व्युत्पन्न खोजें: एल्गोरिदम और समाधान के उदाहरण। किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न

व्युत्पन्न सूत्र की व्युत्पत्ति शक्ति समारोह(x की घात a)। x की जड़ों से प्राप्त व्युत्पन्नों पर विचार किया जाता है। उच्च क्रम पावर फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के लिए सूत्र। डेरिवेटिव की गणना के उदाहरण.

a की घात के लिए x का व्युत्पन्न शून्य से एक की घात के लिए x के गुना के बराबर है:
(1) .

x के nवें मूल का mth घात से व्युत्पन्न है:
(2) .

पावर फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के लिए सूत्र की व्युत्पत्ति

केस x > 0

घातांक a के साथ चर x के घात फलन पर विचार करें:
(3) .
यहाँ a एक मनमाना वास्तविक संख्या है। आइए पहले मामले पर विचार करें।

फ़ंक्शन (3) का व्युत्पन्न खोजने के लिए, हम पावर फ़ंक्शन के गुणों का उपयोग करते हैं और इसे निम्नलिखित रूप में बदलते हैं:
.

अब हम इसका उपयोग करके व्युत्पन्न ज्ञात करते हैं:
;
.
यहाँ ।

सूत्र (1) सिद्ध हो चुका है।

x की घात n से m की घात तक के मूल के अवकलज के लिए सूत्र की व्युत्पत्ति

अब एक फ़ंक्शन पर विचार करें जो निम्नलिखित फॉर्म का मूल है:
(4) .

व्युत्पन्न खोजने के लिए, हम मूल को एक पावर फ़ंक्शन में बदलते हैं:
.
सूत्र (3) से तुलना करने पर हम यह देखते हैं
.
तब
.

सूत्र (1) का उपयोग करके हम व्युत्पन्न पाते हैं:
(1) ;
;
(2) .

व्यवहार में, सूत्र (2) को याद करने की कोई आवश्यकता नहीं है। पहले जड़ों को पावर फ़ंक्शंस में बदलना और फिर सूत्र (1) का उपयोग करके उनके डेरिवेटिव ढूंढना अधिक सुविधाजनक है (पृष्ठ के अंत में उदाहरण देखें)।

केस x = 0

यदि, तो पावर फ़ंक्शन को वेरिएबल x = के मान के लिए परिभाषित किया गया है 0 . 0 आइए x = पर फ़ंक्शन (3) का व्युत्पन्न खोजें
.

. 0 :
.
ऐसा करने के लिए, हम व्युत्पन्न की परिभाषा का उपयोग करते हैं:

आइए x = को प्रतिस्थापित करें
.
इस मामले में, व्युत्पन्न से हमारा तात्पर्य दाहिने हाथ की सीमा से है जिसके लिए।
तो हमने पाया:
तो हमने पाया:
इससे यह स्पष्ट है कि , के लिए .
(1) .
पर , । 0 .

यह परिणाम भी सूत्र (1) से प्राप्त होता है:< 0

इसलिए, सूत्र (1) x = के लिए भी मान्य है
(3) .
केस एक्स फ़ंक्शन (3) पर फिर से विचार करें:स्थिरांक a के कुछ मानों के लिए इसे भी परिभाषित किया गया है नकारात्मक मानचर एक्स.
,
अर्थात्, रहने दो तर्कसंगत संख्या.

. तब इसे एक अघुलनशील अंश के रूप में दर्शाया जा सकता है: 3 जहाँ m और n बिना पूर्णांक हैं 1 सामान्य भाजक
.
यदि n विषम है, तो पावर फ़ंक्शन को वेरिएबल x के नकारात्मक मानों के लिए भी परिभाषित किया गया है।

उदाहरण के लिए, जब n = और एम =हमारे पास x का घनमूल है:
.
इसे वेरिएबल x के नकारात्मक मानों के लिए भी परिभाषित किया गया है।
.
हम व्युत्पन्न के चिह्न के बाहर स्थिरांक रखकर और एक जटिल फ़ंक्शन को अलग करने के लिए नियम लागू करके व्युत्पन्न पाते हैं:

.
यहाँ । लेकिन
.
के बाद से
.
तब
.
अर्थात्, सूत्र (1) इसके लिए भी मान्य है:
(1) .

उच्च क्रम डेरिवेटिव

आइए अब पावर फ़ंक्शन के उच्च क्रम वाले डेरिवेटिव खोजें
(3) .
हमने पहला ऑर्डर व्युत्पन्न पहले ही पा लिया है:
.

व्युत्पन्न के चिह्न के बाहर स्थिरांक a लेते हुए, हम दूसरे क्रम का व्युत्पन्न पाते हैं:
.
इसी प्रकार, हम तीसरे और चौथे क्रम के व्युत्पन्न पाते हैं:
;

.

इससे यह स्पष्ट है कि मनमाना nवें क्रम का व्युत्पन्ननिम्नलिखित रूप है:
.

ध्यान दें कि यदि a एक प्राकृतिक संख्या है, तो nवाँ अवकलज स्थिर है:
.
फिर बाद के सभी व्युत्पन्न शून्य के बराबर हैं:
,
पर ।

डेरिवेटिव की गणना के उदाहरण

उदाहरण

फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:
.

समाधान

आइए जड़ों को घातों में बदलें:
;
.
फिर मूल फ़ंक्शन रूप लेता है:
.

शक्तियों का व्युत्पन्न ढूँढना:
;
.
स्थिरांक का व्युत्पन्न शून्य है:
.

व्युत्पन्न गणना- डिफरेंशियल कैलकुलस में सबसे महत्वपूर्ण ऑपरेशनों में से एक। सरल कार्यों के व्युत्पन्न खोजने के लिए नीचे एक तालिका है। अधिक जटिल नियमभेदभाव, अन्य पाठ देखें:

• घातांकीय और लघुगणकीय फलनों के व्युत्पन्नों की तालिका

दिए गए सूत्रों को संदर्भ मान के रूप में उपयोग करें। वे विभेदक समीकरणों और समस्याओं को हल करने में मदद करेंगे। चित्र में, सरल कार्यों के व्युत्पन्न की तालिका में, उपयोग के लिए समझने योग्य रूप में व्युत्पन्न खोजने के मुख्य मामलों की एक "चीट शीट" है, इसके आगे प्रत्येक मामले के लिए स्पष्टीकरण हैं।

सरल कार्यों के व्युत्पन्न

1. किसी संख्या का व्युत्पन्न शून्य है
с´ = 0
उदाहरण:
5´ = 0

स्पष्टीकरण:
व्युत्पन्न उस दर को दर्शाता है जिस पर किसी फ़ंक्शन का तर्क बदलने पर उसका मान बदलता है। चूँकि संख्या किसी भी परिस्थिति में किसी भी तरह से नहीं बदलती है, इसलिए इसके परिवर्तन की दर हमेशा शून्य होती है।

2. एक चर का व्युत्पन्नएक के बराबर
x´ = 1

स्पष्टीकरण:
तर्क (x) में प्रत्येक वृद्धि के साथ, फ़ंक्शन का मान (गणना का परिणाम) उसी राशि से बढ़ता है। इस प्रकार, फ़ंक्शन y = x के मान में परिवर्तन की दर तर्क के मान में परिवर्तन की दर के बिल्कुल बराबर है।

3. एक चर और एक गुणनखंड का व्युत्पन्न इस गुणनखंड के बराबर होता है
сx´ = с
उदाहरण:
(3x)´ = 3
(2x)´ = 2
स्पष्टीकरण:
इस मामले में, हर बार फ़ंक्शन तर्क बदलता है ( एक्स) इसका मान (y) बढ़ जाता है साथएक बार। इस प्रकार, तर्क के परिवर्तन की दर के संबंध में फ़ंक्शन मान के परिवर्तन की दर बिल्कुल मान के बराबर है साथ.

यह कहां से इसका अनुसरण करता है
(सीएक्स + बी)" = सी
अर्थात्, रैखिक फलन y=kx+b का अंतर बराबर है ढलानसीधी रेखा का ढलान (k)।

4. एक चर का मॉड्यूलो व्युत्पन्नइस चर के भागफल के बराबर इसके मापांक के बराबर
|x|"= एक्स / |एक्स| बशर्ते कि x ≠ 0
स्पष्टीकरण:
चूंकि एक चर का व्युत्पन्न (सूत्र 2 देखें) एकता के बराबर है, मॉड्यूल का व्युत्पन्न केवल इसमें भिन्न होता है कि मूल बिंदु को पार करने पर फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर का मान विपरीत में बदल जाता है (ग्राफ खींचने का प्रयास करें) फ़ंक्शन y = |x| का और स्वयं देखें कि यह वास्तव में क्या मान है और अभिव्यक्ति x / |x| देता है< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - एक. अर्थात्, चर x के नकारात्मक मानों के लिए, तर्क में प्रत्येक वृद्धि के साथ, फ़ंक्शन का मान बिल्कुल उसी मान से घट जाता है, और सकारात्मक मानों के लिए, इसके विपरीत, यह बढ़ता है, लेकिन बिल्कुल उसी मान से .

5. एक चर से एक घात का व्युत्पन्नइस शक्ति की एक संख्या के उत्पाद के बराबर और एक से कम की गई शक्ति के लिए एक चर
(x c)"= cx c-1, बशर्ते कि x c और cx c-1 परिभाषित हों और c ≠ 0
उदाहरण:
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
फार्मूला याद रखना:
चर की डिग्री को एक कारक के रूप में नीचे ले जाएँ, और फिर डिग्री को एक से कम कर दें। उदाहरण के लिए, x 2 के लिए - दोनों x से आगे थे, और फिर कम हुई शक्ति (2-1 = 1) ने हमें बस 2x दिया। x 3 के लिए भी यही हुआ - हम त्रिक को "नीचे ले जाते हैं", इसे एक से कम करते हैं और एक घन के बजाय हमारे पास एक वर्ग होता है, यानी 3x 2। थोड़ा "अवैज्ञानिक" लेकिन याद रखना बहुत आसान है।

6.भिन्न का व्युत्पन्न 1/x
(1/x)" = - 1/x 2
उदाहरण:
चूँकि भिन्न को बढ़ाकर दर्शाया जा सकता है नकारात्मक डिग्री
(1/x)" = (x -1)", तो आप डेरिवेटिव की तालिका के नियम 5 से सूत्र लागू कर सकते हैं
(x -1)" = -1x -2 = - 1 / x 2

7. भिन्न का व्युत्पन्न मनमानी डिग्री के एक चर के साथहर में
(1 / x सी)"= - सी/एक्स सी+1
उदाहरण:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3

8. जड़ का व्युत्पन्न(वर्गमूल के अंतर्गत चर का व्युत्पन्न)
(√x)" = 1 / (2√x)या 1/2 x -1/2
उदाहरण:
(√x)" = (x 1/2)" का अर्थ है कि आप नियम 5 से सूत्र लागू कर सकते हैं
(x 1/2)" = 1/2 x -1/2 = 1 / (2√x)

9. एक मनमानी डिग्री की जड़ के तहत एक चर का व्युत्पन्न
(n √x)" = 1 / (n n √x n-1)

इस वीडियो के साथ मैं डेरिवेटिव पर पाठों की एक लंबी श्रृंखला शुरू करता हूं। इस पाठ में कई भाग हैं.

सबसे पहले, मैं आपको बताऊंगा कि व्युत्पन्न क्या हैं और उनकी गणना कैसे की जाती है, लेकिन परिष्कृत अकादमिक भाषा में नहीं, बल्कि जिस तरह से मैं इसे स्वयं समझता हूं और मैं इसे अपने छात्रों को कैसे समझाता हूं। दूसरे, हम समस्याओं को हल करने के लिए सबसे सरल नियम पर विचार करेंगे जिसमें हम योग के व्युत्पन्न, अंतर के व्युत्पन्न और एक शक्ति फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की तलाश करेंगे।

हम अधिक जटिल संयुक्त उदाहरणों को देखेंगे, जिनसे आप, विशेष रूप से, सीखेंगे कि जड़ों और यहां तक ​​कि भिन्नों से जुड़ी समान समस्याओं को एक शक्ति फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के लिए सूत्र का उपयोग करके हल किया जा सकता है। इसके अलावा, निश्चित रूप से, कई समस्याएं और समाधान के उदाहरण भी होंगे अलग - अलग स्तरजटिलता.

सामान्य तौर पर, शुरू में मैं 5 मिनट का एक छोटा वीडियो रिकॉर्ड करने जा रहा था, लेकिन आप देख सकते हैं कि यह कैसे हुआ। गीत के बोल बहुत हो गए - चलो काम पर आते हैं।

व्युत्पन्न क्या है?

तो चलिए दूर से शुरू करते हैं। कई साल पहले, जब पेड़ हरे थे और जीवन अधिक मज़ेदार था, गणितज्ञों ने इस बारे में सोचा: इसके ग्राफ़ द्वारा परिभाषित एक सरल फ़ंक्शन पर विचार करें, इसे $y=f\left(x \right)$ कहें। बेशक, ग्राफ़ अपने आप मौजूद नहीं है, इसलिए आपको $x$ अक्षों के साथ-साथ $y$ अक्ष भी खींचने की आवश्यकता है। आइए अब इस ग्राफ़ पर कोई भी बिंदु चुनें, बिल्कुल कोई भी। आइए भुज को $((x)_(1))$ कहते हैं, जैसा कि आप अनुमान लगा सकते हैं, कोटि $f\left(((x)_(1)) \right)$ होगी।

आइए उसी ग्राफ़ पर एक और बिंदु देखें। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि कौन सा, मुख्य बात यह है कि यह मूल से अलग है। इसमें फिर से एक भुज है, आइए इसे $((x)_(2))$ कहते हैं, और एक कोटि भी - $f\left(((x)_(2)) \right)$।

तो, हमें दो बिंदु मिले: उनके भुज अलग-अलग हैं और इसलिए, विभिन्न अर्थफ़ंक्शन, हालांकि बाद वाला वैकल्पिक है। लेकिन जो वास्तव में महत्वपूर्ण है वह यह है कि हम प्लैनिमेट्री पाठ्यक्रम से जानते हैं: दो बिंदुओं के माध्यम से आप एक सीधी रेखा खींच सकते हैं और इसके अलावा, केवल एक। तो चलिए इसे निभाते हैं.

आइए अब उनमें से सबसे पहले से भुज अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा खींचें। हम पाते हैं सही त्रिकोण. चलिए इसे $ABC$, समकोण $C$ कहते हैं। इस त्रिभुज में एक बहुत है दिलचस्प संपत्ति: तथ्य यह है कि कोण $\alpha $ वास्तव में उस कोण के बराबर है जिस पर सीधी रेखा $AB$ भुज अक्ष की निरंतरता के साथ प्रतिच्छेद करती है। अपने लिए जज करें:

1. सीधी रेखा $AC$ निर्माण द्वारा $Ox$ अक्ष के समानांतर है,
2. रेखा $AB$ $AC$ को $\alpha $ के नीचे काटती है,
3. इसलिए $AB$, $Ox$ को उसी $\alpha $ के नीचे काटता है।

हम $\text()\!\!\alpha\!\!\text()$ के बारे में क्या कह सकते हैं? कुछ भी विशिष्ट नहीं है, सिवाय इसके कि त्रिभुज $ABC$ में पाद $BC$ और पाद $AC$ का अनुपात इसी कोण की स्पर्शरेखा के बराबर है। तो चलिए इसे लिखते हैं:

बेशक, इस मामले में $AC$ की गणना आसानी से की जाती है:

इसी प्रकार $BC$ के लिए:

दूसरे शब्दों में, हम निम्नलिखित लिख सकते हैं:

\[\operatorname(tg)\text( )\!\!\alpha\!\!\text()=\frac(f\left(((x)_(2)) \right)-f\left( ((x)_(1)) \दाएं))(((x)_(2))-((x)_(1)))\]

अब जब हमें वह सब मिल गया है, तो आइए अपने ग्राफ पर वापस जाएं और देखें नया बिंदु$बी$. आइए पुराने मूल्यों को मिटा दें और $B$ को $((x)_(1))$ के करीब ले जाएं। आइए हम फिर से इसके भुज को $((x)_(2))$ से और इसकी कोटि को $f\left(((x)_(2)) \right)$ से निरूपित करें।

आइए फिर से इसके अंदर हमारे छोटे त्रिकोण $ABC$ और $\text()\!\!\alpha\!\!\text()$ को देखें। यह बिल्कुल स्पष्ट है कि यह एक पूरी तरह से अलग कोण होगा, स्पर्शरेखा भी अलग होगी क्योंकि $AC$ और $BC$ खंडों की लंबाई में काफी बदलाव आया है, लेकिन कोण की स्पर्शरेखा का सूत्र बिल्कुल भी नहीं बदला है - यह अभी भी फ़ंक्शन में बदलाव और तर्क में बदलाव के बीच का संबंध है।

अंत में, हम $B$ को मूल बिंदु $A$ के करीब ले जाना जारी रखते हैं, परिणामस्वरूप त्रिकोण और भी छोटा हो जाएगा, और खंड $AB$ वाली सीधी रेखा अधिक से अधिक ग्राफ के स्पर्शरेखा की तरह दिखाई देगी समारोह.

परिणामस्वरूप, यदि हम बिंदुओं को एक साथ लाना जारी रखते हैं, यानी, दूरी को शून्य तक कम करते हैं, तो सीधी रेखा $AB$ वास्तव में किसी दिए गए बिंदु पर ग्राफ़ के स्पर्शरेखा में बदल जाएगी, और $\text()\ !\!\alpha\!\ !\text()$ एक नियमित त्रिभुज तत्व से ग्राफ़ की स्पर्शरेखा और $Ox$ अक्ष की सकारात्मक दिशा के बीच के कोण में बदल जाएगा।

और यहां हम आसानी से $f$ की परिभाषा पर आगे बढ़ते हैं, अर्थात्, बिंदु $((x)_(1))$ पर एक फ़ंक्शन का व्युत्पन्न स्पर्शरेखा के बीच के कोण $\alpha $ की स्पर्शरेखा है। बिंदु $((x)_( 1))$ पर ग्राफ और $Ox$ अक्ष की सकारात्मक दिशा:

\[(f)"\left(((x)_(1)) \right)=\operatorname(tg)\text() )\!\!\alpha\!\!\text( )\]

हमारे ग्राफ़ पर लौटते हुए, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि ग्राफ़ पर किसी भी बिंदु को $((x)_(1))$ के रूप में चुना जा सकता है। उदाहरण के लिए, उसी सफलता के साथ हम चित्र में दिखाए गए बिंदु पर स्ट्रोक को हटा सकते हैं।

आइए स्पर्शरेखा और अक्ष की धनात्मक दिशा के बीच के कोण को $\beta$ कहते हैं। तदनुसार, $((x)_(2))$ में $f$ इस कोण $\beta $ की स्पर्श रेखा के बराबर होगा।

\[(f)"\left(((x)_(2)) \right)=tg\text()\!\!\beta\!\!\text()\]

ग्राफ़ पर प्रत्येक बिंदु की अपनी स्पर्शरेखा होगी, और इसलिए, इसका अपना फ़ंक्शन मान होगा। इनमें से प्रत्येक मामले में, उस बिंदु के अतिरिक्त जिस पर हम किसी अंतर या योग के व्युत्पन्न, या किसी शक्ति फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की तलाश कर रहे हैं, उससे कुछ दूरी पर स्थित एक और बिंदु लेना आवश्यक है, और फिर निर्देशित करें यह मूल को इंगित करता है और निश्चित रूप से, यह पता लगाता है कि इस प्रक्रिया में इस तरह की गति झुकाव के कोण के स्पर्शरेखा को कैसे बदल देगी।

पावर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न

दुर्भाग्य से, ऐसी परिभाषा हमें बिल्कुल भी शोभा नहीं देती। ये सभी सूत्र, चित्र, कोण हमें वास्तविक समस्याओं में वास्तविक व्युत्पन्न की गणना करने का ज़रा भी विचार नहीं देते हैं। इसलिए, आइए औपचारिक परिभाषा से थोड़ा हटें और अधिक प्रभावी सूत्रों और तकनीकों पर विचार करें जिनके साथ आप पहले से ही वास्तविक समस्याओं को हल कर सकते हैं।

आइए सबसे सरल निर्माणों से शुरू करें, अर्थात्, फॉर्म $y=((x)^(n))$ के फ़ंक्शन, यानी। शक्ति कार्य. इस मामले में, हम निम्नलिखित लिख सकते हैं: $(y)"=n\cdot ((x)^(n-1))$। दूसरे शब्दों में, घातांक में जो डिग्री थी वह सामने गुणक में दिखाई गई है, और घातांक स्वयं इकाई से कम हो जाता है उदाहरण के लिए:

\[\begin(संरेखित)& y=((x)^(2)) \\& (y)"=2\cdot ((x)^(2-1))=2x \\\end(संरेखित) \]

यहाँ एक और विकल्प है:

\[\begin(संरेखित करें)& y=((x)^(1)) \\& (y)"=((\left(x \right))^(\ prime ))=1\cdot ((x )^(0))=1\cdot 1=1 \\& ((\left(x \right))^(\प्राइम ))=1 \\\end(संरेखित)\]

इनका उपयोग करना सरल नियम, आइए निम्नलिखित उदाहरणों के स्ट्रोक को हटाने का प्रयास करें:

तो हमें मिलता है:

\[((\left(((x)^(6)) \right))^(\ prime ))=6\cdot ((x)^(5))=6((x)^(5)) \]

आइए अब दूसरी अभिव्यक्ति को हल करें:

\[\begin(संरेखित)& f\left(x \right)=((x)^(100)) \\& ((\left(((x)^(100)) \right))^(\ अभाज्य ))=100\cdot ((x)^(99))=100((x)^(99)) \\\end(संरेखित)\]

निःसंदेह, ये बहुत थे सरल कार्य. हालाँकि, वास्तविक समस्याएँ अधिक जटिल हैं और वे केवल कार्य की डिग्री तक सीमित नहीं हैं।

तो, नियम संख्या 1 - यदि किसी फ़ंक्शन को अन्य दो के रूप में प्रस्तुत किया जाता है, तो इस योग का व्युत्पन्न व्युत्पन्न के योग के बराबर है:

\[((\left(f+g \right))^(\ prime ))=(f)"+(g)"\]

इसी प्रकार, दो कार्यों के अंतर का व्युत्पन्न व्युत्पन्न के अंतर के बराबर है:

\[((\left(f-g \right))^(\ prime ))=(f)"-(g)"\]

\[((\left(((x)^(2))+x \right))^(\ prime ))=((\left(((x)^(2)) \right))^(\ प्राइम ))+((\left(x \right))^(\प्राइम ))=2x+1\]

इसके अलावा एक और भी है महत्वपूर्ण नियम: यदि कुछ $f$ के पहले एक स्थिरांक $c$ है, जिससे यह फ़ंक्शन गुणा किया जाता है, तो इस संपूर्ण निर्माण के $f$ की गणना निम्नानुसार की जाती है:

\[((\left(c\cdot f \right))^(\ prime ))=c\cdot (f)"\]

\[((\left(3((x)^(3)) \right))^(\ prime ))=3((\left(((x)^(3)) \right))^(\ अभाज्य ))=3\cdot 3((x)^(2))=9((x)^(2))\]

अंत में, एक और बहुत महत्वपूर्ण नियम: समस्याओं में अक्सर एक अलग शब्द होता है जिसमें $x$ बिल्कुल भी नहीं होता है। उदाहरण के लिए, आज हम इसे अपनी अभिव्यक्ति में देख सकते हैं। एक स्थिरांक का व्युत्पन्न, यानी, एक संख्या जो किसी भी तरह से $x$ पर निर्भर नहीं करती है, हमेशा शून्य के बराबर होती है, और इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि स्थिरांक $c$ किसके बराबर है:

\[((\left(c \right))^(\ prime ))=0\]

उदाहरण समाधान:

\[((\left(1001 \right))^(\ prime ))=((\left(\frac(1)(1000) \right))^(\ prime ))=0\]

मुख्य बिंदु फिर से:

1. दो कार्यों के योग का व्युत्पन्न हमेशा व्युत्पन्नों के योग के बराबर होता है: $((\left(f+g \right))^(\ prime ))=(f)"+(g)"$;
2. समान कारणों से, दो कार्यों के अंतर का व्युत्पन्न दो व्युत्पन्नों के अंतर के बराबर है: $((\left(f-g \right))^(\ prime ))=(f)"-(g)"$;
3. यदि किसी फ़ंक्शन में एक स्थिर कारक है, तो इस स्थिरांक को व्युत्पन्न चिह्न के रूप में निकाला जा सकता है: $((\left(c\cdot f \right))^(\ prime ))=c\cdot (f)"$;
4. यदि संपूर्ण फ़ंक्शन एक स्थिरांक है, तो इसका व्युत्पन्न हमेशा शून्य होता है: $((\left(c \right))^(\ prime ))=0$.

आइए देखें कि यह सब वास्तविक उदाहरणों के साथ कैसे काम करता है। इसलिए:

हम लिखते हैं:

\[\begin(संरेखित)& ((\left(((x)^(5))-3((x)^(2))+7 \right))^(\प्राइम ))=((\left (((x)^(5)) \दाएं))^(\प्राइम ))-((\left(3((x)^(2)) \दाएं))^(\प्राइम ))+(7) "= \\& =5((x)^(4))-3((\left(((x)^(2)) \right))^(\ prime ))+0=5((x) ^(4))-6x \\\end(संरेखित)\]

इस उदाहरण में हम योग का व्युत्पन्न और अंतर का व्युत्पन्न दोनों देखते हैं। कुल मिलाकर, व्युत्पन्न $5((x)^(4))-6x$ के बराबर है।

चलिए दूसरे फ़ंक्शन पर चलते हैं:

आइए समाधान लिखें:

\[\begin(संरेखित)& ((\left(3((x)^(2))-2x+2 \right))^(\प्राइम ))=((\left(3((x)^( 2)) \दाएं))^(\प्राइम ))-((\left(2x \right))^(\प्राइम ))+(2)"= \\& =3((\left(((x) ^(2)) \दाएं))^(\प्राइम ))-2(x)"+0=3\cdot 2x-2\cdot 1=6x-2 \\\end(संरेखित)\]

यहां हमें इसका उत्तर मिल गया है.

आइए तीसरे कार्य पर चलते हैं - यह अधिक गंभीर है:

\[\begin(संरेखित करें)& ((\left(2((x)^(3))-3((x)^(2))+\frac(1)(2)x-5 \right)) ^(\प्राइम ))=((\left(2((x)^(3)) \दाएं))^(\प्राइम ))-((\left(3((x)^(2)) \दाएं ))^(\प्राइम ))+((\left(\frac(1)(2)x \right))^(\प्राइम ))-(5)"= \\& =2((\left(( (x)^(3)) \दाएं))^(\प्राइम ))-3((\left(((x)^(2)) \दाएं))^(\प्राइम ))+\frac(1) (2)\cdot (x)"=2\cdot 3((x)^(2))-3\cdot 2x+\frac(1)(2)\cdot 1=6((x)^(2)) -6x+\frac(1)(2) \\\end(संरेखित)\]

हमें इसका उत्तर मिल गया है.

आइए अंतिम अभिव्यक्ति पर चलते हैं - सबसे जटिल और सबसे लंबी:

तो, हम विचार करते हैं:

\[\begin(संरेखित करें)& ((\left(6((x)^(7))-14((x)^(3))+4x+5 \right))^(\प्राइम ))=( (\left(6((x)^(7)) \right))^(\ prime ))-((\left(14((x)^(3)) \right))^(\ prime )) +((\left(4x \right))^(\ prime ))+(5)"= \\& =6\cdot 7\cdot ((x)^(6))-14\cdot 3((x )^(2))+4\cdot 1+0=42((x)^(6))-42((x)^(2))+4 \\end(संरेखित)\]

लेकिन समाधान यहीं समाप्त नहीं होता है, क्योंकि हमें न केवल एक स्ट्रोक को हटाने के लिए कहा जाता है, बल्कि एक विशिष्ट बिंदु पर इसके मूल्य की गणना करने के लिए भी कहा जाता है, इसलिए हम अभिव्यक्ति में $x$ के बजाय −1 प्रतिस्थापित करते हैं:

\[(y)"\left(-1 \right)=42\cdot 1-42\cdot 1+4=4\]

आइए आगे बढ़ें और और भी अधिक जटिल की ओर बढ़ें दिलचस्प उदाहरण. तथ्य यह है कि पावर व्युत्पन्न को हल करने का सूत्र $((\left(((x)^(n)) \right))^(\ prime ))=n\cdot ((x)^(n-1) )$ का दायरा आमतौर पर जितना सोचा जाता है उससे कहीं अधिक व्यापक है। इसकी सहायता से आप भिन्न, मूल आदि वाले उदाहरणों को हल कर सकते हैं। अब हम यही करेंगे।

आरंभ करने के लिए, आइए एक बार फिर वह सूत्र लिखें जो हमें पावर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजने में मदद करेगा:

और अब ध्यान: अभी तक हमने $n$ ही माना है प्राकृतिक संख्याहालाँकि, कुछ भी हमें भिन्नों और सम पर विचार करने से नहीं रोकता है नकारात्मक संख्याएँ. उदाहरण के लिए, हम निम्नलिखित लिख सकते हैं:

\[\begin(संरेखित करें)& \sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2))) \\& ((\left(\sqrt(x) \right))^(\ प्राइम ))=((\left(((x)^(\frac(1)(2))) \right))^(\प्राइम ))=\frac(1)(2)\cdot ((x) ^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(x))=\frac(1)(2\sqrt(x)) \\\end(संरेखित करें)\]

कुछ भी जटिल नहीं है, तो आइए देखें कि अधिक जटिल समस्याओं को हल करने में यह सूत्र हमारी कैसे मदद करेगा। तो, एक उदाहरण:

आइए समाधान लिखें:

\[\begin(संरेखित करें)& \left(\sqrt(x)+\sqrt(x)+\sqrt(x) \right)=((\left(\sqrt(x) \right))^(\ prime ))+((\left(\sqrt(x) \right))^(\ prime ))+((\left(\sqrt(x) \right))^(\ prime )) \\& ((\ बाएँ(\sqrt(x) \right))^(\प्राइम ))=\frac(1)(2\sqrt(x)) \\& ((\left(\sqrt(x) \right))^( \प्राइम ))=((\left(((x)^(\frac(1)(3))) \right))^(\प्राइम ))=\frac(1)(3)\cdot ((x )^(-\frac(2)(3)))=\frac(1)(3)\cdot \frac(1)(\sqrt(((x)^(2)))) \\& (( \left(\sqrt(x) \right))^(\ prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(4))) \right))^(\ prime )) =\frac(1)(4)((x)^(-\frac(3)(4)))=\frac(1)(4)\cdot \frac(1)(\sqrt(((x) ^(3)))) \\\end(संरेखित)\]

आइए अपने उदाहरण पर वापस जाएं और लिखें:

\[(y)"=\frac(1)(2\sqrt(x))+\frac(1)(3\sqrt(((x)^(2))))+\frac(1)(4 \sqrt(((x)^(3))))\]

यह बहुत कठिन निर्णय है.

आइए दूसरे उदाहरण पर चलते हैं - केवल दो पद हैं, लेकिन उनमें से प्रत्येक में शास्त्रीय डिग्री और जड़ें दोनों शामिल हैं।

अब हम सीखेंगे कि किसी पावर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न कैसे खोजा जाए, जिसमें इसके अलावा, रूट भी शामिल है:

\[\begin(संरेखित करें)& ((\left(((x)^(3))\sqrt(((x)^(2)))+((x)^(7))\sqrt(x) \दाएं))^(\प्राइम ))=((\left(((x)^(3))\cdot \sqrt(((x)^(2))) \दाएं))^(\प्राइम )) =((\left(((x)^(3))\cdot ((x)^(\frac(2)(3))) \right))^(\ prime ))= \\& =(( \left(((x)^(3+\frac(2)(3))) \right))^(\ prime ))=((\left(((x)^(\frac(11)(3) ))) \दाएं))^(\प्राइम ))=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(\frac(8)(3)))=\frac(11)(3)\ cdot ((x)^(2\frac(2)(3)))=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(2) ))) \\& ((\left(((x)^(7))\cdot \sqrt(x) \right))^(\ prime ))=((\left(((x)^(7) ))\cdot ((x)^(\frac(1)(3))) \right))^(\ prime ))=((\left(((x)^(7\frac(1)(3) ))) \दाएं))^(\प्राइम ))=7\frac(1)(3)\cdot ((x)^(6\frac(1)(3)))=\frac(22)(3 )\cdot ((x)^(6))\cdot \sqrt(x) \\\end(संरेखित)\]

दोनों पदों की गणना कर ली गई है, अब केवल अंतिम उत्तर लिखना बाकी है:

\[(y)"=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(2)))+\frac(22)(3) \cdot ((x)^(6))\cdot \sqrt(x)\]

हमें इसका उत्तर मिल गया है.

घात फलन के माध्यम से भिन्न का व्युत्पन्न

लेकिन पावर फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को हल करने के सूत्र की संभावनाएं यहीं समाप्त नहीं होती हैं। तथ्य यह है कि इसकी सहायता से आप न केवल मूल वाले उदाहरणों की गणना कर सकते हैं, बल्कि भिन्नों वाले उदाहरणों की भी गणना कर सकते हैं। यह वास्तव में दुर्लभ अवसर है जो ऐसे उदाहरणों के समाधान को बहुत सरल बनाता है, लेकिन अक्सर न केवल छात्रों द्वारा, बल्कि शिक्षकों द्वारा भी इसे अनदेखा कर दिया जाता है।

तो, अब हम दो सूत्रों को एक साथ मिलाने का प्रयास करेंगे। एक ओर, पावर फ़ंक्शन का शास्त्रीय व्युत्पन्न

\[((\left(((x)^(n)) \right))^(\ prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]

दूसरी ओर, हम जानते हैं कि $\frac(1)(((x)^(n)))$ के रूप की अभिव्यक्ति को $((x)^(-n))$ के रूप में दर्शाया जा सकता है। इस तरह,

\[\left(\frac(1)(((x)^(n))) \right)"=((\left(((x)^(-n)) \right))^(\ prime ) )=-n\cdot ((x)^(-n-1))=-\frac(n)(((x)^(n+1)))\]

\[((\left(\frac(1)(x) \right))^(\ prime ))=\left(((x)^(-1)) \right)=-1\cdot ((x )^(-2))=-\frac(1)(((x)^(2)))\]

इस प्रकार, सरल भिन्नों के व्युत्पन्न, जहां अंश एक स्थिरांक है और हर एक डिग्री है, की गणना भी शास्त्रीय सूत्र का उपयोग करके की जाती है। आइए देखें कि यह व्यवहार में कैसे काम करता है।

तो, पहला कार्य:

\[((\left(\frac(1)(((x)^(2))) \right))^(\ prime ))=((\left(((x)^(-2)) \ दाएं))^(\प्राइम ))=-2\cdot ((x)^(-3))=-\frac(2)(((x)^(3)))\]

पहला उदाहरण हल हो गया है, आइए दूसरे पर चलते हैं:

\[\begin(संरेखित करें)& ((\left(\frac(7)(4((x)^(4)))-\frac(2)(3((x)^(3)))+\ frac(5)(2)((x)^(2))+2((x)^(3))-3((x)^(4)) \right))^(\ prime ))= \ \& =((\left(\frac(7)(4((x)^(4))) \right))^(\ prime ))-((\left(\frac(2)(3(( x)^(3))) \दाएं))^(\प्राइम ))+((\left(2((x)^(3)) \दाएं))^(\प्राइम ))-((\left( 3((x)^(4)) \दाएं))^(\प्राइम )) \\& ((\left(\frac(7)(4((x)^(4))) \दाएं))^ (\प्राइम ))=\frac(7)(4)((\left(\frac(1)(((x)^(4))) \दाएं))^(\प्राइम ))=\frac(7 )(4)\cdot ((\left(((x)^(-4)) \right))^(\ prime ))=\frac(7)(4)\cdot \left(-4 \right) \cdot ((x)^(-5))=\frac(-7)(((x)^(5))) \\& ((\left(\frac(2)(3((x)^ (3))) \दाएं))^(\प्राइम ))=\frac(2)(3)\cdot ((\left(\frac(1)(((x)^(3))) \दाएं) )^(\प्राइम ))=\frac(2)(3)\cdot ((\left(((x)^(-3)) \right))^(\प्राइम ))=\frac(2)( 3)\cdot \left(-3 \right)\cdot ((x)^(-4))=\frac(-2)(((x)^(4))) \\& ((\left( \frac(5)(2)((x)^(2)) \right))^(\ prime ))=\frac(5)(2)\cdot 2x=5x \\& ((\left(2) ((x)^(3)) \दाएं))^(\प्राइम ))=2\cdot 3((x)^(2))=6((x)^(2)) \\& ((\ बाएँ((x)^(4)) \दाएँ))^(\प्रधान ))=3\cdot 4((x)^(3))=12((x)^(3)) \\\ अंत(संरेखित करें)\]...

अब हम इन सभी शब्दों को एक सूत्र में एकत्रित करते हैं:

\[(y)"=-\frac(7)(((x)^(5)))+\frac(2)(((x)^(4)))+5x+6((x)^ (2))-12((x)^(3))\]

हमें जवाब मिल गया है.

हालाँकि, आगे बढ़ने से पहले, मैं आपका ध्यान मूल अभिव्यक्तियों को लिखने के तरीके की ओर आकर्षित करना चाहूंगा: पहली अभिव्यक्ति में हमने $f\left(x \right)=...$ लिखा, दूसरे में: $y =...$ कई छात्र देखते ही खो जाते हैं अलग अलग आकारअभिलेख. $f\left(x \right)$ और $y$ के बीच क्या अंतर है? कुछ भी सच नहीं। वे एक ही अर्थ वाली अलग-अलग प्रविष्टियाँ हैं। बात बस इतनी है कि जब हम $f\left(x \right)$ कहते हैं, तब हम बात कर रहे हैं, सबसे पहले, किसी फ़ंक्शन के बारे में, और जब हम $y$ के बारे में बात करते हैं, तो हमारा मतलब अक्सर किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ से होता है। अन्यथा, यह एक ही बात है, यानी, दोनों मामलों में व्युत्पन्न को समान माना जाता है।

डेरिवेटिव के साथ जटिल समस्याएं

अंत में, मैं कुछ जटिल संयुक्त समस्याओं पर विचार करना चाहूँगा जो उन सभी चीज़ों का उपयोग करती हैं जिन पर हमने आज विचार किया है। इनमें मूल, भिन्न और योग शामिल हैं। हालाँकि, ये उदाहरण केवल आज के वीडियो ट्यूटोरियल में जटिल होंगे, क्योंकि वास्तव में जटिल व्युत्पन्न फ़ंक्शन आगे आपका इंतजार कर रहे होंगे।

तो, आज के वीडियो पाठ का अंतिम भाग, जिसमें दो संयुक्त कार्य शामिल हैं। आइए उनमें से पहले से शुरू करें:

\[\begin(संरेखित करें)& ((\left(((x)^(3))-\frac(1)(((x)^(3)))+\sqrt(x) \right))^ (\प्राइम ))=((\left(((x)^(3)) \right))^(\प्राइम ))-((\left(\frac(1)(((x)^(3) )) \दाएं))^(\प्राइम ))+\left(\sqrt(x) \दाएं) \\& ((\left(((x)^(3)) \दाएं))^(\प्राइम ) )=3((x)^(2)) \\& ((\left(\frac(1)(((x)^(3))) \right))^(\ prime ))=((\ बाएँ(((x)^(-3)) \दाएँ))^(\प्रधान ))=-3\cdot ((x)^(-4))=-\frac(3)(((x)^ (4))) \\& ((\left(\sqrt(x) \right))^(\ prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(3))) \दाएं))^(\प्राइम ))=\frac(1)(3)\cdot \frac(1)(((x)^(\frac(2)(3))))=\frac(1) (3\sqrt(((x)^(2)))) \\\end(संरेखित)\]

फ़ंक्शन का व्युत्पन्न इसके बराबर है:

\[(y)"=3((x)^(2))-\frac(3)(((x)^(4)))+\frac(1)(3\sqrt(((x)^ (2))))\]

पहला उदाहरण हल हो गया है. आइए दूसरी समस्या पर विचार करें:

दूसरे उदाहरण में हम इसी तरह आगे बढ़ते हैं:

\[((\left(-\frac(2)(((x)^(4)))+\sqrt(x)+\frac(4)(x\sqrt(((x)^(3)) )) \दाएं))^(\प्राइम ))=((\left(-\frac(2)(((x)^(4))) \दाएं))^(\प्राइम ))+((\left (\sqrt(x) \right))^(\ prime ))+((\left(\frac(4)(x\cdot \sqrt(((x)^(3)))) \right))^ (\मुख्य ))\]

आइए प्रत्येक पद की अलग से गणना करें:

\[\begin(संरेखित करें)& ((\left(-\frac(2)(((x)^(4))) \right))^(\प्राइम ))=-2\cdot ((\left( ((x)^(-4)) \दाएं))^(\प्राइम ))=-2\cdot \left(-4 \right)\cdot ((x)^(-5))=\frac(8 )(((x)^(5))) \\& ((\left(\sqrt(x) \right))^(\ prime ))=((\left(((x)^(\frac( 1)(4))) \दाएं))^(\प्राइम ))=\frac(1)(4)\cdot ((x)^(-\frac(3)(4)))=\frac(1 )(4\cdot ((x)^(\frac(3)(4))))=\frac(1)(4\sqrt(((x)^(3)))) \\& ((\ बाएँ(\frac(4)(x\cdot \sqrt(((x)^(3)))) \right))^(\प्राइम ))=((\left(\frac(4)(x\cdot ((x)^(\frac(3)(4)))) \दाएं))^(\प्राइम ))=((\left(\frac(4)(((x)^(1\frac(3) )(4)))) \दाएं))^(\प्राइम ))=4\cdot ((\left(((x)^(-1\frac(3)(4))) \दाएं))^( \प्राइम ))= \\& =4\cdot \left(-1\frac(3)(4) \right)\cdot ((x)^(-2\frac(3)(4)))=4 \cdot \left(-\frac(7)(4) \right)\cdot \frac(1)(((x)^(2\frac(3)(4))))=\frac(-7) (((x)^(2))\cdot ((x)^(\frac(3)(4))))=-\frac(7)(((x)^(2))\cdot \sqrt (((x)^(3)))) \\\end(संरेखित करें)\]

सभी शर्तों की गणना कर ली गई है. अब हम मूल सूत्र पर लौटते हैं और तीनों पदों को एक साथ जोड़ते हैं। हम पाते हैं कि अंतिम उत्तर इस प्रकार होगा:

\[(y)"=\frac(8)(((x)^(5)))+\frac(1)(4\sqrt(((x)^(3))))-\frac(7 )(((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(3))))\]

और यह सबकुछ है। यह हमारा पहला पाठ था. निम्नलिखित पाठों में हम अधिक जटिल निर्माणों को देखेंगे, और यह भी पता लगाएंगे कि सबसे पहले डेरिवेटिव की आवश्यकता क्यों है।

शक्ति-कानून की परिभाषा घातांक प्रकार्य. इसके व्युत्पन्न की गणना के लिए एक सूत्र प्राप्त करना। शक्ति-घातीय कार्यों के डेरिवेटिव की गणना के उदाहरणों का विस्तार से विश्लेषण किया गया है।

पावर-एक्सपोनेंशियल फ़ंक्शन एक फ़ंक्शन है जिसका स्वरूप पावर फ़ंक्शन जैसा है
y = u v ,
जिसमें आधार u और घातांक v चर x के कुछ कार्य हैं:
तुम = तुम (एक्स); (एक्स).
वी = वी इस फ़ंक्शन को भी कहा जाता हैघातीय

या ।
.
ध्यान दें कि पावर-एक्सपोनेंशियल फ़ंक्शन को एक्सपोनेंशियल रूप में दर्शाया जा सकता है: इसलिए इसे भी कहा जाता है.

जटिल घातीय कार्य

लघुगणकीय व्युत्पन्न का उपयोग करके गणना
(2) ,
आइए शक्ति-घातांकीय फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें
वेरिएबल के फ़ंक्शन कहाँ और हैं।
.
ऐसा करने के लिए, हम लघुगणक के गुण का उपयोग करके समीकरण (2) का लघुगणक करते हैं:
(3) .
चर x के संबंध में अंतर करें: हम आवेदन करते हैंजटिल कार्यों को विभेदित करने के नियम
;
.

और काम करता है:
.
हम (3) में स्थानापन्न करते हैं:
.

यहाँ से
(1) .
तो, हमने पावर-एक्सपोनेंशियल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न पाया:
.
यदि घातांक स्थिर है, तो।
.
तब व्युत्पन्न एक जटिल शक्ति फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के बराबर है:

यदि डिग्री का आधार स्थिर है, तो।

तब व्युत्पन्न एक जटिल घातांकीय फलन के व्युत्पन्न के बराबर होता है:
(2) ,
जब और x के फलन हों, तो घात-घातांकीय फलन का व्युत्पन्न जटिल घात और घातीय फलन के व्युत्पन्नों के योग के बराबर होता है।
(4) .

एक जटिल घातीय फलन में कमी करके व्युत्पन्न की गणना
.
आइए अब घात-घातांक फलन का व्युत्पन्न ज्ञात करें इसे एक जटिल घातीय फलन के रूप में प्रस्तुत करना::

.
आइए उत्पाद को अलग करें:

व्युत्पन्न ज्ञात करने के लिए नियम लागू करें

जटिल कार्य
.

समाधान

और हमें फिर से सूत्र (1) मिल गया।
उदाहरण 1 .

निम्नलिखित फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:
;
.
हम लघुगणकीय व्युत्पन्न का उपयोग करके गणना करते हैं। आइए मूल फ़ंक्शन का लघुगणक करें:
.
(ए1.1)
.
डेरिवेटिव की तालिका से हम पाते हैं:
,
उत्पाद व्युत्पन्न सूत्र का उपयोग करते हुए, हमारे पास है:
.

हम अंतर करते हैं (ए1.1):

क्योंकि

वह
.

समाधान

उत्तर
उदाहरण 2 .

फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

आइए मूल फ़ंक्शन का लघुगणक करें: (ए2.1)अवकलज ज्ञात करने की क्रिया को विभेदीकरण कहते हैं।

तर्क की वृद्धि के अनुपात की सीमा के रूप में व्युत्पन्न को परिभाषित करके सबसे सरल (और बहुत सरल नहीं) कार्यों के डेरिवेटिव खोजने की समस्याओं को हल करने के परिणामस्वरूप, डेरिवेटिव की एक तालिका दिखाई दी और बिल्कुल

व्युत्पन्न खोजने के लिए, आपको मुख्य चिह्न के अंतर्गत एक अभिव्यक्ति की आवश्यकता है सरल कार्यों को घटकों में तोड़ेंऔर निर्धारित करें कि कौन से कार्य होंगे (उत्पाद, योग, भागफल)ये कार्य संबंधित हैं. इसके बाद, हम व्युत्पन्न की तालिका में प्राथमिक कार्यों के व्युत्पन्न पाते हैं, और उत्पाद, योग और भागफल के व्युत्पन्न के लिए सूत्र - विभेदन के नियमों में पाते हैं। व्युत्पन्न तालिका और विभेदन नियम पहले दो उदाहरणों के बाद दिए गए हैं।

उदाहरण 1.किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

समाधान। विभेदीकरण के नियमों से हमें पता चलता है कि कार्यों के योग का व्युत्पन्न कार्यों के व्युत्पन्नों का योग है, अर्थात।

व्युत्पन्न तालिका से हमें पता चलता है कि "x" का व्युत्पन्न एक के बराबर है, और साइन का व्युत्पन्न कोसाइन के बराबर है। हम इन मानों को डेरिवेटिव के योग में प्रतिस्थापित करते हैं और समस्या की स्थिति के लिए आवश्यक व्युत्पन्न ढूंढते हैं:

उदाहरण 2.किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

समाधान। हम उस योग के व्युत्पन्न के रूप में अंतर करते हैं जिसमें दूसरे पद का एक स्थिर कारक होता है, इसे व्युत्पन्न के चिह्न से निकाला जा सकता है:

यदि अभी भी इस बारे में प्रश्न उठते हैं कि कुछ कहां से आता है, तो वे आमतौर पर डेरिवेटिव की तालिका और भेदभाव के सबसे सरल नियमों से परिचित होने के बाद साफ़ हो जाते हैं। हम अभी उन पर आगे बढ़ रहे हैं।

सरल कार्यों के व्युत्पन्नों की तालिका

1. एक अचर (संख्या) का व्युत्पन्न। कोई भी संख्या (1, 2, 5, 200...) जो फ़ंक्शन अभिव्यक्ति में है। हमेशा शून्य के बराबर. यह याद रखना बहुत महत्वपूर्ण है, क्योंकि इसकी अक्सर आवश्यकता होती है
2. स्वतंत्र चर का व्युत्पन्न। बहुधा "एक्स"। सदैव एक के बराबर। इसे लंबे समय तक याद रखना भी जरूरी है
3. डिग्री का व्युत्पन्न. समस्याओं को हल करते समय, आपको गैर-वर्गमूलों को घातों में परिवर्तित करने की आवश्यकता होती है।
4. घात -1 के लिए एक चर का व्युत्पन्न
5. व्युत्पन्न वर्गमूल
6. ज्या का व्युत्पन्न
7. कोसाइन का व्युत्पन्न
8. स्पर्शरेखा का व्युत्पन्न
9. कोटैंजेंट का व्युत्पन्न
10. आर्क्साइन की व्युत्पत्ति
11. आर्ककोसाइन का व्युत्पन्न
12. आर्कटेंजेंट का व्युत्पन्न
13. चाप कोटैंजेंट का व्युत्पन्न
14. प्राकृतिक लघुगणक का व्युत्पन्न
15. लघुगणक फलन का व्युत्पन्न
16. घातांक की व्युत्पत्ति
17. एक घातांकीय फलन का व्युत्पन्न

विभेदीकरण के नियम

1. किसी योग या अंतर की व्युत्पत्ति
2. उत्पाद का व्युत्पन्न
2ए. किसी अचर गुणनखंड से गुणा किये गये व्यंजक का व्युत्पन्न
3. भागफल का व्युत्पन्न
4. एक जटिल फलन का व्युत्पन्न

नियम 1।यदि कार्य

किसी बिंदु पर अवकलनीय हैं, तो फ़ंक्शन एक ही बिंदु पर अवकलनीय हैं

और

वे। कार्यों के बीजगणितीय योग का व्युत्पन्न बराबर है बीजगणितीय योगइन कार्यों के व्युत्पन्न.

परिणाम। यदि दो भिन्न-भिन्न फलनों में एक स्थिर पद का अंतर हो, तो उनके अवकलज बराबर होते हैं, यानी

नियम 2.यदि कार्य

किसी बिंदु पर अवकलनीय हैं, तो उनका उत्पाद भी उसी बिंदु पर अवकलनीय है

और

वे। दो फलनों के उत्पाद का व्युत्पन्न इनमें से प्रत्येक फलन के उत्पाद और दूसरे के व्युत्पन्न के योग के बराबर होता है।

परिणाम 1. अचर गुणनखंड को अवकलज के चिह्न से निकाला जा सकता है:

परिणाम 2. कई भिन्न-भिन्न कार्यों के उत्पाद का व्युत्पन्न प्रत्येक कारक और अन्य सभी के व्युत्पन्न के उत्पादों के योग के बराबर होता है।

उदाहरण के लिए, तीन गुणकों के लिए:

नियम 3.यदि कार्य

किसी बिंदु पर भिन्न और , तो फिर इस बिंदु पर उनका भागफल भी भिन्न हैयू/वी, और

वे। दो कार्यों के भागफल का व्युत्पन्न एक अंश के बराबर होता है, जिसका अंश हर के गुणनफल और अंश के व्युत्पन्न और अंश और हर के व्युत्पन्न के बीच का अंतर होता है, और हर का वर्ग होता है पूर्व अंश.

अन्य पेजों पर चीज़ें कहां खोजें

किसी उत्पाद का व्युत्पन्न और वास्तविक समस्याओं में भागफल का पता लगाते समय, एक साथ कई विभेदीकरण नियमों को लागू करना हमेशा आवश्यक होता है, इसलिए लेख में इन व्युत्पन्नों पर अधिक उदाहरण हैं"उत्पाद का व्युत्पन्न और कार्यों का भागफल".

टिप्पणी।आपको किसी स्थिरांक (अर्थात् एक संख्या) को योग में एक पद और एक स्थिर गुणनखंड के रूप में भ्रमित नहीं करना चाहिए! किसी पद के मामले में, इसका व्युत्पन्न शून्य के बराबर होता है, और एक स्थिर कारक के मामले में, इसे व्युत्पन्न के चिह्न से बाहर कर दिया जाता है। यह सामान्य गलती, जो डेरिवेटिव के अध्ययन के प्रारंभिक चरण में होता है, लेकिन जैसा कि औसत छात्र कई एक- और दो-भाग वाले उदाहरणों को हल करता है, वह अब यह गलती नहीं करता है।

और यदि, किसी उत्पाद या भागफल को अलग करते समय, आपके पास एक शब्द है यू"वी, जिसमें यू- एक संख्या, उदाहरण के लिए, 2 या 5, यानी एक स्थिरांक, तो इस संख्या का व्युत्पन्न शून्य के बराबर होगा और इसलिए, संपूर्ण पद शून्य के बराबर होगा (इस मामले पर उदाहरण 10 में चर्चा की गई है)।

अन्य सामान्य गलती- एक साधारण फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के रूप में एक जटिल फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का यांत्रिक समाधान। इसीलिए एक जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्नएक अलग लेख समर्पित है. लेकिन पहले हम सरल फलनों के व्युत्पन्न खोजना सीखेंगे।

साथ ही, आप भावों को बदले बिना नहीं रह सकते। ऐसा करने के लिए, आपको नई विंडो में मैनुअल खोलने की आवश्यकता हो सकती है। शक्तियों और जड़ों के साथ क्रियाएँऔर भिन्नों के साथ संचालन .

यदि आप घातों और मूलों के साथ भिन्नों के व्युत्पन्नों के समाधान की तलाश कर रहे हैं, अर्थात, जब फ़ंक्शन कैसा दिखता है , फिर पाठ का अनुसरण करें "घातों और मूलों के साथ भिन्नों के योगों का व्युत्पन्न।"

यदि आपके पास कोई कार्य है जैसे , फिर आप "सरल त्रिकोणमितीय कार्यों के व्युत्पन्न" पाठ लेंगे।

चरण-दर-चरण उदाहरण - व्युत्पन्न कैसे खोजें

उदाहरण 3.किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

समाधान। हम फ़ंक्शन अभिव्यक्ति के भागों को परिभाषित करते हैं: संपूर्ण अभिव्यक्ति एक उत्पाद का प्रतिनिधित्व करती है, और इसके कारक योग हैं, जिनमें से दूसरे में एक पद में एक स्थिर कारक होता है। हम उत्पाद विभेदन नियम लागू करते हैं: दो कार्यों के उत्पाद का व्युत्पन्न दूसरे के व्युत्पन्न द्वारा इनमें से प्रत्येक कार्य के उत्पादों के योग के बराबर होता है:

इसके बाद, हम योग के विभेदन का नियम लागू करते हैं: कार्यों के बीजगणितीय योग का व्युत्पन्न इन कार्यों के व्युत्पन्नों के बीजगणितीय योग के बराबर होता है। हमारे मामले में, प्रत्येक योग में दूसरे पद में ऋण चिह्न होता है। प्रत्येक योग में हम एक स्वतंत्र चर, जिसका व्युत्पन्न एक के बराबर है, और एक स्थिरांक (संख्या) दोनों देखते हैं, जिसका व्युत्पन्न शून्य के बराबर है। तो, "X" एक में बदल जाता है, और माइनस 5 शून्य में बदल जाता है। दूसरी अभिव्यक्ति में, "x" को 2 से गुणा किया जाता है, इसलिए हम दो को "x" के व्युत्पन्न के समान इकाई से गुणा करते हैं। हमें निम्नलिखित व्युत्पन्न मान प्राप्त होते हैं:

हम पाए गए डेरिवेटिव को उत्पादों के योग में प्रतिस्थापित करते हैं और समस्या की स्थिति के लिए आवश्यक संपूर्ण फ़ंक्शन का व्युत्पन्न प्राप्त करते हैं:

उदाहरण 4.किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

समाधान। हमें भागफल का अवकलज ज्ञात करना आवश्यक है। हम भागफल को अलग करने के लिए सूत्र लागू करते हैं: दो कार्यों के भागफल का व्युत्पन्न एक भिन्न के बराबर होता है, जिसका अंश हर के गुणनफल और अंश के व्युत्पन्न और अंश और व्युत्पन्न के बीच का अंतर होता है। हर, और हर पूर्व अंश का वर्ग है। हम पाते हैं:

हमने उदाहरण 2 में अंश में गुणनखंडों का व्युत्पन्न पहले ही पा लिया है। हमें यह भी नहीं भूलना चाहिए कि गुणनफल, जो वर्तमान उदाहरण में अंश में दूसरा गुणनखंड है, ऋण चिह्न के साथ लिया गया है:

यदि आप उन समस्याओं का समाधान ढूंढ रहे हैं जिनमें आपको किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजने की आवश्यकता है, जहां जड़ों और शक्तियों का निरंतर ढेर होता है, जैसे, उदाहरण के लिए, , फिर कक्षा में आपका स्वागत है "घातों और मूलों के साथ भिन्नों के योगों का व्युत्पन्न" .

यदि आपको साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और अन्य के व्युत्पन्नों के बारे में अधिक जानने की आवश्यकता है त्रिकोणमितीय कार्य, यानी, जब फ़ंक्शन जैसा दिखता है , तो आपके लिए एक सबक "सरल त्रिकोणमितीय कार्यों के व्युत्पन्न" .

उदाहरण 5.किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

समाधान। इस फ़ंक्शन में हम एक उत्पाद देखते हैं, जिसका एक कारक स्वतंत्र चर का वर्गमूल है, जिसके व्युत्पन्न से हमने व्युत्पन्न की तालिका में खुद को परिचित किया है। उत्पाद और वर्गमूल के व्युत्पन्न के सारणीबद्ध मान को अलग करने के नियम का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

उदाहरण 6.किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

समाधान। इस फ़ंक्शन में हम एक भागफल देखते हैं जिसका लाभांश स्वतंत्र चर का वर्गमूल है। भागफल के विभेदन के नियम का उपयोग करते हुए, जिसे हमने दोहराया और उदाहरण 4 में लागू किया, और वर्गमूल के व्युत्पन्न का सारणीबद्ध मान, हम प्राप्त करते हैं:

अंश में भिन्न से छुटकारा पाने के लिए, अंश और हर को से गुणा करें।