Per risolvere un problema geometrico utilizzando il metodo delle coordinate, è necessario un punto di intersezione, le cui coordinate vengono utilizzate nella soluzione. Si verifica una situazione in cui è necessario cercare le coordinate dell'intersezione di due linee su un piano o determinare le coordinate delle stesse linee nello spazio. Questo articolo considera i casi di ricerca delle coordinate dei punti in cui si intersecano determinate linee.

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È necessario definire i punti di intersezione di due linee.

Capitolo posizione relativa le linee rette su un piano mostrano che possono coincidere, essere parallele, intersecarsi in un punto comune o intersecarsi. Due linee nello spazio si dicono intersecanti se hanno un punto in comune.

La definizione del punto di intersezione delle linee suona così:

Definizione 1

Il punto in cui due rette si intersecano si chiama punto di intersezione. In altre parole, il punto di intersezione delle linee è il punto di intersezione.

Diamo un'occhiata alla figura qui sotto.

Prima di trovare le coordinate del punto di intersezione di due linee, è necessario considerare l'esempio seguente.

Se il piano ha un sistema di coordinate O x y, vengono indicate due rette a e b. Diretto a corrisponde equazione generale della forma A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, per la linea b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Allora M 0 (x 0 , y 0) è un certo punto del piano è necessario determinare se il punto M 0 sarà il punto di intersezione di queste linee.

Per risolvere il problema è necessario attenersi alla definizione. Quindi le linee devono intersecarsi in un punto le cui coordinate sono la soluzione delle equazioni date A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 e A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Ciò significa che le coordinate del punto di intersezione vengono sostituite in tutte le equazioni date. Se, dopo la sostituzione, danno l'identità corretta, allora M 0 (x 0 , y 0) è considerato il loro punto di intersezione.

Esempio 1

Date due linee che si intersecano 5 x - 2 y - 16 = 0 e 2 x - 5 y - 19 = 0. Il punto M 0 con coordinate (2, - 3) sarà un punto di intersezione.

Soluzione

Perché l'intersezione delle rette sia valida è necessario che le coordinate del punto M 0 soddisfino le equazioni delle rette. Questo può essere verificato sostituendoli. Lo capiamo

5 2 - 2 (- 3) - 16 = 0 ⇔ 0 = 0 2 2 - 5 (- 3) - 19 = 0 ⇔ 0 = 0

Entrambe le uguaglianze sono vere, il che significa che M 0 (2, - 3) è il punto di intersezione delle linee indicate.

Descriviamo questa decisione sulla linea coordinata della figura sottostante.

Risposta:punto fisso con coordinate (2, - 3) sarà il punto di intersezione delle linee indicate.

Esempio 2

Le linee 5 x + 3 y - 1 = 0 e 7 x - 2 y + 11 = 0 si intersecheranno nel punto M 0 (2, - 3)?

Soluzione

Per risolvere il problema, è necessario sostituire le coordinate del punto in tutte le equazioni. Lo capiamo

5 2 + 3 (- 3) - 1 = 0 ⇔ 0 = 0 7 2 - 2 (- 3) + 11 = 0 ⇔ 31 = 0

La seconda uguaglianza non è vera, significa che il punto dato non appartiene alla retta 7 x - 2 y + 11 = 0. Da ciò si deduce che il punto M 0 non è il punto di intersezione delle rette.

Il disegno mostra chiaramente che M 0 non è il punto di intersezione delle linee. Hanno un punto comune con coordinate (- 1, 2).

Risposta: il punto con coordinate (2, - 3) non è il punto di intersezione delle linee indicate.

Procediamo alla ricerca delle coordinate dei punti di intersezione di due linee utilizzando le equazioni fornite sul piano.

Due linee che si intersecano aeb sono specificate dalle equazioni della forma A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 e A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, situate in O x y. Quando designiamo il punto di intersezione M 0, scopriamo che dovremmo continuare a cercare le coordinate utilizzando le equazioni A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 e A 2 x + B 2 y + C 2 = 0.

Dalla definizione è ovvio che M 0 è il punto comune di intersezione delle rette. In questo caso, le sue coordinate devono soddisfare le equazioni A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 e A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. In altre parole, questa è la soluzione del sistema risultante A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0.

Ciò significa che per trovare le coordinate del punto di intersezione è necessario sommare tutte le equazioni del sistema e risolverlo.

Esempio 3

Date due rette x - 9 y + 14 = 0 e 5 x - 2 y - 16 = 0 sul piano. è necessario trovare la loro intersezione.

Soluzione

I dati sulle condizioni dell'equazione devono essere raccolti nel sistema, dopo di che otteniamo x - 9 y + 14 = 0 5 x - 2 y - 16 = 0. Per risolverlo, la prima equazione viene risolta per x e l'espressione viene sostituita nella seconda:

x - 9 y + 14 = 0 5 x - 2 y - 16 = 0 ⇔ x = 9 y - 14 5 x - 2 y - 16 = 0 ⇔ ⇔ x = 9 y - 14 5 9 y - 14 - 2 y - 16 = 0 ⇔ x = 9 y - 14 43 y - 86 = 0 ⇔ ⇔ x = 9 y - 14 y = 2 ⇔ x = 9 2 - 14 y = 2 ⇔ x = 4 y = 2

I numeri risultanti sono le coordinate che dovevano essere trovate.

Risposta: M 0 (4, 2) è il punto di intersezione delle linee x - 9 y + 14 = 0 e 5 x - 2 y - 16 = 0.

Trovare le coordinate si riduce alla risoluzione di un sistema di equazioni lineari. Se per condizione viene fornito un diverso tipo di equazione, allora dovrebbe essere ridotta alla forma normale.

Esempio 4

Determina le coordinate dei punti di intersezione delle rette x - 5 = y - 4 - 3 e x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ, λ ∈ R.

Soluzione

Per prima cosa devi portare le equazioni a aspetto generale. Quindi otteniamo che x = 4 + 9 λ y = 2 + λ , λ ∈ R si trasforma come segue:

x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ ⇔ λ = x - 4 9 λ = y - 2 1 ⇔ x - 4 9 = y - 2 1 ⇔ ⇔ 1 · (x - 4) = 9 · (y - 2) ⇔ x - 9 y + 14 = 0

Quindi prendiamo l'equazione della forma canonica x - 5 = y - 4 - 3 e trasformiamo. Lo capiamo

x - 5 = y - 4 - 3 ⇔ - 3 x = - 5 y - 4 ⇔ 3 x - 5 y + 20 = 0

Da qui abbiamo che le coordinate sono il punto di intersezione

x - 9 y + 14 = 0 3 x - 5 y + 20 = 0 ⇔ x - 9 y = - 14 3 x - 5 y = - 20

Usiamo il metodo di Cramer per trovare le coordinate:

∆ = 1 - 9 3 - 5 = 1 · (- 5) - (- 9) · 3 = 22 ∆ x = - 14 - 9 - 20 - 5 = - 14 · (- 5) - (- 9) · ( - 20) = - 110 ⇒ x = ∆ x ∆ = - 110 22 = - 5 ∆ y = 1 - 14 3 - 20 = 1 · (- 20) - (- 14) · 3 = 22 ⇒ y = ∆ y ∆ = 22 22 = 1

Risposta: M 0 (- 5 , 1) .

C'è anche un modo per trovare le coordinate del punto di intersezione delle linee situate su un piano. È applicabile quando una delle rette è data da equazioni parametriche della forma x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ , λ ∈ R . Allora al posto del valore x sostituiamo x = x 1 + a x · λ e y = y 1 + a y · λ, dove otteniamo λ = λ 0, corrispondente al punto di intersezione avente coordinate x 1 + a x · λ 0 , y 1 + a y · λ 0 .

Esempio 5

Determina le coordinate del punto di intersezione della retta x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ, λ ∈ R e x - 5 = y - 4 - 3.

Soluzione

È necessario effettuare una sostituzione in x - 5 = y - 4 - 3 con l'espressione x = 4 + 9 · λ, y = 2 + λ, quindi otteniamo:

4 + 9 λ - 5 = 2 + λ - 4 - 3

Risolvendo troviamo che λ = - 1. Ne consegue che esiste un punto di intersezione tra le rette x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ, λ ∈ R e x - 5 = y - 4 - 3. Per calcolare le coordinate è necessario sostituire nell'equazione parametrica l'espressione λ = - 1. Quindi otteniamo che x = 4 + 9 · (- 1) y = 2 + (- 1) ⇔ x = - 5 y = 1.

Risposta: M 0 (- 5 , 1) .

Per comprendere appieno l'argomento, è necessario conoscere alcune sfumature.

Per prima cosa devi capire la posizione delle linee. Quando si intersecano troveremo le coordinate; negli altri casi non ci sarà soluzione. Per evitare questo controllo, puoi creare un sistema della forma A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 + C 2 = 0 Se esiste una soluzione, concludiamo che le linee si intersecano. Se non c'è soluzione, allora sono paralleli. Quando un sistema ha infinite soluzioni allora si dice che coincidono.

Esempio 6

Date le linee x 3 + y - 4 = 1 e y = 4 3 x - 4. Determina se hanno un punto in comune.

Soluzione

Semplificando le equazioni date, otteniamo 1 3 x - 1 4 y - 1 = 0 e 4 3 x - y - 4 = 0.

Le equazioni dovrebbero essere raccolte in un sistema per la successiva soluzione:

1 3 x - 1 4 y - 1 = 0 1 3 x - y - 4 = 0 ⇔ 1 3 x - 1 4 y = 1 4 3 x - y = 4

Da questo possiamo vedere che le equazioni si esprimono l'una attraverso l'altra, quindi otteniamo un numero infinito di soluzioni. Allora le equazioni x 3 + y - 4 = 1 e y = 4 3 x - 4 definiscono la stessa retta. Quindi non ci sono punti di intersezione.

Risposta: le equazioni date definiscono la stessa retta.

Esempio 7

Trova le coordinate del punto di intersezione delle linee 2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 e 2 3 + 2 x - 7 y - 1 = 0.

Soluzione

A seconda delle condizioni, ciò è possibile, le linee non si intersecheranno. È necessario creare un sistema di equazioni e risolverlo. Per risolvere, è necessario utilizzare il metodo gaussiano, poiché con il suo aiuto è possibile verificare la compatibilità dell'equazione. Otteniamo un sistema della forma:

2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 2 (3 + 2) x - 7 y - 1 = 0 ⇔ 2 x + (2 - 3) y = - 7 2 (3 + 2) x - 7 y = 1 ⇔ ⇔ 2 x + 2 - 3 y = - 7 2 (3 + 2) x - 7 y + (2 x + (2 - 3) y) · (- (3 + 2)) = 1 + - 7 · (- (3 + 2)) ⇔ ⇔ 2 x + (2 - 3) y = - 7 0 = 22 - 7 2

Abbiamo ricevuto un'uguaglianza errata, il che significa che il sistema non ha soluzioni. Concludiamo che le rette sono parallele. Non ci sono punti di intersezione.

Seconda soluzione.

Per prima cosa devi determinare la presenza di intersezioni di linee.

n 1 → = (2, 2 - 3) è il vettore normale della retta 2 x + (2 - 3) y + 7 = 0, allora il vettore n 2 → = (2 (3 + 2) , - 7 è il vettore normale per la linea 2 3 + 2 x - 7 y - 1 = 0 .

È necessario verificare la collinearità dei vettori n 1 → = (2, 2 - 3) e n 2 → = (2 (3 + 2) , - 7). Otteniamo un'uguaglianza della forma 2 2 (3 + 2) = 2 - 3 - 7. È corretto perché 2 2 3 + 2 - 2 - 3 - 7 = 7 + 2 - 3 (3 + 2) 7 (3 + 2) = 7 - 7 7 (3 + 2) = 0. Ne consegue che i vettori sono collineari. Ciò significa che le rette sono parallele e non hanno punti di intersezione.

Risposta: non ci sono punti di intersezione, le rette sono parallele.

Esempio 8

Trova le coordinate dell'intersezione delle linee indicate 2 x - 1 = 0 e y = 5 4 x - 2.

Soluzione

Per risolvere, componiamo un sistema di equazioni. Otteniamo

2 x - 1 = 0 5 4 x - y - 2 = 0 ⇔ 2 x = 1 5 4 x - y = 2

Troviamo il determinante della matrice principale. Per questo, 2 0 5 4 - 1 = 2 · (- 1) - 0 · 5 4 = - 2. Poiché non è uguale a zero, il sistema ha 1 soluzione. Ne consegue che le linee si intersecano. Risolviamo un sistema per trovare le coordinate dei punti di intersezione:

2 x = 1 5 4 x - y = 2 ⇔ x = 1 2 4 5 x - y = 2 ⇔ x = 1 2 5 4 1 2 - y = 2 ⇔ x = 1 2 y = - 11 8

Abbiamo trovato che il punto di intersezione delle linee indicate ha coordinate M 0 (1 2, - 11 8).

Risposta: M 0 (1 2 , - 11 8) .

Trovare le coordinate del punto di intersezione di due linee nello spazio

Allo stesso modo si trovano i punti di intersezione delle rette nello spazio.

Quando vengono fornite le linee rette a e b piano delle coordinate O x y z equazioni di piani che si intersecano, allora esiste una retta a, che può essere determinata utilizzando il sistema dato A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 1 = 0 e retta b - A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0.

Quando il punto M 0 è il punto di intersezione delle linee, le sue coordinate devono essere soluzioni di entrambe le equazioni. Otteniamo equazioni lineari nel sistema:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0

Diamo un'occhiata ad attività simili utilizzando esempi.

Esempio 9

Trova le coordinate del punto di intersezione delle linee date x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 e 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0

Soluzione

Componiamo il sistema x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 e lo risolviamo. Per trovare le coordinate, è necessario risolvere attraverso la matrice. Quindi otteniamo la matrice principale della forma A = 1 0 0 0 1 2 3 2 0 4 0 - 2 e la matrice estesa T = 1 0 0 1 0 1 2 - 3 4 0 - 2 4 . Determiniamo il rango gaussiano della matrice.

Lo capiamo

1 = 1 ≠ 0 , 1 0 0 1 = 1 ≠ 0 , 1 0 0 0 1 2 3 2 0 = - 4 ≠ 0 , 1 0 0 1 0 1 2 - 3 3 2 0 - 3 4 0 - 2 4 = 0

Ne consegue che il rango della matrice estesa ha valore 3. Allora il sistema di equazioni x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 27 - 4 = 0 dà come risultato una sola soluzione.

La base minore ha il determinante 1 0 0 0 1 2 3 2 0 = - 4 ≠ 0 , quindi l'ultima equazione non si applica. Otteniamo che x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 3 x + 2 y - 3. Soluzione del sistema x = 1 y + 2 z = - 3 3 x + 2 y = - 3 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 3 1 + 2 y = - 3 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 y = - 3 ⇔ ⇔ x = 1 - 3 + 2 z = - 3 y = - 3 ⇔ x = 1 z = 0 y = - 3 .

Ciò significa che il punto di intersezione x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 e 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 ha coordinate (1, - 3, 0).

Risposta: (1 , - 3 , 0) .

Sistema della forma A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0 ha una sola soluzione. Ciò significa che le linee a e b si intersecano.

In altri casi l’equazione non ha soluzione, cioè non ha nemmeno punti in comune. Cioè è impossibile trovare un punto con coordinate, poiché non esiste.

Pertanto, un sistema della forma A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0 si risolve con il metodo gaussiano. Se è incompatibile, le linee non si intersecano. Se le soluzioni sono infinite allora coincidono.

Puoi risolvere calcolando i ranghi principali ed estesi della matrice e quindi applicare il teorema di Kronecker-Capelli. Ne otteniamo uno, molti o completa assenza decisioni.

Esempio 10

Vengono fornite le equazioni delle linee x + 2 y - 3 z - 4 = 0 2 x - y + 5 = 0 e x - 3 z = 0 3 x - 2 y + 2 z - 1 = 0. Trova il punto di intersezione.

Soluzione

Innanzitutto, creiamo un sistema di equazioni. Otteniamo che x + 2 y - 3 z - 4 = 0 2 x - y + 5 = 0 x - 3 z = 0 3 x - 2 y + 2 z - 1 = 0. Lo risolviamo utilizzando il metodo gaussiano:

1 2 - 3 4 2 - 1 0 - 5 1 0 - 3 0 3 - 2 2 1 ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 - 2 0 - 4 0 - 8 11 - 11 ~ ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 0 - 12 5 6 5 0 0 7 5 - 159 5 ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 0 - 12 5 6 5 0 0 0 311 10

Ovviamente il sistema non ha soluzioni, il che significa che le linee non si intersecano. Non esiste un punto di intersezione.

Risposta: non esiste un punto di intersezione.

Se le linee sono date utilizzando equazioni coniche o parametriche, è necessario ridurle alla forma di equazioni di piani che si intersecano e quindi trovare le coordinate.

Esempio 11

Date due rette x = - 3 - λ y = - 3 λ z = - 2 + 3 λ, λ ∈ R e x 2 = y - 3 0 = z 5 in O x y z. Trova il punto di intersezione.

Soluzione

Definiamo le linee rette mediante equazioni di due piani che si intersecano. Lo capiamo

x = - 3 - λ y = - 3 λ z = - 2 + 3 λ ⇔ λ = x + 3 - 1 λ = y - 3 λ = z + 2 3 ⇔ x + 3 - 1 = y - 3 = z + 2 3 ⇔ ⇔ x + 3 - 1 = y - 3 x + 3 - 1 = z + 2 3 ⇔ 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 x 2 = y - 3 0 = z 5 ⇔ y - 3 = 0 x 2 = z 5 ⇔ y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0

Troviamo le coordinate 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0, per questo calcoliamo i ranghi della matrice. Il rango della matrice è 3 e la base minore è 3 - 1 0 3 0 1 0 1 0 = - 3 ≠ 0, il che significa che l'ultima equazione deve essere esclusa dal sistema. Lo capiamo

3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0 ⇔ 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0

Risolviamo il sistema utilizzando il metodo di Cramer. Otteniamo che x = - 2 y = 3 z = - 5. Da qui otteniamo che l'intersezione delle linee indicate dà un punto con coordinate (- 2, 3, - 5).

Risposta: (- 2 , 3 , - 5) .

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Lezione dalla serie “Algoritmi geometrici”

Ciao caro lettore!

Continuiamo a conoscere gli algoritmi geometrici. Nell'ultima lezione abbiamo trovato l'equazione di una retta utilizzando le coordinate di due punti. Abbiamo ottenuto un'equazione della forma:

Oggi scriveremo una funzione che, utilizzando le equazioni di due rette, troverà le coordinate del loro punto di intersezione (se ce n'è uno). Per verificare l'uguaglianza dei numeri reali, utilizzeremo la funzione speciale RealEq().

I punti sul piano sono descritti da una coppia di numeri reali. Quando si utilizza un tipo reale, è meglio implementare le operazioni di confronto utilizzando funzioni speciali.

Il motivo è noto: sul tipo Real nel sistema di programmazione Pascal non esiste alcuna relazione d'ordine, quindi è meglio non utilizzare record della forma a = b, dove aeb sono numeri reali.
Oggi introdurremo la funzione RealEq() per implementare l'operazione “=" (strettamente uguale):

Funzione RealEq(Cost a, b:Reale):Booleano; (rigorosamente uguale) comincia RealEq:=Abs(a-b)<=_Eps End; {RealEq}

Compito. Sono date le equazioni di due rette: e . Trova il punto della loro intersezione.

Soluzione. La soluzione ovvia è risolvere il sistema di equazioni di linea: Riscriviamo questo sistema in modo leggermente diverso:
(1)

Introduciamo la seguente notazione: , , . Qui D è il determinante del sistema, e sono i determinanti risultanti dalla sostituzione della colonna dei coefficienti per l'incognita corrispondente con una colonna dei termini liberi. Se , allora il sistema (1) è definito, cioè ha un'unica soluzione. Questa soluzione può essere trovata utilizzando le seguenti formule: , che vengono chiamate Formule di Cramer. Lascia che ti ricordi come viene calcolato il determinante del secondo ordine. Il determinante distingue due diagonali: la principale e la secondaria. La diagonale principale è costituita da elementi presi nella direzione dall'angolo in alto a sinistra del determinante all'angolo in basso a destra. Diagonale laterale: dall'alto a destra verso il basso a sinistra. Il determinante del secondo ordine è uguale al prodotto degli elementi della diagonale principale meno il prodotto degli elementi della diagonale secondaria.

Il codice utilizza la funzione RealEq() per verificare l'uguaglianza. I calcoli sui numeri reali vengono eseguiti con una precisione di _Eps=1e-7.

Programma geom2; Cost_Eps: Reale=1e-7;(precisione del calcolo) var a1,b1,c1,a2,b2,c2,x,y,d,dx,dy:Reale;<=_Eps End; {RealEq} Function LineToPoint(a1,b1,c1,a2,b2,c2: real; var x,y:real):Boolean; {Определение координат точки пересечения двух линий. Значение функции равно true, если точка пересечения есть, и false, если прямые параллельны. } var d:real; begin d:=a1*b2-b1*a2; if Not(RealEq(d,0)) then begin LineToPoint:=True; dx:=-c1*b2+b1*c2; dy:=-a1*c2+c1*a2; x:=dx/d; y:=dy/d; end else LineToPoint:=False End;{LineToPoint} begin {main} writeln("Введите коэффициенты уравнений: a1,b1,c1,a2,b2,c2 "); readln(a1,b1,c1,a2,b2,c2); if LineToPoint(a1,b1,c1,a2,b2,c2,x,y) then writeln(x:5:1,y:5:1) else writeln("Прямые параллельны."); end.

Funzione RealEq(Cost a, b:Reale):Booleano; (rigorosamente uguale) comincia RealEq:=Abs(a-b)

Abbiamo compilato un programma con il quale puoi, conoscendo le equazioni delle rette, trovare le coordinate dei loro punti di intersezione.

Questo compito è probabilmente uno dei più popolari e richiesti nei libri di testo scolastici. I compiti basati su questo argomento sono vari. Questa è la definizione del punto di intersezione di due linee, questa è anche la definizione dell'equazione di una linea che passa per un punto della linea originale con qualsiasi angolo.

Tratteremo questo argomento utilizzando nei nostri calcoli i dati ottenuti utilizzando

Fu lì che fu considerata la trasformazione dell'equazione generale di una retta in un'equazione con un coefficiente angolare e viceversa, e la determinazione dei restanti parametri della retta secondo determinate condizioni.

Cosa ci manca per risolvere i problemi a cui è dedicata questa pagina?

1. Formule per il calcolo di uno degli angoli tra due linee che si intersecano.

Se abbiamo due linee date dalle equazioni:

quindi uno degli angoli viene calcolato in questo modo:

2. Equazione di una retta con pendenza passante per un dato punto

Dalla formula 1 possiamo vedere due stati limite

a) quando allora e quindi queste due rette date sono parallele (o coincidono)

b) quando , allora , e quindi queste linee sono perpendicolari, cioè si intersecano ad angolo retto.

Quali potrebbero essere i dati iniziali per risolvere tali problemi, oltre alla linea retta fornita?

Un punto su una linea retta e l'angolo al quale la seconda linea retta la interseca

Seconda equazione della retta

Quali problemi può risolvere un bot?

1. Due linee sono date (esplicitamente o indirettamente, ad esempio, da due punti). Calcola il punto di intersezione e gli angoli ai quali si intersecano.

2. Data una retta, un punto su una retta e un angolo. Determina l'equazione di una linea retta che interseca una data linea con un angolo specificato

Esempi

Due linee sono date da equazioni. Trova il punto di intersezione di queste linee e gli angoli in cui si intersecano

riga_p A=11;B=-5;C=6,k=3/7;b=-5

Otteniamo il seguente risultato

Equazione della prima riga

y = 2,2 x + (1,2)

Equazione della seconda riga

y = 0,4285714285714 x + (-5)

Angolo d'intersezione di due rette (in gradi)

-42.357454705937

Punto di intersezione di due linee

x = -3,5

y = -6,5

Non dimenticare che i parametri di due righe sono separati da una virgola e che i parametri di ciascuna riga sono separati da un punto e virgola.

Una retta passa per due punti (1:-4) e (5:2). Trova l'equazione della linea che passa per il punto (-2:-8) e interseca la linea originale con un angolo di 30 gradi.

Conosciamo una linea retta perché conosciamo i due punti per i quali passa.

Resta da determinare l'equazione della seconda linea. Conosciamo un punto, ma invece del secondo, viene indicato l'angolo in cui la prima linea interseca la seconda.

Sembra che tutto sia noto, ma la cosa principale qui è non commettere errori. Stiamo parlando dell'angolo (30 gradi) non tra l'asse x e la linea, ma tra la prima e la seconda linea.

Ecco perché pubblichiamo così. Determiniamo i parametri della prima linea e scopriamo con quale angolo interseca l'asse x.

linea xa=1;xb=5;ya=-4;yb=2

Equazione generale Ax+By+C = 0

Coefficiente A = -6

Fattore B = 4

Fattore C = 22

Coefficiente a= 3,6666666666667

Coefficiente b = -5,5

Coefficiente k = 1,5

Angolo di inclinazione rispetto all'asse (in gradi) f = 56,309932474019

Coefficiente p = 3,0508510792386

Coefficiente q = 2,5535900500422

Distanza tra i punti=7.211102550928

Vediamo che la prima linea interseca l'asse ad angolo 56.309932474019 gradi.

I dati di origine non dicono esattamente come la seconda linea interseca la prima. Dopotutto, puoi costruire due linee che soddisfano le condizioni, la prima ruotata di 30 gradi IN SENSO ORARIO e la seconda di 30 gradi IN SENSO ANTIorario.

Contiamoli

Se la seconda linea viene ruotata di 30 gradi in senso antiorario, la seconda linea avrà il grado di intersezione con l'asse x 30+56.309932474019 = 86 .309932474019 gradi

riga_p xa=-2;ya=-8;f=86.309932474019

Parametri di una linea retta secondo i parametri specificati

Equazione generale Ax+By+C = 0

Coefficiente A = 23,011106998916

Coefficiente B = -1,4840558255286

Coefficiente C = 34,149767393603

Equazione di una retta in segmenti x/a+y/b = 1

Coefficiente a= -1,4840558255286

Coefficiente b = 23,011106998916

Equazione di una retta con coefficiente angolare y = kx + b

Coefficiente k = 15,50553499458

Angolo di inclinazione rispetto all'asse (in gradi) f = 86,309932474019

Equazione normale della retta x*cos(q)+y*sin(q)-p = 0

Coefficiente p = -1,4809790664999

Coefficiente q = 3,0771888256405

Distanza tra i punti=23.058912962428

Distanza da un punto ad una retta li =

cioè, la nostra equazione di seconda riga è y= 15.505553499458x+ 23.011106998916

Argomento 3. Teoria

Geometria analitica nello spazio.

Equazioni del piano e della retta.

 Equazione generale aereo è un'equazione algebrica del primo ordine rispetto alle coordinate (X; sì; z)

- normale , un vettore perpendicolare al piano.

Le condizioni di parallelismo e perpendicolarità dei piani sono determinate dalle condizioni di collinearità e perpendicolarità delle normali.

Alcuni tipi standard di equazioni piane:

	Equazione di un piano perpendicolare a un vettore passante per un dato punto M 0 (X 0 , sì 0 , z 0 )	A(x-x 0 )+B(a-a 0 )+C(z-z 0 )=0
	Piano passante per tre punti dati M 1 (X 1 , sì 1 , z 1 ) , M 2 (X 2 , sì 2 , z 2 ) , M 3 (X 3 , sì 3 , z 3 )
	Parallelo a due vettori dati E , (non collineare ), passando per il punto M 0 (X 0 , sì 0 , z 0 )
	Passaggio per due punti dati M 1 E M 2 , parallelo al vettore , (non collineare )
	Passaggio per un dato punto M 0 (X 0 , sì 0 , z 0 ) , perpendicolare a due piani dati: UN 1 x+B 1 y+C 1 z+D 1 =0 ; UN 2 x+B 2 y+C 2 z+D 2 =0 .

Le equazioni effettive del piano si otterranno espandendo il determinante corrispondente nella prima riga.

 Formula per il calcolo distanze da dato punto M 1 (X 1 , sì 1 , z 1 ) A aereo, dato dall'equazione Ah+Di+ Cz+ D=0 :

.

Ovviamente, se D=0 , quindi puntare M 1 appartiene all'aereo.

 Linea retta nello spazio è definita come la linea di intersezione di due piani non paralleli (qualsiasi piano passante per una linea retta).

Tipi di equazioni di una linea retta nello spazio:

		Equazioni generali di una linea (intersezione di due piani)
	, M 0 (X 0 , sì 0 , z 0 ) – qualunque punto giacente su una retta. -vettore guida diretto	Equazioni canoniche retta o equazioni di una retta passante per un dato punto con un dato vettore direzione
		Equazione parametrica
		Equazioni di una retta passante per due punti dati M 1 e M 2

Le condizioni di parallelismo e perpendicolarità delle linee nello spazio sono definite rispettivamente come le condizioni di collinearità e perpendicolarità dei loro vettori di direzione. Siano allora le rette (1) e (2) date in forma canonica o parametrica

.

 Condizione per l'intersezione di due linee nello spazio – questa è la condizione di complonarità di tre vettori:

 Transizione dalle equazioni lineari generali alle equazioni in forma canonica o parametrica si effettua come segue (è possibile anche la transizione inversa).

Le equazioni della retta sono date in forma generale:
.

Troviamo le coordinate del vettore direzione:
come prodotto vettoriale delle normali dei piani che definiscono la linea.

Lo troveremo Qualunque un punto appartenente ad una retta. Inoltre appartiene ad entrambi i piani che definiscono la linea, quindi le sue coordinate (x 0, y 0, z 0) possono essere trovate dal sistema di equazioni:

,

in cui una delle coordinate deve essere specificata arbitrariamente (poiché troviamo Qualunque punto), ma in modo che il sistema abbia una soluzione unica. Coordinate vettoriali e il punto trovato viene sostituito in equazioni canoniche o parametriche.

Le condizioni di parallelismo e perpendicolarità di una retta e di un piano sono formulate come condizioni di perpendicolarità e parallelismo della normale e del vettore direzione.

, Al+Bm+Cn=0.	, .

Punto di intersezione

Date due rette, definite dai loro coefficienti e . Devi trovare il loro punto di intersezione o scoprire che le linee sono parallele.

Soluzione

Se due rette non sono parallele allora si intersecano. Per trovare il punto di intersezione è sufficiente creare un sistema di due equazioni rette e risolverlo:

Utilizzando la formula di Cramer troviamo immediatamente una soluzione al sistema, che sarà quella desiderata punto di intersezione:

Se il denominatore è zero, cioè

allora il sistema non ha soluzioni (dirette parallelo e non coincidono) o ne ha infiniti (direct incontro). Se occorre distinguere tra questi due casi, occorre verificare che i coefficienti delle rette siano proporzionali con lo stesso coefficiente di proporzionalità dei coefficienti e , per cui basta calcolare i due determinanti se lo sono entrambi; uguale a zero, allora le linee coincidono:

Attuazione

struttura pt(doppio x, y;); struct line(double a, b, c;); constdouble EPS =1e-9; double det (double a, double b, double c, double d)(return a * d - b * c;) bool intersect (line m, line n, pt & res)(double zn = det (m.a, m.b, n.a , n.b);se(abs(zn)< EPS)returnfalse; res.x=- det (m.c, m.b, n.c, n.b)/ zn; res.y=- det (m.a, m.c, n.a, n.c)/ zn;returntrue;} bool parallel (line m, line n){returnabs(det (m.a, m.b, n.a, n.b))< EPS;} bool equivalent (line m, line n){returnabs(det (m.a, m.b, n.a, n.b))< EPS &&abs(det (m.a, m.c, n.a, n.c))< EPS &&abs(det (m.b, m.c, n.b, n.c))< EPS;}

Lezione dalla serie “ Algoritmi geometrici»

Ciao caro lettore.

Suggerimento 1: come trovare le coordinate del punto di intersezione di due linee

Scriviamo altre tre nuove funzioni.

La funzione LinesCross() determinerà se intersecare se due segmento. In esso, la posizione relativa dei segmenti viene determinata utilizzando prodotti vettoriali. Per calcolare i prodotti vettoriali, scriveremo una funzione – VektorMulti().

La funzione RealLess() verrà utilizzata per implementare l’operazione di confronto “<” (строго меньше) для вещественных чисел.

Compito 1. Due segmenti sono dati dalle loro coordinate. Scrivere un programma che determini questi segmenti si intersecano? senza trovare il punto di intersezione.

Soluzione
. Il secondo è dato dai punti.

Considera il segmento, i punti e .

Il punto si trova a sinistra della linea, per esso il prodotto vettoriale > 0, poiché i vettori sono orientati positivamente.

Il punto si trova a destra della linea, per la quale è il prodotto vettoriale< 0, так как векторы отрицательно ориентированы.

Affinché i punti e giacciano da parti opposte della retta è sufficiente che la condizione sia soddisfatta< 0 (векторные произведения имели противоположные знаки).

Un ragionamento simile può essere effettuato per il segmento e i punti e .

Quindi se , quindi i segmenti si intersecano.

Per verificare questa condizione, viene utilizzata la funzione LinesCross() e la funzione VektorMulti() viene utilizzata per calcolare i prodotti vettoriali.

ax, ay – coordinate del primo vettore,

bx, per – coordinate del secondo vettore.

Programma geometri4; (2 segmenti si intersecano?) Const _Eps: Real=1e-4; (precisione del calcolo) var x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4: reale; var v1,v2,v3,v4: reale;funzione RealLess(Cost a, b: Reale): Booleano; (Rigorosamente inferiore a) Begin RealLess:= b-a> _Eps end; (RealLess)funzione VektorMulti(ax,ay,bx,by:real): reale; (ax,ay - coordinate a bx,by - coordinate b) Begin vektormulti:= ax*by-bx*ay; end;Funzione LinesCross(x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4:real): boolean; (I segmenti si intersecano?) iniziano v1:=vektormulti(x4-x3,y4-y3,x1-x3,y1-y3); v2:=vettoremulti(x4-x3,y4-y3,x2-x3,y2-y3); v3:=vettoremulti(x2-x1,y2-y1,x3-x1,y3-y1); v4:=vettoremulti(x2-x1,y2-y1,x4-x1,y4-y1); if Meno Reale(v1*v2,0) e Meno Reale(v3*v4,0) (v1v2<0 и v3v4<0, отрезки пересекаются} then LinesCross:= true else LinesCross:= false end; {LinesCross}begin {main} writeln(‘Введите координаты отрезков: x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4’); readln(x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4); if LinesCross(x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4) then writeln (‘Да’) else writeln (‘Нет’) end.

Risultati dell'esecuzione del programma:

Inserisci le coordinate dei segmenti: -1 1 2 2.52 2 1 -1 3
SÌ.

Abbiamo scritto un programma che determina se i segmenti specificati dalle loro coordinate si intersecano.

Nella prossima lezione creeremo un algoritmo che può essere utilizzato per determinare se un punto si trova all'interno di un triangolo.

Caro lettore.

Hai già conosciuto diverse lezioni della serie Algoritmi geometrici. È tutto scritto in modo accessibile? Ti sarò molto grato se lascerai un feedback su queste lezioni. Forse c'è ancora qualcosa da migliorare.

Cordiali saluti, Vera Gospodarets.

Siano dati due segmenti. Il primo è dato dai punti P1 (x1;y1) E P2 (x2 ;y2). La seconda è data dai punti P3 (x3 ;y3) E P4 (x4 ;y4).

La posizione relativa dei segmenti può essere verificata utilizzando i prodotti vettoriali:

Considera il segmento P3P4 e punti P1 E P2.

Punto P1 si trova a sinistra della linea P3P4, per lei il prodotto vettoriale v1 > 0, poiché i vettori sono orientati positivamente.
Punto P2 situato a destra della linea, per essa il prodotto vettoriale v2< 0 , poiché i vettori sono orientati negativamente.

Per chiarire il punto P1 E P2 giacere sui lati opposti di una linea retta P3P4, è sufficiente che la condizione sia soddisfatta v1v2< 0 (i prodotti vettoriali avevano segni opposti).

Un ragionamento simile può essere fatto per il segmento P1P2 e punti P3 E P4.

Quindi se v1v2< 0 E v3v4< 0 , quindi i segmenti si intersecano.

Il prodotto vettoriale di due vettori si calcola utilizzando la formula:

Dove:
ascia, sì— coordinate del primo vettore,
bx, di— coordinate del secondo vettore.

Equazione di una retta passante per due punti diversi individuati dalle loro coordinate.

Siano dati due punti non coincidenti su una retta: P1 con coordinate ( x1;y1) E P2 con le coordinate (x2; y2).

Intersezione di linee

Di conseguenza, un vettore con origine nel punto P1 e terminare in un punto P2 ha delle coordinate (x2 -x1, y2 -y1). Se P(x, y)è un punto arbitrario su una linea, quindi le coordinate del vettore P1P pari (x - x 1, y - y 1).

Utilizzando il prodotto vettoriale, la condizione per la collinearità dei vettori P1P E P1P2 può essere scritto così:
|P1P,P1P2 |=0, cioè. (x-x 1)(y 2 -y 1)-(y-y 1)(x 2 -x 1)=0
O
(y 2 -y 1)x + (x 1 -x 2)y + x 1 (y 1 -y 2) + y 1 (x 2 -x 1) = 0

L’ultima equazione viene riscritta come segue:
ax + by + c = 0, (1)
Dove
a = (y2 -y1),
b = (x1 -x2),
c = x 1 (y 1 -y 2) + y 1 (x 2 -x 1)

Quindi, la retta può essere specificata da un'equazione della forma (1).

Come trovare il punto di intersezione delle linee?
La soluzione ovvia è risolvere il sistema di equazioni di linea:

asse 1 +per 1 =-c 1
ax 2 +per 2 =-c 2 (2)

Inserisci i simboli:

Qui Dè il determinante del sistema, e Dx,D— determinanti risultanti dalla sostituzione della colonna dei coefficienti con la corrispondente incognita con una colonna dei termini liberi. Se D ≠ 0, allora il sistema (2) è definito, cioè ha un'unica soluzione. Questa soluzione può essere trovata utilizzando le seguenti formule: x 1 =D x /D, y 1 =D y /D, che sono chiamate formule di Cramer. Un breve promemoria su come viene calcolato il determinante del secondo ordine. Il determinante distingue due diagonali: la principale e la secondaria. La diagonale principale è costituita da elementi presi nella direzione dall'angolo in alto a sinistra del determinante all'angolo in basso a destra. Diagonale laterale: dall'alto a destra verso il basso a sinistra. Il determinante del secondo ordine è uguale al prodotto degli elementi della diagonale principale meno il prodotto degli elementi della diagonale secondaria.