Summen af ​​en aritmetisk progression.

Summen af ​​en aritmetisk progression er en simpel ting. Både i betydning og formel. Men der er alle mulige opgaver om dette emne. Fra basal til ganske solid.

Lad os først forstå betydningen og formlen for beløbet. Og så bestemmer vi. Til din egen fornøjelse.) Betydningen af ​​beløbet er så simpel som en moo. For at finde summen af ​​en aritmetisk progression skal du blot tilføje alle dens led omhyggeligt. Hvis disse udtryk er få, kan du tilføje uden formler. Men hvis der er meget, eller meget... tilføjelse er irriterende.) I dette tilfælde kommer formlen til undsætning.

Formlen for mængden er enkel:

Lad os finde ud af, hvilken slags bogstaver der er inkluderet i formlen. Dette vil opklare meget.

S n - summen af ​​en aritmetisk progression. Tilføjelsesresultat alle sammen medlemmer, med først Ved sidst. Det er vigtigt. De tæller nøjagtigt Alle medlemmer i træk, uden at springe over eller springe over. Og netop startende fra først. I problemer som at finde summen af ​​det tredje og ottende led eller summen af ​​det femte til det tyvende led, vil direkte anvendelse af formlen skuffe.)

en 1 - først medlem af progressionen. Alt er klart her, det er enkelt først rækkenummer.

en n- sidst medlem af progressionen. Det sidste nummer i serien. Ikke et meget kendt navn, men når det anvendes på mængden, er det meget passende. Så vil du selv se.

n - nummer på det sidste medlem. Det er vigtigt at forstå, at i formlen dette tal falder sammen med antallet af tilføjede udtryk.

Lad os definere konceptet sidst medlem en n. Et vanskeligt spørgsmål: hvilket medlem bliver den sidste hvis givet endeløs aritmetisk progression?)

For at svare sikkert skal du forstå den elementære betydning af en aritmetisk progression og... læse opgaven omhyggeligt!)

I opgaven med at finde summen af ​​en aritmetisk progression optræder det sidste led altid (direkte eller indirekte), som bør begrænses. Ellers et endeligt bestemt beløb eksisterer simpelthen ikke. For løsningen er det lige meget, om progressionen er givet: endelig eller uendelig. Det er ligegyldigt, hvordan det er givet: en række tal eller en formel for det n'te led.

Det vigtigste er at forstå, at formlen fungerer fra første led i progressionen til led med tal n. Faktisk ser formlens fulde navn sådan ud: summen af ​​de første n led af en aritmetisk progression. Antallet af disse allerførste medlemmer, dvs. n, er udelukkende bestemt af opgaven. I en opgave er al denne værdifulde information ofte krypteret, ja... Men pyt med det, i eksemplerne nedenfor afslører vi disse hemmeligheder.)

Eksempler på opgaver på summen af ​​en aritmetisk progression.

Først og fremmest, nyttige oplysninger:

Den største vanskelighed ved opgaver, der involverer summen af ​​en aritmetisk progression, ligger i den korrekte bestemmelse af elementerne i formlen.

Opgaveskriverne krypterer netop disse elementer med grænseløs fantasi.) Det vigtigste her er ikke at være bange. For at forstå essensen af ​​elementerne er det nok blot at dechifrere dem. Lad os se på et par eksempler i detaljer. Lad os starte med en opgave baseret på en rigtig GIA.

1. Aritmetisk progression givet af betingelsen: a n = 2n-3,5. Find summen af ​​de første 10 led.

Godt arbejde. Nemt.) Hvad skal vi vide for at bestemme mængden ved hjælp af formlen? Første medlem en 1, sidste semester en n, ja nummeret på det sidste medlem n.

Hvor kan jeg få det sidste medlems nummer? n? Ja, lige der, på betingelse! Der står: find summen første 10 medlemmer. Nå, hvilket nummer bliver det med? sidst, tiende medlem?) Du vil ikke tro det, hans nummer er tiende!) Derfor i stedet for en n Vi vil erstatte i formlen en 10, og i stedet n- ti. Jeg gentager, antallet af det sidste medlem falder sammen med antallet af medlemmer.

Det er tilbage at bestemme en 1 Og en 10. Dette beregnes nemt ved hjælp af formlen for det n'te led, som er givet i problemformuleringen. Ved du ikke, hvordan man gør dette? Deltag i forrige lektion, uden dette er der ingen vej.

en 1= 2 1 - 3,5 = -1,5

en 10=2·10 - 3,5 =16,5

S n = S 10.

Vi har fundet ud af betydningen af ​​alle elementer i formlen for summen af ​​en aritmetisk progression. Det eneste, der er tilbage, er at erstatte dem og tælle:

Det er det. Svar: 75.

En anden opgave baseret på GIA. Lidt mere kompliceret:

2. Givet en aritmetisk progression (a n), hvis forskel er 3,7; a1 = 2,3. Find summen af ​​de første 15 led.

Vi skriver straks sumformlen:

Denne formel giver os mulighed for at finde værdien af ​​ethvert led ved dets tal. Vi leder efter en simpel erstatning:

a 15 = 2,3 + (15-1) 3,7 = 54,1

Det eneste, der er tilbage, er at erstatte alle elementerne i formlen for summen af ​​en aritmetisk progression og beregne svaret:

Svar: 423.

Af den måde, hvis i sumformlen i stedet for en n Vi erstatter blot formlen for det n'te led og får:

Lad os bringe lignende, får vi ny formel summen af ​​led i en aritmetisk progression:

Som du kan se, er det ikke påkrævet her n'te termin en n. I nogle problemer hjælper denne formel meget, ja... Du kan huske denne formel. Er det muligt i rigtige øjeblik det er nemt at vise det, som her. Når alt kommer til alt, skal du altid huske formlen for summen og formlen for det n'te led.)

Nu opgaven i form af en kort kryptering):

3. Find summen af ​​alle positive tocifrede tal, multipla af tre.

Wow! Hverken dit første medlem, eller dit sidste eller progression overhovedet... Hvordan lever man!?

Du bliver nødt til at tænke med hovedet og trække alle elementerne i summen af ​​den aritmetiske progression ud fra betingelsen. Vi ved, hvad tocifrede tal er. De består af to tal.) Hvilket tocifret tal vil være først? 10, formentlig.) A sidste ting tocifret tal? 99, selvfølgelig! De trecifrede vil følge ham...

Multipler af tre... Hm... Det er tal, der er delelige med tre, her! Ti er ikke deleligt med tre, 11 er ikke deleligt... 12... er deleligt! Så noget er ved at dukke op. Du kan allerede nedskrive en serie i henhold til betingelserne for problemet:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Vil denne serie være en aritmetisk progression? Sikkert! Hvert udtryk adskiller sig fra det foregående med strengt tre. Hvis du lægger 2 eller 4 til et led, f.eks. resultatet, dvs. det nye tal er ikke længere deleligt med 3. Du kan straks bestemme forskellen på den aritmetiske progression: d = 3. Det vil komme til nytte!)

Så vi kan roligt nedskrive nogle progressionsparametre:

Hvad bliver tallet? n sidste medlem? Enhver, der tror, ​​at 99 tager fatalt fejl... Tallene går altid på række, men vores medlemmer springer over tre. De matcher ikke.

Der er to løsninger her. En måde er for de super hårdtarbejdende. Du kan skrive forløbet ned, hele talrækken og tælle antallet af medlemmer med fingeren.) Den anden måde er for den tankevækkende. Du skal huske formlen for det n'te led. Hvis vi anvender formlen på vores problem, finder vi ud af, at 99 er det tredivte led i progressionen. De der. n = 30.

Lad os se på formlen for summen af ​​en aritmetisk progression:

Vi kigger og glæder os.) Vi trak alt det nødvendige ud af problemformuleringen for at beregne beløbet:

en 1= 12.

en 30= 99.

S n = S 30.

Tilbage er blot elementær aritmetik. Vi erstatter tallene i formlen og beregner:

Svar: 1665

En anden type populær puslespil:

4. Givet en aritmetisk progression:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Find summen af ​​led fra tyvende til fireogtredive.

Vi ser på formlen for beløbet og... vi bliver sure.) Formlen, lad mig minde dig om, beregner beløbet fra den første medlem. Og i opgaven skal du beregne summen siden det tyvende... Formlen virker ikke.

Du kan selvfølgelig skrive hele progressionen ud i en serie og tilføje termer fra 20 til 34. Men... det er på en eller anden måde dumt og tager lang tid, ikke?)

Der er en mere elegant løsning. Lad os dele vores serie op i to dele. Den første del bliver fra første semester til det nittende. Anden del - fra tyve til fireogtredive. Det er klart, at hvis vi beregner summen af ​​vilkårene i den første del S 1-19, lad os tilføje det med summen af ​​vilkårene i anden del S 20-34, får vi summen af ​​progressionen fra den første term til den fireogtredive S 1-34. Sådan her:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

Ud fra dette kan vi se, at finde summen S 20-34 kan gøres ved simpel subtraktion

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

Begge beløb på højre side tages i betragtning fra den første medlem, dvs. standardsumformlen er ret anvendelig for dem. Lad os komme igang?

Vi uddrager progressionsparametrene fra problemformuleringen:

d = 1,5.

en 1= -21,5.

For at beregne summen af ​​de første 19 og de første 34 led, skal vi bruge de 19. og 34. led. Vi beregner dem ved at bruge formlen for det n. led, som i opgave 2:

en 19= -21,5 +(19-1) 1,5 = 5,5

en 34= -21,5 +(34-1) 1,5 = 28

Der er intet tilbage. Fra summen af ​​34 led trækkes summen af ​​19 led fra:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Svar: 262,5

En vigtig bemærkning! Der er et meget nyttigt trick til at løse dette problem. I stedet for direkte beregning hvad du har brug for (S 20-34), vi talte noget, der tilsyneladende ikke er nødvendigt - S 1-19. Og så bestemte de sig S 20-34, kasserer det unødvendige fra det komplette resultat. Denne form for "finte med dine ører" sparer dig ofte for slemme problemer.)

I denne lektion så vi på problemer, hvor det er nok at forstå betydningen af ​​summen af ​​en aritmetisk progression. Nå, du skal kende et par formler.)

Praktiske råd:

Når du løser ethvert problem, der involverer summen af ​​en aritmetisk progression, anbefaler jeg straks at skrive de to hovedformler fra dette emne ud.

Formel for n'te sigt:

Disse formler vil straks fortælle dig, hvad du skal kigge efter, og i hvilken retning du skal tænke for at løse problemet. Hjælper.

Og nu opgaverne til selvstændig løsning.

5. Find summen af ​​alle to-cifrede tal, der ikke er delelige med tre.

Fedt?) Hintet er gemt i noten til opgave 4. Nå, opgave 3 vil hjælpe.

6. Den aritmetiske progression er givet af betingelsen: a 1 = -5,5; a n+1 = an+0,5. Find summen af ​​de første 24 led.

Usædvanligt?) Dette er en tilbagevendende formel. Du kan læse om det i forrige lektion. Ignorer ikke linket, sådanne problemer findes ofte i State Academy of Sciences.

7. Vasya sparede penge op til ferien. Så meget som 4550 rubler! Og jeg besluttede at give min yndlingsperson (mig selv) et par dage med lykke). Lev smukt uden at nægte dig selv noget. Brug 500 rubler på den første dag, og brug på hver efterfølgende dag 50 rubler mere end den foregående! Indtil pengene slipper op. Hvor mange dage med lykke havde Vasya?

Svært?) En yderligere formel fra opgave 2 vil hjælpe.

Svar (i uorden): 7, 3240, 6.

Hvis du kan lide denne side...

Forresten har jeg et par flere interessante sider til dig.)

Du kan øve dig i at løse eksempler og finde ud af dit niveau. Test med øjeblikkelig verifikation. Lad os lære - med interesse!)

Du kan stifte bekendtskab med funktioner og afledte.

Aritmetisk progression navngiv en talfølge (udtryk for en progression)

Hvor hvert efterfølgende led adskiller sig fra det foregående ved et nyt udtryk, som også kaldes trin eller progressionsforskel.

Ved at angive progressionstrinnet og dets første led kan du således finde et hvilket som helst af dets elementer ved hjælp af formlen

Egenskaber for en aritmetisk progression

1) Hvert medlem af en aritmetisk progression, startende fra det andet tal, er det aritmetiske gennemsnit af de foregående og næste medlemmer af progressionen

Det modsatte er også sandt. Hvis det aritmetiske middelværdi af tilstødende ulige (lige) led i en progression er lig med det led, der står mellem dem, så er denne talfølge en aritmetisk progression. Ved at bruge denne erklæring er det meget nemt at kontrollere enhver sekvens.

Også ved egenskaben for aritmetisk progression kan ovenstående formel generaliseres til følgende

Dette er nemt at verificere, hvis du skriver vilkårene til højre for lighedstegnet

Det bruges ofte i praksis til at forenkle beregninger i opgaver.

2) Summen af ​​de første n led i en aritmetisk progression beregnes ved hjælp af formlen

Husk godt formlen for summen af ​​en aritmetisk progression den er uundværlig i beregninger og findes ret ofte i simple livssituationer.

3) Hvis du ikke skal finde hele summen, men en del af sekvensen fra dens k'te led, vil følgende sumformel være nyttig for dig

4) Af praktisk interesse er at finde summen af ​​n led af en aritmetisk progression startende fra det k'te tal. For at gøre dette skal du bruge formlen

Dette afslutter det teoretiske materiale og går videre til at løse almindelige problemer i praksis.

Eksempel 1. Find det fyrretyvende led i den aritmetiske progression 4;7;...

Løsning:

Efter den tilstand vi har

Lad os bestemme progressionstrinnet

Ved hjælp af en velkendt formel finder vi det fyrretyvende led i progressionen

Eksempel 2. En aritmetisk progression er givet ved dens tredje og syvende led. Find det første led i progressionen og summen af ​​ti.

Løsning:

Lad os nedskrive de givne elementer i progressionen ved hjælp af formlerne

Vi trækker den første fra den anden ligning, som følge heraf finder vi progressionstrinnet

Vi erstatter den fundne værdi i en af ​​ligningerne for at finde det første led i den aritmetiske progression

Vi beregner summen af ​​de første ti led i progressionen

Uden at bruge komplekse beregninger fandt vi alle de nødvendige mængder.

Eksempel 3. En aritmetisk progression er givet af nævneren og en af ​​dens led. Find det første led i progressionen, summen af ​​dets 50 led fra 50 og summen af ​​de første 100.

Løsning:

Lad os nedskrive formlen for det hundrede element i progressionen

og find den første

Ud fra den første finder vi progressionens 50. led

Finde summen af ​​delen af ​​progressionen

og summen af ​​de første 100

Progressionsbeløbet er 250.

Eksempel 4.

Find antallet af led i en aritmetisk progression, hvis:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

Løsning:

Lad os skrive ligningerne i form af det første led og progressionstrinnet og bestemme dem

Vi erstatter de opnåede værdier i sumformlen for at bestemme antallet af led i summen

Vi udfører forenklinger

og løse andengradsligningen

Af de to fundne værdier passer kun tallet 8 til problemforholdene. Således er summen af ​​de første otte led i progressionen 111.

Eksempel 5.

Løs ligningen

1+3+5+...+x=307.

Løsning: Denne ligning er summen af ​​en aritmetisk progression. Lad os skrive dets første led og finde forskellen i progression

Første niveau

Aritmetisk progression. Detaljeret teori med eksempler (2019)

Nummerrækkefølge

Så lad os sætte os ned og begynde at skrive nogle tal. For eksempel:
Du kan skrive alle tal, og der kan være så mange af dem, som du vil (i vores tilfælde er der dem). Uanset hvor mange tal vi skriver, kan vi altid sige, hvilket der er først, hvilket der er andet, og så videre indtil det sidste, det vil sige, vi kan nummerere dem. Dette er et eksempel på en talrække:

Nummerrækkefølge
For eksempel for vores sekvens:

Det tildelte nummer er specifikt for kun ét nummer i sekvensen. Med andre ord er der ingen tre sekunders tal i sekvensen. Det andet tal (som det th tal) er altid det samme.
Tallet med tal kaldes sekvensens th led.

Vi kalder normalt hele sekvensen med et bogstav (f.eks.), og hvert medlem af denne sekvens er det samme bogstav med et indeks svarende til tallet på dette medlem: .

I vores tilfælde:

Lad os sige, at vi har en talrække, hvor forskellen mellem tilstødende tal er den samme og ens.
For eksempel:

etc.
Denne talrække kaldes en aritmetisk progression.
Begrebet "progression" blev introduceret af den romerske forfatter Boethius tilbage i det 6. århundrede og blev i bredere forstand forstået som en uendelig numerisk rækkefølge. Navnet "aritmetik" blev overført fra teorien om kontinuerlige proportioner, som blev studeret af de gamle grækere.

Dette er en talrække, hvor hvert medlem er lig med det foregående tilføjet til det samme tal. Dette tal kaldes forskellen på en aritmetisk progression og betegnes.

Prøv at bestemme, hvilke talsekvenser der er en aritmetisk progression, og hvilke der ikke er:

en)
b)
c)
d)

Forstået? Lad os sammenligne vores svar:
Er aritmetisk progression - b, c.
Er ikke aritmetisk progression - a, d.

Lad os vende tilbage til den givne progression () og prøve at finde værdien af ​​dets th led. Eksisterer to måde at finde det på.

1. Metode

Vi kan føje progressionstallet til den forrige værdi, indtil vi når progressionens th term. Det er godt, at vi ikke har meget at opsummere - kun tre værdier:

Så det th led i den beskrevne aritmetiske progression er lig med.

2. Metode

Hvad hvis vi havde brug for at finde værdien af ​​progressionens tredje led? Summeringen ville tage os mere end en time, og det er ikke et faktum, at vi ikke ville lave fejl, når vi lægger tal sammen.
Selvfølgelig har matematikere fundet på en måde, hvorpå det ikke er nødvendigt at lægge forskellen på en aritmetisk progression til den tidligere værdi. Se nærmere på det tegnede billede... Du har sikkert allerede lagt mærke til et bestemt mønster, nemlig:

Lad os for eksempel se, hvad værdien af ​​det th led i denne aritmetiske progression består af:


Med andre ord:

Prøv selv at finde værdien af ​​et medlem af en given aritmetisk progression på denne måde.

Har du beregnet? Sammenlign dine noter med svaret:

Bemærk venligst, at du fik nøjagtig det samme tal som i den foregående metode, da vi sekventielt tilføjede vilkårene for den aritmetiske progression til den forrige værdi.
Lad os prøve at "depersonalisere" denne formel - lad os bringe den ind generel form og vi får:

Aritmetisk progressionsligning.

Aritmetiske progressioner kan være stigende eller faldende.

Stigende- progressioner, hvor hver efterfølgende værdi af vilkårene er større end den foregående.
For eksempel:

Aftagende- forløb, hvor hver efterfølgende værdi af vilkårene er mindre end den foregående.
For eksempel:

Den afledte formel bruges i beregningen af ​​led i både stigende og faldende termer af en aritmetisk progression.
Lad os tjekke dette i praksis.
Vi får en aritmetisk progression, der består af følgende tal: Lad os tjekke, hvad det th tal i denne aritmetiske progression vil være, hvis vi bruger vores formel til at beregne det:

Siden da:

Vi er således overbevist om, at formlen fungerer i både faldende og stigende aritmetisk progression.
Prøv selv at finde det th og th led i denne aritmetiske progression.

Lad os sammenligne resultaterne:

Aritmetisk progressionsegenskab

Lad os komplicere problemet - vi vil udlede egenskaben for aritmetisk progression.
Lad os sige, at vi får følgende betingelse:
- aritmetisk progression, find værdien.
Nemt, siger du og begynder at tælle efter den formel, du allerede kender:

Lad, ah, så:

Fuldstændig ret. Det viser sig, at vi først finder, derefter tilføjer det til det første tal og får det, vi leder efter. Hvis progressionen er repræsenteret af små værdier, så er der ikke noget kompliceret ved det, men hvad nu hvis vi får tal i betingelsen? Enig, der er mulighed for at lave en fejl i beregningerne.
Tænk nu på, om det er muligt at løse dette problem i et trin ved hjælp af en formel? Selvfølgelig ja, og det er det, vi vil forsøge at få frem nu.

Lad os betegne det påkrævede led for den aritmetiske progression, da formlen for at finde den er kendt af os - dette er den samme formel, som vi udledte i begyndelsen:
, Derefter:

• den foregående periode af progressionen er:
• næste semester i progressionen er:

Lad os opsummere de foregående og efterfølgende vilkår for progressionen:

Det viser sig, at summen af ​​de foregående og efterfølgende led i progressionen er den dobbelte værdi af progressionsleddet placeret mellem dem. Med andre ord, for at finde værdien af ​​et progressionsled med kendte tidligere og successive værdier, skal du tilføje dem og dividere med.

Det er rigtigt, vi fik det samme nummer. Lad os sikre materialet. Beregn selv værdien for progressionen, det er slet ikke svært.

Godt klaret! Du ved næsten alt om progression! Det er tilbage kun at finde ud af én formel, som ifølge legenden let blev udledt af en af ​​de største matematikere gennem tidene, "matematikernes konge" - Karl Gauss...

Da Carl Gauss var 9 år gammel, spurgte en lærer, der var travlt med at kontrollere elevernes arbejde i andre klasser, følgende problem i klassen: "Beregn summen af ​​alle naturlige tal fra til (ifølge andre kilder op til) inklusive." Forestil dig lærerens overraskelse, da en af ​​hans elever (dette var Karl Gauss) et minut senere gav det rigtige svar på opgaven, mens de fleste af vovehalsens klassekammerater efter lange udregninger fik det forkerte resultat...

Den unge Carl Gauss lagde mærke til et bestemt mønster, som du også nemt kan bemærke.
Lad os sige, at vi har en aritmetisk progression bestående af -th led: Vi skal finde summen af ​​disse led af den aritmetiske progression. Selvfølgelig kan vi manuelt summere alle værdierne, men hvad nu hvis opgaven kræver at finde summen af ​​dens vilkår, som Gauss ledte efter?

Lad os skildre den udvikling, vi har fået. Se nærmere på de fremhævede tal og prøv at udføre forskellige matematiske operationer med dem.


Har du prøvet det? Hvad lagde du mærke til? Højre! Deres beløb er lige store

Fortæl mig nu, hvor mange sådanne par er der i alt i den progression, vi har fået? Selvfølgelig præcis halvdelen af ​​alle tal, altså.
Baseret på det faktum, at summen af ​​to led i en aritmetisk progression er lig, og lignende par er lige, får vi, at den samlede sum er lig med:
.
Således vil formlen for summen af ​​de første led i enhver aritmetisk progression være:

I nogle problemer kender vi ikke det th led, men vi kender forskellen på progressionen. Prøv at erstatte formlen for det th led i sumformlen.
Hvad fik du?

Godt klaret! Lad os nu vende tilbage til problemet, som blev stillet til Carl Gauss: beregn selv, hvad summen af ​​tallene, der starter fra th, er lig med og summen af ​​tallene, der starter fra th.

Hvor meget fik du?
Gauss fandt ud af, at summen af ​​vilkårene er lig, og summen af ​​vilkårene. Var det det du besluttede?

Faktisk blev formlen for summen af ​​led i en aritmetisk progression bevist af den antikke græske videnskabsmand Diophantus tilbage i det 3. århundrede, og gennem hele denne tid gjorde vittige mennesker fuld brug af egenskaberne ved en aritmetisk progression.
Forestil dig for eksempel Det gamle Egypten og datidens største byggeprojekt - opførelsen af ​​en pyramide... Billedet viser den ene side af den.

Hvor er progressionen her, siger du? Se godt efter og find et mønster i antallet af sandblokke i hver række af pyramidevæggen.


Hvorfor ikke en aritmetisk progression? Beregn, hvor mange blokke der er nødvendige for at bygge én væg, hvis der er placeret blokke i bunden. Jeg håber ikke, du vil tælle, mens du flytter fingeren hen over skærmen, husker du den sidste formel og alt, hvad vi sagde om aritmetisk progression?

I dette tilfælde ser forløbet således ud: .
Aritmetisk progressionsforskel.
Antallet af led i en aritmetisk progression.
Lad os erstatte vores data med de sidste formler (beregn antallet af blokke på 2 måder).

Metode 1.

Metode 2.

Og nu kan du beregne på skærmen: sammenlign de opnåede værdier med antallet af blokke, der er i vores pyramide. Forstået? Godt gået, du har mestret summen af ​​de n'te led i en aritmetisk progression.
Selvfølgelig kan du ikke bygge en pyramide fra blokke ved basen, men fra? Prøv at beregne, hvor mange sandsten der er nødvendige for at bygge en mur med denne tilstand.
Klarede du dig?
Det rigtige svar er blokke:

Uddannelse

Opgaver:

1. Masha er ved at komme i form til sommer. Hver dag øger hun antallet af squats med. Hvor mange gange vil Masha lave squats på en uge, hvis hun lavede squats ved den første træning?
2. Hvad er summen af ​​alle ulige tal indeholdt i.
3. Ved opbevaring af kævler stabler loggere dem på en sådan måde, at hver øverste lag indeholder en log mindre end den forrige. Hvor mange træstammer er der i ét murværk, hvis murværkets fundament er træstammer?

Svar:

1. Lad os definere parametrene for den aritmetiske progression. I dette tilfælde
   (uger = dage).

   Svar: Om to uger skal Masha lave squats en gang om dagen.

2. Først ulige tal, sidste nummer.
   Aritmetisk progressionsforskel.
   Antallet af ulige tal i er det halve, men lad os kontrollere dette faktum ved at bruge formlen til at finde det te led i en aritmetisk progression:

   Tal indeholder ulige tal.
   Lad os erstatte de tilgængelige data i formlen:

   Svar: Summen af ​​alle ulige tal indeholdt i er lig.

3. Lad os huske problemet med pyramider. For vores tilfælde, a, da hvert øverste lag er reduceret med en log, så er der i alt en masse lag, dvs.
   Lad os erstatte dataene med formlen:

   Svar: Der er træstammer i murværket.

Lad os opsummere det

1. - en talrække, hvor forskellen mellem tilstødende tal er den samme og ens. Det kan være stigende eller faldende.
2. At finde formel Det th led i en aritmetisk progression er skrevet med formlen - , hvor er antallet af tal i progressionen.
3. Ejendom tilhørende medlemmer af en aritmetisk progression- - hvor er antallet af tal i progression.
4. Summen af ​​vilkårene for en aritmetisk progression kan findes på to måder:
   
   , hvor er antallet af værdier.

ARITMETISK PROGRESSION. GENNEMSNIVEAU

Nummerrækkefølge

Lad os sætte os ned og begynde at skrive nogle tal. For eksempel:

Du kan skrive alle tal, og der kan være lige så mange af dem, som du vil. Men vi kan altid sige, hvilken der er først, hvilken der er anden, og så videre, det vil sige, at vi kan nummerere dem. Dette er et eksempel på en talrække.

Nummerrækkefølge er et sæt numre, som hver kan tildeles et unikt nummer.

Med andre ord kan hvert tal associeres med et bestemt naturligt tal og et unikt. Og vi vil ikke tildele dette nummer til noget andet nummer fra dette sæt.

Nummeret med tallet kaldes det te medlem af sekvensen.

Vi kalder normalt hele sekvensen med et bogstav (f.eks.), og hvert medlem af denne sekvens er det samme bogstav med et indeks svarende til tallet på dette medlem: .

Det er meget praktisk, hvis det te led i sekvensen kan specificeres med en formel. For eksempel formlen

indstiller rækkefølgen:

Og formlen er følgende sekvens:

For eksempel er en aritmetisk progression en sekvens (det første led her er lig, og forskellen er det). Eller (, forskel).

Formel n. sigt

Vi kalder en formel tilbagevendende, hvor du, for at finde ud af det te led, skal kende de foregående eller flere tidligere:

For at finde f.eks. det th led af progressionen ved hjælp af denne formel, bliver vi nødt til at beregne de foregående ni. Lad det f.eks. Derefter:

Nå, er det klart nu, hvad formlen er?

I hver linje lægger vi til, ganget med et eller andet tal. Hvilken en? Meget simpelt: dette er nummeret på det nuværende medlem minus:

Meget mere bekvemt nu, ikke? Vi tjekker:

Bestem selv:

I en aritmetisk progression skal du finde formlen for det n. led og finde det hundrede led.

Løsning:

Det første led er lige. Hvad er forskellen? Her er hvad:

(Dette er grunden til, at det kaldes forskel, fordi det er lig med forskellen mellem successive led i progressionen).

Så formlen:

Så er det hundrede led lig med:

Hvad er summen af ​​alle naturlige tal fra til?

Ifølge legenden beregnede den store matematiker Carl Gauss, som en 9-årig dreng, dette beløb på få minutter. Han bemærkede, at summen af ​​de første og sidste dato er lig, summen af ​​den anden og den næstsidste er den samme, summen af ​​den tredje og den 3. fra slutningen er den samme, og så videre. Hvor mange sådanne par er der i alt? Det er rigtigt, præcis halvdelen af ​​antallet af alle tal, altså. Så,

Den generelle formel for summen af ​​de første led i enhver aritmetisk progression vil være:

Eksempel:
Find summen af ​​alle tocifrede multipla.

Løsning:

Det første sådan nummer er dette. Hvert efterfølgende tal opnås ved at lægge til det foregående tal. De tal, vi er interesserede i, danner således en aritmetisk progression med det første led og forskellen.

Formel for th term for denne progression:

Hvor mange led er der i forløbet, hvis de alle skal være tocifrede?

Meget let: .

Den sidste periode af progressionen vil være lige. Så summen:

Svar: .

Bestem nu selv:

1. Hver dag løber atleten flere meter end den foregående dag. Hvor mange kilometer vil han i alt løbe på en uge, hvis han den første dag løb km m?
2. En cyklist rejser flere kilometer hver dag end den foregående dag. Den første dag rejste han km. Hvor mange dage skal han rejse for at tilbagelægge en kilometer? Hvor mange kilometer vil han rejse i løbet af den sidste dag af sin rejse?
3. Prisen på et køleskab i en butik falder med samme beløb hvert år. Bestem, hvor meget prisen på et køleskab faldt hvert år, hvis det seks år senere blev solgt for rubler, der blev sat til salg for rubler.

Svar:

1. Det vigtigste her er at genkende den aritmetiske progression og bestemme dens parametre. I dette tilfælde (uger = dage). Du skal bestemme summen af ​​de første led i denne progression:
   .
   Svar:
2. Her er angivet: , skal findes.
   Det er klart, at du skal bruge den samme sumformel som i det forrige problem:
   .
   Erstat værdierne:

   Roden passer åbenbart ikke, så svaret er.
   Lad os beregne stien tilbagelagt i løbet af den sidste dag ved hjælp af formlen for det th led:
   (km).
   Svar:

3. Givet:. Find: .
   Det kunne ikke være nemmere:
   (gnide).
   Svar:

ARITMETISK PROGRESSION. KORT OM DE VIGTIGSTE TING

Dette er en talrække, hvor forskellen mellem tilstødende tal er den samme og ens.

Aritmetisk progression kan være stigende () og faldende ().

For eksempel:

Formel til at finde det n'te led i en aritmetisk progression

er skrevet af formlen, hvor er antallet af tal i progression.

Ejendom tilhørende medlemmer af en aritmetisk progression

Det giver dig mulighed for nemt at finde et led i en progression, hvis dets naboled er kendt - hvor er antallet af tal i progressionen.

Summen af ​​led i en aritmetisk progression

Der er to måder at finde beløbet på:

Hvor er antallet af værdier.

Hvor er antallet af værdier.

Eller aritmetik er en type ordnet numerisk rækkefølge, hvis egenskaber studeres i skoleforløb algebra. Denne artikel diskuterer i detaljer spørgsmålet om, hvordan man finder summen af ​​en aritmetisk progression.

Hvad er det for en progression?

Før du går videre til spørgsmålet (hvordan man finder summen af ​​en aritmetisk progression), er det værd at forstå, hvad vi taler om.

Enhver sekvens af reelle tal, der opnås ved at addere (fratrække) en værdi fra hvert tidligere tal, kaldes en algebraisk (aritmetisk) progression. Denne definition, når den oversættes til matematisk sprog, har formen:

Her jeg - serienummer element i serien a i . Når du kun kender ét startnummer, kan du nemt gendanne hele serien. Parameteren d i formlen kaldes progressionsforskellen.

Det kan let påvises, at for rækken af ​​tal, der er under overvejelse, gælder følgende lighed:

a n = a1 + d * (n - 1).

Det vil sige, for at finde værdien af ​​det n'te element i rækkefølge, skal du lægge forskellen d til det første element a 1 n-1 gange.

Hvad er summen af ​​en aritmetisk progression: formel

Før du giver formlen for den angivne mængde, er det værd at overveje en enkel særlig situation. Givet en progression af naturlige tal fra 1 til 10, skal du finde deres sum. Da der er få led i progressionen (10), er det muligt at løse problemet frontalt, det vil sige summere alle elementerne i rækkefølge.

S 10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.

En ting der er værd at overveje interessant ting: da hvert led adskiller sig fra det næste med samme værdi d = 1, så vil den parvise summering af den første med den tiende, den anden med den niende og så videre give det samme resultat. Virkelig:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Som du kan se, er der kun 5 af disse summer, det vil sige nøjagtigt to gange mindre end antallet af elementer i serien. Hvis du derefter multiplicerer antallet af summer (5) med resultatet af hver sum (11), kommer du frem til resultatet opnået i det første eksempel.

Hvis vi generaliserer disse argumenter, kan vi skrive følgende udtryk:

S n = n * (a 1 + a n) / 2.

Dette udtryk viser, at det slet ikke er nødvendigt at summere alle elementerne i en række, det er nok at kende værdien af ​​den første a 1 og den sidste a n , samt samlet antal n vilkår.

Det menes, at Gauss var den første til at tænke på denne lighed, da han ledte efter en løsning på et givet problem. skole lærer opgave: summer de første 100 heltal.

Summen af ​​elementer fra m til n: formel

Formlen givet i det foregående afsnit besvarer spørgsmålet om, hvordan man finder summen af ​​en aritmetisk progression (de første elementer), men ofte i opgaver er det nødvendigt at summere en række tal i midten af ​​progressionen. Hvordan gør man det?

Den nemmeste måde at besvare dette spørgsmål på er ved at overveje følgende eksempel: lad det være nødvendigt at finde summen af ​​led fra mth til nth. For at løse problemet bør du præsentere det givne segment fra m til n af progressionen i form af en ny talrække. I denne opfattelse mdr. sigt a m vil være først, og et n vil være nummereret n-(m-1). I dette tilfælde opnås følgende udtryk ved at anvende standardformlen for summen:

S m n = (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

Eksempel på brug af formler

Ved at vide, hvordan man finder summen af ​​en aritmetisk progression, er det værd at overveje et simpelt eksempel på brug af ovenstående formler.

Nedenfor er en numerisk sekvens, du skal finde summen af ​​dens led, startende fra den 5. og slutter med den 12.:

De givne tal angiver, at forskellen d er lig med 3. Ved hjælp af udtrykket for det n'te element kan du finde værdierne af 5. og 12. led i progressionen. Det viser sig:

a5 = a1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 = 8;

a 12 = a 1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.

Ved at kende værdierne af tallene i enderne af den algebraiske progression, der overvejes, og også vide, hvilke tal i serien de optager, kan du bruge formlen for summen opnået i det foregående afsnit. Det vil vise sig:

S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.

Det er værd at bemærke, at denne værdi kunne opnås anderledes: find først summen af ​​de første 12 elementer ved hjælp af standardformlen, beregn derefter summen af ​​de første 4 elementer ved hjælp af den samme formel, og træk derefter den anden fra den første sum.

For eksempel sekvensen \(2\); \(5\); \(8\); \(elleve\); \(14\)... er en aritmetisk progression, fordi hvert efterfølgende element adskiller sig fra det foregående med tre (kan fås fra det foregående ved at tilføje tre):

I denne progression er forskellen \(d\) positiv (lig med \(3\)), og derfor er hvert næste led større end det foregående. Sådanne progressioner kaldes stigende.

\(d\) kan dog også være negativt tal. For eksempel, i aritmetisk progression \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... progressionsforskellen \(d\) er lig med minus seks.

Og i dette tilfælde vil hvert næste element være mindre end det forrige. Disse progressioner kaldes faldende.

Aritmetisk progressionsnotation

Progression er angivet med et lille latinsk bogstav.

Tal, der danner en progression kaldes medlemmer(eller elementer).

De er angivet med samme bogstav som en aritmetisk progression, men med et numerisk indeks svarende til tallet på elementet i rækkefølge.

For eksempel består den aritmetiske progression \(a_n = \venstre\( 2; 5; 8; 11; 14...\right\)\) af elementerne \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) og så videre.

Med andre ord, for progressionen \(a_n = \venstre\(2; 5; 8; 11; 14...\højre\)\)

Løsning af aritmetiske progressionsproblemer

I princippet er de oplysninger, der præsenteres ovenfor, allerede nok til at løse næsten ethvert aritmetisk progressionsproblem (inklusive dem, der tilbydes på OGE).

Eksempel (OGE). Den aritmetiske progression er specificeret af betingelserne \(b_1=7; d=4\). Find \(b_5\).
Løsning:

Svar: \(b_5=23\)

Eksempel (OGE). De første tre led i en aritmetisk progression er givet: \(62; 49; 36...\) Find værdien af ​​det første negative led i denne progression..
Løsning:

	Vi får de første elementer i rækkefølgen og ved, at det er en aritmetisk progression. Det vil sige, at hvert element adskiller sig fra sin nabo med det samme tal. Lad os finde ud af hvilken ved at trække den forrige fra det næste element: \(d=49-62=-13\).
	Nu kan vi genoprette vores progression til det (første negative) element, vi har brug for.
	Parat. Du kan skrive et svar.

Svar: \(-3\)

Eksempel (OGE). Givet flere på hinanden følgende elementer i en aritmetisk progression: \(…5; x; 10; 12,5...\) Find værdien af ​​elementet, der er angivet med bogstavet \(x\).
Løsning:

	For at finde \(x\), skal vi vide, hvor meget det næste element adskiller sig fra det foregående, med andre ord progressionsforskellen. Lad os finde det ud fra to kendte naboelementer: \(d=12,5-10=2,5\).
	Og nu kan vi nemt finde det, vi leder efter: \(x=5+2,5=7,5\).
	Parat. Du kan skrive et svar.

Svar: \(7,5\).

Eksempel (OGE). Den aritmetiske progression er defineret af følgende betingelser: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Find summen af ​​de første seks led i denne progression.
Løsning:

	Vi skal finde summen af ​​de første seks led i progressionen. Men vi kender ikke deres betydninger, vi får kun det første element. Derfor beregner vi først værdierne én efter én ved at bruge det, vi har fået: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) Og efter at have beregnet de seks elementer, vi skal bruge, finder vi deres sum.
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)	Det nødvendige beløb er fundet.

Svar: \(S_6=9\).

Eksempel (OGE). I aritmetisk progression \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Find forskellen på denne progression.
Løsning:

Svar: \(d=7\).

Vigtige formler for aritmetisk progression

Som du kan se, kan mange problemer med aritmetisk progression løses blot ved at forstå hovedsagen - at en aritmetisk progression er en kæde af tal, og hvert efterfølgende element i denne kæde opnås ved at lægge det samme tal til det forrige (den forskel i progressionen).

Nogle gange er der dog situationer, hvor det er meget ubelejligt at beslutte sig for "front-on". Forestil dig for eksempel, at vi i det allerførste eksempel ikke skal finde det femte element \(b_5\), men det tre hundrede og seksogfirsende \(b_(386)\). Skal vi tilføje fire \(385\) gange? Eller forestil dig, at du i det næstsidste eksempel skal finde summen af ​​de første treoghalvfjerds elementer. Du bliver træt af at tælle...

Derfor løser de i sådanne tilfælde ikke tingene "head-on", men bruger specielle formler afledt til aritmetisk progression. Og de vigtigste er formlen for det n'te led i progressionen og formlen for summen af ​​\(n\) første led.

Formel for \(n\)te led: \(a_n=a_1+(n-1)d\), hvor \(a_1\) er det første led i progressionen;
\(n\) – nummeret på det påkrævede element;
\(a_n\) – led for progressionen med nummer \(n\).

Denne formel giver os mulighed for hurtigt at finde selv det tre hundrede eller millionte element, idet vi kun kender det første og forskellen på progressionen.

Eksempel. Den aritmetiske progression er specificeret af betingelserne: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Find \(b_(246)\).
Løsning:

Svar: \(b_(246)=1850\).

Formel for summen af ​​de første n led: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), hvor

\(a_n\) – det sidste summerede led;

Eksempel (OGE). Den aritmetiske progression er specificeret af betingelserne \(a_n=3,4n-0,6\). Find summen af ​​de første \(25\) led i denne progression.
Løsning:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		For at beregne summen af ​​de første femogtyve led skal vi kende værdien af ​​de første og femogtyvende led. Vores progression er givet af formlen for det n'te led afhængigt af dets antal (for flere detaljer, se). Lad os beregne det første element ved at erstatte et med \(n\).
\(n=1;\) \(a_1=3,4·1-0,6=2,8\)		Lad os nu finde det femogtyvende led ved at erstatte femogtyve i stedet for \(n\).
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4·25-0,6=84,4\)		Nå, nu kan vi nemt beregne det nødvendige beløb.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2.8+84.4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		Svaret er klar.

Svar: \(S_(25)=1090\).

For summen \(n\) af de første led kan du få en anden formel: du skal bare \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \) \ (\cdot 25\ ) i stedet for \(a_n\) erstatter det formlen \(a_n=a_1+(n-1)d\). Vi får:

Formel for summen af ​​de første n led: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), hvor

\(S_n\) – den nødvendige sum af \(n\) første elementer;
\(a_1\) – det første summerede led;
\(d\) – progressionsforskel;
\(n\) – antal elementer i alt.

Eksempel. Find summen af ​​de første \(33\)-ex led i den aritmetiske progression: \(17\); \(15,5\); \(14\)...
Løsning:

Svar: \(S_(33)=-231\).

Mere komplekse aritmetiske progressionsproblemer

Nu har du alt nødvendige oplysninger til at løse næsten ethvert aritmetisk progressionsproblem. Lad os afslutte emnet med at overveje problemer, hvor du ikke kun skal anvende formler, men også tænke lidt (i matematik kan dette være nyttigt ☺)

Eksempel (OGE). Find summen af ​​alle negative led i progressionen: \(-19,3\); \(-19\); \(-18,7\)...
Løsning:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		Opgaven minder meget om den forrige. Vi begynder at løse det samme: først finder vi \(d\).
\(d=a_2-a_1=-19-(-19,3)=0,3\)		Nu vil jeg gerne erstatte \(d\) i formlen for summen... og her kommer en lille nuance frem - vi kender ikke \(n\). Vi ved med andre ord ikke, hvor mange termer der skal tilføjes. Hvordan finder man ud af det? Lad os tænke. Vi stopper med at tilføje elementer, når vi når det første positive element. Det vil sige, at du skal finde ud af antallet af dette element. Hvordan? Lad os nedskrive formlen for at beregne ethvert element i en aritmetisk progression: \(a_n=a_1+(n-1)d\) for vores tilfælde.
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19,3+(n-1)·0,3\)		Vi har brug for \(a_n\) for at blive større end nul. Lad os finde ud af, hvad \(n\) dette vil ske.
\(-19,3+(n-1)·0,3>0\)
\((n-1)·0.3>19.3\) \(|:0.3\)		Vi dividerer begge sider af uligheden med \(0,3\).
\(n-1>\)\(\frac(19.3)(0.3)\)		Vi overfører minus en, og vi glemmer ikke at ændre skiltene
\(n>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) \(+1\)		Lad os beregne...
\(n>65.333...\)		...og det viser sig, at det første positive element vil have tallet \(66\). Følgelig har den sidste negative \(n=65\). For en sikkerheds skyld, lad os tjekke dette.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1)·0,3=-0,1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19,3+(66-1)·0,3=0,2\)		Så vi skal tilføje de første \(65\) elementer.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38.6+19.2)(2)\)\(\cdot 65=-630.5\)		Svaret er klar.

Svar: \(S_(65)=-630,5\).

Eksempel (OGE). Den aritmetiske progression er specificeret af betingelserne: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Find summen fra \(26\)th til \(42\) element inklusive.
Løsning:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	I denne opgave skal du også finde summen af ​​elementer, men startende ikke fra den første, men fra den \(26\)th. For sådan et tilfælde har vi ikke en formel. Hvordan beslutter man sig? Det er nemt - for at få summen fra \(26\)te til \(42\)te skal du først finde summen fra \(1\)te til \(42\)te, og derefter trække fra fra den summen fra første til \(25\)th (se billede).
	For vores progression \(a_1=-33\), og forskellen \(d=4\) (det er trods alt de fire, vi tilføjer til det forrige element for at finde det næste). Når vi ved dette, finder vi summen af ​​de første \(42\)-y elementer.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Nu summen af ​​de første \(25\) elementer.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	Og til sidst beregner vi svaret.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Svar: \(S=1683\).

Til aritmetisk progression er der flere formler, som vi ikke overvejede i denne artikel på grund af deres lave praktiske anvendelighed. Du kan dog nemt finde dem.