = X max - X min (1,7)

hvor Rn er området; X max og X min - den største og mindste værdi værdier i en given serie af målinger.

For eksempel, ud af fem målinger af huldiameteren d, viste værdierne R 5 = 25,56 mm og R 1 = 25,51 mm at være dens maksimale og minimale værdier. I dette tilfælde er Rn = d5 - d1 = 25,56 mm - 25,51 mm = 0,05 mm. Det betyder, at de resterende fejl i denne serie er mindre end 0,05 mm.

Aritmetisk middelfejl af en individuel måling i en serie(kort - aritmetisk middelfejl) - en generaliseret karakteristik af spredningen (på grund af tilfældige årsager) af individuelle måleresultater (af samme mængde) inkluderet i en serie af n lige præcisionsuafhængige målinger, beregnet ved formlen

(1.8)

hvor X i er resultatet af den i-te måling inkluderet i serien; x er det aritmetiske middelværdi af n værdier: |Х і - X| — den absolutte værdi af fejlen i den i-te måling; r er den aritmetiske middelfejl.

Den sande værdi af den gennemsnitlige aritmetiske fejl p bestemmes ud fra relationen

p = lim r, (1,9)

Med antallet af målinger n > 30 mellem det aritmetiske middelværdi (r) og kvadratets middelværdi (s) der er sammenhænge mellem fejl

s = 1,25 r; r og = 0,80 s. (1,10)

Fordelen ved den aritmetiske middelfejl er enkelheden i dens beregning. Men alligevel bestemmes den gennemsnitlige kvadratfejl oftere.

Gennemsnitlig kvadratfejl individuel måling i en serie (kort sagt - middel kvadratisk fejl) - en generaliseret karakteristik af spredningen (på grund af tilfældige årsager) af individuelle måleresultater (af samme værdi) inkluderet i en serie af n uafhængige målinger med lige præcision, beregnet ved formlen

(1.11)

Gennemsnitlig kvadratfejl for generel prøve o, som er den statistiske grænse for S, kan beregnes ved /i-mx > ved hjælp af formlen:

Σ = lim S (1.12)

I virkeligheden er antallet af målinger altid begrænset, så det er ikke σ , og dens omtrentlige værdi (eller skøn), som er s. Jo flere p, jo tættere er s på grænsen σ .

På normal lov fordeling, er sandsynligheden for, at fejlen for en individuel måling i en serie ikke overstiger den beregnede middelkvadratfejl lille: 0,68. Derfor kan den faktiske fejl i 32 tilfælde ud af 100 eller 3 tilfælde ud af 10 være større end den beregnede.

Figur 1.2 Fald i værdien af ​​den tilfældige fejl af resultatet af flere målinger med en stigning i antallet af målinger i en serie

I en række målinger er der en sammenhæng mellem rodmiddelkvadratfejlen for en individuel måling s og rodmiddelkvadratfejlen for det aritmetiske middelværdi S x:

som ofte kaldes "U n-reglen". Af denne regel følger det, at målefejlen på grund af tilfældige årsager kan reduceres med n gange, hvis der udføres n målinger af samme størrelse af en hvilken som helst størrelse, og det aritmetiske gennemsnit tages som det endelige resultat (fig. 1.2).

Udførelse af mindst 5 målinger i en serie gør det muligt at reducere indflydelsen af ​​tilfældige fejl med mere end 2 gange. Med 10 målinger reduceres påvirkningen af ​​tilfældige fejl med 3 gange. En yderligere forøgelse af antallet af målinger er ikke altid økonomisk gennemførlig og udføres som regel kun for kritiske målinger, der kræver høj nøjagtighed.

Den gennemsnitlige kvadratiske fejl af en enkelt måling fra et antal homogene dobbeltmålinger S α beregnes ved formlen

(1.14)

hvor x" i og x"" i er de i-te resultater af målinger af samme størrelse mængde i frem- og tilbagegående retning med ét måleinstrument.

I tilfælde af uens målinger bestemmes den gennemsnitlige kvadratiske fejl af det aritmetiske gennemsnit i serien af ​​formlen

(1.15)

hvor p i er vægten af ​​den i-te måling i en række ulige målinger.

Den gennemsnitlige kvadratiske fejl af resultatet af indirekte målinger af værdien Y, som er en funktion af Y = F (X 1, X 2, X n), beregnes ved hjælp af formlen

(1.16)

hvor S 1, S 2, S n er rodmiddelkvadrat-fejlene for måleresultaterne for størrelserne X 1, X 2, X n.

Hvis der for at opnå større pålidelighed i at opnå et tilfredsstillende resultat udføres flere serier af målinger, findes kvadratmetalfejlen for en individuel måling fra m-serie (S m) ved hjælp af formlen

(1.17)

Hvor n er antallet af målinger i serien; N— samlet antal målinger i alle serier; m er antallet af serier.

Med et begrænset antal målinger er det ofte nødvendigt at kende fejlen i kvadratmetal. For at bestemme fejlen S, beregnet ved formel (2.7), og fejlen S m, beregnet ved formel (2.12), kan du bruge følgende udtryk

(1.18)

(1.19)

hvor S og S m er de gennemsnitlige kvadratiske fejl af henholdsvis S og S m .

For eksempel, når vi behandlede resultaterne af en række målinger af længde x, opnåede vi

= 86 mm 2 ved n = 10,

= 3,1 mm

= 0,7 mm eller S = ±0,7 mm

Værdien S = ±0,7 mm betyder, at s på grund af regnefejlen ligger i området fra 2,4 til 3,8 mm, derfor er tiendedele af en millimeter upålidelige her. I det betragtede tilfælde skal vi skrive: S = ±3 mm.

For at have større tillid til at vurdere fejlen i et måleresultat skal du beregne konfidensfejlen eller konfidensgrænserne for fejlen. Under normalfordelingsloven beregnes fejlens konfidensgrænser som ±t-s eller ±t-s x, hvor henholdsvis s og s x er middelkvadratfejlene for en individuel måling i serien og den aritmetiske middelværdi; t er et tal afhængigt af konfidenssandsynligheden P og antallet af målinger n.

Et vigtigt begreb er pålideligheden af ​​måleresultatet (α), dvs. sandsynligheden for, at den ønskede værdi af den målte størrelse falder inden for et givet konfidensinterval.

For eksempel, når du behandler dele på værktøjsmaskiner i en stabil teknologisk tilstand, overholder fordelingen af ​​fejl den normale lov. Lad os antage, at tolerancen for delens længde er sat til 2a. I dette tilfælde vil konfidensintervallet, hvori den ønskede værdi af dellængden a er placeret, være (a - a, a + a).

Hvis 2a = ±3s, så er pålideligheden af ​​resultatet a = 0,68, dvs. i 32 tilfælde ud af 100 skal man forvente, at delstørrelsen overstiger tolerance 2a. Ved vurdering af kvaliteten af ​​en del efter en tolerance på 2a = ±3s, vil pålideligheden af ​​resultatet være 0,997. I dette tilfælde kan vi forvente, at kun tre dele ud af 1000 overskrider den etablerede tolerance. En stigning i pålideligheden er dog kun mulig ved at reducere fejlen i delens længde. For at øge pålideligheden fra a = 0,68 til a = 0,997 skal fejlen i længden af ​​delen reduceres med tre gange.

I på det seneste Begrebet "målepålidelighed" er blevet udbredt. I nogle tilfælde bruges det urimeligt i stedet for udtrykket "målenøjagtighed." For eksempel kan du i nogle kilder finde udtrykket "etablering af enhed og pålidelighed af målinger i landet." Hvorimod det ville være mere korrekt at sige "etablering af enhed og krævede nøjagtighed af målinger." Vi betragter pålidelighed som en kvalitativ egenskab, der afspejler nærheden af ​​nul af tilfældige fejl. Det kan bestemmes kvantitativt gennem målingernes upålidelighed.

Upålidelighed af målinger(kort sagt - upålidelighed) - en vurdering af uoverensstemmelsen mellem resultaterne i en række målinger på grund af indflydelsen af ​​den samlede indflydelse af tilfældige fejl (bestemt ved statistiske og ikke-statistiske metoder), kendetegnet ved rækken af ​​værdier hvor den sande værdi af den målte værdi er placeret.

I overensstemmelse med anbefalingerne fra International Bureau of Weights and Measures udtrykkes upålidelighed i form af en total gennemsnitlig kvadratisk målefejl - Su, inklusive middelkvadratfejlen S (bestemt ved statistiske metoder) og middelkvadratfejlen u (bestemt ved ikke-statistiske metoder), dvs.

(1.20)

Maksimal målefejl(kort - maksimal fejl) - den maksimale målefejl (plus, minus), hvis sandsynlighed ikke overstiger værdien P, mens forskellen 1 - P er ubetydelig.

For eksempel med en normalfordelingslov er sandsynligheden for en tilfældig fejl lig med ±3s 0,997, og forskellen 1-P = 0,003 er ubetydelig. Derfor tages konfidensfejlen på ±3s i mange tilfælde som maksimum, dvs. pr = ±3s. Om nødvendigt kan pr have andre relationer med s ved et tilstrækkeligt stort P (2s, 2,5s, 4s osv.).

På grund af det faktum, at i GSI-standarderne i stedet for udtrykket "middelkvadratfejl" bruges udtrykket "middelkvadratafvigelse", vil vi i yderligere diskussioner holde os til netop dette udtryk.

Absolut målefejl(kort sagt - absolut fejl) - målefejl udtrykt i enheder af den målte værdi. Således repræsenterer fejlen X ved måling af længden af ​​del X, udtrykt i mikrometer, en absolut fejl.

Begreberne "absolut fejl" og "absolut fejlværdi" bør ikke forveksles, hvilket refererer til værdien af ​​fejlen uden at tage hensyn til tegnet. Så hvis den absolutte målefejl er ±2 μV, vil den absolutte værdi af fejlen være 0,2 μV.

Relativ målefejl(kort sagt - relativ fejl) - målefejl, udtrykt i brøkdele af værdien af ​​den målte værdi eller i procent. Den relative fejl δ findes ud fra relationerne:

(1.21)

For eksempel er der en reel værdi af dellængden x = 10,00 mm og en absolut værdi af fejlen x = 0,01 mm. Den relative fejl vil være

Statisk fejl— fejl i måleresultatet på grund af betingelserne for statisk måling.

Dynamisk fejl— fejl i måleresultatet på grund af betingelserne for dynamisk måling.

Enhedsgengivelsesfejl— fejl i resultatet af målinger udført ved reproduktion af en fysisk størrelsesenhed. Således er fejlen ved at gengive en enhed ved hjælp af en tilstandsstandard angivet i form af dens komponenter: den ikke-udelukkede systematiske fejl, karakteriseret ved dens grænse; tilfældig fejl karakteriseret ved standardafvigelse s og ustabilitet over året ν.

Enhedsstørrelse transmissionsfejl— fejl i resultatet af målinger udført ved overførsel af størrelsen af ​​en enhed. Fejlen ved transmission af enhedsstørrelsen inkluderer ikke-udelukkede systematiske fejl og tilfældige fejl i metoden og midlerne til at transmittere enhedsstørrelsen (for eksempel en komparator).

I dette emne vil jeg skrive noget som et kort snydeark om fejl. Igen er denne tekst på ingen måde officiel, og henvisning til den er uacceptabel. Jeg ville være taknemmelig for rettelsen af ​​eventuelle fejl eller unøjagtigheder, der måtte være i denne tekst.

Hvad er fejl?

At registrere resultatet af et eksperiment af formen () betyder, at hvis vi udfører mange identiske eksperimenter, så vil de opnåede resultater i 70% ligge i intervallet, og i 30% vil de ikke.

Eller, hvilket er det samme, hvis vi gentager eksperimentet, så nyt resultat vil falde inden for konfidensintervallet med en sandsynlighed lig med konfidenssandsynligheden .

Hvordan afrundes fejlen og resultatet?

Fejlen er afrundet til det første signifikante ciffer, hvis det ikke er en. Hvis en - så op til to. På samme tid betydelig tal et hvilket som helst ciffer i resultatet undtagen indledende nuller kaldes.

Rund til eller eller men under ingen omstændigheder eller , da der er 2 signifikante tal - 2 og 0 efter de to.

Afrund op til eller

Afrund op til eller eller

Vi runder resultatet, så det sidste betydelig tal resultatet svarede til det sidste signifikante ciffer i fejlen.

Eksempler korrekt indtastning:

mm

Um, lad os holde fejlen her til 2 signifikante cifre, fordi det første signifikante tal i fejlen er et.

mm

Eksempler forkert indtastning:

Mm. Her ekstra tegn som følge heraf. mm vil være korrekt.

mm. Her ekstra tegn både ved fejl og som følge heraf. mm vil være korrekt.

I mit arbejde bruger jeg den værdi, jeg har fået, blot som et tal. For eksempel en masse af vægte. Hvad er dens fejlmargin?

Hvis fejlen ikke udtrykkeligt er angivet, kan du tage en i det sidste ciffer. Det vil sige, at hvis m = 1,35 g er skrevet, skal fejlen tages som 0,01 g.

Der er en funktion af flere mængder. Hver af disse mængder har sin egen fejl. For at finde fejlen i funktionen skal du gøre følgende:

Symbolet betyder den partielle afledte af f i forhold til x. Læs mere om partielle derivater.

Antag, at du målte den samme mængde x flere (n) gange. Vi modtog et sæt værdier. . Du skal beregne spredningsfejlen, beregne instrumentfejlen og lægge dem sammen.

Punkt for punkt.

1. Vi beregner spredningsfejlen

Hvis alle værdier falder sammen, har du ingen spredning. Ellers er der en spredningsfejl, der skal beregnes. Til at begynde med beregnes gennemsnittet af gennemsnittet af fejlen i kvadratet:

Her betyder gennemsnittet over alt.
Spredningsfejlen opnås ved at gange middelværdien af ​​middelværdien af ​​middelværdien med elevkoefficienten, som afhænger af den konfidenssandsynlighed, du vælger, og antallet af målinger n:

Vi tager Elevens koefficienter fra tabellen nedenfor. Tillidssandsynligheden genereres vilkårligt, antallet af målinger n ved vi også.

2. Vi betragter instrumentfejlen for gennemsnittet

Hvis fejlene på forskellige punkter er forskellige, så ifølge formlen

Naturligvis bør alles tillidssandsynlighed være den samme.

3. Tilføj gennemsnittet med spredningen

Fejl lægges altid sammen som kvadratroden:

I dette tilfælde skal du sørge for, at de tillidssandsynligheder, som blev beregnet, er sammenfaldende.

Hvordan bestemmes instrumentfejlen for gennemsnittet ud fra en graf? Nå, det vil sige at bruge metoden med parrede punkter eller metoden mindste kvadrater, vil vi finde fejlen i spredningen af ​​den gennemsnitlige modstand. Hvordan finder man instrumentfejlen for den gennemsnitlige modstand?

Både i mindste kvadraters metode og i parret punkt metode er det muligt at give et strengt svar på dette spørgsmål. For MLS-forummet i Svetozarov er der ("Basics...", et afsnit om mindste kvadraters metode), og for parrede punkter er det første, der kommer til at tænke på (i panden, som man siger) at beregne den instrumentelle fejl af hver hældning. Nå, videre på alle punkter...

Hvis du ikke vil lide, så er der i laboratoriebøgerne en enkel måde at gøre det på vurderinger instrumentfejl af vinkelkoefficienten, nemlig fra følgende MNC (f.eks. før arbejde 1 i laboratoriebogen "Elektriske måleinstrumenter...." sidste side af Metodiske anbefalinger).

Hvor er den maksimale afvigelse langs Y-aksen af ​​et punkt med en fejl fra den tegnede rette linje, og nævneren er bredden af ​​området af vores graf langs Y-aksen Ligeledes for X-aksen.

Nøjagtighedsklassen er skrevet på modstandsmagasinet: 0,05/4*10^-6? Hvordan finder man instrumentfejlen fra dette?

Dette betyder, at den maksimale relative fejl for enheden (i procent) har formen:
, Hvor
- højeste værdi lagermodstand, a er den nominelle værdi af den inkluderede modstand.
Det er let at se, at den anden periode er vigtig, når vi arbejder med meget lave modstande.

Flere detaljer kan altid findes i enhedspasset. Passet kan findes på internettet ved at indtaste enhedens mærke i Google.

Litteratur om fejl

Meget mere information om dette emne kan findes i bogen anbefalet til freshmen:
V.V. Svetozarov "Elementær behandling af måleresultater"

Som yderligere (til nybagte studerende) litteratur kan vi anbefale:
V.V. Svetozarov "Grundlæggende om statistisk behandling af måleresultater"

Og de, der endelig vil forstå alt, bør bestemt kigge her:
J. Taylor. "Introduktion til fejlteori"

Tak, fordi du fandt og postede disse vidunderlige bøger på dit websted.

1. Introduktion

Arbejdet hos kemikere, fysikere og repræsentanter for andre naturvidenskabelige erhverv involverer ofte at udføre kvantitative målinger af forskellige mængder. I dette tilfælde opstår spørgsmålet om at analysere pålideligheden af ​​de opnåede værdier, behandle resultaterne af direkte målinger og vurdere fejlene i beregninger, der bruger værdierne af direkte målte egenskaber (sidstnævnte proces kaldes også behandling af resultater indirekte mål). Af en række objektive grunde er kendskabet til kandidater fra Det Kemiske Fakultet ved Moscow State University om beregningsfejl ikke altid tilstrækkeligt til korrekt behandling af de opnåede data. En af disse årsager er fraværet i fakultetspensum af et kursus om statistisk behandling af måleresultater.

TIL i dette øjeblik spørgsmålet om regnefejl er naturligvis blevet udtømmende undersøgt. Eksisterer stort antal metodiske udviklinger, lærebøger mv., hvor du kan finde information om regnefejl. Desværre er de fleste af disse værker overbelastet med yderligere og ikke altid nødvendige oplysninger. Især kræver det meste af arbejdet i elevworkshops ikke handlinger som at sammenligne stikprøver, vurdere konvergens osv. Derfor forekommer det hensigtsmæssigt at lave en kort udvikling, der skitserer algoritmerne for de mest anvendte beregninger, hvilket er hvad denne udvikling er afsat til.

2. Notation vedtaget i dette værk

Den målte værdi - gennemsnitsværdien af ​​den målte værdi - den absolutte fejl af middelværdien af ​​den målte værdi - den relative fejl i gennemsnitsværdien af ​​den målte værdi.

3. Beregning af fejl ved direkte målinger

Så lad os antage, at de blev udført n målinger af samme mængde under samme forhold. I dette tilfælde kan du beregne gennemsnitsværdien af ​​denne værdi i de foretagne målinger:

(1)

Hvordan beregner man fejlen? Efter følgende formel:

(2)

Denne formel bruger Student-koefficienten. Dens værdier ved forskellige tillidssandsynligheder og værdier er angivet.

3.1. Et eksempel på beregning af fejl ved direkte målinger:

Opgave.

Længden af ​​metalstangen blev målt. Der blev foretaget 10 målinger, og følgende værdier blev opnået: 10 mm, 11 mm, 12 mm, 13 mm, 10 mm, 10 mm, 11 mm, 10 mm, 10 mm, 11 mm. Det er nødvendigt at finde gennemsnitsværdien af ​​den målte værdi (længde af bjælken) og dens fejl.

Løsning.

Ved hjælp af formel (1) finder vi:

mm

Nu ved hjælp af formel (2) finder vi den absolutte fejl af gennemsnitsværdien med tillidssandsynlighed og antallet af frihedsgrader (vi bruger værdien = 2,262, taget fra):

Lad os skrive resultatet ned:

10,8±0,7 0,95 mm

4. Beregning af fejl ved indirekte målinger

Lad os antage, at under forsøget måles mængderne og derefter c Ved hjælp af de opnåede værdier beregnes værdien ved hjælp af formlen .

I dette tilfælde beregnes fejlene for direkte målte mængder som beskrevet i afsnit 3.

Beregningen af ​​gennemsnitsværdien af ​​en mængde udføres i henhold til afhængigheden ved hjælp af gennemsnitsværdierne af argumenterne.

,(3)

Fejlværdien beregnes ved hjælp af følgende formel:

hvor er antallet af argumenter, er den partielle afledte af funktionen i forhold til argumenterne, er den absolutte fejl af argumentets gennemsnitlige værdi.

Den absolutte fejl, som ved direkte målinger, beregnes ved hjælp af formlen.

Opgave.

4.1. Et eksempel på beregning af fejl ved direkte målinger:

Der blev udført 5 direkte målinger af og. Følgende værdier blev opnået for værdien: 50, 51, 52, 50, 47; følgende værdier blev opnået for mængden: 500, 510, 476, 354, 520. Det er påkrævet at beregne værdien af ​​mængden bestemt af formlen og finde fejlen for den opnåede værdi.

I vores tid har mennesket opfundet og bruger et stort udvalg af alle slags måleinstrumenter. Men uanset hvor perfekt teknologien til deres fremstilling er, har de alle en større eller mindre fejl. Denne parameter er som regel angivet på selve instrumentet, og for at vurdere nøjagtigheden af ​​den værdi, der bestemmes, skal du være i stand til at forstå, hvad tallene angivet på mærkningen betyder. Derudover opstår der uundgåeligt relative og absolutte fejl under komplekse matematiske beregninger. Det er meget brugt i statistik, industri (kvalitetskontrol) og på en række andre områder. Hvordan denne værdi beregnes, og hvordan man fortolker dens værdi - det er præcis, hvad der vil blive diskuteret i denne artikel.

Absolut fejl Lad os angive med x den omtrentlige værdi af en mængde, opnået for eksempel gennem en enkelt måling, og med x 0 dens nøjagtige værdi. Lad os nu beregne størrelsen af ​​forskellen mellem disse to tal. Den absolutte fejl er præcis den værdi, vi fik som et resultat af denne simple operation. I formlernes sprog, denne definition

kan skrives på denne form: Δ x = | x - x 0 |.

Absolut afvigelse har en vigtig ulempe - det tillader ikke at vurdere graden af ​​vigtighed af fejlen. For eksempel køber vi 5 kg kartofler på markedet, og en skruppelløs sælger begik ved vægtmålingen en fejl på 50 gram til hans fordel. Det vil sige, at den absolutte fejl var 50 gram. For os vil en sådan forglemmelse kun være en bagatel, og vi vil ikke engang være opmærksomme på det. Forestil dig, hvad der vil ske, hvis en lignende fejl opstår under forberedelsen af ​​medicinen? Her vil alt være meget mere seriøst. Og når man læsser en godsvogn, vil der sandsynligvis forekomme afvigelser meget større end denne værdi. Derfor er selve den absolutte fejl ikke særlig informativ. Ud over det beregner de meget ofte den relative afvigelse, svarende til forholdet mellem den absolutte fejl og nøjagtige værdi tal. Dette er skrevet med følgende formel: δ = Δ x / x 0 .

Fejlegenskaber

Antag, at vi har to uafhængige størrelser: x og y. Vi skal beregne afvigelsen af ​​den omtrentlige værdi af deres sum. I dette tilfælde kan vi beregne den absolutte fejl som summen af ​​de forudberegnede absolutte afvigelser for hver af dem. I nogle målinger kan det ske, at fejl i bestemmelsen af ​​x- og y-værdier ophæver hinanden. Eller det kan ske, at afvigelserne som følge af addition bliver maksimalt intensiverede. Derfor, når den samlede absolutte fejl beregnes, skal det værst tænkelige scenarie tages i betragtning. Det samme gælder for forskellen mellem fejl af flere størrelser. Denne ejendom er kun karakteristisk for absolut fejl og kan ikke anvendes på relativ afvigelse, da dette uundgåeligt vil føre til et forkert resultat. Lad os se på denne situation ved hjælp af følgende eksempel.

Antag, at målinger inde i cylinderen viste, at den indre radius (R 1) er 97 mm, og den ydre radius (R 2) er 100 mm. Det er nødvendigt at bestemme tykkelsen af ​​dens væg. Lad os først finde forskellen: h = R 2 - R 1 = 3 mm. Hvis problemet ikke angiver, hvad den absolutte fejl er, tages det som halvdelen af ​​måleapparatets skaladeling. Således er Δ(R2) = Δ(R1) = 0,5 mm. Den totale absolutte fejl er: Δ(h) = Δ(R 2) + Δ(R 1) = 1 mm. Lad os nu beregne den relative afvigelse af alle værdier:

δ(R1) = 0,5/100 = 0,005,

δ(R1) = 0,5/97 ≈ 0,0052,

δ(h) = A(h)/h = 1/3 ≈ 0,3333>> δ(R1).

Som du kan se, overstiger fejlen ved måling af begge radier ikke 5,2%, og fejlen i beregningen af ​​deres forskel - tykkelsen af ​​cylindervæggen - var hele 33,(3)%!

Følgende egenskab siger: den relative afvigelse af produktet af flere tal er omtrent lig med summen af ​​de relative afvigelser af de enkelte faktorer:

δ(xy) ≈ δ(x) + δ(y).

Desuden denne regel er sandt uanset antallet af værdier, der evalueres. Den tredje og sidste egenskab ved relativ fejl er, at det relative skøn kth tal grad omtrent i | k | gange den relative fejl af det oprindelige tal.