Revolusjonskropper og overflater. Visuell guide (2019)

Sylinder

En sylinder er et legeme som består av to sirkler som ikke ligger i samme plan og er kombinert ved parallell translasjon, og alle segmentene som forbinder de tilsvarende punktene til disse sirklene.

Sirklene kalles sylinderens baser, og segmentene som forbinder sylinderen.

Siden parallell translasjon er bevegelse, er sylinderens basis like.

Siden planet under parallell translasjon forvandles til et parallelt plan (eller til seg selv), så ligger sylinderens base i parallelle plan. Siden under parallell translasjon blir punktene forskjøvet langs parallelle (eller sammenfallende) linjer med samme avstand, så er sylinderens generatorer parallelle og like.

Sylinderens overflate består av bunn- og sideflaten. Sideoverflaten er sammensatt av generatriser.

En sylinder kalles rett hvis dens generatorer er vinkelrett på planene til basen.

Radiusen til en sylinder er radiusen til basen. Høyden på en sylinder er avstanden mellom planene til dens base. Aksen til en sylinder er en rett linje som går gjennom midten av basene. Den er parallell med generatorene.

Kjegle

En kjegle er en kropp som består av en sirkel - kjeglens basis, et punkt som ikke ligger i denne sirkelens plan - kjeglens toppunkt og alle segmenter som forbinder kjeglens toppunkt med bunnpunktene.

Segmentene som forbinder toppen av kjeglen med punktene i grunnsirkelen kalles kjeglens generatorer. Overflaten på kjeglen består av en base og en sideflate.

En kjegle kalles rett hvis det er en rett linje som forbinder toppen av kjeglen med midten av basen.

Høyden på en kjegle er vinkelrett som går ned fra toppen til basens plan. For en rett kjegle faller bunnen av høyden sammen med midten av bunnen. Aksen til en rett sirkulær kjegle er en rett linje som inneholder høyden

En ball er en kropp som består av alle punkter i rommet som ligger i en avstand som ikke er større enn et gitt punkt fra et gitt punkt. Dette punktet kalles ballens senter, og denne avstanden er ballens radius.

Grensen til en ball kalles en sfærisk overflate, eller sfære.

Dermed er sfærens punkter alle punkter på ballen som fjernes fra midten i en avstand lik radiusen. Ethvert segment som forbinder midten av en kule til et punkt på den sfæriske overflaten kalles også en radius.

Et segment som forbinder to punkter på en sfærisk overflate og passerer gjennom midten av ballen kalles en diameter. Endene av en hvilken som helst diameter kalles diametralt motsatte punkter på ballen.

En ball, som en sylinder og en kjegle, er en revolusjonskropp. Den oppnås ved å rotere en halvsirkel rundt diameteren som en akse.

Et prisme sies å være innskrevet i en sylinder hvis bunnen er like mangekanter innskrevet i bunnen av sylinderen, og sidekantene danner sylinderen.

Et prisme kalles omskrevet om en sylinder hvis bunnen er polygoner omskrevet rundt bunnen av sylinderen, og sideflatene berører sylinderen.

Ball eller sfærisk overflate er det geometriske stedet for punkter i rommet som er fjernt fra et gitt punkt OM(senter) i en gitt avstand R(radius). Alt rom i forhold til en gitt sfærisk overflate er delt inn i et indre område (hvor punkter på selve overflaten kan festes) og et ytre. Det første av disse områdene kalles ball. Så ballen er stedet for alle punkter fjernt fra gitt poeng OM(senter) til en avstand som ikke overstiger denne verdien R(radius). Den sfæriske overflaten er grensen som skiller ballen fra det omkringliggende rommet.

En sfærisk overflate og en kule kan også oppnås ved å rotere en sirkel (sirkel) rundt en av diametrene.

Tenk på en sirkel med sentrum OM og radius R(Fig. 1), liggende i planet R. Vi vil rotere det rundt diameteren AB. Deretter hvert av punktene i sirkelen, for eksempel M, vil på sin side, under rotasjon, beskrive en sirkel som har som senter punktet M 0 - projeksjonen av det roterende punktet M på rotasjonsaksen AB. Planet til denne sirkelen er vinkelrett på rotasjonsaksen. Radius OM, fører fra midten av den opprinnelige sirkelen til et punkt M, vil beholde sin verdi gjennom hele rotasjonen, og derfor punktet M vil alltid være på en sfærisk overflate med sentrum OM og radius R. En sfærisk overflate kan oppnås ved å rotere en sirkel rundt hvilken som helst av dens diametre.

Selve ballen som en kropp oppnås ved å rotere en sirkel; Det er klart at for å få hele ballen er det nok å rotere halvsirkelen rundt dens begrensende diameter.

Rotasjonslegemer kalle kropper avgrenset enten av en revolusjonsflate, eller en revolusjonsflate og et plan (Figur 134). Revolusjonsoverflaten forstås som overflaten oppnådd fra rotasjonen av en linje ( ABCDE ), flat eller romlig, kalt en generator, rundt en fast rett linje ( Jeg ) - rotasjonsakse.

Figur 134

Ethvert punkt på generatrisen til rotasjonsoverflaten beskriver en sirkel som ligger i et plan vinkelrett på rotasjonsaksen - parallell Derfor skjærer et plan vinkelrett på rotasjonsaksen alltid rotasjonsoverflaten langs en sirkel. Største parallell - ekvator. Den minste parallellen er hals(nakke).

Planene som går gjennom rotasjonsaksen kalles meridionale plan.

I en kompleks tegning utføres representasjonen av revolusjonslegemer ved å skildre kantene på basene og linjene til overflatekonturene.

Skjæringslinjene mellom meridionalplan og overflaten kalles meridianer.

Meridionalplanet parallelt med projeksjonsplanet kalles hovedmeridionalplan. Linjen for dens skjæringspunkt med overflaten er nominell meridian.

Rett sirkulær sylinder. En rett sirkulær sylinder (Figur 135) er en kropp avgrenset av en sylindrisk rotasjonsflate og to sirkler - sylinderens base, plassert i plan vinkelrett på sylinderens akse. Sylindrisk rotasjonsflate er overflaten oppnådd ved å rotere en rettlinjet generatrise A.A. 1 rundt en fast rett linje parallelt med den - Jeg (rotasjonsakse). Dimensjonene som karakteriserer en rett sirkulær sylinder er dens diameter DC og høyde l (avstand mellom bunnene på sylinderen).

Figur 135

En rett sirkulær sylinder kan også betraktes som et legeme oppnådd ved å rotere et rektangel ABCD rundt en av sidene, for eksempel, Sol (Figur 136). Side Sol er rotasjonsaksen, og siden AD - generatrise av sylinderen. De to andre sidene vil representere basen til sylinderen.

Figur 136

Rektangel AB Og CD når de roteres, danner de sirkler - basene til sylinderen.

Konstruksjon av fremspring av en sylinder.

Konstruksjonen av horisontale og frontale projeksjoner av sylinderen begynner med et bilde av bunnen av sylinderen, det vil si to projeksjoner av en sirkel (se figur 135, b). Siden sirkelen er plassert på et plan N , så projiseres den på dette planet uten forvrengning. Frontprojeksjonen av sirkelen er et segment av en horisontal rett linje lik diameteren til grunnsirkelen.

Etter å ha bygget basen på frontprojeksjonen, to essayforming(ytterste generatriser) og høyden på sylinderen er plottet på dem. Tegn et segment av en horisontal rett linje, som er frontprojeksjonen av den øvre bunnen av sylinderen (Figur 135, c).

Bestemmelse av de manglende fremspringene til punktene A og B plassert på overflaten av sylinderen ved bruk av gitte frontfremspring i dette tilfellet forårsaker det ingen vanskeligheter, siden hele den horisontale projeksjonen av sideflaten til sylinderen er en sirkel (Figur 137, a). Derfor horisontale projeksjoner av punkter EN Og I kan finnes ved å tegne fra de gitte punktene EN"" Og B"" vertikale kommunikasjonslinjer til de krysser sirkelen på de nødvendige punktene EN" Og B".

Profilprojeksjoner av poeng EN Og I De er også bygget ved hjelp av vertikale og horisontale kommunikasjonslinjer.

Isometrisk projeksjon av en sylinder tegnet som vist i figur 137, b.

I isometrisk punkt EN Og I bygge i henhold til deres koordinater. For eksempel å plotte et punkt I fra opprinnelsen OM langs aksen x sette til side koordinaten ∆x , og deretter trekkes en rett linje parallelt med aksen gjennom enden på , til den skjærer med basiskonturen ved punktet 2 . Fra dette punktet, parallelt med z-aksen, tegner du en rett linje som koordinaten er plottet på Z B , poeng I .

Figur 137

Rett sirkulær kjegle. En rett sirkulær kjegle (Figur 138) er et legeme avgrenset av en konisk rotasjonsflate og en sirkel plassert i et plan vinkelrett på kjeglens akse. Konisk overflate oppnådd ved å rotere en rettlinjet generatrise S.A. (Figur 138, a), som går gjennom et fast punkt S på rotasjonsaksen Jeg og lage en viss konstant vinkel med denne aksen. Punktum S kalt toppen av kjeglen, og den koniske overflaten er kjeglens sideflate. Størrelsen på en rett sirkulær kjegle er preget av diameteren på basen D K og høyde N .

Figur 138

En rett sirkulær kjegle kan også betraktes som en kropp oppnådd ved rotasjon høyre trekant SAB rundt beinet hans S.B. (Figur 139). Med en slik rotasjon beskriver hypotenusen en konisk overflate, og benet AB - en sirkel, dvs. bunnen av en kjegle.

Figur 139

Konstruksjon av kjeglefremspring.

Sekvensen for å konstruere to fremspring av en kjegle er vist i figur 167, b og c. Først konstrueres to fremspring av basen. Den horisontale projeksjonen av basen er en sirkel. Frontprojeksjonen vil være et horisontalt rett segment lik diameteren til denne sirkelen (Figur 138, b). På frontprojeksjonen tegnes en vinkelrett fra midten av basen, og høyden på kjeglen er plottet på den (Figur 138, c). Den resulterende frontale projeksjonen av toppen av kjeglen er forbundet med rette linjer til endene av den frontale projeksjonen av basen og en frontal projeksjon av kjeglen oppnås.

Konstruere punkter på overflaten av en kjegle

Hvis en projeksjon av et punkt er gitt på overflaten av en kjegle EN (for eksempel frontprojeksjonen i figur 140), så bestemmes to andre projeksjoner av dette punktet ved hjelp av hjelpelinjer - en generatrise plassert på overflaten av kjeglen og trukket gjennom punktet EN , eller en sirkel plassert i et plan parallelt med bunnen av kjeglen.

Figur 140

I det første tilfellet (Figur 140, a) gjennom punktet EN utføre en frontal projeksjon 1""S"" hjelpegenerator. Bruke en vertikal kommunikasjonslinje trukket fra punktet 1 , plassert på frontprojeksjonen av basissirkelen, finn den horisontale projeksjonen 1" denne generatrisen, som bruker en kommunikasjonslinje som går gjennom EN" , finn ønsket punkt EN .

I det andre tilfellet (Figur 140, b) går en hjelpelinje gjennom punktet EN , vil det være en sirkel plassert på en konisk overflate og parallelt med planet N - parallell. Frontprojeksjonen av denne sirkelen er avbildet som et segment 1""1"" horisontal rett linje, hvis verdi er lik diameteren til hjelpesirkelen. Ønsket horisontal projeksjon EN" poeng EN er plassert i skjæringspunktet mellom en kommunikasjonslinje som går ned fra et punkt EN" , med en horisontal projeksjon av hjelpesirkelen.

Hvis den gitte frontprojeksjonen 1"" poeng 1 er plassert på konturen (kontur) generatrisen, så er den horisontale projeksjonen av punktet uten hjelpelinjer.

I isometrisk projeksjon punkt EN , plassert på overflaten av kjeglen, er konstruert i henhold til tre koordinater (se figur 140, c):  X ,  Y Og Z EN OM langs aksen X koordinere utsatt  X  Y z Z EN EN .

Ball. En kule (Figur 141) er en kropp oppnådd ved å rotere en halvsirkel ABC (generativ) rundt diameteren AC (rotasjonsakse), og overflaten som buen beskriver ABC , kalt sfærisk eller sfærisk. En ball refererer til legemer som kun er begrenset av en revolusjonsflate.

Figur 141

Ball(sfærisk) overflate er stedet for punkter like langt fra ett punkt OM , kalt midten av ballen. Hvis ballen er dissekert av horisontale plan, vil tverrsnittet resultere i sirkler - paralleller. Den største av parallellene har en diameter som er lik kulens diameter. En slik sirkel kalles ekvator. Sirklene oppnådd som et resultat av deler av ballen av plan som passerer gjennom rotasjonsaksen kalles meridianer.

Konstruere projeksjoner av en ball og punkter på overflaten

Fremspringene til ballen er vist i figur 142, a. Horisontale og frontale projeksjoner er sirkler med radius lik radiusen til kulen.

Figur 142

Hvis poenget EN plassert på en sfærisk overflate, deretter hjelpelinjen 1"" 2"" , trukket gjennom dette punktet parallelt med aksen Åh (parallell), projiseres på det horisontale projeksjonsplanet av en sirkel. På den horisontale projeksjonen av hjelpesirkelen finner man ønsket horisontal projeksjon ved hjelp av koblingslinjen EN" poeng EN .

Diameteren til hjelpesirkelen er lik frontprojeksjonen 1""2"" .

Aksonometrisk bilde kuler (kule) er laget i form av en sirkel (Figur 142 b), hvis radius er geometrisk definert som avstanden fra senteret av kulen til projeksjonen av ekvator (ellipsen) langs hovedaksen (vinkelrett). Oz ).

I en aksonometrisk projeksjon, et punkt EN , plassert på overflaten av ballen, er konstruert i henhold til tre koordinater: X EN ,Y EN Og Z EN . Disse koordinatene er sekvensielt plottet i retninger parallelt med de isometriske aksene. I eksemplet under vurdering, fra punktet OM langs aksen X koordinere utsatt X EN ; fra dens ende parallelt med y-aksen tegnes det en rett linje som koordinaten er tegnet på Y EN ; fra enden av segmentet, parallelt med aksen z det tegnes en rett linje som koordinaten er tegnet på Z EN . Som et resultat av bygging får vi det nødvendige poenget EN .

Thor- et legeme (Figur 143) dannet ved rotasjon av en sirkel eller dens bue rundt en akse som ligger i samme plan som den, men som ikke går gjennom sentrum av sirkelen eller dens bue.

Figur 143

Hvis rotasjonsaksen ikke skjærer generasjonssirkelen, kalles torusen ringe(åpen torus) (Figur 143, a). Hvis rotasjonsaksen skjærer generasjonssirkelen, viser det seg tønneformet torus overflate(lukket torus eller kryssende torus) (Figur 143, b). I sistnevnte tilfelle er generatoren av torusoverflaten buen ABC sirkler.

Den største av sirklene som beskriver punktene til generatrisen til torusoverflaten kalles ekvator, og den minste - hals, eller nakke.

Konstruksjon av torusprojeksjoner

En sirkulær ring (eller en åpen torus) har en horisontal projeksjon i form av to konsentriske sirkler, hvor forskjellen i radier er lik tykkelsen på ringen eller diameteren til generatrisen til sirkelen (Figur 145). Frontprojeksjonen er begrenset til høyre og venstre av buer av halvsirkler med diameteren til generatrisen.

Figur 144, a og b viser to typer lukket torus. I det første tilfellet, genereringsbuen til en sirkel med radius R er plassert i en avstand mindre enn radiusen fra rotasjonsaksen R , og i det andre tilfellet - mer. I begge tilfeller representerer de frontale projeksjonene av torus det faktiske utseendet til de to genererende buene i en sirkel med radius R , plassert symmetrisk i forhold til frontprojeksjonen av rotasjonsaksen. Profilprojeksjonene til torusen vil være sirkler.

Figur 144

Konstruere punkter på overflaten av en torus

I tilfelle når punktet EN ligger på overflaten av en sirkulær ring og en av dens projeksjoner er gitt for å finne den andre projeksjonen av dette punktet, en hjelpesirkel som går gjennom dette punktet EN og plassert på overflaten av ringen i et plan vinkelrett på ringens akse (Figur 145).

Hvis frontalprojeksjon er innstilt EN"" poeng EN , liggende på overflaten av ringen, for deretter å finne sin andre projeksjon (i dette tilfellet horisontal) gjennom EN" utføre en frontal projeksjon av hjelpesirkelen - et segment av en horisontal rett linje 2""2"" . Deretter konstrueres en horisontal projeksjon 2"2" denne sirkelen og på den, ved hjelp av forbindelseslinjen, finn et punkt EN" .

Hvis horisontal projeksjon er spesifisert B" poeng B , plassert på overflaten av denne ringen, for deretter å finne frontprojeksjonen av dette punktet gjennom 1" utføre en horisontal projeksjon av hjelpesirkelen med radius R 1 . Så gjennom venstre og rett punkt 1" Og 1" av denne sirkelen tegnes vertikale kommunikasjonslinjer til de skjærer de frontale projeksjonene av konturgeneratrisen til sirkelen med radius R og få poeng 1"" Og 1"" . Disse punktene er forbundet med en horisontal linje, som representerer frontprojeksjonen av hjelpesirkelen (den vil være synlig). Tegn en vertikal kommunikasjonslinje fra et punkt B" til skjæringspunktet med linjen 1""1"" vi får det nødvendige poenget B"" .

De samme konstruksjonsteknikkene gjelder for punkter som ligger på overflaten av torusen.

Figur 145

Konstruksjon av et aksonometrisk bilde Torusen kan deles inn i tre stadier (Figur 146). Først konstrueres en projeksjon av den radielle aksiale linjen (banen til midten av den genererende sirkelen) i form av en ellipse. Deretter bestemmer vi radiusen til sfæren som tangerer torusen langs generatrisen (sirkelen). For å gjøre dette konstruerer vi en projeksjon av frontalomrissgeneratrisen til torus i form av en mindre ellipse. Vi definerer radiusen til kulen som lengden på segmentet OM 1 F fra midten av ellipsen til et punkt på denne ellipsen som ligger på ellipsens hovedakse (vinkelrett Oy ). Deretter konstruerer vi et stort antall sirkler med en radius R kuler med sentre på projeksjonen av den radielle aksiale torusen OM 1 … OM n (jo mer, jo mer nøyaktig er konturen av den fremtidige torusen). Til slutt tegner vi konturlinjen til torusen som en linje som berører hver sirkel av kulen.

Figur 146

I aksonometrisk projeksjon punkt EN , som ligger på overflaten av torusen, er konstruert ved hjelp av tre koordinater: X EN ,Y EN Og Z EN . Disse koordinatene er sekvensielt plottet i retninger parallelt med de isometriske aksene.

Å opprettholde personvernet ditt er viktig for oss. Av denne grunn har vi utviklet en personvernerklæring som beskriver hvordan vi bruker og lagrer informasjonen din. Se gjennom vår personvernpraksis og gi oss beskjed hvis du har spørsmål.

Innsamling og bruk av personopplysninger

Personopplysninger refererer til data som kan brukes til å identifisere bestemt person eller forbindelse med ham.

Du kan bli bedt om å oppgi din personlige informasjon når som helst når du kontakter oss.

Nedenfor er noen eksempler på hvilke typer personopplysninger vi kan samle inn og hvordan vi kan bruke slik informasjon.

Hvilken personlig informasjon samler vi inn:

• Når du sender inn en forespørsel på nettstedet, kan vi samle inn ulike opplysninger, inkludert navn, telefonnummer, adresse E-post etc.

Hvordan vi bruker dine personopplysninger:

• Personopplysningene vi samler inn gjør at vi kan kontakte deg og informere deg om unike tilbud, kampanjer og andre arrangementer og kommende arrangementer.
• Fra tid til annen kan vi bruke din personlige informasjon til å sende viktige meldinger og kommunikasjoner.
• Vi kan også bruke personopplysninger til interne formål, som å gjennomføre revisjoner, dataanalyser og ulike undersøkelser for å forbedre tjenestene vi leverer og gi deg anbefalinger angående våre tjenester.
• Hvis du deltar i en premietrekning, konkurranse eller lignende kampanje, kan vi bruke informasjonen du gir til å administrere slike programmer.

Utlevering av informasjon til tredjeparter

Vi utleverer ikke informasjonen mottatt fra deg til tredjeparter.

Unntak:

• Om nødvendig, i samsvar med loven, rettslig prosedyre, i rettssaker, og/eller basert på offentlige henvendelser eller forespørsler fra offentlige etater på den russiske føderasjonens territorium - oppgi din personlige informasjon. Vi kan også avsløre informasjon om deg hvis vi fastslår at slik avsløring er nødvendig eller hensiktsmessig for sikkerhet, rettshåndhevelse eller andre offentlige viktige formål.
• I tilfelle en omorganisering, fusjon eller salg, kan vi overføre personopplysningene vi samler inn til gjeldende etterfølger tredjepart.

Beskyttelse av personopplysninger

Vi tar forholdsregler - inkludert administrative, tekniske og fysiske - for å beskytte din personlige informasjon mot tap, tyveri og misbruk, samt uautorisert tilgang, avsløring, endring og ødeleggelse.

Respekter ditt privatliv på bedriftsnivå

For å sikre at din personlige informasjon er sikker, kommuniserer vi personvern- og sikkerhetsstandarder til våre ansatte og håndhever strengt personvernpraksis.

Oppgave 16 Unified State Exam 2015. Rotasjonsorganer.

Ivanova E.N.

MBOU ungdomsskole nr. 8, Kamensk-Shakhtinsky

Linjestykke AB c, parallelt med dette segmentet og atskilt fra det med en avstand lik 2. Finn arealet av omdreiningsoverflaten.

Svar. Den nødvendige overflaten av revolusjon er sideflate en sylinder hvis basisradius er 2, dens generatrise er 1. Arealet av denne overflaten er 4.

Linjestykke AB lengde 1 roterer rundt en rett linje c, vinkelrett på dette segmentet og plassert i avstand fra dens nærmeste ende EN i en avstand lik 2 (rett AB Og Med ligge i samme plan). Finn overflatearealet til revolusjonen.

Svar. Den nødvendige overflaten er en ring, hvis indre radius er 2, og den ytre radiusen er 3. Arealet til denne ringen er 5.

Linjestykke AB c, vinkelrett på dette segmentet og går gjennom midten. Finn overflatearealet til revolusjonen.

Svar. Den nødvendige overflaten er en sirkel med radius 1. Arealet er lik.

Linjestykke AB lengde 2 roterer rundt en rett linje c EN. Finn overflatearealet til revolusjonen.

Linjestykke AB c, vinkelrett på dette segmentet og passerer gjennom punktet C, dele dette segmentet i forholdet 1:2. Finn overflaten til revolusjonen.

Svar. Den nødvendige overflaten er en sirkel med radius 2. Arealet er 4.

Linjestykke AB lengde 2 roterer rundt en rett linje c, passerer gjennom punktet EN og danner en vinkel på 30 grader med dette segmentet. Finn overflatearealet til revolusjonen.

Svar. Den nødvendige overflaten er sideoverflaten til en kjegle, hvis generatrise er lik 2, basens radius er lik 1. Arealet er lik 2.

Linjestykke AB lengde 3 roterer rundt en rett linje c, passerer gjennom punktet EN og fjernt fra poenget B til en avstand lik 2. Finn arealet av revolusjonsoverflaten.

Svar. Den nødvendige overflaten er sideoverflaten til en kjegle, hvis generatrise er lik 3, radiusen til basen er lik 2. Området er lik 6.

Linjestykke AB lengde 2 roterer rundt en rett linje c, passerer gjennom midten av dette segmentet og danner en vinkel på 30 grader med det. Finn overflatearealet til revolusjonen.

Svar. Den nødvendige overflaten er sammensatt av to sideflater av kjegler, hvis generatorer er lik 1, og radiene til basene er 0,5. Arealet er likt.

Linjestykke AB lengde 3 roterer rundt en rett linje c, passerer gjennom punktet C, dele dette segmentet i forholdet 1:2 og danner en vinkel på 30 grader med det. Finn overflatearealet til revolusjonen.

Svar. Den nødvendige overflaten er sammensatt av to sideflater av kjegler, hvis generatorer er lik 2 og 1, og radiene til basene er lik henholdsvis 1 og 0,5. Arealet er 2,5.

Linjestykke AB lengde 3 roterer rundt en rett linje c, liggende med den i samme plan og med avstand fra endene EN Og B henholdsvis ved avstand 1 og 2. Finn arealet av revolusjonsoverflaten.

Svar. Den nødvendige overflaten er sideoverflaten til en avkortet kjegle, hvis generatrise er lik 3, radiene til basene er lik 1 og 2. Arealet er lik 9.

Linjestykke AB lengde 2 roterer rundt en rett linje c, liggende med den i samme plan, med avstand fra nærmeste ende EN til en avstand lik 1 og danner en vinkel på 30° med dette segmentet. Finn overflatearealet til revolusjonen.

Svar. Den nødvendige overflaten er sideoverflaten til en avkortet kjegle, hvis generatrise er lik 2, radiene til basene er lik 1 og 2. Arealet er lik 6.

Finn det laterale overflatearealet til en sylinder oppnådd ved å rotere en enhetsfirkant ABCD rundt en rett linje AD .

Svar. Den nødvendige sylinderen er vist i figuren. Radien til basen og generatrisen er lik 1. Sideoverflatearealet til denne sylinderen er lik 2.

Finn overflatearealet for rotasjon av et rektangel ABCD med partene AB = 4, BC = 3 rundt en rett linje AB Og CD .

Svar. Det ønskede legemet er en sylinder hvis basisradius er 2 og dens slektsareal er 20.

Finn overflatearealet til en kropp oppnådd ved å rotere en kvadratisk enhet ABCD rundt en rett linje A.C. .

Svar. Det ønskede revolusjonslegemet er foreningen av to kjegler, hvis radier av basene og høydene er like. Overflatearealet er likt.

Finn overflatearealet til et fast legeme oppnådd ved å rotere en rettvinklet trekant ABC med ben AC=BC= 1 rundt en rett linje A.C. .

Svar. Ønsket kjegle er vist på figuren. Radius til basen er 1, og generatoren er lik. Overflatearealet til denne kjeglen er lik.

Finn området full overflate legeme oppnådd ved å rotere en likesidet trekant ABC med side 1 rundt linjen som inneholder halveringslinjen CD denne trekanten.

Svar. Ønsket kjegle er vist på figuren. Radien til basen er 0,5, og generatrisen er 1. Det totale overflatearealet til denne kjeglen er 3/4.

Finn overflatearealet av revolusjon av en likesidet trekant ABC med side 1 rundt en rett linje AB .

Svar. Den ønskede rotasjonskroppen er sammensatt av to kjegler med en felles base, hvis radius er lik, og høyden er 0,5. Overflatearealet er likt.

Finn volumet til rotasjonslegemet til en likebenet trapes ABCD med sider AD Og B.C., lik 1, og baser AB Og CD, lik henholdsvis 2 og 1, rundt den rette linjen AB .

Svar. Den ønskede rotasjonskroppen er en sylinder med en basisradius og en høyde på 1, på basen av hvilke kjegler er bygget med en høyde på 0,5. Volumet er likt.

Finn volumet til omdreiningslegemet til en rektangulær trapes ABCD med grunner AB Og CD, lik henholdsvis 2 og 1, med en mindre side lik 1 rundt den rette linjen AB .

Svar. Det ønskede omdreiningslegemet er en sylinder med en basisradius og høyde lik 1, på grunnlag av hvilken en kjegle er bygget, høyde 1. Volumet er lik.

Finn volumet til et rotasjonslegeme av en vanlig sekskant A B C D E F med side 1 rundt en rett linje AD .

Svar. Det ønskede omdreiningslegemet består av en sylinder hvis basisradius er lik og hvis høyde er 1 og to kjegler med base med radius og høyde 0,5. Volumet er likt.

A B C D E F, vist på figuren og sammensatt av tre enhetskvadrater, rundt en rett linje A.F. .

Svar. Det ønskede rotasjonslegemet består av to sylindre med baser med radier 2 og 1, høyde 1. Volumet er 5.

Finn volumet til et omdreiningslegeme i en polygon ABCDEFGH, vist på figuren og sammensatt av fire enhetskvadrater, rundt en rett linje c passerer gjennom midtpunktene på sidene AB Og E.F. .

Svar. Den ønskede rotasjonskroppen er sammensatt av to sylindre med en høyde på 1 og basisradier på 1,5 og 0,5. Volumet er 2,5.

Finn volumet til et omdreiningslegeme i en polygon ABCDEFGH, vist på figuren og sammensatt av fem enhetskvadrater, rundt en rett linje c passerer gjennom midtpunktene på sidene AB Og E.F. .

Svar. 1. Det ønskede omdreiningslegemet er en sylinder med en basisradius på 1,5 og en høyde på 2, hvorfra en sylinder med en basisradius på 0,5 og en høyde på 1 er kuttet ut.

Finn volumet til et rotasjonslegeme av en enhetsterning ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 rundt en rett linje A.A. 1 .

Svar. Det ønskede omdreiningslegemet er en sylinder, hvis radius er lik og høyden er lik 1. Volumet er lik 2.

Finn volumet til rotasjonslegemet til et vanlig trekantet prisme ABCA 1 B 1 C A.A. 1 .

Svar. Det ønskede rotasjonslegemet er en sylinder, hvis radius til basen og høyden er lik 1. Volumet er lik.

Finn volumet til et omdreiningslegeme av et regulært sekskantet prisme ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, hvor alle kanter er lik 1, rundt en linje A.A. 1 .

Svar. Det ønskede omdreiningslegemet er en sylinder, hvis radius er lik 2, og høyden er lik 1. Volumet er lik 4.

Finn volumet til et omdreiningslegeme i en vanlig firkantet pyramide SABCD, som alle kanter er lik 1, rundt en linje Med som inneholder høyden SH denne pyramiden.

Svar. Det ønskede omdreiningslegemet er en kjegle hvis basisradius og høyde er like.

Volumet er likt.

Finn volumet til rotasjonslegemet til et enhetstetraeder ABCD rundt ribben AB .

Svar. 1. Den ønskede rotasjonskroppen er sammensatt av to kjegler med en felles base med radius og høyde på 0,5. Volumet er 0,25.

Finn volumet til omdreiningslegemet til en enhet regelmessig oktaeder S'ABCDS" rundt en rett linje S"S" .

Svar. Det ønskede omdreiningslegemet består av to kjegler med felles radius og like høyder. Volumet er likt.

Alle dihedrale vinkler av polyederet vist på figuren er rette. Finn volumet til revolusjonslegemet til dette polyederet rundt en linje AD .

Svar. Det ønskede rotasjonslegemet er en sylinder, hvis radius er lik og høyden er lik 2. Volumet er lik 10.