Matematisk modellering af biologiske processer.

Vi har allerede sagt, at den matematiske tilgang til studiet af visse fænomener virkelige verden begynder normalt med oprettelsen af ​​passende generelle begreber, altså fra byggeri matematiske modeller, som har egenskaber, der er væsentlige for os ved de systemer og processer, som vi studerer. Vi nævnte også vanskelighederne forbundet med konstruktionen af ​​sådanne modeller i biologi, vanskeligheder forårsaget af den ekstreme kompleksitet af biologiske systemer. Men på trods af disse vanskeligheder, "model" tilgang til biologiske problemer udvikler sig nu med succes og har allerede bragt visse resultater. Vi vil se på nogle modeller relateret til forskellige biologiske processer og systemer.

Når vi taler om modellernes rolle i biologisk forskning, er det vigtigt at bemærke følgende. Selvom vi forstår begrebet "model" i abstrakt forstand - som et bestemt system logiske begreber, og ikke som en rigtig fysisk enhed, men alligevel er en model noget væsentligt mere end en simpel beskrivelse af et fænomen eller en rent kvalitativ hypotese, hvor der stadig er plads nok til forskellige former for uklarheder og subjektive meninger. Lad os huske følgende eksempel, som går tilbage til en ret fjern fortid. På et tidspunkt fremsatte Helmholtz, mens han studerede hørelsen, den såkaldte resonansteori, som så plausibel ud fra et rent kvalitativt synspunkt. Kvantitative beregninger udført senere under hensyntagen til de reelle værdier af masserne, elasticiteten og viskositeten af ​​komponenterne, der udgør det auditive system, viste imidlertid inkonsistensen af ​​denne hypotese. Med andre ord, forsøget på at transformere en rent kvalitativ hypotese til en nøjagtig model, der tillader dens undersøgelse ved hjælp af matematiske metoder, afslørede straks inkonsistensen af ​​de oprindelige principper. Selvfølgelig, hvis vi har bygget en bestemt model og endda opnået god overensstemmelse mellem denne model og resultaterne af det tilsvarende biologiske eksperiment, beviser dette endnu ikke rigtigheden af ​​vores model. Hvis vi nu, baseret på studiet af vores model, kan lave nogle forudsigelser om det biologiske system, som vi modellerer, og derefter bekræfte disse forudsigelser med et rigtigt eksperiment, så vil dette være meget mere værdifuldt bevis til fordel for rigtigheden af modellen.

Men lad os gå videre til specifikke eksempler.

2.Blodcirkulation

Et af de første, hvis ikke det allerførste, arbejde med matematisk modellering af biologiske processer bør betragtes som arbejdet af Leonhard Euler, hvori han udviklede den matematiske teori om blodcirkulation, idet han i en første tilnærmelse betragtede hele cirkulært system som bestående af et reservoir med elastiske vægge, perifer modstand og en pumpe. Disse ideer fra Euler (såvel som nogle af hans andre værker) blev først fuldstændig glemt og blev derefter genoplivet i andre forfatteres senere værker.

3. Mendels love

En ret gammel og velkendt, men ikke desto mindre meget bemærkelsesværdig model i biologien er den Mendelske arvelighedsteori. Denne model, baseret på sandsynlighedsteoretiske begreber, går ud på, at forældrecellernes kromosomer indeholder visse sæt af karakteristika, som under befrugtningen kombineres med hinanden uafhængigt og tilfældigt. Efterfølgende gennemgik denne grundtanke meget væsentlige afklaringer; for eksempel blev det opdaget, at forskellige tegn ikke altid er uafhængige af hinanden; hvis de er forbundet med det samme kromosom, så kan de kun overføres i en bestemt kombination. Yderligere blev det opdaget, at forskellige kromosomer ikke kombineres uafhængigt, men der er en egenskab kaldet kromosomaffinitet, som krænker denne uafhængighed osv. I øjeblikket er teoretisk-sandsynlighedsmæssige og statistiske metoder meget bredt trængt ind i genetisk forskning og endda begrebet "matematisk" genetik" "modtog fulde statsborgerskabsrettigheder. I øjeblikket arbejdes der intensivt på dette område, som er interessante både ud fra et biologisk og rent matematisk synspunkt. Men selve grundlaget for disse undersøgelser er den model, der blev skabt af Mendel for mere end 100 år siden.

4. Muskelmodeller

En af de mest interessante genstande for fysiologisk forskning er muskler. Dette objekt er meget tilgængeligt, og eksperimentatoren kan udføre mange undersøgelser blot på sig selv med kun relativt simpelt udstyr. De funktioner, som muskler udfører i en levende organisme, er også ret klare og bestemte. På trods af alt dette har talrige forsøg på at opbygge en tilfredsstillende model for muskelfunktion ikke givet endelige resultater. Det er klart, at selvom en muskel kan strække sig og trække sig sammen som en fjeder, er deres egenskaber helt anderledes, og selv til den allerførste tilnærmelse kan en fjeder ikke betragtes som et udseende af en muskel. For en fjeder er der et strengt forhold mellem dens forlængelse og belastningen på den. Dette er ikke tilfældet for en muskel: en muskel kan ændre sin længde, mens den opretholder spændingen, og omvendt ændre trækkraften uden at ændre dens længde. Kort sagt, i samme længde kan en muskel være afslappet eller spændt.

Blandt de forskellige funktionsmåder, som er mulige for en muskel, er de mest betydningsfulde den såkaldte isotoniske kontraktion (dvs. en kontraktion, hvor muskelspændingen forbliver konstant) og isometrisk spænding, hvor muskellængden ikke ændres (begge dele) enderne er faste). At studere en muskel i disse tilstande er vigtigt for at forstå principperne for dens funktion, selvom muskelaktivitet under naturlige forhold hverken er rent isotonisk eller rent isometrisk.

Forskellige matematiske formler er blevet foreslået til at beskrive forholdet mellem hastigheden af ​​isotonisk muskelkontraktion og størrelsen af ​​belastningen. Den mest berømte af dem er den såkaldte karakteristiske Hill-ligning. Det ser ud som om

(P+a)V=b(P0-P),

- sammentrækningshastighed, a, b Og P 0- permanent.

Andre velkendte formler til at beskrive det samme forhold er Obers ligning

P = P 0 e- V⁄P ±F

og Polissar-ligningen

V=konst (A 1-P/P 0 - B 1-P/P 0).

Hills ligning er blevet udbredt i fysiologien; det giver en ret god overensstemmelse med eksperimentet for musklerne i en lang række dyr, selvom det faktisk repræsenterer resultatet af en "tilpasning" snarere end en slutning fra en model. To andre ligninger, som giver omtrent samme afhængighed over et ret bredt spektrum af belastninger som Hill-ligningen, blev opnået af deres forfattere fra visse ideer om den fysisk-kemiske mekanisme for muskelsammentrækning. Der er en række forsøg på at konstruere en model for muskelarbejde, idet sidstnævnte betragtes som en kombination af elastiske og viskøse elementer. Der er dog stadig ingen tilstrækkeligt tilfredsstillende model, der afspejler alle hovedtræk ved muskelarbejde i forskellige tilstande.

5. Neuronmodeller, neurale netværk

Nerveceller eller neuroner er de "arbejdsenheder", der udgør nervesystemet, og som dyre- eller menneskekroppen skylder alle sine evner til at opfatte eksterne signaler og kontrollere forskellige dele af kroppen til. Et karakteristisk træk ved nerveceller er, at en sådan celle kan være i to tilstande - hvile og excitation. I denne ligner nerveceller elementer som radiorør eller halvledertriggere, hvorfra de logiske kredsløb i computere er samlet. I løbet af de seneste 15-20 år er der gjort mange forsøg på at modellere aktiviteter nervesystem, baseret på de samme principper som universelle computeres arbejde er baseret på. Tilbage i 40'erne introducerede amerikanske forskere McCulloch og Pitts begrebet en "formel neuron" og definerede det som et element (hvis fysiske natur ikke betyder noget) udstyret med et vist antal "excitatoriske" og et vist antal " hæmmende” input. Dette element i sig selv kan være i to tilstande - "hvile" eller "spænding". En exciteret tilstand opstår, hvis neuronen modtager et tilstrækkeligt antal excitatoriske signaler, og der ikke er nogen hæmmende signaler. McCulloch og Pitts viste, at ved hjælp af kredsløb, der er sammensat af sådanne elementer, er det i princippet muligt at implementere enhver af de typer informationsbehandling, der forekommer i en levende organisme. Dette betyder dog slet ikke, at vi derved har lært nervesystemets egentlige principper. Først og fremmest, selvom nerveceller er karakteriseret ved "alt eller intet"-princippet, dvs. tilstedeværelsen af ​​to klart definerede tilstande - hvile og excitation, følger det slet ikke, at vores nervesystem, ligesom en universel computer, bruger en binær digital kode bestående af nuller og ettaller. For eksempel i nervesystemet spiller frekvensmodulation tilsyneladende en væsentlig rolle, det vil sige transmission af information ved hjælp af længden af ​​tidsintervaller mellem impulser. Generelt er der i nervesystemet tilsyneladende ikke en sådan opdeling af informationskodningsmetoder i "digital" diskret) og "analog" (kontinuerlig), som er tilgængelig i moderne computerteknologi.

For at et system af neuroner kan fungere som en helhed, er det nødvendigt, at der er visse forbindelser mellem disse neuroner: impulser genereret af en neuron skal ankomme til input fra andre neuroner. Disse forbindelser kan have en korrekt, regelmæssig struktur, eller de kan kun bestemmes af statistiske mønstre og være underlagt visse tilfældige ændringer. I aktuelt eksisterende computerenheder tillades ingen tilfældighed i sammenhænge mellem elementer, dog er der en række teoretiske undersøgelser af muligheden for at konstruere computerenheder ud fra principperne tilfældige forbindelser mellem elementer. Der er ganske alvorlige argumenter for, at forbindelserne mellem rigtige neuroner i nervesystemet også stort set er statistiske og ikke strengt taget regelmæssige. Men meningerne om dette spørgsmål er forskellige.

Generelt kan følgende siges om problemet med modellering af nervesystemet. Vi ved allerede ret meget om de særlige forhold ved neuronernes arbejde, det vil sige de elementer, der udgør nervesystemet. Desuden er det ved hjælp af systemer af formelle neuroner (forstået i betydningen af ​​McCulloch og Pitts eller i en anden forstand), der simulerer de grundlæggende egenskaber af rigtige nerveceller, muligt at modellere, som allerede nævnt, meget forskellige måder at bearbejde på Information. Ikke desto mindre er vi stadig ret langt fra en klar forståelse af de grundlæggende principper for nervesystemets funktion og dets individuelle dele, og dermed fra at skabe dens tilfredsstillende model *.

* (Hvis vi kan skabe en form for system, der kan løse de samme problemer som et andet system, betyder det ikke, at begge systemer fungerer efter de samme principper. For eksempel kan du numerisk løse en differentialligning på en digital computer ved at give den det passende program, eller du kan løse den samme ligning på en analog computer. Vi vil få de samme eller næsten de samme resultater, men principperne for informationsbehandling i disse to typer maskiner er helt forskellige.)

6. Opfattelse af visuelle billeder. Farvesyn

Vision er en af ​​de vigtigste kanaler, hvorigennem vi modtager information om omverdenen. Berømt udtryk- det er bedre at se én gang end at høre hundrede gange - det gælder i øvrigt også rent informationsmæssigt: mængden af ​​information, som vi opfatter gennem synet, er usammenlignelig større end den, der opfattes af andre sanser. Denne betydning af det visuelle system for en levende organisme, sammen med andre overvejelser (funktionernes specificitet, muligheden for at udføre forskellige undersøgelser uden skader på systemet osv.) stimulerede dens undersøgelse og især forsøg på en modeltilgang til dette problem.

Øjet er et organ, der fungerer som både et optisk system og en informationsbehandlingsenhed. Fra begge synspunkter har dette system en række fantastiske egenskaber. Øjets evne til at tilpasse sig en meget bred vifte af lysintensiteter og til at opfatte alle farver korrekt er bemærkelsesværdig. For eksempel reflekterer et stykke kridt i et svagt oplyst rum mindre lys end et stykke kul placeret i et lyst rum. sollys, ikke desto mindre opfatter vi i hvert af disse tilfælde farverne på de tilsvarende objekter korrekt. Øjet formidler relative forskelle i belysningsintensiteter godt og "overdriver" dem endda noget. Således virker en grå linje på en lys hvid baggrund mørkere for os end et solidt felt af samme grå. Øjets evne til at understrege kontraster i belysning skyldes det faktum, at visuelle neuroner har en hæmmende effekt på hinanden: hvis den første af to naboneuroner modtager et stærkere signal end den anden, så har den en intens hæmmende effekt på sekund, og forskellen i outputtet af disse neuroner er, at intensiteten er større end forskellen i intensiteten af ​​inputsignalerne. Modeller bestående af formelle neuroner forbundet af både excitatoriske og hæmmende forbindelser har tiltrukket sig opmærksomhed fra både fysiologer og matematikere. Der er også interessante resultater og uløste problemer.

Af stor interesse er den mekanisme, hvormed øjet opfatter forskellige farver. Som du ved, kan alle nuancer af farver, der opfattes af vores øjne, repræsenteres som kombinationer af tre primære farver. Normalt er disse primærfarver rød, blå og gule farver, svarende til bølgelængderne 700, 540 og 450 Å, men dette valg er ikke entydigt.

Den "tre-farve" karakter af vores syn skyldes, at det menneskelige øje har tre typer receptorer, med maksimal følsomhed i henholdsvis den gule, blå og røde zone. Spørgsmålet er, hvordan skelner vi mellem disse tre receptorer? et stort antal af farvenuancer, er ikke særlig enkel. For eksempel er det endnu ikke klart nok, hvad præcis den eller den farve er kodet i vores øje: frekvensen af ​​nerveimpulser, lokaliseringen af ​​neuronen, der overvejende reagerer på en given farvenuance, eller noget andet. Der er nogle modelideer om denne proces med opfattelse af nuancer, men de er stadig ret foreløbige. Der er dog ingen tvivl om, at også her bør systemer af neuroner forbundet med hinanden ved både excitatoriske og hæmmende forbindelser spille en væsentlig rolle.

Endelig er øjet også meget interessant som kinematisk system. En række geniale eksperimenter (mange af dem blev udført i laboratoriet for synsfysiologi ved Instituttet for problemer med informationstransmission i Moskva) etablerede følgende ved første øjekast uventet faktum: hvis et billede er ubevægeligt i forhold til øjet, så opfatter øjet det ikke. Vores øje, der undersøger en genstand, "føler" det bogstaveligt (disse øjenbevægelser kan registreres nøjagtigt ved hjælp af passende udstyr). Studiet af øjets motoriske apparat og udviklingen af ​​tilsvarende modelrepræsentationer er ret interessante både i sig selv og i forbindelse med andre (optiske, informationsmæssige osv.) egenskaber ved vores visuelle system.

For at opsummere kan vi sige, at vi stadig er langt fra at skabe helt tilfredsstillende modeller af det visuelle system, der godt beskriver alle dets grundlæggende egenskaber. Imidlertid er en række vigtige aspekter og principper for dens drift allerede ret klare og kan modelleres i form af computerprogrammer til en computer eller endda i form af tekniske enheder.

7. Aktiv mellemmodel. Spredning af excitation

En af de meget karakteristiske egenskaber af mange levende væv, primært nervevæv, er deres evne til at excitere og overføre excitation fra et område til et andet. Cirka én gang i sekundet løber en bølge af spænding gennem vores hjertemuskel, hvilket får den til at trække sig sammen og drive blod gennem hele kroppen. Excitation langs nervefibre, der spredes fra periferien (sanseorganerne) til rygmarven og hjernen, informerer os om omverdenen, og i modsat retning er der excitationskommandoer, der foreskriver visse handlinger til musklerne.

Excitation i en nervecelle kan forekomme af sig selv (som man siger "spontant") under påvirkning af en ophidset nabocelle eller under påvirkning af et eksternt signal, f.eks. elektrisk stimulation, der kommer fra en strømkilde. Efter at have gået ind i en ophidset tilstand forbliver cellen i den i nogen tid, og derefter forsvinder spændingen, hvorefter en vis periode med celleimmunitet mod nye stimuli begynder - den såkaldte refraktære periode. I denne periode reagerer cellen ikke på signaler modtaget af den. Derefter vender cellen tilbage til sin oprindelige tilstand, hvorfra en overgang til en excitationstilstand er mulig. Således har excitationen af ​​nerveceller en række klart definerede egenskaber, hvorfra det er muligt at konstruere en aksiomatisk model af dette fænomen. Yderligere, for at studere denne model, ren matematiske metoder.

Idéer om en sådan model blev udviklet for flere år siden i værker af I.M. Gelfand og M.L. Tsetlin, som derefter blev videreført af en række andre forfattere. Lad os formulere en aksiomatisk beskrivelse af den pågældende model.

Med "ophidsende medium" mener vi et bestemt sæt x elementer ("celler") med følgende egenskaber:

1. Hvert element kan være i en af ​​tre tilstande: hvile, spænding og ildfasthed;

2. Fra hvert ophidset element spredes excitationen gennem mange elementer i hvile med en vis hastighed v;

3.Hvis varen x har ikke været spændt i et bestemt tidspunkt T(x), så efter dette tidspunkt går det spontant i en ophidset tilstand. Tid T(x) kaldet perioden for elementets spontane aktivitet x. Dette udelukker ikke tilfældet hvornår T(x)= ∞, dvs. når spontan aktivitet faktisk er fraværende;

4. Spændingstilstanden varer i nogen tid τ (hvilket kan afhænge af x), så bevæger elementet sig et stykke tid R(x) ind i en refraktær tilstand, hvorefter en hviletilstand indtræder.

Lignende matematiske modeller opstår på helt andre områder, for eksempel i teorien om forbrænding, eller i problemer med udbredelsen af ​​lys i et inhomogent medium. Tilstedeværelsen af ​​en "ildfast periode" er imidlertid et karakteristisk træk ved biologiske processer.

Den beskrevne model kan studeres enten ved analytiske metoder eller ved at implementere den på en computer. I sidstnævnte tilfælde er vi naturligvis tvunget til at antage, at sættet x(eksciterbart medium) består af et bestemt begrænset antal elementer (i overensstemmelse med den eksisterende computerteknologis muligheder - i størrelsesordenen flere tusinde). For analytisk forskning er det naturligt at antage x en eller anden kontinuerlig variation (tænk for eksempel på det x- dette er et stykke fly). Det enkleste tilfælde af en sådan model opnås, hvis vi tager x et eller andet segment (en prototype af en nervefiber) og antag, at den tid, hvor hvert element er i en ophidset tilstand, er meget kort. Så kan processen med sekventiel udbredelse af impulser langs en sådan "nervefiber" beskrives ved en kæde af almindelige førsteordens differentialligninger. Allerede i denne forenklede model gengives en række træk ved formeringsprocessen, som også findes i rigtige biologiske forsøg.

Spørgsmålet om betingelserne for forekomsten af ​​såkaldt fibrillering i et sådant modelaktivt medium er meget interessant fra både et teoretisk og anvendt medicinsk synspunkt. Dette fænomen, observeret eksperimentelt, for eksempel i hjertemusklen, består i, at i stedet for rytmisk koordinerede sammentrækninger opstår tilfældige lokale excitationer i hjertet, blottet for periodicitet og forstyrrer dets funktion. Den første teoretiske undersøgelse af dette problem blev foretaget i N. Wieners og A. Rosenbluths arbejde i 50'erne. I øjeblikket udføres arbejdet i denne retning intensivt i vores land og har allerede givet en række interessante resultater.

Bogen består af forelæsninger om matematisk modellering af biologiske processer og er skrevet på baggrund af materialet fra kurser undervist på Det Biologiske Fakultet ved Moskva State University. M. V. Lomonosov.
24 forelæsninger skitserer klassificeringen og funktionerne ved modellering af levende systemer, det grundlæggende i det matematiske apparat, der bruges til at bygge dynamiske modeller i biologi, grundlæggende modeller for befolkningstilvækst og interaktion mellem arter, modeller for multistationære, oscillerende og kvasistochastiske processer i biologi. Metoder til at studere den spatiotemporale adfærd af biologiske systemer, modeller af autobølge biokemiske reaktioner, udbredelse af en nerveimpuls, modeller for farvning af dyrehud og andre overvejes. Der lægges særlig vægt på begrebet tidernes hierarki, som er vigtigt for modellering i biologi, og moderne begreber om fraktaler og dynamisk kaos. De sidste forelæsninger er helliget moderne metoder matematisk og computermodellering af fotosynteseprocesser. Forelæsningerne er beregnet til bachelorstuderende, kandidatstuderende og specialister, der ønsker at blive fortrolige med det moderne grundlag for matematisk modellering i biologi.

Molekylær dynamik.
Igennem den vestlige videnskabs historie har spørgsmålet været, om det, ved at kende koordinaterne for alle atomer og lovene for deres interaktion, er muligt at beskrive alle de processer, der forekommer i universet. Spørgsmålet har ikke fundet sit entydige svar. Kvantemekanikken etablerede begrebet usikkerhed på mikroniveau. I forelæsningerne 10-12 vil vi se, at eksistensen af ​​kvasi-stokastiske adfærdstyper i deterministiske systemer gør det næsten umuligt at forudsige nogle deterministiske systemers adfærd på makroniveau.

En konsekvens af det første spørgsmål er det andet: spørgsmålet om "reducerbarhed". Er det muligt at kende fysikkens love, dvs. lovene for bevægelse for alle atomer, der udgør biologiske systemer, og lovene for deres interaktion, at beskrive levende systemers adfærd. I princippet kan dette spørgsmål besvares ved hjælp af en simuleringsmodel, som indeholder koordinaterne og bevægelseshastighederne for alle atomer i ethvert levende system og lovene for deres interaktion. For ethvert levende system skal en sådan model indeholde et stort antal variabler og parametre. Forsøg på at modellere ved hjælp af denne tilgang funktionen af ​​elementer i levende systemer - biomakromolekyler - er blevet gjort siden 70'erne.

Indhold
Forord til anden udgave
Forord til første udgave
Foredrag 1. Introduktion. Matematiske modeller i biologi
Forelæsning 2. Modeller af biologiske systemer beskrevet ved én førsteordens differentialligning
Foredrag 3. Befolkningsvækstmodeller
Forelæsning 4. Modeller beskrevet ved systemer af to autonome differentialligninger
Forelæsning 5. Undersøgelse af stabiliteten af ​​stationære tilstande af andenordens ikke-lineære systemer
Forelæsning 6. Problemet med hurtige og langsomme variable. Tikhonovs teorem. Typer af bifurkationer. Katastrofer
Forelæsning 7. Multistationære systemer
Forelæsning 8. Oscillationer i biologiske systemer
Forelæsning 9. Interaktionsmodeller af to typer
Foredrag 10. Dynamisk kaos. Modeller af biologiske samfund
Eksempler på fraktale sæt
Forelæsning 11. Modellering af mikrobielle populationer
Foredrag 12. Model over de svages indflydelse elektrisk felt på et ikke-lineært system af transmembran iontransport
Forelæsning 13. Distribuerede biologiske systemer. Reaktion-diffusionsligning
Forelæsning 14. Løsning af diffusionsligningen. Stabilitet af homogene stationære tilstande
Forelæsning 15. Udbredelse af en koncentrationsbølge i systemer med diffusion
Forelæsning 16. Stabilitet af homogene stationære opløsninger af et system af to ligninger af reaktions-diffusionstypen. Dissipative strukturer
Foredrag 17. Belousov-Zhabotinsky reaktion
Forelæsning 18. Modeller for udbredelse af nerveimpulser. Autowave processer og hjertearytmier
Foredrag 19. Distribuerede triggere og morfogenese. Farvemønstre for dyrs hud
Forelæsning 20. Spatiotemporale modeller af artsinteraktion
Forelæsning 21. Svingninger og periodiske rumlige fordelinger af pH-værdien og elektrisk potentiale langs celle membran kæmpealgen Chara corallina
Forelæsning 22. Modeller af fotosyntetisk elektrontransport. Elektronoverførsel i et multienzymkompleks
Forelæsning 23. Kinetiske modeller af fotosyntetiske elektrontransportprocesser
Foredrag 24. Direkte computermodeller processer i den fotosyntetiske membran
Ikke-lineær naturvidenskabelig tænkning og miljøbevidsthed
Stadier af evolution af komplekse systemer.

Download e-bogen gratis i et praktisk format, se og læs:
Download bogen Forelæsninger om matematiske modeller i biologi, Riznichenko G.Yu., 2011 - fileskachat.com, hurtig og gratis download.

Funktion af et komplekst biologisk system, herunder af det kardiovaskulære system, er resultatet af samspillet mellem dets bestanddele og de processer, der forekommer i det. Det skal erindres, at i henhold til det generelle princip om et stigende hierarki af bevægelsestyper (mekanisk - fysisk - kemisk - biologisk - social) kan den biologiske bevægelsesform ikke fuldstændigt reduceres til den mekaniske, fysiske eller kemiske form af bevægelser. bevægelse, og biologiske systemer kan ikke beskrives fuldt ud fra nogen af ​​disse bevægelsesformers synspunkt. Disse bevægelsesformer kan fungere som modeller biologisk form bevægelse, det vil sige dens forenklede billeder.

Det er muligt at finde ud af de grundlæggende principper for regulering af processerne i et komplekst biologisk system ved først at konstruere en mekanisk, fysisk eller kemisk model af systemet og derefter konstruere deres matematiske modeller, det vil sige at finde de matematiske funktioner, der beskriver disse modeller , herunder ligninger (oprettelse af matematiske modeller). Jo lavere hierarkiniveau, jo enklere model, jo flere faktorer i det virkelige system er udelukket fra overvejelse.

Modellering er en metode, hvor studiet af et komplekst objekt (proces, fænomen) erstattes af studiet af dets forenklede analog - en model. I biofysik, biologi og medicin er fysiske, kemiske, biologiske og matematiske modeller meget brugt. For eksempel er strømmen af ​​blod gennem kar modelleret af væskens bevægelse gennem rør (fysisk model). En biologisk model er enkle biologiske objekter, praktiske til eksperimentel forskning, hvor egenskaberne af rigtige, mere komplekse biologiske systemer studeres. For eksempel blev mønstrene for forekomst og udbredelse af aktionspotentialer langs nervefibre undersøgt ved hjælp af en biologisk model - det gigantiske blæksprutteakson.

En matematisk model er et sæt matematiske objekter og relationer mellem dem, der afspejler egenskaberne og karakteristikaene ved et virkeligt objekt, som er af interesse for forskeren. En passende matematisk model kan kun konstrueres ved hjælp af specifikke data og ideer om mekanismerne i komplekse processer. Efter konstruktionen "lever" den matematiske model i henhold til dens interne love, hvis viden giver os mulighed for at identificere karaktertræk det undersøgte system (se diagram i fig. 1.1.). Simuleringsresultaterne danner grundlag for styring af processer af enhver art.

Biologiske systemer er faktisk ekstremt komplekse strukturelle og funktionelle enheder.

Oftest specificeres matematiske modeller af biologiske processer i form af differential- eller differensligninger, men andre typer modelrepræsentationer er også mulige. Efter at modellen er bygget, reduceres opgaven til at studere dens egenskaber ved hjælp af metoder til matematisk deduktion eller gennem maskinmodellering.

Når man studerer et komplekst fænomen, foreslås der normalt flere alternative modeller. Den kvalitative overensstemmelse mellem disse modeller og objektet kontrolleres. For eksempel fastslår de tilstedeværelsen af ​​stabile stationære tilstande i modellen og eksistensen af ​​oscillerende tilstande. Model, den bedste måde svarende til det undersøgte system er valgt som det primære. Den valgte model er specificeret i forhold til det specifikke system, der undersøges. Numeriske værdier af parametrene er indstillet baseret på eksperimentelle data.

Processen med at søge efter en matematisk model af et komplekst fænomen kan opdeles i faser, hvis sekvens og sammenkobling afspejles i diagrammet i fig. 1.2.

Trin 1 svarer til indsamlingen af ​​data, der er tilgængelig i begyndelsen af ​​undersøgelsen om det objekt, der undersøges.

På trin 2 udvælges en grundmodel (ligningssystem) blandt mulige alternative modeller baseret på kvalitative karakteristika.

På trin 3 identificeres modelparametrene ud fra eksperimentelle data.

På trin 4 verificeres modellens adfærd ved hjælp af uafhængige eksperimentelle data. For at gøre dette er det ofte nødvendigt at udføre yderligere eksperimenter.

Hvis de eksperimentelle data taget for at verificere modellen "ikke passer" ind i modellen, er det nødvendigt at analysere situationen og fremlægge andre modeller, studere egenskaberne af disse nye modeller og derefter udføre eksperimenter, der gør det muligt at konkludere, at man af dem er at foretrække (trin 5).

Stadiet med at konstruere en matematisk model (trin 2, fig. 1.2) er det vigtigste stadie i matematisk modellering. Ideer om de mekanismer og love, der virker i systemet, og som er indlejret i den matematiske model, bestemmer rammerne for modelleringsresultaterne. Når vi modellerer funktionen af ​​det kardiovaskulære system baseret på ideer om hjertets arbejde fra et mekanisk synspunkt, kan vi således bygge en mekanisk-matematisk model.

Når det kommer til matematisk modellering af dynamikken i et komplekst biologisk system baseret på fysiske love, går vi ind i feltet af matematisk biofysik af komplekse systemer. Det var i krydsfeltet mellem tre videnskaber: matematik, fysik og biologi, at der i de sidste fem årtier er sket et kvalitativt spring i den matematiske beskrivelse af ethvert systems adfærd (fysisk, biologisk, økonomisk).

Det er almindelig praksis at måle fysiologiske mængder som en funktion af tid. For at karakterisere sådanne tidsafhængigheder er der fire grundlæggende matematiske begreber: stationære tilstande, svingninger, kaos og støj. Steady state i matematik kan relateres til begrebet homeostase i fysiologi, f.eks. arterielt tryk holdes konstant hos mennesker. Ved fysisk aktivitet stiger trykket, og efter ophør af fysisk aktivitet vender trykket tilbage til det stationære niveau i løbet af få minutter. Eksempler på oscillerende processer i den menneskelige krop omfatter: rytmer af hjerteslag, respiration og celle-reproduktion, cyklusser af søvn og vågenhed, insulinsekretion, peristaltiske bølger i tarmene og urinlederen, elektrisk aktivitet af hjernebarken og det autonome nervesystem osv. Det er kendt, at selv omhyggelig måling af en fysisk eller fysiologisk størrelse aldrig giver et absolut stationært eller strengt periodisk tidsforhold. Der vil altid være udsving (afvigelser) omkring et eller andet fast niveau eller periode med svingninger. Derudover er der systemer så uregelmæssige, at det er svært at finde en underliggende stationær eller periodisk proces. Sådanne processer betragtes i matematik som enten støj (relateret til fluktuationer) eller kaos (den "højeste grad" af orden, uregelmæssigheden observeret i et deterministisk system). Kaos kan også observeres i fuldstændig fravær af støj i omgivelserne.

Grundlaget for den matematiske model er et system af matematiske ligninger (formel 1.1). En dynamisk matematisk model karakteriserer et systems adfærd over tid, hvilket kan beskrives ved hjælp af fysiske begreber som hastighed og acceleration. Dynamiske modeller er beskrevet af systemer af differentialligninger, som er underlagt restriktioner som følge af den fysiske eller fysiologiske betydning af de accepterede mængder:

hvor f 1,..., f n - nogle funktioner , x 1 ,…, x n- uafhængige variabler, P - dimension af faserum, a,..., e osv. - parametre for differentialligninger.

Stationære stabile tilstande svarer til konstante løsninger af ligningerne i system 1.1 (fig. 1. 3, A). Stationære vibrationer af biologiske el fysiske mængder svarer til periodiske løsninger af ligningssystemet (fig. 1.3, B). Uregelmæssige (aperiodiske) tidsløsninger af ligninger svarer til støj eller kaos (Figur 1.3, B).

For nogle parameterværdier er det muligt at opnå flere løsninger, det vil sige, at systemet kan være i flere stationære tilstande (for eksempel i to tilstande). Overgangen af ​​et system, som et resultat af hvilket det kan befinde sig i en af ​​de mulige tilstande, kaldes bifurkation. Typisk er nogle stater stabile, andre er ustabile. Hvis to stabile tilstande er mulige, så kan systemet hoppe fra en tilstand til en anden med en lille ekstern påvirkning, inklusive udsving. Dette fænomen kaldes bistabilitet.

Som et eksempel på at konstruere en model af en periodisk biologisk proces, lad os betragte Volterras matematiske model "rovdyr-bytte".

Voltaires model

Lad harer og los leve i et eller andet lukket område. Harer spiser plantefoder, som altid er tilgængelige i tilstrækkelige mængder. Lynxer (rovdyr) lever kun af harer (bytte). Lad os betegne antallet af harer i dette område med N 1 og antallet af loser med N 2. N 1 og N 2 er funktioner af tid.

Da mængden af ​​føde til harer ikke er begrænset, kan vi antage, at i fravær af rovdyr vil deres antal stige over tid t i direkte forhold til antallet af tilgængelige individer:

Hvor et i– proportionalitetskoefficient.

Hvis kun loser levede i dette område, ville de dø ud på grund af mangel på føde.

I løbet af de seneste årtier er der sket betydelige fremskridt indenfor kvantitativ (matematisk) beskrivelse funktioner af forskellige biosystemer på forskellige niveauer af livets organisation: molekylær, cellulær, organ, organisme, befolkning, biogeocenologisk (økosystem). Livet er bestemt af mange forskellige karakteristika ved disse biosystemer og processer, der forekommer på passende niveauer af systemorganisation og integreret i en enkelt helhed under systemets funktion. Modeller baseret på væsentlige postulater om principperne for systemfunktion, som beskriver og forklarer en bred vifte af fænomener og udtrykker viden i en kompakt, formaliseret form, kan siges at være biosystemteorier. Konstruktion af matematiske modeller(teorier) om biologiske systemer blev mulige takket være eksperimenterendes usædvanligt intensive analytiske arbejde: morfologer, biokemikere, fysiologer, specialister i molekylær Biologi osv. Som et resultat af dette arbejde blev de morfofunktionelle diagrammer af forskellige celler krystalliseret, inden for hvilke forskellige fysisk-kemiske og biokemiske processer foregår på en ordnet måde i rum og tid, og danner meget komplekse sammenvævninger.

Den anden meget vigtige omstændighed, som bidrager til inddragelsen af ​​det matematiske apparat i biologien, er den omhyggelige eksperimentelle bestemmelse af hastighedskonstanterne for talrige intracellulære reaktioner, der bestemmer cellens og det tilsvarende biosystems funktioner. Uden viden om sådanne konstanter er en formel matematisk beskrivelse af intracellulære processer umulig.

Og endelig, tredje betingelse Det, der afgjorde succesen med matematisk modellering i biologi, var udviklingen af ​​kraftfulde computerværktøjer i form af personlige computere, supercomputere og informationsteknologier. Dette skyldes det faktum, at de processer, der styrer en eller anden funktion af celler eller organer, normalt er talrige, dækket af sløjfer af direkte og feedback og er derfor beskrevet komplekse systemer ikke-lineære ligninger med et stort antal ubekendte. Sådanne ligninger kan ikke løses analytisk, men kan løses numerisk ved hjælp af en computer.

Numeriske eksperimenter på modeller, der er i stand til at reproducere en bred klasse af fænomener i celler, organer og kroppen, giver os mulighed for at vurdere rigtigheden af ​​de antagelser, der blev gjort ved konstruktionen af ​​modellerne. Selvom eksperimentelle fakta bruges som modelpostulater, behovet for nogle antagelser og antagelser er en vigtig teoretisk komponent i modellering. Disse antagelser og antagelser er hypoteser, som kan underkastes eksperimentel verifikation. Dermed, modeller bliver kilder til hypoteser, desuden eksperimentelt verificerbar. Et eksperiment rettet mod at teste en given hypotese kan afkræfte eller bekræfte den og derved hjælpe med at forfine modellen.

Denne interaktion mellem modellering og eksperiment sker kontinuerligt, hvilket fører til en stadig dybere og mere præcis forståelse af fænomenet:

• eksperimentet forfiner modellen,
• den nye model fremsætter nye hypoteser,
• eksperiment afklarer ny model etc.

I øjeblikket inden for matematisk modellering af levende systemer forener en række forskellige og allerede etablerede traditionelle og mere moderne discipliner, hvis navne lyder ret generelle, så det er vanskeligt nøje at afgrænse områderne for deres specifikke anvendelse. På nuværende tidspunkt udvikler specialiserede anvendelsesområder for matematisk modellering af levende systemer sig særligt hurtigt - matematisk fysiologi, matematisk immunologi, matematisk epidemiologi, rettet mod at udvikle matematiske teorier og computermodeller af relevante systemer og processer.

Som enhver videnskabelig disciplin har matematisk (teoretisk) biologi sit eget emne, metoder, metoder og procedurer for forskning. Som genstand for forskning er matematiske (computer)modeller af biologiske processer, som på samme tid repræsenterer både et forskningsobjekt og et redskab til selv at studere biologiske objekter. I forbindelse med denne dobbelte essens af biomatematiske modeller indebærer de brug af eksisterende og udvikling af nye metoder til analyse af matematiske systemer(teorier og metoder for relevante grene af matematik) med henblik på at studere egenskaberne ved selve modellen som matematisk objekt, samt brugen af ​​modellen til at reproducere og analysere eksperimentelle data opnået i biologiske forsøg. Samtidig er et af de vigtigste formål med matematiske modeller (og teoretisk biologi generelt) evnen til at forudsige biologiske fænomener og scenarier for et biosystems opførsel under visse betingelser og deres teoretiske begrundelse, før man udfører de tilsvarende biologiske eksperimenter.

Den vigtigste forskningsmetode og brugen af ​​komplekse modeller af biologiske systemer er computereksperiment, som kræver brug af passende beregningsmetoder for de tilsvarende matematiske systemer, beregningsalgoritmer, udviklings- og implementeringsteknologier computerprogrammer, lagring og behandling af computermodelleringsresultater.

Endelig, i forbindelse med hovedmålet med at bruge biomatematiske modeller til at forstå de biologiske systemers funktionslove, kræver alle stadier af udviklingen og brugen af ​​matematiske modeller obligatorisk afhængighed af teori og praksis biologisk videnskab, og primært på resultaterne af fuldskalaforsøg.

En metode til at beskrive biologiske systemer ved brug af et passende matematisk apparat. Definition af matematik. apparater, der tilstrækkeligt afspejler driften af ​​biologiske systemer, er en vanskelig opgave forbundet med deres klassificering. Klassificeringen af ​​biologiske systemer efter kompleksitet (logaritme af antallet af tilstande) kan udføres ved hjælp af f.eks. en skala, som simple systemer systemer med op til tusind stater klassificeres som komplekse - fra tusind til en million og meget komplekse - over en million stater. Anden den vigtigste egenskab biologisk system er et mønster udtrykt af loven om sandsynlighedsfordeling af stater. I henhold til denne lov er det muligt at bestemme usikkerheden ved dets arbejde ifølge K. Shannon og en vurdering af den relative organisation. Således har biol. systemer kan klassificeres efter kompleksitet (maksimal diversitet eller størst mulig usikkerhed) og relativ organisation, dvs. organisationsgrad (se Biologiske systemers organisation).

Klassifikationsdiagram af biosystemer:

Simple systemer;

Komplekse systemer;

Meget komplekse systemer;

Probabilistiske systemer;

Probabilistisk-deterministiske systemer;

Deterministiske systemer.

I fig. et klassifikationsdiagram af biosystemer er vist på akserne af den maksimalt mulige usikkerhed, der karakteriserer antallet af tilstande i systemet og bestemmes af logaritmen af ​​antallet af tilstande, og niveauet af relativ organisation - karakteriserer graden af ​​organisering af systemet. Diagrammet giver navnene på de tilsvarende bånd, så for eksempel området under tallet 8 betyder "meget komplekse sandsynlighedsbestemte biosystemer." Erfaring med at studere biosystemer viser, at hvis , beregnet ud fra histogrammet af fordelingen af ​​afvigelser af den undersøgte indikator fra dens matematiske forventning, ligger i området fra 1,0 til 0,3, så kan vi overveje, at det er et deterministisk biosystem. Sådanne systemer omfatter interne kontrolsystemer. organer, hovedsageligt hormonelle (humorale) kontrolsystemer. Neuron, indre organer sfærer, kan metaboliske systemer ifølge visse parametre også klassificeres som deterministiske biosystemer. Matematik. modeller af sådanne systemer er bygget på basis af fysisk-kemiske. forhold mellem elementer eller organer i systemet. I dette tilfælde er dynamikken i ændringer i input-, mellem- og outputindikatorer underlagt modellering. Det er for eksempel biofysiske modeller af nervecellen, det kardiovaskulære system, blodsukkerkontrolsystemet og andre. Matematik. det apparat, der tilstrækkeligt beskriver adfærden af ​​sådanne deterministiske biosystemer, er teorien om diff. og integralligninger. Baseret på matematik. modeller af biosystemer, er det muligt, ved hjælp af metoder til automatisk kontrolteori, at løse differentielle problemer med succes. diagnostik og behandlingsoptimering. Området for modellering af deterministiske biosystemer er mest fuldt udviklet.

Hvis organiseringen af ​​biosystemer i forhold til den undersøgte indikator (eller system af indikatorer) ligger i intervallet 0,3 - 0,1, så kan systemerne betragtes som sandsynlighedsbestemt. Disse omfatter interne kontrolsystemer. organer med en klart udtrykt komponent af nerveregulering (for eksempel pulsstyringssystemet), samt hormonreguleringssystemer i tilfælde af patologi. Som en passende matematik. Enheden kan tjene som en repræsentation af dynamikken i ændringer i diff-indikatorer. ligninger med koefficienter, der overholder visse fordelingslove. Modellering af sådanne biosystemer er relativt dårligt udviklet, selvom det er af væsentlig interesse for medicinsk kybernetik.

Probabilistiske biosystemer er karakteriseret ved en organisationsværdi R fra 0,1 til 0. Disse omfatter systemer, der bestemmer interaktionen mellem analysatorer og adfærdsreaktioner, herunder læreprocesser under simple betingede reflekshandlinger og komplekse relationer mellem signaler miljø og kroppens reaktioner. Tilstrækkelig matematik. apparat

til modellering af sådanne biosystemer er teorien om deterministiske og tilfældige automater, der interagerer med deterministiske og tilfældige miljøer, teorien om tilfældige processer.

Matematik. modellering af biosystemer omfatter foreløbig statistisk bearbejdning af eksperimentelle resultater (se Biologisk forskning, matematiske metoder), undersøgelse af biosystemers kompleksitet og organisering, udvælgelse af passende matematik. modeller og definition numeriske værdier parametre matematik. modeller baseret på eksperimentelle data (se Biologisk kybernetik). Det sidste problem er generelt meget vanskeligt. For deterministiske biologiske systemer, hvis modeller kan repræsenteres ved lineær diff. ligninger, kan bestemmelsen af ​​modellens bedste parametre (differentialligningskoefficient) udføres ved nedstigningsmetoden (se Gradientmetoden) i rummet af modelparametre, estimeret ved integralet af den kvadrerede fejl. I dette tilfælde er det nødvendigt at anvende parameternedstigningsproceduren for at minimere funktionaliteten

hvor T er perioden, den karakteristiske tid for indikatoren, y er den eksperimentelle kurve for ændringer i biosystemets indikator, y er løsningen af ​​matematikken. modeller. Hvis det er nødvendigt at opnå den bedste (i betydningen integralet af kvadratfejlen) tilnærmelsesmatematik. modeller for driften af ​​et biosystem i henhold til flere indikatorer for forskellige interne tilstande i biosystemet eller for forskellige karakteristika ydre påvirkninger, så er det muligt, ved at bruge nedstigningsmetoden i rummet af modelparametre, at minimere summen af ​​delfunktioner . Når du bruger denne procedure til at vælge parametre, skal matematik. model, kan du øge sandsynligheden for at opnå et enkelt sæt koefficienter. modeller, der svarer til den vedtagne struktur. Med hjælp fra B. s. m.m. det er ønskeligt at modtage ikke kun kvantitative egenskaber biosystemernes arbejde, dets elementer og karakteristikaene for forholdet mellem elementer, men også at identificere kriterierne for driften af ​​biosystemer, at etablere visse generelle principper deres funktion. Lit.: Glushkov V. M. Introduktion til kybernetik. K., 1964 [bibliogr. Med. 319-322]; Modellering i biologi og medicin, i. 1-3. K., 1965-68; Bush R., Mosteller F. Stokastiske modeller for indlæringsevne. Om. fra engelsk M., 1962. Yu. G. Antononov.