Den største magt af et tal. De største tal i matematik

Mange mennesker er interesserede i spørgsmål om, hvad store tal kaldes, og hvilket tal er det største i verden. Med disse interessante spørgsmål og det vil vi se nærmere på i denne artikel.

Historie

De sydlige og østlige slaviske folk brugte alfabetisk nummerering til at registrere tal, og kun de bogstaver, der er i græske alfabet. Et særligt "titel"-ikon blev placeret over bogstavet, der betegnede nummeret. De numeriske værdier af bogstaverne steg i samme rækkefølge som bogstaverne i det græske alfabet (i det slaviske alfabet var rækkefølgen af bogstaverne lidt anderledes). I Rusland blev slavisk nummerering bevaret indtil slutningen af det 17. århundrede, og under Peter I gik man over til "arabisk nummerering", som vi stadig bruger i dag.

Navnene på numrene ændrede sig også. Således blev tallet "tyve" indtil 1400-tallet betegnet som "to tiere" (to tiere), og derefter blev det forkortet for hurtigere udtale. Tallet 40 blev kaldt "fire" indtil det 15. århundrede, derefter blev det erstattet af ordet "fyrre", som oprindelig betød en pose indeholdende 40 egern- eller sobelskind. Navnet "million" dukkede op i Italien i 1500. Det blev dannet ved at tilføje et forstærkende suffiks til tallet "mille" (tusind). Senere kom dette navn til det russiske sprog.

I det gamle (18. århundrede) "Aritmetik" af Magnitsky, er en tabel med navne på tal givet, bragt til "kvadrillion" (10^24, ifølge systemet gennem 6 cifre). Perelman Ya.I. bogen "Entertaining Arithmetic" giver navnene på datidens store antal, lidt anderledes end i dag: septillion (10^42), octalion (10^48), nonalion (10^54), decalion (10^60), endecalion (10^ 66), dodecalion (10^72) og det er skrevet, at "der er ingen yderligere navne."

Måder at konstruere navne til store tal

Der er 2 hovedmåder at navngive store tal:

amerikansk system, som bruges i USA, Rusland, Frankrig, Canada, Italien, Tyrkiet, Grækenland, Brasilien. Navnene på store tal er konstrueret ganske enkelt: det latinske ordenstal kommer først, og suffikset "-million" tilføjes til sidst. En undtagelse er tallet "million", som er navnet på tallet tusind (mille) og det supplerende suffiks "-million". Antallet af nuller i et tal, som er skrevet efter det amerikanske system, kan findes ud fra formlen: 3x+3, hvor x er det latinske ordenstal
engelsk system mest almindeligt i verden, det bruges i Tyskland, Spanien, Ungarn, Polen, Tjekkiet, Danmark, Sverige, Finland, Portugal. Navnene på tal ifølge dette system er konstrueret som følger: suffikset "-million" tilføjes til det latinske tal, det næste tal (1000 gange større) er det samme latinske tal, men suffikset "-milliard" tilføjes. Antallet af nuller i et tal, som er skrevet efter det engelske system og slutter med suffikset "-million," kan findes ud fra formlen: 6x+3, hvor x er det latinske ordenstal. Antallet af nuller i tal, der slutter med suffikset "-milliard", kan findes ved hjælp af formlen: 6x+6, hvor x er det latinske ordenstal.

Fra det engelske system gik kun ordet billion over i det russiske sprog, som stadig mere korrekt kaldes, som amerikanerne kalder det - milliard (da det på russisk bruges amerikansk system navne på numre).

Ud over tal, der er skrevet efter det amerikanske eller engelske system med latinske præfikser, kendes ikke-systemnumre, der har deres egne navne uden latinske præfikser.

Egennavne for store tal

Antal		latinske tal	Navn	Praktisk betydning
10 1	10		ti	Antal fingre på 2 hænder
10 2	100		hundrede	Cirka halvdelen af antallet af alle stater på Jorden
10 3	1000		tusind	Cirka antal dage på 3 år
10 6	1000 000	unus (jeg)	million	5 gange mere end antallet af dråber pr. 10 liter. spand vand
10 9	1000 000 000	duo (II)	milliard (milliard)	Anslået befolkning i Indien
10 12	1000 000 000 000	tres (III)	billioner
10 15	1000 000 000 000 000	quattor (IV)	kvadrillion	1/30 af længden af en parsec i meter
10 18		quinque (V)	kvintillion	1/18 af antallet af korn fra den legendariske pris til opfinderen af skak
10 21		køn (VI)	sekstillion	1/6 af massen af planeten Jorden i tons
10 24		septem (VII)	septillion	Antal molekyler i 37,2 liter luft
10 27		okto (VIII)	oktillion	Halvdelen af Jupiters masse i kilogram
10 30		novem (IX)	kvintillion	1/5 af alle mikroorganismer på planeten
10 33		december (X)	decillion	Halvdelen af Solens masse i gram

Vigintillion (fra latin viginti - tyve) - 10 63
Centillion (fra latin centum - hundrede) - 10.303
Million (fra latin mille - tusind) - 10 3003

For tal større end tusind havde romerne ikke deres egne navne (alle navne for tal var dengang sammensatte).

Sammensatte navne af store tal

Ud over egennavne kan du for tal større end 10 33 få sammensatte navne ved at kombinere præfikser.

Sammensatte navne af store tal

Antal	latinske tal	Navn	Praktisk betydning
10 36	undecim (XI)	andemillion
10 39	duodecim (XII)	duodecilion
10 42	tredecim (XIII)	trecillion	1/100 af antallet af luftmolekyler på Jorden
10 45	quattuordecim (XIV)	quattordecillion
10 48	quindecim (XV)	quindecillion
10 51	sedecim (XVI)	sexdecillion
10 54	septendecim (XVII)	septemdecillion
10 57		oktodecillion	Så mange elementære partikler i solen
10 60		novemdecillion
10 63	viginti (XX)	vigintillion
10 66	unus et viginti (XXI)	anvigintillion
10 69	duo et viginti (XXII)	duovigintillion
10 72	tres et viginti (XXIII)	trevigintillion
10 75		quattorvigintillion
10 78		quinvigintillion
10 81		sexvigintillion	Så mange elementarpartikler i universet
10 84		septemvigintillion
10 87		oktovigintillion
10 90		novemvigintillion
10 93	triginta (XXX)	trigintillion
10 96		antigintillion

10 123 - quadragintillion
10 153 — quinquagintillion
10 183 — sexagintillion
10.213 - septuagintillion
10.243 — oktogintillion
10.273 — nonagintillion
10 303 - centillion

Yderligere navne kan fås ved direkte eller omvendt rækkefølge af latinske tal (hvilket er korrekt, kendes ikke):

10 306 - ancentillion eller centunillion
10 309 - duocentillion eller centullion
10 312 - trcentillion eller centtrillion
10 315 - quattorcentillion eller centquadrillion
10 402 - tretrigyntacentillion eller centretrigintillion

Den anden stavemåde er mere i overensstemmelse med konstruktionen af tal i latin og undgår uklarheder (f.eks. i tallet trecentillion, som ifølge den første stavemåde er både 10.903 og 10.312).

10 603 - decentillioner
10.903 - trcentillion
10 1203 — quadringentillion
10 1503 — quingentillion
10 1803 - secentillion
10 2103 - septentillion
10 2403 - octingentillion
10 2703 — nongentillion
10 3003 - mio
10 6003 - duo-million
10 9003 - tre mio
10 15003 - quinquemillion
10 308760 -ion
10 3000003 — mimiliaillion
10 6000003 — duomimiliaillion

Utallige– 10.000,- Navnet er forældet og praktisk talt ikke brugt. Ordet "myriader" er dog meget brugt, hvilket ikke betyder et bestemt antal, men et utalligt, utalligt antal af noget.

Googol ( engelsk . google) — 10 100. Den amerikanske matematiker Edward Kasner skrev første gang om dette tal i 1938 i tidsskriftet Scripta Mathematica i artiklen "New Names in Mathematics." Ifølge ham foreslog hans 9-årige nevø Milton Sirotta at ringe til nummeret på denne måde. Dette nummer blev offentligt kendt takket være Google-søgemaskinen opkaldt efter det.

Asankhaya(fra kinesisk asentsi - utallige) - 10 1 4 0 . Dette tal findes i den berømte buddhistiske afhandling Jaina Sutra (100 f.Kr.). Det antages, at dette tal er lig med antallet af kosmiske cyklusser, der kræves for at opnå nirvana.

Googolplex ( engelsk . Googolplex) — 10^10^100. Dette nummer blev også opfundet af Edward Kasner og hans nevø, det betyder et efterfulgt af en googol med nuller.

Skæv nummer (Skewes' nummer, Sk 1) betyder e til magten af e til magten af e til potensen af 79, altså e^e^e^79. Dette tal blev foreslået af Skewes i 1933 (Skewes. J. London Math. Soc. 8, 277-283, 1933.), da man beviste Riemann-hypotesen om primtal. Senere reducerede Riele (te Riele, H. J. J. "On the Sign of the Difference П(x)-Li(x)." Math. Comput. 48, 323-328, 1987) Skuse-tallet til e^e^27/4 , hvilket er omtrent lig med 8,185·10^370. Dette tal er dog ikke et heltal, så det er ikke inkluderet i tabellen over store tal.

Andet skæv nummer (Sk2) er lig med 10^10^10^10^3, det vil sige 10^10^10^1000. Dette tal blev introduceret af J. Skuse i samme artikel for at angive det tal, som Riemann-hypotesen er gyldig til.

For superstore tal er det ubelejligt at bruge potenser, så der er flere måder at skrive tal på - Knuth, Conway, Steinhouse notationer osv.

Hugo Steinhouse foreslog at skrive store tal indenfor geometriske former(trekant, firkant og cirkel).

Matematiker Leo Moser forfinede Steinhouses notation og foreslog at tegne femkanter, derefter sekskanter osv. efter firkanterne. Moser foreslog også en formel notation for disse polygoner, så tallene kunne skrives uden at tegne komplekse billeder.

Steinhouse kom med to nye superstore numre: Mega og Megiston. I Moser-notation er de skrevet som følger: Mega – 2, Megaston– 10. Leo Moser foreslog også at kalde en polygon med antallet af sider lig mega – megagon, og foreslog også tallet "2 i Megagon" - 2. Sidste nummer kendt som Mosers nummer eller bare gerne Moser.

Der er tal større end Moser. Det største tal, der er blevet brugt i et matematisk bevis er antal Graham(Grahams nummer). Det blev først brugt i 1977 til at bevise et skøn i Ramsey-teorien. Dette tal er forbundet med bikromatiske hyperkuber og kan ikke udtrykkes uden et særligt 64-niveau system af specielle matematiske symboler introduceret af Knuth i 1976. Donald Knuth (som skrev "The Art of Programming" og skabte TeX-editoren) kom op med begrebet supermagt, som han foreslog at skrive med pile opad:

I generel opfattelse

Graham foreslog G-numre:

Tallet G 63 kaldes Grahams nummer, ofte betegnet ganske enkelt G. Dette tal er det største kendte tal i verden og er opført i Guinness Rekordbog.

John Sommer

Placer nuller efter et vilkårligt tal eller gang med tiere hævet til en vilkårlig potens. Det vil ikke virke nok. Det vil virke som meget. Men de bare rekorder er stadig ikke særlig imponerende. Ophobningen af nuller i humaniora forårsager ikke så meget overraskelse som et lille gab. Under alle omstændigheder, til ethvert største tal i verden, som du kan forestille dig, kan du altid tilføje endnu et... Og tallet vil blive endnu større.

Og alligevel, er der ord på russisk eller et andet sprog, der betegner meget store tal? Dem, der er mere end en million, en milliard, en billion, en milliard? Og generelt, hvor meget er en milliard?

Det viser sig, at der er to systemer til at navngive numre. Men ikke arabiske, egyptiske eller andre gamle civilisationer, men amerikanske og engelske.

I det amerikanske system tal kaldes sådan: tag det latinske tal + - illion (suffiks). Dette giver tallene:

Trillioner - 1.000.000.000.000 (12 nuller)

Quadrillion - 1.000.000.000.000.000 (15 nuller)

Quintillion - 1 efterfulgt af 18 nuller

Sextillion - 1 og 21 nuller

Septillion - 1 og 24 nuller

oktillion - 1 efterfulgt af 27 nuller

Nonillion - 1 og 30 nuller

Decillion - 1 og 33 nuller

Formlen er enkel: 3 x+3 (x er et latinsk tal)

I teorien burde der også være tallene anilion (unus på latin - en) og duolion (duo - to), men efter min mening bruges sådanne navne slet ikke.

Engelsk nummernavnesystem mere udbredt.

Også her tages det latinske tal og tilføjes endelsen -million. Navnet på det næste tal, som er 1.000 gange større end det foregående, er dog dannet ved hjælp af det samme latinske tal og suffikset - illiard. Det vil sige:

Trillion - 1 efterfulgt af 21 nuller (i det amerikanske system - sekstillioner!)

Trillion - 1 og 24 nuller (i det amerikanske system - septillion)

Quadrillion - 1 og 27 nuller

Quadrillion - 1 og 30 nuller

Quintillion - 1 og 33 nuller

Quinilliard - 1 og 36 nuller

Sextillion - 1 og 39 nuller

Sextillion - 1 og 42 nuller

Formlerne til at tælle antallet af nuller er:

For tal, der ender på - illion - 6 x+3

For tal, der ender på - milliard - 6 x+6

Som du kan se, er forvirring mulig. Men lad os ikke være bange!

I Rusland er det amerikanske system med navngivning af numre blevet vedtaget. Vi lånte navnet på tallet "milliard" fra det engelske system - 1.000.000.000 = 10 9

Hvor er den "elskede" milliard? - Men en milliard er en milliard! amerikansk stil. Og selvom vi bruger det amerikanske system, tog vi "milliarder" fra det engelske.

Ved at bruge de latinske navne på tal og det amerikanske system navngiver vi tallene:

- vigintillion- 1 og 63 nuller

- centillion- 1 og 303 nuller

- mio- et og 3003 nuller! Åh-ho-ho...

Men dette, viser det sig, er ikke alt. Der er også ikke-systemnumre.

Og den første af dem er sandsynligvis utallige- hundrede hundrede = 10.000

Google(det er til hans ære, at den berømte søgemaskine) - et og hundrede nuller

I en af de buddhistiske afhandlinger er nummeret navngivet asankheya- et og et hundrede og fyrre nuller!

Nummernavn googolplex(som Googol) blev opfundet af den engelske matematiker Edward Kasner og hans ni-årige nevø - enhed c - kære mor! - googol nuller!!!

Men det er ikke alt...

Matematikeren Skuse opkaldte Skuse-nummeret efter sig selv. Det betyder e til en vis grad e til en vis grad e i potensen 79, altså e e 79

Og så opstod en stor vanskelighed. Du kan finde på navne til numre. Men hvordan skriver man dem ned? Antallet af grader af grader af grader er allerede sådan, at det simpelthen ikke kan fjernes på siden! :)

Og så begyndte nogle matematikere at skrive tal i geometriske figurer. Og de siger, at han var den første, der fandt på denne metode til optagelse fremragende forfatter og tænker Daniil Ivanovich Kharms.

Og alligevel, hvad er det STØRSTE TAL I VERDEN? - Det hedder STASPLEX og er lig med G 100,

hvor G er Graham-tallet, mest stort antal, nogensinde brugt i matematiske beviser.

Dette nummer - stasplex - blev opfundet af en vidunderlig person, vores landsmand Stas Kozlovsky, LJ, som jeg leder dig til :) - ctac

Der er tal, der er så utroligt, utroligt store, at det ville tage hele universet at skrive dem ned. Men her er det, der virkelig er skørt... nogle af disse ufatteligt store tal er afgørende for at forstå verden.

Når jeg siger "det største tal i universet", mener jeg virkelig det største væsentlig antal, det maksimalt mulige antal, der er nyttigt på en eller anden måde. Der er mange kandidater til denne titel, men jeg vil advare dig med det samme: Der er virkelig en risiko for, at forsøg på at forstå det hele vil blæse dit sind. Og desuden, med for meget matematik, vil du ikke have det sjovt.

Googol og Googolplex

Edward Kasner

Vi kunne starte med, hvad der muligvis er de to største tal, du nogensinde har hørt om, og det er faktisk de to største tal, der har generelt accepterede definitioner i engelsk. (Der er en ret præcis nomenklatur, der bruges til at betegne tal så store, som du ønsker, men disse to tal finder du ikke i ordbøger i dag.) Googol, siden det blev verdensberømt (omend med fejl, bemærk. faktisk er det googol) Google-visning, blev født i 1920 som en måde at få børn til at interessere sig for store tal.

Til dette formål tog Edward Kasner (billedet) sine to nevøer, Milton og Edwin Sirott, med på en tur gennem New Jersey Palisades. Han inviterede dem til at komme med ideer, og så foreslog ni-årige Milton "googol". Hvor han har fået dette ord fra er uvist, men det besluttede Kasner eller et tal, hvor hundrede nuller følger enheden, vil fremover blive kaldt en googol.

Men den unge Milton stoppede ikke der, han foreslog et endnu større antal, googolplexen. Dette er ifølge Milton et tal, hvor det første sted er 1, og derefter så mange nuller, som man kunne skrive, før man blev træt. Mens ideen er fascinerende, besluttede Kasner, at der var behov for en mere formel definition. Som han forklarede i sin bog Mathematics and the Imagination fra 1940, lader Miltons definition den risikable mulighed åben for, at en tilfældig bøvl kunne blive en matematiker overlegen Albert Einstein, blot fordi han har større udholdenhed.

Så Kasner besluttede, at en googolplex ville være , eller 1, og derefter en googol med nuller. Ellers vil vi sige, at en googolplex er . For at vise, hvor fascinerende dette er, bemærkede Carl Sagan engang, at det er fysisk umuligt at skrive alle nulpunkterne i en googolplex ned, fordi der simpelthen ikke er plads nok i universet. Hvis vi fylder hele volumen af det observerbare univers små partikler støv ca. 1,5 mikron i størrelse, derefter antallet på forskellige måder placeringen af disse partikler vil være omtrent lig med én googolplex.

Sprogligt set er googol og googolplex sandsynligvis de to største signifikante tal (i det mindste på det engelske sprog), men, som vi nu vil fastslå, er der uendeligt mange måder at definere "signifikans på."

Virkelig verden

Hvis vi taler om det største signifikante tal, er der et rimeligt argument for, at det virkelig betyder, at vi skal finde det største tal med en værdi, der faktisk findes i verden. Vi kan starte med den nuværende menneskelige befolkning, som i øjeblikket er omkring 6920 millioner. Globalt BNP i 2010 blev anslået til at være omkring 61.960 milliarder dollars, men begge disse tal er ubetydelige sammenlignet med de omkring 100 billioner celler, der udgør den menneskelige krop. Selvfølgelig kan ingen af disse tal sammenlignes med fulde antal partikler i universet, som generelt anses for at være cirka , og dette tal er så stort, at vores sprog ikke har et ord, der svarer til det.

Vi kan lege lidt med målesystemerne, så tallene bliver større og større. Solens masse i tons vil således være mindre end i pund. En god måde at gøre dette på er at bruge Planck-systemet af enheder, som er de mindst mulige mål, som fysikkens love stadig gælder for. For eksempel er universets alder i Planck-tid ca. Hvis vi vender tilbage til den første enhed af Planck tid efter Big Bang, så vil vi se, at universets tæthed var dengang. Vi bliver flere og flere, men vi er ikke engang nået til googol endnu.

Det største antal med enhver anvendelse i den virkelige verden - eller i dette tilfælde den virkelige verden - er sandsynligvis et af de seneste skøn over antallet af universer i multiverset. Dette tal er så stort, at den menneskelige hjerne bogstaveligt talt ikke vil være i stand til at opfatte alle disse forskellige universer, da hjernen kun er i stand til tilnærmelsesvis konfigurationer. Faktisk er dette tal sandsynligvis det største tal, der giver nogen praktisk mening, medmindre du tager ideen om multiverset som helhed i betragtning. Der lurer dog stadig meget større tal der. Men for at finde dem må vi gå ind i den rene matematiks område, og nej bedre start end primtal.

Mersenne primtal

En del af udfordringen er at komme med en god definition af, hvad et "betydeligt" tal er. En måde er at tænke i primtal og sammensatte tal. Et primtal, som du sikkert husker fra skolens matematik, er evt naturligt tal(bemærk ikke lig med én), som kun er delelig af sig selv. Så, og er primtal, og og er sammensatte tal. Dette betyder, at ethvert sammensat tal i sidste ende kan repræsenteres ved dets primfaktorer. På nogle måder er tallet vigtigere end f.eks. , fordi der ikke er nogen måde at udtrykke det på i form af produktet af mindre tal.

Vi kan selvfølgelig gå lidt længere. , for eksempel er faktisk bare , hvilket betyder, at i en hypotetisk verden, hvor vores viden om tal er begrænset til , kan en matematiker stadig udtrykke tallet. Men det næste tal er primtal, hvilket betyder, at den eneste måde at udtrykke det på er direkte at vide om dets eksistens. Det betyder, at de største kendte primtal spiller en vigtig rolle, men f.eks. en googol - som i sidste ende blot er en samling af tal og ganget sammen - gør det faktisk ikke. Og da primtal grundlæggende er tilfældige, er der ingen kendt måde at forudsige, at et utroligt stort tal faktisk vil være primtal. Den dag i dag er det en vanskelig opgave at opdage nye primtal.

Matematikere Oldtidens Grækenland havde en idé om primtal, i hvert fald så tidligt som 500 f.Kr., og 2000 år senere vidste man stadig, hvilke tal der var primtal kun op til omkring 750. Tænkere på Euklids tid så muligheden for forenkling, men indtil renæssancen kunne matematikere ikke rigtig omsætte dette i praksis. Disse numre er kendt som Mersenne-numre, opkaldt efter den franske videnskabsmand Marin Mersenne fra det 17. århundrede. Ideen er ret simpel: et Mersenne-tal er et hvilket som helst tal i formen . Så for eksempel , og dette tal er primtal, gælder det samme for .

Det er meget hurtigere og nemmere at bestemme Mersenne-primtal end nogen anden form for primtal, og computere har arbejdet hårdt på at søge efter dem i de sidste seks årtier. Indtil 1952 var det største kendte primtal et tal - et tal med cifre. Samme år beregnede computeren, at tallet er primtal, og dette tal består af cifre, hvilket gør det meget større end en googol.

Computere har været på jagt lige siden, og i øjeblikket er det -. Mersenne-tal det største primtal. kendt af menneskeheden. Opdaget i 2008 svarer det til et tal med næsten millioner af cifre. Dette er den største kendt nummer, som ikke kan udtrykkes i form af nogle mindre tal, og hvis du ønsker hjælp til at finde et endnu større Mersenne-nummer, kan du (og din computer) altid deltage i søgningen på http://www.mersenne.org/.

Skæv nummer

Stanley Skewes

Lad os se på primtal igen. Som sagt opfører de sig grundlæggende forkert, hvilket betyder, at der ikke er nogen måde at forudsige, hvad det næste primtal bliver. Matematikere er blevet tvunget til at ty til nogle ret fantastiske målinger for at finde på en måde at forudsige fremtidige primtal på, selv på en eller anden tåget måde. Det mest vellykkede af disse forsøg er nok primtals-tællefunktionen, som blev opfundet i slutningen af det 18. århundrede af den legendariske matematiker Carl Friedrich Gauss.

Jeg vil spare dig for den mere komplicerede matematik - vi har meget mere at komme alligevel - men essensen af funktionen er dette: For ethvert heltal kan du estimere, hvor mange primtal der er, der er mindre end . For eksempel, hvis , forudsiger funktionen, at der skal være primtal, hvis der skal være primtal mindre end , og hvis , så skal der være mindre tal, der er primtal.

Arrangementet af primtallene er faktisk uregelmæssigt og er kun en tilnærmelse af det faktiske antal primtal. Faktisk ved vi, at der er primtal mindre end , primtal mindre end , og primtal mindre end . Dette er ganske vist et fremragende skøn, men det er altid kun et skøn... og mere specifikt et skøn fra oven.

I alt kendte tilfælde til , funktionen, der finder antallet af primtal, overvurderer lidt det faktiske antal primtal mindre end . Matematikere troede engang, at dette altid ville være tilfældet i det uendelige, og at dette helt sikkert ville gælde nogle ufatteligt enorme tal, men i 1914 beviste John Edensor Littlewood, at for et ukendt, ufatteligt stort tal, ville denne funktion begynde at producere færre primtal. , og så vil den skifte mellem det øverste estimat og det nederste estimat et uendeligt antal gange.

Jagten gik efter løbenes udgangspunkt, og så dukkede Stanley Skewes op (se foto). I 1933 beviste han, at den øvre grænse, når en funktion, der tilnærmer antallet af primtal først producerer en mindre værdi, er tallet . Det er svært at forstå, selv i den mest abstrakte forstand, hvad dette tal faktisk repræsenterer, og fra dette synspunkt var det det største tal, der nogensinde er brugt i et seriøst matematisk bevis. Siden da har matematikere været i stand til at reducere den øvre grænse til et relativt lille tal, men det oprindelige tal forbliver kendt som Skewes-tallet.

Så hvor stort er det tal, der dværger selv den mægtige googolplex? I The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers fortæller David Wells en måde, hvorpå matematikeren Hardy var i stand til at begrebsliggøre størrelsen af Skuse-tallet:

"Hardy mente, at det var "det største antal nogensinde tjent til et bestemt formål i matematik," og foreslog, at hvis et spil skak blev spillet med alle universets partikler som brikker, ville et træk bestå i at bytte to partikler, og spillet ville stoppe, når den samme position blev gentaget en tredje gang, så ville antallet af alle mulige spil være omtrent lig med Skewes-tallet''.

En sidste ting, før vi går videre: Vi talte om det mindste af de to Skewes-numre. Der er et andet Skuse-nummer, som matematikeren opdagede i 1955. Det første tal er afledt af det faktum, at den såkaldte Riemann-hypotese er sand - dette er en særlig vanskelig hypotese i matematik, som forbliver ubevist, meget nyttig, når vi taler om om primtal. Men hvis Riemann-hypotesen er falsk, fandt Skuse ud af, at startpunktet for springene stiger til .

Problem af størrelse

Før vi kommer til det tal, der får selv Skewes-tallet til at se lillebitte ud, skal vi snakke lidt om skala, for ellers har vi ingen mulighed for at vurdere, hvor vi skal hen. Lad os først tage et tal – det er et lille tal, så lille, at folk faktisk kan få en intuitiv forståelse af, hvad det betyder. Der er meget få tal, der passer til denne beskrivelse, da tal større end seks ophører med at være separate tal og bliver "flere", "mange" osv.

Lad os nu tage, dvs. . Selvom vi faktisk ikke intuitivt, som vi gjorde for nummeret, kan forstå, hvad det er, er det meget nemt at forestille sig, hvad det er. Så langt så godt. Men hvad sker der, hvis vi flytter til ? Dette er lig med eller . Vi er meget langt fra at kunne forestille os denne mængde, som enhver anden meget stor - vi mister evnen til at forstå enkeltdele et sted omkring en million. (Virkelig, det er vanvittigt stort antal Det ville tage et stykke tid at tælle til en million af noget, men faktum er, at vi stadig er i stand til at opfatte det tal.)

Men selvom vi ikke kan forestille os, er vi i det mindste i stand til at forstå generel oversigt, hvad er 7600 milliarder, måske sammenligne det med noget som US BNP. Vi har bevæget os fra intuition til repræsentation til simpel forståelse, men vi har i det mindste stadig et hul i vores forståelse af, hvad et tal er. Det er ved at ændre sig, da vi flytter endnu et trin op ad stigen.

For at gøre dette skal vi flytte til en notation introduceret af Donald Knuth, kendt som pilnotation. Denne notation kan skrives som . Når vi så går til , vil det nummer vi får være . Dette er lig med hvor de samlede treere er. Vi har nu langt og sandt overgået alle de andre tal, vi allerede har talt om. Selv den største af dem havde trods alt kun tre eller fire termer i indikatorserien. For eksempel er selv super-Skuse-tallet "kun" - selv med hensyn til, at både basen og eksponenterne er meget større end , er det stadig absolut ingenting sammenlignet med størrelsen af et taltårn med en milliard medlemmer .

Det er indlysende, at der ikke er nogen måde at forstå så meget enorme tal...og alligevel kan processen, hvorved de skabes, stadig forstås. Vi kunne ikke forstå den reelle mængde, der gives af et magttårn med en milliard trillinger, men vi kan grundlæggende forestille os et sådant tårn med mange termer, og en virkelig anstændig supercomputer ville være i stand til at gemme sådanne tårne i hukommelsen, selvom den kunne ikke beregne deres faktiske værdier.

Dette bliver mere og mere abstrakt, men det bliver kun værre. Du tror måske, at et tårn af grader, hvis eksponentlængde er (i øvrigt in tidligere version dette indlæg lavede jeg præcis denne fejl), men det er enkelt. Forestil dig med andre ord, at du har evnen til at regne nøjagtige værdi power tower of triplets, som er opbygget af elementer, og så tog du den værdi og skabte et nyt tårn med lige så mange i... som giver .

Gentag denne proces med hvert efterfølgende nummer ( note starter fra højre), indtil du gør det gange, og så får du endelig . Dette er et tal, der simpelthen er utroligt stort, men i det mindste trinene til at få det virker forståelige, hvis du gør alt meget langsomt. Vi kan ikke længere forstå tallene eller forestille os proceduren, hvorved de opnås, men vi kan i det mindste forstå den grundlæggende algoritme, kun på lang nok tid.

Lad os nu forberede sindet til virkelig at blæse det.

Graham nummer (Graham)

Ronald Graham

Sådan får du Grahams nummer, som har en plads i Guinness Book of World Records som det største tal nogensinde brugt i et matematisk bevis. Det er helt umuligt at forestille sig, hvor stort det er, og lige så svært at forklare præcis, hvad det er. Grundlæggende optræder Grahams tal, når man har at gøre med hyperkuber, som er teoretiske geometriske former med mere end tre dimensioner. Matematiker Ronald Graham (se billede) ville finde ud af hvad mindste antal målinger, vil visse egenskaber af hyperkuben forblive stabile. (Beklager sådan en vag forklaring, men jeg er sikker på, at vi alle skal have mindst to grader i matematik for at gøre det mere præcist.)

Under alle omstændigheder er Graham-tallet et øvre estimat af dette minimumsantal af dimensioner. Så hvor stor er denne øvre grænse? Lad os vende tilbage til tallet, så stort, at vi kun vagt kan forstå algoritmen til at opnå det. Nu, i stedet for bare at hoppe et niveau mere op til , vil vi tælle det tal, der har pile mellem de første og sidste tre. Vi er nu langt ude over selv den mindste forståelse af, hvad dette tal er, eller endda hvad vi skal gøre for at beregne det.

Lad os nu gentage denne proces én gang ( note på hver næste skridt vi skriver antallet af pile, lig med tallet opnået i det foregående trin).

Dette, mine damer og herrer, er Grahams tal, som er omkring en størrelsesorden højere end menneskets forståelse. Det er et tal, der er så meget større end noget tal, du kan forestille dig – det er så meget større end nogen uendelighed, du nogensinde kunne håbe på at forestille dig – det trodser simpelthen selv den mest abstrakte beskrivelse.

Men her er en mærkelig ting. Da Graham-tallet dybest set kun er tripletter ganget sammen, kender vi nogle af dets egenskaber uden egentlig at beregne det. Vi kan ikke repræsentere Graham-tallet ved at bruge nogen kendt notation, selvom vi brugte hele universet til at skrive det ned, men jeg kan fortælle dig de sidste tolv cifre i Graham-tallet lige nu: . Og det er ikke alt: Vi kender i det mindste de sidste cifre i Grahams nummer.

Det er selvfølgelig værd at huske på, at dette tal kun er en øvre grænse i Grahams oprindelige problem. Det er muligt, at det faktiske antal målinger, der skal udføres den ønskede ejendom meget, meget mindre. Faktisk har man siden 1980'erne, ifølge de fleste eksperter på området, troet, at der faktisk kun er seks dimensioner – et tal så lille, at vi kan forstå det intuitivt. Siden er den nedre grænse blevet øget til , men der er stadig en meget stor chance at løsningen på Grahams problem ikke ligger i nærheden af et tal så stort som Grahams tal.

Mod det uendelige

Så er der tal større end Grahams tal? Til at begynde med er der selvfølgelig Graham-nummeret. Hvad angår det betydelige antal... ja, der er nogle djævelsk komplekse områder inden for matematik (især området kendt som kombinatorik) og datalogi, hvor tal, der er endnu større end Grahams tal, forekommer. Men vi har næsten nået grænsen for, hvad jeg kan håbe nogensinde bliver rationelt forklaret. For dem, der er dumdristige nok til at gå endnu længere, foreslås yderligere læsning på eget ansvar.

Nå, nu et fantastisk citat, der tilskrives Douglas Ray ( note Helt ærligt, det lyder ret sjovt:

”Jeg ser klynger af vage tal, der er gemt der i mørket, bag den lille lysplet, som fornuftens stearinlys giver. De hvisker til hinanden; konspirerer om hvem ved hvad. Måske kan de ikke lide os meget, fordi vi fanger deres småbrødre i vores sind. Eller måske fører de simpelthen et encifret liv, derude, ud over vores forståelse.

17. juni 2015

”Jeg ser klynger af vage tal, der er gemt der i mørket, bag den lille lysplet, som fornuftens stearinlys giver. De hvisker til hinanden; konspirerer om hvem ved hvad. Måske kan de ikke lide os særlig meget for at fange deres småbrødre i vores sind. Eller måske fører de simpelthen et encifret liv, derude, ud over vores forståelse.
Douglas Ray

Vi fortsætter vores. I dag har vi tal...

Før eller siden plages alle af spørgsmålet, hvad er det største antal. Der er en million svar på et barns spørgsmål. Hvad er det næste? billioner. Og endnu længere? Faktisk er svaret på spørgsmålet om, hvad der er de største tal, enkelt. Alt du skal gøre er at tilføje en til det største tal, og det vil ikke længere være det største. Denne procedure kan fortsættes på ubestemt tid.

Men hvis du stiller spørgsmålet: hvad er det største tal, der findes, og hvad er dets rigtige navn?

Nu finder vi ud af alt...

Der er to systemer til navngivning af numre - amerikansk og engelsk.

Det amerikanske system er bygget ganske enkelt. Alle navne på store tal er konstrueret således: i begyndelsen er der et latinsk ordenstal, og i slutningen tilføjes suffikset -million. Undtagelsen er navnet "million", som er navnet på tallet tusind (lat. mille) og forstørrelsessuffikset -illion (se tabel). Sådan får vi tallene trillion, quadrillion, quintillion, sextillion, septillion, octillion, nonillion og decillion. Det amerikanske system bruges i USA, Canada, Frankrig og Rusland. Du kan finde ud af antallet af nuller i et tal skrevet i det amerikanske system ved hjælp af den simple formel 3 x + 3 (hvor x er et latinsk tal).

Det engelske navnesystem er det mest almindelige i verden. Det bruges for eksempel i Storbritannien og Spanien, samt i de fleste tidligere engelske og spanske kolonier. Navnene på tal i dette system er opbygget således: sådan: suffikset -million tilføjes til det latinske tal, det næste tal (1000 gange større) er bygget efter princippet - det samme latinske tal, men suffikset - milliard. Det vil sige, at efter en trillion i det engelske system er der en trillion, og først derefter en quadrillion, efterfulgt af en quadrillion osv. Således er en kvadrillion ifølge det engelske og amerikanske system absolut forskellige tal! Du kan finde ud af antallet af nuller i et tal skrevet efter det engelske system og slutter med suffikset -million ved at bruge formlen 6 x + 3 (hvor x er et latinsk tal) og bruge formlen 6 x + 6 for tal ender på - mia.

Kun tallet milliard (10 9) gik fra det engelske system til det russiske sprog, som stadig ville være mere korrekt at blive kaldt, som amerikanerne kalder det - milliard, da vi har taget det amerikanske system til sig. Men hvem i vores land gør noget efter reglerne! ;-) Nogle gange bruges ordet trillion i øvrigt på russisk (det kan du selv se ved at køre en søgning i Google eller Yandex) og tilsyneladende betyder det 1000 billioner, dvs. kvadrillion.

Udover tal skrevet med latinske præfikser efter det amerikanske eller engelske system, kendes også såkaldte ikke-systemnumre, dvs. numre, der har deres egne navne uden latinske præfikser. Der er flere sådanne tal, men dem vil jeg fortælle mere om lidt senere.

Lad os vende tilbage til at skrive med latinske tal. Det ser ud til, at de kan skrive tal ned i det uendelige, men det er ikke helt sandt. Nu vil jeg forklare hvorfor. Lad os først se, hvad tallene fra 1 til 10 33 hedder:

Og nu opstår spørgsmålet, hvad nu. Hvad er der bag decillionen? I princippet er det selvfølgelig muligt, ved at kombinere præfikser, at generere sådanne monstre som: andecillion, duodecillion, tredecillion, quattordecillion, quindecillion, sexdecillion, septemdecillion, octodecillion og novemdecillion, men disse vil allerede være sammensatte navne, og vi var allerede sammensatte navne. interesseret i vores egne navne numre. Derfor kan du ifølge dette system, ud over dem, der er angivet ovenfor, stadig kun få tre egennavne - vigintillion (fra lat.viginti- tyve), centillion (fra lat.centum- hundrede) og million (fra lat.mille- tusind). Romerne havde ikke mere end tusinde egennavne til tal (alle tal over tusind var sammensatte). For eksempel kaldte romerne en million (1.000.000)decies centena milia, det vil sige "ti hundrede tusinde." Og nu, faktisk, tabellen:

Ifølge et sådant system er tallene således større end 10 3003 , som ville have sit eget, ikke-sammensatte navn er umuligt at få! Men ikke desto mindre kendes tal større end en million - det er de samme ikke-systemiske tal. Lad os endelig tale om dem.

Det mindste sådan tal er et utal (det er endda i Dahls ordbog), hvilket betyder hundrede hundrede, det vil sige 10.000. Dette ord er dog forældet og praktisk talt ikke brugt, men det er mærkeligt, at ordet "myriader" er. udbredt, betyder slet ikke et bestemt tal, men en utallig, utallig mængde af noget. Det menes, at ordet myriade kom fra europæiske sprog fra det gamle Egypten.

Der er forskellige meninger om oprindelsen af dette nummer. Nogle mener, at den stammer fra Egypten, mens andre mener, at den kun blev født i det antikke Grækenland. Hvorom alting er, så opnåede utallige berømmelse netop takket være grækerne. Myriad var navnet på 10.000, men der var ingen navne for tal større end ti tusinde. Men i sin note "Psammit" (dvs. sandregning) viste Arkimedes, hvordan man systematisk konstruerer og navngiver vilkårligt store tal. Især ved at placere 10.000 (myriad) sandkorn i et valmuefrø finder han ud af, at der i universet (en kugle med en diameter på et utal af jorddiametre) ikke ville passe mere end 10 (i vores notation). 63 sandkorn Det er mærkeligt, at moderne beregninger af antallet af atomer i det synlige univers fører til tallet 10 67 (i alt et utal af gange mere). Archimedes foreslog følgende navne til tallene:
1 myriade = 10 4 .
1 di-myriad = myriad af myriader = 10 8 .
1 tri-myriade = di-myriad di-myriade = 10 16 .
1 tetra-myriad = tre-myriad tre-myriad = 10 32 .
osv.

Googol (fra engelsk googol) er tallet ti til hundrede potens, det vil sige én efterfulgt af hundrede nuller. "Googolen" blev første gang skrevet om i 1938 i artiklen "New Names in Mathematics" i januarudgaven af tidsskriftet Scripta Mathematica af den amerikanske matematiker Edward Kasner. Ifølge ham var det hans ni-årige nevø Milton Sirotta, der foreslog at kalde det store nummer for en "googol". Dette nummer blev almindeligt kendt takket være søgemaskinen opkaldt efter det. Google. Bemærk venligst, at "Google" er varemærke, og google er et tal.

Edward Kasner.

På internettet kan man ofte finde det nævnt, at - men det er ikke sandt...

I den berømte buddhistiske afhandling Jaina Sutra, der dateres tilbage til 100 f.Kr., er tallet asankheya (fra kinesisk. asenzi- utallige), lig med 10 140. Det antages, at dette tal er lig med antallet af kosmiske cyklusser, der kræves for at opnå nirvana.

Googolplex (engelsk) googolplex) - et tal også opfundet af Kasner og hans nevø og betyder et med en googol på nuller, det vil sige 10 10100 . Sådan beskriver Kasner selv denne "opdagelse":

Visdomsord bliver sagt af børn mindst lige så ofte som af videnskabsmænd. Navnet "googol" blev opfundet af et barn (Dr. Kasners ni-årige nevø), som blev bedt om at finde på et navn til et meget stort tal, nemlig 1 med hundrede nuller efter det at dette tal var ikke uendeligt, og derfor lige så sikkert, at det skulle have et navn. Samtidig med at han foreslog "googol", gav han et navn til et endnu større nummer: "Googolplex." En googolplex er meget større end en googol, men er stadig finit, som opfinderen af navnet var hurtig til at påpege.
Matematik og fantasi(1940) af Kasner og James R. Newman.

Et endnu større antal end googolplex er Skewes-nummeret, som blev foreslået af Skewes i 1933. J. London Math. Soc. 8, 277-283, 1933.) ved at bevise Riemann-hypotesen om primtal. Det betyder e til en vis grad e til en vis grad e i magten 79, altså ee e 79 . Senere, te Riele, H. J. J. "Om Forskellens Tegn P(x)-Li(x)." Matematik. Comput. 48, 323-328, 1987) reducerede Skuse-tallet til ee 27/4 , hvilket er omtrent lig med 8.185·10 370. Det er klart, at da værdien af Skuse-tallet afhænger af tallet e, så er det ikke et heltal, så vi vil ikke overveje det, ellers skulle vi huske andre ikke-naturlige tal - tallet pi, tallet e osv.

Men det skal bemærkes, at der er et andet Skuse-tal, som i matematik betegnes som Sk2, hvilket er endnu større end det første Skuse-tal (Sk1). Andet Skewes nummer, blev introduceret af J. Skuse i samme artikel for at betegne et tal, som Riemann-hypotesen ikke holder for. Sk2 er lig med 1010 10103 , altså 1010 101000 .

Som du forstår, jo flere grader der er, jo sværere er det at forstå, hvilket tal der er størst. Hvis man for eksempel ser på Skewes-tal, uden særlige beregninger, er det næsten umuligt at forstå, hvilket af disse to tal, der er størst. For superstore tal bliver det således ubelejligt at bruge kræfter. Desuden kan du komme med sådanne tal (og de er allerede opfundet), når graderne af grader simpelthen ikke passer på siden. Ja, det er på siden! De passer ikke engang ind i en bog på størrelse med hele universet! I dette tilfælde opstår spørgsmålet om, hvordan man skriver dem ned. Problemet er, som du forstår, løseligt, og matematikere har udviklet flere principper for at skrive sådanne tal. Det er sandt, at enhver matematiker, der spurgte sig selv om dette problem, fandt på sin egen måde at skrive på, hvilket førte til eksistensen af flere, uafhængige af hinanden, metoder til at skrive tal - det er notationerne af Knuth, Conway, Steinhouse osv.

Overvej notationen af Hugo Stenhouse (H. Steinhaus. Matematiske snapshots, 3. udg. 1983), hvilket er ret simpelt. Stein House foreslog at skrive store tal inde i geometriske former - trekant, firkant og cirkel:

Steinhouse kom med to nye superstore numre. Han navngav nummeret - Mega, og nummeret - Megaston.

Matematiker Leo Moser forfinede Stenhouses notation, som var begrænset af, at hvis det var nødvendigt at nedskrive tal, der var meget større end en megiston, opstod der vanskeligheder og besvær, da mange cirkler skulle tegnes inden i hinanden. Moser foreslog, at man efter firkanterne ikke tegnede cirkler, men femkanter, derefter sekskanter og så videre. Han foreslog også en formel notation for disse polygoner, så tal kunne skrives uden at tegne komplicerede billeder. Moser-notation ser sådan ud:

Ifølge Mosers notation skrives Steinhouse mega således som 2 og megiston som 10. Derudover foreslog Leo Moser at kalde en polygon med antallet af sider lig mega - megagon. Og han foreslog tallet "2 i Megagon", det vil sige 2. Dette nummer blev kendt som Mosers nummer eller blot som Moser.

Men Moser er ikke det største antal. Det største tal nogensinde brugt i et matematisk bevis er grænseværdi, kendt som Grahams nummer, første gang brugt i 1977 til at bevise et skøn i Ramsey-teorien. Det er relateret til bikromatiske hyperkuber og kan ikke udtrykkes uden et særligt 64-niveau system af specielle matematiske symboler introduceret af Knuth i 1976.

Et tal skrevet i Knuths notation kan desværre ikke konverteres til notation i Moser-systemet. Derfor bliver vi også nødt til at forklare dette system. I princippet er der heller ikke noget kompliceret ved det. Donald Knuth (ja, ja, det er den samme Knuth, der skrev "Kunsten at programmere" og skabte TeX-editoren) kom med begrebet supermagt, som han foreslog at skrive med pile, der pegede opad:

Generelt ser det sådan ud:

Jeg tror, at alt er klart, så lad os vende tilbage til Grahams nummer. Graham foreslog såkaldte G-numre:

G1 = 3..3, hvor antallet af supermagtspile er 33.

G2 = ..3, hvor antallet af supermagtspile er lig med G1.

G3 = ..3, hvor antallet af supermagtspile er lig med G2.

G63 = ..3, hvor antallet af supermagtspile er G62.

G63-nummeret kom til at blive kaldt Graham-nummeret (det betegnes ofte blot som G). Dette tal er det største kendte tal i verden og er endda opført i Guinness Rekordbog. Åh, her skal du

Utallige forskellige tal omgiver os hver dag. Mange mennesker har i det mindste en gang spekuleret på, hvilket tal der anses for at være det største. Man kan ganske enkelt sige til et barn, at det er en million, men voksne forstår udmærket, at andre tal følger efter en million. Det eneste du skal gøre for eksempel er at tilføje en til et tal hver gang, og det bliver større og større – det sker i det uendelige. Men hvis man ser på de tal, der har navne, kan man finde ud af, hvad det største tal i verden hedder.

Udseendet af nummernavne: hvilke metoder bruges?

I dag er der 2 systemer, hvorefter navne gives til tal - amerikanske og engelske. Den første er ret enkel, og den anden er den mest almindelige i hele verden. Den amerikanske giver dig mulighed for at give navne til store tal som følger: først angives ordenstallet på latin, og derefter tilføjes suffikset "million" (undtagelsen her er million, hvilket betyder tusind). Dette system bruges af amerikanere, franskmænd, canadiere, og det bruges også i vores land.

Engelsk er meget udbredt i England og Spanien. Ifølge den er tal navngivet som følger: tallet på latin er "plus" med suffikset "illion", og det næste (et tusind gange større) tal er "plus" "milliard". For eksempel kommer en trillion først, efterfulgt af en billion, efterfulgt af en kvadrillion og så videre.

Altså det samme antal i forskellige systemer kan betyde forskellige ting, for eksempel hedder en amerikansk milliard i det engelske system en milliard.

Ekstrasystemnumre

Ud over de tal, der er skrevet efter de kendte systemer (givet ovenfor), er der også ikke-systemiske. De har deres egne navne, som ikke inkluderer latinske præfikser.

Du kan begynde at overveje dem med et tal kaldet et utal. Det er defineret som hundrede hundrede (10.000). Men efter dets tilsigtede formål bruges dette ord ikke, men bruges som en indikation på en utallig mængde. Selv Dahls ordbog vil venligst give en definition af et sådant tal.

Næste efter myriaden er googol, der angiver 10 i magten 100. Dette navn blev først brugt i 1938 af den amerikanske matematiker E. Kasner, som bemærkede, at dette navn blev opfundet af hans nevø.

Google (søgemaskine) fik sit navn til ære for googol. Så repræsenterer 1 med en googol på nuller (1010100) en googolplex - Kasner fandt også på dette navn.

Endnu større end googolplexet er Skuse-tallet (e i potensen af e i potensen af e79), foreslået af Skuse i sit bevis på Rimmann-formodningen om primtal (1933). Der er et andet Skuse-tal, men det bruges, når Rimmann-hypotesen ikke er sand. Hvilken der er størst er ret svært at sige, især når det kommer til store grader. Imidlertid kan dette nummer, på trods af dets "enormitet", ikke betragtes som det allerbedste af alle dem, der har deres egne navne.

Og den førende blandt de største tal i verden er Graham-tallet (G64). Det blev brugt for første gang til at udføre beviser inden for matematisk videnskab (1977).

Når det kommer til sådan et tal, skal du vide, at du ikke kan undvære et særligt 64-niveau system skabt af Knuth - grunden til dette er forbindelsen af tallet G med bikromatiske hyperkuber. Knuth opfandt supergraden, og for at gøre det bekvemt at optage den, foreslog han brugen af op-pile. Så vi fandt ud af, hvad det største tal i verden hedder. Det er værd at bemærke, at dette nummer G blev inkluderet på siderne i den berømte Book of Records.