Komplekse derivater. Logaritmisk afledt

På hvilken vi analyserede de enkleste derivater og stiftede bekendtskab med reglerne for differentiering og nogle tekniske metoder at finde derivater. Så hvis du ikke er særlig god med afledte funktioner eller nogle punkter i denne artikel ikke er helt klare, så læs først ovenstående lektion. Kom venligst i seriøst humør - materialet er ikke simpelt, men jeg vil alligevel forsøge at præsentere det enkelt og overskueligt.

I praksis med derivat kompleks funktion man skal stå over for meget ofte, vil jeg endda sige, næsten altid, når man får opgaver med at finde derivater.

Vi ser på tabellen ved reglen (nr. 5) for at differentiere en kompleks funktion:

Lad os finde ud af det. Først og fremmest, lad os være opmærksomme på posten. Her har vi to funktioner – og , og funktionen er billedligt talt indlejret i funktionen . En funktion af denne type (når en funktion er indlejret i en anden) kaldes en kompleks funktion.

Jeg vil kalde funktionen ekstern funktion, og funktionen – intern (eller indlejret) funktion.

! Disse definitioner er ikke teoretiske og bør ikke fremgå af den endelige udformning af opgaver. Jeg bruger uformelle udtryk "ekstern funktion", "intern" funktion kun for at gøre det lettere for dig at forstå materialet.

For at afklare situationen skal du overveje:

Eksempel 1

Find den afledede af en funktion

Under sinus har vi ikke kun bogstavet "X", men et helt udtryk, så det virker ikke at finde den afledede med det samme fra tabellen. Vi bemærker også, at det er umuligt at anvende de første fire regler her, der ser ud til at være en forskel, men faktum er, at sinus ikke kan "rives i stykker":

I i dette eksempel Det fremgår allerede intuitivt af mine forklaringer, at en funktion er en kompleks funktion, og polynomiet er en intern funktion (indlejring) og en ekstern funktion.

Første skridt hvad du skal gøre, når du skal finde den afledede af en kompleks funktion er at forstå hvilken funktion der er intern og hvilken der er ekstern.

I tilfælde af simple eksempler Det synes klart, at et polynomium er indlejret under sinus. Men hvad nu hvis alt ikke er indlysende? Hvordan bestemmer man præcist, hvilken funktion der er ekstern og hvilken der er intern? For at gøre dette foreslår jeg at bruge følgende teknik, som kan gøres mentalt eller i et udkast.

Lad os forestille os, at vi skal beregne værdien af udtrykket på en lommeregner (i stedet for et kan der være et hvilket som helst tal).

Hvad beregner vi først? Først og fremmest du skal udføre følgende handling: , derfor vil polynomiet være en intern funktion:

For det andet skal findes, så sinus – vil være en ekstern funktion:

Efter vi UDSOLGT med interne og eksterne funktioner er det tid til at anvende reglen om differentiering af komplekse funktioner .

Lad os begynde at bestemme. Fra lektionen Hvordan finder man derivatet? vi husker, at designet af en løsning til en hvilken som helst afledt altid begynder sådan - vi omslutter udtrykket i parentes og sætter et streg øverst til højre:

Først vi finder den afledede af den ydre funktion (sinus), ser på tabellen over afledte af elementære funktioner og bemærker, at . Alle tabelformler er også anvendelige, hvis "x" erstattes med et komplekst udtryk, i dette tilfælde:

bemærk det intern funktion har ikke ændret sig, vi rører det ikke.

Tja, det er helt indlysende

Resultatet af at anvende formlen i sin endelige form ser det sådan ud:

Konstantfaktoren placeres normalt i begyndelsen af udtrykket:

Hvis der er en misforståelse, så skriv løsningen ned på papir og læs forklaringerne igen.

Eksempel 2

Find den afledede af en funktion

Eksempel 3

Find den afledede af en funktion

Som altid skriver vi ned:

Lad os finde ud af, hvor vi har en ekstern funktion, og hvor vi har en intern. For at gøre dette forsøger vi (mentalt eller i et udkast) at beregne værdien af udtrykket ved . Hvad skal du gøre først? Først og fremmest skal du beregne, hvad basen er lig med: derfor er polynomiet den interne funktion:

Og kun derefter udføres eksponentieringen, derfor er potensfunktionen en ekstern funktion:

Ifølge formlen , først skal du finde den afledte af den eksterne funktion, i dette tilfælde graden. Vi leder efter den nødvendige formel i tabellen: . Vi gentager igen: enhver tabelformel er ikke kun gyldig for "X", men også for et komplekst udtryk. Således resultatet af at anvende reglen for differentiering af en kompleks funktion næste:

Jeg understreger igen, at når vi tager den afledede af den ydre funktion, ændres vores indre funktion ikke:

Nu er der kun tilbage at finde en meget simpel afledning af den interne funktion og justere resultatet lidt:

Eksempel 4

Find den afledede af en funktion

Dette er et eksempel, som du kan løse på egen hånd (svar sidst i lektionen).

For at konsolidere din forståelse af den afledte funktion af en kompleks funktion, vil jeg give et eksempel uden kommentarer, prøve at finde ud af det på egen hånd, begrunde hvor den eksterne og hvor den interne funktion er, hvorfor opgaverne løses på denne måde?

Eksempel 5

a) Find den afledede af funktionen

b) Find den afledede af funktionen

Eksempel 6

Find den afledede af en funktion

Her har vi en rod, og for at kunne differentiere roden skal den repræsenteres som en magt. Derfor bringer vi først funktionen i den form, der er passende til differentiering:

Ved at analysere funktionen kommer vi til den konklusion, at summen af de tre led er en intern funktion, og at hæve til en potens er en ekstern funktion. Vi anvender reglen om differentiering af komplekse funktioner :

Vi repræsenterer igen graden som en radikal (rod), og for den afledede af den interne funktion anvender vi en simpel regel til at differentiere summen:

Parat. Du kan også reducere udtrykket til en fællesnævner i parentes og skrive alt ned som én brøk. Det er selvfølgelig smukt, men når du får besværlige lange derivater, er det bedre ikke at gøre dette (det er nemt at blive forvirret, lave en unødvendig fejl, og det vil være ubelejligt for læreren at tjekke).

Eksempel 7

Find den afledede af en funktion

Dette er et eksempel, som du kan løse på egen hånd (svar sidst i lektionen).

Det er interessant at bemærke, at nogle gange i stedet for reglen for at differentiere en kompleks funktion, kan du bruge reglen til at differentiere en kvotient , men en sådan løsning vil ligne en usædvanlig perversion. Her er et typisk eksempel:

Eksempel 8

Find den afledede af en funktion

Her kan du bruge reglen om differentiering af kvotienten , men det er meget mere rentabelt at finde den afledede gennem reglen om differentiering af en kompleks funktion:

Vi forbereder funktionen til differentiering - vi flytter minus ud af det afledte fortegn og hæver cosinus til tælleren:

Cosinus er en intern funktion, eksponentiering er en ekstern funktion.
Lad os bruge vores regel :

Vi finder den afledede af den interne funktion og nulstiller cosinus igen:

Parat. I det betragtede eksempel er det vigtigt ikke at blive forvirret i skiltene. Prøv i øvrigt at løse det ved hjælp af reglen , skal svarene stemme overens.

Eksempel 9

Find den afledede af en funktion

Dette er et eksempel, som du kan løse på egen hånd (svar sidst i lektionen).

Indtil videre har vi set på tilfælde, hvor vi kun havde én rede i en kompleks funktion. I praktiske opgaver kan du ofte finde derivater, hvor der, ligesom nesting-dukker, den ene inde i den anden, er indlejret 3 eller endda 4-5 funktioner på én gang.

Eksempel 10

Find den afledede af en funktion

Lad os forstå vedhæftninger af denne funktion. Lad os prøve at beregne udtrykket ved hjælp af den eksperimentelle værdi. Hvordan ville vi regne med en lommeregner?

Først skal du finde , hvilket betyder, at arcsine er den dybeste indlejring:

Denne arcsinus af en skal så kvadreres:

Og til sidst hæver vi syv til en magt:

Det vil sige, at vi i dette eksempel har tre forskellige funktioner og to indlejringer, mens den inderste funktion er arcsinus, og den yderste funktion er den eksponentielle funktion.

Lad os begynde at bestemme

Ifølge reglen Først skal du tage den afledede af den ydre funktion. Vi ser på tabellen over afledte og finder den afledte eksponentiel funktion: Den eneste forskel er, at i stedet for "x" har vi et komplekst udtryk, som ikke afkræfter gyldigheden af denne formel. Så resultatet af at anvende reglen for at differentiere en kompleks funktion næste.

Når vi udleder den allerførste formel i tabellen, vil vi gå ud fra definitionen af den afledede funktion ved et punkt. Lad os tage hvorhen x– ethvert reelt tal, dvs. x– et hvilket som helst tal fra funktionens definitionsdomæne. Lad os nedskrive grænsen for forholdet mellem funktionens stigning og stigningen af argumentet ved:

Det skal bemærkes, at under grænsetegnet opnås udtrykket, som ikke er usikkerheden ved nul divideret med nul, da tælleren ikke indeholder en uendelig lille værdi, men præcis nul. Med andre ord er stigningen af en konstant funktion altid nul.

Således, afledet af en konstant funktioner lig med nul i hele definitionsdomænet.

Afledt af en potensfunktion.

Afledt formel power funktion ligner , hvor eksponenten s– ethvert reelt tal.

Lad os først bevise formlen for den naturlige eksponent, det vil sige for p = 1, 2, 3, …

Vi vil bruge definitionen af en afledt. Lad os nedskrive grænsen for forholdet mellem stigningen af en potensfunktion og stigningen af argumentet:

For at forenkle udtrykket i tælleren vender vi os til Newtons binomiale formel:

Derfor,

Dette beviser formlen for den afledede af en potensfunktion for en naturlig eksponent.

Afledt af en eksponentiel funktion.

Vi præsenterer afledningen af derivatformlen baseret på definitionen:

Vi er nået frem til usikkerhed. For at udvide den introducerer vi en ny variabel, og på . Så . I den sidste overgang brugte vi formlen for overgang til en ny logaritmisk base.

Lad os erstatte til den oprindelige grænse:

Hvis vi husker den anden bemærkelsesværdige grænse, kommer vi til formlen for den afledede af eksponentialfunktionen:

Afledt af en logaritmisk funktion.

Lad os bevise formlen for den afledede af en logaritmisk funktion for alle x fra definitionsdomænet og alle basens gyldige værdier -en logaritme Per definition af afledt har vi:

Som du har bemærket, blev transformationerne under beviset udført ved hjælp af logaritmens egenskaber. Lighed er sandt på grund af den anden bemærkelsesværdige grænse.

Afledninger af trigonometriske funktioner.

For at udlede formler for afledte trigonometriske funktioner, bliver vi nødt til at huske nogle trigonometriske formler, såvel som den første bemærkelsesværdige grænse.

Per definition af den afledede for sinusfunktionen har vi .

Lad os bruge sinusforskellen:

Det er tilbage at vende sig til den første bemærkelsesværdige grænse:

Altså den afledede af funktionen synd x Der er fordi x.

Formlen for derivatet af cosinus er bevist på nøjagtig samme måde.

Derfor er den afledede af funktionen fordi x Der er -synd x.

Vi vil udlede formler til tabellen over afledte for tangent og cotangens ved hjælp af beviste regler for differentiering (afledet af en brøk).

Derivater af hyperbolske funktioner.

Reglerne for differentiering og formlen for afledet af eksponentialfunktionen fra tabellen over afledte giver os mulighed for at udlede formler for afledte af den hyperbolske sinus, cosinus, tangent og cotangens.

Afledt af den inverse funktion.

For at undgå forvirring under præsentationen, lad os i sænket betegne argumentet for den funktion, hvorved differentiering udføres, det vil sige, det er den afledede af funktionen f(x) Ved x.

Lad os nu formulere regel for at finde den afledede af en invers funktion.

Lad funktionerne y = f(x) Og x = g(y) indbyrdes omvendt, defineret på intervallerne og hhv. Hvis der i et punkt er en endelig ikke-nul afledt af funktionen f(x), så er der i punktet en endelig afledt af den inverse funktion g(y), og . I et andet indlæg .

Denne regel kan omformuleres for evt x fra intervallet , så får vi .

Lad os tjekke gyldigheden af disse formler.

Lad os finde den inverse funktion for den naturlige logaritme (Her y er en funktion, og x- argument). Efter at have løst denne ligning for x, får vi (her x er en funktion, og y– hendes argument). det vil sige og gensidigt omvendte funktioner.

Fra tabellen over afledte ser vi det Og .

Lad os sikre os, at formlerne til at finde de afledte af den inverse funktion fører os til de samme resultater:

Afledt beregning- en af de vigtigste operationer i differentialregning. Nedenfor er en tabel til at finde afledte af simple funktioner. Mere komplekse regler differentiering, se andre lektioner:

Tabel over afledte eksponentielle og logaritmiske funktioner

Brug de givne formler som referenceværdier. De vil hjælpe med at løse differentialligninger og problemer. På billedet, i tabellen over afledte funktioner af simple funktioner, er der et "snydeark" af de vigtigste tilfælde af at finde et afledt i en form, der er forståelig til brug, ved siden af er der forklaringer for hvert enkelt tilfælde.

Afledninger af simple funktioner

1. Den afledte af et tal er nul
с´ = 0
Eksempel:
5' = 0

Forklaring:
Den afledte viser den hastighed, hvormed værdien af en funktion ændres, når dens argument ændres. Da tallet ikke ændres på nogen måde under nogen betingelser, er ændringshastigheden altid nul.

2. Afledt af en variabel lig med én
x´ = 1

Forklaring:
Med hver stigning af argument (x) med én, øges værdien af funktionen (resultatet af beregninger) med det samme beløb. Således er ændringshastigheden i værdien af funktionen y = x nøjagtigt lig med ændringshastigheden i værdien af argumentet.

3. Afledten af en variabel og en faktor er lig med denne faktor
сx´ = с
Eksempel:
(3x)' = 3
(2x)' = 2
Forklaring:
I dette tilfælde, hver gang funktionsargumentet ændres ( X) dens værdi (y) stiger i Med engang. Således er ændringshastigheden af funktionsværdien i forhold til ændringshastigheden af argumentet nøjagtigt lig med værdien Med.

Hvorfra følger det
(cx + b)" = c
dvs. differentialet for den lineære funktion y=kx+b er lig med hældning hældning af den rette linje (k).

4. Modulo afledt af en variabel lig med kvotienten af denne variabel til dens modul
|x|"= x / |x| forudsat at x ≠ 0
Forklaring:
Da den afledede af en variabel (se formel 2) er lig med enhed, afviger modulets afledte kun ved, at værdien af ændringshastigheden af funktionen ændres til det modsatte, når du krydser oprindelsespunktet (prøv at tegne en graf af funktionen y = |x| og se selv Dette er præcis hvilken værdi og returnerer udtrykket x / |x|< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - en. Altså hvornår negative værdier variabel x, for hver stigning i argumentet falder værdien af funktionen med nøjagtig samme værdi, og for positive stiger den tværtimod, men med nøjagtig samme værdi.

5. Afledt af en variabel til en potens lig med produktet af et tal af denne potens og en variabel til effekten reduceret med én
(x c)"= cx c-1, forudsat at x c og cx c-1 er defineret og c ≠ 0
Eksempel:
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
At huske formlen:
Flyt graden af variablen ned som en faktor, og reducer derefter selve graden med én. For eksempel, for x 2 - var de to foran x, og så gav den reducerede styrke (2-1 = 1) os simpelthen 2x. Det samme skete for x 3 - vi "flytter ned" triplen, reducerer den med en og i stedet for en terning har vi en firkant, det vil sige 3x 2. Lidt "uvidenskabeligt", men meget let at huske.

6.Afledt af en brøk 1/x
(1/x)" = - 1/x 2
Eksempel:
Da en brøk kan repræsenteres ved at hæve den til negativ grad
(1/x)" = (x -1)", så kan du anvende formlen fra regel 5 i tabellen over afledte
(x -1)" = -1x -2 = -1 / x 2

7. Afledt af en brøk med en variabel af vilkårlig grad i nævneren
(1 / x c)" = - c/x c+1
Eksempel:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3

8. Afledt af roden(afledt af variabel under kvadratrod)
(√x)" = 1 / (2√x) eller 1/2 x -1/2
Eksempel:
(√x)" = (x 1/2)" betyder, at du kan anvende formlen fra regel 5
(x 1/2)" = 1/2 x -1/2 = 1 / (2√x)

9. Afledt af en variabel under roden af en vilkårlig grad
(n √x)" = 1 / (n n √x n-1)

Komplekse derivater. Logaritmisk afledt.
Afledt af en potenseksponentiel funktion

Vi fortsætter med at forbedre vores differentieringsteknik. I denne lektion vil vi konsolidere det materiale, vi har dækket, se på mere komplekse afledte og også stifte bekendtskab med nye teknikker og tricks til at finde en afledt, især med den logaritmiske afledte.

De læsere, der har et lavt forberedelsesniveau, bør henvise til artiklen Hvordan finder man derivatet? Eksempler på løsninger, som giver dig mulighed for at hæve dine færdigheder næsten fra bunden. Dernæst skal du omhyggeligt studere siden Afledt af en kompleks funktion, forstå og løse Alle de eksempler jeg gav. Denne lektion logisk den tredje, og efter at have mestret det, vil du trygt differentiere ret komplekse funktioner. Det er uønsket at indtage holdningen "Hvor ellers? Ja, det er nok”, da alle eksempler og løsninger er taget fra ægte tests og ses ofte i praksis.

Lad os starte med gentagelser. I klassen Afledt af en kompleks funktion Vi så på en række eksempler med detaljerede kommentarer. Under studiet af differentialregning og andre afsnit matematisk analyse– du bliver nødt til at differentiere meget ofte, og det er ikke altid praktisk (og ikke altid nødvendigt) at beskrive eksempler i detaljer. Derfor vil vi øve os i at finde derivater mundtligt. De mest egnede "kandidater" til dette er afledte af de enkleste af komplekse funktioner, for eksempel:

Ifølge reglen om differentiering af komplekse funktioner :

Når man studerer andre matan-emner i fremtiden, er en sådan detaljeret optagelse oftest ikke nødvendig, antages det, at eleven ved, hvordan man finder sådanne afledte på autopilot. Lad os forestille os, at klokken 3 om morgenen ringede telefonen og behagelig stemme spurgte: "Hvad er den afledede af tangenten af to X'er?" Dette bør efterfølges af et næsten øjeblikkeligt og høfligt svar: .

Det første eksempel vil umiddelbart være beregnet til uafhængig løsning.

Eksempel 1

Find følgende derivater mundtligt, i én handling, for eksempel: . For at fuldføre opgaven skal du kun bruge tabel over afledte elementære funktioner(hvis du ikke har husket det endnu). Hvis du har problemer, anbefaler jeg, at du læser lektionen igen Afledt af en kompleks funktion.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, ,

Svar i slutningen af lektionen

Komplekse derivater

Efter indledende artilleriforberedelse vil eksempler med 3-4-5 rede af funktioner være mindre skræmmende. De følgende to eksempler kan virke komplicerede for nogle, men hvis du forstår dem (nogen vil lide), så vil næsten alt andet i differentialregning virke som en barnejoke.

Eksempel 2

Find den afledede af en funktion

Som allerede nævnt, når man finder derivatet af en kompleks funktion, er det først og fremmest nødvendigt Højre FORSTÅ dine investeringer. I tilfælde, hvor der er tvivl, minder jeg dig om brugbart trick: vi tager for eksempel den eksperimentelle betydning af "x", og forsøger (mentalt eller i et udkast) at erstatte denne betydning med det "forfærdelige udtryk".

1) Først skal vi beregne udtrykket, hvilket betyder, at summen er den dybeste indlejring.

2) Så skal du beregne logaritmen:

4) Sæt derefter cosinus i terninger:

5) På det femte trin er forskellen:

6) Og endelig er den mest eksterne funktion kvadratrod:

Formel til at differentiere en kompleks funktion anvendes i omvendt rækkefølge, fra den yderste funktion til den inderste. Vi beslutter:

Der er vist ingen fejl...

(1) Tag den afledede af kvadratroden.

(2) Vi tager den afledede af forskellen ved at bruge reglen

(3) Den afledte af en tripel er nul. I andet led tager vi den afledede af graden (terningen).

(4) Tag derivatet af cosinus.

(5) Tag den afledede af logaritmen.

(6) Og endelig tager vi derivatet af den dybeste indlejring.

Det kan virke for svært, men dette er ikke det mest brutale eksempel. Tag for eksempel Kuznetsovs samling, og du vil sætte pris på al skønheden og enkelheden i det analyserede derivat. Jeg bemærkede, at de kan lide at give en lignende ting i en eksamen for at kontrollere, om en studerende forstår, hvordan man finder den afledede af en kompleks funktion eller ikke forstår.

Følgende eksempel skal du løse på egen hånd.

Eksempel 3

Find den afledede af en funktion

Tip: Først anvender vi linearitetsreglerne og produktdifferentieringsreglen

Fuld løsning og svar i slutningen af lektionen.

Det er tid til at gå videre til noget mindre og pænere.
Det er ikke ualmindeligt, at et eksempel viser produktet af ikke to, men tre funktioner. Hvordan finder man den afledte af produktet af tre faktorer?

Eksempel 4

Find den afledede af en funktion

Lad os først se, om det er muligt at omdanne produktet af tre funktioner til produktet af to funktioner? For eksempel, hvis vi havde to polynomier i produktet, kunne vi åbne parenteserne. Men i det undersøgte eksempel er alle funktionerne forskellige: grad, eksponent og logaritme.

I sådanne tilfælde er det nødvendigt sekventielt anvende produktdifferentieringsreglen to gange

Tricket er, at vi med "y" betegner produktet af to funktioner: , og med "ve" betegner vi logaritmen: . Hvorfor kan dette lade sig gøre? Er det virkelig – dette er ikke et produkt af to faktorer, og reglen virker ikke?! Der er ikke noget kompliceret:

Nu er det tilbage at anvende reglen en anden gang til parentes:

Du kan også blive snoet og tage noget ud af parentes, men i dette tilfælde er det bedre at forlade svaret nøjagtigt i denne formular - det vil være lettere at kontrollere.

Det betragtede eksempel kan løses på den anden måde:

Begge løsninger er absolut ligeværdige.

Eksempel 5

Find den afledede af en funktion

Dette er et eksempel på at løse det selv i prøven er det løst ved hjælp af den første metode.

Lad os se på lignende eksempler med brøker.

Eksempel 6

Find den afledede af en funktion

Der er flere måder, du kan gå her:

Eller sådan her:

Men løsningen bliver skrevet mere kompakt, hvis vi først bruger reglen om differentiering af kvotienten , tager for hele tælleren:

I princippet er eksemplet løst, og hvis det efterlades som det er, vil det ikke være en fejl. Men hvis du har tid, er det altid tilrådeligt at tjekke udkastet for at se, om svaret kan forenkles? Lad os reducere tællerens udtryk til en fællesnævner og lad os slippe af med den tre-etagers fraktion:

Ulempen ved yderligere forenklinger er, at der er risiko for at begå en fejl, ikke når man finder den afledte, men under banale skoletransformationer. På den anden side afviser lærere ofte opgaven og beder om at "bringe det i tankerne" om det afledte.

Et lettere eksempel at løse på egen hånd:

Eksempel 7

Find den afledede af en funktion

Vi fortsætter med at mestre metoderne til at finde den afledede, og nu vil vi overveje et typisk tilfælde, hvor en "forfærdelig" logaritme foreslås til differentiering

Eksempel 8

Find den afledede af en funktion

Her kan du gå den lange vej ved at bruge reglen til at differentiere en kompleks funktion:

Men det allerførste skridt kaster dig straks ud i modløshed - du er nødt til at tage den ubehagelige afledning af brøkkraft, og så også fra brøken.

Det er derfor før hvordan man tager den afledede af en "sofistikeret" logaritme, det er først forenklet ved hjælp af velkendte skoleegenskaber:

! Hvis du har en øvelsesnotesbog ved hånden, skal du kopiere disse formler direkte dertil. Hvis du ikke har en notesbog, så kopier den over på et stykke papir, da de resterende eksempler i lektionen vil dreje sig om disse formler.

Selve løsningen kan skrives sådan her:

Lad os omdanne funktionen:

Sådan finder du den afledede:

Forhåndskonvertering af selve funktionen forenklede løsningen betydeligt. Når en lignende logaritme foreslås til differentiering, er det derfor altid tilrådeligt at "nedbryde den".

Og nu et par enkle eksempler, som du kan løse på egen hånd:

Eksempel 9

Find den afledede af en funktion

Eksempel 10

Find den afledede af en funktion

Alle transformationer og svar er i slutningen af lektionen.

Logaritmisk afledt

Hvis afledten af logaritmer er så sød musik, så opstår spørgsmålet: er det i nogle tilfælde muligt at organisere logaritmen kunstigt? Kan! Og endda nødvendigt.

Eksempel 11

Find den afledede af en funktion

Vi har for nylig set på lignende eksempler. Hvad skal man gøre? Du kan sekventielt anvende reglen om differentiering af kvotienten og derefter reglen om differentiering af produktet. Ulempen ved denne metode er, at du ender med en enorm tre-etagers fraktion, som du slet ikke ønsker at beskæftige dig med.

Men i teori og praksis er der sådan en vidunderlig ting som den logaritmiske afledte. Logaritmer kan organiseres kunstigt ved at "hænge" dem på begge sider:

Nu skal du "bryde" logaritmen på højre side så meget som muligt (formlerne foran dine øjne?). Jeg vil beskrive denne proces meget detaljeret:

Lad os starte med differentiering.
Vi afslutter begge dele under primeord:

Den afledte højre side er ret enkel, jeg vil ikke kommentere den, for hvis du læser denne tekst, burde du være i stand til at håndtere den med tillid.

Hvad med venstre side?

På venstre side har vi kompleks funktion. Jeg forudser spørgsmålet: "Hvorfor, er der et bogstav "Y" under logaritmen?"

Faktum er, at dette "et bogstavsspil" - ER SELV EN FUNKTION(hvis det ikke er meget tydeligt, henvises til artiklen Afledt af en funktion angivet implicit). Derfor er logaritmen en ekstern funktion, og "y" er en intern funktion. Og vi bruger reglen til at differentiere en kompleks funktion :

På venstre side, som ved et trylleslag, har vi en afledt. Dernæst overfører vi ifølge proportionsreglen "y" fra nævneren på venstre side til toppen af højre side:

Og lad os nu huske, hvilken slags "spiller"-funktion vi talte om under differentieringen? Lad os se på tilstanden:

Endeligt svar:

Eksempel 12

Find den afledede af en funktion

Dette er et eksempel, som du kan løse på egen hånd. Et eksempeldesign af et eksempel af denne type er i slutningen af lektionen.

Ved hjælp af den logaritmiske afledte var det muligt at løse et hvilket som helst af eksemplerne nr. 4-7, en anden ting er, at funktionerne der er enklere, og måske er brugen af den logaritmiske afledte ikke særlig berettiget.

Afledt af en potenseksponentiel funktion

Vi har ikke overvejet denne funktion endnu. En potenseksponentiel funktion er en funktion, for hvilken både graden og grundtallet afhænger af "x". Et klassisk eksempel, der vil blive givet til dig i enhver lærebog eller forelæsning:

Hvordan finder man den afledede af en potenseksponentiel funktion?

Det er nødvendigt at bruge den netop omtalte teknik - den logaritmiske afledte. Vi hænger logaritmer på begge sider:

Som regel tages graden på højre side fra under logaritmen:

Som et resultat har vi på højre side produktet af to funktioner, som vil blive differentieret i henhold til standardformlen .

Vi finder den afledede for at gøre dette, vi omslutter begge dele under streger:

Yderligere handlinger er enkle:

Endelig:

Hvis en konvertering ikke er helt klar, bedes du genlæse forklaringerne i eksempel #11 omhyggeligt.

I praktiske opgaver vil den potenseksponentielle funktion altid være mere kompliceret end det betragtede forelæsningseksempel.

Eksempel 13

Find den afledede af en funktion

Vi bruger den logaritmiske afledte.

På højre side har vi en konstant og produktet af to faktorer - "x" og "logaritme af logaritme x" (en anden logaritme er indlejret under logaritmen). Når man differentierer, som vi husker, er det bedre straks at flytte konstanten ud af det afledte tegn, så det ikke kommer i vejen; og selvfølgelig anvender vi den velkendte regel :

Som du kan se, indeholder algoritmen til brug af den logaritmiske afledte ingen specielle tricks eller tricks, og at finde den afledede af en potenseksponentiel funktion er normalt ikke forbundet med "pine".

Afledning af formlen for den afledede af en potensfunktion (x i a potensen). Afledte fra rødder af x betragtes. Formel for afledet af en højere ordens potensfunktion. Eksempler på beregning af derivater.

Den afledte af x i potensen af a er lig med a gange x i potensen af en minus en:
(1) .

Den afledte af den n'te rod af x til mth potens er:
(2) .

Afledning af formlen for den afledede af en potensfunktion

Tilfælde x > 0

Overvej en potensfunktion af variablen x med eksponent a:
(3) .
Her er a et vilkårligt reelt tal. Lad os først overveje sagen.

For at finde den afledede af funktion (3) bruger vi egenskaberne af en potensfunktion og transformerer den til følgende form:
.

Nu finder vi den afledte ved hjælp af:
;
.
Her .

Formel (1) er blevet bevist.

Afledning af formlen for afledet af roden af grad n af x til graden af m

Overvej nu en funktion, der er roden til følgende form:
(4) .

For at finde den afledede transformerer vi roden til en potensfunktion:
.
Sammenligner vi med formel (3) ser vi det
.
Så
.

Ved hjælp af formel (1) finder vi den afledede:
(1) ;
;
(2) .

I praksis er det ikke nødvendigt at huske formel (2). Det er meget mere bekvemt først at transformere rødderne til potensfunktioner og derefter finde deres afledte ved hjælp af formel (1) (se eksempler sidst på siden).

Tilfælde x = 0

Hvis , så er potensfunktionen defineret for værdien af variablen x = 0 . 0 Lad os finde den afledede af funktion (3) ved x =
.

. 0 :
.
I dette tilfælde mener vi med afledt den højre grænse for hvilken .

Så vi fandt:
.
Heraf er det klart, at for .
Kl , .
Kl , .
Dette resultat er også opnået fra formel (1):
(1) .
Derfor er formel (1) også gyldig for x = 0 .

Tilfælde x< 0

Overvej funktion (3) igen:
(3) .
For visse værdier af konstanten a er den også defineret for negative værdier af variablen x. Nemlig lad en være rationelt tal
,
. Så kan det repræsenteres som en irreducerbar brøk: hvor m og n er heltal uden.

fælles divisor 3 Hvis n er ulige, er potensfunktionen også defineret for negative værdier af variablen x. 1 For eksempel, når n =
.
og m =

vi har terningroden af x: Det er også defineret for negative værdier af variablen x. Lad os finde den afledede af potensfunktionen (3) for og for
.
rationelle værdier
.
konstant a, som den er defineret for. For at gøre dette skal du forestille dig x i følgende form:

.
Så
.
Vi finder den afledede ved at placere konstanten uden for fortegnet for den afledede og anvende reglen for at differentiere en kompleks funktion:
.
Så
.
Her . Men
(1) .

Siden da

Det vil sige, formel (1) er også gyldig for:
(3) .
Afledte af højere orden
.

Lad os nu finde højere ordens afledte af potensfunktionen
.
Vi har allerede fundet den første ordens afledte:
;

.

Tager vi konstanten a uden for fortegnet for den afledede, finder vi andenordens afledte: På samme måde finder vi afledte af tredje og fjerde orden: Heraf er det klart, at
.

afledt af vilkårlig n. orden har følgende form: Bemærk det hvis a er
.
naturligt tal
,
, så er den n'te afledede konstant: