Hvis 2 parallelle linjer krysses av en tredjedel da. Tegn på parallellitet av to linjer

Å opprettholde personvernet ditt er viktig for oss. Av denne grunn har vi utviklet en personvernerklæring som beskriver hvordan vi bruker og lagrer informasjonen din. Se gjennom vår personvernpraksis og gi oss beskjed hvis du har spørsmål.

Innsamling og bruk av personopplysninger

Personopplysninger refererer til data som kan brukes til å identifisere bestemt person eller forbindelse med ham.

Du kan bli bedt om å oppgi din personlige informasjon når som helst når du kontakter oss.

Nedenfor er noen eksempler på hvilke typer personopplysninger vi kan samle inn og hvordan vi kan bruke slik informasjon.

Hvilken personlig informasjon samler vi inn:

Når du sender inn en forespørsel på nettstedet, kan vi samle inn ulike opplysninger, inkludert navn, telefonnummer, adresse E-post etc.

Hvordan vi bruker dine personopplysninger:

Personopplysningene vi samler inn gjør at vi kan kontakte deg og informere deg om unike tilbud, kampanjer og andre arrangementer og kommende arrangementer.
Fra tid til annen kan vi bruke din personlige informasjon til å sende viktige meldinger og kommunikasjoner.
Vi kan også bruke personopplysninger til interne formål, som å gjennomføre revisjoner, dataanalyser og ulike undersøkelser for å forbedre tjenestene vi leverer og gi deg anbefalinger angående våre tjenester.
Hvis du deltar i en premietrekning, konkurranse eller lignende kampanje, kan vi bruke informasjonen du gir til å administrere slike programmer.

Utlevering av informasjon til tredjeparter

Vi utleverer ikke informasjonen mottatt fra deg til tredjeparter.

Unntak:

Om nødvendig, i samsvar med loven, rettslig prosedyre, i rettslige prosesser, og/eller basert på offentlige henvendelser eller forespørsler fra offentlige etater på den russiske føderasjonens territorium - oppgi din personlige informasjon. Vi kan også avsløre informasjon om deg hvis vi fastslår at slik avsløring er nødvendig eller hensiktsmessig for sikkerhet, rettshåndhevelse eller andre offentlige viktige formål.
I tilfelle en omorganisering, fusjon eller salg, kan vi overføre personopplysningene vi samler inn til gjeldende etterfølger tredjepart.

Beskyttelse av personopplysninger

Vi tar forholdsregler - inkludert administrative, tekniske og fysiske - for å beskytte din personlige informasjon mot tap, tyveri og misbruk, samt uautorisert tilgang, avsløring, endring og ødeleggelse.

Respekter personvernet ditt på bedriftsnivå

For å sikre at din personlige informasjon er sikker, kommuniserer vi personvern- og sikkerhetsstandarder til våre ansatte og håndhever strengt personvernpraksis.

KAPITTEL III.
PARALLELL DIREKTE

§ 38. AVHENGIGHET MELLOM VINKLER,
DANNET AV TO PARALLELLE LINJER OG EN SEKUNDÆR.

Vi vet at to linjer er parallelle hvis, når de skjærer en tredje linje, de tilsvarende vinklene er like, eller indre eller ytre vinkler som ligger på tvers er like, eller summen av indre, eller summen av ytre ensidige vinkler er lik 2 d. La oss bevise at de omvendte teoremene også er sanne, nemlig:

Hvis to parallelle linjer krysses av en tredje, da:

1) tilsvarende vinkler er like;
2) indre kryssvinkler er like;
3) ytre kryssvinkler er like;
4) summen av indre ensidige vinkler er lik 2 d ;
5) summen av ytre ensidige vinkler er lik 2 d .

La oss for eksempel bevise at hvis to parallelle linjer skjæres av en tredje linje, så er de tilsvarende vinklene like.

La rette linjer AB og CD være parallelle, og MN være deres sekant (Fig. 202). La oss bevise at de tilsvarende vinklene 1 og 2 er like med hverandre.

La oss anta det / 1 og / 2 er ikke like. Så ved punkt O kan vi konstruere / IOC, tilsvarende og likeverdig / 2 (tegning 203).

Men hvis / MOQ = / 2, så vil rett linje OK være parallell med CD (§ 35).

Vi fant at to rette linjer AB og OK ble trukket gjennom punkt O, parallelt med rett linje CD. Men dette kan ikke være (§ 37).

Vi kom frem til en selvmotsigelse fordi vi antok det / 1 og / 2 er ikke like. Derfor er vår antagelse feil og / 1 må være lik / 2, dvs. de tilsvarende vinklene er like.

La oss etablere relasjonene mellom de gjenværende vinklene. La rette linjer AB og CD være parallelle, og MN være deres sekant (fig. 204).

Vi har nettopp bevist at i dette tilfellet er de tilsvarende vinklene like. La oss anta at to av dem har 119° hver. La oss beregne størrelsen på hver av de andre seks vinklene. Basert på egenskapene til tilstøtende og vertikale vinkler finner vi at fire av de åtte vinklene vil ha 119° hver, og resten vil ha 61° hver.

Det viste seg at både indre og ytre kryssvinkler er like parvis, og summen av indre eller ytre ensidige vinkler er lik 180° (eller 2 d).

Det samme vil finne sted for enhver annen verdi med like tilsvarende vinkler.

Konsekvens 1. Hvis hver av to linjer AB og CD er parallelle med den samme tredje linjen MN, så er de to første linjene parallelle med hverandre (tegning 205).

Faktisk, ved å tegne sekanten EF (fig. 206), får vi:
EN) / 1 = / 3, siden AB || MN; b) / 2 = / 3, siden CO || MN.

Midler, / 1 = / 2, og disse er vinklene som tilsvarer linjene AB og CD og sekanten EF, derfor er linjene AB og CD parallelle.

Konsekvens 2. Hvis en linje er vinkelrett på en av to parallelle linjer, er den også vinkelrett på den andre (tegning 207).

Faktisk, hvis EF _|_ AB, da / 1 = d; hvis AB || CD, da / 1 = / 2.

Derfor, / 2 = d dvs. EF _|_ CD .

Hvis to parallelle linjer krysses av en tredje, da:

1. tilsvarende vinkler er like;
2. indre kryssvinkler er like;
3. ytre kryssvinkler er like;
4. summen av indre ensidige vinkler er 2d;
5. summen av ytre ensidige vinkler er 2d.

La oss for eksempel bevise at hvis to parallelle linjer skjæres av en tredje linje, så er de tilsvarende vinklene like.

La rette linjer AB og CD være parallelle, og MN være deres sekant (fig.). La oss bevise at de tilsvarende vinklene 1 og 2 er like med hverandre.

La oss anta at ∠1 og ∠2 ikke er like. Så ved punkt O er det mulig å konstruere ∠MOK, tilsvarende og lik ∠2 (fig.).

Men hvis ∠MOK = ∠2, vil den rette linjen OK være parallell med CD.

Vi fant at to rette linjer AB og OK ble trukket gjennom punkt O, parallelt med rett linje CD. Men dette kan ikke være.

Vi kom til en selvmotsigelse fordi vi antok at ∠1 og ∠2 ikke er like. Derfor er vår antakelse feil og ∠1 må være lik ∠2, dvs. de tilsvarende vinklene er like.

La oss etablere relasjonene mellom de gjenværende vinklene. La rette linjer AB og CD være parallelle, og MN være deres sekant (fig.).

Det viste seg at både indre og ytre kryssvinkler er like parvis, og summen av indre eller ytre ensidige vinkler er lik 180° (eller 2d).

Det samme vil finne sted for enhver annen verdi med like tilsvarende vinkler.

Konsekvens 1. Hvis hver av to linjer AB og CD er parallelle med den samme tredje linjen MN, så er de to første linjene parallelle med hverandre .

Faktisk, ved å tegne sekanten EF (fig.), får vi:

a) ∠1 = ∠3, siden AB || MN; b) ∠ 2 = ∠3, siden CO || MN.

Dette betyr at ∠1 = ∠2, og disse er de tilsvarende vinklene på linjene AB og CD og sekanten EF, derfor er linjene AB og CD parallelle.

Konsekvens 2. Hvis en linje er vinkelrett på en av to parallelle linjer, er den også vinkelrett på den andre .

Faktisk, hvis EF ⊥ AB, så er ∠1 = d; hvis AB || CD, så ∠1 = ∠2.

Derfor, ∠ 2 = d dvs. EF ⊥ CD.

Denne artikkelen handler om parallelle linjer og parallelle linjer. Først gis definisjonen av parallelle linjer på et plan og i rommet, notasjoner introduseres, eksempler og grafiske illustrasjoner av parallelle linjer er gitt. Deretter diskuteres tegnene og betingelsene for parallellitet av linjer. Avslutningsvis vises løsninger på typiske problemer med å bevise parallelliteten til linjer, som er gitt av visse ligninger av en linje i et rektangulært koordinatsystem på et plan og i tredimensjonalt rom.

Sidenavigering.

Parallelle linjer - grunnleggende informasjon.

Definisjon.

To linjer i et plan kalles parallell, hvis de ikke har felles punkter.

Definisjon.

To linjer i tredimensjonalt rom kalles parallell, hvis de ligger i samme plan og ikke har felles punkter.

Vær oppmerksom på at setningen "hvis de ligger i samme plan" i definisjonen av parallelle linjer i rommet er veldig viktig. La oss avklare dette punktet: to linjer i tredimensjonalt rom som ikke har felles punkter og ikke ligger i samme plan er ikke parallelle, men krysser hverandre.

Her er noen eksempler på parallelle linjer. Motsatte kanter notatbokark ligge på parallelle linjer. De rette linjene som husets veggplan skjærer planene til taket og gulvet er parallelle. Jernbaneskinner på jevn mark kan også betraktes som parallelle linjer.

For å angi parallelle linjer, bruk symbolet "". Det vil si at hvis linjene a og b er parallelle, kan vi kort skrive a b.

Vær oppmerksom på: hvis linjene a og b er parallelle, kan vi si at linje a er parallell med linje b, og også at linje b er parallell med linje a.

La oss gi uttrykk for en uttalelse som spiller en viktig rolle i studiet av parallelle linjer på et plan: gjennom et punkt som ikke ligger på en gitt linje, passerer den eneste rette linjen parallelt med den gitte. Dette utsagnet er akseptert som et faktum (det kan ikke bevises på grunnlag av de kjente planimetriaksiomene), og det kalles aksiomet for parallelle linjer.

For tilfellet i rommet er teoremet gyldig: gjennom ethvert punkt i rommet som ikke ligger på en gitt linje, går det en enkelt rett linje parallelt med den gitte. Denne teoremet er lett bevist ved å bruke aksiomet ovenfor for parallelle linjer (du kan finne beviset i geometrilæreboken for klasse 10-11, som er oppført på slutten av artikkelen i referanselisten).

For tilfellet i rommet er teoremet gyldig: gjennom ethvert punkt i rommet som ikke ligger på en gitt linje, går det en enkelt rett linje parallelt med den gitte. Denne teoremet kan enkelt bevises ved å bruke ovennevnte parallelllinjeaksiom.

Parallellisme av linjer - tegn og betingelser for parallellitet.

Et tegn på parallellitet av linjer er en tilstrekkelig betingelse for at linjene skal være parallelle, det vil si en betingelse hvis oppfyllelse garanterer at linjene er parallelle. Med andre ord er oppfyllelsen av denne betingelsen tilstrekkelig til å fastslå at linjene er parallelle.

Det er også nødvendige og tilstrekkelige forhold for parallelliteten til linjer på et plan og i tredimensjonalt rom.

La oss forklare betydningen av uttrykket "nødvendig og tilstrekkelig betingelse for parallelle linjer."

Vi har allerede behandlet den tilstrekkelige betingelsen for parallelle linjer. Og hva er " nødvendig tilstand parallellitet av linjer"? Fra navnet "nødvendig" er det klart at oppfyllelsen av denne betingelsen er nødvendig for parallelle linjer. Med andre ord, hvis den nødvendige betingelsen for at linjene skal være parallelle ikke er oppfylt, så er ikke linjene parallelle. Dermed, nødvendig og tilstrekkelig forutsetning for parallelle linjer er en betingelse hvis oppfyllelse er både nødvendig og tilstrekkelig for parallelle linjer. Det vil si at på den ene siden er dette et tegn på parallellitet av linjer, og på den andre siden er dette en egenskap som parallelle linjer har.

Før du formulerer en nødvendig og tilstrekkelig betingelse for parallellitet av linjer, er det tilrådelig å huske flere hjelpedefinisjoner.

Sekantlinje er en linje som skjærer hver av to gitte ikke-sammenfallende linjer.

Når to rette linjer krysser en tverrgående, dannes åtte uutviklede. Den såkalte liggende på tvers, tilsvarende Og ensidige vinkler. La oss vise dem på tegningen.

Teorem.

Hvis to linjer i et plan skjæres av en transversal, er det nødvendig og tilstrekkelig for at de skal være parallelle at de kryssende vinklene er like, eller de tilsvarende vinklene er like, eller summen av ensidige vinkler er lik 180 grader .

La oss vise en grafisk illustrasjon av denne nødvendige og tilstrekkelige betingelsen for parallelliteten til linjer på et plan.

Du kan finne bevis på disse forholdene for parallelliteten til linjer i geometri lærebøker for klasse 7-9.

Merk at disse forholdene også kan brukes i tredimensjonalt rom - hovedsaken er at de to linjene og sekanten ligger i samme plan.

Her er noen flere teoremer som ofte brukes for å bevise parallelliteten til linjer.

Teorem.

Hvis to linjer i et plan er parallelle med en tredje linje, så er de parallelle. Beviset for dette kriteriet følger av aksiomet for parallelle linjer.

Det er en lignende tilstand for parallelle linjer i tredimensjonalt rom.

Teorem.

Hvis to linjer i rommet er parallelle med en tredje linje, så er de parallelle. Beviset for dette kriteriet diskuteres i geometritimene på 10. trinn.

La oss illustrere de angitte teoremene.

La oss presentere et annet teorem som lar oss bevise parallelliteten til linjer på et plan.

Teorem.

Hvis to linjer i et plan er vinkelrett på en tredje linje, så er de parallelle.

Det er et lignende teorem for linjer i rommet.

Teorem.

Hvis to linjer i tredimensjonalt rom er vinkelrett på samme plan, så er de parallelle.

La oss tegne bilder som tilsvarer disse teoremene.

Alle teoremene, kriteriene og nødvendige og tilstrekkelige betingelser formulert ovenfor er utmerket for å bevise parallelliteten til linjer ved bruk av geometrimetoder. Det vil si at for å bevise parallelliteten til to gitte linjer, må du vise at de er parallelle med en tredje linje, eller vise likheten mellom liggende vinkler på tvers, etc. Mange lignende problemer løses i geometritimer i videregående skole. Det skal imidlertid bemerkes at det i mange tilfeller er praktisk å bruke koordinatmetoden for å bevise parallelliteten til linjer på et plan eller i tredimensjonalt rom. La oss formulere de nødvendige og tilstrekkelige betingelsene for parallelliteten til linjer som er spesifisert i et rektangulært koordinatsystem.

Parallellisme av linjer i et rektangulært koordinatsystem.

I dette avsnittet av artikkelen vil vi formulere nødvendige og tilstrekkelige forhold for parallelle linjer i et rektangulært koordinatsystem, avhengig av typen ligninger som definerer disse rette linjene, og vi presenterer også detaljerte løsninger karakteristiske oppgaver.

La oss starte med betingelsen for parallellitet til to rette linjer på et plan i det rektangulære koordinatsystemet Oxy. Hans bevis er basert på definisjonen av retningsvektoren til en linje og definisjonen av normalvektoren til en linje på et plan.

Teorem.

For at to ikke-sammenfallende linjer skal være parallelle i et plan, er det nødvendig og tilstrekkelig at retningsvektorene til disse linjene er kollineære, eller normalvektorene til disse linjene er kollineære, eller retningsvektoren til en linje er vinkelrett på normalen. vektor for den andre linjen.

Åpenbart er tilstanden for parallellitet til to linjer på et plan redusert til (retningsvektorer av linjer eller normale vektorer av linjer) eller til (retningsvektor for en linje og normalvektor til den andre linjen). Således, hvis og er retningsvektorer for linjene a og b, og Og er normalvektorer av henholdsvis linje a og b, vil den nødvendige og tilstrekkelige betingelsen for parallelliteten til linjene a og b skrives som , eller , eller , hvor t er et reelt tall. I sin tur blir koordinatene til hjelpelinjene og (eller) normalvektorene til rette linjer a og b funnet av kjente ligninger rett

Spesielt hvis rett linje a i det rektangulære koordinatsystemet Oxy på planet definerer en generell rettlinjeligning av formen , og rett linje b - , da har normalvektorene til disse linjene koordinater og henholdsvis, og betingelsen for parallellitet til linjene a og b vil bli skrevet som .

Hvis linje a tilsvarer ligningen til en linje med en vinkelkoeffisient av formen, og linje b-, så har normalvektorene til disse linjene koordinater og , og betingelsen for parallellitet til disse linjene har formen . Følgelig, hvis rette linjer på et plan i et rektangulært koordinatsystem er parallelle og kan spesifiseres ved likninger av rette linjer med vinkelkoeffisienter, bakker rette linjer vil være like. Og omvendt: hvis ikke-sammenfallende linjer på et plan i et rektangulært koordinatsystem kan spesifiseres ved likninger av en linje med like vinkelkoeffisienter, så er slike linjer parallelle.

Hvis en linje a og en linje b i et rektangulært koordinatsystem bestemmes av de kanoniske ligningene til en linje på et plan av formen Og , eller parametriske ligninger av en rett linje på et plan av formen Og følgelig har retningsvektorene til disse linjene koordinater og , og betingelsen for parallellitet av linjene a og b er skrevet som .

La oss se på løsninger på flere eksempler.

Eksempel.

Er linjene parallelle? Og ?

Løsning.

La oss omskrive ligningen til en linje i segmenter i form av en generell ligning av en linje: . Nå kan vi se at det er normalvektoren til linjen , a er normalvektoren til linjen. Disse vektorene er ikke kollineære, siden det ikke er noe reelt tall t som likheten ( ). Følgelig er den nødvendige og tilstrekkelige betingelsen for parallelliteten til linjer på et plan ikke oppfylt, derfor er de gitte linjene ikke parallelle.

Svar:

Nei, linjene er ikke parallelle.

Eksempel.

Er rette linjer og parallelle?

Løsning.

La oss redusere den kanoniske ligningen til en rett linje til ligningen til en rett linje med en vinkelkoeffisient: . Åpenbart er likningene til linjene og ikke de samme (i dette tilfellet vil de gitte linjene være de samme) og vinkelkoeffisientene til linjene er like, derfor er de opprinnelige linjene parallelle.

I denne artikkelen vil vi snakke om parallelle linjer, gi definisjoner og skissere tegn og betingelser for parallellisme. For å gjøre teoristoffet klarere vil vi bruke illustrasjoner og løsninger på typiske eksempler.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definisjon 1

Parallelle linjer på et fly– to rette linjer på et plan som ikke har felles punkter.

Definisjon 2

Parallelle linjer i tredimensjonalt rom– to rette linjer i tredimensjonalt rom, som ligger i samme plan og har ingen felles punkter.

Det er nødvendig å merke seg at for å bestemme parallelle linjer i rommet, er avklaringen "ligger i samme plan" ekstremt viktig: to linjer i tredimensjonalt rom som ikke har felles punkter og ikke ligger i samme plan er ikke parallelle , men kryssende.

For å indikere parallelle linjer er det vanlig å bruke symbolet ∥. Det vil si at hvis de gitte linjene a og b er parallelle, bør denne betingelsen kort skrives som følger: a ‖ b. Verbalt er parallellitet av linjer betegnet som følger: linjene a og b er parallelle, eller linje a er parallell med linje b, eller linje b er parallell med linje a.

La oss formulere et utsagn som spiller en viktig rolle i emnet som studeres.

Axiom

Gjennom et punkt som ikke tilhører en gitt linje, går den eneste rette linjen parallelt med den gitte. Denne påstanden kan ikke bevises på grunnlag av de kjente aksiomene for planimetri.

I tilfelle vi snakker om om rom er teoremet sant:

Teorem 1

Gjennom ethvert punkt i rommet som ikke tilhører en gitt linje, vil det være en enkelt rett linje parallelt med den gitte.

Denne teoremet er lett å bevise på grunnlag av ovennevnte aksiom (geometriprogram for klasse 10 - 11).

Parallellitetskriteriet er en tilstrekkelig betingelse, hvis oppfyllelse garanterer parallellitet av linjer. Med andre ord, oppfyllelsen av denne betingelsen er tilstrekkelig til å bekrefte faktumet om parallellitet.

Spesielt er det nødvendige og tilstrekkelige forhold for parallelliteten til linjer på planet og i rommet. La oss forklare: nødvendig betyr betingelsen hvis oppfyllelse er nødvendig for parallelle linjer; hvis den ikke er oppfylt, er linjene ikke parallelle.

For å oppsummere, en nødvendig og tilstrekkelig betingelse for parallellitet av linjer er en tilstand som er nødvendig og tilstrekkelig for at linjene skal være parallelle med hverandre. På den ene siden er dette et tegn på parallellitet, på den andre siden er det en egenskap som ligger i parallelle linjer.

Før vi gir den nøyaktige formuleringen av en nødvendig og tilstrekkelig betingelse, la oss huske noen få tilleggsbegreper.

Definisjon 3

Sekantlinje– en rett linje som skjærer hver av to gitte ikke-sammenfallende rette linjer.

Skjærende to rette linjer danner en tverrgående åtte uutviklede vinkler. For å formulere en nødvendig og tilstrekkelig betingelse vil vi bruke slike typer vinkler som krysset, tilsvarende og ensidig. La oss demonstrere dem i illustrasjonen:

Teorem 2

Hvis to linjer i et plan skjæres av en tverrgående, så for at de gitte linjene skal være parallelle, er det nødvendig og tilstrekkelig at vinklene som skjærer er like, eller de tilsvarende vinklene er like, eller summen av ensidige vinkler er lik 180 grader.

La oss illustrere grafisk den nødvendige og tilstrekkelige betingelsen for parallelliteten til linjer på et plan:

Beviset for disse forholdene finnes i geometriprogrammet for klassetrinn 7 - 9.

Generelt gjelder disse forholdene også for tredimensjonalt rom, forutsatt at to linjer og en sekant tilhører samme plan.

La oss angi noen flere teoremer som ofte brukes for å bevise at linjer er parallelle.

Teorem 3

På et plan er to linjer parallelle med en tredje parallelle med hverandre. Denne funksjonen er bevist basert på parallellismeaksiomet angitt ovenfor.

Teorem 4

I tredimensjonalt rom er to linjer parallelle med en tredje parallelle med hverandre.

Tegnbeviset studeres i 10. klasses geometripensum.

La oss gi en illustrasjon av disse teoremene:

La oss angi enda et par teoremer som beviser parallelliteten til linjer.

Teorem 5

På et plan er to linjer vinkelrett på en tredjedel parallelle med hverandre.

La oss formulere en lignende ting for tredimensjonalt rom.

Teorem 6

I tredimensjonalt rom er to linjer vinkelrett på en tredjedel parallelle med hverandre.

La oss illustrere:

Alle ovennevnte teoremer, tegn og betingelser gjør det mulig å praktisk bevise parallelliteten til linjer ved hjelp av geometrimetoder. Det vil si at for å bevise parallelliteten til linjer, kan man vise at de tilsvarende vinklene er like, eller demonstrere det faktum at to gitte linjer er vinkelrett på den tredje osv. Men merk at det ofte er mer praktisk å bruke koordinatmetoden for å bevise parallelliteten til linjer på et plan eller i tredimensjonalt rom.

Parallellisme av linjer i et rektangulært koordinatsystem

I et gitt rektangulært koordinatsystem bestemmes en rett linje av ligningen til en rett linje på et plan av en av de mulige typene. På samme måte tilsvarer en rett linje definert i et rektangulært koordinatsystem i tredimensjonalt rom noen ligninger for en rett linje i rommet.

La oss skrive ned de nødvendige og tilstrekkelige betingelsene for parallelliteten til linjer i et rektangulært koordinatsystem avhengig av hvilken type ligning som beskriver de gitte linjene.

La oss starte med tilstanden for parallellitet av linjer på et plan. Den er basert på definisjonene av retningsvektoren til en linje og normalvektoren til en linje på et plan.

Teorem 7

For at to ikke-sammenfallende linjer skal være parallelle på et plan, er det nødvendig og tilstrekkelig at retningsvektorene til de gitte linjene er kollineære, eller normalvektorene til de gitte linjene er kollineære, eller retningsvektoren til en linje er vinkelrett på normalvektoren til den andre linjen.

Det blir åpenbart at betingelsen for parallellitet av linjer på et plan er basert på betingelsen for kollinearitet av vektorer eller betingelsen for perpendikularitet av to vektorer. Det vil si at hvis a → = (a x , a y) og b → = (b x , b y) er retningsvektorer av linjene a og b ;

og n b → = (n b x , n b y) er normale vektorer av linjene a og b, så skriver vi den nødvendige og tilstrekkelige betingelsen ovenfor som følger: a → = t · b → ⇔ a x = t · b x a y = t · b y eller n a → = t · n b → ⇔ n a x = t · n b x n a y = t · n b y eller a → , n b → = 0 ⇔ a x · n b x + a y · n b y = 0 , der t er et reelt tall. Koordinatene til hjelpelinjene eller rette vektorene bestemmes av de gitte ligningene til de rette linjene. La oss se på hovedeksemplene.

Rett a i et rektangulært koordinatsystem er definert generell ligning rett linje: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0; rett linje b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Da vil normalvektorene til de gitte linjene ha henholdsvis koordinater (A 1, B 1) og (A 2, B 2). Vi skriver parallellitetsbetingelsen som følger:

A 1 = t A 2 B 1 = t B 2

Linje a beskrives ved ligningen til en linje med helning på formen y = k 1 x + b 1 . Rett linje b - y = k 2 x + b 2. Da vil normalvektorene til de gitte linjene ha henholdsvis koordinater (k 1, - 1) og (k 2, - 1), og vi vil skrive parallellitetsbetingelsen som følger:

k 1 = t k 2 - 1 = t (- 1) ⇔ k 1 = t k 2 t = 1 ⇔ k 1 = k 2

Således, hvis parallelle linjer på et plan i et rektangulært koordinatsystem er gitt av ligninger med vinkelkoeffisienter, vil vinkelkoeffisientene til de gitte linjene være like. Og det motsatte utsagnet er sant: hvis ikke-sammenfallende linjer på et plan i et rektangulært koordinatsystem bestemmes av likningene til en linje med identiske vinkelkoeffisienter, så er disse gitte linjene parallelle.

Linjene a og b i et rektangulært koordinatsystem er spesifisert av de kanoniske ligningene til en linje på et plan: x - x 1 a x = y - y 1 a y og x - x 2 b x = y - y 2 b y eller ved parametriske ligninger av en linje på et plan: x = x 1 + λ · a x y = y 1 + λ · a y og x = x 2 + λ · b x y = y 2 + λ · b y .

Da vil retningsvektorene til de gitte linjene være henholdsvis: a x, a y og b x, b y, og vi vil skrive parallellitetsbetingelsen som følger:

a x = t b x a y = t b y

La oss se på eksempler.

Eksempel 1

To linjer er gitt: 2 x - 3 y + 1 = 0 og x 1 2 + y 5 = 1. Det er nødvendig å avgjøre om de er parallelle.

Løsning

La oss skrive ligningen til en rett linje i segmenter i form av en generell ligning:

x 1 2 + y 5 = 1 ⇔ 2 x + 1 5 y - 1 = 0

Vi ser at n a → = (2, - 3) er normalvektoren til linjen 2 x - 3 y + 1 = 0, og n b → = 2, 1 5 er normalvektoren til linjen x 1 2 + y 5 = 1.

De resulterende vektorene er ikke kollineære, fordi det er ingen slik verdi av tat at likheten vil være sann:

2 = t 2 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = 1 5

Dermed er den nødvendige og tilstrekkelige betingelsen for parallelliteten til linjer på et plan ikke oppfylt, noe som betyr at de gitte linjene ikke er parallelle.

Svar: de gitte linjene er ikke parallelle.

Eksempel 2

Linjene y = 2 x + 1 og x 1 = y - 4 2 er gitt. Er de parallelle?

Løsning

La oss transformere den kanoniske ligningen til den rette linjen x 1 = y - 4 2 til ligningen for den rette linjen med helningen:

x 1 = y - 4 2 ⇔ 1 · (y - 4) = 2 x ⇔ y = 2 x + 4

Vi ser at likningene til linjene y = 2 x + 1 og y = 2 x + 4 ikke er like (hvis det var annerledes, ville linjene vært sammenfallende) og vinkelkoeffisientene til linjene er like, noe som betyr at gitte linjer er parallelle.

La oss prøve å løse problemet annerledes. Først, la oss sjekke om de gitte linjene er sammenfallende. Vi bruker et hvilket som helst punkt på linjen y = 2 x + 1, for eksempel (0, 1), koordinatene til dette punktet tilsvarer ikke ligningen til linjen x 1 = y - 4 2, noe som betyr at linjene gjør det ikke sammenfallende.

Det neste trinnet er å bestemme om betingelsen for parallellitet til de gitte linjene er oppfylt.

Normalvektoren til linjen y = 2 x + 1 er vektoren n a → = (2 , - 1) , og retningsvektoren til den andre gitte linjen er b → = (1 , 2) . Skalarproduktet til disse vektorene er lik null:

n a → , b → = 2 1 + (- 1) 2 = 0

Dermed er vektorene vinkelrette: dette demonstrerer for oss oppfyllelsen av den nødvendige og tilstrekkelige betingelsen for parallelliteten til de originale linjene. De. de gitte linjene er parallelle.

Svar: disse linjene er parallelle.

For å bevise parallelliteten til linjer i et rektangulært koordinatsystem av tredimensjonalt rom, brukes følgende nødvendige og tilstrekkelige betingelse.

Teorem 8

For at to ikke-sammenfallende linjer i tredimensjonalt rom skal være parallelle, er det nødvendig og tilstrekkelig at retningsvektorene til disse linjene er kollineære.

De. gitt likningene til linjer i tredimensjonalt rom, er svaret på spørsmålet: er de parallelle eller ikke, funnet ved å bestemme koordinatene til retningsvektorene til de gitte linjene, samt kontrollere tilstanden til deres kollinearitet. Med andre ord, hvis a → = (a x, a y, a z) og b → = (b x, b y, b z) er retningsvektorene til henholdsvis linjene a og b, så for at de skal være parallelle, er eksistensen av et slikt reelt tall t er nødvendig, slik at likheten gjelder:

a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y a z = t b z

Eksempel 3

Linjene x 1 = y - 2 0 = z + 1 - 3 og x = 2 + 2 λ y = 1 z = - 3 - 6 λ er gitt. Det er nødvendig å bevise parallelliteten til disse linjene.

Løsning

Betingelsene for problemet er gitt kanoniske ligningerén rett linje i rommet og parametriske ligninger av en annen rett linje i rommet. Guidevektorer a → og b → de gitte linjene har koordinater: (1, 0, - 3) og (2, 0, - 6).

1 = t · 2 0 = t · 0 - 3 = t · - 6 ⇔ t = 1 2, deretter a → = 1 2 · b →.

Følgelig er den nødvendige og tilstrekkelige betingelsen for parallelliteten til linjer i rommet oppfylt.

Svar: parallelliteten til de gitte linjene er bevist.

Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter