Aksial symmetri tegninger på papir. Central symmetri

Videnskabelig og praktisk konference

Kommunal uddannelsesinstitution "sekundær" gymnasiet nr. 23"

by Vologda

afsnit: naturvidenskab

design og forskningsarbejde

TYPER AF SYMMETRI

Arbejdet blev udført af en elev i 8. klasse

Kreneva Margarita

Leder: højere matematiklærer

2014

Projektets struktur:

1. Introduktion.

2. Mål og mål for projektet.

3. Typer af symmetri:

3.1. Central symmetri;

3.2. Aksial symmetri;

3.3. Spejlsymmetri (symmetri om et plan);

3.4. Rotationssymmetri;

3.5. Bærbar symmetri.

4. Konklusioner.

Symmetri er den idé, gennem hvilken mennesket i århundreder har forsøgt at forstå og skabe orden, skønhed og perfektion.

G. Weil

Indledning.

Emnet for mit arbejde blev valgt efter at have studeret afsnittet "Aksial og central symmetri" i kurset "8. klasses geometri". Jeg var meget interesseret i dette emne. Jeg ville vide: hvilke typer symmetri findes, hvordan de adskiller sig fra hinanden, hvad er principperne for at konstruere symmetriske figurer i hver type.

Formålet med arbejdet : Introduktion til forskellige typer symmetri.

Opgaver:

Studer litteraturen om dette emne.

Opsummere og systematisere det undersøgte materiale.

Forbered en præsentation.

I oldtiden blev ordet "SYMMETRI" brugt til at betyde "harmoni", "skønhed". Oversat fra græsk betyder dette ord "proportionalitet, proportionalitet, ensartethed i arrangementet af dele af noget på modsatte sider af et punkt, lige linje eller plan.

Der er to grupper af symmetrier.

Den første gruppe omfatter symmetri af positioner, former, strukturer. Dette er symmetrien, der kan ses direkte. Det kan kaldes geometrisk symmetri.

Den anden gruppe karakteriserer symmetri fysiske fænomener og naturens love. Denne symmetri ligger selve grundlaget for det naturvidenskabelige billede af verden: det kan kaldes fysisk symmetri.

Jeg stopper med at studeregeometrisk symmetri .

Til gengæld er der også flere typer geometrisk symmetri: central, aksial, spejl (symmetri i forhold til planet), radial (eller roterende), bærbar og andre. I dag vil jeg se på 5 typer symmetri.

Central symmetri

To punkter A og A 1 kaldes symmetriske i forhold til punkt O, hvis de ligger på en ret linje, der går gennem punkt O og er placeret langs forskellige sider i samme afstand derfra. Punkt O kaldes symmetriens centrum.

Figuren siges at være symmetrisk om punktetOM , hvis der for hvert punkt på figuren er et punkt symmetrisk til det i forhold til punktetOM hører også til denne figur. PrikOM kaldes en figurs symmetricenter, siges figuren at have central symmetri.

Eksempler på figurer med central symmetri er en cirkel og et parallelogram.

Figurerne vist på sliden er symmetriske i forhold til et bestemt punkt

2. Aksial symmetri

To pointX Og Y kaldes symmetriske om en ret linjet , hvis denne linje går gennem midten af segmentet XY og er vinkelret på det. Det skal også siges, at hvert punkt er en ret linjet betragtes som symmetrisk i forhold til sig selv.

Liget – symmetriakse.

Figuren siges at være symmetrisk om en ret linjet, hvis der for hvert punkt på figuren er et punkt symmetrisk til det i forhold til den rette linjet hører også til denne figur.

Ligetkaldes en figurs symmetriakse, siges figuren at have aksial symmetri.

En uudviklet vinkel, ligebenede og ligesidede trekanter, et rektangel og en rombe har aksial symmetri.breve (se oplæg).

Spejlsymmetri (symmetri om et plan)

To punkter P 1 Og P kaldes symmetriske i forhold til planen a, hvis de ligger på en ret linje vinkelret på planen a og er i samme afstand fra denne.

Spejlsymmetri velkendt af enhver person. Den forbinder ethvert objekt og dets refleksion i et fladt spejl. De siger, at en figur er spejlsymmetrisk til en anden.

På et fly var en figur med utallige symmetriakser en cirkel. I rummet har en bold utallige symmetriplaner.

Men hvis en cirkel er unik, så er der i den tredimensionelle verden en hel række af legemer med et uendeligt antal symmetriplaner: en lige cylinder med en cirkel i bunden, en kegle med en cirkulær base, en bold.

Det er let at fastslå, at hver symmetrisk plan figur kan justeres med sig selv ved hjælp af et spejl. Det er overraskende, at så komplekse figurer som en femtakket stjerne eller en ligesidet femkant også er symmetriske. Da dette følger af antallet af akser, er de kendetegnet ved høj symmetri. Og omvendt: det er ikke så let at forstå, hvorfor en sådan tilsyneladende regelmæssig figur, som et skråt parallelogram, er asymmetrisk.

4. P rotationssymmetri (eller radial symmetri)

Rotationssymmetri - dette er symmetri, bevarelsen af et objekts formnår man roterer omkring en bestemt akse gennem en vinkel lig med 360°/n(eller et multiplum af denne værdi), hvorn= 2, 3, 4, … Den angivne akse kaldes rotationsaksenn- orden.

Pån=2 alle punkter på figuren er roteret gennem en vinkel på 180 0 ( 360 0 /2 = 180 0 ) omkring aksen, mens figurens form er bevaret, dvs. hvert punkt på figuren går til et punkt i samme figur (figuren forvandler sig til sig selv). Aksen kaldes anden ordens akse.

Figur 2 viser en tredjeordens akse, figur 3 - 4. orden, figur 4 - 5. orden.

Et objekt kan have mere end én rotationsakse: Fig. 1 - 3 rotationsakser, Fig. 2 - 4 akser, Fig. 3 - 5 akser, Fig. 4 – kun 1 akse

Alle sammen berømte breve"I" og "F" har rotationssymmetri Hvis du drejer bogstavet "I" 180° omkring en akse vinkelret på bogstavets plan og passerer gennem dets centrum, vil bogstavet flugte med sig selv. Med andre ord er bogstavet "I" symmetrisk med hensyn til en rotation på 180°, 180°= 360°: 2,n=2, hvilket betyder, at den har andenordens symmetri.

Bemærk, at bogstavet "F" også har andenordens rotationssymmetri.

Derudover har bogstavet et symmetricentrum, og bogstavet F har en symmetriakse

Lad os vende tilbage til eksempler fra livet: et glas, en kegleformet pundkage med is, et stykke tråd, et rør.

Hvis vi ser nærmere på disse kroppe, vil vi bemærke, at de alle på den ene eller anden måde består af en cirkel, gennem et uendeligt antal symmetriakser er der utallige symmetriplaner. De fleste af disse legemer (de kaldes rotationslegemer) har naturligvis også et symmetricentrum (centret af en cirkel), hvorigennem mindst én rotationssymmetriakse passerer.

For eksempel er iskuglens akse tydeligt synlig. Den løber fra midten af cirklen (stikker ud af isen!) til den skarpe ende af tragtkeglen. Vi opfatter helheden af symmetrielementer i en krop som en slags symmetrimål. Bolden er uden tvivl, hvad angår symmetri, en uovertruffen legemliggørelse af perfektion, et ideal. De gamle grækere opfattede det som den mest perfekte krop, og cirklen, naturligvis, som den mest perfekte flade figur.

For at beskrive symmetrien af et bestemt objekt skal du angive alle rotationsakserne og deres rækkefølge såvel som alle symmetriplanerne.

Overvej f.eks. geometrisk krop, sammensat af to identiske regulære firkantede pyramider.

Den har en roterende akse af 4. orden (akse AB), fire roterende akser af 2. orden (akser CE,DF, MP, NQ), fem symmetriplaner (planerCDEF, AFBD, ACBE, AMBP, ANBQ).

5 . Bærbar symmetri

En anden type symmetri ertransportabel Med symmetri.

Der tales om en sådan symmetri, når man flytter en figur langs en lige linje til en afstand "a" eller en afstand, der er et multiplum af denne værdi, falder sammen med sig selv Den rette linje, langs hvilken overførslen sker, kaldes overførselsaksen, og afstanden "a" kaldes det elementære overførsels-, periode- eller symmetritrin.

Et periodisk gentaget mønster på en lang strimmel kaldes en kant. I praksis findes border i forskellige former (vægmaleri, støbejern, gipsbasrelieffer eller keramik). Borders bruges af malere og kunstnere, når de indretter et rum. For at lave disse ornamenter laves en stencil. Vi flytter stencilen, vender den om eller ej, sporer omridset, gentager mønsteret, og vi får et ornament (visuel demonstration).

Kanten er let at bygge ved at bruge en stencil (startelementet), flytte eller vende den og gentage mønsteret. Figuren viser fem typer stencils:EN ) asymmetrisk;b, c ) med én symmetriakse: vandret eller lodret;G ) centralt symmetrisk;d ) med to symmetriakser: lodret og vandret.

For at konstruere grænser bruges følgende transformationer:

EN ) parallel overførsel;b ) symmetri om den lodrette akse;V ) central symmetri;G ) symmetri om den vandrette akse.

Du kan bygge stikkontakter på samme måde. For at gøre dette er cirklen opdelt in lige store sektorer, i en af dem laves et prøvemønster, og sidstnævnte gentages derefter sekventielt i de resterende dele af cirklen, idet mønsteret roteres hver gang med en vinkel på 360°/n .

Et tydeligt eksempel Hegnet vist på fotografiet kan tjene som en anvendelse af aksial og bærbar symmetri.

Konklusion: Der er således forskellige typer af symmetri, symmetriske punkter i hver af disse typer af symmetri er konstrueret efter bestemte love. I livet møder vi én type symmetri overalt, og ofte i de genstande, der omgiver os, kan flere typer symmetri noteres på én gang. Dette skaber orden, skønhed og perfektion i verden omkring os.

LITTERATUR:

Håndbog i elementær matematik. M.Ya. Vygodsky. – Forlaget "Nauka". – Moskva 1971 – 416 sider.

Moderne ordbog fremmede ord. - M.: Russisk sprog, 1993.

Historien om matematik i skolenIX - Xklasser. G.I. Glaser. – Forlaget "Prosveshcheniye". – Moskva 1983 – 351 sider.

Visuel geometri 5. – 6. klassetrin. HVIS. Sharygin, L.N. Erganzhieva. – Forlaget "Drofa", Moskva 2005. – 189 sider

Encyklopædi for børn. Biologi. S. Ismailova. – Avanta+ Publishing House. – Moskva 1997 – 704 sider.

Urmantsev Yu.A. Naturens symmetri og symmetriens natur - M.: Mysl arxitekt / arhkomp2. htm, , ru.wikipedia.org/wiki/

I dag vil vi tale om et fænomen, som hver af os konstant møder i livet: symmetri. Hvad er symmetri?

Vi forstår alle nogenlunde betydningen af dette udtryk. Ordbogen siger: symmetri er proportionalitet og fuldstændig overensstemmelse mellem arrangementet af dele af noget i forhold til en ret linje eller et punkt. Der er to typer symmetri: aksial og radial. Lad os først se på den aksiale. Dette er, lad os sige, "spejl" symmetri, når den ene halvdel af et objekt er fuldstændig identisk med den anden, men gentager det som en refleksion. Se på halvdelene af arket. De er spejlsymmetriske. Halvdelene af den menneskelige krop er også symmetriske (forfra) - identiske arme og ben, identiske øjne. Men lad os ikke tage fejl, faktisk kan absolut symmetri ikke findes i den organiske (levende) verden! Arkets halvdele kopierer hinanden langt fra perfekt, det samme gælder menneskekroppen(kig selv nærmere); Det samme gælder for andre organismer! Forresten er det værd at tilføje, at enhver symmetrisk krop kun er symmetrisk i forhold til seeren i én position. Det er f.eks. værd at vende et ark papir eller løfte den ene hånd, og hvad sker der? – du ser selv.

Mennesker opnår ægte symmetri i deres arbejde (ting) - tøj, biler... I naturen er det karakteristisk for uorganiske formationer, for eksempel krystaller.

Men lad os gå videre til praksis. Det er ikke værd at starte med komplekse genstande som mennesker og dyr, lad os prøve, som den første øvelse i et nyt felt, at afslutte med at tegne spejlets halvdel af arket.

Tegning af et symmetrisk objekt - lektion 1

Vi sørger for, at det bliver så ens som muligt. For at gøre dette vil vi bogstaveligt talt bygge vores soulmate. Tro ikke, at det er så nemt, især første gang, at tegne en spejlsvarende linje med et slag!

Lad os markere flere referencepunkter for den fremtidige symmetriske linje. Vi fortsætter sådan: med en blyant, uden at trykke, tegner vi flere vinkelrette på symmetriaksen - bladets midterste. Fire eller fem er nok for nu. Og på disse vinkelrette måler vi til højre den samme afstand som på venstre halvdel til linjen af bladets kant. Jeg råder dig til at bruge en lineal, stol ikke for meget på dit øje. Som regel har vi en tendens til at reducere tegningen - dette er observeret af erfaring. Vi anbefaler ikke at måle afstande med fingrene: fejlen er for stor.

Lad os forbinde de resulterende punkter med en blyantstreg:

Lad os nu se omhyggeligt for at se, om halvdelene virkelig er ens. Hvis alt er korrekt, vil vi cirkle om det med en tusch og præcisere vores linje:

Poppelbladet er færdiggjort, nu kan du tage en tur til egebladet.

Lad os tegne en symmetrisk figur - lektion 2

I dette tilfælde ligger vanskeligheden i, at venerne er markeret, og de ikke er vinkelrette på symmetriaksen, og ikke kun dimensionerne, men også hældningsvinklen skal nøje overholdes. Nå, lad os træne vores øje:

Så et symmetrisk egetræsblad er blevet tegnet, eller rettere, vi byggede det efter alle reglerne:

Hvordan man tegner et symmetrisk objekt - lektion 3

Og lad os konsolidere temaet - vi afslutter med at tegne et symmetrisk lilla blad.

Det har han også interessant form- hjerteformet og med ører i bunden, skal du puste:

Dette er hvad de tegnede:

Tag et kig på det resulterende arbejde på afstand og vurder, hvor præcist vi var i stand til at formidle den nødvendige lighed. Her er et tip: se på dit billede i spejlet, og det vil fortælle dig, hvis der er fejl. En anden måde: bøj billedet nøjagtigt langs aksen (vi har allerede lært, hvordan man bøjer det korrekt) og skær bladet ud langs den oprindelige linje. Se på selve figuren og på det klippede papir.

jeg . Symmetri i matematik :

Grundlæggende begreber og definitioner.

Aksial symmetri (definitioner, konstruktionsplan, eksempler)

Central symmetri (definitioner, byggeplan, hvornårforanstaltninger)

Oversigtstabel (alle egenskaber, funktioner)

II . Anvendelser af symmetri:

1) i matematik

2) i kemi

3) i biologi, botanik og zoologi

4) i kunst, litteratur og arkitektur

/dict/bse/article/00071/07200.htm

/html/simmetr/index.html

/sim/sim.ht

/index.html

1. Grundlæggende begreber om symmetri og dens typer.

Begrebet symmetri r går tilbage gennem hele menneskehedens historie. Det findes allerede ved oprindelsen af menneskelig viden. Den opstod i forbindelse med studiet af en levende organisme, nemlig mennesket. Og den blev brugt af billedhuggere tilbage i det 5. århundrede f.Kr. e. Ordet "symmetri" er græsk og betyder "proportionalitet, proportionalitet, ensartethed i arrangementet af dele." Det er meget udbredt af alle områder af moderne videnskab uden undtagelse. Mange fantastiske mennesker har tænkt over dette mønster. For eksempel sagde L.N. Tolstoj: "Da jeg stod foran en sort tavle og tegnede forskellige figurer på den med kridt, blev jeg pludselig ramt af tanken: hvorfor er symmetrien klar for øjet? Hvad er symmetri? Det er en medfødt følelse, svarede jeg selv. Hvad er det baseret på?" Symmetrien er virkelig en fryd for øjet. Hvem har ikke beundret symmetrien i naturens kreationer: blade, blomster, fugle, dyr; eller menneskelige kreationer: bygninger, teknologi, alt, hvad der omgiver os siden barndommen, alt, der stræber efter skønhed og harmoni. Hermann Weyl sagde: "Symmetri er den idé, gennem hvilken mennesket gennem tiderne har forsøgt at forstå og skabe orden, skønhed og perfektion." Hermann Weyl er en tysk matematiker. Hans aktiviteter spænder over første halvdel af det tyvende århundrede. Det var ham, der formulerede definitionen af symmetri, fastlagt efter hvilke kriterier man kan bestemme tilstedeværelsen eller omvendt fraværet af symmetri i et givet tilfælde. Et matematisk stringent koncept blev således dannet relativt nylig - i begyndelsen af det tyvende århundrede. Det er ret kompliceret. Lad os vende om og igen huske de definitioner, der blev givet os i lærebogen.

2. Aksial symmetri.

2.1 Grundlæggende definitioner

Definition. To punkter A og A 1 kaldes symmetriske i forhold til linje a, hvis denne linje går gennem midten af segment AA 1 og er vinkelret på den. Hvert punkt på en linje a betragtes som symmetrisk i forhold til sig selv.

Definition. Figuren siges at være symmetrisk om en ret linje EN, hvis der for hvert punkt i figuren er et punkt symmetrisk til det i forhold til den rette linje EN hører også til denne figur. Lige EN kaldes figurens symmetriakse. Figuren siges også at have aksial symmetri.

2.2 Byggeplan

Og så for at konstruere en symmetrisk figur i forhold til en lige linje, tegner vi fra hvert punkt en vinkelret på denne lige linje og forlænger den med samme afstand, markerer det resulterende punkt. Vi gør dette med hvert punkt og får symmetriske hjørner af en ny figur. Derefter forbinder vi dem i serie og får en symmetrisk figur af en given relativ akse.

2.3 Eksempler på figurer med aksial symmetri.

3. Central symmetri

3.1 Grundlæggende definitioner

Definition. To punkter A og A 1 kaldes symmetriske med hensyn til punkt O, hvis O er midten af segmentet AA 1. Punkt O betragtes som symmetrisk i forhold til sig selv.

Definition. En figur siges at være symmetrisk i forhold til punkt O, hvis der for hvert punkt på figuren også hører et punkt symmetrisk i forhold til punkt O til denne figur.

3.2 Byggeplan

Konstruktion af en trekant, der er symmetrisk til den givne i forhold til centrum O.

At konstruere et punkt symmetrisk til et punkt EN i forhold til punktet OM, det er nok at tegne en lige linje OA(Fig. 46 ) og på den anden side af sagen OM afsætte et segment svarende til segmentet OA. Med andre ord , punkt A og ; I og ; C og symmetrisk om et eller andet punkt O. I fig. 46 er der konstrueret en trekant, der er symmetrisk med en trekant ABC i forhold til punktet OM. Disse trekanter er lige store.

Konstruktion af symmetriske punkter i forhold til midten.

På figuren er punkterne M og M 1, N og N 1 symmetriske i forhold til punktet O, men punkterne P og Q er ikke symmetriske i forhold til dette punkt.

Generelt er tal, der er symmetriske omkring et bestemt punkt, lige store .

3.3 Eksempler

Lad os give eksempler på figurer, der har central symmetri. De enkleste figurer med central symmetri er cirklen og parallelogrammet.

Punkt O kaldes figurens symmetricentrum. I sådanne tilfælde har figuren central symmetri. En cirkels symmetricentrum er cirklens centrum, og symmetricentret for et parallelogram er skæringspunktet for dets diagonaler.

En ret linje har også central symmetri, men i modsætning til en cirkel og et parallelogram, som kun har et symmetricentrum (punkt O på figuren), har en ret linje et uendeligt antal af dem - ethvert punkt på den rette linje er dets centrum af symmetri.

Billederne viser en vinkel symmetrisk i forhold til toppunktet, et segment symmetrisk til et andet segment i forhold til midten EN og en firsidet symmetrisk om dens toppunkt M.

Et eksempel på en figur, der ikke har et symmetricentrum, er en trekant.

4. Lektionsopsummering

Lad os opsummere den opnåede viden. I dag i klassen lærte vi om to hovedtyper af symmetri: central og aksial. Lad os se på skærmen og systematisere den opnåede viden.

Oversigtstabel

	Aksial symmetri	Central symmetri
Ejendommelighed	Alle punkter på figuren skal være symmetriske i forhold til en ret linje.	Alle punkter i figuren skal være symmetriske i forhold til det punkt, der er valgt som symmetricentrum.
Egenskaber	1. Symmetriske punkter ligger på vinkelret på en linje. 3. Lige linjer bliver til lige linjer, vinkler til lige store vinkler. 4. Figurernes størrelser og former er bevaret.	1. Symmetriske punkter ligger på en linje, der går gennem midten og dette punkt tal. 2. Afstanden fra et punkt til en ret linje er lig med afstanden fra en ret linje til et symmetrisk punkt. 3. Figurernes størrelser og former er bevaret.

II. Anvendelse af symmetri

Matematik

I algebratimerne studerede vi graferne for funktionerne y=x og y=x

Billederne viser forskellige billeder afbildet ved hjælp af grenene af parabler.

(a) Oktaeder,

(b) rombisk dodekaeder, (c) sekskantet oktaeder.

russisk sprog

De trykte bogstaver i det russiske alfabet har også forskellige typer symmetrier.

Der er "symmetriske" ord på det russiske sprog - palindromer, som kan læses lige i begge retninger.

A D L M P T F W– lodret akse

V E Z K S E Y - vandret akse

F N O X- både lodret og vandret

B G I Y R U C CH SCHY- ingen akse

Radarhytte Alla Anna

Litteratur

Sætninger kan også være palindromiske. Bryusov skrev et digt "The Voice of the Moon", hvor hver linje er et palindrom.

Se på firdoblingerne af A.S. Pushkin " Bronze rytter" Hvis vi tegner en linje efter den anden linje, kan vi bemærke elementer af aksial symmetri

Og rosen faldt på Azors pote.

Jeg kommer med dommerens sværd. (Derzhavin)

"Søg efter en taxa"

"Argentina lokker negeren"

"Argentineren sætter pris på den sorte mand,"

"Lesha fandt en fejl på hylden."

Nevaen er klædt i granit;

Broer hang over vandet;

Mørkegrønne haver

Øer dækkede det...

Biologi

Den menneskelige krop er bygget på princippet om bilateral symmetri. De fleste af os ser hjernen som en enkelt struktur i virkeligheden, den er opdelt i to halvdele. Disse to dele - to halvkugler - passer tæt til hinanden. I fuld overensstemmelse med menneskekroppens generelle symmetri er hver halvkugle et næsten nøjagtigt spejlbillede af den anden

Kontrol af den menneskelige krops grundlæggende bevægelser og dens sansefunktioner er jævnt fordelt mellem de to hjernehalvdele.

Den venstre hjernehalvdel styrer højre side af hjernen, og den højre hjernehalvdel styrer venstre side.

Botanik En blomst betragtes som symmetrisk, når hver perianth består af lige mange dele. Blomster med parrede dele betragtes som blomster med dobbelt symmetri osv. Tredobbelt symmetri er almindelig hos enkimbladede, og femdobbelt symmetri hos tokimblade. Karakteristisk træk

Vær opmærksom på skuddene af bladarrangement - dette er også ejendommeligt udseende spiral - spiralformet. Selv Goethe, der ikke kun var en stor digter, men også en naturvidenskabsmand, anså spiralitet for en af karakteristiske træk af alle organismer, en manifestation af livets inderste essens. Planternes ranker snoer sig i en spiral, væksten af væv i træstammer sker i en spiral, frøene i en solsikke er arrangeret i en spiral, og spiralbevægelser observeres under væksten af rødder og skud.

Et karakteristisk træk ved planters struktur og deres udvikling er spiralitet.

Se på fyrrekoglen. Skællene på dens overflade er arrangeret strengt regelmæssigt - langs to spiraler, der skærer hinanden omtrent i en ret vinkel. Antallet af sådanne spiraler er fyrrekogler 21.

er lig med 8 og 13 eller 13 og

Zoologi Symmetri hos dyr betyder korrespondance i størrelse, form og omrids, såvel som det relative arrangement af kropsdele placeret på modsatte sider af skillelinjen. Med radial eller radial symmetri har kroppen form af en kort eller lang cylinder eller kar med en central akse, hvorfra legemsdele strækker sig radialt. Disse er coelenterater, pighuder, søstjerne

Aksial symmetri

. Med bilateral symmetri er der tre symmetriakser, men kun et par symmetriske sider. Fordi de to andre sider - abdominal og dorsal - ikke ligner hinanden. Denne type symmetri er karakteristisk for de fleste dyr, herunder insekter, fisk, padder, krybdyr, fugle og pattedyr. Forskellige typer

symmetri af fysiske fænomener: symmetri af elektriske og magnetiske felter (fig. 1) Fordelingen er symmetrisk i indbyrdes vinkelrette planer elektromagnetiske bølger

(Fig. 2)

Fig.1 Fig.2

Kunst

Et af Raphaels bedste tidlige værker, "The Trolovelse of Mary", blev skabt i 1504. Under en solskinblå himmel ligger en dal toppet af et hvidt stentempel. I forgrunden ses forlovelsesceremonien.

Ypperstepræsten bringer Maria og Josefs hænder sammen. Bag Mary er en gruppe piger, bag Joseph er en gruppe unge mænd. Begge dele af den symmetriske komposition holdes sammen af personernes modbevægelse.

For moderne smag er sammensætningen af et sådant maleri kedelig, da symmetrien er for tydelig.

KemiEt vandmolekyle har et symmetriplan (lige lodrette linje DNA-molekyler (deoxyribonukleinsyre) spiller en ekstremt vigtig rolle i den levende naturs verden. Det er en dobbeltkædet højmolekylær polymer, hvis monomer er nukleotider.

DNA-molekyler har en dobbelt helixstruktur bygget på princippet om komplementaritet.

Arkitekt

kultur

Mennesket har længe brugt symmetri i arkitekturen.

De antikke arkitekter gjorde især glimrende brug af symmetri i arkitektoniske strukturer. Desuden var de gamle græske arkitekter overbevist om, at de i deres værker var styret af de love, der styrer naturen. Ved at vælge symmetriske former udtrykte kunstneren dermed sin forståelse af naturlig harmoni som stabilitet og balance.

Byen Oslo, Norges hovedstad, har et udtryksfuldt ensemble af natur og kunst. Dette er Frogner - en park - et kompleks af have- og parkskulpturer, som er blevet til i løbet af 40 år. Pashkov House Louvre (Paris)

Definition

© Sukhacheva Elena Vladimirovna, 2008-2009. I denne lektion vil vi se på en anden karakteristik af nogle figurer - aksial og central symmetri. Vi møder aksial symmetri hver dag, når vi ser i spejlet. Central symmetri er meget almindelig i levende natur. Samtidig har figurer, der har symmetri, en række egenskaber. Derudover lærer vi efterfølgende, at aksiale og centrale symmetrier er typer af bevægelser, ved hjælp af hvilke en hel klasse af problemer løses. Denne lektion

dedikeret til aksial og central symmetri.

De to punkter kaldes

symmetrisk

relativt lige hvis:

I fig. 1 viser eksempler på punkter symmetriske i forhold til en ret linje og , og .

Definition

Ris. 1 Lad os også bemærke det faktum, at ethvert punkt på en linje er symmetrisk med sig selv i forhold til denne linje., hvis der for hvert punkt på figuren også hører et punkt symmetrisk til denne i forhold til denne rette linie til figuren. I dette tilfælde kaldes linjen symmetriakse. Figuren har aksial symmetri.

Lad os se på et par eksempler på figurer, der har aksial symmetri og deres symmetriakser.

Eksempel 1

Vinklen har aksial symmetri. Vinklens symmetriakse er halveringslinjen. Faktisk: Lad os sænke en vinkelret på halveringslinjen fra et hvilket som helst punkt i vinklen og forlænge den, indtil den skærer den anden side af vinklen (se fig. 2).

Ris. 2

(da - den fælles side, (egenskab for en halveringslinje), og trekanter er retvinklede). Betyder,. Derfor er punkterne symmetriske i forhold til vinklens halveringslinje.

Det følger af dette, at en ligebenet trekant også har aksial symmetri i forhold til halveringslinjen (højde, median) trukket til basen.

Eksempel 2

En ligesidet trekant har tre symmetriakser (halveringslinjer/medianer/højder af hver af de tre vinkler (se fig. 3).

Ris. 3

Eksempel 3

Et rektangel har to symmetriakser, som hver går gennem midtpunkterne på de to modstående sider (se fig. 4).

Ris. 4

Eksempel 4

En rombe har også to symmetriakser: rette linjer, som indeholder dens diagonaler (se fig. 5).

Ris. 5

Eksempel 5

Et kvadrat, som både er en rombe og et rektangel, har 4 symmetriakser (se fig. 6).

Ris. 6

Eksempel 6

For en cirkel er symmetriaksen enhver ret linje, der går gennem dens centrum (det vil sige, der indeholder cirklens diameter). Derfor har en cirkel uendeligt mange symmetriakser (se fig. 7).

Ris. 7

Lad os nu overveje konceptet central symmetri.

Definition

Punkterne kaldes I denne lektion vil vi se på en anden karakteristik af nogle figurer - aksial og central symmetri. Vi møder aksial symmetri hver dag, når vi ser i spejlet. Central symmetri er meget almindelig i levende natur. Samtidig har figurer, der har symmetri, en række egenskaber. Derudover lærer vi efterfølgende, at aksiale og centrale symmetrier er typer af bevægelser, ved hjælp af hvilke en hel klasse af problemer løses. i forhold til punktet, hvis: - midten af segmentet .

Lad os se på et par eksempler: i fig. 8 viser punkterne og , samt og , som er symmetriske i forhold til punktet , og punkterne og ikke er symmetriske i forhold til dette punkt.

Ris. 8

Nogle figurer er symmetriske omkring et bestemt punkt. Lad os formulere en streng definition.

Definition

Ris. 1 symmetrisk om punktet, hvis det for et hvilket som helst punkt i figuren også hører til denne figur. Pointen hedder symmetriens centrum, og figuren har central symmetri.

Lad os se på eksempler på figurer med central symmetri.

Eksempel 7

For en cirkel er symmetricentrum midten af cirklen (dette er let at bevise ved at genkalde egenskaberne for en cirkels diameter og radius) (se fig. 9).

Ris. 9

Eksempel 8

For et parallelogram er symmetriens centrum skæringspunktet mellem diagonalerne (se fig. 10).

Ris. 10

Lad os løse flere problemer med aksial og central symmetri.

Opgave 1.

Hvor mange symmetriakser har segmentet?

Et segment har to symmetriakser. Den første af dem er en linje, der indeholder et segment (da ethvert punkt på en linje er symmetrisk med sig selv i forhold til denne linje). Den anden er den vinkelrette halveringslinje på segmentet, det vil sige en ret linje vinkelret på segmentet og går gennem dets midte.

Svar: 2 symmetriakser.

Opgave 2.

Hvor mange symmetriakser har en ret linje?

En ret linje har uendeligt mange symmetriakser. En af dem er selve linjen (da ethvert punkt på linjen er symmetrisk med sig selv i forhold til denne linje). Og også symmetriakserne er alle linjer vinkelret på en given linje.

Svar: der er uendeligt mange symmetriakser.

Opgave 3.

Hvor mange symmetriakser har strålen?

Strålen har én symmetriakse, som falder sammen med linjen, der indeholder strålen (da ethvert punkt på linjen er symmetrisk i forhold til sig selv i forhold til denne linje).

Svar: en symmetriakse.

Opgave 4.

Bevis, at linjerne, der indeholder diagonalerne af en rombe, er dens symmetriakser.

Bevis:

Overvej en rombe. Lad os for eksempel bevise, at den rette linje er dens symmetriakse. Det er indlysende, at punkterne er symmetriske med sig selv, da de ligger på denne linje. Derudover er punkterne og symmetriske med hensyn til denne linje, da . Lad os nu vælge et vilkårligt punkt og bevise, at det i forhold til det symmetriske punkt også hører til romben (se fig. 11).

Ris. 11

Tegn en vinkelret på linjen gennem punktet og forlæng den indtil den skærer . Overvej trekanter og . Disse trekanter er retvinklede (ved konstruktion), derudover har de: - et fælles ben, og (da diagonalerne på en rombe er dens halveringslinjer). Så disse trekanter er lige store: . Det betyder, at alle deres tilsvarende elementer er ens, derfor: . Af ligheden mellem disse segmenter følger det, at punkterne og er symmetriske i forhold til den rette linje. Det betyder, at det er rombens symmetriakse. Dette faktum kan bevises på samme måde for den anden diagonal.

Bevist.

Opgave 5.

Bevis, at skæringspunktet for diagonalerne i et parallelogram er dets symmetricentrum.

Bevis:

Overvej et parallelogram. Lad os bevise, at punktet er dets centrum for symmetri. Det er indlysende, at punkterne og , og er parvis symmetriske i forhold til punktet , da diagonalerne i et parallelogram er delt i halvdelen af skæringspunktet. Lad os nu vælge et vilkårligt punkt og bevise, at det i forhold til det symmetriske punkt også hører til parallelogrammet (se fig. 12).

Mål:

pædagogisk:
- give en idé om symmetri;
- introducere hovedtyperne af symmetri på planet og i rummet;
- udvikle stærke færdigheder i at konstruere symmetriske figurer;
- udvide din forståelse af berømte figurer ved at introducere egenskaber forbundet med symmetri;
- vise mulighederne for at bruge symmetri til at løse forskellige problemer;
- konsolidere erhvervet viden;
almen uddannelse:
- lære dig selv at forberede dig til arbejde;
- lære at kontrollere dig selv og din nabo på skrivebordet;
- lære at evaluere dig selv og din skrivebordsnabo;
udvikler:
- intensivere selvstændig aktivitet;
- udvikle kognitiv aktivitet;
- lære at opsummere og systematisere den modtagne information;
pædagogisk:
- udvikle en "skuldersans" hos eleverne;
- dyrke kommunikationsevner;
- indgyde en kommunikationskultur.

UDVIKLING AF LEKTIONEN

Foran hver person er der en saks og et ark papir.

Opgave 1(3 min).

- Lad os tage et ark papir, folde det i stykker og skære en figur ud. Lad os nu folde arket ud og se på foldelinjen.

Spørgsmål: Hvilken funktion har denne linje?

Foreslået svar: Denne linje deler figuren i to.

Spørgsmål: Hvordan er alle punkterne i figuren placeret på de to resulterende halvdele?

Foreslået svar: Alle punkter på halvdelene er på lige stor afstand fra foldelinjen og på samme niveau.

– Det betyder, at foldelinjen deler figuren i to, så 1 halvdel er en kopi af 2 halvdele, dvs. denne linje er ikke enkel, den har en bemærkelsesværdig egenskab (alle punkter i forhold til den er i samme afstand), denne linje er en symmetriakse.

Opgave 2 (2 min).

– Klip et snefnug ud, find symmetriaksen, karakteriser den.

Opgave 3 (5 min).

– Tegn en cirkel i din notesbog.

Spørgsmål: Bestem, hvordan symmetriaksen går?

Foreslået svar: Anderledes.

Spørgsmål: Så hvor mange symmetriakser har en cirkel?

Foreslået svar: Mange.

- Det er rigtigt, en cirkel har mange symmetriakser. En lige så bemærkelsesværdig figur er en bold (rumlig figur)

Spørgsmål: Hvilke andre figurer har mere end én symmetriakse?

Foreslået svar: Kvadrat, rektangel, ligebenede og ligesidede trekanter.

– Overvej tredimensionelle figurer: terning, pyramide, kegle, cylinder osv. Disse figurer har også en symmetriakse. Bestem, hvor mange symmetriakser har kvadratet, rektangelet, ligesidet trekant og de foreslåede tredimensionelle figurer.

Jeg deler halvdele af plasticinefigurer ud til eleverne.

Opgave 4 (3 min).

– Brug de modtagne oplysninger til at udfylde den manglende del af figuren.

Note: figuren kan være både plan og tredimensionel. Det er vigtigt, at eleverne bestemmer, hvordan symmetriaksen løber og fuldender det manglende element. Arbejdets rigtighed bestemmes af naboen ved skrivebordet og vurderer, hvor korrekt arbejdet er udført.

En linje (lukket, åben, med selvskæring, uden selvskæring) er lagt ud fra en blonde af samme farve på skrivebordet.

Opgave 5 (gruppearbejde 5 min).

– Bestem visuelt symmetriaksen og færdiggør den anden del i forhold til den fra en snøre i en anden farve.

Rigtigheden af det udførte arbejde bestemmes af eleverne selv.

Elementer af tegninger præsenteres for eleverne

Opgave 6 (2 min).

– Find de symmetriske dele af disse tegninger.

For at konsolidere det dækkede materiale foreslår jeg følgende opgaver, planlagt til 15 minutter:

Navngiv alle lige store elementer i trekanten KOR og KOM. Hvilken type trekanter er det?

2. Tegn flere ligebenede trekanter i din notesbog med en fælles base på 6 cm.

3. Tegn et stykke AB. Konstruer et linjestykke AB vinkelret og går gennem dets midtpunkt. Marker punkterne C og D på den, så den firkantede ACBD er symmetrisk i forhold til den rette linje AB.

– Vores oprindelige idéer om form går tilbage til den meget fjerne æra af den antikke stenalder - palæolitikum. I hundredtusinder af år af denne periode boede folk i huler under forhold, der var lidt anderledes end dyrenes liv. Folk lavede redskaber til jagt og fiskeri, udviklede et sprog til at kommunikere med hinanden, og i den sene palæolitiske æra pyntede de på deres eksistens ved at skabe kunstværker, figurer og tegninger, der afslører en bemærkelsesværdig formsans.
Da der var en overgang fra simpel indsamling af mad til dens aktive produktion, fra jagt og fiskeri til landbrug, gik menneskeheden ind i en ny Stenalder, i yngre stenalder.
Den neolitiske mand havde en skarp sans for geometrisk form. Affyring og maling af lerkar, fremstilling af sivmåtter, kurve, stoffer og senere metalbearbejdning udviklede ideer om plane og rumlige figurer. Neolitiske ornamenter var behagelige for øjet og afslørede lighed og symmetri.
– Hvor forekommer symmetri i naturen?

Foreslået svar: vinger af sommerfugle, biller, træblade...

– Symmetri kan også observeres i arkitektur. Ved konstruktion af bygninger overholder bygherrer strengt symmetri.

Det er derfor, bygningerne bliver så smukke. Også et eksempel på symmetri er mennesker og dyr.

Lektier:

1. Kom med dit eget ornament, tegn det på et A4-ark (du kan tegne det i form af et tæppe).
2. Tegn sommerfugle, bemærk, hvor elementer af symmetri er til stede.