Du skal bruge

• - egenskaber af symmetriske punkter;
• - egenskaber af symmetriske figurer;
• - lineal;
• - firkantet;
• - kompas;
• - blyant;
• - et ark papir;
• - en computer med et grafikredigeringsprogram.

Instruktioner

Tegn en lige linje a, som vil være symmetriaksen. Hvis dens koordinater ikke er angivet, tegnes den vilkårligt. Placer et vilkårligt punkt A på den ene side af denne linje. Du skal finde et symmetrisk punkt.

Nyttige råd

Symmetriegenskaber bruges konstant i AutoCAD. For at gøre dette skal du bruge indstillingen Mirror. For at konstruere en ligebenet trekant eller ligebenet trapez er det nok at tegne den nederste base og vinklen mellem den og siden. Afspejle dem ved hjælp af den angivne kommando og forlænge siderne til den ønskede størrelse. I tilfælde af en trekant vil dette være punktet for deres skæringspunkt, og for en trapezoid vil dette være en given værdi.

Du støder konstant på symmetri i grafiske editorer, når du bruger muligheden "vend lodret/vandret". I dette tilfælde anses symmetriaksen for at være en ret linje svarende til en af ​​de lodrette eller vandrette sider af billedrammen.

Kilder:

• hvordan man tegner central symmetri

At konstruere et tværsnit af en kegle er ikke så vanskelig en opgave. Det vigtigste er at følge en streng rækkefølge af handlinger. Så vil denne opgave let blive udført og vil ikke kræve meget arbejde fra dig.

Du skal bruge

• - papir;
• - pen;
• - cirkel;
• - lineal.

Instruktioner

Når du besvarer dette spørgsmål, skal du først beslutte, hvilke parametre der definerer sektionen.
Lad dette være den rette skæringslinje af planet l med planet og punktet O, som er skæringspunktet med dets snit.

Konstruktionen er illustreret i fig. 1. Det første trin i at konstruere en sektion er gennem midten af ​​sektionen af ​​dens diameter, forlænget til l vinkelret på denne linje. Resultatet er punkt L. Tegn derefter en ret linje LW gennem punkt O, og konstruer to styrekegler, der ligger i hovedsektionen O2M og O2C. I skæringspunktet mellem disse guider ligger punktet Q, samt det allerede viste punkt W. Det er de to første punkter i det ønskede snit.

Tegn nu en vinkelret MS ved bunden af ​​keglen BB1 og konstruer generatricer af den vinkelrette sektion O2B og O2B1. I dette afsnit, gennem punkt O, tegne en ret linje RG parallelt med BB1. Т.R og Т.G er yderligere to punkter i det ønskede afsnit. Hvis kuglens tværsnit var kendt, kunne den bygges allerede på dette stadium. Dette er dog slet ikke en ellipse, men noget elliptisk, der har symmetri i forhold til segmentet QW. Derfor bør du konstruere så mange snitpunkter som muligt for senere at forbinde dem med en jævn kurve for at opnå den mest pålidelige skitse.

Konstruer et vilkårligt snitpunkt. For at gøre dette skal du tegne en vilkårlig diameter AN ved bunden af ​​keglen og konstruere de tilsvarende guider O2A og O2N. Gennem t.O tegnes en linje, der går gennem PQ og WG, indtil den skærer de nykonstruerede guider i punkterne P og E. Dette er yderligere to punkter i det ønskede snit. Hvis du fortsætter på samme måde, kan du finde så mange point, du vil.

Det er sandt, at proceduren for at opnå dem kan forenkles lidt ved hjælp af symmetri med hensyn til QW. For at gøre dette kan du tegne lige linjer SS' i planet for den ønskede sektion, parallelt med RG, indtil de skærer keglens overflade. Konstruktionen afsluttes ved at afrunde den konstruerede polylinje fra akkorder. Det er nok at konstruere halvdelen af ​​den ønskede sektion på grund af den allerede nævnte symmetri med hensyn til QW.

Video om emnet

Tip 3: Sådan laver du en graf trigonometrisk funktion

Du skal tegne skema trigonometrisk funktioner? Mestre algoritmen for handlinger ved at bruge eksemplet med at konstruere en sinusoid. For at løse problemet skal du bruge forskningsmetoden.

Du skal bruge

• - lineal;
• - blyant;
• - kendskab til det grundlæggende i trigonometri.

Instruktioner

Video om emnet

Bemærk venligst

Hvis de to halvakser af en enkelt-stribe hyperboloid er ens, kan figuren fås ved at rotere en hyperbel med halvakser, hvoraf den ene er ovenstående, og den anden, forskellig fra de to lige store, omkring imaginær akse.

Nyttige råd

Når man undersøger denne figur i forhold til Oxz- og Oyz-akserne, er det klart, at dets hovedafsnit er hyperbler. Og når denne rumlige rotationsfigur skæres af Oxy-planet, er dens snit en ellipse. Halsellipsen af ​​en enkelt-stribe hyperboloid passerer gennem koordinaternes oprindelse, fordi z=0.

Halsellipsen er beskrevet af ligningen x²/a² +y²/b²=1, og de andre ellipser er sammensat af ligningen x²/a² +y²/b²=1+h²/c².

Kilder:

• Ellipsoider, paraboloider, hyperboloider. Retlineære generatorer

Formen af ​​en femtakket stjerne har været meget brugt af mennesket siden oldtiden. Vi anser dens form for smuk, fordi vi ubevidst genkender dens forhold i det gyldne snit, dvs. skønheden i den femtakkede stjerne er matematisk begrundet. Euklid var den første, der beskrev konstruktionen af ​​en femtakket stjerne i sine elementer. Lad os slutte os til hans erfaring.

Du skal bruge

• lineal;
• blyant;
• kompas;
• vinkelmåler.

Instruktioner

Konstruktionen af ​​en stjerne kommer ned til konstruktionen og den efterfølgende forbindelse af dens hjørner til hinanden sekventielt gennem en. For at bygge den rigtige skal du opdele cirklen i fem.
Konstruer en vilkårlig cirkel ved hjælp af et kompas. Marker dens centrum med punktet O.

Marker punkt A og brug en lineal til at tegne linjestykke OA. Nu skal du dele segmentet OA i to for at gøre dette, fra punkt A, tegne en bue med radius OA, indtil det skærer cirklen i to punkter M og N. Konstruer segmentet MN. Punktet E hvor MN skærer OA vil halvere segment OA.

Gendan den vinkelrette OD til radius OA og forbind punkterne D og E. Lav et hak B på OA fra punkt E med radius ED.

Brug nu linjestykket DB til at markere cirklen i fem lige store dele. Mærk toppunkterne på den regulære femkant sekventielt med tal fra 1 til 5. Forbind prikkerne i følgende rækkefølge: 1 med 3, 2 med 4, 3 med 5, 4 med 1, 5 med 2. Her er den regulære femtakkede stjerne, ind i en regulær femkant. Det er præcis den måde, jeg byggede det på

Så hvad angår geometri: der er tre hovedtyper af symmetri.

For det første central symmetri (eller symmetri omkring et punkt) - dette er en transformation af planet (eller rummet), hvor et enkelt punkt (punkt O - symmetriens centrum) forbliver på plads, mens de resterende punkter ændrer deres position: i stedet for punkt A får vi punkt A1 således, at punkt O er midten af ​​segmentet AA1. For at konstruere en figur Ф1, symmetrisk med figuren Ф i forhold til punktet O, skal du tegne en stråle gennem hvert punkt på figuren Ф, der passerer gennem punktet O (symmetriens centrum), og på denne stråle lægges et punkt, som er symmetrisk med valgt en i forhold til punkt O. Punktsættet konstrueret på denne måde vil give figuren F1.

Af stor interesse er figurer, der har et symmetricentrum: med symmetri omkring punktet O, omdannes ethvert punkt i figuren Φ igen til et bestemt punkt i figuren Φ. Der er mange sådanne figurer i geometrien. For eksempel: et segment (midten af ​​segmentet er symmetriens centrum), en ret linje (ethvert punkt af det er midten af ​​dets symmetri), en cirkel (cirklens centrum er symmetriens centrum), en rektangel (skæringspunktet for dets diagonaler er symmetriens centrum). Mange centralt symmetriske objekter i levende og livløs natur(elevbesked). Ofte skaber folk selv objekter, der har en centersymmetrier (eksempler fra kunsthåndværk, eksempler fra maskinteknik, eksempler fra arkitektur og mange andre eksempler).

For det andet aksial symmetri (eller symmetri omkring en ret linje) - dette er en transformation af et plan (eller rum), hvor kun punkterne på den rette linje p forbliver på plads (denne rette linje er symmetriaksen), mens de resterende punkter ændrer deres position: i stedet for punkt B få et punkt B1 således, at den rette linje p er den vinkelrette halveringslinje på segmentet BB1 . For at konstruere en figur Ф1, symmetrisk med figuren Ф, i forhold til den rette linje р, er det nødvendigt for hvert punkt i figuren Ф at konstruere et punkt, der er symmetrisk til den i forhold til den rette linje р. Sættet af alle disse konstruerede punkter giver den ønskede figur F1. Der er mange geometriske former har en symmetriakse.

Et rektangel har to, et kvadrat har fire, en cirkel har en ret linje, der går gennem sit centrum. Hvis du ser nøje på bogstaverne i alfabetet, kan du blandt dem finde dem, der har vandrette eller lodrette, og nogle gange begge, symmetriakser. Objekter med symmetriakser findes ret ofte i levende og livløs natur (eleverrapporter). I sin aktivitet skaber en person mange genstande (for eksempel ornamenter), der har flere symmetriakser.

______________________________________________________________________________________________________

For det tredje, plan (spejl) symmetri (eller symmetri om et plan) - dette er en transformation af rummet, hvor kun punkter i et plan bevarer deres placering (α-symmetriplan), de resterende punkter i rummet ændrer deres position: i stedet for punkt C opnås et punkt C1, således at planet α passerer igennem midten af ​​segmentet CC1, vinkelret på det.

For at konstruere en figur Ф1, symmetrisk med figuren Ф i forhold til planet α, er det nødvendigt for hvert punkt på figuren Ф at bygge punkter, der er symmetriske i forhold til α, de danner i deres sæt figuren Ф1.

Oftest møder vi i tingenes og genstandenes verden omkring os tredimensionelle kroppe. Og nogle af disse kroppe har symmetriplan, nogle gange endda flere. Og mennesket selv skaber i sine aktiviteter (konstruktion, kunsthåndværk, modellering, ...) objekter med symmetriplan.

Det er værd at bemærke, at der sammen med de tre listede typer symmetri er (i arkitektur)bærbare og roterende, som i geometri er sammensætninger af flere bevægelser.

Aksial symmetri og begrebet perfektion

Aksial symmetri er iboende i alle former i naturen og er en af grundlæggende principper skønhed. Siden oldtiden har mennesket prøvet

at forstå betydningen af ​​perfektion. Dette koncept blev først underbygget af kunstnere, filosoffer og matematikere Oldtidens Grækenland. Og selve ordet "symmetri" blev opfundet af dem. Det betegner proportionalitet, harmoni og identitet af helhedens dele. Den antikke græske tænker Platon hævdede, at kun en genstand, der er symmetrisk og proportional, kan være smuk. De fænomener og former, der er proportionale og fuldstændige, "behager øjet". Vi kalder dem rigtige.

Aksial symmetri som begreb

Symmetri i levende væseners verden manifesteres i det regelmæssige arrangement af identiske dele af kroppen i forhold til midten eller aksen. Oftere i

Aksial symmetri forekommer i naturen. Det bestemmer ikke kun generel struktur organisme, men også mulighederne for dens efterfølgende udvikling. De geometriske former og proportioner af levende væsener er dannet af "aksial symmetri". Dens definition er formuleret som følger: dette er egenskaben for objekter, der skal kombineres under forskellige transformationer. De gamle troede, at sfæren besidder princippet om symmetri i det fulde omfang. De anså denne form for harmonisk og perfekt.

Aksial symmetri i levende natur

Hvis man ser på evt levende væsen, fanger symmetrien i kroppens struktur straks øjet. Menneske: to arme, to ben, to øjne, to ører og så videre. Hver dyreart har en karakteristisk farve. Hvis et mønster vises i farvelægningen, er det som regel spejlet på begge sider. Det betyder, at der er en vis linje, langs hvilken dyr og mennesker visuelt kan opdeles i to identiske halvdele, det vil sige, at deres geometriske struktur er baseret på aksial symmetri. Naturen skaber enhver levende organisme ikke kaotisk og meningsløst, men iflg almindelige love verdensorden, fordi intet i universet har et rent æstetisk, dekorativt formål. Tilgængelighed forskellige former også på grund af naturlig nødvendighed.

Aksial symmetri i den livløse natur

I verden er vi overalt omgivet af sådanne fænomener og genstande som: tyfon, regnbue, dråbe, blade, blomster osv. Deres spejl, radiale, centrale, aksiale symmetri er indlysende. Det skyldes i høj grad fænomenet tyngdekraft. Ofte refererer begrebet symmetri til regelmæssigheden af ​​ændringer i visse fænomener: dag og nat, vinter, forår, sommer og efterår og så videre. I praksis eksisterer denne egenskab overalt, hvor der observeres orden. Og selve naturlovene - biologiske, kemiske, genetiske, astronomiske - er underlagt de symmetriprincipper, der er fælles for os alle, da de har en misundelsesværdig systematik. Balance, identitet som princip har således en universel rækkevidde. Aksial symmetri i naturen er en af ​​de "hjørnestens"-love, som universet som helhed er baseret på.

Aksial symmetri. Med aksial symmetri går hvert punkt på figuren til et punkt, der er symmetrisk i forhold til en fast ret linje.

Billede 35 fra præsentationen "Ornament" til geometritimer om emnet "Symmetri"

Dimensioner: 360 x 260 pixels, format: jpg.

For at downloade et gratis billede til en geometrilektion skal du højreklikke på billedet og klikke på "Gem billede som...".

For at vise billeder i lektionen kan du også gratis downloade hele præsentationen "Ornament.ppt" med alle billederne i et zip-arkiv. Arkivstørrelsen er 3324 KB.

Hent præsentation Symmetri"Symmetripunkt" -

Central symmetri

. A a A1. Aksial og central symmetri. Punkt C kaldes symmetriens centrum. Symmetri i hverdagen. En cirkulær kegle har aksial symmetri; symmetriaksen er keglens akse. Figurer, der har mere end to symmetriakser. Et parallelogram har kun central symmetri.

"Symmetri i naturen" - En af de vigtigste egenskaber ved geometriske former er symmetri. Emnet blev ikke valgt tilfældigt, for næste år skal vi i gang med at studere et nyt fag - geometri. Fænomenet symmetri i den levende natur blev bemærket tilbage i det antikke Grækenland. Vi studerer i skolens videnskabelige samfund, fordi vi elsker at lære noget nyt og ukendt.

"Bevægelse i geometri" - Matematik er smukt og harmonisk! Giv eksempler på bevægelse. Bevægelse i geometri. Hvad er bevægelse? Hvilke videnskaber gælder bevægelse for? Hvordan bevægelse bruges i forskellige felter menneskelig aktivitet? En gruppe teoretikere. Begrebet bevægelse Aksial symmetri Central symmetri. Kan vi se bevægelse i naturen?

"Symmetri i kunst" - Levitan. RAPHAEL. II.1. Andel i arkitektur. Rytme er et af hovedelementerne i melodiens udtryksevne. R. Descartes. Ship Grove. A.V. Voloshinov. Velazquez "Overgivelse af Breda" Udadtil kan harmonien vise sig i melodi, rytme, symmetri, proportionalitet. II.4.Andel i litteratur.

Der er i alt 32 oplæg i emnet

I århundreder har symmetri forblevet et emne, der har fascineret filosoffer, astronomer, matematikere, kunstnere, arkitekter og fysikere. De gamle grækere var helt besat af det – og selv i dag har vi en tendens til at møde symmetri i alt fra møbelarrangement til klipninger.

Bare husk på, at når du først indser dette, vil du sandsynligvis føle en overvældende trang til at lede efter symmetri i alt, hvad du ser.

(I alt 10 billeder)

Postsponsor: Program til download af musik på VKontakte: Ny version Catch in Contact-programmet giver mulighed for nemt og hurtigt at downloade musik og videoer indsendt af brugere fra siderne på de mest berømte sociale netværk vkontakte.ru.

1. Broccoli Romanesco

Måske så du Romanesco-broccoli i butikken og troede, at det var endnu et eksempel på et genmodificeret produkt. Men faktisk er dette endnu et eksempel på naturens fraktale symmetri. Hver broccoliblomst har et logaritmisk spiralmønster. Romanesco ligner broccoli i udseende, men i smag og konsistens - blomkål. Den er rig på carotenoider, samt vitamin C og K, hvilket gør den ikke kun smuk, men også sund mad.

I tusinder af år har mennesker undret sig over den perfekte sekskantede form af honningkager og spurgt sig selv, hvordan bier instinktivt kunne skabe en form, som mennesker kun kunne gengive med et kompas og lineal. Hvordan og hvorfor har bier en passion for at skabe sekskanter? Matematikere mener, at dette er perfekt form, som giver dem mulighed for at opbevare den maksimalt mulige mængde honning vha minimumsmængde voks. Uanset hvad er det hele et produkt af naturen, og det er forbandet imponerende.

3. Solsikker

Solsikker prale med radial symmetri og interessant fyr symmetri kendt som Fibonacci-sekvensen. Fibonacci-sekvens: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 osv. (hvert tal er bestemt af summen af ​​de to foregående tal). Hvis vi tog os god tid og talte antallet af frø i en solsikke, ville vi opdage, at antallet af spiraler vokser efter principperne i Fibonacci-sekvensen. Der er mange planter i naturen (bl.a. Romanesco broccoli), hvis kronblade, frø og blade svarer til denne rækkefølge, hvorfor det er så svært at finde en kløver med fire blade.

Men hvorfor følger solsikker og andre planter matematiske regler? Ligesom sekskanterne i en bikube er det hele et spørgsmål om effektivitet.

4. Nautilus Shell

Ud over planter følger nogle dyr, såsom Nautilus, Fibonacci-sekvensen. Skallen på Nautilus snoer sig til en Fibonacci-spiral. Skallen forsøger at bevare den samme proportionale form, hvilket gør det muligt for den at bevare den hele livet (i modsætning til mennesker, der ændrer proportioner gennem hele livet). Ikke alle Nautiluses har en Fibonacci-skal, men de følger alle en logaritmisk spiral.

Før du misunder matematikmuslingerne, så husk, at de ikke gør dette med vilje, det er bare, at denne form er den mest rationelle for dem.

5. Dyr

De fleste dyr har bilateral symmetri, hvilket betyder, at de kan opdeles i to identiske halvdele. Selv mennesker har bilateral symmetri, og nogle videnskabsmænd mener, at menneskelig symmetri er den mest vigtig faktor, som påvirker opfattelsen af ​​vores skønhed. Med andre ord, hvis du har et ensidigt ansigt, kan du kun håbe på, at det bliver kompenseret af andre gode egenskaber.

Nogle går til fuldstændig symmetri i et forsøg på at tiltrække en mage, såsom påfuglen. Darwin var positivt irriteret over fuglen, og skrev i et brev, at "Synet af en påfugls halefjer, når jeg ser på den, gør mig syg!" For Darwin virkede halen besværlig og gav ingen evolutionær mening, da den ikke passede med hans teori om "survival of the fittest". Han var rasende, indtil han kom med teorien om seksuel selektion, som siger, at dyr udvikler sig visse funktioner for at øge dine chancer for parring. Derfor har påfugle forskellige tilpasninger for at tiltrække en partner.

Der er omkring 5.000 typer edderkopper, og de skaber alle et næsten perfekt cirkulært spind med radiale støttetråde næsten lige stor afstand og spiralstof til at fange bytte. Forskere er ikke sikre på, hvorfor edderkopper elsker geometri så meget, da test har vist, at en rund klud ikke vil lokke mad bedre end et lærred uregelmæssig form. Forskere har en teori om, at radial symmetri fordeler stødkraften jævnt, når byttedyr fanges i nettet, hvilket resulterer i færre brud.

Giv et par tricksters et bræt, plæneklippere og mørkets sikkerhed, og du vil se, at folk også skaber symmetriske former. På grund af kompleksiteten af ​​designet og den utrolige symmetri af korncirkler, selv efter at skaberne af cirklerne tilstod og demonstrerede deres færdigheder, tror mange mennesker stadig, at de blev lavet af rumvæsener.

Efterhånden som cirklerne bliver mere komplekse, bliver deres kunstige oprindelse mere og mere tydelig. Det er ulogisk at antage, at aliens vil gøre deres beskeder stadig sværere, når vi ikke engang kunne tyde de første.

Uanset hvordan de er blevet til, er korncirkler en fornøjelse at se på, primært fordi deres geometri er imponerende.

Selv små formationer såsom snefnug er styret af symmetrilovene, da de fleste snefnug har sekskantet symmetri. Dette sker til dels på grund af den måde, vandmolekyler stiller op, når de størkner (krystalliserer). Vandmolekyler erhverver fast tilstand, danner svag hydrogenbindinger, justerer de i et velordnet arrangement, der afbalancerer tiltræknings- og frastødningskræfterne og danner snefnugets sekskantede form. Men på samme tid er hvert snefnug symmetrisk, men ikke det ene snefnug ligner det andet. Dette sker, fordi når hvert snefnug falder ned fra himlen, oplever det unikke atmosfæriske forhold, der får dets krystaller til at arrangere sig på en bestemt måde.

9. Mælkevejsgalaksen

Som vi allerede har set, symmetri og matematiske modeller eksisterer næsten overalt, men er disse naturlove begrænset til vores planet? Åbenbart ikke. For nylig åbnede en ny sektion på Galaxy's Edge Mælkevejen, og astronomer mener, at galaksen er et næsten perfekt spejlbillede af sig selv.

10. Sol-Måne symmetri

I betragtning af at Solen har en diameter på 1,4 millioner km, og Månen - 3474 km, virker det næsten umuligt, at Månen kunne blokere sollys og giver os omkring fem solformørkelser hvert andet år. Hvordan virker dette? Tilfældigvis, mens Solen er omkring 400 gange bredere end Månen, er Solen også 400 gange længere væk. Symmetri sikrer, at Solen og Månen har samme størrelse, når de ses fra Jorden, så Månen kan skjule Solen. Selvfølgelig kan afstanden fra Jorden til Solen stige, hvorfor vi nogle gange ser ringformede og delvise formørkelser. Men hvert eller hvert andet år sker der en fin justering, og vi er vidne til en spektakulær begivenhed kendt som komplet solformørkelse. Astronomer ved ikke, hvor almindelig denne symmetri er blandt andre planeter, men de tror, ​​den er ret sjælden. Vi skal dog ikke gå ud fra, at vi er specielle, da det hele er et spørgsmål om tilfældigheder. For eksempel bevæger Månen sig hvert år omkring 4 cm væk fra Jorden, hvilket betyder, at for milliarder af år siden ville hver solformørkelse have været en total formørkelse. Hvis tingene fortsætter sådan, vil totale formørkelser til sidst forsvinde, og dette vil blive ledsaget af forsvinden af ​​ringformede formørkelser. Det viser sig, at vi simpelthen er på det rigtige sted på det rigtige tidspunkt for at se dette fænomen.