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Un parallelepipedo è un prisma le cui basi sono parallelogrammi. In questo caso, tutti i bordi saranno parallelogrammi.
Ogni parallelepipedo può essere considerato come un prisma a tre in vari modi, poiché ogni due facce opposte possono essere prese come basi (in Figura 5, facce ABCD e A"B"C"D", oppure ABA"B" e CDC"D", oppure VSV"C" e ADA"D") .
Il corpo in questione presenta dodici spigoli, quattro uguali e paralleli tra loro.
Teorema 3 . Le diagonali di un parallelepipedo si intersecano in un punto, coincidente con il centro di ciascuna di esse.
Il parallelepipedo ABCDA"B"C"D" (Fig. 5) ha quattro diagonali AC", BD", CA", DB". Dobbiamo dimostrare che i punti medi di due qualsiasi di essi, ad esempio AC e BD", coincidono. Ciò deriva dal fatto che la figura ABC"D", avente i lati uguali e paralleli AB e C"D", è un parallelogramma.
Definizione 7 . Un parallelepipedo retto è un parallelepipedo che è anche un prisma rettilineo, cioè un parallelepipedo i cui bordi laterali sono perpendicolari al piano della base.
Definizione 8 . Un parallelepipedo rettangolare è un parallelepipedo retto la cui base è un rettangolo. In questo caso, tutte le sue facce saranno rettangoli.
Un parallelepipedo rettangolo è un prisma retto, qualunque delle sue facce prendiamo come base, poiché ciascuno dei suoi spigoli è perpendicolare agli spigoli emergenti dallo stesso vertice, e sarà, quindi, perpendicolare ai piani delle facce definite da questi bordi. Al contrario, un parallelepipedo dritto, ma non rettangolare, può essere visto come un prisma dritto in un solo modo.
Definizione 9 . Le lunghezze di tre spigoli di un parallelepipedo rettangolare, di cui non ci siano due paralleli tra loro (ad esempio, tre spigoli emergenti dallo stesso vertice), sono chiamate sue dimensioni. Due parallelepipedi rettangolari aventi dimensioni corrispondentemente uguali sono ovviamente uguali tra loro.
Definizione 10 .Un cubo è un parallelepipedo rettangolare, le cui tre dimensioni sono uguali tra loro, per cui tutte le sue facce sono quadrate. Due cubi i cui bordi sono uguali sono uguali.
Definizione 11 . Un parallelepipedo inclinato in cui tutti gli spigoli sono uguali tra loro e gli angoli di tutte le facce sono uguali o complementari si chiama romboedro.
Tutte le facce di un romboedro - rombi uguali. (Alcuni cristalli hanno una forma a romboedro, avente grande valore, ad esempio, cristalli di longarone islandesi.) In un romboedro puoi trovare un vertice (e anche due vertici opposti) tali che tutti gli angoli adiacenti ad esso siano uguali tra loro.
Teorema 4 . Le diagonali di un parallelepipedo rettangolo sono uguali tra loro. Quadrato diagonale pari alla somma quadrati di tre dimensioni.
IN parallelepipedo rettangolare ABCDA"B"C"D" (Fig. 6) le diagonali AC" e BD" sono uguali, poiché il quadrilatero ABC"D" è un rettangolo (la retta AB è perpendicolare al piano ECB"C", in cui BC bugie").
Inoltre AC" 2 =BD" 2 = AB2+AD" 2 in base al teorema del quadrato dell'ipotenusa. Ma in base allo stesso teorema AD" 2 = AA" 2 + +A"D" 2; quindi noi Avere:
AC" 2 = AB 2 + AA" 2 + A" D" 2 = AB 2 + AA" 2 + AD 2.

In questa lezione tutti potranno studiare l'argomento “Pallellelepipedo rettangolare”. All'inizio della lezione ripeteremo cosa sono i parallelepipedi arbitrari e diritti, ricorderemo le proprietà delle loro facce opposte e delle diagonali del parallelepipedo. Poi vedremo cos'è un cuboide e ne discuteremo le proprietà di base.

Argomento: Perpendicolarità di rette e piani

Lezione: cuboide

Si chiama una superficie composta da due parallelogrammi uguali ABCD e A 1 B 1 C 1 D 1 e quattro parallelogrammi ABV 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 parallelepipedo(Fig. 1).

Riso. 1 Parallelepipedo

Cioè: abbiamo due parallelogrammi uguali ABCD e A 1 B 1 C 1 D 1 (basi), giacciono su piani paralleli in modo che i bordi laterali AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 siano paralleli. Pertanto, viene chiamata una superficie composta da parallelogrammi parallelepipedo.

Pertanto la superficie di un parallelepipedo è la somma di tutti i parallelogrammi che compongono il parallelepipedo.

1. Le facce opposte di un parallelepipedo sono parallele e uguali.

(le forme sono uguali, cioè si possono unire sovrapponendole)

Per esempio:

ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1 (parallelogrammi uguali per definizione),

AA 1 B 1 B = DD 1 C 1 C (poiché AA 1 B 1 B e DD 1 C 1 C sono facce opposte del parallelepipedo),

AA 1 D 1 D = BB 1 C 1 C (poiché AA 1 D 1 D e BB 1 C 1 C sono facce opposte del parallelepipedo).

2. Le diagonali di un parallelepipedo si intersecano in un punto e in questo punto sono divise in due.

Le diagonali del parallelepipedo AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B si intersecano in un punto O, e ciascuna diagonale è divisa a metà da questo punto (Fig. 2).

Riso. 2 Le diagonali di un parallelepipedo si intersecano e sono divise a metà dal punto di intersezione.

3. Ci sono tre quadrupli di lati uguali e paralleli di un parallelepipedo: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, СС 1, DD 1.

Definizione. Un parallelepipedo si dice diritto se i suoi spigoli laterali sono perpendicolari alle basi.

Lasciare che il bordo laterale AA 1 sia perpendicolare alla base (Fig. 3). Ciò significa che la retta AA 1 è perpendicolare alle rette AD e AB, che giacciono nel piano della base. Ciò significa che le facce laterali contengono rettangoli. E le basi contengono parallelogrammi arbitrari. Indichiamo ∠BAD = φ, l'angolo φ può essere qualsiasi.

Riso. 3 Parallelepipedo destro

Quindi un parallelepipedo retto è un parallelepipedo in cui gli spigoli laterali sono perpendicolari alle basi del parallelepipedo.

Definizione. Il parallelepipedo si dice rettangolare, se i suoi bordi laterali sono perpendicolari alla base. Le basi sono rettangoli.

Il parallelepipedo ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 è rettangolare (Fig. 4), se:

1. AA 1 ⊥ ABCD (spigolo laterale perpendicolare al piano della base, cioè un parallelepipedo rettilineo).

2. ∠BAD = 90°, cioè la base è un rettangolo.

Riso. 4 Parallelepipedo rettangolare

Un parallelepipedo rettangolare ha tutte le proprietà di un parallelepipedo arbitrario. Ma ci sono ulteriori proprietà che derivano dalla definizione di cuboide.

COSÌ, cuboideè un parallelepipedo i cui bordi laterali sono perpendicolari alla base. La base di un cuboide è un rettangolo.

1. In un parallelepipedo rettangolare tutte e sei le facce sono rettangoli.

ABCD e A 1 B 1 C 1 D 1 sono rettangoli per definizione.

2. Le nervature laterali sono perpendicolari alla base. Ciò significa che tutte le facce laterali di un parallelepipedo rettangolare sono rettangoli.

3. Tutti gli angoli diedro di un parallelepipedo rettangolo sono retti.

Consideriamo, ad esempio, l'angolo diedro di un parallelepipedo rettangolo con lo spigolo AB, cioè l'angolo diedro tra i piani ABC 1 e ABC.

AB è un bordo, il punto A 1 si trova su un piano - nel piano ABB 1, e il punto D nell'altro - nel piano A 1 B 1 C 1 D 1. Allora l'angolo diedro in esame può essere indicato anche come segue: ∠A 1 ABD.

Prendiamo il punto A sul bordo AB. AA 1 è perpendicolare allo spigolo AB nel piano АВВ-1, AD è perpendicolare allo spigolo AB nel piano ABC. Quindi, ∠A 1 d.C. - angolo lineare dato l'angolo diedro. ∠A 1 AD = 90°, il che significa che l'angolo diedro sul bordo AB è 90°.

∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90°.

Allo stesso modo, è dimostrato che qualsiasi angolo diedro di un parallelepipedo rettangolare è retto.

Il quadrato della diagonale di un parallelepipedo rettangolo è uguale alla somma dei quadrati delle sue tre dimensioni.

Nota. Le lunghezze dei tre bordi che partono da un vertice di un cuboide sono le misure del cuboide. A volte sono chiamati lunghezza, larghezza, altezza.

Dato: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - parallelepipedo rettangolare (Fig. 5).

Dimostrare: .

Riso. 5 Parallelepipedo rettangolare

Prova:

La retta CC 1 è perpendicolare al piano ABC, e quindi alla retta AC. Ciò significa che il triangolo CC 1 A è rettangolo. Secondo il teorema di Pitagora:

Consideriamo triangolo rettangolo ABC. Secondo il teorema di Pitagora:

Ma BC e AD sono lati opposti del rettangolo. Quindi a.C. = d.C. Poi:

Perché , UN , Quello. Poiché CC 1 = AA 1, questo è ciò che occorreva dimostrare.

Le diagonali di un parallelepipedo rettangolo sono uguali.

Indichiamo le dimensioni del parallelepipedo ABC come a, b, c (vedi Fig. 6), quindi AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =

Teorema. In ogni parallelepipedo le facce opposte sono uguali e parallele.

Pertanto, le facce (Fig.) BB 1 C 1 C e AA 1 D 1 D sono parallele, perché due linee intersecanti BB 1 e B 1 C 1 di una faccia sono parallele a due linee intersecanti AA 1 e A 1 D 1 di l'altro. Queste facce sono uguali, poiché B 1 C 1 =A 1 D 1, B 1 B=A 1 A (come lati opposti dei parallelogrammi) e ∠BB 1 C 1 = ∠AA 1 D 1.

Teorema. In ogni parallelepipedo tutte e quattro le diagonali si intersecano in un punto e in esso sono divise in due.

Prendiamo (Fig.) alcune due diagonali del parallelepipedo, ad esempio AC 1 e DB 1, e tracciamo linee rette AB 1 e DC 1.


Poiché gli spigoli AD e B 1 C 1 sono rispettivamente uguali e paralleli allo spigolo BC, allora sono uguali e paralleli tra loro.

Di conseguenza, la figura ADC 1 B 1 è un parallelogramma in cui C 1 A e DB 1 sono diagonali, e in un parallelogramma le diagonali si intersecano a metà.

Questa dimostrazione può essere ripetuta per ogni due diagonali.

Pertanto, la diagonale AC 1 interseca BD 1 a metà, la diagonale BD 1 interseca A 1 C a metà.

Pertanto, tutte le diagonali si intersecano a metà e, quindi, in un punto.

Teorema. In un parallelepipedo rettangolare, il quadrato di una qualsiasi diagonale è uguale alla somma dei quadrati delle sue tre dimensioni.

Sia (Fig.) AC 1 una diagonale di un parallelepipedo rettangolare.


Disegnando AC, otteniamo due triangoli: AC 1 C e ACB. Entrambi sono rettangolari:


la prima perché il parallelepipedo è diritto, e quindi il bordo CC 1 è perpendicolare alla base,

la seconda perché il parallelepipedo è rettangolare, cioè alla sua base c'è un rettangolo.

Da questi triangoli troviamo:

AC 2 1 = AC 2 + CC 2 1 e AC 2 = AB 2 + BC 2


Pertanto AC 2 1 = AB 2 + BC 2 + CC 2 1 = AB 2 + AD 2 + AA 2 1

Conseguenza. In un parallelepipedo rettangolare tutte le diagonali sono uguali.

In una posizione non prima di una vocale, [th] è indicato dalla sua lettera - th, e prima delle vocali - [th] è indicato dalle lettere E, Yo, Yu, Ya, I, che in questo caso denotano due suoni: [ th] + vocale (ya, faro, annuncerà). Comprendere la composizione sonora delle parole in cui le lettere E, E, Yu, I, I denotano una combinazione di suoni [th] + vocale, sviluppa l'udito fonemico negli studenti, è una condizione necessaria piena differenziazione nella consapevolezza del bambino del suono e delle forme delle lettere della parola. È molto difficile sentire la sequenza di suoni [yi] nella posizione dopo il segno di divisione morbido (usignolo), poiché i suoni [y] e [i] sono acusticamente vicini l'uno all'altro. Ciò significa che questa combinazione dovrebbe essere considerata per ultima.

Metodologicamente, è consigliabile presentare materiale sui modi per designare il suono [th] in modo generale.

Per fare ciò, l'insegnante può, durante la lezione, elaborare con gli studenti dei diagrammi che mostrano la dipendenza della designazione [th] dalla sua posizione nella parola. Quando si scelgono le parole per gli esercizi, è meglio usare quelle in cui si trovano le lettere E, E, Yu, I sillabe accentate

, - nelle lettere non accentate, queste lettere possono denotare un suono vicino a [e], ad esempio ad[yi]. Alfabeto e composizione sonora della lingua russa. lingua Al fine di approfondire la comprensione da parte dello studente del rapporto tra la composizione fonemica del russo. lingua e l'alfabeto, è consigliabile confrontare il nastro di lettere noto ai bambini dal momento in cui studiavano l'alfabetizzazione con una tabella sulla quale è riportata l'intera composizione. Appeso accanto al tavolo secondo suoni di un nastro di lettere, puoi riflettere con gli scolari sulle domande: perché le lettere L, M, N, R, Y sono evidenziate sul nastro in?

Quante consonanti sonore non hanno coppie sorde? (Risposta: 9.) Quale suono tra i sonori spaiati non ha non solo una coppia senza voce ma anche una coppia dura?

Perché le lettere X, Ts, Ch, Shch sul nastro si trovano in un gruppo separato?

Domande che aiutano a comprendere meglio la relazione tra l'alfabeto e la composizione dei fonemi:

1. Quali suoni sono più comuni nella lingua russa: sonori o senza voce? Quante coppie di sonorità e sordità ci sono in totale?

2. Quanti suoni sono accoppiati in morbidezza e durezza?

3. Nomina i suoni sonori che non hanno coppie sonore e i suoni senza voce che non hanno coppie sonore. 4. Nomina i suoni deboli che non hanno coppie dure e i suoni duri che non hanno coppie morbide. Puoi dare al tuo lavoro con il tavolo una forma divertente.

Offriti di risolvere la parola in base alle sue caratteristiche: 1° suono - coppia di suoni afoni [b], 2° - suono vocale [u], 3° - coppia di suoni afoni [zh], 4° - coppia di suoni afoni [g' ], 5° – vocale suono [e], 6° – coppia solida suono [n’].

Organizzazione dell'analisi fonetico-grafica.

L'analisi fonetico-grafica è uno dei tipi di analisi delle lettere sonore. Il suo obiettivo è scoprire la relazione tra suoni e lettere in una parola. Compito dell'analisi fonetico-grafica è che lo studente osservi la sillabica pr-p russa su parole specifiche. grafica senza essere distratti da altri problemi.

Insegnanti esperti spiegano le regole di ortografia per le combinazioni ЖИ - ШИ in diversi modi. La prima spiegazione è un racconto grammaticale in cui le lettere Zh e Sh litigavano con la lettera Y, e Ch e Shch - con le lettere Ya e Yu. Da allora, queste lettere non hanno mai coesistito nella sillaba SG." Seconda spiegazione: ". Nella parola sci il suono L è duro, quindi dopo la lettera L scriviamo la lettera Y. Anche il suono Zh è duro, ma dopo la lettera Zh devi scrivere la lettera I: questo è ciò che le persone hanno concordato tra loro. Un tempo il suono Zh nella nostra lingua era debole, e da allora è rimasta la regola: dopo la lettera Zh non si scrive la lettera Y.” Quindi l'insegnante si attacca carta da lavagna, su cui in maiuscoloè scritto ZHI - SHI con la lettera che ho sottolineato, e gli studenti iniziano a scrivere le parole con questa combinazione di lettere, sottolineando la lettera I. (Ramzaeva T.G. “Lezioni di lingua russa in prima elementare”).

Nelle radici delle parole dopo C, I (anziché Y) è scritto prevalentemente: circo, narciso, compasso, citazione. Eccezioni: zingaro, pulcino, punta di piedi, pulcino, pulcino-pulcino (interiezione), pulcini e derivati ​​da essi.

Dopo C si scrive O: tsk, tsk, tsk. Nelle parole straniere, sia la o che la e sono scritte in posizione non accentata: Erzegovina, duca, duchessa.