Et ensartet elektrostatisk felt skabes af en ensartet ladet plade. Beregning af elektriske felter ved hjælp af Ostrogradsky-Gauss-sætningen

Zhidkevich V.I. Et flys elektriske felt // Fysik: beregningsproblemer. - 2009. - Nr. 6. - S. 19-23.

Problemer inden for elektrostatik kan opdeles i to grupper: problemer om punktladninger og problemer om ladede legemer, hvis størrelser ikke kan ignoreres.

Løsning af problemer med at beregne elektriske felter og interaktioner af punktladninger er baseret på anvendelsen af ​​Coulombs lov og forårsager ikke særlige vanskeligheder. Mere vanskeligt er det at bestemme feltstyrken og interaktionen af ​​ladede legemer af endelige størrelser: kugle, cylinder, plan. Ved beregning af styrken af ​​elektrostatiske felter af forskellige konfigurationer bør vigtigheden af ​​superpositionsprincippet understreges og bruges, når man overvejer felter, der ikke kun er skabt af punktladninger, men også af ladninger fordelt over overfladen og volumen. Når man overvejer effekten af ​​et felt på en ladning, er formlen F=qE i det generelle tilfælde er det gyldigt for punktladede kroppe og kun i et ensartet felt gælder for kroppe af enhver størrelse og form, der bærer en ladning q.

Det elektriske felt i en kondensator er resultatet af overlejringen af ​​to felter skabt af hver plade.

I en flad kondensator kan en plade betragtes som en krop med en ladningq 1placeret i et elektrisk intensitetsfelt E 2, skabt af en anden plade.

Lad os overveje flere problemer.

1. Det uendelige plan er ladet med overfladedensitet σ >0. Find feltstyrken E og potentiale ϕ på begge sider af planet, i betragtning af planets potentiale lig med nul. Byg afhængighedsgrafer E(x), ϕ (X). x-aksen vinkelret på planet ligger punktet x=0 på planet.

Løsning. Det elektriske felt i et uendeligt plan er ensartet og symmetrisk i forhold til planet. Hans spænding imellem intensiteten og potentialforskellen mellem to punkter i et ensartet elektrostatisk felt er udtrykt ved formlen hvor x - afstanden mellem punkter, målt langs marklinjen. Derefter ϕ 2 = ϕ 1 - Eks. Ved x<0 при х>0 Afhængigheder E(x) og ϕ (x) er vist i figur 1.

2. To planparallelle tynde plader placeret med kort afstand d fra hinanden, ensartet ladet med overfladedensitetsladningσ 1 og σ 2. Find feltstyrkerne på punkter, der ligger mellem pladerne og på ydersiden. Tegn en graf over spændingen E(x) og potentiale ϕ (x), tæller ϕ (0)=0. Overvej tilfælde, hvor: a)σ1 = -σ2;

Løsning. b) σ1 = σ2; c) σ 1 =3 σ 2 -

Da afstanden mellem pladerne er lille, kan de betragtes som uendelige planer. Feltstyrken af ​​et positivt ladet plan er lig med og instrueret

fra hende; feltstyrken af ​​det negativt ladede plan er rettet mod det.

Ifølge superpositionsprincippet vil feltet på et hvilket som helst tidspunkt blive skabt af hver af anklagerne separat. a) Felterne i to planer ladet med ladninger med lige og modsat fortegn (flad kondensator) summeres i området mellem planerne og ophæver hinanden i de ydre områder (fig. 2,

EN). På<0 E= 0, ϕ x =0; ved 0 d E= 0, grafer afhængighed af spænding og potentiale på afstand x er vist i figur 2,

b, c.

Hvis planerne er af endelige dimensioner, så vil feltet mellem planerne ikke være strengt ensartet, og feltet uden for planerne vil ikke være nøjagtigt nul. b) Felter af fly ladet med ladninger af samme størrelse og fortegn ( σ 1 = σ 2), kompenserer hinanden i mellemrummet mellem planerne og lægger sammen i de ydre områder (fig. 3,<0 при 0EN). Ved x

d Brug af grafen E(x) ϕ (Fig. 3, b), lad os konstruere en kvalitativ graf over afhængigheden

(x) (fig. 3, c). c) Hvis σ 1 = σ

2, så under hensyntagen til felternes retninger og valg af retningen til højre som positiv, finder vi:

3. Afhængigheden af ​​spændingen E af afstanden er vist i figur 4. På en af ​​pladerne af en flad kondensator med en kapacitet MEDq 1=+3der er et gebyr q , og på den anden =+ q 2 q.

Løsning. Bestem potentialforskellen mellem kondensatorpladerne. 1. metode. Lad arealet af kondensatorpladen S, og afstanden mellem dem d. Feltet inde i kondensatoren er ensartet, så potentialforskellen (spændingen) over kondensatoren kan bestemmes af formlen U=E*d, hvor E

- feltstyrke inde i kondensatoren. hvor E 1, E 2

- feltstyrke skabt af kondensatorpladerne.

Derefter 2. metode. Tilføj en ladning til hver tallerken Derefter kondenseres pladerne + der er et gebyr satora vil have gebyrer og -q. Felterne med identiske ladninger af pladerne inde i kondensatoren ophæver hinanden. De tilføjede ladninger ændrede ikke feltet mellem pladerne, og dermed potentialeforskellen med kondensator. .

4. U= der er et gebyr q/C

Løsning. En tynd metalplade med en ladning + indsættes i mellemrummet mellem pladerne på en uladet flad kondensator.. Bestem potentialforskellen mellem kondensatorpladerne. (Fig. 5). Dette felt er ensartet, symmetrisk i forhold til pladen og dens intensitetLad metalpladens potentiale være ϕ . Derefter pladernes potentialer EN Og I kondensatorer vil være ens ϕ- ϕ A = ϕ El 1; ϕ A = ϕ-El 1 ; ϕ- ϕ B = ϕ-El 2 ; ϕ B = ϕ-El 2 .

Potentialforskel mellem kondensatorpladerHvis pladen er i samme afstand fra kondensatorens plader, så er potentialforskellen mellem pladerne nul.

5. I et ensartet elektrisk intensitetsfelt E 0 en ladet metalplade er placeret vinkelret på kraftlinjerne med en ladningstæthed på overfladen af ​​hver side af pladen σ (Fig. 6). Bestem feltstyrken E" indeni og uden for pladen og overfladeladningstæthedσ 1 og σ 2 , som vises på venstre og højre side af pladen.

Løsning. Feltet inde i pladen er nul og er en superposition af tre felter: det ydre felt E 0, feltet skabt af ladningerne på venstre side af pladen, og feltet skabt af ladningerne på højre side af pladen. Derfor,hvor σ 1 og σ 2 - overfladeladningstæthed på venstre og højre side af pladen, som vises efter pladen er introduceret i feltet E 0. Den samlede ladning på pladen vil ikke ændre sig, såσ 1 + σ 2 =2 σ, hvorfra σ 1 = σ- ε 0 E 0 , σ 2 = σ + ε 0 E 0 . Feltet uden for pladen er en superposition af feltet E 0 og ladede pladefelter E. Til venstre for plader Til højre for pladen

6. I en flad luftkondensator er feltstyrken E = 10 4 V/m. Afstand mellem plader d= 2 cm Hvad vil potentialforskellen være lig, hvis en metalplade af tykkelse placeres parallelt med pladerne?d 0= 0,5 cm (fig. 7)?

Løsning. Da det elektriske felt mellem pladerne er ensartet, altså U=Ed, U=200 V.

Markerer man en metalplade mellem pladerne, får man et system af to serieforbundne kondensatorer med afstand mellem pladerned 1 og d2. Kapaciteten af ​​disse kondensatorerDeres samlede kapacitet

Da kondensatoren er afbrudt fra strømkilden, ændres ladningen af ​​kondensatoren ikke, når en metalplade tilføjes: q"=CU="U1; hvor er kondensatorkapaciteten sator, før du tilføjer en metalplade ind i den. Vi får:

U 1= 150 V.

7. På plader EN og C, placeret parallelt i en afstand d= 8 cm fra hinanden, potentialer bibeholdt ϕ 1= 60 V og ϕ 2 =- 60 V tilsvarende. En jordet plade blev placeret mellem dem D i en afstand d 1 = 2 cm fra plade A. Hvor meget har feltstyrken ændret sig i afsnit AD og CD? Byg afhængighedsgrafer ϕ (x) og E(x).

Eksempel 1. En tynd, uendelig lang tråd lades ensartet med en lineær ladningstæthed λ . Find den elektrostatiske feltstyrke E(r) i en vilkårlig afstand r fra tråden.

Lad os lave en tegning:

Analyse:

Fordi Tråden bærer ikke en punktladning. DI-metoden er anvendelig. Lad os vælge et uendeligt lille element af lederens længde dl, som vil indeholde afgiften dq=dlλ. Lad os beregne feltstyrken skabt af hvert element i lederen ved et vilkårligt punkt A placeret i en afstand fra tråden EN. Vektoren vil blive rettet langs den lige linje, der forbinder punktladningen med observationspunktet. Vi opnår det resulterende felt langs normalen til tråden langs x-aksen. Det er nødvendigt at finde værdien dE x: dE x =dE cosα. .

A-priory:

.

Størrelse dl, r, ændres konsekvent, når elementets position ændres dl. Lad os udtrykke dem gennem værdien α:

Hvor dα– uendelig stigning af vinklen α som følge af drejning af radiusvektoren i forhold til punktet A, når den bevæges langs tråden med dl. Derefter dl=r 2 dα/a. Ved flytning dl fra til punkt O skifter vinklen fra 0 0 til π/2.

Derfor .

Dimensionskontrol: [E]=V/m=kgm/mfm=KlV/Klm=V/m;

Svar:.

Metode 2.

På grund af ladningsfordelingens aksiale symmetri er alle punkter placeret i lige stor afstand fra gevindet ækvivalente, og feltstyrken i dem er den samme, dvs. E(r)=const, hvor r- afstand fra observationspunktet til tråden. Retning E på disse punkter falder altid sammen med retningen af ​​normalen til tråden. Ved Gauss' sætning; Hvor Q-ladning dækket af overfladen – S’ som fluxen beregnes igennem, vælger vi i form af en cylinder med radius a og en generatrix med gevind. Under hensyntagen til, at det er normalt på cylinderens laterale overflade, får vi for flowet:

Fordi E=konst.

S side = På 2π .

På den anden side E 2πаН=Q/ε 0 ,

Hvor λН=q.

Svar:E=λ /4πε 0 EN.

Eksempel 2. Beregn spændingen af ​​et ensartet ladet uendeligt plan med overfladeladningstæthed σ .

Spændingslinjerne er vinkelrette og rettet i begge retninger fra planet. Som en lukket overflade vælger vi overfladen af ​​en cylinder, hvis baser er parallelle med planet, og cylinderens akse er vinkelret på planet. Fordi cylinderens generatricer er parallelle med spændingslinjerne (α=0, cos α=1 ), så er spændingsvektorens flux gennem sidefladen nul, og den totale flux gennem en lukket cylindrisk overflade er lig med summen af ​​fluxene gennem dens base. Ladningen indeholdt i en lukket overflade er lig med σ S grundlæggende , Derefter:

FE = 2 ES hoved eller Ф E = =, derefter E = =

Svar: E =, afhænger ikke af cylinderens længde og er den samme i absolut værdi i enhver afstand fra planet. Feltet af et ensartet ladet plan er ensartet.

Eksempel 3. Beregn feltet af to uendeligt ladede planer, med overfladedensiteter henholdsvis +σ og –σ.

E = E = 0; E = E + + E - =.

Svar: Den resulterende feltstyrke i området mellem planerne er lig med E =, og uden for volumenet begrænset af planerne er den lig nul.

Eksempel 4. Beregn feltstyrken af ​​en ensartet ladet sfærisk overflade med radius med overfladeladningstæthed +σ R.

Det, og,

hvis r< R , то внутри замкнутой поверхности нет зарядов и электростатическое поле отсутствует (Е=0).

Svar:.

Eksempel 5. Beregn volumetrisk ladningsintensitet med volumendensitet ρ , kugleradier R.

Lad os tage en kugle som en lukket overflade.

Hvis r ≥R, så = 4πr2E; E=

hvis r< R , то сфера радиусом r, dækker en ladning q" lig med q"= (da ladninger er relateret til rumfang og rumfang som terninger med radier)

Så ifølge Gauss' pointe

Svar:; inde i en ensartet ladet bold stiger spændingen lineært med afstanden r fra dets centrum og udenfor - falder i omvendt forhold r 2 .

Eksempel nr. 6. Beregn feltstyrken af ​​en uendelig, cirkulær cylinder ladet med lineær ladningstæthed λ , radius R.

Fluxen af ​​spændingsvektoren gennem enderne af cylinderen er 0 og gennem sidefladen:

Fordi , eller ,

Derefter (hvis r > R)

hvis λ > 0, E > 0, er vektor Ē rettet væk fra cylinderen,

hvis λ< 0, Е < 0 , вектор Ē направлен к цилиндру.

Hvis r< R, то замкнутая поверхность зарядов внутри не содержит, поэтому в этой области Е = 0

Svar:(r > R); E = 0 (R>r). Der er intet felt inde i en uendelig, rund cylinder, der er ensartet ladet over overfladen.

Eksempel 7. Det elektriske felt skabes af to uendeligt lange parallelle planer med overfladeladningsplaner på 2 nC/m 2 og 4 nC/m 2. Bestem feltstyrken i regionerne I, II, III. Byg en afhængighedsgraf Ē (r) .

Fly deler rummet i 3 områder

Retningen Ē af det resulterende felt er mod et større.

I projektion på r:

; «–»; ;

; «–»; ;

; «+»; .

Tidsplan Ē (r)

Valg af skala: E 2 =2 E 1

E1 = 1; E2=2

Svar:E I = -345 V/m; EІ I = –172 V/m; E I II = 345 V/m.

Eksempel nr. 8. Ibenholt massiv kugle med radius R= 5 cm bærer en ladning jævnt fordelt med volumentæthed ρ =10 nC/m3. Bestem den elektriske feltstyrke ved punkter: 1) på afstand r 1 = 3 cm fra midten af ​​kuglen; 2) på overfladen af ​​kuglen; 3) på afstand r 2 = 10 cm fra midten af ​​kuglen.

Et uendeligt plan ladet med en overfladeladningstæthed: For at beregne intensiteten af ​​det elektriske felt skabt af et uendeligt plan, vælger vi en cylinder i rummet, hvis akse er vinkelret på det ladede plan, og baserne er parallelle med det, og en af ​​baserne passerer gennem det område, der er af interesse for os. Ifølge Gauss' teorem er fluxen af ​​den elektriske feltstyrkevektoren gennem en lukket overflade lig med:

Ф=, på den anden side er det også: Ф=E

Lad os sidestille de rigtige sider af ligningerne:

Lad os udtrykke = - gennem overfladeladningstætheden og finde den elektriske feltstyrke:

Lad os finde den elektriske feltstyrke mellem modsat ladede plader med samme overfladetæthed:

(3)

Lad os finde feltet uden for pladerne:

; ; (4)

Feltstyrke af en ladet kugle

(1)

Ф= (2) Gaussisk punkt

for r< R

; , fordi (der er ingen ladninger inde i kuglen)

For r = R

( ; ; )

For r > R

Feltstyrke skabt af en bold, der lades ensartet gennem hele dens volumen

Volumen ladningstæthed,

fordelt over bolden:

For r< R

( ; Ф= )

For r = R

For r > R

ARBEJDE I DET ELEKTROSTATISKE FELT FOR AT FLYTTE EN OPLADNING

Elektrostatisk felt- e-mail felt af en stationær ladning.
Fel, der handler på ladningen, flytter den og udfører arbejde.
I et ensartet elektrisk felt er Fel = qE en konstant værdi

Arbejdsfelt (el. kraft) afhænger ikke af på banens form og på en lukket bane = nul.

Hvis en anden punktladning Q 0 i det elektrostatiske felt af en punktladning Q 0 bevæger sig fra punkt 1 til punkt 2 langs en hvilken som helst bane (fig. 1), så virker den kraft, der påføres ladningen. Arbejdet udført af kraft F på en elementær forskydning dl er lig Siden d l/cosα=dr, så Arbejdet ved flytning af en ladning Q 0 fra punkt 1 til punkt 2 (1) afhænger ikke af bevægelsens bane, men bestemmes kun af positionerne af de indledende 1 og sidste 2 punkter. Det betyder, at det elektrostatiske felt af en punktladning er potentiale, og de elektrostatiske kræfter er konservative. er lig nul, dvs. (2) Hvis vi tager en enkeltpunkts positiv ladning som en ladning, der bevæges i et elektrostatisk felt, så er det elementære arbejde af feltkræfter langs stien dl lig med Edl = E l d l, hvor E l= Ecosα - projektion af vektor E på retningen af ​​elementær forskydning. Så kan formel (2) repræsenteres som (3) Integral kaldes spændingsvektorens cirkulation. Dette betyder, at cirkulationen af ​​den elektrostatiske feltstyrkevektor langs enhver lukket kontur er nul. Et kraftfelt, der har egenskab (3), kaldes potentiale. Af det faktum, at cirkulationen af ​​vektor E er lig med nul, følger det, at linjerne med elektrostatisk feltstyrke ikke kan lukkes, de nødvendigvis begynder og slutter på ladninger (positive eller negative) eller går til uendelig. Formel (3) er kun gyldig for det elektrostatiske felt. Efterfølgende vil det blive vist, at i tilfælde af et felt med bevægelige ladninger, er betingelse (3) ikke sand (for den er cirkulationen af ​​intensitetsvektoren ikke nul).

Cirkulationssætning for det elektrostatiske felt.

Da det elektrostatiske felt er centralt, er de kræfter, der virker på ladningen i et sådant felt, konservative. Da det repræsenterer det elementære arbejde, som feltkræfter frembringer på en enhedsladning, er arbejdet af konservative kræfter på en lukket sløjfe lig med

Potentiel

Systemet "ladning - elektrostatisk felt" eller "ladning - ladning" har potentiel energi, ligesom "tyngdefelt - krop"-systemet har potentiel energi.

En fysisk skalær størrelse, der karakteriserer feltets energitilstand, kaldes potentiel et givet punkt i feltet. En ladning q er placeret i et felt, den har potentiel energi W. Potentiale er en karakteristik af et elektrostatisk felt.

Lad os huske potentiel energi i mekanik. Potentiel energi er nul, når kroppen er på jorden. Og når en krop hæves til en vis højde, siger man, at kroppen har potentiel energi.

Med hensyn til potentiel energi i elektricitet er der ikke noget nulniveau af potentiel energi. Det er valgt tilfældigt. Derfor er potentiale en relativ fysisk størrelse.

Potentiel feltenergi er det arbejde, der udføres af den elektrostatiske kraft, når en ladning flyttes fra et givet punkt i feltet til et punkt med nul potentiale.

Lad os overveje et særligt tilfælde, når et elektrostatisk felt skabes af en elektrisk ladning Q. For at studere potentialet af et sådant felt er der ikke behov for at indføre en ladning q i det. Du kan beregne potentialet for ethvert punkt i et sådant felt beliggende i en afstand r fra ladningen Q.

Mediets dielektriske konstant har en kendt værdi (tabel) og karakteriserer det medium, hvori feltet eksisterer. For luft er det lig med enhed.

Potentiel forskel

Det arbejde, et felt udfører for at flytte en ladning fra et punkt til et andet, kaldes potentialforskel

Denne formel kan præsenteres i en anden form

Superpositionsprincip

Potentialet for et felt skabt af flere ladninger er lig med den algebraiske (under hensyntagen til potentialets fortegn) sum af potentialerne af felterne i hvert felt separat

Dette er energien af ​​et system af stationære punktladninger, energien af ​​en solitær ladet leder og energien af ​​en ladet kondensator.

Hvis der er et system med to ladede ledere (kondensator), så er systemets samlede energi lig med summen af ​​ledernes egne potentielle energier og energien af ​​deres interaktion:

Elektrostatisk feltenergi system af punktafgifter er lig med:

Ensartet ladet fly.
Den elektriske feltstyrke skabt af et uendeligt plan ladet med en overfladeladningstæthed kan beregnes ved hjælp af Gauss' teorem.

Af symmetriforholdene følger, at vektoren E overalt vinkelret på planet. Desuden på punkter symmetriske i forhold til planet, vektoren E vil være den samme i størrelse og modsat retning.
Som en lukket overflade vælger vi en cylinder, hvis akse er vinkelret på planet, og hvis baser er placeret symmetrisk i forhold til planet, som vist på figuren.
Da spændingslinjerne er parallelle med generatricerne af cylinderens sideflade, er flowet gennem sidefladen nul. Derfor vektorstrømmen E gennem cylinderens overflade

,

hvor er arealet af bunden af ​​cylinderen. Cylinderen skærer en ladning ud af flyet. Hvis planet er i et homogent isotropisk medium med relativ dielektrisk konstant, så

Når feltstyrken ikke afhænger af afstanden mellem flyene, kaldes et sådant felt ensartet. Afhængighedsgraf E (x) for et fly.

Potentialforskel mellem to punkter placeret på afstand R 1 og R 2 fra det ladede plan er lig med

Eksempel 2. To ensartet ladede planer.
Lad os beregne den elektriske feltstyrke skabt af to uendelige planer. Den elektriske ladning er fordelt ensartet med overfladedensiteter og . Vi finder feltstyrken som en superposition af feltstyrkerne for hvert af flyene. Det elektriske felt er kun nul i rummet mellem planerne og er lig med .

Potentielle forskel mellem fly , Hvor d- afstand mellem fly.
De opnåede resultater kan bruges til en omtrentlig beregning af felterne skabt af flade plader med endelige dimensioner, hvis afstandene mellem dem er meget mindre end deres lineære dimensioner. Mærkbare fejl i sådanne beregninger vises, når man overvejer felter nær kanterne af pladerne. Afhængighedsgraf E (x) for to fly.

Eksempel 3. Tynd ladet stang.
For at beregne den elektriske feltstyrke skabt af en meget lang stang ladet med en lineær ladningstæthed, bruger vi Gauss' sætning.
I tilstrækkeligt store afstande fra enderne af stangen er de elektriske feltintensitetslinjer rettet radialt fra stangens akse og ligger i planer vinkelret på denne akse. På alle punkter lige langt fra stangens akse er de numeriske værdier af spændingen de samme, hvis stangen er i et homogent isotropisk medium med et relativt dielektrikum
permeabilitet

For at beregne feltstyrken på et vilkårligt punkt placeret i en afstand r fra stangens akse tegnes en cylindrisk overflade gennem dette punkt
(se billedet). Radius af denne cylinder er r, og dens højde h.
Fluxene af spændingsvektoren gennem cylinderens øvre og nedre basis vil være lig med nul, da kraftlinjerne ikke har komponenter, der er normale på overfladerne af disse baser. På alle punkter på cylinderens sideflade
E= konst.
Derfor er vektorens samlede flow E gennem cylinderens overflade vil være lig med

,

Ifølge Gauss' sætning er vektorens flux E lig med den algebraiske sum af de elektriske ladninger placeret inde i overfladen (i dette tilfælde cylinderen) divideret med produktet af den elektriske konstant og den relative dielektriske konstant for mediet

hvor er ladningen af ​​den del af stangen, der er inde i cylinderen. Derfor er den elektriske feltstyrke

Elektrisk feltpotentialeforskel mellem to punkter placeret i afstand R 1 og R 2 fra stangens akse, finder vi den ved hjælp af forholdet mellem det elektriske felts intensitet og potentiale. Da feltstyrken kun ændres i radial retning, altså

Eksempel 4. Ladet sfærisk overflade.
Det elektriske felt skabt af en sfærisk overflade, over hvilken en elektrisk ladning med overfladetæthed er ensartet fordelt, har en centralt symmetrisk karakter.

Spændingslinjerne er rettet langs radier fra kuglens centrum og vektorens størrelse E afhænger kun af afstanden r fra midten af ​​kuglen. For at beregne feltet vælger vi en lukket sfærisk overflade med radius r.
Når r o E = 0.
Feltstyrken er nul, da der ikke er nogen ladning inde i kuglen.
For r > R (uden for sfæren), ifølge Gauss' sætning

,

hvor er den relative dielektriske konstant for mediet, der omgiver kuglen.

.

Intensiteten falder efter samme lov som feltstyrken af ​​en punktladning, altså ifølge loven.
Når r o .
For r > R (uden for kuglen) .
Afhængighedsgraf E (r) for en kugle.

Eksempel 5. En volumenladet dielektrisk kugle.
Hvis bolden har radius R lavet af et homogent isotropt dielektrikum med relativ permeabilitet er ensartet opladet i hele volumen med tæthed, så er det elektriske felt, det skaber, også centralt symmetrisk.
Som i det foregående tilfælde vælger vi en lukket overflade til at beregne vektorfluxen E i form af en koncentrisk kugle, hvis radius r kan variere fra 0 til .
På r < R vektor flow E gennem denne overflade vil blive bestemt af ladningen

Så

EN). r < R(inde i bolden) .
Inde i bolden stiger spændingen i direkte forhold til afstanden fra boldens centrum. Uden for bolden (kl r > R) i et medium med dielektrisk konstant, fluxvektor E gennem overfladen vil blive bestemt af ladningen.
Når r o > R o (uden for bolden) .
Ved "bold-miljø"-grænsen ændres den elektriske feltstyrke brat, hvis størrelse afhænger af forholdet mellem de dielektriske konstanter for bolden og miljøet. Afhængighedsgraf E (r) for bold ().

Uden for bolden ( r > R) det elektriske feltpotentiale ændres i henhold til loven

.

Inde i bolden ( r < R) potentialet er beskrevet af udtrykket

Afslutningsvis præsenterer vi udtryk for beregning af feltstyrkerne af ladede legemer af forskellige former

Potentiel forskel
Spænding- forskellen i potentielle værdier ved de indledende og sidste punkter af banen. Spænding er numerisk lig med arbejdet i det elektrostatiske felt, når en enheds positiv ladning bevæger sig langs kraftlinjerne i dette felt. Potentialforskellen (spændingen) er uafhængig af valget koordinatsystemer!
Enhed for potentialforskel Spændingen er 1 V, hvis feltet ved bevægelse af en positiv ladning på 1 C langs kraftlinjerne udfører 1 J arbejde.

Leder- dette er et fast legeme, hvor der er "frie elektroner", der bevæger sig inde i kroppen.

Metalledere er generelt neutrale: de indeholder lige store mængder negative og positive ladninger. Positivt ladede er ioner i krystalgitterets noder, negative er elektroner, der bevæger sig frit langs lederen. Når en leder får en overskydende mængde elektroner, bliver den ladet negativt, men hvis et vist antal elektroner "tages" fra lederen, bliver den positivt ladet.

Den overskydende ladning fordeles kun over den ydre overflade af lederen.

1 . Feltstyrken på ethvert punkt inde i lederen er nul.

2 . Vektoren på lederens overflade er rettet vinkelret på hvert punkt på lederens overflade.

Af det faktum, at lederens overflade er ækvipotential, følger det, at feltet direkte på denne overflade er rettet vinkelret på den i hvert punkt (tilstand 2 ). Hvis dette ikke var tilfældet, ville ladningerne under påvirkning af den tangentielle komponent begynde at bevæge sig langs lederens overflade. de der. ligevægt af ladninger på en leder ville være umulig.

Fra 1 det følger, at siden

Der er ingen overskydende ladninger inde i lederen.

Ladninger fordeles kun på lederens overflade med en vis tæthed s og er placeret i et meget tyndt overfladelag (dens tykkelse er omkring en eller to interatomare afstande).

Ladningstæthed- dette er mængden af ​​ladning pr. længdeenhed, areal eller volumen, hvilket bestemmer de lineære, overflade- og volumetriske ladningstætheder, som måles i SI-systemet: i Coulombs pr. meter [C/m], i Coulombs pr. kvadratmeter [ C/m² ] og i Coulombs pr. kubikmeter [C/m³] hhv. I modsætning til stoffets tæthed kan ladningstæthed have både positive og negative værdier, dette skyldes, at der er positive og negative ladninger.

Generelt problem med elektrostatik

Spændingsvektor,

ved Gauss' sætning

- Poissons ligning.

I det tilfælde, hvor der ikke er ladninger mellem konduktørerne, får vi

- Laplaces ligning.

Lad randbetingelserne på ledernes overflader være kendt: værdier ; så har dette problem en unik løsning iflg unikkesteorem.

Ved løsning af problemet bestemmes værdien og derefter bestemmes feltet mellem lederne ved fordelingen af ​​ladninger på lederne (iht. spændingsvektoren ved overfladen).

Lad os se på et eksempel. Lad os finde spændingen i lederens tomme hulrum.

Potentialet i hulrummet opfylder Laplaces ligning;

potentiale på lederens vægge.

Løsningen på Laplaces ligning er i dette tilfælde triviel, og ved unikhedssætningen er der ingen andre løsninger

, dvs. der er intet felt i ledningshulrummet.

Poissons ligning er en elliptisk partiel differentialligning, der bl.a. beskriver

· elektrostatisk felt,

· stationært temperaturfelt,

· trykfelt,

· hastighedspotentiale felt i hydrodynamik.

Det er opkaldt efter den berømte franske fysiker og matematiker Simeon Denis Poisson.

Denne ligning ser sådan ud:

hvor er Laplace-operatoren eller Laplacian, og er en reel eller kompleks funktion på en manifold.

I et tredimensionelt kartesisk koordinatsystem har ligningen formen:

I det kartesiske koordinatsystem skrives Laplace-operatoren på formen, og Poisson-ligningen har formen:

Hvis f har en tendens til nul, så bliver Poisson-ligningen til Laplace-ligningen (Laplace-ligningen er et specialtilfælde af Poisson-ligningen):

Poissons ligning kan løses ved hjælp af den grønnes funktion; se for eksempel artiklen Screened Poissons ligning. Der er forskellige metoder til at opnå numeriske løsninger. For eksempel bruges en iterativ algoritme - "afslapningsmetoden".

Vi vil overveje en solitær leder, det vil sige en leder, der er væsentligt fjernet fra andre ledere, kroppe og ladninger. Dens potentiale er som bekendt direkte proportional med lederens ladning. Det er erfaringsmæssigt kendt, at forskellige ledere, selvom de er lige opladede, har forskellige potentialer. Derfor kan vi for en solitær leder skrive Mængde (1) kaldes den elektriske kapacitet (eller blot kapacitans) af en solitær leder. Kapacitansen af ​​en isoleret leder bestemmes af ladningen, hvis kommunikation til lederen ændrer sit potentiale med en. Kapacitansen af ​​en solitær leder afhænger af dens størrelse og form, men afhænger ikke af materialet, formen og størrelsen af ​​hulrummene inde i lederen, såvel som dens aggregeringstilstand. Årsagen til dette er, at overskydende ladninger fordeles på den ydre overflade af lederen. Kapacitansen afhænger heller ikke af lederens ladning eller dens potentiale. Enheden for elektrisk kapacitet er farad (F): 1 F er kapaciteten af ​​en isoleret leder, hvis potentiale ændres med 1 V, når den får en ladning på 1 C. Ifølge formlen for potentialet for en punktladning er potentialet for en solitær kugle med radius R, som er placeret i et homogent medium med dielektrisk konstant ε, lig med. Ved at anvende formel (1), opnår vi, at kapaciteten af bold (2) Heraf følger, at en solitær bold ville have en kapacitet på 1 F, placeret i et vakuum og have en radius R=C/(4πε 0)≈9 10 6 km, hvilket er ca. 1400 gange større end Jordens radius (Jordens elektriske kapacitet C≈0,7 mF). Følgelig er en farad en ret stor værdi, så i praksis bruges submultiple enheder - millifarad (mF), microfarad (μF), nanofarad (nF), picofarad (pF). Af formel (2) følger også, at enheden for den elektriske konstant ε 0 er farad pr. meter (F/m) (se (78.3)).

Kondensator(fra lat. kondensere- "kompakt", "tykkere") - et to-terminalt netværk med en vis kapacitansværdi og lav ohmsk ledningsevne; en enhed til at akkumulere ladning og energi fra et elektrisk felt. En kondensator er en passiv elektronisk komponent. Består typisk af to pladeformede elektroder (kaldet foringer), adskilt af et dielektrikum, hvis tykkelse er lille sammenlignet med størrelsen af ​​pladerne.

Kapacitet

Hovedkarakteristikken ved en kondensator er dens kapacitet, der karakteriserer kondensatorens evne til at akkumulere elektrisk ladning. Betegnelsen på en kondensator angiver værdien af ​​den nominelle kapacitans, mens den faktiske kapacitans kan variere betydeligt afhængigt af mange faktorer. Den faktiske kapacitans af en kondensator bestemmer dens elektriske egenskaber. Ifølge definitionen af ​​kapacitans er ladningen på pladen således proportional med spændingen mellem pladerne ( q = CU). Typiske kapacitansværdier spænder fra enheder af picofarads til tusindvis af mikrofarads. Der er dog kondensatorer (ionistorer) med en kapacitet på op til snesevis af farad.

Kapacitansen af ​​en parallelpladekondensator bestående af to parallelle metalplader med et areal S hver placeret på afstand d fra hinanden, i SI-systemet er udtrykt ved formlen: , hvor er den relative dielektricitetskonstant for mediet, der fylder rummet mellem pladerne (i et vakuum lig med enhed), er den elektriske konstant, numerisk lig med 8,854187817·10 −12 F/m. Denne formel er kun gyldig når d meget mindre end pladernes lineære dimensioner.

For at opnå store kapaciteter er kondensatorer forbundet parallelt. I dette tilfælde er spændingen mellem pladerne på alle kondensatorer den samme. Samlet batterikapacitet parallel af tilsluttede kondensatorer er lig med summen af ​​kapacitanserne for alle kondensatorer inkluderet i batteriet.

Hvis alle parallelforbundne kondensatorer har den samme afstand mellem pladerne og de samme dielektriske egenskaber, så kan disse kondensatorer repræsenteres som én stor kondensator, opdelt i fragmenter af et mindre område.

Når kondensatorer er forbundet i serie, er ladningerne for alle kondensatorer de samme, da de kun forsynes fra strømkilden til de eksterne elektroder, og på de interne elektroder opnås de kun på grund af adskillelsen af ​​ladninger, der tidligere neutraliserede hinanden . Samlet batterikapacitet sekventielt tilsluttede kondensatorer er lig med

Eller

Denne kapacitet er altid mindre end minimumskapaciteten for den kondensator, der er inkluderet i batteriet. Men med en serieforbindelse reduceres muligheden for nedbrydning af kondensatorer, da hver kondensator kun står for en del af spændingskildens potentialforskel.

Hvis arealet af pladerne på alle kondensatorer forbundet i serie er det samme, kan disse kondensatorer repræsenteres som en stor kondensator, mellem pladerne, hvoraf der er en stak dielektriske plader af alle de kondensatorer, der udgør den.

[rediger] Specifik kapacitet

Kondensatorer er også karakteriseret ved specifik kapacitans - forholdet mellem kapacitans og volumen (eller masse) af dielektrikumet. Den maksimale værdi af specifik kapacitans opnås med en minimal tykkelse af dielektrikumet, men samtidig falder dens nedbrydningsspænding.

Der anvendes forskellige typer elektriske kredsløb metoder til tilslutning af kondensatorer. Tilslutning af kondensatorer kan fremstilles: sekventielt, parallel Og serie-parallel(sidstnævnte kaldes nogle gange en blandet forbindelse af kondensatorer). Eksisterende typer kondensatorforbindelser er vist i figur 1.

Figur 1. Metoder til tilslutning af kondensatorer.

8. Et elektrostatisk felt skabes af et ensartet ladet uendeligt plan. Vis, at dette felt er homogent.

Lad overfladeladningstætheden være s. Det er indlysende, at vektor E kun kan være vinkelret på det ladede plan. Derudover er det indlysende, at ved punkter, der er symmetriske i forhold til dette plan, er vektoren E den samme i størrelse og modsat retning. Denne feltkonfiguration foreslår, at en lige cylinder skal vælges som en lukket overflade, hvor det antages, at s er større end nul. Strømningen gennem sidefladen af ​​denne cylinder er nul, og derfor vil den samlede strøm gennem hele cylinderens overflade være lig med 2*E*DS, hvor DS er arealet af hver ende. Ifølge Gauss' sætning

hvor s*DS er ladningen inde i cylinderen.

Mere præcist skal dette udtryk skrives som følger:

hvor En er projektionen af ​​vektor E på normalen n til det ladede plan, og vektor n er rettet fra dette plan.

At E er uafhængig af afstanden til planet betyder, at det tilsvarende elektriske felt er ensartet.

9. En kvart cirkel med en radius på 56 cm er lavet af kobbertråd En ladning med en lineær tæthed på 0,36 nC/m er ensartet fordelt langs tråden. Find potentialet i midten af ​​cirklen.

Da ladningen er lineært fordelt langs ledningen, bruger vi formlen for at finde potentialet i midten:

Hvor s er den lineære ladningstæthed, er dL trådelementet.

10. I et elektrisk felt skabt af en punktladning Q bevæger en negativ ladning -q sig langs en kraftlinje fra et punkt beliggende i en afstand r 1 fra ladningen Q til et punkt beliggende i en afstand r 2 . Find stigningen i potentiel energi af ladningen -q på denne forskydning.

Per definition er potentiale en størrelse numerisk lig med den potentielle energi af en enheds positiv ladning på et givet punkt i feltet. Derfor er ladningens potentielle energi q 2:

11. To ens elementer med emf. 1,2 V og en intern modstand på 0,5 Ohm er parallelkoblet. Det resulterende batteri er lukket til en ekstern modstand på 3,5 ohm. Find strømmen i det eksterne kredsløb.

Ifølge Ohms lov for hele kredsløbet er strømstyrken i det eksterne kredsløb:

Hvor E` er emk af batteriet af elementer,

r` er batteriets indre modstand, som er lig med:

Batteriets emk er lig med summen af ​​emk af tre serieforbundne elementer:

Derfor:

12 Et elektrisk kredsløb indeholder kobber- og ståltråde af samme længde og diameter i serie. Find forholdet mellem mængderne af varme, der frigives i disse ledninger.

Overvej en ledning med længde L og diameter d, lavet af et materiale med resistivitet p. Trådmodstanden R kan findes ved hjælp af formlen

Hvor s= er ledningens tværsnitsareal. Ved strømstyrke I, i løbet af tiden t, frigives mængden af ​​varme Q i lederen:

I dette tilfælde er spændingsfaldet over ledningen lig med:

Kobberresistivitet:

p1=0,017 μOhm*m=1,7*10 -8 Ohm*m

stål modstand:

p2=10 -7 Ohm*m

da ledningerne er forbundet i serie, er strømstyrkerne i dem de samme, og i løbet af tiden t frigives mængderne af varme Q1 og Q2 i dem:

12. Der er en cirkulær spole med strøm i et ensartet magnetfelt. Spolens plan er vinkelret på feltlinjerne. Bevis, at de resulterende kræfter, der virker på kredsløbet fra magnetfeltet, er nul.

Da den cirkulære spole med strøm er i et ensartet magnetfelt, virker Ampere-kraften på den. I overensstemmelse med formlen dF=I bestemmes den resulterende amperekraft, der virker på en strømførende spole af:

Hvor integration udføres langs et givet kredsløb med strøm I. Da magnetfeltet er ensartet, kan vektor B tages ud under integralet og opgaven reduceres til at beregne vektorintegralet. Dette integral repræsenterer en lukket kæde af elementære vektorer dL, så det er lig med nul. Dette betyder F=0, det vil sige, at den resulterende Ampere-kraft er nul i et ensartet magnetfelt.

13. En kort spole indeholdende 90 vindinger med en diameter på 3 cm fører en strøm. Styrken af ​​det magnetiske felt skabt af strømmen på spolens akse i en afstand af 3 cm fra den er 40 A/m. Bestem strømmen i spolen.

I betragtning af at magnetisk induktion i punkt A er en superposition af magnetiske induktioner skabt af hver drejning af spolen separat:

For at finde B-svinget bruger vi Biot-Savart-Laplace-loven.

Hvor dBturn er den magnetiske induktion af feltet skabt af det aktuelle element IDL i punktet bestemt af radiusvektoren r. Lad os vælge elementet dL i slutningen og trække radiusvektoren r fra det til punkt A. Vi vil dirigere dBturn-vektoren i overensstemmelse med gimlet-reglen.

Ifølge superpositionsprincippet:

Hvor integration udføres over alle elementer i dLturn. Lad os dekomponere dBturn i to komponenter dBturn(II) - parallelt med ringens plan og dBturn(I) - vinkelret på ringens plan. Derefter

Mærker det af hensyn til symmetri, og at vektorerne dBturn(I) er codirectional, erstatter vi vektorintegrationen med en skalar:

Hvor dBturn(I) =dBturn*cosb og

Da dl er vinkelret på r

Lad os reducere med 2p og erstatte cosb med R/r1

Lad os udtrykke I herfra, vel vidende at R=D/2

i henhold til formlen, der forbinder magnetisk induktion og magnetisk feltstyrke:

derefter ifølge Pythagoras sætning fra tegningen:

14. En elektron flyver ind i et ensartet magnetfelt i en retning vinkelret på kraftlinjerne med en hastighed på 10۰10 6 m/s og bevæger sig langs en cirkelbue med en radius på 2,1 cm. Find magnetfeltets induktion.

En elektron, der bevæger sig i et ensartet magnetfelt, vil blive påvirket af en Lorentz-kraft vinkelret på elektronens hastighed og derfor rettet mod midten af ​​cirklen:

Da vinklen mellem v og I er 90 0:

Da kraften Fl er rettet mod midten af ​​cirklen, og elektronen bevæger sig rundt i cirklen under påvirkning af denne kraft, så

Lad os udtrykke den magnetiske induktion:

15. En firkantet ramme med en side på 12 cm, lavet af kobbertråd, placeres i et magnetfelt, hvis magnetiske induktion varierer efter loven B=B 0 Sin(ωt), hvor B 0 =0,01 T, ω=2 π/T og T=0,02 s. Rammens plan er vinkelret på magnetfeltets retning. Find den største emk-værdi. induktion forekommer i rammen.

Areal af den firkantede ramme S=a 2. Ændring i magnetisk flux dj, når rammens plan er vinkelret dj=SdB

Den inducerede emk bestemmes

E vil være maksimum ved cos(wt)=1