Problemer at løse for at konsolidere nyt materiale

Opgave nr. 1. På hvor mange måder kan de 5 deltagere i finalen arrangeres?

løb på 5 løbebånd?

Løsning: P 5 = 5!= 1 ∙2 ∙3 ∙4 ∙5 = 120 måder.

Opgave nr. 2. Hvor mange trecifrede tal kan der laves ud fra cifrene 1,2,3, hvis hver

optræder et ciffer i et talbillede kun én gang?

Løsning: Antallet af alle permutationer af tre elementer er lig med P 3 =3!, hvor 3!=1 * 2 * 3=6

Det betyder, at der er seks trecifrede tal, der består af tallene 1,2,3.

Opgave nr. 3. På hvor mange måder kan fire unge mænd invitere fire ud af seks

piger til at danse?

Løsning: to drenge kan ikke invitere den samme pige på samme tid. OG

muligheder, hvor de samme piger danser med forskellige drenge,

betragtes som forskellige, derfor:

Opgave nr. 4. Hvor mange forskellige trecifrede tal kan man lave ud fra tallene 1, 2, 3, 4, 5,

6, 7, 8, 9, forudsat at det skriftlige nummer kun anvendes på hvert ciffer

engang?

Løsning: I problemformuleringen foreslås det at tælle antallet af mulige kombinationer fra

tre cifre taget fra de antagne ni cifre, og rækkefølgen

placeringen af ​​tal i en kombination har betydning (f.eks. tallet 132)

og 231 forskellige). Du skal med andre ord finde antallet af placeringer ud af ni

tre elementer hver.

Ved at bruge formlen for antallet af placeringer finder vi:

Svar: 504 trecifrede tal.

Problem #5 På hvor mange måder kan et udvalg på 3 vælges blandt 7 personer?

Løsning: For at overveje alle mulige provisioner, skal du overveje alle

mulige 3-elements undersæt af et sæt bestående af 7

Human. Det nødvendige antal måder er

Opgave nr. 6. 12 hold deltager i konkurrencen. Hvor mange muligheder er der?

fordeling af præmie (1, 2, 3) pladser?

Løsning: Og 12 3 = 12 ∙11 ∙10 = 1320 muligheder for fordeling af præmiepladser.

Svar: 1320 muligheder.

Opgave nr. 7. Ved konkurrencer atletik vores skole var repræsenteret af et hold fra

10 atleter. På hvor mange måder kan træneren bestemme hvilken af ​​dem

vil løbe 4x100m stafet i første, anden, tredje og fjerde etape?

Løsning: Valg fra 10 til 4, under hensyntagen til rækkefølgen:
måder.

Svar: 5040 måder.

Opgave nr. 8. På hvor mange måder kan rød, sort, blå og

grønne kugler?

Løsning: Du kan sætte enhver af de fire bolde i første omgang (4 måder), på

anden - nogen af ​​de tre resterende (3 metoder), tredjeplads - nogen af

de resterende to (2 måder), for fjerdepladsen - den resterende sidste bold.

I alt 4 · 3 · 2 · 1 = 24 måder.

P 4 = 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24. Svar: 24 måder.

Opgave nr. 9. Eleverne fik en liste med 10 bøger, som anbefales at læse i

ferietid. På hvor mange måder kan en elev vælge 6 bøger fra dem?

Løsning: Valg 6 ud af 10 uden hensyn til ordre:
måder.

Svar: 210 måder.

Opgave nr. 10. Der er 7 elever i 9. klasse, 9 elever i 10. klasse og 8 elever i 11. klasse. For

arbejde på skolens område, er det nødvendigt at tildele to elever fra klasse 9,

tre ud af 10 og en ud af 11. Hvor mange måder er der at vælge?

elever til at arbejde i skoleområdet?

Løsning: Vælg mellem tre sæt uden hensyn til rækkefølge, hvert valg fra

første sæt (C 7 2) kan kombineres med hvert valg fra

den anden (C 9 3)) og med hvert valg af den tredje (C 8 1) ifølge reglen

multiplikation får vi:

Svar: 14.112 måder.

Opgave nr. 11. Niendeklasserne Zhenya, Seryozha, Kolya, Natasha og Olya løb til

fordybning til tennisbordet, hvor spillet allerede var i gang. Hvor mange

måder, fem niendeklasser, der løber op til bordet, kan tage

kø til bordtennis?

Løsning: En hvilken som helst niende klasse kunne være først i rækken, og enhver af eleverne kunne blive nummer to.

de resterende tre, den tredje - enhver af de resterende to og den fjerde -

en niende klasse, der løb op næstsidst, og en femte klasse, der løb sidst. Ved

Multiplikationsreglen for fem elever har 5 4321=120 måder

METODOLOGISK UDVIKLING AF EN PRAKTISK LEKTION i disciplinen: "MATEMATIK"

Emne: "GRUNDLAG FOR SANDSYNLIGHEDSTEORI OG MATEMATISK STATISTIK"

Eksempel 1 . Beregn: a) ; b); V).

Løsning. A).

b) Siden , så kan vi sætte det ud af parentes

Så får vi

V) .

Eksempel 2 . På hvor mange måder kan seks forskellige bøger placeres på én hylde?

Løsning. Det nødvendige antal måder er lig med antallet af permutationer af 6 elementer, dvs.

Eksempel 3. Hvor mange muligheder for at distribuere tre værdibeviser til sanatorier med forskellige profiler kan der udarbejdes for fem ansøgere?

Løsning. Det nødvendige antal muligheder er lig med antallet af placeringer af 5 elementer af 3 elementer, dvs.

.

Eksempel 4 . I et team på 25 personer skal du allokere fire til at arbejde i et bestemt område. På hvor mange måder kan dette gøres?

Løsning. Da rækkefølgen af ​​de fire udvalgte personer ikke betyder noget, kan dette lade sig gøremåder.

Vi finder ved hjælp af den første formel

.

Derudover bruges følgende formler, når man løser problemer, der udtrykker de grundlæggende egenskaber ved kombinationer:

(per definition antager de og);

.

1.2. Løsning af kombinatoriske problemer

Opgave 1. Fakultetet studerer 16 fag. Du skal sætte 3 emner på din tidsplan for mandag. På hvor mange måder kan dette gøres?

Løsning. Der er lige så mange måder at planlægge tre elementer ud af 16 på, som du kan arrangere placeringer af 16 elementer med 3.

Opgave 2. Ud af 15 objekter skal 10 objekter vælges. På hvor mange måder kan dette gøres?

Løsning.

Opgave 3. Fire hold deltog i konkurrencen. Hvor mange muligheder for at fordele pladser mellem dem er mulige?

Løsning.

.

Opgave 4. På hvor mange måder kan der dannes en patrulje på tre soldater og en officer, hvis der er 80 soldater og 3 officerer?

Løsning. Du kan vælge en soldat på patrulje

måder, og officerer på måder. Da enhver officer kan gå med hvert hold af soldater, er der kun så mange måder.

Opgave 5. Find om det er kendt at .

Løsning.

Siden får vi

,

,

, .

Ved definition af en kombination følger det, at . At. .

Svar: 9

1.3. Konceptet med en tilfældig begivenhed. Typer af begivenheder. Sandsynlighed for hændelse

Eksempel. Æsken indeholder 30 nummererede bolde. Bestem, hvilke af følgende hændelser der er umulige, pålidelige eller modsatte:

tog en nummereret bold frem(EN);

fik en bold med et lige tal(I);

fik en bold med et ulige tal(MED);

fik en bold uden nummer(D).

Hvem af dem udgør en komplet gruppe?

Løsning. EN - pålidelig begivenhed;D - umulig begivenhed;

I OgMED - modsatte begivenheder.

Den komplette gruppe af arrangementer består afEN OgD, V OgMED .

Sandsynlighed for hændelse , betragtes som et mål for den objektive mulighed for forekomsten af ​​en tilfældig begivenhed.

1.4. Klassisk definition af sandsynlighed

Opgave 1. I et lotteri på 1000 lodder er der 200 vindende. Én billet udtages tilfældigt. Hvad er sandsynligheden for, at denne billet er en vinder?

Løsning. Det samlede antal forskellige udfald ern =1000. Antallet af udfald gunstige for at vinde erm=200. Ifølge formlen får vi

.

Opgave 2. I et parti på 18 dele er der 4 defekte. 5 dele udvælges tilfældigt. Find sandsynligheden for, at to af disse 5 dele vil være defekte.

Løsning. Antallet af alle lige mulige uafhængige udfaldn lig med antallet af kombinationer af 18 gange 5 dvs.

Lad os tælle talletm, gunstig for begivenhed A. Blandt 5 dele, der er taget tilfældigt, skal der være 3 af høj kvalitet og 2 defekte. Antallet af måder at vælge to defekte dele fra 4 eksisterende defekte er lig med antallet af kombinationer af 4 gange 2:

Antallet af måder at vælge tre kvalitetsdele på blandt 14 tilgængelige kvalitetsdele er lig med

.

Enhver gruppe af gode dele kan kombineres med enhver gruppe af defekte dele, så samlet antal kombinationerm beløber sig til

Den ønskede sandsynlighed for hændelse A er lig med forholdet mellem antallet af udfaldm, favorable for denne begivenhed, til antalletnalle lige mulige uafhængige resultater:

.

1.5. Sætning for tilføjelse af sandsynligheder for uforenelige hændelser

Beløb af et begrænset antal begivenheder er en begivenhed, der består af forekomsten af ​​mindst én af dem.

Summen af ​​to hændelser er angivet med symbolet A+B og summenn begivenhedssymbol A 1 +A 2 + … +A n .

Sandsynlighedsadditionssætning.

Opgave 1. Der er 100 lotterisedler. Det er kendt, at 5 billetter vinder 20.000 rubler hver, 10 billetter vinder 15.000 rubler, 15 billetter vinder 10.000 rubler, 25 billetter vinder 2.000 rubler. og intet til resten. Find sandsynligheden for, at den købte billet vil modtage en gevinst på mindst 10.000 rubler.

Løsning. Lad A, B og C være begivenheder, der består i, at den købte billet modtager en gevinst svarende til henholdsvis 20.000, 15.000 og 10.000 rubler. da begivenhederne A, B og C er uforenelige

Opgave 2. På korrespondanceafdeling teknisk skole modtager prøver i matematik fra byerA, B OgMED . Sandsynlighed for at modtage en test fra byenEN lig med 0,6, fra byenI - 0,1. Find sandsynligheden for, at den næste prøve vil komme fra byenMED .

Løsning. Begivenheder “testen kom fra byenEN ", "testen kom fra by B" og "testen kom fra by C". komplet system, så summen af ​​deres sandsynligheder er lig med én:

, dvs. .

Opgave 3. Sandsynligheden for at dagen bliver klar er . Find sandsynligheden for, at dagen bliver overskyet.

Løsning. Begivenhederne "klar dag" og "skyet dag" er derfor modsatte

Det vil sige

1.6. Sandsynlighedsmultiplikationssætning uafhængige arrangementer

Opgave 1. Beregn sandsynligheden for, at i en familie, hvor der er en lille dreng, en anden dreng vil blive født.

Løsning. Lad begivenhedenEN er, at der er to drenge i familien, og begivenhedenI - den ene dreng.

Lad os overveje alt mulige resultater: dreng og dreng; dreng og pige; pige og dreng; pige og pige.

Så og ved hjælp af formlen finder vi

.

Opgave 2. Den første urne indeholder 6 sorte og 4 hvide kugler, den anden urne indeholder 5 sorte og 7 hvide kugler. Der trækkes en kugle fra hver urne. Hvad er sandsynligheden for, at begge bolde bliver hvide?

Løsning. Lad - en hvid kugle trækkes fra den første urne; - der trækkes en hvid kugle fra den anden urne. Det er indlysende, at begivenhederne er uafhængige.

Fordi , , derefter ved at bruge formlen, vi finder

.

Opgave 3. Enheden består af to elementer, der fungerer uafhængigt. Sandsynligheden for svigt af det første element er 0,2; sandsynligheden for svigt af det andet element er 0,3. Find sandsynligheden for at: a) begge elementer fejler; b) begge elementer vil fungere.

Løsning. Lad begivenhedenEN - svigt af det første element, hændelseI - outputtet af deres struktur af det andet element. Disse begivenheder er uafhængige (efter betingelse).

a) Samtidig fremkomstEN OgI der er en begivenhedAB . Derfor,

b) Hvis det første element virker, så opstår der en hændelse (modsat hændelsenEN - svigt af dette element); hvis det andet element virker - begivenhedI. Lad os finde sandsynligheden for begivenheder og:

Så er den begivenhed, at begge elementer vil fungere, og derfor,

II . TILFÆLDIG VARIABEL, DENS DISTRIBUTIONSFUNKTION

2.1. Tilfældig variabel, metoder til at specificere den

Tilfældig er en mængde, der som følge af test kan tage en eller anden numerisk værdi, og det vides ikke på forhånd hvilken.

Hvis dens måling gentages mange gange under næsten identiske forhold for en mængde, vil du opdage, at du hver gang opnår lidt forskellige resultater. Dette er indflydelsen af ​​to typer årsager: 1) grundlæggende, der bestemmer hovedbetydningen af ​​resultatet; 2) sekundære, hvilket forårsager deres divergens.

Med disse årsagers fælles handling er begreberne nødvendighed og tilfældighed tæt forbundet med hinanden, men det nødvendige råder over chancen.

Således tilhører de mulige værdier af tilfældige variabler nogle numeriske sæt.

Hvad der er tilfældigt er, at på disse sæt kan mængder antage enhver værdi, men som man ikke kan sige på forhånd.

En tilfældig variabel er forbundet med en tilfældig hændelse.

Hvis en tilfældig begivenhed -kvalitetsegenskab test, så er den stokastiske variabel denskvantitativ egenskab .

Tilfældige variable er angivet med store bogstaver med latinske bogstaver og deres betydning er med versaler - .

Sandsynligheden for at en tilfældig variabel tager en værdi er angivet med:

osv.

Tilfældige variable er specificeret af distributionslove.

Lov om distribution tilfældig variabel er overensstemmelsen mellem de mulige værdier af en tilfældig variabel og deres sandsynligheder.

Fordelingslove kan specificeres på tre måder: tabelform, grafisk, analytisk. Metoden til indstilling afhænger af typen af ​​tilfældig variabel.

Der er to hovedtyper af tilfældige variable:diskrete og kontinuerligt distribuerede stokastiske variable.

2.2. Diskrete og kontinuerte stokastiske variable

Hvis værdierne, som en given stokastisk variabel kan tage, danner en diskret (endelig eller uendelig) række af tal, så kaldes den stokastiske variabel selvdiskret.

Hvis værdierne, som en given stokastisk variabel kan tage, skal du udfylde et endeligt eller uendeligt interval (a, b) af den numeriske akseÅh, så kaldes den stokastiske variabelsammenhængende.

Hver værdi af en tilfældig variabel af en diskret type svarer til en vis sandsynlighed; Hvert interval (a, b) fra værdiintervallet for en stokastisk variabel af kontinuerlig type svarer også til en vis sandsynlighed for, at værdien taget af den stokastiske variabel falder ind i dette interval.

2.3. Fordelingslov for en stokastisk variabel

Et forhold, der på den ene eller anden måde etablerer en sammenhæng mellem de mulige værdier af en stokastisk variabel og deres sandsynligheder kaldesdistributionsloven tilfældig variabel.

Fordelingsloven for en diskret stokastisk variabel er normalt givetnæste distribution:

På samme tid, hvor summeringen strækker sig til hele (endelig eller uendelig) mængde mulige værdier givet tilfældig variabel.

Det er praktisk at specificere fordelingsloven for en kontinuert stokastisk variabel vhasandsynlighedstæthedsfunktioner .

Sandsynligheden for, at værdien taget af den stokastiske variabel falder ind i intervallet (a, b), bestemmes af ligheden

.

Grafen for funktionen kaldesfordelingskurve . Geometrisk er sandsynligheden for, at en stokastisk variabel falder ind i intervallet (a, b) lig med arealet af den tilsvarende buet trapez, begrænset af fordelingskurven, akseÅh og ligex=a, x=b.

Opgave 1. Sandsynligheden for tilfældige variable værdier er givet: værdi 10 har en sandsynlighed på 0,3; værdi 2 – sandsynlighed 0,4; værdi 8 – sandsynlighed 0,1; værdi 4 – sandsynlighed 0,2. Konstruer en fordelingsrække af en stokastisk variabel.

Løsning. Ved at arrangere værdierne af den tilfældige variabel i stigende rækkefølge får vi fordelingsrækken:

Lad os tage den med på et flykor point (2; 0,4), (4; 0,2), (8; 0,1) og (10; 0,3). Ved at forbinde successive punkter med lige linjestykker får vipolygon (ellerpolygon ) fordeling af en stokastisk variabel

X

Opgave 2. To genstande til en værdi af 5.000 rubler hver og en genstand til en værdi af 30.000 rubler er på højkant. Udarbejd en lov om fordeling af gevinster for en person, der har købt en billet ud af 50.

Løsning. Den ønskede tilfældige variabel er en gevinst og kan tage tre værdier: 0, 5000 og 30000 rubler. Det første resultat favoriseres af 47 sager, det andet resultat af to sager og det tredje af én sag. Lad os finde deres sandsynligheder:

; ; .

Fordelingsloven for en stokastisk variabel har formen:

Som en kontrol finder vi

Opgave 3. Den stokastiske variabel er underlagt en fordelingslov med tæthed , og

Påkrævet: 1) Find koefficient a; 2) opbygge en tæthedsfordelingsgraf; 3) find sandsynligheden for at falde ind i intervallet (1; 2).

Løsning. 1) Da alle værdier af en given stokastisk variabel er indeholdt i segmentet, så

, hvor

, eller

Dem. .

2) Grafen for en funktion i intervallet er en parabel, og uden for dette interval fungerer selve x-aksen som graf.

X

) Sandsynligheden for, at en stokastisk variabel falder ind i intervallet (1; 2) kan findes ud fra ligheden

2.4. Binomial fordeling

Lad et bestemt antal fremstillesn uafhængige eksperimenter, og i hver af dem kan en eller anden begivenhed forekomme med samme sandsynlighedR . Overvej en tilfældig variabel, der repræsenterer antallet af forekomster af begivenhederEN Vn eksperimenter. Loven om dens distribution har formen

Hvor, beregnes ved hjælp af Bernoullis formel.

Fordelingsloven, som er præget af sådan en tabel, kaldesbinomial .

Opgave. Mønten kastes 5 gange. Tegn en fordelingslov for en tilfældig variabel - antallet af våbenskjoldet.

Løsning. Følgende værdier af den tilfældige variabel er mulige: 0, 1, 2, 3, 4, 5. Ved at vide, at sandsynligheden for, at et våbenskjold falder ud i et forsøg er lig med , vil vi finde sandsynligheden for værdierne af den tilfældige variabel ved hjælp af Bernoulli-formlen:

Fordelingsloven har formen

Lad os tjekke:

III . MATEMATISK FORVENTNING OG VARIANS AF EN TILFÆLDIG VARIABEL

3.1. Forventning af en diskret stokastisk variabel

Eksempel 1 . Find den matematiske forventning til en tilfældig variabel, ved at kende loven for dens fordeling

Løsning.

Egenskaber for matematisk forventning.

1. Konstantfaktoren kan tages ud af det matematiske forventningstegnet:

2. Matematisk forventning om en konstant værdiMED lig med denne værdi selv:

3. Den matematiske forventning af summen af ​​to stokastiske variable er lig med summen af ​​deres matematiske forventninger:

4. Den matematiske forventning af produktet af uafhængige stokastiske variable er lig med produktet af de matematiske forventninger til disse variable:

3.2. Standardafvigelse og varians for en tilfældig variabel.

Eksempel 2. Lad os finde den matematiske forventning af tilfældige variable og kende lovene for deres fordeling

2)

Løsning:

P

Vi fik et interessant resultat: lovene om fordeling af mængder og er forskellige, men deres matematiske forventninger er de samme.

b)

Fra tegningenb det er klart, at værdien af ​​mængden er mere koncentreret omkring den matematiske forventning end værdierne af mængden, der er spredt (spredt) i forhold til dens matematiske forventning (figurEN ).

Den vigtigste numeriske karakteristik af spredningsgraden af ​​værdierne af en tilfældig variabel i forhold til dens matematiske forventning er spredning, som er angivet med .

På hvor mange måder kan to studerende udvælges til en konference, hvis der er 33 personer i gruppen?

Løs ligninger

EN) . b) .

Hvor mange firecifrede tal, der er delelige med 5, kan laves af cifrene 0, 1, 2, 5, 7, hvis hvert tal ikke må indeholde de samme cifre?

Fra en gruppe på 15 personer bør der udvælges en værkfører og 4 teammedlemmer. På hvor mange måder kan dette gøres?

Morsekodebogstaver består af symboler (prikker og bindestreger). Hvor mange bogstaver kan der tegnes, hvis du kræver, at hvert bogstav ikke skal indeholde mere end fem tegn?

På hvor mange måder kan der laves firefarvede bånd af syv bånd i forskellige farver?

På hvor mange måder kan fire personer udvælges blandt ni kandidater til fire forskellige stillinger?

På hvor mange måder kan du vælge 3 ud af 6 kort?

Inden eksamen udvekslede en gruppe på 30 studerende billeder. Hvor mange fotokort blev der uddelt?

På hvor mange måder kan 10 gæster sidde ti steder ved et festligt bord?

Hvor mange kampe skal 20 fodboldhold spille i et mesterskab i en runde?

På hvor mange måder kan 12 personer fordeles mellem hold, hvis hvert hold har 6 personer?

Sandsynlighedsteori

Urnen indeholder 7 røde og 6 blå kugler. To bolde trækkes fra urnen på samme tid. Hvad er sandsynligheden for, at begge kugler er røde (begivenhed A)?

Ni forskellige bøger er arrangeret tilfældigt på én hylde. Find sandsynligheden for, at fire specifikke bøger bliver placeret ved siden af ​​hinanden (hændelse C).

Ud af 10 lodder vinder 2. Bestem sandsynligheden for, at én vinder blandt 5 tilfældigt taget billetter.

3 kort trækkes tilfældigt fra et sæt kort (52 kort). Find sandsynligheden for, at det er en treer, en syver, et es.

Et barn leger med de fem bogstaver i det delte alfabet A, K, R, Sh, Y. Hvad er sandsynligheden for, at hvis bogstaverne er tilfældigt arrangeret i en række, vil han få ordet "Tag".

Der er 6 hvide og 4 røde bolde i æsken. To bolde tages tilfældigt. Hvad er sandsynligheden for, at de har samme farve?

Den første urne indeholder 6 sorte og 4 hvide kugler, den anden urne indeholder 5 sorte og 7 hvide kugler. Der trækkes en kugle fra hver urne. Hvad er sandsynligheden for, at begge kugler er hvide?

Random variabel, matematisk forventning og varians af en stokastisk variabel

Lav en fordelingslov for antallet af træf på en skive med seks skud, hvis sandsynligheden for et slag med et skud er 0,4.

Sandsynligheden for, at en elev finder den bog, han skal bruge, på biblioteket er 0,3. Udarbejd en distributionslov for antallet af biblioteker, han vil besøge, hvis der er fire biblioteker i byen.

Jægeren skyder på vildtet indtil det første slag, men når ikke at afgive mere end fire skud. Find variansen af ​​antallet af misses, hvis sandsynligheden for at ramme målet med et skud er 0,7.

Find den matematiske forventning til en stokastisk variabelX, hvis loven for dens fordeling er givet af tabellen:

Anlægget driver fire automatiske linjer. Sandsynligheden for, at den første linje ikke kræver justering under et arbejdsskift er 0,9, den anden - 0,8, den tredje - 0,75, den fjerde - 0,7. finde den matematiske forventning til antallet af linjer, der ikke vil kræve justering under et arbejdsskift.

Find variansen af ​​den stokastiske variabel X ved at kende loven for dens fordeling: 5. REFERENCER

Hoved:

1. Bogomolov N.V. Praktiske lektioner i matematik. – M.: forskerskole, 1990. – 495 s.

   Soloveychik I.L. Samling af problemer i matematik for tekniske skoler / I.L. Soloveychik, V.T. Lisichkin. – M.: Onyx 21. århundrede, 2003. – 464 s.

   Valutse I.I. Matematik for tekniske skoler / I.I. Valuta, G.D. Diligul. - M.: Nauka, 1989. – 575 s.

   Danko P.E. Højere matematik i øvelser og opgaver. I to dele. DelII/ P.E. Danko, A.G. Popov, T.Ya. Kozhevnikova. – M.: Højere skole, 1986. – 415 s.

   Vygodsky M.Ya. Håndbog i højere matematik. – M.: Nauka, 1975. – 872 s.

Ekstra:

Griguletsky V.G. Matematik for studerende i økonomiske specialer. Del 2 / V.G. Griguletsky, I.V. Lukyanova, I.A. Petunina. – Krasnodar, 2002. – 348 s.

Malykhin V.I. Matematik i økonomi. – M.: Infra-M, 1999. – 356 s.

Gusak A.A. Højere matematik. I 2 bind, T.2. – træningsmanual for universitetsstuderende. – M.: TetraSystems, 1988. – 448 s.

Griguletsky V.G. Højere matematik / V.G. Griguletsky, Z.V. Jasjtjenko. – Krasnodar, 1998.-186 s.

Gmurman V.E. En guide til løsning af problemer i sandsynlighedsteori og matematisk statistik. – M.: Højere skole, 2000. – 400 s.

Metoder til løsning af kombinatoriske problemer

Opremsning af mulige muligheder

Simple problemer løses ved en almindelig udtømmende søgning af mulige muligheder uden at udarbejde forskellige tabeller og diagrammer.

Opgave 1.
Hvilke dobbeltcifret kan det laves ud fra tallene 1, 2, 3, 4, 5?

Svar: 11, 12, 13, 14, 15, 21, 22, 23, 24, 25, 31, 32, 33, 34, 35, 41, 42, 43, 44, 45, 51, 52, 53, 54, 55.

Opgave 2.
Ivanov, Gromov og Orlov deltager i det sidste 100 m løb. Navn mulige muligheder uddeling af præmier.

Svar:
Mulighed 1: 1) Ivanov, 2) Gromov, 3) Orlov.
Mulighed 2: 1) Ivanov, 2) Orlov, 3) Gromov.
Mulighed 3: 1) Orlov, 2) Ivanov, 3) Gromov.
Mulighed 4: 1) Orlov, 2) Gromov, 3) Ivanov.
Mulighed 5: 1) Gromov, 2) Orlov, 3) Ivanov.
Mulighed 6: 1) Gromov, 2) Ivanov, 3) Orlov.

Opgave 3.
Petya, Kolya, Vitya, Oleg, Tanya, Olya, Natasha, Sveta tilmeldte sig ballroomdanseklubben. Hvilke dansepar af en pige og en dreng kan danne?

Svar:
1) Tanya - Petya, 2) Tanya - Kolya, 3) Tanya - Vitya, 4) Tanya - Oleg, 5) Olya - Petya, 6) Olya - Kolya, 7) Olya - Vitya, 8) Olya - Oleg, 9) Natasha - Petya, 10) Natasha - Kolya, 11) Natasha - Vitya, 12) Natasha - Oleg, 13) Sveta - Petya, 14) Sveta - Kolya, 15) Sveta - Vitya, 16) Sveta - Oleg.

Træ af mulige muligheder

En række kombinatoriske problemer løses ved at udarbejde specielle kredsløb. Udadtil ligner denne ordning et træ, deraf navnet på metoden - træ af mulige muligheder.

Opgave 4.
Hvilke trecifrede tal kan det laves ud fra tallene 0, 2, 4?

Løsning.Lad os bygge et træ af mulige muligheder, idet vi tager højde for, at 0 ikke kan være det første ciffer i tallet.

Svar: 200, 202, 204, 220, 222, 224, 240, 242, 244, 400, 402, 404, 420, 422, 424, 440, 442, 444.

Opgave 5.
Skoleturister besluttede at tage en tur til en bjergsø. Den første etape af rejsen kan dækkes med tog eller bus. Anden etape er med kajakker, cykler eller til fods. Og den tredje etape af rejsen er til fods eller med en svævebane. Hvilke mulige rejsemuligheder har skoleturister?

Løsning.Lad os bygge et træ af mulige muligheder, der angiver rejse med tog P, med bus - A, med kajak - B, på cykel - B, til fods - X, med svævebane - K.

Svar:Figuren viser alle 12 mulige rejsemuligheder for skoleturister.

Opgave 6.
Skriv ned alle mulige muligheder for at planlægge fem lektioner om dagen fra fagene: matematik, russisk, historie, engelsk sprog, fysisk uddannelse og matematik bør være den anden lektion.

Løsning.Lad os bygge et træ med mulige muligheder, der betegner M - matematik, R - russisk, I - historie, A - engelsk, F - fysisk uddannelse.

Svar:Der er i alt 24 muligheder:

R M OG EN F

R M OG F EN

R M EN OG F

R M EN F OG

R M F OG EN

R M F EN OG

OG M R EN F

OG M R F EN

OG M EN R F

OG M EN F R

OG M F R EN

OG M F EN R

EN M R OG F

EN M R F OG

EN M OG R F

EN M OG F R

EN M F R OG

EN M F OG R

F M R OG EN

F M R EN OG

F M OG R EN

F M OG EN R

F M EN R OG

F M EN OG R

Opgave 7.
Sasha går i skole i bukser eller jeans, han har grå, blå, grønne eller ternede skjorter på og tager sko eller sneakers som et skoskifte.
a) Hvor mange dage vil Sasha kunne se ny ud?
b) Hvor mange dage vil han have sneakers på?
c) Hvor mange dage vil han have en ternet skjorte og jeans på?

Løsning.Lad os bygge et træ med mulige muligheder, der betegner B - bukser, D - jeans, C - grå skjorte, G - blå skjorte, Z - grøn skjorte, P - ternet skjorte, T - sko, K - sneakers.

Svar:a) 16 dage; b) 8 dage; c) 2 dage.

Sammenstilling af tabeller

Du kan løse kombinatoriske problemer ved hjælp af tabeller. De repræsenterer, ligesom træet af mulige muligheder, klart løsningen på sådanne problemer.

Opgave 8.
Hvor mange ulige tocifrede tal kan der laves ud fra cifrene 1, 3, 4, 6, 7, 8, 9?

Løsning.Lad os lave en tabel: den første kolonne til venstre er de første cifre i de krævede tal, den første række øverst er det andet cifre.

Svar: 28.

Opgave 9.
Masha, Olya, Vera, Ira, Andrey, Misha og Igor forberedte sig på at blive oplægsholdere kl. Nytårsferie. Nævn mulige muligheder, hvis kun én pige og én dreng kan lede.

Løsning.Lad os lave en tabel: den første kolonne til venstre er navnene på piger, den første række øverst er navnene på drenge.

Svar:Alle mulige muligheder er angivet i rækkerne og kolonnerne i tabellen.

Multiplikationsregel

Denne metode til at løse kombinatoriske problemer bruges, når det ikke er nødvendigt at liste alle mulige muligheder, men du skal besvare spørgsmålet - hvor mange af dem findes.

Opgave 10.
Flere hold deltager i fodboldturneringen. Det viste sig, at de alle brugte hvid, rød, blå og grønne farver, og alle mulige muligheder blev præsenteret. Hvor mange hold deltog i turneringen?

Løsning.
Trusser kan være hvide, røde, blå eller grønne, dvs. der er 4 muligheder. Hver af disse muligheder har 4 jerseyfarver.

4 x 4 = 16.

Svar: 16 hold.

Opgave 11.
6 elever tager en prøve i matematik. På hvor mange måder kan de arrangeres på listen?

Løsning.
Den første på listen kan være en af ​​de 6 elever,
den anden på listen kan være en af ​​de resterende 5 elever,
tredje - nogen af ​​de resterende 4 elever,
fjerde - enhver af de resterende 3 elever,
femte - enhver af de resterende 2 elever,
sjette - den sidste 1 elev.

6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720.

Svar: 720 måder.

Opgave 12.
Hvor mange lige to-cifrede tal kan der laves ud fra cifrene 0, 2, 3, 4, 6, 7?

Løsning.
Det første i et tocifret tal kan være 5 cifre (ciffer 0 kan ikke være det første i tallet), det andet i et tocifret tal kan være 4 cifre (0, 2, 4, 6, da tallet skal være endog).
5 x 4 = 20.

Svar: 20 numre.

Opgave 12. Af eleverne, der går i matematikklubben, hvor der er 5 piger og 3 drenge, skal to sendes til olympiaden: en pige og en dreng. Hvor mange forskellige par er der, der kan sendes til OL?

Løsning: En pige fra kredsen kan vælges på fem måder og en dreng på tre. Et par (en pige med en dreng) kan vælges på femten forskellige måder

5 3 = 15 måder.

Svar: 15 måder.

Opgave 13. 12 hold deltager i konkurrencen. Hvor mange muligheder er der for fordeling af præmiepladser (1, 2, 3)?

Løsning: EN 12 3 = 12 11 10 = 1320 muligheder for fordeling af præmiepladser.

Svar: 1320 muligheder.

Opgave 14. Ved atletikstævnet var vores skole repræsenteret med et hold på 10 atleter. På hvor mange måder kan en træner bestemme, hvem af dem der skal løbe i 4100 m stafet i første, andet, tredje og fjerde ben?

Løsning: Valg fra 10 til 4, under hensyntagen til rækkefølgen: metoder.

Svar: 5040 måder.

Opgave 15. På hvor mange måder kan røde, sorte, blå og grønne bolde placeres i en række?

Løsning: Du kan placere enhver af de fire bolde på det første sted (4 måder), enhver af de resterende tre bolde på den anden plads (3 måder), enhver af de resterende to bolde på den tredje plads (2 måder), og den sidste resterende bold på fjerdepladsen. I alt 4 · 3 · 2 · 1 = 24 måder.

R 4 = 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24.

Svar: 24 måder.

Opgave 16 . Eleverne fik en liste med 10 bøger, som de skulle læse i løbet af ferien. På hvor mange måder kan en elev vælge 6 bøger fra dem?

Løsning: Vælg 6 ud af 10 uden at tage hensyn til rækkefølgen: metoder.

Svar: 210 måder.

Opgave 17 . Volodya tager til sine klassekammeraters fødselsdagsfest, tvillingerne Yulia og Ira. Han vil gerne give hver af dem en bold. Der er kun 3 bolde tilbage til salg i butikken forskellige farver: hvid, sort og stribet. På hvor mange måder kan Volodya give gaver til sine søstre ved at købe 2 bolde?

Løsning: I henhold til problemets betingelser er der to sekventielle valgmuligheder: Først vælger Volodya 2 bolde ud af tre tilgængelige i butikken og beslutter derefter, hvilken af ​​tvillingebrødrene der skal give hver af de købte bolde. To ud af tre bolde kan vælges på tre måder. Derefter kan hvert udvalgt par foræres på to måder (metoder) (rækkefølgen er vigtig). Derefter, ifølge multiplikationsreglen, er det nødvendige antal måder lig med måderne.

Svar: 6 måder.

Opgave 18 . Der er 7 elever i 9. klasse, 9 elever i 10. klasse og 8 elever i 11. klasse. For at arbejde på skolens område skal der udvælges to elever fra 9. klasse, tre fra 10. klasse og en fra 11. klasse. Hvor mange måder er der til at udvælge elever til at arbejde på skolens område?

Løsning: Vælg mellem tre sæt uden at tage hensyn til rækkefølgen, hvert valg fra det første sæt (C 7 2) kan kombineres med hvert valg fra det andet (C 9 3) og med hvert valg fra det tredje (C 8 1) ved hjælp af multiplikationsreglen får vi:

S 7 2 · S 9 3 · S 8 1 =------ · -------- · ---- = 14.112 måder for eleverne at vælge.

Svar: 14.112 måder.

Opgave 19. Niendeklasserne Zhenya, Seryozha, Kolya, Natasha og Olya løb i pausen til tennisbordet, hvor en kamp allerede var i gang. På hvor mange måder kan fem niendeklasser, der løber op til bordet, skiftes til at spille bordtennis?

Løsning: En hvilken som helst niende klasse kunne være den første til at stå i kø, den anden - enhver af de resterende tre, den tredje - enhver af de resterende to, og den fjerde - den niende klasse, der løb op næstsidst, og den femte-sidst. Ifølge multiplikationsreglen har fem elever

5· 4321=120 måder at komme i kø.

Svar: 120 måder.

Grundlæggende begreber i kombinatorik

I grenen af ​​matematik, som kaldes kombinatorik, løses problemer i forbindelse med hensyntagen til mængder og sammensætningen af ​​forskellige kombinationer af elementer i disse mængder. For eksempel, hvis vi tager 10 forskellige tal 0, 1, 2, 3, ..., 9 og lav kombinationer af dem, så får vi forskellige tal, for eksempel 345, 534, 1036, 45 osv.

Vi ser, at nogle af disse kombinationer kun adskiller sig i rækkefølgen af ​​cifrene (f.eks. 345 og 534), andre i de cifre, de indeholder (f.eks. 1036 og 5671), og andre adskiller sig også i antallet af cifre (f.eks. eksempel 345 og 45).

Således opfylder de resulterende kombinationer forskellige forhold. Afhængigt af reglerne for sammensætning kan der skelnes mellem tre typer kombinationer: permutationer, placeringer, kombinationer. Lad os overveje dem separat. Gør dig dog først bekendt med begrebet factorial.

1. Begrebet faktoriel

Produkt af alle naturlige tal fra 1 til n inklusive kaldet n-faktor og skriv n! = 1 · 2 · 3 · ... · (n – 1) · n.

Eksempel 1. Beregne:

a) 3!; b) 7! – 5!; V)

Løsning. a) 3! = 1 · 2 · 3 = 6.

b) Siden 7! = 1 2 3 4 5 6 7 og 5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5, så kan vi sætte 5 ud af parentes!. Så får vi 5! (6 · 7 – 1) = 5! · 41 = 120 · 41 = 4920.

V)

Eksempel 2. Forenkle:

Løsning. a) I betragtning af at (n + 1)! = 1 · 2 · 3 · … · n · (n + 1), og n! = 1 · 2 · 3 ... · n, reducer brøken;

b) Siden (n + 1)! = 1 · 2 · 3 · ... · (n – 1) · n · (n + 1), så efter reduktion får vi

(n+1)! = 1 · 2 · 3 · ... · n · (n + 1), n! = 1 · 2 · 3 · ... · n.

Lad os bringe brøken til en fællesnævner, som vi tager (n + 1)!. Så får vi

1 – 3. Beregne:

1. 2. 3.

4 – 9. Forenkle udtrykkene:

4. 6. 8.

5. 7. 9. -

2. Omarrangeringer

Lad os angive tre bogstaver A, B, C Lad os lave alle mulige kombinationer af disse bogstaver: ABC, ASV, BSA, BAC, CAB, CBA (i alt 6 kombinationer). Vi ser, at de kun adskiller sig fra hinanden i bogstavernes rækkefølge.

Kombinationer af n elementer, der kun adskiller sig fra hinanden i rækkefølgen af ​​elementerne kaldes permutationer.

Permutationer er angivet med symbolet Рn, hvor n er antallet af elementer, der indgår i hver permutation.

Antallet af permutationer kan beregnes ved hjælp af formlen

Рn = n (n – 1) (n – 2) · ... · 3 · 2 · 1 (1)

eller ved at bruge factorial:

Pn = n!. (2)

Således er antallet af permutationer af tre elementer ifølge formel (2).

P3 = 3! = 3 · 2 · 1 = 6, hvilket falder sammen med resultatet af det ovenfor omtalte eksempel.

Faktisk kan tre bogstaver placeres på førstepladsen i en kombination (permutation). Kun to af de tre bogstaver kan placeres på andenpladsen (en tog førstepladsen), og kun én af de resterende vil være på tredjepladsen. Det betyder 3 · 2 · 1 = 6 = P3.

10. Hvor mange forskellige femcifrede tal kan der laves af cifrene 1, 2, 3, 4, 5, forudsat at ikke et enkelt ciffer gentages i tallet?

11. Fire hold deltog i konkurrencen. Hvor mange muligheder for at fordele pladser mellem dem er mulige?

12 – 14. Beregne:

12. 13. 14.

3. Placeringer

Lad der være fire bogstaver A, B, C, D. Ved at sammensætte alle kombinationer af kun to bogstaver får vi:

Vi ser, at alle de resulterende kombinationer er forskellige enten i bogstaver eller i deres rækkefølge (kombinationer BA og AB betragtes som forskellige).

Kombinationer af m elementer af n elementer, der adskiller sig fra hinanden eller af elementerne selv, kaldes arrangementer.

Placeringer er angivet med symbolet A, hvor m er antallet af alle tilgængelige elementer, n er antallet af elementer i hver kombination. I dette tilfælde antages det, at nm. Antallet af placeringer kan beregnes ved hjælp af formlen

n faktorer

A = (3)

det vil sige, at antallet af alle mulige arrangementer af m elementer med n er lig med produktet af n på hinanden følgende heltal, hvoraf det største er m.

Så A = 4 · 3 = 12, hvilket falder sammen med resultatet af ovenstående eksempel: da antallet af rækker svarer til antallet af alle tilgængelige bogstaver, dvs. m = 4, og antallet af kolonner er 3, er der 12 forskellige kombinationer i alt.

Eksempel 3. Beregn: a) A; b)

Løsning. a) A = 6 5 4 = 120.

b) Da A = 15 14 13, A = 15 14 13 12, A = 15 14 13 12 11, så

Eksempel 4. Hvor mange to-cifrede tal kan der laves af fem cifre 1, 2, 3, 4, 5, forudsat at ingen af ​​dem gentages?

Løsning. Da to-cifrede tal adskiller sig fra hinanden enten i selve tallene eller i deres rækkefølge, er den nødvendige mængde lig med antallet af placeringer af fem elementer i to: A = 5 · 4 = 20. Så du kan lave 20 forskellige tocifrede tal.

Når vi finder antallet af placeringer, multiplicerer vi n successivt faldende heltal, dvs. der er ikke nok (m – n) successivt faldende heltalsfaktorer til at nå det fulde fakultet.

m faktorer

Derfor kan formlen for antallet af placeringer skrives som

A =

Derfor, under hensyntagen til, at tælleren er lig med m!, og nævneren er lig med (m – n)!, skriver vi denne formel i faktoriel form:

A = (4)

Eksempel 5. Beregn A i faktoriel form.

Løsning. A =

15-20. Beregn på enhver måde:

15. EN; 16. EN; 17. EN; 18. EN; 19. EN; 20.

21. Hvor mange muligheder er der for at uddele tre præmier, hvis 7 hold deltager i lodtrækningen?

22. Hvor mange forskellige firecifrede tal kan der laves ud fra cifrene 0, 1, 2, ..., 8, 9?

23. Hvor mange skemaindstillinger kan der oprettes for en dag, hvis der er 8 i alt? pædagogiske fag, og kun tre af dem kan indgå i den daglige tidsplan?

24. Hvor mange muligheder for at distribuere tre værdibeviser til sanatorier med forskellige profiler kan der udarbejdes for fem ansøgere?

4. Kombinationer

Kombinationer er alle kombinationer af m elementer af n, der adskiller sig fra hinanden med mindst ét ​​element (her er m og n naturlige tal og nm).

Så ud fra fire forskellige bogstaver A, B, C, D kan du lave følgende kombinationer, der adskiller sig fra hinanden i mindst ét ​​element: AB, AC, AD, BC, BD, CD. Det betyder, at antallet af kombinationer af fire elementer af to er 6. Dette skrives kort som følger: C = 6.

I hver kombination vil vi omarrangere elementerne:

AB, AC, AD, BC, BD, CD;

BA, CA, DA, CB, DB, DC.

Som et resultat modtog vi et arrangement med fire elementer, to hver. Derfor er CP2 = A, hvorfra C =