Unified State Examination i matematikk (profil) er valgfritt. Denne eksamenen er nødvendig for de som planlegger å studere denne disiplinen videre, gå inn på Fakultet for økonomi, matematikk eller fortsette studiene ved tekniske universiteter. Profilnivået krever, i motsetning til grunnnivået, inngående kunnskap. Eksamen fokuserer på ferdigheter praktisk anvendelse ferdigheter oppnådd gjennom studieårene, men kunnskap om teori for Unified State Examination i matematikk er ikke mindre viktig.

Hva trenger du å vite?

Som med bestått Unified State-eksamenen grunnleggende nivå kunnskap hentet fra skolekurs algebra og geometri, evne til å arbeide med ulike ulikheter og ligninger, være flytende i terminologi og kunne algoritmer for å løse ulike problemer. For å fullføre oppgaver med økt kompleksitet, kreves kunnskap på følgende områder:

• planimetri;
• ulikheter;
• renter;
• progresjon;
• stereometri;
• ligninger;
• parametriske systemer, ligninger, ulikheter;
• finansiell matematikk.

Du kan ikke klare deg uten teori i forberedelsesprosessen: uten å kjenne reglene, aksiomer og teoremer, er det umulig å løse de som presenteres i eksamensoppgaver oppgaver. Samtidig vil det være feil å studere teori på bekostning av praksis. Bare å huske reglene vil ikke hjelpe på eksamen - det er viktig å utvikle og forbedre evnen til å anvende tilegnet kunnskap når du løser problemer.

Hvordan forberede seg til eksamen?

Det er bedre å begynne å forberede seg til eksamen i begynnelsen skoleår. I dette tilfellet kan du rolig, uten hastverk, gå gjennom alle seksjonene, og deretter gjenta dem, oppdatere kunnskapen din umiddelbart før du tester.

Den klassiske metoden for forberedelse - bare å lese en lærebok på rad, huske reglene utenat - er ineffektiv. For å huske informasjon, må du forstå den. Du kan for eksempel prøve, etter å ha lest regelen, gjenfortelle den med egne ord eller forklare den for deg selv. Denne tilnærmingen lar deg huske det du leser i lang tid.

Individuelle formler og aksiomer må huskes. For å gjøre memoreringsprosessen enklere, bør du sørge for at de nødvendige dataene til enhver tid er synlige - på veggen nær sengen, på badet, på kjøleskapet, over skrivebordet. Hvis tabeller med formler alltid er foran øynene dine, vil de gradvis bli husket uten mye anstrengelse.

De som forbereder seg til Unified State Exam, ikke alene, men i selskap med andre nyutdannede, kan rådes til å forklare teorien for hverandre. Denne metoden disiplinerer og bidrar til å bedre forstå materialet.

Når du utfører praktiske oppgaver, er det nødvendig å analysere de vanligste feilene. Hvis de ikke er forbundet med uoppmerksomhet, men med uvitenhet om visse regler, er det viktig å studere slike emner nøye. Hele teorien er strukturert, og søket nødvendige regler vil ta et minimum av tid.

Teori er viktig, men praksis er uunnværlig. Under eksamen testes evnen til å anvende tilegnet kunnskap. Det er nødvendig å øve, praktisere de samme algoritmene om og om igjen, gjenta de samme emnene, til fullføring av oppgaver slutter å forårsake vanskeligheter. Uten praktisk anvendelse er kunnskap ubrukelig og lett glemt.

Vi ønsker deg lykke til med å studere teorien og bruke den ervervede kunnskapen på eksamen!

, er en obligatorisk eksamen for nyutdannede i 11. klasse. Statistisk sett er det det vanskeligste.

Vi foreslår at du gjør deg kjent med generell informasjon om eksamen og begynne å forberede umiddelbart. Eksamen 2019 er ikke forskjellig fra i fjor - dette gjelder både de grunnleggende og spesialiserte alternativene.

Grunnleggende nivå av Unified State Examination

Dette alternativet er egnet for nyutdannede i to tilfeller hvis:

1. du trenger ikke matematikk for å komme inn på et universitet;
2. du har ikke tenkt å fortsette studiene etter endt utdanning.

Hvis din valgte spesialitet har et felt med emnet "matematikk", er det grunnleggende nivået ikke ditt valg.

Grunnleggende eksamenspoeng

Formelen for å konvertere primærpoeng til testresultater oppdateres hvert år og blir kjent etter den tidlige eksamen. perioden for Unified State-eksamenen. Et dekret fra Rosobrnadzor er allerede utstedt, som offisielt etablerte korrespondansen mellom primær- og testresultater i alle fag for 2019.

I følge pålegg om utlevering grunnleggende Unified State-eksamen i matematikk med minst en C, må du score 12 primærpoeng. Dette er tilsvarende riktig utførelse alle 12 oppgaver. Maksimum primær poengsum – 20.

Grunnleggende eksamensstruktur

2019 Basic Level Mathematics Test består av 20 korte svarspørsmål, som er et heltall eller endelig tall. desimal, eller en tallsekvens. Svaret må enten beregnes eller velge ett av de foreslåtte alternativene.

Profilnivå for Unified State Examination

Denne Unified State-eksamenen i 2019 er ikke forskjellig fra Unified State eksamen fra fortidenårets.

Det er profilnivået som nyutdannede må bestå for opptak til universiteter, fordi i de aller fleste spesialiteter er matematikk angitt som hovedfag for opptak.

Profilprøvevurdering

Det er ikke noe spesifikt her: Som vanlig samler du inn første poeng, som deretter konverteres til testresultater. Og allerede ved å bruke et 100-punktssystem kan du bestemme karakteren for eksamen.

For at eksamen skal tas opp, er det nok å score 6 primærpoeng. For å gjøre dette må du løse minst 6 oppgaver i del 1. Maksimal startpoengsum er 32.

Struktur av profiltesten

Unified State Exam-prøven i matematikk på profilnivå består i 2019 av to deler, inkludert 19 oppgaver.

• Del 1: 8 oppgaver (1–8) på grunnleggende vanskelighetsgrad med kort svar.
• Del 2: 4 oppgaver (9–12) høyere nivå vansker med kort svar og 7 oppgaver (13–19) med økt og høy vanskelighetsgrad med detaljert besvarelse.

Forberedelse til Unified State-eksamenen

• Sende Unified State Exam tester online gratis uten registrering og SMS. Testene som presenteres er identiske i kompleksitet og struktur med de faktiske eksamenene som er gjennomført i de tilsvarende årene.

• nedlasting demoversjoner av Unified State Examination i matematikk, som lar deg bedre forberede deg til eksamen og bestå den lettere. Alle foreslåtte tester er utviklet og godkjent for å forberede seg på Unified State Examination Federal Institutt for pedagogiske målinger (FIPI). I samme FIPI alle offisielle Alternativer for Unified State Exam.
• Sjekk ut med grunnleggende formler for å forberede seg til eksamen, vil de hjelpe med å friske opp hukommelsen før du fortsetter med demo- og testalternativene.

Oppgavene du vil se vil mest sannsynlig ikke vises på eksamen, men det vil være oppgaver som ligner på demoene, om samme emne eller rett og slett med andre tall.

Generelle Unified State Examination-tall

År	Minimum Unified State Examination score	Gjennomsnittlig poengsum	Antall deltakere	Mislyktes, %	Antall< 100 poeng	Varighet- Eksamenslengde, min.
2009	21
2010	21	43,35	864 708	6,1	160	240
2011	24	47,49	738 746	4,9	205	240
2012	24	44,6	831 068	7,5	56	240
2013	24	48,7	803 741	6,2	538	240
2014	20	46,4				240
2015	27	45,4				235
2016	27					235
2017	27					235

Det er ingen endringer ved Unified State Exam i matematikk på profilnivå i 2019 – eksamensprogrammet er som tidligere år satt sammen av materialer fra de matematiske hoveddisiplinene. Billettene vil inneholde matematiske, geometriske og algebraiske problemer.

Det er ingen endringer i KIM Unified State Exam 2019 i matematikk på profilnivå.

Funksjoner ved Unified State Examination-oppgaver i matematikk 2019

• Når du forbereder deg til Unified State Exam i matematikk (profil), vær oppmerksom på de grunnleggende kravene til eksamensprogrammet. Den er designet for å teste kunnskap om et dybdeprogram: vektor og matematiske modeller, funksjoner og logaritmer, algebraiske likninger og ulikheter.
• Separat, tren på å løse problemer i .
• Det er viktig å vise nytenkning.

Eksamensstruktur

Unified State Exam-oppgaver spesialisert matematikk delt i to blokker.

1. Del - korte svar, inkluderer 8 oppgaver som tester grunnleggende matematisk forberedelse og evnen til å anvende matematikkkunnskaper i hverdagen.
2. Del - kort og detaljerte svar. Den består av 11 oppgaver, hvorav 4 krever et kort svar, og 7 - en detaljert med argumenter for utførte handlinger.

• Avansert vanskelighetsgrad- oppgave 9-17 i andre del av KIM.
• Høy vanskelighetsgrad- problemer 18-19 –. Denne delen av eksamensoppgavene tester ikke bare nivået av matematisk kunnskap, men også tilstedeværelsen eller fraværet av en kreativ tilnærming til å løse tørre "numeriske" oppgaver, samt effektiviteten av evnen til å bruke kunnskap og ferdigheter som et profesjonelt verktøy .

Viktig! Derfor, når du forbereder deg til Unified State Exam, må du alltid støtte teorien din i matematikk ved å løse praktiske problemer.

Hvordan vil poeng fordeles?

Oppgavene i den første delen av KIM i matematikk er nær Unified State Exam-testene på grunnleggende nivå, så det er umulig å få høy score på dem.

Poengene for hver oppgave i matematikk på profilnivå ble fordelt slik:

• for riktige svar på oppgave nr. 1-12 - 1 poeng;
• nr. 13-15 – 2 stk;
• nr. 16-17 – 3 stk;
• nr. 18-19 – 4 stk.

Varighet av eksamen og oppførselsregler for Unified State Exam

For å fullføre eksamensoppgaven -2019 eleven er tildelt 3 timer 55 minutter(235 minutter).

I løpet av denne tiden skal studenten ikke:

• oppføre seg støyende;
• bruke dingser og andre tekniske midler;
• avskrive;
• prøv å hjelpe andre, eller be om hjelp for deg selv.

For slike handlinger kan eksaminanden bli bortvist fra klasserommet.

Til statseksamen i matematikk lov å ta med Ta bare med deg en linjal; resten av materialet vil bli gitt til deg rett før Unified State-eksamenen. utstedes på stedet.

Effektive forberedelser er løsningen på nettprøver i matematikk 2019. Velg og få maksimal poengsum!

Videregående allmennutdanning

Linje UMK G. K. Muravin. Algebra og prinsipper for matematisk analyse (10-11) (i dybden)

UMK Merzlyak linje. Algebra og begynnelse av analyse (10-11) (U)

Matematikk

Forberedelse til Unified State-eksamen i matematikk (profilnivå): oppgaver, løsninger og forklaringer

Vi analyserer oppgaver og løser eksempler sammen med læreren

Eksamensoppgave profilnivå varer 3 timer 55 minutter (235 minutter).

Minimum terskel- 27 poeng.

Eksamensoppgaven består av to deler, som er forskjellige i innhold, kompleksitet og antall oppgaver.

Det definerende trekk ved hver del av arbeidet er oppgaveformen:

• del 1 inneholder 8 oppgaver (oppgave 1-8) med et kort svar i form av et helt tall eller en siste desimalbrøk;
• del 2 inneholder 4 oppgaver (oppgave 9-12) med et kort svar i form av et heltall eller en siste desimalbrøk og 7 oppgaver (oppgave 13–19) med et detaljert svar (en fullstendig oversikt over løsningen med begrunnelse for tiltak iverksatt).

Panova Svetlana Anatolevna, matematikklærer i høyeste skolekategori, arbeidserfaring 20 år:

"For å motta et skolebevis, må en nyutdannet bestå to obligatoriske eksamener i form av Unified State Examination, hvorav den ene er matematikk. I samsvar med konseptet for utvikling av matematisk utdanning i den russiske føderasjonen, er den enhetlige statlige eksamen i matematikk delt inn i to nivåer: grunnleggende og spesialisert. I dag skal vi se på alternativer på profilnivå."

Oppgave nr. 1- tester Unified State Exam-deltakernes evne til å bruke ferdighetene ervervet i 5. til 9. klassekurs i grunnleggende matematikk i praktiske aktiviteter. Deltakeren må ha regneferdigheter, kunne arbeide med rasjonelle tall, kunne avrunde desimaler, og kunne konvertere en måleenhet til en annen.

Eksempel 1. Det ble installert en kaldtvannsmengdemåler (måler) i leiligheten der Peter bor. 1. mai viste måleren et forbruk på 172 kubikkmeter. m vann, og den første juni - 177 kubikkmeter. m. Hvor mye skal Peter betale for kaldt vann i mai, hvis prisen er 1 kubikkmeter? m kaldt vann er 34 rubler 17 kopek? Gi svaret ditt i rubler.

Løsning:

1) Finn mengden vann som brukes per måned:

177 - 172 = 5 (kubikkm)

2) La oss finne ut hvor mye penger de vil betale for bortkastet vann:

34,17 5 = 170,85 (gni)

Svar: 170,85.

Oppgave nr. 2- er en av de enkleste eksamensoppgavene. Flertallet av nyutdannede klarer det, noe som indikerer kunnskap om definisjonen av funksjonsbegrepet. Type oppgave nr. 2 i henhold til kravkodifisereren er en oppgave om bruk av tilegnet kunnskap og ferdigheter i praktiske aktiviteter og Hverdagen. Oppgave nr. 2 består i å beskrive, bruke funksjoner, ulike reelle sammenhenger mellom størrelser og tolke deres grafer. Oppgave nr. 2 tester evnen til å trekke ut informasjon presentert i tabeller, diagrammer og grafer. Nyutdannede må kunne bestemme verdien av en funksjon fra verdien av argumentet på ulike måter for å spesifisere funksjonen og beskrive funksjonen og egenskapene til funksjonen basert på grafen. Du må også kunne finne den største eller minste verdi og bygge grafer over de studerte funksjonene. Feil som gjøres er tilfeldige ved å lese betingelsene for problemet, ved å lese diagrammet.

#ADVERTISING_INSERT#

Eksempel 2. Figuren viser endringen i bytteverdien til én aksje i et gruveselskap i første halvdel av april 2017. 7. april kjøpte forretningsmannen 1000 aksjer i dette selskapet. 10. april solgte han tre fjerdedeler av aksjene han kjøpte, og 13. april solgte han alle de resterende aksjene. Hvor mye tapte forretningsmannen som følge av disse operasjonene?

Løsning:

2) 1000 · 3/4 = 750 (aksjer) - utgjør 3/4 av alle kjøpte aksjer.

6) 247500 + 77500 = 325000 (gni) - forretningsmannen mottok 1000 aksjer etter salg.

7) 340 000 – 325 000 = 15 000 (gni) - forretningsmannen tapte som et resultat av alle operasjoner.

Svar: 15000.

Oppgave nr. 3- er en oppgave på grunnleggende nivå i første del, tester evnen til å utføre handlinger med geometriske former om innholdet i kurset «Planimetri». Oppgave 3 tester evnen til å beregne arealet til en figur på rutete papir, evnen til å beregne gradmål av vinkler, beregne omkrets, etc.

Eksempel 3. Finn arealet til et rektangel avbildet på rutete papir med en cellestørrelse på 1 cm x 1 cm (se figur). Gi svaret i kvadratcentimeter.

Løsning: For å beregne arealet til en gitt figur kan du bruke toppformelen:

For å beregne arealet til et gitt rektangel bruker vi Peaks formel:

S= B +	G
	2

hvor B = 10, G = 6, derfor

S = 18 +	6
	2

Svar: 20.

Les også: Unified State Exam in Physics: løse problemer om svingninger

Oppgave nr. 4- Målet med kurset "Sannsynlighetsteori og statistikk". Evnen til å beregne sannsynligheten for en hendelse i den enkleste situasjonen testes.

Eksempel 4. Det er 5 røde og 1 blå prikker merket på sirkelen. Bestem hvilke polygoner som er større: de med alle toppunktene røde, eller de med en av toppunktene blå. I svaret ditt angir du hvor mange det er flere av noen enn andre.

Løsning: 1) La oss bruke formelen for antall kombinasjoner av n elementer av k:

hvis toppunkter alle er røde.

3) En femkant med alle hjørner røde.

4) 10 + 5 + 1 = 16 polygoner med alle røde hjørner.

som har røde topper eller med én blå topp.

som har røde topper eller med én blå topp.

8) En sekskant med røde topper og en blå topp.

9) 20 + 15 + 6 + 1 = 42 polygoner med alle røde toppunkter eller ett blått toppunkt.

10) 42 – 16 = 26 polygoner med den blå prikken.

11) 26 – 16 = 10 polygoner – hvor mange flere polygoner der en av toppunktene er en blå prikk er det enn polygoner der alle toppunktene bare er røde.

Svar: 10.

Oppgave nr. 5- det grunnleggende nivået i første del tester evnen til å løse enkle ligninger (irrasjonelle, eksponentielle, trigonometriske, logaritmiske).

Eksempel 5. Løs ligning 2 3 + x= 0,4 5 3 + x .

Løsning. Del begge sider av denne ligningen med 5 3 + X≠ 0, får vi

2 3 + x	= 0,4 eller		2		3 + X	=	2	,
5 3 + X			5				5

hvorfra det følger at 3 + x = 1, x = –2.

Svar: –2.

Oppgave nr. 6 i planimetri for å finne geometriske størrelser (lengder, vinkler, arealer), modellering av virkelige situasjoner på geometrispråket. Studie av konstruerte modeller ved bruk av geometriske begreper og teoremer. Kilden til vanskeligheter er som regel uvitenhet eller feilaktig anvendelse av de nødvendige planimetrisetningene.

Arealet av en trekant ABC tilsvarer 129. DE– midtlinje parallelt med siden AB. Finn arealet av trapesen EN SENG.

Løsning. Triangel CDE ligner på en trekant DROSJE i to vinkler, siden vinkelen ved toppunktet C generelt, vinkel СDE lik vinkel DROSJE som de tilsvarende vinklene ved DE || AB sekant A.C.. Fordi DE er midtlinjen i en trekant etter tilstand, deretter etter egenskapen til midtlinjen | DE = (1/2)AB. Dette betyr at likhetskoeffisienten er 0,5. Arealene med lignende figurer er derfor relatert til kvadratet av likhetskoeffisienten

Derfor, S ABED = S Δ ABC – S Δ CDE = 129 – 32,25 = 96,75.

Oppgave nr. 7- kontrollerer anvendelsen av den deriverte til studiet av en funksjon. Vellykket implementering krever meningsfull, ikke-formell kunnskap om begrepet derivat.

Eksempel 7. Til grafen til funksjonen y = f(x) ved abscissepunktet x 0 tegnes en tangent som er vinkelrett på linjen som går gjennom punktene (4; 3) og (3; –1) i denne grafen. Finne f′( x 0).

Løsning. 1) La oss bruke ligningen til en linje som går gjennom to gitte punkter og finne ligningen til en linje som går gjennom punktene (4; 3) og (3; –1).

(y – y 1)(x 2 – x 1) = (x – x 1)(y 2 – y 1)

(y – 3)(3 – 4) = (x – 4)(–1 – 3)

(y – 3)(–1) = (x – 4)(–4)

–y + 3 = –4x+ 16| · (-1)

y – 3 = 4x – 16

y = 4x– 13, hvor k 1 = 4.

2) Finn hellingen til tangenten k 2, som er vinkelrett på linjen y = 4x– 13, hvor k 1 = 4, i henhold til formelen:

3) Tangentvinkelen er den deriverte av funksjonen ved tangenspunktet. Midler, f′( x 0) = k 2 = –0,25.

Svar: –0,25.

Oppgave nr. 8- tester eksamensdeltakernes kunnskap om elementær stereometri, evnen til å bruke formler for å finne overflatearealer og volumer av figurer, dihedrale vinkler, sammenligne volumene til lignende figurer, kunne utføre handlinger med geometriske figurer, koordinater og vektorer, etc.

Volumet til en terning som er omskrevet rundt en kule er 216. Finn radiusen til kulen.

Løsning. 1) V kube = en 3 (hvor EN– lengden på kanten av kuben), derfor

EN 3 = 216

EN = 3 √216

2) Siden sfæren er innskrevet i en terning, betyr det at lengden på sfærens diameter er lik lengden på kanten av kuben, derfor d = en, d = 6, d = 2R, R = 6: 2 = 3.

Oppgave nr. 9- krever at kandidaten har ferdigheter til å transformere og forenkle algebraiske uttrykk. Oppgave nr. 9 av økt vanskelighetsgrad med kort svar. Oppgavene fra delen "Beregninger og transformasjoner" i Unified State-eksamenen er delt inn i flere typer:

transformasjon av numeriske rasjonelle uttrykk;

konvertering av algebraiske uttrykk og brøker;

konvertering av irrasjonelle numeriske/bokstavsuttrykk;

handlinger med grader;

konvertering av logaritmiske uttrykk;

1. konvertere numeriske/bokstav trigonometriske uttrykk.

Eksempel 9. Beregn tanα hvis det er kjent at cos2α = 0,6 og

3π	< α < π.
4

Løsning. 1) La oss bruke dobbeltargumentformelen: cos2α = 2 cos 2 α – 1 og finne

tan 2 α =	1	– 1 =	1	– 1 =	10	– 1 =	5	– 1 = 1	1	– 1 =	1	= 0,25.
	cos 2 α		0,8		8		4		4		4

Dette betyr tan 2 α = ± 0,5.

3) Etter tilstand

3π	< α < π,
4

dette betyr at α er vinkelen til andre kvartal og tgα< 0, поэтому tgα = –0,5.

Svar: –0,5.

#ADVERTISING_INSERT# Oppgave nr. 10- tester elevenes evne til å bruke tilegnet tidlig kunnskap og ferdigheter i praktiske aktiviteter og hverdagsliv. Vi kan si at dette er problemer i fysikk, og ikke i matematikk, men alle nødvendige formler og størrelser er gitt i tilstanden. Problemene koker ned til å løse en lineær eller andregradsligning, eller en lineær eller kvadratisk ulikhet. Derfor er det nødvendig å kunne løse slike likninger og ulikheter og bestemme svaret. Svaret må gis som et helt tall eller en endelig desimalbrøk.

To massekropper m= 2 kg hver, beveger seg med samme hastighet v= 10 m/s i en vinkel på 2α til hverandre. Energien (i joule) som frigjøres under deres absolutt uelastiske kollisjon, bestemmes av uttrykket Q = mv 2 sin 2 α. Ved hvilken minste vinkel 2α (i grader) må kroppene bevege seg slik at minst 50 joule frigjøres som følge av kollisjonen?
Løsning. For å løse problemet må vi løse ulikheten Q ≥ 50, på intervallet 2α ∈ (0°; 180°).

mv 2 sin 2 α ≥ 50

2 10 2 sin 2 α ≥ 50

200 sin 2 α ≥ 50

Siden α ∈ (0°; 90°), vil vi bare løse

La oss representere løsningen på ulikheten grafisk:

Siden betingelse α ∈ (0°; 90°), betyr det 30° ≤ α< 90°. Получили, что наименьший угол α равен 30°, тогда наименьший угол 2α = 60°.

Oppgave nr. 11– er typisk, men viser seg å være vanskelig for elevene. Hovedkilden til vanskeligheter er konstruksjonen av en matematisk modell (tegne opp en ligning). Oppgave nr. 11 tester evnen til å løse ordoppgaver.

Eksempel 11. I løpet av vårferien måtte Vasya i 11. klasse løse 560 øvingsproblemer for å forberede seg til Unified State-eksamenen. Den 18. mars, på siste skoledag, løste Vasya 5 problemer. Så hver dag løste han like mange problemer mer enn dagen før. Bestem hvor mange problemer Vasya løste 2. april, den siste dagen i ferien.

Løsning: La oss betegne en 1 = 5 – antall problemer som Vasya løste 18. mars, d– daglig antall oppgaver løst av Vasya, n= 16 – antall dager fra 18. mars til og med 2. april, S 16 = 560 – totalt antall oppgaver, en 16 – antall problemer som Vasya løste 2. april. Når vi vet at Vasya hver dag løste samme antall problemer mer enn dagen før, kan vi bruke formler for å finne summen aritmetisk progresjon:

560 = (5 + en 16) 8,

5 + en 16 = 560: 8,

5 + en 16 = 70,

en 16 = 70 – 5

en 16 = 65.

Svar: 65.

Oppgave nr. 12- de tester elevenes evne til å utføre operasjoner med funksjoner, og å kunne bruke den deriverte til studiet av en funksjon.

Finn maksimumspunktet for funksjonen y= 10ln( x + 9) – 10x + 1.

Løsning: 1) Finn definisjonsdomenet til funksjonen: x + 9 > 0, x> –9, det vil si x ∈ (–9; ∞).

2) Finn den deriverte av funksjonen:

4) Det funnet punktet tilhører intervallet (–9; ∞). La oss bestemme tegnene på den deriverte av funksjonen og skildre funksjonen til funksjonen i figuren:

Ønsket maksimumspunkt x = –8.

Last ned gratis arbeidsprogrammet i matematikk for linjen med undervisningsmateriell G.K. Muravina, K.S. Muravina, O.V. Muravina 10-11 Last ned gratis læremidler i algebra

Oppgave nr. 13-økt kompleksitetsnivå med et detaljert svar, testing av evnen til å løse ligninger, den mest vellykkede løst blant oppgaver med et detaljert svar av økt kompleksitetsnivå.

a) Løs ligningen 2log 3 2 (2cos x) – 5log 3 (2cos x) + 2 = 0

b) Finn alle røttene til denne ligningen, som tilhører segmentet.

Løsning: a) La logg 3 (2cos x) = t, deretter 2 t 2 – 5t + 2 = 0,

	log 3(2cos x) =	2	⇔		2cos x = 9	⇔		cos x =	4,5	⇔ fordi |cos x| ≤ 1,
	log 3(2cos x) =	1			2cos x = √3			cos x =	√3
		2							2

deretter cos x =	√3
	2

	x =	π	+ 2π k
		6
	x = –	π	+ 2π k, k ∈ Z
		6

b) Finn røttene som ligger på segmentet .

Figuren viser at røttene til det gitte segmentet tilhører

11π	Og	13π	.
6		6

Svar: EN)	π	+ 2π k; –	π	+ 2π k, k ∈ Z; b)	11π	;	13π	.
	6		6		6		6

Oppgave nr. 14-avansert nivå refererer til oppgaver i andre del med et detaljert svar. Oppgaven tester evnen til å utføre handlinger med geometriske former. Oppgaven inneholder to punkter. I det første punktet skal oppgaven bevises, og i det andre punktet beregnes.

Diameteren på sirkelen til sylinderens basis er 20, sylinderens generatrise er 28. Planet skjærer bunnen langs akkorder med lengde 12 og 16. Avstanden mellom akkordene er 2√197.

a) Bevis at sentrene til sylinderens base ligger på den ene siden av dette planet.

b) Finn vinkelen mellom dette planet og planet til bunnen av sylinderen.

Løsning: a) En korde med lengde 12 er i en avstand = 8 fra sentrum av grunnsirkelen, og en korde med lengde 16 er på samme måte i en avstand på 6. Derfor er avstanden mellom deres projeksjoner på et plan parallelt med basene på sylindrene er enten 8 + 6 = 14, eller 8 - 6 = 2.

Da er avstanden mellom akkordene enten

= = √980 = = 2√245

= = √788 = = 2√197.

I henhold til betingelsen ble det andre tilfellet realisert, der fremspringene til akkordene ligger på den ene siden av sylinderaksen. Dette betyr at aksen ikke skjærer dette planet i sylinderen, det vil si at basene ligger på den ene siden av den. Det som måtte bevises.

b) La oss betegne sentrene til basene som O 1 og O 2. La oss tegne fra midten av basen med en akkord med lengde 12 en vinkelrett halveringslinje på denne akkorden (den har lengde 8, som allerede nevnt) og fra midten av den andre basen til den andre akkorden. De ligger i samme plan β, vinkelrett på disse akkordene. La oss kalle midtpunktet til den mindre akkorden B, den større akkorden A og projeksjonen av A på den andre basen - H (H ∈ β). Da er AB,AH ∈ β og derfor AB,AH vinkelrett på akkorden, det vil si den rette skjæringslinjen mellom basen og det gitte planet.

Dette betyr at den nødvendige vinkelen er lik

∠ABH = arktan	A.H.	= arktan	28	= arctg14.
	B.H.		8 – 6

Oppgave nr. 15- økt kompleksitetsnivå med detaljert svar, tester evnen til å løse ulikheter, som mest vellykket løses blant oppgaver med detaljert svar av økt kompleksitetsnivå.

Eksempel 15. Løs ulikhet | x 2 – 3x| logg 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2 .

Løsning: Definisjonsdomenet for denne ulikheten er intervallet (–1; +∞). Vurder tre tilfeller separat:

1) La x 2 – 3x= 0, dvs. X= 0 eller X= 3. I dette tilfellet blir denne ulikheten sann, derfor er disse verdiene inkludert i løsningen.

2) La nå x 2 – 3x> 0, dvs. x∈ (–1; 0) ∪ (3; +∞). Dessuten kan denne ulikheten omskrives som ( x 2 – 3x) logg 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2 og del med et positivt uttrykk x 2 – 3x. Vi får logg 2 ( x + 1) ≤ –1, x + 1 ≤ 2 –1 , x≤ 0,5 –1 eller x≤ –0,5. Med tanke på definisjonsdomenet har vi x ∈ (–1; –0,5].

3) Til slutt, la oss vurdere x 2 – 3x < 0, при этом x∈ (0; 3). I dette tilfellet vil den opprinnelige ulikheten skrives om i formen (3 x – x 2) logg 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2. Etter å ha delt på positive 3 x – x 2, vi får logg 2 ( x + 1) ≤ 1, x + 1 ≤ 2, x≤ 1. Med hensyn til regionen har vi x ∈ (0; 1].

Ved å kombinere de oppnådde løsningene får vi x ∈ (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Svar: (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Oppgave nr. 16- avansert nivå refererer til oppgaver i andre del med et detaljert svar. Oppgaven tester evnen til å utføre handlinger med geometriske former, koordinater og vektorer. Oppgaven inneholder to punkter. I det første punktet skal oppgaven bevises, og i det andre punktet beregnes.

I likebent trekant ABC med en vinkel på 120° ved toppunkt A tegnes en halveringslinje BD. Rektangel DEFH er innskrevet i trekant ABC slik at side FH ligger på segment BC, og toppunkt E ligger på segment AB. a) Bevis at FH = 2DH. b) Finn arealet av rektangelet DEFH hvis AB = 4.

Løsning: EN)

1) ΔBEF – rektangulær, EF⊥BC, ∠B = (180° – 120°): 2 = 30°, så EF = BE ved egenskapen til benet som ligger motsatt vinkelen på 30°.

2) La EF = DH = x, så BE = 2 x, BF = x√3 i henhold til Pythagoras teorem.

3) Siden ΔABC er likebenet, betyr det ∠B = ∠C = 30˚.

BD er halveringslinjen til ∠B, som betyr ∠ABD = ∠DBC = 15˚.

4) Tenk på ΔDBH – rektangulær, fordi DH⊥BC.

2x	=	4 – 2x
2x(√3 + 1)		4

1	=	2 – x
√3 + 1		2

√3 – 1 = 2 – x

x = 3 – √3

EF = 3 – √3

2) S DEFH = ED EF = (3 – √3 ) 2(3 – √3 )

S DEFH = 24 – 12√3.

Svar: 24 – 12√3.

Oppgave nr. 17- en oppgave med et detaljert svar, denne oppgaven tester anvendelsen av kunnskap og ferdigheter i praktiske aktiviteter og hverdagsliv, evnen til å bygge og utforske matematiske modeller. Denne oppgaven - ordproblem med økonomisk innhold.

Eksempel 17. Et depositum på 20 millioner rubler er planlagt åpnet i fire år. Ved utgangen av hvert år øker banken innskuddet med 10 % sammenlignet med størrelsen ved inngangen til året. I tillegg, i begynnelsen av det tredje og fjerde året, fyller investoren årlig på innskuddet med X millioner rubler, hvor X - hel Antall. Finne høyeste verdi X, der banken vil påløpe mindre enn 17 millioner rubler til innskuddet over fire år.

Løsning: På slutten av det første året vil bidraget være 20 + 20 · 0,1 = 22 millioner rubler, og på slutten av det andre - 22 + 22 · 0,1 = 24,2 millioner rubler. Ved begynnelsen av det tredje året vil bidraget (i millioner rubler) være (24,2 + X), og på slutten - (24,2 + X) + (24,2 + X)· 0,1 = (26,62 + 1,1 X). Ved begynnelsen av det fjerde året vil bidraget være (26,62 + 2,1 X), og på slutten - (26.62 + 2.1 X) + (26,62 + 2,1X) · 0,1 = (29,282 + 2,31 X). Etter betingelse må du finne det største heltall x som ulikheten gjelder for

(29,282 + 2,31x) – 20 – 2x < 17

29,282 + 2,31x – 20 – 2x < 17

0,31x < 17 + 20 – 29,282

0,31x < 7,718

x <	7718
	310

x <	3859
	155

x < 24	139
	155

Den største heltallsløsningen på denne ulikheten er tallet 24.

Svar: 24.

Oppgave nr. 18- en oppgave med økt kompleksitet med et detaljert svar. Denne oppgaven er for konkurransedyktig utvalg til universiteter med økte krav til matematisk forberedelse av søkere. Trening høy level kompleksitet - denne oppgaven handler ikke om å bruke én løsningsmetode, men om en kombinasjon ulike metoder. For å fullføre oppgave 18 trenger du i tillegg til solide matematiske kunnskaper også et høyt nivå av matematisk kultur.

På hva en system av ulikheter

	x 2 + y 2 ≤ 2ja – en 2 + 1
	y + en ≤ |x| – en

har nøyaktig to løsninger?

Løsning: Dette systemet kan skrives om i skjemaet

	x 2 + (y– en) 2 ≤ 1
	y ≤ |x| – en

Hvis vi tegner på planet settet med løsninger til den første ulikheten, får vi det indre av en sirkel (med en grense) med radius 1 med sentrum i punktet (0, EN). Settet med løsninger til den andre ulikheten er den delen av planet som ligger under grafen til funksjonen y = | x| – en, og sistnevnte er grafen til funksjonen
y = | x| , flyttet ned av EN. Løsningen på dette systemet er skjæringspunktet mellom settene med løsninger på hver av ulikhetene.

Derfor to løsninger dette systemet vil bare ha i tilfellet vist i fig. 1.

Kontaktpunktene til sirkelen med linjene vil være de to løsningene til systemet. Hver av de rette linjene er skråstilt til aksene i en vinkel på 45°. Så det er en trekant PQR– rektangulære likebenete. Punktum Q har koordinater (0, EN), og poenget R– koordinater (0, – EN). I tillegg kommer segmentene PR Og PQ lik radiusen til sirkelen lik 1. Dette betyr

Qr= 2en = √2, en =	√2	.
	2

Svar: en =	√2	.
	2

Oppgave nr. 19- en oppgave med økt kompleksitet med et detaljert svar. Denne oppgaven er ment for konkurransedyktig utvelgelse til universiteter med økte krav til matematisk forberedelse av søkere. En oppgave med høy kompleksitet er en oppgave ikke på bruk av én løsningsmetode, men på en kombinasjon av ulike metoder. For å fullføre oppgave 19 må du være i stand til å søke etter en løsning, velge ulike tilnærminger blant de kjente, og modifisere de studerte metodene.

La Sn sum P termer av en aritmetisk progresjon ( en s). Det er kjent at S n + 1 = 2n 2 – 21n – 23.

a) Oppgi formelen P termin av denne progresjonen.

b) Finn den minste absolutte summen S n.

c) Finn den minste P, ved hvilken S n vil være kvadratet av et heltall.

Løsning: a) Det er åpenbart at en n = S n – S n- 1 . Ved å bruke denne formelen får vi:

S n = S (n – 1) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 1) – 23 = 2n 2 – 25n,

S n – 1 = S (n – 2) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 2) – 23 = 2n 2 – 25n+ 27

Midler, en n = 2n 2 – 25n – (2n 2 – 29n + 27) = 4n – 27.

B) Siden S n = 2n 2 – 25n, og vurder deretter funksjonen S(x) = | 2x 2 – 25x|. Grafen kan sees på figuren.

Det er klart at den minste verdien oppnås ved heltallspunktene som ligger nærmest nullpunktene til funksjonen. Dette er åpenbart poeng X= 1, X= 12 og X= 13. Siden, S(1) = |S 1 | = |2 – 25| = 23, S(12) = |S 12 | = |2 · 144 – 25 · 12| = 12, S(13) = |S 13 | = |2 · 169 – 25 · 13| = 13, så er den minste verdien 12.

c) Av forrige avsnitt følger det at Sn positiv, med utgangspunkt i n= 13. Siden S n = 2n 2 – 25n = n(2n– 25), så blir det åpenbare tilfellet, når dette uttrykket er et perfekt kvadrat, realisert når n = 2n– 25, altså kl P= 25.

Det gjenstår å sjekke verdiene fra 13 til 25:

S 13 = 13 1, S 14 = 14 3, S 15 = 15 5, S 16 = 16 7, S 17 = 17 9, S 18 = 18 11, S 19 = 19 13, S 20 = 20 13, S 21 = 21 17, S 22 = 22 19, S 23 = 23 21, S 24 = 24 23.

Det viser seg at for mindre verdier P en fullstendig firkant oppnås ikke.

Svar: EN) en n = 4n– 27; b) 12; c) 25.

________________

*Siden mai 2017 har den forente forlagsgruppen "DROFA-VENTANA" vært en del av Russian Textbook-selskapet. Selskapet inkluderer også forlaget Astrel og den digitale utdanningsplattformen LECTA. Generaldirektør Alexander Brychkin, utdannet ved Finansakademiet under regjeringen i den russiske føderasjonen, kandidat økonomiske vitenskaper, leder for innovative prosjekter til forlaget "DROFA" innen digital utdanning (elektroniske former for lærebøker, "Russian Electronic School", digital utdanningsplattform LECTA). Før han begynte i DROFA forlag, hadde han stillingen som visepresident for strategisk utvikling og investeringer i forlagsselskapet EKSMO-AST. I dag har forlagsselskapet "Russian Textbook" den største porteføljen av lærebøker inkludert i den føderale listen - 485 titler (omtrent 40%, unntatt lærebøker for spesialskoler). Selskapets forlag eier de mest populære settene med lærebøker i russiske skoler innen fysikk, tegning, biologi, kjemi, teknologi, geografi, astronomi - kunnskapsområder som er nødvendige for utviklingen av landets produktive potensial. Selskapets portefølje inkluderer lærebøker og læremidler Til grunnskole, tildelt presidentprisen innen utdanning. Dette er lærebøker og håndbøker innen fagområder som er nødvendige for utviklingen av Russlands vitenskapelige, tekniske og produksjonspotensiale.

I denne delen forbereder vi oss til Unified State Examination i matematikk på et grunnleggende profilnivå - vi presenterer analyse av problemer, tester, beskrivelse av eksamen og nyttige anbefalinger. Ved å bruke ressursen vår vil du i det minste forstå hvordan du løser problemer og kan bestå Unified State Exam i matematikk i 2019. Begynne!

Unified State Examination i matematikk er obligatorisk eksamen enhver elev i 11. klasse, så informasjonen som presenteres i denne delen er relevant for alle. Matematikkeksamenen er delt inn i to typer - grunnleggende og spesialisert. I denne delen gir jeg en analyse av hver type oppgave med detaljert forklaring for to alternativer. Unified State Exam-oppgavene er strengt tematiske, så for hvert problem kan du gi presise anbefalinger og gi teorien som er nødvendig spesifikt for å løse denne typen oppgaver. Nedenfor finner du lenker til oppgaver, ved å klikke på hvor du kan studere teorien og analysere eksempler. Eksempler fylles på og oppdateres kontinuerlig.

Struktur av det grunnleggende nivået til Unified State Examination i matematikk

Eksamensoppgaven i matematikk på grunnleggende nivå består av ett stykke , inkludert 20 kortsvarsoppgaver. Alle oppgavene er rettet mot å teste utviklingen av grunnleggende ferdigheter og praktiske ferdigheter i å anvende matematisk kunnskap i hverdagslige situasjoner.

Svaret på hver av oppgavene 1–20 er heltall, etterfølgende desimal , eller rekkefølge av tall .

En oppgave med kort svar regnes som fullført dersom riktig svar er skrevet ned i svarskjema nr. 1 i skjemaet som er gitt i instruks for gjennomføring av oppgaven.