सामान्य लघुगणक. लोगारित्म

लघुगणक क्या है?

ध्यान!
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और उन लोगों के लिए जो "बहुत ज्यादा...")

लघुगणक क्या है? लघुगणक कैसे हल करें? ये प्रश्न कई स्नातकों को भ्रमित करते हैं। परंपरागत रूप से, लघुगणक का विषय जटिल, समझ से बाहर और डरावना माना जाता है। विशेषकर लघुगणक वाले समीकरण।

यह बिल्कुल सच नहीं है। बिल्कुल! मुझ पर विश्वास नहीं है? अच्छा। अब, केवल 10-20 मिनट में आप:

1. समझें लघुगणक क्या है.

2. पूरी कक्षा को हल करना सीखें घातीय समीकरण. भले ही आपने उनके बारे में कुछ नहीं सुना हो.

3. सरल लघुगणक की गणना करना सीखें।

इसके अलावा, इसके लिए आपको केवल गुणन सारणी और किसी संख्या को घात तक कैसे बढ़ाया जाए, यह जानने की आवश्यकता होगी...

मुझे लगता है कि आपको संदेह है... ठीक है, ठीक है, समय चिह्नित करें! जाना!

सबसे पहले, इस समीकरण को अपने दिमाग में हल करें:

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आप उदाहरणों को हल करने का अभ्यास कर सकते हैं और अपने स्तर का पता लगा सकते हैं। त्वरित सत्यापन के साथ परीक्षण। आइए जानें - रुचि के साथ!)

आप फ़ंक्शंस और डेरिवेटिव से परिचित हो सकते हैं।

संख्या b (b > 0) से आधार a (a > 0, a ≠ 1) का लघुगणक- घातांक जिससे संख्या a को b प्राप्त करने के लिए बढ़ाया जाना चाहिए।

बी का आधार 10 लघुगणक इस प्रकार लिखा जा सकता है लॉग(बी), और आधार ई का लघुगणक (प्राकृतिक लघुगणक) है एलएन(बी).

लघुगणक के साथ समस्याओं को हल करते समय अक्सर उपयोग किया जाता है:

लघुगणक के गुण

ये चार मुख्य हैं लघुगणक के गुण.

मान लीजिए a > 0, a ≠ 1, x > 0 और y > 0.

संपत्ति 1. उत्पाद का लघुगणक

उत्पाद का लघुगणक योग के बराबरलघुगणक:

लॉग ए (एक्स ⋅ वाई) = लॉग ए एक्स + लॉग ए वाई

गुण 2. भागफल का लघुगणक

भागफल का लघुगणकलघुगणक के अंतर के बराबर:

लॉग ए (एक्स / वाई) = लॉग ए एक्स - लॉग ए वाई

संपत्ति 3. शक्ति का लघुगणक

डिग्री का लघुगणक उत्पाद के बराबरप्रति लघुगणक शक्तियाँ:

यदि लघुगणक का आधार डिग्री में है, तो दूसरा सूत्र लागू होता है:

गुण 4. मूल का लघुगणक

यह गुण किसी घात के लघुगणक के गुण से प्राप्त किया जा सकता है, क्योंकि घात का nवाँ मूल 1/n की घात के बराबर है:

एक आधार के लघुगणक को दूसरे आधार के लघुगणक में बदलने का सूत्र

लघुगणक पर विभिन्न समस्याओं को हल करते समय भी इस सूत्र का उपयोग अक्सर किया जाता है:

विशेष मामला:

लघुगणक (असमानताएं) की तुलना करना

आइए हमारे पास समान आधार वाले लघुगणक के तहत 2 फ़ंक्शन f(x) और g(x) हैं और उनके बीच एक असमानता चिह्न है:

उनकी तुलना करने के लिए, आपको सबसे पहले लघुगणक के आधार को देखना होगा:

• यदि a > 0, तो f(x) > g(x) > 0
• यदि 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

लघुगणक के साथ समस्याओं को कैसे हल करें: उदाहरण

लघुगणक के साथ समस्याएँकार्य 5 और कार्य 7 में ग्रेड 11 के लिए गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा में शामिल, आप हमारी वेबसाइट पर उपयुक्त अनुभागों में समाधान के साथ कार्य पा सकते हैं। साथ ही, गणित कार्य बैंक में लघुगणक वाले कार्य पाए जाते हैं। आप साइट पर खोज कर सभी उदाहरण पा सकते हैं।

लघुगणक क्या है

लघुगणक पर सदैव विचार किया गया है जटिल विषयवी स्कूल पाठ्यक्रमअंक शास्त्र। लघुगणक की कई अलग-अलग परिभाषाएँ हैं, लेकिन किसी कारण से अधिकांश पाठ्यपुस्तकें उनमें से सबसे जटिल और असफल परिभाषाओं का उपयोग करती हैं।

हम लघुगणक को सरल एवं स्पष्ट रूप से परिभाषित करेंगे। ऐसा करने के लिए, आइए एक तालिका बनाएं:

तो, हमारे पास दो की शक्तियाँ हैं।

लघुगणक - गुण, सूत्र, कैसे हल करें

यदि आप नीचे की पंक्ति से संख्या लेते हैं, तो आप आसानी से उस शक्ति का पता लगा सकते हैं जिस तक आपको इस संख्या को प्राप्त करने के लिए दो को उठाना होगा। उदाहरण के लिए, 16 प्राप्त करने के लिए, आपको दो को चौथी घात तक बढ़ाने की आवश्यकता है। और 64 प्राप्त करने के लिए, आपको दो को छठी घात तक बढ़ाने की आवश्यकता है। इसे तालिका से देखा जा सकता है।

और अब - वास्तव में, लघुगणक की परिभाषा:

तर्क x का आधार a वह शक्ति है जिससे संख्या x प्राप्त करने के लिए संख्या a को बढ़ाया जाना चाहिए।

पदनाम: लॉग ए एक्स = बी, जहां ए आधार है, एक्स तर्क है, बी वह है जो लघुगणक वास्तव में बराबर है।

उदाहरण के लिए, 2 3 = 8 ⇒log 2 8 = 3 (8 का आधार 2 लघुगणक तीन है क्योंकि 2 3 = 8)। उसी सफलता के साथ, लॉग 2 64 = 6, क्योंकि 2 6 = 64।

किसी संख्या का किसी दिए गए आधार पर लघुगणक ज्ञात करने की क्रिया कहलाती है। तो, आइए अपनी तालिका में एक नई पंक्ति जोड़ें:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
लॉग 2 2 = 1	लॉग 2 4 = 2	लॉग 2 8 = 3	लॉग 2 16 = 4	लॉग 2 32 = 5	लॉग 2 64 = 6

दुर्भाग्य से, सभी लघुगणक की गणना इतनी आसानी से नहीं की जाती है। उदाहरण के लिए, लघुगणक 2 5 खोजने का प्रयास करें। संख्या 5 तालिका में नहीं है, लेकिन तर्क बताता है कि लघुगणक अंतराल पर कहीं स्थित होगा। क्योंकि 2 2< 5 < 2 3 , а чем अधिक डिग्रीदो, संख्या जितनी बड़ी होगी.

ऐसी संख्याओं को अपरिमेय कहा जाता है: दशमलव बिंदु के बाद की संख्याओं को अनंत तक लिखा जा सकता है, और उन्हें कभी भी दोहराया नहीं जाता है। यदि लघुगणक अपरिमेय हो जाता है, तो इसे इस प्रकार छोड़ना बेहतर है: लघुगणक 2 5, लघुगणक 3 8, लघुगणक 5 100।

यह समझना महत्वपूर्ण है कि लघुगणक दो चर (आधार और तर्क) के साथ एक अभिव्यक्ति है। पहले तो कई लोग भ्रमित हो जाते हैं कि आधार कहां है और तर्क कहां है। कष्टप्रद ग़लतफहमियों से बचने के लिए, बस चित्र देखें:

हमारे सामने लघुगणक की परिभाषा से अधिक कुछ नहीं है। याद करना: लघुगणक एक शक्ति है, जिसमें तर्क प्राप्त करने के लिए आधार बनाया जाना चाहिए। यह आधार है जिसे एक शक्ति तक उठाया जाता है - इसे चित्र में लाल रंग में हाइलाइट किया गया है। इससे पता चलता है कि आधार हमेशा सबसे नीचे होता है! मैं अपने विद्यार्थियों को पहले पाठ में ही यह अद्भुत नियम बता देता हूँ - और कोई भ्रम पैदा नहीं होता।

लघुगणक कैसे गिनें

हमने परिभाषा का पता लगा लिया है - जो कुछ बचा है वह सीखना है कि लघुगणक की गणना कैसे करें, अर्थात्। "लॉग" चिह्न से छुटकारा पाएं। आरंभ करने के लिए, हम ध्यान दें कि परिभाषा से दो महत्वपूर्ण तथ्य निकलते हैं:

1. तर्क और आधार सदैव शून्य से बड़ा होना चाहिए। यह एक तर्कसंगत घातांक द्वारा डिग्री की परिभाषा से अनुसरण करता है, जिसमें लघुगणक की परिभाषा कम हो जाती है।
2. आधार एक से भिन्न होना चाहिए, क्योंकि किसी भी स्तर तक एक अभी भी एक ही रहता है। इस कारण से, यह प्रश्न कि "दो प्राप्त करने के लिए एक को किस शक्ति तक बढ़ाया जाना चाहिए" निरर्थक है। ऐसी कोई डिग्री नहीं है!

ऐसे प्रतिबंध कहलाते हैं क्षेत्र स्वीकार्य मूल्य (ओडीजेड)। यह पता चला है कि लघुगणक का ODZ इस तरह दिखता है: log a x = b ⇒x > 0, a > 0, a ≠ 1.

ध्यान दें कि संख्या b (लघुगणक का मान) पर कोई प्रतिबंध नहीं है। उदाहरण के लिए, लघुगणक ऋणात्मक हो सकता है: लघुगणक 2 0.5 = −1, क्योंकि 0.5 = 2 −1.

हालाँकि, अब हम केवल संख्यात्मक अभिव्यक्तियों पर विचार कर रहे हैं जहाँ लघुगणक का VA जानने की आवश्यकता नहीं है। कार्यों के लेखकों द्वारा सभी प्रतिबंधों को पहले ही ध्यान में रखा जा चुका है। लेकिन जब लघुगणक समीकरण और असमानताएं चलन में आएंगी, तो डीएल आवश्यकताएं अनिवार्य हो जाएंगी। आख़िरकार, आधार और तर्क में बहुत मजबूत निर्माण शामिल हो सकते हैं जो जरूरी नहीं कि उपरोक्त प्रतिबंधों के अनुरूप हों।

आइए अब लघुगणक की गणना के लिए सामान्य योजना देखें। इसमें तीन चरण होते हैं:

1. आधार a और तर्क x को एक घात के रूप में व्यक्त करें जिसका न्यूनतम संभव आधार एक से अधिक हो। साथ ही, दशमलव से छुटकारा पाना बेहतर है;
2. चर b के लिए समीकरण हल करें: x = a b ;
3. परिणामी संख्या b उत्तर होगी।

बस इतना ही! यदि लघुगणक अपरिमेय हो जाता है, तो यह पहले चरण में ही दिखाई देगा। यह आवश्यकता कि आधार एक से बड़ा हो, बहुत महत्वपूर्ण है: इससे त्रुटि की संभावना कम हो जाती है और गणनाएँ बहुत सरल हो जाती हैं। दशमलव भिन्नों के साथ भी ऐसा ही है: यदि आप उन्हें तुरंत सामान्य अंशों में बदल दें, तो बहुत कम त्रुटियाँ होंगी।

आइए विशिष्ट उदाहरणों का उपयोग करके देखें कि यह योजना कैसे काम करती है:

काम। लघुगणक की गणना करें: लघुगणक 5 25

1. आइए आधार और तर्क की कल्पना पाँच की घात के रूप में करें: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;

आइए समीकरण बनाएं और हल करें:
लॉग 5 25 = बी ⇒(5 1) बी = 5 2 ⇒5 बी = 5 2 ⇒ बी = 2;

2. हमें उत्तर मिला: 2.

काम। लघुगणक की गणना करें:

काम। लघुगणक की गणना करें: लघुगणक 4 64

1. आइए आधार और तर्क की कल्पना दो की घात के रूप में करें: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
2. आइए समीकरण बनाएं और हल करें:
   लॉग 4 64 = बी ⇒(2 2) बी = 2 6 ⇒2 2बी = 2 6 ⇒2बी = 6 ⇒ बी = 3;
3. हमें उत्तर मिला: 3.

काम। लघुगणक की गणना करें: लघुगणक 16 1

1. आइए आधार और तर्क की कल्पना दो की घात के रूप में करें: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
2. आइए समीकरण बनाएं और हल करें:
   लॉग 16 1 = बी ⇒(2 4) बी = 2 0 ⇒2 4बी = 2 0 ⇒4बी = 0 ⇒ बी = 0;
3. हमें उत्तर मिला: 0.

काम। लघुगणक की गणना करें: लघुगणक 7 14

1. आइए आधार और तर्क की कल्पना सात की घात के रूप में करें: 7 = 7 1 ; 14 को सात की घात के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता, क्योंकि 7 1< 14 < 7 2 ;
2. पिछले पैराग्राफ से यह पता चलता है कि लघुगणक की गिनती नहीं होती है;
3. उत्तर कोई परिवर्तन नहीं है: लॉग 7 14।

अंतिम उदाहरण पर एक छोटा सा नोट। आप यह कैसे सुनिश्चित कर सकते हैं कि एक संख्या किसी अन्य संख्या की सटीक घात नहीं है? यह बहुत सरल है - बस इसे अभाज्य गुणनखंडों में शामिल करें। यदि विस्तार में कम से कम दो अलग-अलग कारक हैं, तो संख्या सटीक शक्ति नहीं है।

काम। पता लगाएँ कि क्या संख्याएँ सटीक घात हैं: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - सटीक डिग्री, क्योंकि केवल एक गुणक है;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - एक सटीक घात नहीं है, क्योंकि दो कारक हैं: 3 और 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - सटीक डिग्री;
35 = 7 · 5 - फिर से कोई सटीक शक्ति नहीं;
14 = 7 · 2 - फिर भी कोई सटीक डिग्री नहीं;

हम यह भी ध्यान दें कि हम स्वयं प्रमुख संख्यावे हमेशा स्वयं की सटीक डिग्री होते हैं।

दशमलव लघुगणक

कुछ लघुगणक इतने सामान्य हैं कि उनका एक विशेष नाम और प्रतीक होता है।

तर्क का x आधार 10 का लघुगणक है, अर्थात संख्या x प्राप्त करने के लिए संख्या 10 को जिस शक्ति तक बढ़ाया जाना चाहिए। पदनाम: एलजी एक्स.

उदाहरण के लिए, लॉग 10 = 1; एलजी 100 = 2; एलजी 1000 = 3 - आदि।

अब से, जब किसी पाठ्यपुस्तक में "फाइंड एलजी 0.01" जैसा वाक्यांश दिखाई दे, तो जान लें कि यह कोई टाइपो त्रुटि नहीं है। यह दशमलव लघुगणक है. हालाँकि, यदि आप इस संकेतन से अपरिचित हैं, तो आप इसे हमेशा फिर से लिख सकते हैं:
लॉग एक्स = लॉग 10 एक्स

जो कुछ सामान्य लघुगणक के लिए सत्य है वह दशमलव लघुगणक के लिए भी सत्य है।

प्राकृतिक

एक और लघुगणक है जिसका अपना पदनाम है। कुछ मायनों में, यह दशमलव से भी अधिक महत्वपूर्ण है। इसके बारे मेंप्राकृतिक लघुगणक के बारे में.

तर्क का x आधार e का लघुगणक है, अर्थात वह शक्ति जिससे संख्या x प्राप्त करने के लिए संख्या e को बढ़ाया जाना चाहिए। पदनाम: एलएन एक्स।

बहुत से लोग पूछेंगे: ई संख्या क्या है? यह एक अपरिमेय संख्या है, इसका सही मूल्यढूंढना और रिकॉर्ड करना असंभव है। मैं केवल प्रथम आंकड़े दूँगा:
ई = 2.718281828459…

यह नंबर क्या है और इसकी आवश्यकता क्यों है, इसके बारे में हम विस्तार से नहीं बताएंगे। बस याद रखें कि ई प्राकृतिक लघुगणक का आधार है:
एलएन एक्स = लॉग ई एक्स

इस प्रकार ln e = 1; एलएन ई 2 = 2; एलएन ई 16 = 16 - आदि। दूसरी ओर, ln 2 एक अपरिमेय संख्या है। सामान्य तौर पर, किसी का प्राकृतिक लघुगणक तर्कसंगत संख्यातर्कहीन. बेशक, एक को छोड़कर: एलएन 1 = 0।

प्राकृतिक लघुगणक के लिए, वे सभी नियम मान्य हैं जो सामान्य लघुगणक के लिए सत्य हैं।

यह सभी देखें:

लघुगणक. लघुगणक के गुण (लघुगणक की शक्ति)।

किसी संख्या को लघुगणक के रूप में कैसे प्रस्तुत करें?

हम लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हैं।

लघुगणक एक घातांक है जिसके आधार को लघुगणक चिह्न के अंतर्गत संख्या प्राप्त करने के लिए ऊपर उठाया जाना चाहिए।

इस प्रकार, एक निश्चित संख्या c को आधार a के लघुगणक के रूप में दर्शाने के लिए, आपको लघुगणक के आधार के समान आधार वाली एक घात को लघुगणक के चिह्न के नीचे रखना होगा, और इस संख्या c को घातांक के रूप में लिखना होगा:

बिल्कुल किसी भी संख्या को लघुगणक के रूप में दर्शाया जा सकता है - सकारात्मक, नकारात्मक, पूर्णांक, भिन्नात्मक, तर्कसंगत, अपरिमेय:

किसी परीक्षण या परीक्षा की तनावपूर्ण परिस्थितियों में ए और सी को भ्रमित न करने के लिए, आप निम्नलिखित याद रखने के नियम का उपयोग कर सकते हैं:

जो नीचे है वह नीचे जाता है, जो ऊपर है वह ऊपर जाता है।

उदाहरण के लिए, आपको संख्या 2 को आधार 3 के लघुगणक के रूप में प्रस्तुत करने की आवश्यकता है।

हमारे पास दो संख्याएँ हैं - 2 और 3. ये संख्याएँ आधार और घातांक हैं, जिन्हें हम लघुगणक के चिह्न के नीचे लिखेंगे। यह निर्धारित करना बाकी है कि इनमें से कौन सी संख्या नीचे लिखी जानी चाहिए, घात के आधार तक, और कौन सी - ऊपर, घातांक तक।

लघुगणक के अंकन में आधार 3 सबसे नीचे है, जिसका अर्थ है कि जब हम आधार 3 के लघुगणक के रूप में दो का प्रतिनिधित्व करते हैं, तो हम आधार के नीचे 3 भी लिखेंगे।

2 तीन से अधिक है. और डिग्री दो के अंकन में हम तीन के ऊपर लिखते हैं, यानी एक प्रतिपादक के रूप में:

लघुगणक. प्रथम स्तर।

लघुगणक

लोगारित्मसकारात्मक संख्या बीपर आधारित ए, कहाँ ए > 0, ए ≠ 1, वह घातांक कहलाता है जिससे संख्या बढ़ाई जानी चाहिए ए, प्राप्त करने के लिए बी.

लघुगणक की परिभाषासंक्षेप में इस प्रकार लिखा जा सकता है:

यह समानता के लिए मान्य है बी > 0, ए > 0, ए ≠ 1.इसे आमतौर पर कहा जाता है लघुगणकीय पहचान.
किसी संख्या का लघुगणक ज्ञात करने की क्रिया कहलाती है लघुगणक द्वारा.

लघुगणक के गुण:

उत्पाद का लघुगणक:

भागफल का लघुगणक:

लघुगणक आधार को बदलना:

डिग्री का लघुगणक:

मूल का लघुगणक:

शक्ति आधार के साथ लघुगणक:

दशमलव और प्राकृतिक लघुगणक.

दशमलव लघुगणकसंख्याएँ इस संख्या के लघुगणक को आधार 10 पर कॉल करें और   lg लिखें बी
प्राकृतिकसंख्याओं को आधार से उस संख्या का लघुगणक कहा जाता है इ, कहाँ इ- एक अपरिमेय संख्या लगभग 2.7 के बराबर। साथ ही वे एलएन लिखते हैं बी.

बीजगणित और ज्यामिति पर अन्य नोट्स

लघुगणक के मूल गुण

लघुगणक के मूल गुण

लघुगणक, किसी भी संख्या की तरह, हर तरह से जोड़ा, घटाया और परिवर्तित किया जा सकता है। लेकिन चूंकि लघुगणक बिल्कुल सामान्य संख्याएं नहीं हैं, इसलिए यहां नियम हैं, जिन्हें कहा जाता है मुख्य गुण.

आपको निश्चित रूप से इन नियमों को जानने की आवश्यकता है - इनके बिना एक भी गंभीर लघुगणकीय समस्या का समाधान नहीं किया जा सकता है। इसके अलावा, उनमें से बहुत कम हैं - आप एक दिन में सब कुछ सीख सकते हैं। तो चलो शुरू हो जाओ।

लघुगणक जोड़ना और घटाना

समान आधार वाले दो लघुगणक पर विचार करें: लघुगणक x और लघुगणक y। फिर उन्हें जोड़ा और घटाया जा सकता है, और:

1. लॉग ए एक्स + लॉग ए वाई = लॉग ए (एक्स वाई);
2. लॉग ए एक्स - लॉग ए वाई = लॉग ए (एक्स: वाई)।

तो, लघुगणक का योग उत्पाद के लघुगणक के बराबर है, और अंतर भागफल के लघुगणक के बराबर है। टिप्पणी: महत्वपूर्ण क्षणयहाँ - समान आधार. यदि कारण भिन्न हों तो ये नियम काम नहीं करते!

ये सूत्र आपको गणना करने में मदद करेंगे लघुगणकीय अभिव्यक्तितब भी जब इसके अलग-अलग हिस्सों की गिनती नहीं की जाती है (पाठ "लघुगणक क्या है" देखें)। उदाहरणों पर एक नज़र डालें और देखें:

लॉग 6 4 + लॉग 6 9।

चूँकि लघुगणक का आधार समान होता है, हम योग सूत्र का उपयोग करते हैं:
लॉग 6 4 + लॉग 6 9 = लॉग 6 (4 9) = लॉग 6 36 = 2।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log 2 48 − log 2 3.

आधार समान हैं, हम अंतर सूत्र का उपयोग करते हैं:
लॉग 2 48 - लॉग 2 3 = लॉग 2 (48:3) = लॉग 2 16 = 4।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log 3 135 − log 3 5.

फिर से आधार वही हैं, इसलिए हमारे पास है:
लॉग 3 135 - लॉग 3 5 = लॉग 3 (135:5) = लॉग 3 27 = 3।

जैसा कि आप देख सकते हैं, मूल अभिव्यक्तियाँ "खराब" लघुगणक से बनी हैं, जिनकी गणना अलग से नहीं की जाती है। लेकिन परिवर्तनों के बाद, पूरी तरह से सामान्य संख्याएँ प्राप्त होती हैं। कई लोग इस तथ्य पर आधारित हैं परीक्षण पत्र. हाँ, एकीकृत राज्य परीक्षा में परीक्षण जैसी अभिव्यक्तियाँ पूरी गंभीरता से (कभी-कभी वस्तुतः बिना किसी बदलाव के) पेश की जाती हैं।

लघुगणक से घातांक निकालना

अब कार्य को थोड़ा जटिल बनाते हैं। क्या होगा यदि लघुगणक का आधार या तर्क एक शक्ति है? फिर इस डिग्री के घातांक को निम्नलिखित नियमों के अनुसार लघुगणक के चिह्न से बाहर निकाला जा सकता है:

यह देखना आसान है कि अंतिम नियम पहले दो का पालन करता है। लेकिन फिर भी इसे याद रखना बेहतर है - कुछ मामलों में यह गणनाओं की मात्रा को काफी कम कर देगा।

बेशक, ये सभी नियम तब समझ में आते हैं जब लघुगणक का ODZ देखा जाता है: a > 0, a ≠ 1, x > 0. और एक और बात: सभी सूत्रों को न केवल बाएं से दाएं, बल्कि इसके विपरीत भी लागू करना सीखें , अर्थात। आप लघुगणक पर हस्ताक्षर करने से पहले की संख्याओं को लघुगणक में ही दर्ज कर सकते हैं।

लघुगणक कैसे हल करें

इसकी सबसे अधिक आवश्यकता होती है।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: लॉग 7 49 6।

आइए पहले सूत्र का उपयोग करके तर्क में डिग्री से छुटकारा पाएं:
लॉग 7 49 6 = 6 लॉग 7 49 = 6 2 = 12

काम। अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:

ध्यान दें कि हर में एक लघुगणक होता है, जिसका आधार और तर्क सटीक घात हैं: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. हमारे पास है:

मुझे लगता है कि अंतिम उदाहरण के लिए कुछ स्पष्टीकरण की आवश्यकता है। लघुगणक कहाँ चले गए? अंतिम क्षण तक हम केवल हर के साथ काम करते हैं। हमने वहां खड़े लघुगणक के आधार और तर्क को घातों के रूप में प्रस्तुत किया और घातांक निकाले - हमें एक "तीन-कहानी" अंश मिला।

अब आइए मुख्य अंश पर नजर डालें। अंश और हर में समान संख्या होती है: लॉग 2 7. चूंकि लॉग 2 7 ≠ 0, हम भिन्न को कम कर सकते हैं - 2/4 हर में रहेगा। अंकगणित के नियमों के अनुसार, चार को अंश में स्थानांतरित किया जा सकता है, जो कि किया गया था। परिणाम यह उत्तर था: 2.

एक नई नींव में परिवर्तन

लघुगणक जोड़ने और घटाने के नियमों के बारे में बोलते हुए, मैंने विशेष रूप से जोर दिया कि वे केवल समान आधारों के साथ काम करते हैं। यदि कारण भिन्न हों तो क्या होगा? क्या होगा यदि वे एक ही संख्या की सटीक घातें नहीं हैं?

नई नींव में परिवर्तन के सूत्र बचाव में आते हैं। आइए हम उन्हें एक प्रमेय के रूप में तैयार करें:

मान लीजिए कि लघुगणक लॉग a x दिया गया है। फिर किसी भी संख्या c के लिए जैसे कि c > 0 और c ≠ 1, समानता सत्य है:

विशेष रूप से, यदि हम c = x सेट करते हैं, तो हमें मिलता है:

दूसरे सूत्र से यह पता चलता है कि लघुगणक के आधार और तर्क की अदला-बदली की जा सकती है, लेकिन इस मामले में संपूर्ण अभिव्यक्ति "उलट" है, अर्थात। लघुगणक हर में प्रकट होता है।

ये सूत्र पारंपरिक रूप में बहुत कम पाए जाते हैं संख्यात्मक अभिव्यक्तियाँ. लघुगणकीय समीकरणों और असमानताओं को हल करते समय ही यह मूल्यांकन करना संभव है कि वे कितने सुविधाजनक हैं।

हालाँकि, ऐसी समस्याएँ हैं जिन्हें नई नींव पर जाने के अलावा बिल्कुल भी हल नहीं किया जा सकता है। आइए इनमें से कुछ पर नजर डालें:

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: लॉग 5 16 लॉग 2 25।

ध्यान दें कि दोनों लघुगणक के तर्कों में सटीक शक्तियाँ होती हैं। आइए संकेतक निकालें: लॉग 5 16 = लॉग 5 2 4 = 4लॉग 5 2; लॉग 2 25 = लॉग 2 5 2 = 2 लॉग 2 5;

अब दूसरे लघुगणक को "उल्टा" करते हैं:

चूंकि कारकों को पुनर्व्यवस्थित करने पर उत्पाद नहीं बदलता है, इसलिए हमने शांति से चार और दो को गुणा किया, और फिर लघुगणक से निपटा।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: लॉग 9 100 एलजी 3।

प्रथम लघुगणक का आधार और तर्क सटीक घात हैं। आइए इसे लिखें और संकेतकों से छुटकारा पाएं:

आइए अब एक नए आधार पर जाकर दशमलव लघुगणक से छुटकारा पाएं:

बुनियादी लघुगणकीय पहचान

अक्सर समाधान प्रक्रिया में किसी संख्या को किसी दिए गए आधार पर लघुगणक के रूप में प्रस्तुत करना आवश्यक होता है।

इस मामले में, निम्नलिखित सूत्र हमारी मदद करेंगे:

पहले मामले में, संख्या n तर्क में घातांक बन जाती है। संख्या n बिल्कुल कुछ भी हो सकती है, क्योंकि यह केवल एक लघुगणक मान है।

दूसरा सूत्र वास्तव में एक संक्षिप्त परिभाषा है। इसे ही कहते हैं: .

वास्तव में, यदि संख्या b को इतनी घात तक बढ़ा दिया जाए कि इस घात की संख्या b, संख्या a दे दे तो क्या होगा? यह सही है: परिणाम वही संख्या है। इस पैराग्राफ को दोबारा ध्यान से पढ़ें - कई लोग इस पर अटक जाते हैं।

नए आधार पर जाने के सूत्रों की तरह, मूल लघुगणकीय पहचान कभी-कभी एकमात्र संभावित समाधान होती है।

काम। अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:

ध्यान दें कि लॉग 25 64 = लॉग 5 8 - बस लघुगणक के आधार और तर्क से वर्ग लिया। समान आधार से घातों को गुणा करने के नियमों को ध्यान में रखते हुए, हम पाते हैं:

यदि कोई नहीं जानता है, तो यह एकीकृत राज्य परीक्षा का एक वास्तविक कार्य था :)

लघुगणकीय इकाई और लघुगणकीय शून्य

अंत में, मैं दो पहचान दूंगा जिन्हें शायद ही गुण कहा जा सकता है - बल्कि, वे लघुगणक की परिभाषा के परिणाम हैं। वे लगातार समस्याओं में दिखाई देते हैं और आश्चर्यजनक रूप से, "उन्नत" छात्रों के लिए भी समस्याएं पैदा करते हैं।

1. लॉग ए ए = 1 है. एक बार और हमेशा के लिए याद रखें: किसी भी आधार का लघुगणक स्वयं एक के बराबर होता है।
2. लॉग ए 1 = 0 है. आधार कुछ भी हो सकता है, लेकिन यदि तर्क में एक है, तो लघुगणक शून्य के बराबर है! क्योंकि 0 = 1 परिभाषा का प्रत्यक्ष परिणाम है।

बस इतनी ही संपत्ति है. उन्हें अभ्यास में लाने का अभ्यास अवश्य करें! पाठ की शुरुआत में चीट शीट डाउनलोड करें, उसका प्रिंट आउट लें और समस्याओं का समाधान करें।

1. जांचें कि क्या वे लघुगणक चिह्न के अंतर्गत हैं नकारात्मक संख्याएँया इकाई.यह विधि रूप की अभिव्यक्ति पर लागू होती है लॉग बी ⁡ (x) लॉग बी ⁡ (ए) (\displaystyle (\frac (\log _(b)(x))(\log _(b)(a)))). हालाँकि, यह कुछ विशेष मामलों के लिए उपयुक्त नहीं है:

   • ऋणात्मक संख्या का लघुगणक किसी भी आधार में अपरिभाषित होता है (उदाहरण के लिए, लॉग ⁡ (− 3) (\displaystyle \लॉग(-3))या लॉग 4 ⁡ (− 5) (\displaystyle \लॉग _(4)(-5))). इस स्थिति में "कोई समाधान नहीं" लिखें।
   • किसी भी आधार पर शून्य का लघुगणक भी अपरिभाषित है। अगर आप पकड़े गए ln ⁡ (0) (\displaystyle \ln(0)), "कोई समाधान नहीं" लिखें।
   • किसी भी आधार का लघुगणक ( लॉग ⁡ (1) (\displaystyle \लॉग(1))) हमेशा शून्य होता है, क्योंकि x 0 = 1 (\displaystyle x^(0)=1)सभी मूल्यों के लिए एक्स. इस लघुगणक के स्थान पर 1 लिखें और नीचे दी गई विधि का प्रयोग न करें।
   • यदि लघुगणक है विभिन्न कारणों से, उदाहरण के लिए l o g 3 (x) l o g 4 (a) (\displaystyle (\frac (log_(3)(x))(log_(4)(a)))), और पूर्णांकों तक सीमित नहीं हैं, अभिव्यक्ति का मान मैन्युअल रूप से नहीं पाया जा सकता है।

2. व्यंजक को एक लघुगणक में बदलें।यदि अभिव्यक्ति उपरोक्त में से एक नहीं है विशेष अवसरों, इसे एकल लघुगणक के रूप में दर्शाया जा सकता है। इसके लिए निम्न सूत्र का प्रयोग करें: लॉग बी ⁡ (एक्स) लॉग बी ⁡ (ए) = लॉग ए ⁡ (एक्स) (\displaystyle (\frac (\log _(b)(x))(\log _(b)(a)))=\ लॉग_(ए)(x)).

   • उदाहरण 1: अभिव्यक्ति पर विचार करें लॉग ⁡ 16 लॉग ⁡ 2 (\displaystyle (\frac (\log (16))(\लॉग (2)))).
     सबसे पहले, आइए उपरोक्त सूत्र का उपयोग करके अभिव्यक्ति को एकल लघुगणक के रूप में प्रस्तुत करें: लॉग ⁡ 16 लॉग ⁡ 2 = लॉग 2 ⁡ (16) (\displaystyle (\frac (\log (16))(\log (2)))=\log _(2)(16)).
   • लघुगणक के "आधार को प्रतिस्थापित करने" का यह सूत्र लघुगणक के मूल गुणों से लिया गया है।

3. यदि संभव हो, तो अभिव्यक्ति के मूल्य का मैन्युअल रूप से मूल्यांकन करें।ढूँढ़ने के लिए लॉग ए ⁡ (x) (\displaystyle \log _(a)(x)), अभिव्यक्ति की कल्पना करें " ए? = x (\displaystyle a^(?)=x)", अर्थात्, निम्नलिखित प्रश्न पूछें: "आपको किस शक्ति को बढ़ाना चाहिए ए, प्राप्त करने के लिए एक्स?. इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए कैलकुलेटर की आवश्यकता हो सकती है, लेकिन यदि आप भाग्यशाली हैं, तो आप इसे मैन्युअल रूप से ढूंढने में सक्षम हो सकते हैं।

   • उदाहरण 1 (जारी): इस रूप में पुनः लिखें 2? = 16 (\displaystyle 2^(?)=16). आपको यह पता लगाना होगा कि "?" चिन्ह के स्थान पर कौन सी संख्या होनी चाहिए। यह परीक्षण और त्रुटि द्वारा किया जा सकता है:
     2 2 = 2 * 2 = 4 (\displaystyle 2^(2)=2*2=4)
     2 3 = 4 * 2 = 8 (\displaystyle 2^(3)=4*2=8)
     2 4 = 8 * 2 = 16 (\displaystyle 2^(4)=8*2=16)
     तो, हम जिस संख्या की तलाश कर रहे हैं वह 4 है: लॉग 2 ⁡ (16) (\displaystyle \लॉग _(2)(16)) = 4 .

4. यदि आप इसे सरल नहीं कर सकते तो अपना उत्तर लघुगणकीय रूप में छोड़ें।कई लघुगणक की गणना हाथ से करना बहुत कठिन होता है। ऐसे में सटीक उत्तर पाने के लिए आपको एक कैलकुलेटर की जरूरत पड़ेगी. हालाँकि, यदि आप कक्षा में कोई समस्या हल कर रहे हैं, तो शिक्षक संभवतः लघुगणकीय रूप में उत्तर से संतुष्ट होंगे। नीचे चर्चा की गई विधि का उपयोग अधिक जटिल उदाहरण को हल करने के लिए किया जाता है:

   • उदाहरण 2: बराबर क्या है लॉग 3 ⁡ (58) लॉग 3 ⁡ (7) (\displaystyle (\frac (\log _(3)(58))(\log _(3)(7))))?
   • आइए इस अभिव्यक्ति को एक लघुगणक में बदलें: लॉग 3 ⁡ (58) लॉग 3 ⁡ (7) = लॉग 7 ⁡ (58) (\displaystyle (\frac (\log _(3)(58))(\log _(3)(7)))=\ लॉग_(7)(58)). ध्यान दें कि दोनों लघुगणकों में उभयनिष्ठ आधार 3 गायब हो जाता है; यह किसी भी कारण से सत्य है.
   • आइए अभिव्यक्ति को फॉर्म में फिर से लिखें 7? = 58 (\displaystyle 7^(?)=58)और आइए मूल्य ज्ञात करने का प्रयास करें?:
     7 2 = 7 * 7 = 49 (\displaystyle 7^(2)=7*7=49)
     7 3 = 49 * 7 = 343 (\displaystyle 7^(3)=49*7=343)
     चूँकि 58 इन दो संख्याओं के बीच है, इसलिए इसे पूर्ण संख्या के रूप में व्यक्त नहीं किया जाता है।
   • हम उत्तर को लघुगणकीय रूप में छोड़ते हैं: लॉग 7 ⁡ (58) (\displaystyle \लॉग _(7)(58)).

एक धनात्मक संख्या b का आधार a (a>0, a 1 के बराबर नहीं है) का लघुगणक एक संख्या c है जैसे कि a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

ध्यान दें कि एक गैर-धनात्मक संख्या का लघुगणक अपरिभाषित है। इसके अलावा, लघुगणक का आधार होना चाहिए सकारात्मक संख्या, 1 के बराबर नहीं। उदाहरण के लिए, यदि हम -2 का वर्ग करते हैं, तो हमें संख्या 4 मिलती है, लेकिन इसका मतलब यह नहीं है कि 4 के आधार -2 का लघुगणक 2 के बराबर है।

बुनियादी लघुगणकीय पहचान

ए लॉग ए बी = बी (ए > 0, ए ≠ 1) (2)

यह महत्वपूर्ण है कि इस सूत्र के दाएं और बाएं पक्ष की परिभाषा का दायरा अलग-अलग है। बाईं ओर को केवल b>0, a>0 और a ≠ 1 के लिए परिभाषित किया गया है। दाईं ओर को किसी भी b के लिए परिभाषित किया गया है, और यह बिल्कुल भी a पर निर्भर नहीं करता है। इस प्रकार, समीकरणों और असमानताओं को हल करते समय मूल लघुगणकीय "पहचान" के अनुप्रयोग से OD में परिवर्तन हो सकता है।

लघुगणक की परिभाषा के दो स्पष्ट परिणाम

लॉग ए ए = 1 (ए > 0, ए ≠ 1) (3)
लॉग ए 1 = 0 (ए > 0, ए ≠ 1) (4)

दरअसल, जब संख्या a को पहली घात तक बढ़ाया जाता है, तो हमें वही संख्या मिलती है, और जब इसे शून्य घात तक बढ़ाया जाता है, तो हमें एक मिलता है।

उत्पाद का लघुगणक और भागफल का लघुगणक

लॉग ए (बी सी) = लॉग ए बी + लॉग ए सी (ए > 0, ए ≠ 1, बी > 0, सी > 0) (5)

लॉग ए बी सी = लॉग ए बी - लॉग ए सी (ए > 0, ए ≠ 1, बी > 0, सी > 0) (6)

मैं स्कूली बच्चों को लघुगणकीय समीकरणों और असमानताओं को हल करते समय इन सूत्रों का बिना सोचे-समझे उपयोग करने के खिलाफ चेतावनी देना चाहता हूं। उनका उपयोग "बाएं से दाएं" करते समय, ODZ संकीर्ण हो जाता है, और जब लघुगणक के योग या अंतर से उत्पाद या भागफल के लघुगणक की ओर बढ़ते हैं, तो ODZ फैलता है।

दरअसल, अभिव्यक्ति लॉग ए (एफ (एक्स) जी (एक्स)) को दो मामलों में परिभाषित किया गया है: जब दोनों फ़ंक्शन सख्ती से सकारात्मक होते हैं या जब एफ (एक्स) और जी (एक्स) दोनों शून्य से कम होते हैं।

इस अभिव्यक्ति को योग लॉग ए एफ (एक्स) + लॉग ए जी (एक्स) में परिवर्तित करते हुए, हम खुद को केवल उस स्थिति तक सीमित करने के लिए मजबूर होते हैं जब एफ (एक्स)> 0 और जी (एक्स)> 0। स्वीकार्य मूल्यों की सीमा में कमी आ रही है, और यह स्पष्ट रूप से अस्वीकार्य है, क्योंकि इससे समाधानों का नुकसान हो सकता है। सूत्र (6) के लिए भी ऐसी ही समस्या मौजूद है।

डिग्री को लघुगणक के चिन्ह से निकाला जा सकता है

लॉग ए बी पी = पी लॉग ए बी (ए > 0, ए ≠ 1, बी > 0) (7)

और मैं फिर से सटीकता की मांग करना चाहूँगा। निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें:

लॉग ए (एफ (एक्स) 2 = 2 लॉग ए एफ (एक्स)

समानता का बायाँ भाग स्पष्ट रूप से शून्य को छोड़कर f(x) के सभी मानों के लिए परिभाषित है। दाहिना भाग केवल f(x)>0 के लिए है! लघुगणक से डिग्री निकालकर, हम फिर से ODZ को संकीर्ण कर देते हैं। विपरीत प्रक्रिया से स्वीकार्य मूल्यों की सीमा का विस्तार होता है। ये सभी टिप्पणियाँ न केवल घात 2 पर लागू होती हैं, बल्कि किसी भी सम घात पर भी लागू होती हैं।

नई नींव पर जाने का सूत्र

लॉग ए बी = लॉग सी बी लॉग सी ए (ए > 0, ए ≠ 1, बी > 0, सी > 0, सी ≠ 1) (8)

वह दुर्लभ मामला जब परिवर्तन के दौरान ODZ नहीं बदलता है। यदि आपने आधार सी को बुद्धिमानी से चुना है (सकारात्मक और 1 के बराबर नहीं), तो नए आधार पर जाने का फॉर्मूला पूरी तरह से सुरक्षित है।

यदि हम संख्या b को नए आधार c के रूप में चुनते हैं, तो हमें एक महत्वपूर्ण मिलता है विशेष मामलासूत्र (8):

लॉग ए बी = 1 लॉग बी ए (ए > 0, ए ≠ 1, बी > 0, बी ≠ 1) (9)

लघुगणक के साथ कुछ सरल उदाहरण

उदाहरण 1. गणना करें: लॉग2 + लॉग50।
समाधान। log2 + log50 = log100 = 2. हमने लघुगणक सूत्र (5) के योग और दशमलव लघुगणक की परिभाषा का उपयोग किया।

उदाहरण 2. गणना करें: lg125/lg5.
समाधान। लॉग125/लॉग5 = लॉग 5 125 = 3। हमने नए आधार (8) पर जाने के लिए सूत्र का उपयोग किया।

लघुगणक से संबंधित सूत्रों की तालिका

ए लॉग ए बी = बी (ए > 0, ए ≠ 1)

लॉग a a = 1 (a > 0, a ≠ 1)

लॉग ए 1 = 0 (ए > 0, ए ≠ 1)

लॉग ए (बी सी) = लॉग ए बी + लॉग ए सी (ए > 0, ए ≠ 1, बी > 0, सी > 0)

लॉग ए बी सी = लॉग ए बी - लॉग ए सी (ए > 0, ए ≠ 1, बी > 0, सी > 0)

लॉग ए बी पी = पी लॉग ए बी (ए > 0, ए ≠ 1, बी > 0)

लॉग ए बी = लॉग सी बी लॉग सी ए (ए > 0, ए ≠ 1, बी > 0, सी > 0, सी ≠ 1)

लॉग ए बी = 1 लॉग बी ए (ए > 0, ए ≠ 1, बी > 0, बी ≠ 1)

274. टिप्पणियाँ.

ए)यदि आप जिस अभिव्यक्ति का मूल्यांकन करना चाहते हैं उसमें शामिल है जोड़या अंतरसंख्याएँ, तो उन्हें सामान्य जोड़ या घटाव द्वारा तालिकाओं की सहायता के बिना पाया जाना चाहिए। जैसे:

लॉग (35 +7.24) 5 = 5 लॉग (35 + 7.24) = 5 लॉग 42.24।

बी)यह जानते हुए कि व्यंजकों का लघुगणक कैसे किया जाता है, हम, इसके विपरीत, कर सकते हैं यह परिणामउस अभिव्यक्ति को खोजने के लिए लघुगणक का उपयोग करना जिससे यह परिणाम प्राप्त किया गया था; तो यदि

लकड़ी का लट्ठा एक्स=लॉग ए+ लॉग बी- 3 लॉग साथ,

तो इसे समझना आसान है

वी)लघुगणक तालिकाओं की संरचना पर विचार करने से पहले, हम कुछ गुणों का संकेत देंगे दशमलव लघुगणक, अर्थात। वे जिनमें संख्या 10 को आधार के रूप में लिया जाता है (गणना के लिए केवल ऐसे लघुगणक का उपयोग किया जाता है)।

अध्याय दो।

दशमलव लघुगणक के गुण.

275 . ए) चूँकि 10 1 = 10, 10 2 = 100, 10 3 = 1000, 10 4 = 10000, आदि, तो लॉग 10 = 1, लॉग 100 = 2, लॉग 1000 = 3, लॉग 10000 = 4, और आदि।

मतलब, शून्य के साथ दर्शाए गए पूर्णांक का लघुगणक एक सकारात्मक पूर्णांक होता है जिसमें संख्या के प्रतिनिधित्व में जितने शून्य होते हैं उतने ही पूर्णांक होते हैं।

इस प्रकार: लॉग 100,000 = 5, लकड़ी का लट्ठा 1000 000 = 6 , वगैरह।

बी) क्योंकि

लॉग 0.1 = -एल; लॉग 0.01 = - 2; लॉग 0.001 == -3; लॉग 0.0001 = - 4,वगैरह।

मतलब, लोगारित्म दशमलव, पूर्ववर्ती शून्य वाली एक इकाई द्वारा निरूपित, एक ऋणात्मक पूर्णांक है जिसमें उतने ही ऋणात्मक पूर्णांक होते हैं जितने कि भिन्न के निरूपण में शून्य होते हैं, जिसमें 0 पूर्णांक भी शामिल होते हैं।

इस प्रकार: लॉग 0.00001= - 5, लॉग 0.000001 = -6,वगैरह।

वी)उदाहरण के लिए, आइए एक पूर्णांक लें जो एक और शून्य द्वारा दर्शाया नहीं गया है। उदाहरण के लिए, 35, या भिन्न के साथ एक पूर्ण संख्या। 10.7. ऐसी संख्या का लघुगणक एक पूर्णांक नहीं हो सकता है, क्योंकि पूर्णांक घातांक (धनात्मक या ऋणात्मक) के साथ 10 को घात तक बढ़ाने पर, हमें शून्य के साथ 1 मिलता है (1 के बाद, या उससे पहले)। आइए अब मान लें कि ऐसी संख्या का लघुगणक कुछ अंश है ए / बी . तब हमारे पास समानता होगी

लेकिन ये समानताएँ असंभव हैं, जैसे 10ए शून्य के साथ 1 हैं, जबकि डिग्री 35बी और 10,7बी किसी भी उपाय से बी 1 के बाद शून्य नहीं दे सकते। इसका मतलब यह है कि हम अनुमति नहीं दे सकते लॉग 35और लॉग 10.7भिन्नों के बराबर थे. लेकिन लघुगणक फ़ंक्शन के गुणों से हम जानते हैं () कि प्रत्येक सकारात्मक संख्या में एक लघुगणक होता है; परिणामस्वरूप, संख्या 35 और 10.7 में से प्रत्येक का अपना लघुगणक है, और चूँकि यह पूर्णांक संख्या या भिन्नात्मक संख्या नहीं हो सकती है, यह एक अपरिमेय संख्या है और इसलिए, संख्याओं के माध्यम से सटीक रूप से व्यक्त नहीं किया जा सकता है। अपरिमेय लघुगणक आमतौर पर कई दशमलव स्थानों के साथ दशमलव अंश के रूप में व्यक्त किए जाते हैं। इस भिन्न की पूर्ण संख्या (चाहे वह "0 पूर्णांक" ही क्यों न हो) कहलाती है विशेषता, और भिन्नात्मक भाग लघुगणक का मंटिसा है। यदि, उदाहरण के लिए, कोई लघुगणक है 1,5441 , तो उसकी विशेषता बराबर है 1 , और मंटिसा है 0,5441 .

जी)उदाहरण के लिए, आइए कुछ पूर्णांक या मिश्रित संख्या लें। 623 या 623,57 . ऐसी संख्या के लघुगणक में एक विशेषता और एक मंटिसा होता है। इससे पता चलता है कि दशमलव लघुगणक में यह सुविधा होती है हम सदैव एक प्रकार की संख्या से उनकी विशेषताएँ ज्ञात कर सकते हैं . ऐसा करने के लिए, हम गिनते हैं कि किसी दी गई पूर्ण संख्या में या पूर्णांक भाग में कितने अंक हैं मिश्रित संख्या, इन संख्याओं के हमारे उदाहरणों में 3 . इसलिए, प्रत्येक संख्या 623 और 623,57 100 से अधिक लेकिन 1000 से कम; इसका मतलब यह है कि उनमें से प्रत्येक का लघुगणक बड़ा है लॉग 100, यानी अधिक 2 , लेकिन कम लॉग 1000, यानी कम 3 (याद रखें कि बड़ी संख्या का लघुगणक भी बड़ा होता है)। इस तरह, लॉग 623 = 2,..., और लॉग 623.57 = 2,... (बिंदु अज्ञात मंटिसा का स्थान लेते हैं)।

इसी के समान हम पाते हैं:

10 < 56,7 < 100 1 < log56,7 < 2 लॉग 56.7 = 1,...

1000 < 8634 < 10 000 3 < log8634 < 4 लॉग 8634 = 3,...

मान लीजिए सामान्यतः एक दी गई पूर्णांक संख्या, या किसी दी गई मिश्रित संख्या का एक पूर्णांक भाग होता है एम नंबर चूंकि सबसे छोटा पूर्णांक युक्त है एम संख्याएँ, हाँ 1 साथ एम - 1 अंत में शून्य, फिर (इस संख्या को दर्शाते हुए एन) हम असमानताएँ लिख सकते हैं:

और इसलिए,

एम - 1 < log N < एम ,

लॉग एन = ( एम- 1) + धनात्मक अंश.

तो विशेषता लॉगएन = एम - 1 .

हम इस तरह से देखते हैं किसी पूर्णांक या मिश्रित संख्या के लघुगणक की विशेषता में उतनी ही सकारात्मक इकाइयाँ होती हैं जितनी संख्या के पूर्णांक भाग में शून्य से एक अंक होते हैं।

इस पर ध्यान देने के बाद, हम सीधे लिख सकते हैं:

लॉग 7.205 = 0,...; लॉग 83 = 1,...; लॉग 720.4 = 2,...और इसी तरह।

डी)आइए कई दशमलव अंश छोटे लें 1 (अर्थात् होना 0 साबुत): 0,35; 0,07; 0,0056; 0,0008, और इसी तरह।

इस प्रकार, इनमें से प्रत्येक लघुगणक दो नकारात्मक पूर्णांकों के बीच समाहित होता है जो एक इकाई से भिन्न होते हैं; इसलिए उनमें से प्रत्येक किसी धनात्मक अंश द्वारा बढ़ाई गई इन ऋणात्मक संख्याओं में से छोटी संख्या के बराबर है। उदाहरण के लिए, log0.0056= -3 + धनात्मक अंश. आइए मान लें कि यह अंश 0.7482 है। तो इसका मतलब है:

लॉग 0.0056 = - 3 + 0.7482 (= - 2.2518)।

रकम जैसे - 3 + 0,7482 , एक नकारात्मक पूर्णांक और एक सकारात्मक दशमलव अंश से मिलकर, हम लघुगणकीय गणनाओं में निम्नानुसार संक्षिप्त रूप से लिखने के लिए सहमत हुए: 3 ,7482 (यह संख्या पढ़ती है: 3 घटा, 7482 दस हजारवां।), यानी, यह दिखाने के लिए कि यह केवल इस विशेषता से संबंधित है, न कि मंटिसा से, जो सकारात्मक रहता है, उन्होंने विशेषता के ऊपर एक ऋण चिह्न लगा दिया। इस प्रकार उपरोक्त तालिका से यह स्पष्ट है कि

लॉग 0.35 == 1,....; लॉग 0.07 = 2,....; लॉग 0.0008 = 4,....

बिलकुल चलो . एक दशमलव अंश है जिसमें पहले से पहले महत्वपूर्ण आंकड़ा α लागत एम शून्य, जिसमें 0 पूर्णांक शामिल हैं। तो फिर ये तो जाहिर सी बात है

- एम < log A < - (एम- 1).

चूँकि दो पूर्णांकों से:- एम और - (एम- 1) वहाँ कम है - एम , वह

लॉग ए = - एम+ सकारात्मक अंश,

और इसलिए विशेषता लॉग ए = - एम (एक सकारात्मक मंटिसा के साथ)।

इस प्रकार, 1 से कम दशमलव अंश के लघुगणक की विशेषता में उतने ही नकारात्मक होते हैं जितने शून्य पूर्णांक सहित पहले महत्वपूर्ण अंक से पहले दशमलव अंश की छवि में शून्य होते हैं; ऐसे लघुगणक का मंटिसा सकारात्मक होता है।

इ)आइए किसी संख्या को गुणा करें एन(पूर्णांक या भिन्न - इससे कोई फर्क नहीं पड़ता) 10 से, 100 से 1000..., सामान्य तौर पर शून्य के साथ 1 से। आइए देखें कि यह कैसे बदलता है लॉग एन. चूँकि उत्पाद का लघुगणक गुणनखंडों के लघुगणक के योग के बराबर होता है

लॉग(एन 10) = लॉग एन + लॉग 10 = लॉग एन + 1;

लॉग(एन 100) = लॉग एन + लॉग 100 = लॉग एन + 2;

लॉग(एन 1000) = लॉग एन + लॉग 1000 = लॉग एन + 3;वगैरह।

जब करने के लिए लॉग एनहम कुछ पूर्णांक जोड़ते हैं, फिर हम हमेशा इस संख्या को विशेषता में जोड़ सकते हैं, न कि मंटिसा में।

तो, यदि लॉग एन = 2.7804, तो 2.7804 + 1 = 3.7804; 2.7804 + 2 = 4.7801, आदि;

या यदि लॉग एन = 3.5649, तो 3.5649 + 1 = 2.5649; 3.5649 + 2 = 1.5649, आदि।

जब किसी संख्या को 10, 100, 1000,.. से गुणा किया जाता है, आम तौर पर शून्य के साथ 1 से, लघुगणक का मंटिसा नहीं बदलता है, और कारक में शून्य होने पर विशेषता कई इकाइयों तक बढ़ जाती है .

इसी प्रकार, भागफल के लघुगणक को ध्यान में रखते हुए लघुगणक के बराबरभाजक के लघुगणक के बिना लाभांश, हमें मिलता है:

लॉग एन / 10 = लॉग एन- लॉग 10 = लॉग एन -1;

लॉग एन / 100 = लॉग एन- लॉग 100 = लॉग एन -2;

लॉग एन / 1000 = लॉग एन- लॉग 1000 = लॉग एन -3;और इसी तरह।

यदि हम लघुगणक से एक पूर्णांक घटाते समय इस पूर्णांक को हमेशा विशेषता से घटाने और मंटिसा को अपरिवर्तित छोड़ने पर सहमत होते हैं, तो हम कह सकते हैं:

किसी संख्या को शून्य से 1 से विभाजित करने पर लघुगणक का मंटिसा नहीं बदलता है, लेकिन भाजक में शून्य होने पर विशेषता कई इकाइयों से घट जाती है।

276. परिणाम.संपत्ति से ( इ) निम्नलिखित दो परिणाम निकाले जा सकते हैं:

ए) दशमलव बिंदु पर ले जाने पर दशमलव संख्या के लघुगणक का मंटिसा नहीं बदलता है , क्योंकि दशमलव बिंदु को हिलाना 10, 100, 1000, आदि से गुणा या भाग करने के बराबर है। इस प्रकार, संख्याओं के लघुगणक:

0,00423, 0,0423, 4,23, 423

केवल विशेषताओं में भिन्नता है, लेकिन मंटिसा में नहीं (बशर्ते कि सभी मंटिसा सकारात्मक हों)।

बी) संख्याओं के मंटिसा जिनका महत्वपूर्ण भाग समान है, लेकिन केवल अंत शून्य से भिन्न है, समान हैं: इस प्रकार, संख्याओं के लघुगणक: 23, 230, 2300, 23,000 केवल विशेषताओं में भिन्न होते हैं।

टिप्पणी। दशमलव लघुगणक के संकेतित गुणों से यह स्पष्ट है कि हम तालिकाओं की सहायता के बिना पूर्णांक और दशमलव अंश के लघुगणक की विशेषताएँ पा सकते हैं (यह दशमलव लघुगणक की बड़ी सुविधा है); परिणामस्वरूप, लॉगरिदमिक तालिकाओं में केवल एक मंटिसा रखा जाता है; इसके अलावा, चूँकि भिन्नों के लघुगणक ज्ञात करना पूर्णांकों के लघुगणक ज्ञात करने तक सीमित है (अंश का लघुगणक = हर के लघुगणक के बिना अंश का लघुगणक), केवल पूर्णांकों के लघुगणक के मंटिसा को तालिकाओं में रखा जाता है।

अध्याय तीन।

चार अंकों वाली तालिकाओं का डिज़ाइन और उपयोग।

277. लघुगणक की प्रणालियाँ।लघुगणक की एक प्रणाली एक ही आधार का उपयोग करके कई लगातार पूर्णांकों के लिए गणना किए गए लघुगणक का एक सेट है। दो प्रणालियों का उपयोग किया जाता है: साधारण या दशमलव लघुगणक की प्रणाली, जिसमें संख्या को आधार के रूप में लिया जाता है 10 , और तथाकथित प्राकृतिक लघुगणक की एक प्रणाली, जिसमें एक अपरिमेय संख्या को आधार के रूप में लिया जाता है (कुछ कारणों से जो गणित की अन्य शाखाओं में स्पष्ट हैं) 2,7182818 ... गणना के लिए, दशमलव लघुगणक का उपयोग किया जाता है, उस सुविधा के कारण जो हमने ऐसे लघुगणक के गुणों को सूचीबद्ध करते समय इंगित किया था।

प्राकृतिक लघुगणकइसे लघुगणक के आविष्कारक, एक स्कॉटिश गणितज्ञ के नाम पर नेपेरोव्स भी कहा जाता है नेपेरा(1550-1617), और दशमलव लघुगणक - ब्रिग्स प्रोफेसर के नाम पर ब्रिग्गा(नेपियर के समकालीन और मित्र), जिन्होंने सबसे पहले इन लघुगणक की तालिकाएँ संकलित कीं।

278. एक ऋणात्मक लघुगणक को ऐसे लघुगणक में परिवर्तित करना जिसका मंटिसा धनात्मक है, और व्युत्क्रम परिवर्तन। हमने देखा है कि 1 से कम संख्याओं के लघुगणक ऋणात्मक होते हैं। इसका मतलब यह है कि उनमें एक नकारात्मक विशेषता और एक नकारात्मक मंटिसा शामिल है। ऐसे लघुगणक को हमेशा रूपांतरित किया जा सकता है ताकि उनका मंटिसा सकारात्मक हो, लेकिन विशेषता नकारात्मक बनी रहे। ऐसा करने के लिए, मंटिसा में एक सकारात्मक और विशेषता में एक नकारात्मक जोड़ना पर्याप्त है (जो, निश्चित रूप से, लघुगणक के मान को नहीं बदलता है)।

यदि, उदाहरण के लिए, हमारे पास एक लघुगणक है - 2,0873 , तो आप लिख सकते हैं:

- 2,0873 = - 2 - 1 + 1 - 0,0873 = - (2 + 1) + (1 - 0,0873) = - 3 + 0,9127,

या संक्षिप्त:

इसके विपरीत, नकारात्मक विशेषता और सकारात्मक मंटिसा वाले किसी भी लघुगणक को नकारात्मक में बदला जा सकता है। ऐसा करने के लिए, सकारात्मक मंटिसा में एक नकारात्मक और नकारात्मक विशेषता में एक सकारात्मक जोड़ना पर्याप्त है: इसलिए, आप लिख सकते हैं:

279. चार अंकीय तालिकाओं का विवरण।अधिकांश व्यावहारिक समस्याओं को हल करने के लिए, चार अंकों की तालिकाएँ काफी पर्याप्त हैं, जिनका प्रबंधन बहुत सरल है। ये तालिकाएँ (शीर्ष पर "लघुगणक" शिलालेख के साथ) इस पुस्तक के अंत में रखी गई हैं, और उनका एक छोटा सा हिस्सा (व्यवस्था को समझाने के लिए) इस पृष्ठ पर मुद्रित है

लघुगणक.

से सभी पूर्णांकों के लघुगणक 1 पहले 9999 समावेशी, चार दशमलव स्थानों तक गणना की गई, इनमें से अंतिम स्थान को बढ़ाकर 1 उन सभी मामलों में जहां 5वां दशमलव स्थान 5 या 5 से अधिक होगा; इसलिए, 4-अंकीय तालिकाएँ अनुमानित मंटिसा देती हैं 1 / 2 दस हजारवाँ भाग (कमी या अधिकता के साथ)।

चूँकि हम दशमलव लघुगणक के गुणों के आधार पर किसी पूर्णांक या दशमलव अंश के लघुगणक को सीधे चित्रित कर सकते हैं, हमें तालिकाओं से केवल मंटिसा लेना चाहिए; साथ ही, हमें यह भी याद रखना चाहिए कि अल्पविराम की स्थिति दशमलव संख्या, साथ ही संख्या के अंत में शून्य की संख्या का मंटिसा के मूल्य पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है। इसलिए, किसी दी गई संख्या के लिए मंटिसा ढूंढते समय, हम इस संख्या में अल्पविराम, साथ ही इसके अंत में शून्य, यदि कोई हो, को हटा देते हैं, और इसके बाद बने पूर्णांक का मंटिसा ढूंढते हैं। निम्नलिखित मामले सामने आ सकते हैं.

1) एक पूर्णांक में 3 अंक होते हैं।उदाहरण के लिए, मान लें कि हमें संख्या 536 के लघुगणक का मंटिसा ज्ञात करना है। इस संख्या के पहले दो अंक, यानी 53, बाईं ओर पहले ऊर्ध्वाधर कॉलम में तालिकाओं में पाए जाते हैं (तालिका देखें)। संख्या 53 प्राप्त करने के बाद, हम इसे एक क्षैतिज रेखा के साथ दाईं ओर ले जाते हैं जब तक कि यह रेखा शीर्ष पर स्थित संख्याओं 0, 1, 2, 3,...9 में से किसी एक से गुजरने वाले ऊर्ध्वाधर स्तंभ के साथ प्रतिच्छेद न कर दे (और नीचे) तालिका का, जो किसी दी गई संख्या का तीसरा अंक है, यानी हमारे उदाहरण में, संख्या 6। चौराहे पर हमें मंटिसा 7292 (यानी 0.7292) मिलता है, जो संख्या 536 के लघुगणक से संबंधित है। इसी तरह , संख्या 508 के लिए हम मंटिसा 0.7059 पाते हैं, संख्या 500 के लिए हम 0.6990 पाते हैं, आदि।

2) एक पूर्णांक में 2 या 1 अंक होते हैं।फिर हम मानसिक रूप से इस संख्या में एक या दो शून्य निर्दिष्ट करते हैं और इस प्रकार बनी तीन अंकों की संख्या के लिए मंटिसा ढूंढते हैं। उदाहरण के लिए, हम संख्या 51 में एक शून्य जोड़ते हैं, जिससे हमें 510 मिलता है और मंटिसा 7070 मिलता है; संख्या 5 के लिए हम 2 शून्य निर्दिष्ट करते हैं और मंटिसा 6990 आदि ज्ञात करते हैं।

3) एक पूर्णांक को 4 अंकों में व्यक्त किया जाता है।उदाहरण के लिए, आपको लॉग 5436 का मंटिसा ढूंढना होगा। फिर पहले हम तालिकाओं में पाते हैं, जैसा कि अभी संकेत दिया गया है, इस संख्या के पहले 3 अंकों द्वारा दर्शाई गई संख्या के लिए मंटिसा, यानी 543 के लिए (यह मंटिसा 7348 होगा) ; फिर हम पाए गए मंटिसा से क्षैतिज रेखा के साथ दाईं ओर जाते हैं (तालिका के दाईं ओर, मोटी ऊर्ध्वाधर रेखा के पीछे स्थित) जब तक कि यह संख्याओं में से एक से गुजरने वाले ऊर्ध्वाधर स्तंभ के साथ प्रतिच्छेद न हो जाए: 1, 2 3,। .. 9, तालिका के इस भाग के शीर्ष (और नीचे) पर स्थित है, जो किसी दिए गए संख्या के चौथे अंक का प्रतिनिधित्व करता है, यानी, हमारे उदाहरण में, संख्या 6। चौराहे पर हम सुधार (संख्या) पाते हैं 5), जिसे संख्या 5436 का मंटिसा प्राप्त करने के लिए 7348 के मंटिसा पर मानसिक रूप से लागू किया जाना चाहिए; इस प्रकार हमें मंटिसा 0.7353 प्राप्त होता है।

4) एक पूर्णांक को 5 या अधिक अंकों के साथ व्यक्त किया जाता है।फिर हम पहले 4 को छोड़कर सभी अंकों को हटा देते हैं, और एक अनुमानित चार अंकों की संख्या लेते हैं, और इस संख्या के अंतिम अंक को उस संख्या में 1 से बढ़ा देते हैं। ऐसी स्थिति में जब संख्या का छोड़ा गया 5वाँ अंक 5 या 5 से अधिक हो। तो, 57842 के बजाय हम 5784 लेते हैं, 30257 के बजाय हम 3026 लेते हैं, 583263 के बजाय हम 5833 लेते हैं, आदि। इस पूर्णांकित चार अंकीय संख्या के लिए, हम मंटिसा पाते हैं जैसा कि अभी बताया गया है।

इन निर्देशों से निर्देशित होकर, आइए, उदाहरण के लिए, निम्नलिखित संख्याओं के लघुगणक खोजें:

36,5; 804,7; 0,26; 0,00345; 7,2634; 3456,06.

सबसे पहले, अभी तालिकाओं की ओर रुख किए बिना, हम केवल विशेषताओं को रखेंगे, मंटिसा के लिए जगह छोड़ेंगे, जिसे हम बाद में लिखेंगे:

लॉग 36.5 = 1,.... लॉग 0.00345 = 3,....

लॉग 804.7 = 2,.... लॉग 7.2634 = 0,....

लॉग 0.26 = 1,.... लॉग 3456.86 = 3,....

लॉग 36.5 = 1.5623; लॉग 0.00345 = 3.5378;

लॉग 804.7 = 2.9057; लॉग 7.2634 = 0.8611;

लॉग 0.26 = 1.4150; लॉग 3456.86 = 3.5387।

280. नोट. कुछ चार अंकों वाली तालिकाओं में (उदाहरण के लिए, तालिकाओं में वी. लोरचेंको और एन. ओग्लोब्लिना, एस. ग्लेज़नेप, एन. कामेंशिकोवा) इस संख्या के चौथे अंक का सुधार नहीं किया गया है। ऐसी तालिकाओं से निपटते समय, किसी को एक साधारण गणना का उपयोग करके इन सुधारों को ढूंढना होगा, जिसे निम्नलिखित सत्य के आधार पर किया जा सकता है: यदि संख्याएं 100 से अधिक हैं और उनके बीच का अंतर 1 से कम है, तो यह बिना किसी संवेदनशील त्रुटि के हो सकता है। ऐसा माना जा सकता है लघुगणक के बीच अंतर संगत संख्याओं के बीच अंतर के समानुपाती होता है . उदाहरण के लिए, हमें संख्या 5367 के अनुरूप मंटिसा खोजने की आवश्यकता है। यह मंटिसा, निश्चित रूप से, संख्या 536.7 के समान है। हम संख्या 536 के लिए तालिकाओं में मंटिसा 7292 पाते हैं। इस मंटिसा की तुलना दाईं ओर स्थित मंटिसा 7300 से करते हैं, जो संख्या 537 के अनुरूप है, हम देखते हैं कि यदि संख्या 536 में 1 की वृद्धि होती है, तो इसकी मंटिसा में 8 दस की वृद्धि होगी -हजारवाँ (8 तथाकथित है टेबल अंतरदो आसन्न मंटिसा के बीच); यदि संख्या 536 में 0.7 की वृद्धि होती है, तो इसका मंटिसा 8 दस-हजारवें हिस्से से नहीं, बल्कि कुछ छोटी संख्या से बढ़ जाएगा एक्स दस हज़ारवाँ भाग, जो अनुमानित आनुपातिकता के अनुसार, अनुपात को संतुष्ट करना चाहिए:

एक्स :8 = 0.7:1; कहाँ एक्स = 8 07 = 5,6,

जो 6 दस-हजारवें भाग तक पूर्णांकित है। इसका मतलब यह है कि संख्या 536.7 (और इसलिए संख्या 5367 के लिए) के लिए मंटिसा होगा: 7292 + 6 = 7298।

ध्यान दें कि तालिकाओं में दो आसन्न संख्याओं के बीच का पता लगाना वास्तविक संख्याबुलाया अंतर्वेशन.यहाँ वर्णित प्रक्षेप को कहा जाता है आनुपातिक, क्योंकि यह इस धारणा पर आधारित है कि लघुगणक में परिवर्तन संख्या में परिवर्तन के समानुपाती होता है। इसे रैखिक भी कहा जाता है, क्योंकि यह मानता है कि ग्राफ़िक रूप से लघुगणकीय फ़ंक्शन में परिवर्तन एक सीधी रेखा द्वारा व्यक्त किया जाता है।

281. अनुमानित लघुगणक की त्रुटि सीमा.यदि जिस संख्या का लघुगणक खोजा जा रहा है वह एक सटीक संख्या है, तो 4-अंकीय तालिकाओं में पाए जाने वाले उसके लघुगणक की त्रुटि की सीमा, जैसा कि हमने कहा, ली जा सकती है 1 / 2 दस हजारवां भाग. यदि यह संख्या सटीक नहीं है, तो इस त्रुटि सीमा में हमें संख्या की अशुद्धि के परिणामस्वरूप उत्पन्न होने वाली किसी अन्य त्रुटि की सीमा भी जोड़नी होगी। यह सिद्ध हो चुका है (हम इस प्रमाण को छोड़ देते हैं) कि ऐसी सीमा को उत्पाद माना जा सकता है

ए(डी +1) दस हज़ारवां.,

जिसमें ए यह मानते हुए कि सबसे सटीक संख्या के लिए त्रुटि की संभावना है इसके पूर्णांक भाग में 3 अंक होते हैं, ए डी दो लगातार तीन अंकों वाली संख्याओं के अनुरूप मंटिसा का सारणीबद्ध अंतर, जिनके बीच दी गई अस्पष्ट संख्या निहित है। इस प्रकार, लघुगणक की अंतिम त्रुटि की सीमा तब सूत्र द्वारा व्यक्त की जाएगी:

1 / 2 + ए(डी +1) दस हज़ारवां

उदाहरण. लॉग खोजें π , के लिए ले रहा हूँ π अनुमानित संख्या 3.14, सटीक 1 / 2 सौवां.

संख्या 3.14 में तीसरे अंक के बाद अल्पविराम को बायीं ओर से गिनने पर हमें मिलता है तीन अंकों की संख्या 314, सटीक 1 / 2 इकाइयाँ; इसका मतलब यह है कि एक गलत संख्या के लिए त्रुटि की संभावना, यानी, जिसे हमने अक्षर द्वारा दर्शाया है ए , वहाँ है 1 / 2 तालिकाओं से हम पाते हैं:

लॉग 3.14 = 0.4969.

टेबल अंतर डी संख्या 314 और 315 के मंटिसा के बीच 14 के बराबर है, इसलिए पाए गए लघुगणक की त्रुटि कम होगी

1 / 2 + 1 / 2 (14 +1) = 8 दस हज़ारवां.

चूँकि हम लघुगणक 0.4969 के बारे में नहीं जानते हैं कि यह न्यून है या अत्यधिक, हम केवल यह गारंटी दे सकते हैं कि सटीक लघुगणक π 0.4969 - 0.0008 और 0.4969 + 0.0008 के बीच स्थित है, अर्थात 0.4961< log π < 0,4977.

282. किसी दिए गए लघुगणक का उपयोग करके एक संख्या ज्ञात करें. किसी दिए गए लघुगणक का उपयोग करके एक संख्या खोजने के लिए, दी गई संख्याओं के मंटिसा को खोजने के लिए समान तालिकाओं का उपयोग किया जा सकता है; लेकिन अन्य तालिकाओं का उपयोग करना अधिक सुविधाजनक है जिनमें तथाकथित एंटीलोगारिथम शामिल हैं, यानी, इन मंटिसा के अनुरूप संख्याएं। ये तालिकाएँ, शीर्ष पर शिलालेख द्वारा इंगित की गई हैं "एंटीलॉगरिथम", लघुगणक की तालिकाओं के बाद इस पुस्तक के अंत में रखी गई हैं (स्पष्टीकरण के लिए);

मान लीजिए कि आपको 4-अंकीय मंटिसा 2863 दिया गया है (हम विशेषता पर ध्यान नहीं देते हैं) और आपको संबंधित पूर्णांक खोजने की आवश्यकता है। फिर, एंटीलोगारिथ्म की तालिकाओं के साथ, आपको उन्हें ठीक उसी तरह से उपयोग करने की आवश्यकता है जैसा कि किसी दिए गए नंबर के लिए मंटिसा खोजने के लिए पहले बताया गया था, अर्थात्: हम बाईं ओर के पहले कॉलम में मंटिसा के पहले 2 अंक पाते हैं। फिर हम इन संख्याओं से क्षैतिज रेखा के साथ दाईं ओर बढ़ते हैं जब तक कि यह मंटिसा के तीसरे अंक से आने वाले ऊर्ध्वाधर स्तंभ के साथ प्रतिच्छेद न हो जाए, जिसे शीर्ष रेखा (या नीचे) में देखा जाना चाहिए। चौराहे पर हमें मंटिसा 286 के अनुरूप चार अंकों की संख्या 1932 मिलती है। फिर इस संख्या से हम क्षैतिज रेखा के साथ दाईं ओर आगे बढ़ते हैं जब तक कि मंटिसा के चौथे अंक से आने वाले ऊर्ध्वाधर स्तंभ के साथ चौराहा नहीं हो जाता, जो अवश्य होना चाहिए वहां रखी संख्याओं 1, 2, 3,... 9 के बीच सबसे ऊपर (या नीचे) पाया जा सकता है। चौराहे पर हमें सुधार 1 मिलता है, जिसे क्रम में पहले पाई गई संख्या 1032 पर (दिमाग में) लागू किया जाना चाहिए मंटिसा 2863 के अनुरूप संख्या प्राप्त करने के लिए।

इस प्रकार, संख्या 1933 होगी। इसके बाद, विशेषता पर ध्यान देते हुए, आपको संख्या 1933 में उचित स्थान पर रखना होगा। उदाहरण के लिए:

अगर लकड़ी का लट्ठा एक्स = 3.2863, फिर एक्स = 1933,

„ लकड़ी का लट्ठा एक्स = 1,2863, „ एक्स = 19,33,

, लकड़ी का लट्ठा एक्स = 0,2&63, „ एक्स = 1,933,

„ लकड़ी का लट्ठा एक्स = 2 ,2863, „ एक्स = 0,01933

यहां और भी उदाहरण हैं:

लकड़ी का लट्ठा एक्स = 0,2287, एक्स = 1,693,

लकड़ी का लट्ठा एक्स = 1 ,7635, एक्स = 0,5801,

लकड़ी का लट्ठा एक्स = 3,5029, एक्स = 3184,

लकड़ी का लट्ठा एक्स = 2 ,0436, एक्स = 0,01106.

यदि मंटिसा में 5 या अधिक अंक हैं, तो हम केवल पहले 4 अंक लेते हैं, बाकी को हटा देते हैं (और यदि 5वें अंक में पांच या अधिक हैं तो चौथे अंक को 1 से बढ़ा देते हैं)। उदाहरण के लिए, मंटिसा 35478 के स्थान पर हम 3548 लेते हैं, 47562 के स्थान पर हम 4756 लेते हैं।

283. नोट.मंटिसा के चौथे और उसके बाद के अंकों का सुधार भी प्रक्षेप के माध्यम से पाया जा सकता है। इसलिए, यदि मंटिसा 84357 है, तो, मंटिसा 843 के अनुरूप संख्या 6966 प्राप्त करने के बाद, हम निम्नानुसार तर्क कर सकते हैं: यदि मंटिसा 1 (हजारवां) बढ़ जाता है, यानी, यह 844 हो जाता है, तो संख्या, इस प्रकार है तालिकाओं से देखा जा सकता है, 16 इकाइयों की वृद्धि होगी; यदि मंटिसा 1 (हजारवां) नहीं, बल्कि 0.57 (हजारवां) बढ़ जाए, तो संख्या बढ़ जाएगी एक्स इकाइयां, और एक्स अनुपात को संतुष्ट करना होगा:

एक्स : 16 = 0.57:1, कहाँ से एक्स = 16 0,57 = 9,12.

इसका मतलब है कि आवश्यक संख्या 6966+ 9.12 = 6975.12 या (केवल चार अंकों तक सीमित) 6975 होगी।

284. पाए गए नंबर की त्रुटि सीमा.यह सिद्ध हो चुका है कि उस स्थिति में जब पाई गई संख्या में अल्पविराम बाईं ओर से तीसरे अंक के बाद होता है, यानी जब लघुगणक की विशेषता 2 होती है, तो योग को त्रुटि सीमा के रूप में लिया जा सकता है

कहाँ ए लघुगणक की त्रुटि सीमा है (दस हजारवें में व्यक्त) जिसके द्वारा संख्या पाई गई थी, और डी - दो तीन अंकों की लगातार संख्याओं के मंटिसा के बीच का अंतर, जिसके बीच पाया गया नंबर स्थित है (बाएं से तीसरे अंक के बाद अल्पविराम के साथ)। जब विशेषता 2 नहीं, बल्कि कुछ और हो, तो पाई गई संख्या में अल्पविराम को बाईं या दाईं ओर ले जाना होगा, यानी संख्या को 10 की किसी शक्ति से विभाजित या गुणा करना होगा। इस स्थिति में, त्रुटि परिणाम को भी 10 की समान घात से विभाजित या गुणा किया जाएगा।

उदाहरण के लिए, हम लघुगणक का उपयोग करके एक संख्या की तलाश कर रहे हैं 1,5950 , जिसे 3 दस-हजारवें तक सटीक माना जाता है; तो इसका मतलब है ए = 3 . एंटीलोगारिथ्म की तालिका से प्राप्त इस लघुगणक के अनुरूप संख्या है 39,36 . बायीं ओर से तीसरे अंक के बाद अल्पविराम को हटाने पर, हमें संख्या प्राप्त होती है 393,6 , के बीच मिलकर 393 और 394 . लघुगणक की तालिकाओं से हम देखते हैं कि इन दो संख्याओं के संगत मंटिसा के बीच का अंतर है 11 दस हज़ारवां; मतलब डी = 11 . संख्या 393.6 की त्रुटि कम होगी

इसका मतलब है कि नंबर में गड़बड़ी है 39,36 कम होगा 0,05 .

285. नकारात्मक विशेषताओं वाले लघुगणक पर संक्रियाएँ।लघुगणक को जोड़ने और घटाने में कोई कठिनाई नहीं होती है, जैसा कि निम्नलिखित उदाहरणों से देखा जा सकता है:

लघुगणक को किसी धनात्मक संख्या से गुणा करने में भी कोई कठिनाई नहीं है, उदाहरण के लिए:

पिछले उदाहरण में, सकारात्मक मंटिसा को अलग से 34 से गुणा किया जाता है, फिर नकारात्मक विशेषता को 34 से गुणा किया जाता है।

यदि एक नकारात्मक विशेषता और एक सकारात्मक मंटिसा के लघुगणक को एक नकारात्मक संख्या से गुणा किया जाता है, तो दो तरीकों से आगे बढ़ें: या तो दिए गए लघुगणक को पहले नकारात्मक कर दिया जाता है, या मंटिसा और विशेषता को अलग-अलग गुणा किया जाता है और परिणाम एक साथ जोड़ दिए जाते हैं, उदाहरण के लिए :

3 ,5632 (- 4) = - 2,4368 (- 4) = 9,7472;

3 ,5632 (- 4) = + 12 - 2,2528 = 9,7472.

विभाजित करते समय, दो मामले सामने आ सकते हैं: 1) नकारात्मक विशेषता विभाजित है और 2) भाजक द्वारा विभाज्य नहीं है. पहले मामले में, विशेषता और मंटिसा को अलग-अलग अलग किया जाता है:

10 ,3784: 5 = 2 ,0757.

दूसरे मामले में, विशेषता में इतनी सारी नकारात्मक इकाइयाँ जोड़ी जाती हैं कि परिणामी संख्या भाजक से विभाजित हो जाती है; मंटिसा में समान संख्या में सकारात्मक इकाइयाँ जोड़ी जाती हैं:

3 ,7608: 8 = (- 8 + 5,7608) : 8 = 1 ,7201.

यह परिवर्तन मन में किया जाना चाहिए, इसलिए क्रिया इस प्रकार होती है:

286. घटाए गए लघुगणक को पदों से बदलना।लघुगणक का उपयोग करके कुछ जटिल अभिव्यक्ति की गणना करते समय, आपको कुछ लघुगणक जोड़ना होगा और अन्य को घटाना होगा; इस मामले में, कार्य करने के सामान्य तरीके में, वे अलग से जोड़े गए लघुगणक का योग निकालते हैं, फिर घटाए गए लघुगणक का योग निकालते हैं, और पहले योग से दूसरे को घटाते हैं। उदाहरण के लिए, यदि हमारे पास:

लकड़ी का लट्ठा एक्स = 2,7305 - 2 ,0740 + 3 ,5464 - 8,3589 ,

तब क्रियाओं का सामान्य निष्पादन इस प्रकार दिखेगा:

हालाँकि, घटाव को जोड़ से बदलना संभव है। इसलिए:

अब आप गणना को इस प्रकार व्यवस्थित कर सकते हैं:

287. गणना के उदाहरण.

उदाहरण 1. अभिव्यक्ति का मूल्यांकन करें:

अगर ए = 0.8216, बी = 0.04826, सी = 0.005127और डी = 7.246.

आइए इस अभिव्यक्ति का लघुगणक लें:

लकड़ी का लट्ठा एक्स= 1/3 लॉग ए + 4 लॉग बी - 3 लॉग सी - 1/3 लॉग डी

अब, समय की अनावश्यक हानि से बचने और त्रुटियों की संभावना को कम करने के लिए, सबसे पहले हम सभी गणनाओं को अभी निष्पादित किए बिना और इसलिए, तालिकाओं का संदर्भ लिए बिना व्यवस्थित करेंगे:

इसके बाद, हम तालिकाएँ लेते हैं और शेष पर लघुगणक लगाते हैं निःशुल्क स्थान:

त्रुटि सीमा.सबसे पहले, आइए संख्या की त्रुटि की सीमा ज्ञात करें एक्स 1 = 194,5 , के बराबर:

तो, सबसे पहले आपको खोजने की जरूरत है ए , यानी, अनुमानित लघुगणक की त्रुटि सीमा, दस हजारवें में व्यक्त की गई। आइए मान लें कि ये संख्याएँ ए, बी, सीऔर डीसभी सटीक हैं. तब व्यक्तिगत लघुगणक में त्रुटियाँ इस प्रकार होंगी (दस हजारवें में):

वी लॉगए.......... 1 / 2

वी 1/3 लॉग ए......... 1 / 6 + 1 / 2 = 2 / 3

( 1 / 2 जोड़ा गया क्योंकि 1.9146 के 3 लघुगणक से विभाजित करते समय, हमने भागफल का 5वाँ अंक हटाकर उसे पूर्णांकित किया, और, इसलिए, और भी छोटी त्रुटि की 1 / 2 दस-हजारवां)।

अब हम लघुगणक की त्रुटि सीमा ज्ञात करते हैं:

ए = 2 / 3 + 2 + 3 / 2 + 1 / 6 = 4 1 / 3 (दस हजारवां)।

आइए आगे परिभाषित करें डी . क्योंकि एक्स 1 = 194,5 , तो 2 क्रमागत पूर्णांक जिनके बीच स्थित है एक्स 1 इच्छा 194 और 195 . टेबल अंतर डी इन संख्याओं के अनुरूप मंटिसा के बीच बराबर है 22 . इसका मतलब यह है कि संख्या की त्रुटि की सीमा है एक्स 1 वहाँ है:

क्योंकि एक्स = एक्स 1 : 10, तो संख्या में त्रुटि सीमा एक्स के बराबर होती है 0,3:10 = 0,03 . इस प्रकार, हमें जो संख्या मिली 19,45 सटीक संख्या से कम से भिन्न है 0,03 . चूंकि हम नहीं जानते कि हमारा अनुमान कमी के साथ पाया गया या अधिकता के साथ, हम केवल इसकी गारंटी दे सकते हैं

19,45 + 0,03 > एक्स > 19,45 - 0,03 , अर्थात।

19,48 > एक्स > 19,42 ,

और इसलिए, यदि हम स्वीकार करते हैं एक्स =19,4 , तो हमारे पास 0.1 तक की सटीकता के साथ एक नुकसान के साथ एक अनुमान होगा।

उदाहरण 2.गणना करें:

एक्स = (- 2,31) 3 5 √72 = - (2,31) 3 5 √72 .

चूँकि ऋणात्मक संख्याओं में लघुगणक नहीं होते, हम पहले पाते हैं:

एक्स" = (2,31) 3 5 √72

अपघटन द्वारा:

लकड़ी का लट्ठा एक्स"= 3 लॉग 2.31 + 1/5 लॉग72.

गणना के बाद यह पता चलता है:

एक्स" = 28,99 ;

इस तरह,

एक्स = - 28,99 .

उदाहरण 3. गणना करें:

यहां सतत लघुगणक का उपयोग नहीं किया जा सकता, क्योंकि मूल का चिह्न c um m a है। ऐसे मामलों में, भागों द्वारा सूत्र की गणना करें।

पहले हम ढूंढते हैं एन = 5 √8 , तब एन 1 = 4 √3 ; फिर साधारण जोड़ द्वारा हम निर्धारित करते हैं एन+ एन 1 , और अंत में हम गणना करते हैं 3 √एन+ एन 1 ; यह पता चला है:

एन=1.514, एन 1 = 1,316 ; एन+ एन 1 = 2,830 .

लकड़ी का लट्ठा एक्स= लॉग 3 √ 2,830 = 1 / 3 लॉग 2.830 = 0,1506 ;

एक्स = 1,415 .

चौथा अध्याय।

घातांकीय और लघुगणकीय समीकरण.

288. घातांकीय समीकरण वे होते हैं जिनमें अज्ञात को घातांक में शामिल किया जाता है, और लघुगणकीय- वे जिनमें अज्ञात चिन्ह के नीचे प्रवेश करता है लकड़ी का लट्ठा. ऐसे समीकरण केवल विशेष मामलों में ही हल किए जा सकते हैं, और किसी को लघुगणक के गुणों और इस सिद्धांत पर निर्भर रहना पड़ता है कि यदि संख्याएँ समान हैं, तो उनके लघुगणक समान हैं, और, इसके विपरीत, यदि लघुगणक समान हैं, तो संगत संख्याएँ समान हैं.

उदाहरण 1।प्रश्न हल करें: 2 एक्स = 1024 .

आइए समीकरण के दोनों पक्षों का लघुगणक लगाएं:

उदाहरण 2.प्रश्न हल करें: ए 2x - ए एक्स = 1 . लाना ए एक्स = पर , हम पाते हैं द्विघात समीकरण:

य 2 - पर - 1 = 0 ,

क्योंकि 1-√5 < 0 , तो अंतिम समीकरण असंभव है (फ़ंक्शन ए एक्स हमेशा एक धनात्मक संख्या होती है), और पहला देता है:

उदाहरण 3.प्रश्न हल करें:

लकड़ी का लट्ठा( ए + एक्स) + लॉग ( बी + एक्स) = लॉग ( सी + एक्स) .

समीकरण इस प्रकार लिखा जा सकता है:

लकड़ी का लट्ठा [( ए + एक्स) (बी + एक्स)] = लॉग ( सी + एक्स) .

लघुगणक की समानता से हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि संख्याएँ समान हैं:

(ए + एक्स) (बी + एक्स) = सी + एक्स .

यह एक द्विघात समीकरण है, जिसका हल कठिन नहीं है।

अध्याय पांच.

चक्रवृद्धि ब्याज, सावधि भुगतान और सावधि भुगतान।

289. चक्रवृद्धि ब्याज पर मूल समस्या.कितनी हो जाएगी पूंजी? ए रूबल, विकास में दिया गया आर चक्रवृद्धि ब्याज, के बाद टी साल ( टी - पूर्णांक)?

वे कहते हैं कि यदि तथाकथित "ब्याज पर ब्याज" को ध्यान में रखा जाए, तो पूंजी का भुगतान चक्रवृद्धि ब्याज पर किया जाता है, अर्थात, यदि पूंजी पर देय ब्याज राशि को बढ़ाने के लिए प्रत्येक वर्ष के अंत में पूंजी में जोड़ा जाता है बाद के वर्षों में इसमें रुचि रहेगी।

पूंजी का हर रूबल दे दिया गया आर %, एक वर्ष के भीतर लाभ लाएगा पी / 100 रूबल, और, इसलिए, 1 वर्ष में पूंजी का प्रत्येक रूबल बदल जाएगा 1 + पी / 100 रूबल (उदाहरण के लिए, यदि पूंजी दी गई है 5 %, तो इसका प्रत्येक रूबल एक वर्ष में बदल जाएगा 1 + 5 / 100 , यानी में 1,05 रूबल)।

संक्षिप्तता के लिए, भिन्न को निरूपित करें पी / 100 उदाहरण के लिए, एक अक्षर के साथ, आर , हम कह सकते हैं कि एक वर्ष में पूंजी का प्रत्येक रूबल बदल जाएगा 1 + आर रूबल; इस तरह, ए रूबल 1 वर्ष में वापस कर दिए जाएंगे ए (1 + आर ) रगड़ना। एक और वर्ष के बाद, यानी विकास की शुरुआत से 2 साल, इनमें से प्रत्येक रूबल ए (1 + आर ) रगड़ना। दोबारा संपर्क करेंगे 1 + आर रगड़ना।; इसका मतलब है कि सारी पूंजी बदल जाएगी ए (1 + आर ) 2 रगड़ना। इसी प्रकार हम पाते हैं कि तीन वर्ष बाद राजधानी होगी ए (1 + आर ) 3 , चार साल में यह हो जाएगा ए (1 + आर ) 4 ,...आम तौर पर के माध्यम से टी साल अगर टी एक पूर्णांक है, यह बदल जाएगा ए (1 + आर ) टीरगड़ना। इस प्रकार, द्वारा निरूपित करना एअंतिम पूंजी, हमारे पास निम्नलिखित चक्रवृद्धि ब्याज सूत्र होगा:

ए = ए (1 + आर ) टीकहाँ आर = पी / 100 .

उदाहरण।होने देना ए =2,300 रूबल, पी = 4, टी=20 साल; तो सूत्र देता है:

आर = 4 / 100 = 0,04 ; ए = 2,300 (1.04) 20.

की गणना करना ए, हम लघुगणक का उपयोग करते हैं:

लकड़ी का लट्ठा ए = लॉग 2 300 + 20 लॉग 1.04 = 3.3617 + 20 0.0170 = 3.3617+0.3400 = 3.7017।

ए = 5031रूबल.

टिप्पणी।इस उदाहरण में हमें यह करना था लॉग 1.04गुणा करके 20 . संख्या के बाद से 0,0170 एक अनुमानित मूल्य है लॉग 1.04तक 1 / 2 दस हजारवाँ भाग, तो इस संख्या का गुणनफल 20 यह निश्चित रूप से केवल तब तक ही रहेगा 1 / 2 20, यानी 10 दस-हजारवें तक = 1 हजारवां। अतः कुल मिलाकर 3,7017 हम न केवल दस हज़ारवें की संख्या के लिए, बल्कि हज़ारवें की संख्या के लिए भी प्रतिज्ञा नहीं कर सकते। ऐसे मामलों में अधिक सटीकता प्राप्त करने के लिए, यह संख्या के लिए बेहतर है 1 + आर लघुगणक 4-अंकीय नहीं, बल्कि साथ लें एक लंबी संख्यासंख्याएँ, उदा. 7 अंक. इस उद्देश्य के लिए, हम यहां एक छोटी तालिका प्रस्तुत करते हैं जिसमें सबसे सामान्य मानों के लिए 7-अंकीय लघुगणक लिखे गए हैं आर .

290. मुख्य कार्य अत्यावश्यक भुगतान के लिए है।कोई ले गया ए रूबल प्रति आर ऋण चुकाने की शर्त के साथ %, उस पर देय ब्याज सहित, में टी वर्ष, प्रत्येक वर्ष के अंत में समान राशि का भुगतान करना। यह राशि कितनी होनी चाहिए?

जोड़ एक्स ऐसी शर्तों के तहत सालाना भुगतान किया जाता है, जिसे तत्काल भुगतान कहा जाता है। आइए फिर से अक्षर से निरूपित करें आर 1 रूबल से वार्षिक ब्याज धन, यानी संख्या पी / 100 . फिर पहले साल के अंत तक कर्ज ए तक बढ़ जाता है ए (1 + आर ), मूल भुगतान एक्स इसकी लागत रूबल होगी ए (1 + आर )-एक्स .

दूसरे वर्ष के अंत तक, इस राशि का प्रत्येक रूबल फिर से बदल जाएगा 1 + आर रूबल, और इसलिए ऋण होगा [ ए (1 + आर )-एक्स ](1 + आर ) = ए (1 + आर ) 2 - एक्स (1 + आर ), और भुगतान के लिए एक्स रूबल होंगे: ए (1 + आर ) 2 - एक्स (1 + आर ) - एक्स . इसी तरह, हम यह सुनिश्चित करेंगे कि तीसरे वर्ष के अंत तक कर्ज हो जाएगा

ए (1 + आर ) 3 - एक्स (1 + आर ) 2 - एक्स (1 + आर ) - एक्स ,

और सामान्य तौर पर और अंत टी वर्ष यह होगा:

ए (1 + आर ) टी - एक्स (1 + आर ) टी -1 - एक्स (1 + आर ) टी-2 ... - एक्स (1 + आर ) - एक्स , या

ए (1 + आर ) टी - एक्स [ 1 + (1 + आर ) + (1 + आर ) 2 + ...+ (1 + आर ) टी-2 + (1 + आर ) टी -1 ]

कोष्ठक के अंदर का बहुपद एक ज्यामितीय प्रगति के पदों के योग का प्रतिनिधित्व करता है; जिसका पहला सदस्य है 1 , अंतिम ( 1 + आर ) टी -1, और हर ( 1 + आर ). एक ज्यामितीय प्रगति (धारा 10 अध्याय 3 § 249) के पदों के योग के लिए सूत्र का उपयोग करके हम पाते हैं:

और उसके बाद ऋण की राशि टी -वां भुगतान होगा:

समस्या की स्थिति के अनुसार कर्ज समाप्ति पर है टी -वें वर्ष के बराबर होना चाहिए 0 ; इसीलिए:

कहाँ

इसकी गणना करते समय तत्काल भुगतान सूत्रलघुगणक का उपयोग करके हमें पहले सहायक संख्या ज्ञात करनी होगी एन = (1 + आर ) टीलघुगणक द्वारा: लॉग एन= टीलॉग(1+ आर) ; मिल गया एन, इसमें से 1 घटाएं, फिर हमें सूत्र का हर प्राप्त होता है एक्स, जिसके बाद हम द्वितीयक लघुगणक द्वारा पाते हैं:

लकड़ी का लट्ठा एक्स=लॉग ए+ लॉग एन + लॉग आर - लॉग (एन - 1).

291. सावधि योगदान के लिए मुख्य कार्य।प्रत्येक वर्ष की शुरुआत में कोई व्यक्ति उतनी ही राशि बैंक में जमा करता है। ए रगड़ना। निर्धारित करें कि इन योगदानों से बाद में कौन सी पूंजी बनेगी टी यदि बैंक भुगतान करता है तो वर्ष आर चक्रवृद्धि ब्याज।

द्वारा नामित आर 1 रूबल से वार्षिक ब्याज धन, अर्थात्। पी / 100 , हम इस प्रकार तर्क करते हैं: पहले वर्ष के अंत तक राजधानी होगी ए (1 + आर );

दूसरे वर्ष की शुरुआत में इस राशि को जोड़ा जाएगा ए रूबल; इसका मतलब यह है कि इस समय पूंजी होगी ए (1 + आर ) + ए . दूसरे वर्ष के अंत तक वह हो जायेगा ए (1 + आर ) 2 + ए (1 + आर );

तीसरे वर्ष की शुरुआत में इसे फिर से दर्ज किया जाता है ए रूबल; इसका मतलब यह है कि इस समय पूंजी होगी ए (1 + आर ) 2 + ए (1 + आर ) + ए ; तीसरे के अंत तक वह होगा ए (1 + आर ) 3 + ए (1 + आर ) 2 + ए (1 + आर ) इन तर्कों को आगे जारी रखते हुए, हम अंत तक यही पाते हैं टी वर्ष आवश्यक पूंजी एइच्छा:

यह प्रत्येक वर्ष की शुरुआत में किए गए सावधि योगदान का सूत्र है।

वही सूत्र निम्नलिखित तर्क से प्राप्त किया जा सकता है: को डाउन पेमेंट ए बैंक में रहते हुए रूबल टी चक्रवृद्धि ब्याज फार्मूले के अनुसार वर्ष बदल जायेंगे ए (1 + आर ) टीरगड़ना। दूसरी किस्त, एक वर्ष से कम समय के लिए बैंक में रहेगी, अर्थात। टी - 1 वर्षों पुराना, संपर्क करें ए (1 + आर ) टी- 1रगड़ना। इसी तरह तीसरी किस्त भी देंगे ए (1 + आर ) टी 2आदि, और अंत में अंतिम किस्त, केवल 1 वर्ष के लिए बैंक में होने के कारण, चली जाएगी ए (1 + आर ) रगड़ना। इसका मतलब है अंतिम पूंजी एरगड़ना। इच्छा:

ए= ए (1 + आर ) टी + ए (1 + आर ) टी- 1 + ए (1 + आर ) टी 2 + . . . + ए (1 + आर ),

जो सरलीकरण के बाद ऊपर पाया गया सूत्र देता है।

इस सूत्र के लघुगणक का उपयोग करके गणना करते समय, आपको उसी तरह आगे बढ़ना चाहिए जैसे कि तत्काल भुगतान के लिए सूत्र की गणना करते समय, यानी, पहले संख्या एन = खोजें 1 + आर ) टीइसके लघुगणक द्वारा: लॉग एन= टीलकड़ी का लट्ठा(1 + आर ), फिर संख्या एन- 1और फिर सूत्र का लघुगणक लें:

लॉग ए = लॉग ए+लॉग(1+ आर) + लॉग (एन - 1) - 1ओजीआर

टिप्पणी।यदि कोई अत्यावश्यक योगदान है ए रगड़ना। शुरुआत में नहीं, बल्कि प्रत्येक वर्ष के अंत में किया जाता था (उदाहरण के लिए, एक अत्यावश्यक भुगतान किया जाता है)। एक्स कर्ज़ चुकाने के लिए), फिर, पिछले वाले की तरह ही तर्क करते हुए, हम इसे अंत तक पाते हैं टी वर्ष आवश्यक पूंजी ए"रगड़ना। (अंतिम किस्त सहित) होगी ए रगड़ना, ब्याज नहीं देना):

ए"= ए (1 + आर ) टी- 1 + ए (1 + आर ) टी 2 + . . . + ए (1 + आर ) + ए

जो इसके बराबर है:

अर्थात। ए"में समाप्त होता है ( 1 + आर ) गुना कम ए, जिसकी अपेक्षा की जानी थी, पूंजी के प्रत्येक रूबल के बाद से ए"पूंजी के संगत रूबल से एक वर्ष कम समय के लिए बैंक में पड़ा रहता है ए.