Komplekse derivater. Logaritmisk derivert

På hvilken vi analyserte de enkleste derivatene, og også ble kjent med reglene for differensiering og noen tekniske metoder finne derivater. Derfor, hvis du ikke er veldig god med avledede funksjoner eller noen punkter i denne artikkelen ikke er helt klare, så les først leksjonen ovenfor. Vær så snill å kom i seriøs stemning - materialet er ikke enkelt, men jeg vil likevel prøve å presentere det enkelt og tydelig.

I praksis med derivat kompleks funksjon du må møte veldig ofte, vil jeg til og med si, nesten alltid, når du får oppgaver for å finne derivater.

Vi ser på tabellen ved regelen (nr. 5) for å differensiere en kompleks funksjon:

La oss finne ut av det. Først av alt, la oss ta hensyn til oppføringen. Her har vi to funksjoner - og , og funksjonen er billedlig talt nestet i funksjonen . En funksjon av denne typen (når en funksjon er nestet i en annen) kalles en kompleks funksjon.

Jeg vil kalle funksjonen ekstern funksjon, og funksjonen – intern (eller nestet) funksjon.

! Disse definisjonene er ikke teoretiske og skal ikke fremkomme i den endelige utformingen av oppgavene. Jeg bruker uformelle uttrykk "ekstern funksjon", "intern" funksjon kun for å gjøre det lettere for deg å forstå stoffet.

For å avklare situasjonen, vurder:

Eksempel 1

Finn den deriverte av en funksjon

Under sinusen har vi ikke bare bokstaven "X", men et helt uttrykk, så det vil ikke fungere å finne den deriverte med en gang fra tabellen. Vi legger også merke til at det er umulig å bruke de fire første reglene her, det ser ut til å være en forskjell, men faktum er at sinusen ikke kan "reves i stykker":

I i dette eksemplet Det er allerede intuitivt klart fra mine forklaringer at en funksjon er en kompleks funksjon, og polynomet er en intern funksjon (embedding), og en ekstern funksjon.

Første skritt det du må gjøre når du finner den deriverte av en kompleks funksjon er å forstå hvilken funksjon som er intern og hvilken som er ekstern.

Når enkle eksempler Det virker klart at et polynom er innebygd under sinusen. Men hva om alt ikke er åpenbart? Hvordan bestemme nøyaktig hvilken funksjon som er ekstern og hvilken som er intern? For å gjøre dette foreslår jeg å bruke følgende teknikk, som kan gjøres mentalt eller i et utkast.

La oss forestille oss at vi må bruke en kalkulator for å beregne verdien av uttrykket ved (i stedet for én kan det være et hvilket som helst tall).

Hva skal vi beregne først? Først av alt du må utføre følgende handling: , derfor vil polynomet være en intern funksjon:

for det andre må finnes, så sinus – vil være en ekstern funksjon:

Etter vi UTSOLGT med interne og eksterne funksjoner er det på tide å bruke regelen om differensiering av komplekse funksjoner .

La oss begynne å bestemme oss. Fra leksjonen Hvordan finne den deriverte? vi husker at utformingen av en løsning til en hvilken som helst derivat alltid begynner slik - vi omslutter uttrykket i parentes og setter et strøk øverst til høyre:

Først vi finner den deriverte av den ytre funksjonen (sinus), ser på tabellen over avledede av elementære funksjoner og legger merke til at . Alle tabellformler kan også brukes hvis "x" erstattes med et komplekst uttrykk, i dette tilfellet:

noter det intern funksjon har ikke endret seg, vi rører den ikke.

Vel, det er ganske åpenbart det

Resultatet av å bruke formelen i sin endelige form ser det slik ut:

Konstantfaktoren plasseres vanligvis i begynnelsen av uttrykket:

Hvis det er noen misforståelser, skriv ned løsningen på papir og les forklaringene på nytt.

Eksempel 2

Finn den deriverte av en funksjon

Eksempel 3

Finn den deriverte av en funksjon

Som alltid skriver vi ned:

La oss finne ut hvor vi har en ekstern funksjon og hvor vi har en intern. For å gjøre dette prøver vi (mentalt eller i et utkast) å beregne verdien av uttrykket ved . Hva bør du gjøre først? Først av alt må du beregne hva basen er lik: derfor er polynomet den interne funksjonen:

Og bare da utføres eksponentieringen, derfor er potensfunksjonen en ekstern funksjon:

I henhold til formelen , først må du finne den deriverte av den eksterne funksjonen, i dette tilfellet graden. Vi ser etter den nødvendige formelen i tabellen: . Vi gjentar igjen: enhver tabellformel er gyldig ikke bare for "X", men også for et komplekst uttrykk. Dermed resultatet av å bruke regelen for å differensiere en kompleks funksjon neste:

Jeg understreker igjen at når vi tar den deriverte av den ytre funksjonen, endres ikke vår indre funksjon:

Nå gjenstår det bare å finne en veldig enkel avledning av den interne funksjonen og justere resultatet litt:

Eksempel 4

Finn den deriverte av en funksjon

Dette er et eksempel du kan løse på egen hånd (svar på slutten av leksjonen).

For å konsolidere din forståelse av den deriverte av en kompleks funksjon, vil jeg gi et eksempel uten kommentarer, prøve å finne ut av det på egen hånd, begrunne hvor den eksterne og hvor den interne funksjonen er, hvorfor oppgavene løses på denne måten?

Eksempel 5

a) Finn den deriverte av funksjonen

b) Finn den deriverte av funksjonen

Eksempel 6

Finn den deriverte av en funksjon

Her har vi en rot, og for å skille roten må den representeres som en kraft. Derfor bringer vi først funksjonen til den formen som passer for differensiering:

Ved å analysere funksjonen kommer vi til at summen av de tre leddene er en intern funksjon, og å heve til en potens er en ekstern funksjon. Vi bruker regelen om differensiering av komplekse funksjoner :

Vi representerer igjen graden som en radikal (rot), og for den deriverte av den interne funksjonen bruker vi en enkel regel for å differensiere summen:

Klar. Du kan også redusere uttrykket til en fellesnevner i parentes og skrive alt ned som én brøk. Det er selvfølgelig vakkert, men når du får tungvinte lange derivater, er det bedre å ikke gjøre dette (det er lett å bli forvirret, gjøre en unødvendig feil, og det vil være upraktisk for læreren å sjekke).

Eksempel 7

Finn den deriverte av en funksjon

Dette er et eksempel du kan løse på egen hånd (svar på slutten av leksjonen).

Det er interessant å merke seg at noen ganger i stedet for regelen for å differensiere en kompleks funksjon, kan du bruke regelen for å differensiere en kvotient , men en slik løsning vil se ut som en uvanlig perversjon. Her er et typisk eksempel:

Eksempel 8

Finn den deriverte av en funksjon

Her kan du bruke regelen om differensiering av kvotienten , men det er mye mer lønnsomt å finne den deriverte gjennom regelen for differensiering av en kompleks funksjon:

Vi forbereder funksjonen for differensiering - vi flytter minus ut av det deriverte tegnet, og hever cosinus til telleren:

Cosinus er en intern funksjon, eksponentiering er en ekstern funksjon.
La oss bruke vår regel :

Vi finner den deriverte av den interne funksjonen og tilbakestiller cosinus:

Klar. I det betraktede eksemplet er det viktig å ikke bli forvirret i skiltene. Forresten, prøv å løse det ved å bruke regelen , må svarene samsvare.

Eksempel 9

Finn den deriverte av en funksjon

Dette er et eksempel du kan løse på egen hånd (svar på slutten av leksjonen).

Så langt har vi sett på tilfeller der vi kun hadde én hekking i en kompleks funksjon. I praktiske oppgaver kan du ofte finne derivater, der, som hekkende dukker, den ene inne i den andre, 3 eller til og med 4-5 funksjoner er nestet samtidig.

Eksempel 10

Finn den deriverte av en funksjon

La oss forstå vedleggene til denne funksjonen. La oss prøve å beregne uttrykket ved å bruke den eksperimentelle verdien. Hvordan vil vi regne med en kalkulator?

Først må du finne , som betyr at arcsine er den dypeste innebyggingen:

Denne arcsinen til en skal da kvadrateres:

Og til slutt hever vi syv til en makt:

Det vil si at vi i dette eksemplet har tre ulike funksjoner og to innbygginger, mens den innerste funksjonen er arcsinus, og den ytterste funksjonen er eksponentialfunksjonen.

La oss begynne å bestemme oss

I følge regelen Først må du ta den deriverte av den ytre funksjonen. Vi ser på tabellen over deriverte og finner den deriverte eksponentiell funksjon: Den eneste forskjellen er at i stedet for "x" har vi et komplekst uttrykk, som ikke opphever gyldigheten til denne formelen. Så resultatet av å bruke regelen for å differensiere en kompleks funksjon neste.

Når vi utleder den aller første formelen i tabellen, vil vi gå ut fra definisjonen av den deriverte funksjonen ved et punkt. La oss ta hvor x– et hvilket som helst reelt tall, det vil si x– et hvilket som helst tall fra definisjonsdomenet til funksjonen. La oss skrive ned grensen for forholdet mellom økningen av funksjonen og økningen av argumentet ved:

Det skal bemerkes at under grensetegnet oppnås uttrykket, som ikke er usikkerheten til null delt på null, siden telleren ikke inneholder en uendelig verdi, men nøyaktig null. Med andre ord er økningen av en konstant funksjon alltid null.

Dermed, derivert av en konstant funksjoner lik null i hele definisjonsdomenet.

Derivat av en potensfunksjon.

Derivatformel strømfunksjon ser ut som , hvor eksponenten s– et hvilket som helst reelt tall.

La oss først bevise formelen for den naturlige eksponenten, det vil si for p = 1, 2, 3, …

Vi vil bruke definisjonen av derivat. La oss skrive ned grensen for forholdet mellom økningen av en potensfunksjon og økningen av argumentet:

For å forenkle uttrykket i telleren, går vi til Newtons binomialformel:

Derfor,

Dette beviser formelen for den deriverte av en potensfunksjon for en naturlig eksponent.

Derivert av en eksponentiell funksjon.

Vi presenterer avledningen av derivatformelen basert på definisjonen:

Vi har kommet til usikkerhet. For å utvide den introduserer vi en ny variabel, og på . Deretter . I den siste overgangen brukte vi formelen for overgang til en ny logaritmisk base.

La oss bytte inn i den opprinnelige grensen:

Hvis vi husker den andre bemerkelsesverdige grensen, kommer vi til formelen for den deriverte av eksponentialfunksjonen:

Derivert av en logaritmisk funksjon.

La oss bevise formelen for den deriverte av en logaritmisk funksjon for alle x fra definisjonsdomenet og alle gyldige verdier av basen en logaritme Per definisjon av derivat har vi:

Som du la merke til, under beviset ble transformasjonene utført ved å bruke egenskapene til logaritmen. Likestilling er sant på grunn av den andre bemerkelsesverdige grensen.

Derivater av trigonometriske funksjoner.

For å utlede formler for derivater av trigonometriske funksjoner, må vi huske noen trigonometriformler, så vel som den første bemerkelsesverdige grensen.

Per definisjon av den deriverte for sinusfunksjonen vi har .

La oss bruke forskjellen på sines-formelen:

Det gjenstår å vende seg til den første bemerkelsesverdige grensen:

Altså den deriverte av funksjonen synd x Det er fordi x.

Formelen for derivatet av cosinus er bevist på nøyaktig samme måte.

Derfor er den deriverte av funksjonen fordi x Det er –sin x.

Vi vil utlede formlene for tabellen med deriverte for tangent og cotangens ved å bruke påviste differensieringsregler (deriverte av en brøk).

Derivater av hyperbolske funksjoner.

Reglene for differensiering og formelen for den deriverte av eksponentialfunksjonen fra tabellen med deriverte tillater oss å utlede formler for de deriverte av hyperbolsk sinus, cosinus, tangens og cotangens.

Derivert av den inverse funksjonen.

For å unngå forvirring under presentasjonen, la oss betegne argumentet til funksjonen som differensiering utføres med, det vil si at det er den deriverte av funksjonen f(x) Av x.

La oss nå formulere regel for å finne den deriverte av en invers funksjon.

La funksjonene y = f(x) Og x = g(y) gjensidig invers, definert på intervallene og hhv. Hvis det på et punkt er en endelig ikke-null derivert av funksjonen f(x), så er det i punktet en endelig derivert av den inverse funksjonen g(y), og . I et annet innlegg .

Denne regelen kan omformuleres for alle x fra intervallet , så får vi .

La oss sjekke gyldigheten til disse formlene.

La oss finne den inverse funksjonen for den naturlige logaritmen (Her y er en funksjon, og x- argument). Etter å ha løst denne ligningen for x, får vi (her x er en funksjon, og y– hennes argument). Det er, og gjensidig inverse funksjoner.

Fra tabellen over derivater ser vi det Og .

La oss sørge for at formlene for å finne de deriverte av den inverse funksjonen fører oss til de samme resultatene:

Avledet beregning- en av de viktigste operasjonene i differensialregning. Nedenfor er en tabell for å finne deriverte av enkle funksjoner. Mer komplekse regler differensiering, se andre leksjoner:

Tabell over deriverte av eksponentielle og logaritmiske funksjoner

Bruk de gitte formlene som referanseverdier. De vil hjelpe til med å løse differensialligninger og problemer. På bildet, i tabellen over derivater av enkle funksjoner, er det et "jukseark" med hovedtilfellene for å finne et derivat i en form som er forståelig for bruk, ved siden av er det forklaringer for hvert tilfelle.

Derivater av enkle funksjoner

1. Den deriverte av et tall er null
с´ = 0
Eksempel:
5' = 0

Forklaring:
Den deriverte viser hastigheten med hvilken verdien av en funksjon endres når argumentet endres. Siden tallet ikke endres på noen måte under noen forhold, er endringshastigheten alltid null.

2. Derivat av en variabel lik en
x´ = 1

Forklaring:
Med hver økning av argument (x) med én, øker verdien av funksjonen (resultatet av beregninger) med samme beløp. Dermed er endringshastigheten i verdien av funksjonen y = x nøyaktig lik endringshastigheten i verdien av argumentet.

3. Den deriverte av en variabel og en faktor er lik denne faktoren
сx´ = с
Eksempel:
(3x)' = 3
(2x)' = 2
Forklaring:
I dette tilfellet, hver gang funksjonsargumentet endres ( X) dens verdi (y) øker i Med en gang. Dermed er endringshastigheten til funksjonsverdien i forhold til endringshastigheten til argumentet nøyaktig lik verdien Med.

Hvorfra følger det
(cx + b)" = c
det vil si at differensialen til den lineære funksjonen y=kx+b er lik skråningen rett linjehelling (k).

4. Modulo-derivert av en variabel lik kvotienten til denne variabelen til dens modul
|x|"= x / |x| forutsatt at x ≠ 0
Forklaring:
Siden den deriverte av en variabel (se formel 2) er lik enhet, skiller den deriverte av modulen seg bare ved at verdien av endringshastigheten til funksjonen endres til det motsatte når du krysser opprinnelsespunktet (prøv å tegne en graf av funksjonen y = |x| og se selv Dette er nøyaktig hvilken verdi og returnerer uttrykket x / |x|< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - en. Det vil si når negative verdier variabel x, med hver økning i argument, synker verdien av funksjonen med nøyaktig samme verdi, og for positive øker den tvert imot, men med nøyaktig samme verdi.

5. Derivert av en variabel til en potens lik produktet av et tall av denne potensen og en variabel til potensen redusert med én
(x c)"= cx c-1, forutsatt at x c og cx c-1 er definert og c ≠ 0
Eksempel:
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
For å huske formelen:
Flytt graden av variabelen ned som en faktor, og reduser deretter selve graden med én. For eksempel, for x 2 - de to var foran x, og så ga den reduserte kraften (2-1 = 1) oss ganske enkelt 2x. Det samme skjedde for x 3 - vi "flytter ned" trippelen, reduserer den med en og i stedet for en terning har vi en firkant, det vil si 3x 2. Litt "uvitenskapelig", men veldig lett å huske.

6.Derivat av en brøk 1/x
(1/x)" = - 1 / x 2
Eksempel:
Siden en brøk kan representeres ved å heve den til negativ grad
(1/x)" = (x -1)", så kan du bruke formelen fra regel 5 i tabellen med derivater
(x -1)" = -1x -2 = - 1 / x 2

7. Derivat av en brøk med en variabel av vilkårlig grad i nevneren
(1 / x c)" = - c / x c+1
Eksempel:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3

8. Derivat av roten(derivert av variabel under kvadratrot)
(√x)" = 1 / (2√x) eller 1/2 x -1/2
Eksempel:
(√x)" = (x 1/2)" betyr at du kan bruke formelen fra regel 5
(x 1/2)" = 1/2 x -1/2 = 1 / (2√x)

9. Derivert av en variabel under roten av en vilkårlig grad
(n √x)" = 1 / (n n √x n-1)

Komplekse derivater. Logaritmisk derivert.
Derivert av en potens-eksponentiell funksjon

Vi fortsetter å forbedre vår differensieringsteknikk. I denne leksjonen vil vi konsolidere materialet vi har dekket, se på mer komplekse derivater, og også bli kjent med nye teknikker og triks for å finne en derivat, spesielt med den logaritmiske derivater.

De leserne som har et lavt forberedelsesnivå bør henvise til artikkelen Hvordan finne den deriverte? Eksempler på løsninger, som lar deg heve ferdighetene dine nesten fra bunnen av. Deretter må du studere siden nøye Derivat av en kompleks funksjon, forstå og løse Alle eksemplene jeg ga. Denne leksjonen logisk sett den tredje, og etter å ha mestret det, vil du trygt skille ganske komplekse funksjoner. Det er uønsket å innta posisjonen «Hvor ellers? Ja, det er nok, siden alle eksempler og løsninger er hentet fra ekte tester og blir ofte møtt i praksis.

La oss starte med repetisjon. På timen Derivat av en kompleks funksjon Vi så på en rekke eksempler med detaljerte kommentarer. Under studiet av differensialregning og andre seksjoner matematisk analyse– du må skille veldig ofte, og det er ikke alltid praktisk (og ikke alltid nødvendig) å beskrive eksempler i detalj. Derfor vil vi øve på å finne derivater muntlig. De mest egnede "kandidatene" for dette er derivater av de enkleste av komplekse funksjoner, for eksempel:

I henhold til regelen om differensiering av komplekse funksjoner :

Når man studerer andre matan-emner i fremtiden, er et slikt detaljert opptak som oftest ikke nødvendig, det antas at studenten vet hvordan man finner slike derivater på autopilot. La oss tenke oss at klokken 3 om morgenen ringte telefonen og en hyggelig stemme spurte: "Hva er den deriverte av tangenten til to X-er?" Dette bør etterfølges av et nesten øyeblikkelig og høflig svar: .

Det første eksemplet vil umiddelbart være ment for uavhengig løsning.

Eksempel 1

Finn følgende derivater muntlig, i én handling, for eksempel: . For å fullføre oppgaven trenger du bare å bruke tabell over derivater av elementære funksjoner(hvis du ikke har husket det ennå). Hvis du har noen problemer, anbefaler jeg å lese leksjonen på nytt Derivat av en kompleks funksjon.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, ,

Svar på slutten av leksjonen

Komplekse derivater

Etter foreløpig artilleriforberedelse vil eksempler med 3-4-5 hekker av funksjoner være mindre skumle. De følgende to eksemplene kan virke kompliserte for noen, men hvis du forstår dem (noen vil lide), vil nesten alt annet i differensialregning virke som en barnespøk.

Eksempel 2

Finn den deriverte av en funksjon

Som allerede nevnt, når du finner derivatet av en kompleks funksjon, er det først og fremst nødvendig Ikke sant FORSTÅ investeringene dine. I tilfeller der det er tvil minner jeg deg på nyttig triks: vi tar for eksempel den eksperimentelle betydningen av "x", og prøver (mentalt eller i et utkast) å erstatte denne betydningen med det "forferdelige uttrykket".

1) Først må vi beregne uttrykket, som betyr at summen er den dypeste innebyggingen.

2) Deretter må du beregne logaritmen:

4) Deretter kuber cosinus:

5) På det femte trinnet er forskjellen:

6) Og til slutt, den mest eksterne funksjonen er Kvadratrot:

Formel for å differensiere en kompleks funksjon brukes i omvendt rekkefølge, fra den ytterste funksjonen til den innerste. Vi bestemmer:

Det ser ikke ut til å være noen feil...

(1) Ta den deriverte av kvadratroten.

(2) Vi tar den deriverte av differansen ved å bruke regelen

(3) Den deriverte av en trippel er null. I andre ledd tar vi den deriverte av graden (kuben).

(4) Ta derivatet av cosinus.

(5) Ta den deriverte av logaritmen.

(6) Og til slutt tar vi derivatet av den dypeste innebyggingen.

Det kan virke for vanskelig, men dette er ikke det mest brutale eksemplet. Ta for eksempel Kuznetsovs samling, og du vil sette pris på all skjønnheten og enkelheten til det analyserte derivatet. Jeg la merke til at de liker å gi en lignende ting i en eksamen for å sjekke om en student forstår hvordan man finner den deriverte av en kompleks funksjon eller ikke forstår.

Følgende eksempel er for deg å løse på egen hånd.

Eksempel 3

Finn den deriverte av en funksjon

Hint: Først bruker vi linearitetsreglene og produktdifferensieringsregelen

Full løsning og svar på slutten av timen.

Det er på tide å gå videre til noe mindre og finere.
Det er ikke uvanlig at et eksempel viser produktet av ikke to, men tre funksjoner. Hvordan finne den deriverte av produktet av tre faktorer?

Eksempel 4

Finn den deriverte av en funksjon

Først ser vi, er det mulig å gjøre produktet av tre funksjoner til produktet av to funksjoner? Hvis vi for eksempel hadde to polynomer i produktet, kunne vi åpne parentesene. Men i eksemplet under vurdering er alle funksjonene forskjellige: grad, eksponent og logaritme.

I slike tilfeller er det nødvendig sekvensielt bruke produktdifferensieringsregelen to ganger

Trikset er at vi med «y» betegner produktet av to funksjoner: , og med «ve» betegner vi logaritmen: . Hvorfor kan dette gjøres? er det mulig – dette er ikke et produkt av to faktorer og regelen fungerer ikke?! Det er ikke noe komplisert:

Nå gjenstår det å bruke regelen en gang til til brakett:

Du kan også bli vridd og ta noe ut av parentes, men i dette tilfellet er det bedre å la svaret nøyaktig i dette skjemaet - det vil være lettere å sjekke.

Det betraktede eksemplet kan løses på den andre måten:

Begge løsningene er helt like.

Eksempel 5

Finn den deriverte av en funksjon

Dette er et eksempel på en uavhengig løsning i utvalget det er løst ved hjelp av den første metoden.

La oss se på lignende eksempler med brøker.

Eksempel 6

Finn den deriverte av en funksjon

Det er flere måter du kan gå her:

Eller slik:

Men løsningen vil skrives mer kompakt hvis vi først bruker regelen om differensiering av kvotienten , tar for hele telleren:

I prinsippet er eksemplet løst, og hvis det blir stående som det er, vil det ikke være en feil. Men hvis du har tid, er det alltid lurt å sjekke utkastet for å se om svaret kan forenkles? La oss redusere uttrykket av telleren til en fellesnevner og la oss bli kvitt den tre-etasjers brøken:

Ulempen med ytterligere forenklinger er at det er en risiko for å gjøre feil ikke når man finner den deriverte, men under banale skoletransformasjoner. På den annen side avviser lærere ofte oppgaven og ber om å "minne det på det" avledet.

Et enklere eksempel å løse på egen hånd:

Eksempel 7

Finn den deriverte av en funksjon

Vi fortsetter å mestre metodene for å finne den deriverte, og nå vil vi vurdere et typisk tilfelle når en "forferdelig" logaritme foreslås for differensiering

Eksempel 8

Finn den deriverte av en funksjon

Her kan du gå langt ved å bruke regelen for å differensiere en kompleks funksjon:

Men det aller første skrittet kaster deg umiddelbart ut i motløshet - du må ta det ubehagelige avledet av brøkkraft, og da også fra brøken.

Derfor før hvordan ta den deriverte av en "sofistikert" logaritme, den forenkles først ved å bruke kjente skoleegenskaper:

! Hvis du har en øvelsesnotatbok for hånden, kopier disse formlene direkte dit. Hvis du ikke har en notatbok, kopier dem over på et stykke papir, siden de resterende eksemplene i leksjonen vil dreie seg om disse formlene.

Selve løsningen kan skrives slik:

La oss transformere funksjonen:

Finne den deriverte:

Forhåndskonvertering av selve funksjonen forenklet løsningen betraktelig. Når en lignende logaritme foreslås for differensiering, er det derfor alltid tilrådelig å "bryte den ned".

Og nå et par enkle eksempler som du kan løse på egen hånd:

Eksempel 9

Finn den deriverte av en funksjon

Eksempel 10

Finn den deriverte av en funksjon

Alle transformasjoner og svar er på slutten av leksjonen.

Logaritmisk derivert

Hvis den deriverte av logaritmer er så søt musikk, oppstår spørsmålet: er det i noen tilfeller mulig å organisere logaritmen kunstig? Kan! Og til og med nødvendig.

Eksempel 11

Finn den deriverte av en funksjon

Vi har nylig sett på lignende eksempler. Hva å gjøre? Du kan sekvensielt bruke regelen for differensiering av kvotienten, og deretter regelen for differensiering av produktet. Ulempen med denne metoden er at du ender opp med en enorm tre-etasjers brøkdel, som du ikke ønsker å håndtere i det hele tatt.

Men i teori og praksis er det en så fantastisk ting som den logaritmiske deriverte. Logaritmer kan organiseres kunstig ved å "henge" dem på begge sider:

Nå må du "oppløse" logaritmen til høyre side så mye som mulig (formler foran øynene dine?). Jeg vil beskrive denne prosessen i detalj:

La oss starte med differensiering.
Vi konkluderer begge deler under primtall:

Avledningen av høyresiden er ganske enkel, jeg vil ikke kommentere den, for hvis du leser denne teksten, bør du kunne håndtere den med trygghet.

Hva med venstre side?

På venstre side har vi kompleks funksjon. Jeg forutser spørsmålet: "Hvorfor, er det én bokstav "Y" under logaritmen?"

Faktum er at dette "en bokstav spillet" - ER SELV EN FUNKSJON(hvis det ikke er veldig tydelig, se artikkelen Derivert av en funksjon spesifisert implisitt). Derfor er logaritmen en ekstern funksjon, og "y" er en intern funksjon. Og vi bruker regelen for å differensiere en kompleks funksjon :

På venstre side, som ved et trylleslag, har vi en derivativ. I henhold til proporsjonsregelen overfører vi deretter "y" fra nevneren på venstre side til toppen av høyre side:

Og la oss nå huske hva slags "spiller"-funksjon vi snakket om under differensiering? La oss se på tilstanden:

Endelig svar:

Eksempel 12

Finn den deriverte av en funksjon

Dette er et eksempel du kan løse på egen hånd. Et eksempeldesign av et eksempel av denne typen er på slutten av leksjonen.

Ved å bruke den logaritmiske deriverte var det mulig å løse et hvilket som helst av eksemplene nr. 4-7, en annen ting er at funksjonene der er enklere, og kanskje er bruken av den logaritmiske deriverte lite berettiget.

Derivert av en potens-eksponentiell funksjon

Vi har ikke vurdert denne funksjonen ennå. En potens-eksponentiell funksjon er en funksjon som både graden og grunntallet avhenger av "x". Et klassisk eksempel som vil bli gitt til deg i enhver lærebok eller forelesning:

Hvordan finne den deriverte av en potens-eksponentiell funksjon?

Det er nødvendig å bruke teknikken som nettopp er diskutert - den logaritmiske deriverte. Vi henger logaritmer på begge sider:

Som regel tas graden på høyre side ut fra logaritmen:

Som et resultat, på høyre side har vi produktet av to funksjoner, som vil bli differensiert i henhold til standardformelen .

Vi finner den deriverte for å gjøre dette, vi omslutter begge deler under streker:

Ytterligere handlinger er enkle:

Endelig:

Hvis en konvertering ikke er helt klar, vennligst les forklaringene i eksempel #11 nøye på nytt.

I praktiske oppgaver vil potens-eksponentialfunksjonen alltid være mer kompleks enn det omtalte forelesningseksemplet.

Eksempel 13

Finn den deriverte av en funksjon

Vi bruker den logaritmiske deriverte.

På høyre side har vi en konstant og produktet av to faktorer - "x" og "logaritmen av logaritmen x" (en annen logaritme er nestet under logaritmen). Når du differensierer, som vi husker, er det bedre å umiddelbart flytte konstanten ut av det deriverte tegnet slik at det ikke kommer i veien; og selvfølgelig bruker vi den kjente regelen :

Som du kan se, inneholder ikke algoritmen for bruk av den logaritmiske deriverte noen spesielle triks eller triks, og å finne den deriverte av en potenseksponentiell funksjon er vanligvis ikke assosiert med "pine."

Derivasjon av formelen for den deriverte av en potensfunksjon (x i potensen av a). Derivater fra røttene til x vurderes. Formel for den deriverte av en potensfunksjon av høyere orden. Eksempler på beregning av derivater.

Den deriverte av x i potensen av a er lik a ganger x i potensen av en minus en:
(1) .

Den deriverte av den n-te roten av x til mte potens er:
(2) .

Avledning av formelen for den deriverte av en potensfunksjon

Sak x > 0

Tenk på en potensfunksjon av variabelen x med eksponent a:
(3) .
Her er a et vilkårlig reelt tall. La oss først vurdere saken.

For å finne den deriverte av funksjon (3), bruker vi egenskapene til en potensfunksjon og transformerer den til følgende form:
.

Nå finner vi den deriverte ved å bruke:
;
.
Her .

Formel (1) er bevist.

Avledning av formelen for den deriverte av en rot av grad n av x til graden av m

Tenk nå på en funksjon som er roten til følgende form:
(4) .

For å finne den deriverte transformerer vi roten til en potensfunksjon:
.
Sammenligner vi med formel (3) ser vi det
.
Deretter
.

Ved å bruke formel (1) finner vi den deriverte:
(1) ;
;
(2) .

I praksis er det ikke nødvendig å memorere formel (2). Det er mye mer praktisk å først transformere røttene til potensfunksjoner, og deretter finne deres deriverte ved å bruke formel (1) (se eksempler på slutten av siden).

Tilfelle x = 0

Hvis , er potensfunksjonen definert for verdien av variabelen x = 0 . 0 La oss finne den deriverte av funksjon (3) ved x =
.

. 0 :
.
I dette tilfellet mener vi med avledet den høyre grensen for hvilken .

Så vi fant:
.
Av dette er det klart at for .
Kl , .
Kl , .
Dette resultatet er også hentet fra formel (1):
(1) .
Derfor er formel (1) også gyldig for x = 0 .

Tilfelle x< 0

Vurder funksjon (3) igjen:
(3) .
For visse verdier av konstanten a er den også definert for negative verdier av variabelen x. Nemlig la være rasjonalt tall
,
. Da kan det representeres som en irreduserbar brøk: hvor m og n er heltall uten.

felles deler 3 Hvis n er oddetall, er potensfunksjonen også definert for negative verdier av variabelen x. 1 For eksempel når n =
.
og m =

vi har terningroten av x: Det er også definert for negative verdier av variabelen x. La oss finne den deriverte av potensfunksjonen (3) for og for
.
rasjonelle verdier
.
konstant a som den er definert for. For å gjøre dette, la oss representere x i følgende form:

.
Deretter ,
.
Vi finner den deriverte ved å plassere konstanten utenfor tegnet til den deriverte og bruke regelen for å differensiere en kompleks funksjon:
.
Deretter
.
Her . Men
(1) .

Siden da

Det vil si at formel (1) også er gyldig for:
(3) .
Høyere ordens derivater
.

La oss nå finne høyere ordens deriverte av potensfunksjonen
.
Vi har allerede funnet den første ordensderiverten:
;

.

Ved å ta konstanten a utenfor tegnet til den deriverte, finner vi andreordens deriverte: På samme måte finner vi derivater av tredje og fjerde orden: Av dette er det klart at
.

avledet av vilkårlig n-te orden har følgende form: Legg merke til det hvis a er
.
naturlig tall
,
, da er den n-te deriverte konstant: