Det er noe slikt i matematikk som grensen for en funksjon. For å forstå hvordan du finner grenser, må du huske definisjonen av grensen til en funksjon: en funksjon f (x) har en grense L i et punkt x = a if for hver sekvens av verdier av x som konvergerer til punkt a, sekvensen av verdier til y nærmer seg:

• L lim f(x) = L

Konsept og egenskaper ved grenser

Hva en grense er kan forstås ut fra et eksempel. Anta at vi har funksjonen y=1/x. Hvis vi konsekvent øker verdien av x og ser på hva y er lik, vil vi få stadig mer avtagende verdier: ved x=10000 y=1/10000; ved x=1000000 y=1/1000000. De. jo mer x, jo mindre y. Hvis x=∞, vil y være så liten at den kan anses som lik 0. Dermed er grensen for funksjonen y=1/x da x har en tendens til ∞ lik 0. Det skrives slik:

• lim1/х=0

Grensen til en funksjon har flere egenskaper som du må huske: dette vil i stor grad gjøre det lettere å løse problemer med å finne grenser:

• Beløpsgrense lik summen grenser: lim(x+y)=lim x+lim y
• Produktgrense lik produktet grenser: lim(xy)=lim x*lim y
• Grensen for kvotienten er lik kvotienten til grensene: lim(x/y)=lim x/lim y
• Konstantfaktoren tas ut av grensetegnet: lim(Cx)=C lim x

Funksjonen y=1/x, hvor x →∞, har en grense lik null for x→0, grensen er lik ∞.

• lim (sin x)/x=1 x→0

Vi fant ut de grunnleggende elementære funksjonene.

Når du flytter til funksjoner mer kompleks type vi vil helt sikkert møte utseendet til uttrykk hvis betydning ikke er definert. Slike uttrykk kalles usikkerheter.

La oss liste opp alt hovedtyper av usikkerhet: null delt på null (0 med 0), uendelig delt på uendelig, null multiplisert med uendelig, uendelig minus uendelig, en i uendelig potens, null i null, uendelig i null.

ALLE ANDRE UTTRYKK FOR USIKKERHET ER IKKE OG TAR EN HELT SPESIFIK ENDELIG ELLER UENDELIG VERD.

Avdekke usikkerhet muliggjør:

• forenkle formen til en funksjon (transformere et uttrykk ved å bruke forkortede multiplikasjonsformler, trigonometriske formler, multiplikasjon med konjugerte uttrykk etterfulgt av reduksjon, etc.);
• bruk av bemerkelsesverdige grenser;
• anvendelse av L'Hopitals regel;
• ved å erstatte et infinitesimalt uttrykk med dets ekvivalent (ved å bruke en tabell med ekvivalente infinitesimals).

La oss gruppere usikkerhetene i usikkerhetstabell. For hver type usikkerhet knytter vi en metode for avsløring av den (metode for å finne grensen).

Denne tabellen, sammen med tabellen over grenser for grunnleggende elementære funksjoner, vil være hovedverktøyene dine for å finne eventuelle grenser.

La oss gi et par eksempler når alt ordner seg umiddelbart etter å ha erstattet verdien og usikkerhet ikke oppstår.

Eksempel.

Beregn grense

Løsning.

Bytt ut verdien:

Og vi fikk umiddelbart svar.

Svar:

Eksempel.

Beregn grense

Løsning.

Vi erstatter verdien x=0 i basen av vår eksponentielle potensfunksjon:

Det vil si at grensen kan skrives om som

La oss nå ta en titt på indikatoren. Dette er en kraftfunksjon. La oss referere til tabellen over grenser for strømfunksjoner med en negativ indikator. Derfra har vi Og , derfor kan vi skrive .

Basert på dette vil grensen vår skrives som:

Vi vender oss igjen til grensetabellen, men for eksponentielle funksjoner med en base større enn én, derfra har vi:

Svar:

La oss se på eksempler med detaljerte løsninger Avdekke usikkerheter ved å transformere uttrykk.

Svært ofte må uttrykket under grensetegnet forvandles litt for å bli kvitt usikkerheter.

Eksempel.

Beregn grense

Løsning.

Bytt ut verdien:

Vi har kommet til usikkerhet. Vi ser på usikkerhetstabellen for å velge løsningsmetode. La oss prøve å forenkle uttrykket.

Svar:

Eksempel.

Beregn grense

Løsning.

Bytt ut verdien:

Vi kom til usikkerhet (0 til 0). Vi ser på usikkerhetstabellen for å velge løsningsmetode og prøver å forenkle uttrykket. La oss multiplisere både telleren og nevneren med uttrykket konjugert til nevneren.

For nevneren vil det konjugerte uttrykket være

Vi multipliserte nevneren slik at vi kunne bruke den forkortede multiplikasjonsformelen - forskjell på kvadrater og deretter redusere det resulterende uttrykket.

Etter en rekke transformasjoner forsvant usikkerheten.

Svar:

KOMMENTAR: For grenser av denne typen er metoden for å multiplisere med konjugerte uttrykk typisk, så bruk den gjerne.

Eksempel.

Beregn grense

Løsning.

Bytt ut verdien:

Vi har kommet til usikkerhet. Vi ser på usikkerhetstabellen for å velge løsningsmetode og prøver å forenkle uttrykket. Siden både telleren og nevneren forsvinner ved x = 1, så hvis disse uttrykkene brukes, vil det være mulig å redusere (x-1) og usikkerheten vil forsvinne.

La oss faktorisere telleren:

La oss faktorisere nevneren:

Grensen vår vil ha formen:

Etter transformasjonen ble usikkerheten avdekket.

Svar:

La oss vurdere grenser i det uendelige fra maktuttrykk. Hvis eksponentene til potensuttrykket er positive, så er grensen ved uendelig uendelig. Dessuten er den største grad av primær betydning; resten kan forkastes.

Eksempel.

Eksempel.

Hvis uttrykket under grensetegnet er en brøk, og både telleren og nevneren er potensuttrykk (m er potensen til telleren, og n er potensen til nevneren), så når en usikkerhet av formen uendelig til uendelig oppstår i dette tilfellet usikkerhet avdekkeså dele både teller og nevner med

Eksempel.

Beregn grense

Denne nettbaserte matematikkkalkulatoren vil hjelpe deg hvis du trenger det beregne grensen for en funksjon. Program løsningsgrenser gir ikke bare svaret på problemet, det leder detaljert løsning med forklaringer, dvs. viser grenseberegningsprosessen.

Dette programmet kan være nyttig for elever på videregående skole ungdomsskoler som forberedelse til tester og eksamener, når du tester kunnskap før Unified State Exam, for foreldre å kontrollere løsningen av mange problemer i matematikk og algebra. Eller kanskje det er for dyrt for deg å ansette en veileder eller kjøpe nye lærebøker? Eller vil du bare få det gjort så raskt som mulig? hjemmelekser i matematikk eller algebra? I dette tilfellet kan du også bruke våre programmer med detaljerte løsninger.

På denne måten kan du gjennomføre din egen trening og/eller trening. yngre brødre eller søstre, mens utdanningsnivået i feltet problemer som løses øker.

Skriv inn et funksjonsuttrykk

Beregn grense

Det ble oppdaget at noen skript som er nødvendige for å løse dette problemet, ikke ble lastet, og at programmet kanskje ikke fungerer.
Du kan ha AdBlock aktivert.
I dette tilfellet, deaktiver den og oppdater siden.

JavaScript er deaktivert i nettleseren din.
For at løsningen skal vises, må du aktivere JavaScript.
Her er instruksjoner for hvordan du aktiverer JavaScript i nettleseren din.

Fordi Det er mange mennesker som er villige til å løse problemet, forespørselen din har blitt satt i kø.
Om noen sekunder vil løsningen vises nedenfor.
Vennligst vent sek...

Hvis du oppdaget en feil i løsningen, så kan du skrive om dette i tilbakemeldingsskjemaet.
Ikke glem angi hvilken oppgave du bestemmer hva skriv inn i feltene.

Våre spill, puslespill, emulatorer:

Litt teori.

Funksjonens grense ved x->x 0

La funksjonen f(x) være definert på et sett X og la punktet \(x_0 \i X\) eller \(x_0 \ikke i X\)

La oss ta fra X en sekvens av punkter forskjellig fra x 0:
x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n , ... (1)
konvergerer til x*. Funksjonsverdiene i punktene i denne sekvensen danner også en numerisk sekvens
f(x 1), f(x 2), f(x 3), ..., f(x n), ... (2)
og man kan reise spørsmålet om eksistensen av dens grense.

Definisjon. Tallet A kalles grensen for funksjonen f(x) i punktet x = x 0 (eller ved x -> x 0), hvis for en hvilken som helst sekvens (1) av verdier av argumentet x forskjellig fra x 0 konvergerer til x 0, konvergerer den tilsvarende sekvensen (2) av verdifunksjonen til nummer A.

$$ \lim_(x\to x_0)( f(x)) = A $$

Funksjonen f(x) kan bare ha én grense ved punktet x 0. Dette følger av at sekvensen
(f(x n)) har bare én grense.

Det er en annen definisjon av grensen for en funksjon.

Definisjon Tallet A kalles grensen for funksjonen f(x) i punktet x = x 0 hvis det for et hvilket som helst tall \(\varepsilon > 0\) er et tall \(\delta > 0\) slik at for alle \ (x \i X, \; x \neq x_0 \), som tilfredsstiller ulikheten \(|x-x_0| Ved å bruke logiske symboler, kan denne definisjonen skrives som
\((\forall \varepsilon > 0) (\eksisterer \delta > 0) (\forall x \i X, \; x \neq x_0, \; |x-x_0| Merk at ulikhetene \(x \neq x_0 , \; |x-x_0| \(\varepsilon - \delta \)".
Disse to definisjonene av grensen for en funksjon er likeverdige, og du kan bruke en av dem avhengig av hvilken som er mer praktisk for å løse et bestemt problem.

Merk at definisjonen av grensen for en funksjon "på sekvensspråket" også kalles definisjonen av grensen for en funksjon i følge Heine, og definisjonen av grensen for en funksjon "i språket \(\varepsilon - \delta \)» kalles også definisjonen av grensen for en funksjon ifølge Cauchy.

Funksjonens grense ved x->x 0 - og ved x->x 0 +

I det følgende vil vi bruke begrepene ensidige grenser for en funksjon, som er definert som følger.

Definisjon Tallet A kalles høyre (venstre) grense for funksjonen f(x) i punktet x 0 hvis for en hvilken som helst sekvens (1) som konvergerer til x 0, hvis elementer x n er større (mindre enn) x 0, tilsvarende sekvens (2) konvergerer til A.

Symbolsk er det skrevet slik:
$$ \lim_(x \to x_0+) f(x) = A \; \left(\lim_(x \to x_0-) f(x) = A \right) $$

Vi kan gi en ekvivalent definisjon av ensidige grenser for en funksjon "på språket \(\varepsilon - \delta \)":

Definisjon et tall A kalles høyre (venstre) grense for funksjonen f(x) i punktet x 0 hvis det for noen \(\varepsilon > 0\) eksisterer \(\delta > 0\) slik at for alle x som tilfredsstiller ulikhetene \(x_0 symbolske oppføringer:

\((\forall \varepsilon > 0) (\eksisterer \delta > 0) (\forall x, \; x_0

Begrensning for en funksjon ved uendelig:
|f(x) - a|< ε при |x| >N

Bestemmelse av Cauchy-grensen
La funksjonen f (x) er definert i et bestemt nabolag av punktet ved uendelig, med |x| > Tallet a kalles funksjonens grense f (x) med x tilbøyelig til uendelig (), hvis for noen, uansett hvor liten positivt tall ε > 0 , er det et tall N ε >K, avhengig av ε, som for alle x, |x| > N ε, funksjonsverdiene tilhører ε-området til punkt a:
|f (x)-a|< ε .
Grensen for en funksjon ved uendelig er angitt som følger:
.
Eller på .

Følgende notasjon brukes også ofte:
.

La oss skrive denne definisjonen ved å bruke de logiske symbolene på eksistens og universalitet:
.
Dette forutsetter at verdiene tilhører funksjonens domene.

Ensidige grenser

Venstre grense for en funksjon ved uendelig:
|f(x) - a|< ε при x < -N

Det er ofte tilfeller der en funksjon er definert kun for positiv eller negative verdier variabel x (mer presist i nærheten av punktet eller ). Også grensene ved uendelig for positive og negative verdier av x kan ha forskjellige betydninger. Da brukes ensidige grenser.

Venstre grense ved uendelig eller grensen som x har en tendens til minus uendelig () er definert som følger:
.
Høyre grense på uendelig eller grensen som x har en tendens til pluss uendelig ():
.
Ensidige grenser ved uendelig er ofte betegnet som følger:
; .

Uendelig grense for en funksjon ved uendelig

Uendelig grense for en funksjon ved uendelig:
|f(x)| > M for |x| > N

Definisjon av den uendelige grensen ifølge Cauchy
La funksjonen f (x) er definert i et bestemt nabolag av punktet ved uendelig, med |x| > K, hvor K er et positivt tall. Funksjonsgrense f (x) som x har en tendens til uendelig (), er lik uendelig, om for noen, vilkårlig stort nummer M > 0 , det er et slikt tall N M >K, avhengig av M, som for alle x, |x| > N M , funksjonsverdiene tilhører nabolaget til punktet på uendelig:
|f (x) | > M.
Den uendelige grensen da x har en tendens til uendelig er betegnet som følger:
.
Eller på .

Ved å bruke de logiske symbolene på eksistens og universalitet, kan definisjonen av den uendelige grensen til en funksjon skrives som følger:
.

På samme måte introduseres definisjoner av uendelige grenser for visse tegn lik og:
.
.

Definisjoner av ensidige grenser ved uendelig.
Venstre grenser.
.
.
.
Rette grenser.
.
.
.

Bestemmelse av grensen for en funksjon i henhold til Heine

La funksjonen f (x) definert hos noen nabolaget til et punkt i det uendelige x 0 , hvor eller eller .
Tallet a (endelig eller uendelig) kalles grensen for funksjonen f (x) på punkt x 0 :
,
hvis for en hvilken som helst sekvens (xn), konvergerer til x 0 : ,
hvis elementer tilhører nabolaget, sekvens (f(xn)) konvergerer til en:
.

Hvis vi tar som et nabolag nabolaget til et usignert punkt ved uendelig: , så får vi definisjonen av grensen for en funksjon som x har en tendens til uendelig, . Hvis vi tar et venstre- eller høyresidig nabolag av punktet x ved uendelig 0 : eller , da får vi definisjonen av grensen da x har en tendens til henholdsvis minus uendelig og pluss uendelig.

Definisjoner av grensen ifølge Heine og Cauchy tilsvarende.

Eksempler

Eksempel 1

Bruker Cauchys definisjon for å vise det
.

La oss introdusere følgende notasjon:
.
La oss finne definisjonsdomenet til funksjonen. Siden telleren og nevneren til brøken er polynomer, er funksjonen definert for alle x unntatt punktene der nevneren forsvinner. La oss finne disse punktene. La oss bestemme kvadratisk ligning. ;
.
Røttene til ligningen:
; .
Siden , da og .
Derfor er funksjonen definert ved . Vi vil bruke dette senere.

La oss skrive ned definisjonen av den endelige grensen for en funksjon ved uendelig i henhold til Cauchy:
.
La oss forvandle forskjellen:
.
Del telleren og nevneren med og gang med -1 :
.

La .
Deretter
;
;
;
.

Så vi fant ut at når,
.
.
Det følger at
kl , og .

Siden du alltid kan øke den, la oss ta . Så for hvem som helst,
kl.
Det betyr at .

Eksempel 2

La .
Ved å bruke Cauchy-definisjonen av en grense, vis at:
1) ;
2) .

1) Løsning som x har en tendens til minus uendelig

Siden er funksjonen definert for alle x.
La oss skrive ned definisjonen av grensen for en funksjon som er lik minus uendelig:
.

La .
;
.

Så vi fant ut at når,
.
Deretter
.
Skriv inn positive tall og:
.

Det følger at for ethvert positivt tall M, er det et tall, slik at for ,

Det betyr at .

2) Løsning som x har en tendens til pluss uendelig
.
La oss forvandle den opprinnelige funksjonen. Multipliser telleren og nevneren for brøken med og bruk kvadratforskjellen formel:

.
Vi har:
.

La oss skrive ned definisjonen av høyre grense for funksjonen ved:
La oss forvandle forskjellen:
.
La oss introdusere notasjonen: .
.

Multipliser telleren og nevneren med:
.
Deretter
;
.

Så vi fant ut at når,
.
Deretter
.
Det følger at
La

kl og .
.

Siden dette gjelder for ethvert positivt tall, altså
Referanser: CM. Nikolsky. Vi vil matematisk analyse