Saknes attiecas uz racionāliem skaitļiem. Racionālie skaitļi, definīcija, piemēri

Definīcija racionālie skaitļi:

Racionālais skaitlis ir skaitlis, ko var attēlot kā daļskaitli. Šādas daļdaļas skaitītājs pieder veselu skaitļu kopai, un saucējs pieder naturālu skaitļu kopai.

Kāpēc skaitļus sauc par racionāliem?

Latīņu valodā ratio nozīmē attiecību. Racionālos skaitļus var attēlot kā attiecību, t.i. citiem vārdiem sakot, kā daļu.

Racionālu skaitļu piemērs

Skaitlis 2/3 ir racionāls skaitlis. Kāpēc? Šis skaitlis tiek attēlots kā daļa, kuras skaitītājs pieder veselu skaitļu kopai, bet saucējs - naturālu skaitļu kopai.

Vairāk racionālo skaitļu piemēru skatiet rakstā.

Vienādi racionālie skaitļi

Dažādas frakcijas var attēlot vienu racionālu skaitli.

Apsveriet racionālo skaitli 3/5. Šis racionālais skaitlis ir vienāds ar

Samazināsim skaitītāju un saucēju par kopējo koeficientu 2:

6	=	2 * 3	=	3
10		2 * 5		5

Mēs saņēmām daļu 3/5, kas nozīmē to

Šajā sadaļā mēs sniegsim vairākas racionālo skaitļu definīcijas. Neskatoties uz formulējuma atšķirībām, visām šīm definīcijām ir viena un tā pati nozīme: racionālie skaitļi apvieno veselus skaitļus un daļskaitļus, tāpat kā veseli skaitļi naturālie skaitļi, to pretējie skaitļi un skaitlis nulle. Citiem vārdiem sakot, racionālie skaitļi vispārina veselus un daļskaitļus.

Sāksim ar racionālo skaitļu definīcijas, kas tiek uztverts visdabiskāk.

Definīcija.

Racionālie skaitļi ir skaitļi, kurus var uzrakstīt kā pozitīvu daļskaitli, negatīvu daļu vai skaitli nulle.

No norādītās definīcijas izriet, ka racionālais skaitlis ir:

Jebkurš naturāls skaitlis n. Patiešām, jūs varat attēlot jebkuru naturālu skaitli kā parastu daļskaitli, piemēram, 3=3/1 .

· Jebkurš vesels skaitlis, jo īpaši skaitlis nulle. Faktiski jebkuru veselu skaitli var uzrakstīt kā pozitīvu daļskaitli, negatīvu daļu vai nulli. Piemēram, 26=26/1 , .

· Jebkura parastā frakcija (pozitīva vai negatīva). To tieši apstiprina dotā racionālo skaitļu definīcija.

· Jebkurš jaukts numurs. Patiešām, jūs vienmēr varat attēlot jauktu skaitli kā nepareizu daļskaitli. Piemēram, un.

· Jebkura galīga decimāldaļdaļa vai bezgalīga periodiska daļa. Tas ir tāpēc, ka norādītās decimāldaļas tiek pārvērstas parastajās daļās. Piemēram, a 0,(3)=1/3 .

Ir arī skaidrs, ka jebkura bezgalīga neperiodiska decimālā daļa NAV racionāls skaitlis, jo to nevar attēlot kā parastu daļskaitli.

Tagad mēs varam viegli dot racionālu skaitļu piemēri. Skaitļi 4 ,903 , 100 321 ir racionāli skaitļi, jo tie ir naturāli skaitļi. Veseli skaitļi 58 ,−72 , 0 , −833 333 333 ir arī racionālu skaitļu piemēri. Kopējās frakcijas 4/9 , 99/3 , ir arī racionālu skaitļu piemēri. Racionālie skaitļi arī ir skaitļi.

No iepriekš minētajiem piemēriem ir skaidrs, ka ir gan pozitīvi, gan negatīvi racionālie skaitļi, un racionālais skaitlis nulle nav ne pozitīvs, ne negatīvs.

Iepriekš minēto racionālo skaitļu definīciju var formulēt kodolīgākā formā.

Definīcija.

Racionālie skaitļi vārdu skaitļi, kurus var rakstīt kā daļskaitļus z/n, Kur z ir vesels skaitlis un n– naturālais skaitlis.

Pierādīsim, ka šī racionālo skaitļu definīcija ir līdzvērtīga iepriekšējai definīcijai. Zinām, ka daļskaitļa līniju varam uzskatīt par dalīšanas zīmi, tad no veselo skaitļu dalīšanas īpašībām un veselo skaitļu dalīšanas noteikumiem izriet sekojošo vienādību derīgums. Tādējādi tas ir pierādījums.

Sniegsim piemērus racionāliem skaitļiem, kuru pamatā ir šī definīcija. Skaitļi −5 , 0 , 3 , un ir racionāli skaitļi, jo tos var uzrakstīt kā daļas ar veselu skaitītāju un formas naturālo saucēju un attiecīgi.

Racionālo skaitļu definīciju var sniegt šādā formulējumā.

Definīcija.

Racionālie skaitļi ir skaitļi, kurus var uzrakstīt kā ierobežotu vai bezgalīgu periodisku decimālo daļu.

Šī definīcija ir arī līdzvērtīga pirmajai definīcijai, jo katra parastā daļa atbilst ierobežotai vai periodiskai decimāldaļai un otrādi, un jebkuru veselu skaitli var saistīt ar decimāldaļu ar nullēm aiz komata.

Piemēram, skaitļi 5 , 0 , −13 , ir racionālu skaitļu piemēri, jo tos var uzrakstīt kā šādas decimāldaļas 5,0 , 0,0 ,−13,0 , 0,8 Un −7,(18) .

Pabeigsim šī punkta teoriju ar šādiem apgalvojumiem:

· veseli un daļskaitļi (pozitīvie un negatīvie) veido racionālo skaitļu kopu;

· katru racionālo skaitli var attēlot kā daļskaitli ar veselu skaitītāju un naturālo saucēju, un katra šāda daļa apzīmē noteiktu racionālu skaitli;

· katru racionālo skaitli var attēlot kā galīgu vai bezgalīgu periodisku decimālo daļu, un katra šāda daļa apzīmē noteiktu racionālu skaitli.

Lapas augšdaļa

Pozitīvu racionālu skaitļu pievienošana ir komutatīva un asociatīva,

("a, b О Q +) a + b= b + a;

("a, b, c О Q +) (a + b) + c = a + (b+ c)

Pirms formulēt pozitīvo racionālo skaitļu reizināšanas definīciju, apsveriet šādu problēmu: ir zināms, ka segmenta X garums tiek izteikts kā daļa ar garuma vienību E, bet vienības segmenta garums tiek mērīts ar vienību. E 1 un tiek izteikts kā daļa. Kā atrast skaitli, kas apzīmē segmenta X garumu, ja mēra, izmantojot garuma vienību E 1?

Tā kā X = E, tad nX = mE, un no tā, ka E = E 1, izriet, ka qE = pE 1. Sareizināsim pirmo iegūto vienādību ar q un otro ar m. Tad (nq)X = (mq)E un (mq)E= (mp)E 1, no kurienes (nq)X= (mp)E 1. Šī vienādība parāda, ka tiek izteikts segmenta x garums ar garuma vienību kā daļskaitli, kas nozīmē , =, t.i. daļskaitļu reizināšana ietver pāreju no vienas garuma vienības uz citu, mērot viena un tā paša segmenta garumu.

Definīcija: Ja pozitīvs skaitlis a ir attēlots ar daļskaitli un pozitīvs racionālais skaitlis b ir daļskaitlis, tad to reizinājums ir skaitlis a b, kas tiek attēlots ar daļskaitli.

Pozitīvu racionālu skaitļu reizināšana komutatīvais, asociatīvais un sadalošais attiecībā uz saskaitīšanu un atņemšanu. Šo īpašību pierādījums balstās uz pozitīvu racionālu skaitļu reizināšanas un saskaitīšanas definīciju, kā arī uz atbilstošajām naturālo skaitļu saskaitīšanas un reizināšanas īpašībām.

46. ​​Kā zināms atņemšana- Šī ir pretēja pievienošanas darbība.

Ja a Un b - pozitīvi skaitļi, tad skaitļa b atņemšana no skaitļa a nozīmē skaitļa c atrašanu, kuru pievienojot skaitlim b, iegūst skaitli a.
a - b = c vai c + b = a
Atņemšanas definīcija attiecas uz visiem racionālajiem skaitļiem. Tas ir, pozitīvo un negatīvo skaitļu atņemšanu var aizstāt ar saskaitīšanu.
Lai no viena skaitļa atņemtu citu, jums jāpievieno pretējs skaitlis atņemtajam.
Vai arī citā veidā mēs varam teikt, ka skaitļa b atņemšana ir tāda pati kā saskaitīšana, bet ar pretēju skaitli b.
a - b = a + (- b)
Piemērs.
6 - 8 = 6 + (- 8) = - 2
Piemērs.
0 - 2 = 0 + (- 2) = - 2
Ir vērts atcerēties tālāk minētos izteicienus.
0 - a = - a
a - 0 = a
a - a = 0

Negatīvu skaitļu atņemšanas noteikumi
Skaitļa b atņemšana nozīmē to saskaitīšanu ar pretēju skaitli b.
Šis noteikums ir spēkā ne tikai tad, ja no lielāka skaitļa tiek atņemts mazāks skaitlis, bet arī ļauj atņemt no mazāka skaitļa lielāks skaits, tas ir, jūs vienmēr varat atrast atšķirību starp diviem skaitļiem.
Atšķirība var būt pozitīvs skaitlis, negatīvs skaitlis vai nulles skaitlis.
Negatīvo un pozitīvo skaitļu atņemšanas piemēri.
- 3 - (+ 4) = - 3 + (- 4) = - 7
- 6 - (- 7) = - 6 + (+ 7) = 1
5 - (- 3) = 5 + (+ 3) = 8
Ir ērti atcerēties zīmju likumu, kas ļauj samazināt iekavu skaitu.
Plus zīme nemaina skaitļa zīmi, tāpēc, ja iekavās ir plus, zīme iekavās nemainās.
+ (+ a) = + a
+ (- a) = - a
Mīnusa zīme iekavu priekšā apvērš iekavās esošā skaitļa zīmi.
- (+ a) = - a
- (- a) = + a
No vienādībām ir skaidrs, ka, ja iekavās un iekšpusē ir identiskas zīmes, mēs iegūstam “+”, bet, ja zīmes atšķiras, tad iegūstam “-”.
(- 6) + (+ 2) - (- 10) - (- 1) + (- 7) = - 6 + 2 + 10 + 1 - 7 = - 13 + 13 = 0
Zīmju likums tiek saglabāts arī tad, ja iekavās nav viens skaitlis, bet gan algebriskā summa cipariem.
a - (- b + c) + (d - k + n) = a + b - c + d - k + n
Lūdzu, ņemiet vērā, ka, ja iekavās ir vairāki skaitļi un iekavās ir mīnusa zīme, tad zīmēm visu skaitļu priekšā šajās iekavās ir jāmainās.
Lai atcerētos zīmju likumu, varat izveidot tabulu skaitļa zīmju noteikšanai.
Zīmju noteikums skaitļiem+ (+) = + + (-) = -
- (-) = + - (+) = -
Vai arī iemācieties vienkāršu noteikumu.
Divi negatīvi padara apstiprinošu,
Plus reizes mīnus ir vienāds ar mīnusu.

Negatīvu skaitļu dalīšanas noteikumi.
Lai atrastu koeficienta moduli, jums ir jāsadala dividendes modulis ar dalītāja moduli.
Tātad, lai sadalītu divus skaitļus ar vienādām zīmēm, jums ir nepieciešams:

· dividendes moduli dala ar dalītāja moduli;

· ielieciet "+" zīmi pirms rezultāta.

Piemēri skaitļu dalīšanai ar dažādas zīmes:

Lai noteiktu koeficienta zīmi, varat izmantot arī šo tabulu.
Dalīšanas zīmju noteikums
+ : (+) = + + : (-) = -
- : (-) = + - : (+) = -

Aprēķinot “garās” izteiksmes, kurās parādās tikai reizināšana un dalīšana, ir ļoti ērti izmantot zīmju likumu. Piemēram, lai aprēķinātu daļu
Lūdzu, ņemiet vērā, ka skaitītājā ir 2 mīnusa zīmes, kuras, reizinot, dos plusu. Arī saucējā ir trīs mīnusa zīmes, kuras reizinot, tiks iegūta mīnusa zīme. Tāpēc galu galā rezultāts izrādīsies ar mīnusa zīmi.
Daļas samazināšana (turpmākas darbības ar skaitļu moduļiem) tiek veikta tāpat kā iepriekš:
Nulles koeficients, kas dalīts ar skaitli, kas nav nulle, ir nulle.
0: a = 0, a ≠ 0
NEVAR dalīt ar nulli!
Visi iepriekš zināmie dalīšanas ar vienu noteikumi attiecas arī uz racionālo skaitļu kopu.
a: 1 = a
a: (- 1) = - a
a: a = 1, kur a ir jebkurš racionāls skaitlis.
Attiecības starp reizināšanas un dalīšanas rezultātiem, kas pazīstamas ar pozitīviem skaitļiem, paliek nemainīgas visiem racionālajiem skaitļiem (izņemot nulli):
ja a × b = c; a = c: b; b = c: a;
ja a: b = c; a = c × b; b = a: c
Šīs atkarības izmanto, lai atrastu nezināmo koeficientu, dividendi un dalītāju (risinot vienādojumus), kā arī pārbaudītu reizināšanas un dalīšanas rezultātus.
Nezināmā atrašanas piemērs.
x × (-5) = 10
x = 10: (- 5)
x = - 2

Saistītā informācija.

) ir skaitļi ar pozitīvu vai negatīva zīme(veseli skaitļi un daļskaitļi) un nulle. Precīzāks racionālo skaitļu jēdziens izklausās šādi:

Racionāls skaitlis- attēlotais numurs parastā frakcija m/n, kur skaitītājs m ir veseli skaitļi un saucējs n- naturālie skaitļi, piemēram 2/3.

Bezgalīgas neperiodiskas daļas NAV iekļautas racionālo skaitļu kopā.

a/b, Kur a∈ Z (a pieder veseliem skaitļiem), b∈ N (b pieder pie naturāliem skaitļiem).

Racionālu skaitļu izmantošana reālajā dzīvē.

IN īstā dzīve racionālo skaitļu kopu izmanto, lai saskaitītu dažu veselu skaitļu dalāmu objektu daļas, Piemēram, kūkas vai citi pārtikas produkti, kas tiek sagriezti gabalos pirms patērēšanas vai lai aptuveni novērtētu paplašinātu objektu telpiskās attiecības.

Racionālo skaitļu īpašības.

Racionālo skaitļu pamatīpašības.

1. Kārtība a Un b ir noteikums, kas ļauj nepārprotami identificēt 1 un tikai vienu no 3 attiecībām starp tām: “<», «>" vai "=". Šis ir noteikums - pasūtīšanas noteikums un formulējiet to šādi:

• 2 pozitīvi skaitļi a=m a /n a Un b = m b / n b ir saistīti ar tādu pašu attiecību kā 2 veseli skaitļi m a⋅ n b Un m b⋅ n a;
• 2 negatīvi skaitļi a Un b ir saistīti ar tādu pašu attiecību kā 2 pozitīvi skaitļi |b| Un |a|;
• Kad a pozitīvs un b- tad negatīvi a>b.

∀ a, b∈ Q(a ∨ a>b∨ a=b)

2. Papildināšanas darbība. Visiem racionālajiem skaitļiem a Un b Ir summēšanas noteikums, kas tiem piešķir noteiktu racionālu skaitli c. Turklāt pats numurs c-Šo summa cipariem a Un b un tas tiek apzīmēts kā (a+b) summēšana.

Summēšanas noteikums izskatās šādi:

m a/n a + m b/n b =(m a⋅ n b + m b⋅ n a)/(n a⋅ n b).

∀ a, b∈ J∃ !(a+b)∈ J

3. Reizināšanas operācija. Visiem racionālajiem skaitļiem a Un b Ir reizināšanas noteikums, tas saista tos ar noteiktu racionālu skaitli c. Tiek izsaukts cipars strādāt cipariem a Un b un apzīmē (a⋅b), un tiek izsaukts šī numura atrašanas process reizināšana.

Reizināšanas noteikums izskatās šādi: m a n a⋅ m b n b =m a⋅ m b n a⋅ n b.

∀a,b∈Q ∃(a⋅b)∈Q

4. Pasūtījuma attiecības tranzitivitāte. Jebkuriem trim racionāliem skaitļiem a, b Un c Ja a mazāk b Un b mazāk c, Tas a mazāk c, un ja a vienāds b Un b vienāds c, Tas a vienāds c.

∀ a,b,c∈ Q(a ∧ b ⇒ a ∧ (a = b∧ b = c⇒ a = c)

5. Pievienošanas komutativitāte. Mainot racionālo terminu vietas, summa nemainās.

∀ a, b∈ Q a+b=b+a

6. Papildinājuma asociativitāte. Secība, kādā tiek pievienoti 3 racionālie skaitļi, rezultātu neietekmē.

∀ a,b,c∈ Q (a+b)+c=a+(b+c)

7. Nulles klātbūtne. Ir racionāls skaitlis 0, tas saglabā katru otro racionālo skaitli, kad to pievieno.

∃ 0 ∈ J∀ a∈ Q a+0=a

8. Pretēju skaitļu klātbūtne. Jebkuram racionālam skaitlim ir pretējs racionālais skaitlis, un, tos saskaitot, rezultāts ir 0.

∀ a∈ J∃ (-a)∈ Q a+(−a)=0

9. Reizināšanas komutativitāte. Racionālo faktoru vietu maiņa nemaina produktu.

∀ a, b∈ J a⋅ b=b⋅ a

10. Reizināšanas asociativitāte. Secība, kādā tiek reizināti 3 racionālie skaitļi, neietekmē rezultātu.

∀ a,b,c∈ Q(a⋅ b)⋅ c=a⋅ (dzim⋅ c)

11. Vienības pieejamība. Ir racionālais skaitlis 1, tas saglabā katru otro racionālo skaitli reizināšanas procesā.

∃ 1 ∈ J∀ a∈ J a⋅ 1=a

12. Pieejamība savstarpējie skaitļi . Katram racionālajam skaitlim, kas nav nulle, ir apgriezts racionālais skaitlis, reizinot ar to, iegūstam 1 .

∀ a∈ J∃ a-1∈ J a⋅ a−1=1

13. Reizināšanas sadalījums attiecībā pret saskaitīšanu. Reizināšanas darbība ir saistīta ar saskaitīšanu, izmantojot sadales likumu:

∀ a,b,c∈ Q(a+b)⋅ c=a⋅ c+b⋅ c

14. Attiecība starp pasūtījuma relāciju un pievienošanas darbību. Tas pats racionālais skaitlis tiek pievienots racionālās nevienādības kreisajā un labajā pusē.

∀ a,b,c∈ J a ⇒ a+c

15. Attiecība starp secības relāciju un reizināšanas operāciju. Racionālās nevienlīdzības kreiso un labo pusi var reizināt ar to pašu nenegatīvo racionālo skaitli.

∀ a,b,c∈ Q c>0∧ a ⇒ a⋅ c ⋅ c

16. Arhimēda aksioma. Lai kāds būtu racionālais skaitlis a, ir viegli uzņemt tik daudz vienību, ka to summa būs lielāka a.

Numurs- svarīgs matemātisks jēdziens, kas gadsimtu gaitā ir mainījies.

Pirmās idejas par skaitļiem radās, skaitot cilvēkus, dzīvniekus, augļus, dažādus produktus utt. Rezultāts ir naturālie skaitļi: 1, 2, 3, 4, ...

Vēsturiski pirmais skaitļa jēdziena paplašinājums ir daļskaitļu pievienošana dabiskajam skaitlim.

Frakcija sauc par vienības daļu (akciju) vai vairākas vienādas daļas.

Apzīmēja: , kur m, n- veseli skaitļi;

Daļskaitļi ar saucēju 10 n, Kur n- vesels skaitlis, ko sauc decimālzīme: .

Starp cipariem aiz komata īpaša vieta ieņemt periodiskas frakcijas: - tīra periodiskā daļa, - jaukta periodiskā daļa.

Tālāku skaitļa jēdziena paplašināšanos izraisa pašas matemātikas (algebras) attīstība. Dekarts 17. gadsimtā. iepazīstina ar koncepciju negatīvs skaitlis.

Par veseliem skaitļiem (pozitīviem un negatīviem), daļskaitļiem (pozitīviem un negatīviem) un nulli sauc racionālie skaitļi. Jebkuru racionālu skaitli var uzrakstīt kā ierobežotu un periodisku daļu.

Lai pētītu nepārtraukti mainīgus lielumus, izrādījās nepieciešams jauns skaitļa jēdziena paplašināšana - reālo (reālo) skaitļu ieviešana, pievienojot racionālajiem skaitļiem iracionālos skaitļus: iracionāli skaitļi ir bezgalīgas decimāldaļas, kas nav periodiskas.

Iracionāli skaitļi parādījās, mērot nesamērojamus segmentus (kvadrāta malu un diagonāli), algebrā - izdalot saknes, pārpasaulīga, iracionāla skaitļa piemērs ir π, e .

Skaitļi dabisks(1, 2, 3,...), vesels(..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,...), racionāls(attēlojams kā frakcija) un neracionāli(nav attēlojams kā daļskaitlis ) veido komplektu īsts (īsts) cipariem.

Matemātikā atsevišķi izšķir kompleksos skaitļus.

Kompleksie skaitļi rodas saistībā ar gadījuma kvadrātu risināšanas problēmu D< 0 (здесь D– kvadrātvienādojuma diskriminants). Ilgu laiku šie skaitļi neatrada fizisku pielietojumu, tāpēc tos sauca par “iedomātajiem” skaitļiem. Taču šobrīd tos ļoti plaši izmanto dažādās fizikas un tehnoloģiju jomās: elektrotehnikā, hidro- un aerodinamikā, elastības teorijā u.c.

Kompleksie skaitļi ir rakstīti šādā formā: z= a+ bi. Šeit a Un b – reāli skaitļi, A i – iedomātā vienība, t.i.e. i 2 = –1. Numurs a sauca abscisa, a b –ordināta kompleksais skaitlis a+ bi. Divi kompleksie skaitļi a+ bi Un a–bi tiek saukti konjugāts kompleksie skaitļi.

Īpašības:

1. Reālais skaitlis A var uzrakstīt arī kompleksā skaitļa formā: a+ 0i vai a – 0i. Piemēram, 5 + 0 i un 5-0 i nozīmē to pašu skaitli 5.

2. Komplekss skaitlis 0 + bi sauca tīri izdomāts numuru. Ieraksts bi nozīmē to pašu, ko 0 + bi.

3. Divi kompleksie skaitļi a+ bi Un c+ di tiek uzskatīti par vienādiem, ja a= c Un b= d. Citādi kompleksie skaitļi nav vienāds.

Darbības:

Papildinājums. Komplekso skaitļu summa a+ bi Un c+ di sauc par komplekso skaitli ( a+ c) + (b+ d)i. Tādējādi Saskaitot kompleksos skaitļus, to abscises un ordinātas tiek pievienotas atsevišķi.

Atņemšana. Divu komplekso skaitļu atšķirība a+ bi(samazināts) un c+ di(apakšdaļu) sauc par komplekso skaitli ( a–c) + (b–d)i. Tādējādi Atņemot divus kompleksos skaitļus, to abscises un ordinātas tiek atņemtas atsevišķi.

Reizināšana. Komplekso skaitļu reizinājums a+ bi Un c+ di sauc par komplekso skaitli:

(ac–bd) + (reklāma+ bc)i. Šī definīcija izriet no divām prasībām:

1) cipari a+ bi Un c+ di jāreizina kā algebriskie binomi,

2) numurs i ir galvenais īpašums: i 2 = –1.

PIEMĒRS ( a+ bi)(a–bi)=a 2 + b 2 . Tāpēc strādātno diviem konjugātiem kompleksajiem skaitļiem ir vienāds ar pozitīvu reālo skaitli.

Divīzija. Sadaliet komplekso skaitli a+ bi(dalāms) ar citu c+ di (dalītājs) - nozīmē atrast trešo numuru e+ f i(čats), ko reizinot ar dalītāju c+ di, rada dividendes a+ bi. Ja dalītājs nav nulle, dalīšana vienmēr ir iespējama.

PIEMĒRS Atrast (8+ i) : (2 – 3i) .

Risinājums Pārrakstīsim šo attiecību kā daļu:

Reizinot tā skaitītāju un saucēju ar 2 + 3 i un pēc visu pārveidojumu veikšanas mēs iegūstam:

1. uzdevums: saskaita, atņem, reizina un dala z 1 uz z 2

Kvadrātsaknes izvilkšana: Atrisiniet vienādojumu x 2 = -a. Lai atrisinātu šo vienādojumu mēs esam spiesti izmantot jauna veida numurus - iedomāti skaitļi . Tādējādi iedomāts numurs tiek izsaukts kura otrā pakāpe ir negatīvs skaitlis. Saskaņā ar šo iedomāto skaitļu definīciju mēs varam definēt un iedomāts vienība:

Tad par vienādojumu x 2 = – 25 mēs iegūstam divus iedomāts sakne:

2. uzdevums: Atrisiniet vienādojumu:

1)x 2 = – 36; 2) x 2 = – 49; 3) x 2 = – 121

Komplekso skaitļu ģeometriskais attēlojums. Reālos skaitļus attēlo punkti uz skaitļu līnijas:

Šeit ir runa A nozīmē skaitli –3, punkts B– 2. numurs un O- nulle. Turpretim kompleksos skaitļus attēlo punkti koordinātu plaknē. Šim nolūkam mēs izvēlamies taisnstūra (Dekarta) koordinātas ar vienādām skalām uz abām asīm. Tad kompleksais skaitlis a+ bi tiks attēlots ar punktu P ar abscisuA un ordinētb. Šo koordinātu sistēmu sauc sarežģīta plakne .

Modulis kompleksais skaitlis ir vektora garums OP, kas attēlo kompleksu skaitli uz koordinātas ( visaptverošs) lidmašīna. Kompleksa skaitļa modulis a+ bi apzīmēts | a+ bi| vai) vēstule r un ir vienāds ar:

Konjugētajiem kompleksajiem skaitļiem ir vienāds modulis.

Zīmējuma sastādīšanas noteikumi ir gandrīz tādi paši kā zīmējumam Dekarta koordinātu sistēmā. Gar asīm ir jāiestata izmērs, ņemiet vērā:

e
vienība pa reālo asi; Rez

iedomātā vienība pa iedomāto asi. Esmu z

3. uzdevums. Kompleksajā plaknē konstruējiet šādus kompleksos skaitļus: , , , , , , ,

1. Skaitļi ir precīzi un aptuveni. Praksē sastopamie skaitļi ir divu veidu. Daži norāda daudzuma patieso vērtību, citi tikai aptuvenu. Pirmos sauc par precīziem, otro - aptuvenu. Visbiežāk ir ērti izmantot aptuvenu, nevis precīzu skaitli, jo īpaši tāpēc, ka daudzos gadījumos precīzs skaitlis vispār nav iespējams atrast.

Tātad, ja viņi saka, ka klasē ir 29 skolēni, tad skaitlis 29 ir precīzs. Ja viņi saka, ka attālums no Maskavas līdz Kijevai ir 960 km, tad šeit skaitlis 960 ir aptuvens, jo, no vienas puses, mūsu mērinstrumenti nav absolūti precīzi, no otras puses, pašām pilsētām ir zināms apjoms.

Darbību rezultāts ar aptuveniem skaitļiem arī ir aptuvens skaitlis. Veicot dažas darbības ar precīziem skaitļiem (dalīšana, sakņu ekstrakcija), var iegūt arī aptuvenus skaitļus.

Aptuveno aprēķinu teorija ļauj:

1) zinot datu precizitātes pakāpi, novērtēt rezultātu precizitātes pakāpi;

2) ņemt datus ar atbilstošu precizitātes pakāpi, kas ir pietiekama, lai nodrošinātu nepieciešamo rezultāta precizitāti;

3) racionalizēt aprēķinu procesu, atbrīvojot to no tiem aprēķiniem, kas neietekmēs rezultāta precizitāti.

2. Noapaļošana. Viens no aptuveno skaitļu iegūšanas avotiem ir noapaļošana. Gan aptuvenie, gan precīzie skaitļi ir noapaļoti.

Dotā skaitļa noapaļošanu līdz noteiktam ciparam sauc par tā aizstāšanu ar jaunu, ko iegūst no dotā, atmetot visus tā ciparus, kas rakstīti pa labi no šī cipara cipara, vai aizstājot tos ar nullēm. Šīs nulles parasti ir pasvītrotas vai rakstītas mazākas. Lai nodrošinātu, ka noapaļotais skaitlis ir pēc iespējas tuvāks noapaļotajam, izmantojiet šādus noteikumus: lai noapaļotu skaitli līdz vienam no noteikta cipara, jums ir jāatmet visi cipari pēc šī cipara cipara un jāaizstāj tos ar nullēm veselā skaitā. Tiek ņemts vērā:

1) ja pirmais (kreisajā pusē) no izmestajiem cipariem ir mazāks par 5, tad pēdējais atlikušais cipars netiek mainīts (noapaļots uz leju);

2) ja pirmais izmetamais cipars ir lielāks par 5 vai vienāds ar 5, tad pēdējais atlikušais cipars tiek palielināts par vienu (noapaļojot ar pārpalikumu).

Parādīsim to ar piemēriem. Kārta:

a) līdz desmitdaļām 12,34;

b) līdz simtdaļām 3,2465; 1038,785;

c) līdz tūkstošdaļām 3,4335.

d) līdz tūkstoš 12375; 320729.

a) 12,34 ≈ 12,3;

b) 3,2465 ≈ 3,25; 1038,785 ≈ 1038,79;

c) 3,4335 ≈ 3,434.

d) 12375 ≈ 12 000; 320729 ≈ 321000.

3. Absolūtās un relatīvās kļūdas. Atšķirību starp precīzu skaitli un tā aptuveno vērtību sauc par aptuvenā skaitļa absolūto kļūdu. Piemēram, ja precīzu skaitli 1,214 noapaļo līdz tuvākajai desmitdaļai, mēs iegūstam aptuvenu skaitli 1,2. Šajā gadījumā absolūta kļūda aptuvenais skaitlis 1,2 ir vienāds ar 1,214 - 1,2, t.i. 0,014.

Bet vairumā gadījumu precīza vērtība apskatāmais daudzums nav zināms, bet tikai aptuvens. Tad absolūtā kļūda nav zināma. Šajos gadījumos norādiet robežu, kuru tas nepārsniedz. Šo skaitli sauc par ierobežojošo absolūto kļūdu. Viņi saka, ka skaitļa precīzā vērtība ir vienāda ar tā aptuveno vērtību ar kļūdu, kas ir mazāka par robežkļūdu. Piemēram, skaitlis 23,71 ir aptuvenā skaitļa 23,7125 vērtība ar precizitāti 0,01, jo tuvinājuma absolūtā kļūda ir 0,0025 un mazāka par 0,01. Šeit ierobežojošā absolūtā kļūda ir 0,01 *.

Aptuvenā skaitļa robežas absolūtā kļūda A apzīmē ar simbolu Δ a. Ieraksts

x≈a(±Δ a)

jāsaprot šādi: precīza daudzuma vērtība x atrodas starp cipariem A– Δ a Un A+ Δ A, kuras attiecīgi sauc par apakšējo un augšējo robežu X un apzīmē NG x VG X.

Piemēram, ja x≈ 2,3 (±0,1), tad 2,2<x< 2,4.

Un otrādi, ja 7.3< X< 7,4, тоX≈ 7,35 (±0,05). Absolūtā vai robežabsolūtā kļūda neraksturo veiktā mērījuma kvalitāti. To pašu absolūto kļūdu var uzskatīt par nozīmīgu un nenozīmīgu atkarībā no skaitļa, ar kuru izmērītā vērtība tiek izteikta. Piemēram, ja mēs izmērām attālumu starp divām pilsētām ar viena kilometra precizitāti, tad šāda precizitāte ir diezgan pietiekama šīm izmaiņām, bet tajā pašā laikā, mērot attālumu starp divām mājām uz vienas ielas, šāda precizitāte būs nepieņemami. Līdz ar to daudzuma aptuvenās vērtības precizitāte ir atkarīga ne tikai no absolūtās kļūdas lieluma, bet arī no izmērītā daudzuma vērtības. Tāpēc relatīvā kļūda ir precizitātes mērs.

Relatīvā kļūda ir absolūtās kļūdas attiecība pret aptuvenā skaitļa vērtību. Ierobežojošās absolūtās kļūdas attiecību pret aptuveno skaitli sauc par ierobežojošo relatīvo kļūdu; viņi to apzīmē šādi: . Relatīvās un marginālās relatīvās kļūdas parasti izsaka procentos. Piemēram, ja mērījumi parādīja, ka attālums X starp diviem punktiem ir lielāks par 12,3 km, bet mazāks par 12,7 km, tad par tā aptuveno vērtību tiek ņemts šo divu skaitļu vidējais aritmētiskais, t.i. to pussumma, tad absolūtā robežkļūda ir vienāda ar šo skaitļu pusstarpību. Šajā gadījumā X≈ 12,5 (±0,2). Šeit ierobežojošā absolūtā kļūda ir 0,2 km, un ierobežojošā relatīvā kļūda

Vecāki skolēni un matemātikas studenti droši vien viegli atbildēs uz šo jautājumu. Bet tiem, kas pēc profesijas ir tālu no tā, būs grūtāk. Kas tas īsti ir?

Būtība un apzīmējums

Racionālie skaitļi nozīmē tos, kurus var attēlot kā parastu daļskaitli. Šajā komplektā ir iekļauti arī pozitīvie, negatīvie un nulle. Daļas skaitītājam ir jābūt veselam skaitlim, un saucējam ir jābūt

Šo kopu matemātikā apzīmē kā Q un sauc par “racionālo skaitļu lauku”. Tas ietver visus veselus skaitļus un naturālos skaitļus, kas apzīmēti attiecīgi kā Z un N. Pati kopa Q ir iekļauta kopā R. Tieši šis burts apzīmē tā saukto reālo vai

Performance

Kā jau minēts, racionālie skaitļi ir kopa, kas ietver visas veselo skaitļu un daļskaitļu vērtības. Tie var būt dažādās formās. Pirmkārt, parastas daļskaitļa veidā: 5/7, 1/5, 11/15 utt. Protams, veselus skaitļus var rakstīt arī līdzīgā formā: 6/2, 15/5, 0/1, - 10/2 utt. Otrkārt, cita veida attēlojums ir decimāldaļdaļa ar beigu daļu: 0,01, -15,001006 utt. Šī, iespējams, ir viena no visizplatītākajām formām.

Bet ir arī trešā - periodiskā daļa. Šis veids nav ļoti izplatīts, bet joprojām tiek izmantots. Piemēram, daļu 10/3 var uzrakstīt kā 3,33333... vai 3,(3). Šajā gadījumā dažādi attēlojumi tiks uzskatīti par līdzīgiem skaitļiem. Daļas, kas ir vienādas viena ar otru, tiks sauktas arī par vienādām, piemēram, 3/5 un 6/10. Šķiet, ir kļuvis skaidrs, kas ir racionālie skaitļi. Bet kāpēc šis termins tiek lietots, lai tos apzīmētu?

Nosaukuma izcelsme

Vārdam “racionāls” mūsdienu krievu valodā parasti ir nedaudz atšķirīga nozīme. Tas vairāk atgādina "saprātīgu", "pārdomātu". Bet matemātiskie termini ir tuvi šī vārda tiešajai nozīmei. Latīņu valodā "attiecība" ir "attiecība", "daļdaļa" vai "dalījums". Tādējādi nosaukums atspoguļo racionālo skaitļu būtību. Tomēr otrā nozīme

nav tālu no patiesības.

Darbības ar viņiem

Risinot matemātikas uzdevumus, mēs pastāvīgi saskaramies ar racionāliem skaitļiem, paši to nezinot. Un tiem ir vairākas interesantas īpašības. Tie visi izriet vai nu no kopas definīcijas, vai no darbībām.

Pirmkārt, racionālajiem skaitļiem ir secības attiecības īpašība. Tas nozīmē, ka starp diviem skaitļiem var būt tikai viena saistība – tie ir vai nu vienādi viens ar otru, vai arī viens ir lielāks vai mazāks par otru. Tas ir:

vai a = b ; vai a > b, vai a< b.

Turklāt no šīs īpašības izriet arī attiecības tranzitivitāte. Tas ir, ja a vairāk b, b vairāk c, Tas a vairāk c. Matemātiskajā valodā tas izskatās šādi:

(a > b) ^ (b > c) => (a > c).

Otrkārt, ir aritmētiskās darbības ar racionāliem skaitļiem, tas ir, saskaitīšanu, atņemšanu, dalīšanu un, protams, reizināšanu. Tajā pašā laikā transformāciju procesā var identificēt arī vairākas īpašības.

• a + b = b + a (terminu vietu maiņa, komutativitāte);
• 0 + a = a + 0;
• (a + b) + c = a + (b + c) (asociativitāte);
• a + (-a) = 0;
• ab = ba;
• (ab)c = a(bc) (izplatība);
• a x 1 = 1 x a = a;
• a x (1 / a) = 1 (šajā gadījumā a nav vienāds ar 0);
• (a + b)c = ac + ab;
• (a > b) ^ (c > 0) => (ac > bc).

Kad mēs runājam par par parastiem skaitļiem, nevis veseliem skaitļiem, darbības ar tiem var radīt zināmas grūtības. Tādējādi saskaitīšana un atņemšana iespējama tikai tad, ja saucēji ir vienādi. Ja tie sākotnēji atšķiras, jums vajadzētu atrast kopējo, reizinot visu daļu ar noteiktiem skaitļiem. Arī salīdzināšana visbiežāk ir iespējama tikai tad, ja ir izpildīts šis nosacījums.

Dalīšana un reizināšana parastās frakcijas tiek ražoti atbilstoši pietiekamam vienkārši noteikumi. Samazinājums līdz kopsaucējam nav nepieciešams. Skaitītāji un saucēji tiek reizināti atsevišķi, un darbības veikšanas procesā, ja iespējams, daļskaitlis ir pēc iespējas jāsamazina un jāvienkāršo.

Kas attiecas uz sadalīšanu, šī darbība ir līdzīga pirmajai ar nelielu atšķirību. Otrajai daļai jums vajadzētu atrast apgriezto, tas ir

"apgrieziet" to otrādi. Tādējādi pirmās daļas skaitītājs būs jāreizina ar otrās daļas saucēju un otrādi.

Visbeidzot, vēl viena racionālajiem skaitļiem raksturīga īpašība tiek saukta par Arhimēda aksiomu. Literatūrā bieži sastopams arī nosaukums “princips”. Tas ir derīgs visai reālo skaitļu kopai, bet ne visur. Tādējādi šis princips neattiecas uz dažām racionālo funkciju kopām. Būtībā šī aksioma nozīmē, ka, ņemot vērā divu lielumu a un b esamību, jūs vienmēr varat ņemt pietiekami daudz a, lai pārsniegtu b.

Piemērošanas joma

Tātad tiem, kas ir iemācījušies vai atcerējušies, kas ir racionālie skaitļi, kļūst skaidrs, ka tos izmanto visur: grāmatvedībā, ekonomikā, statistikā, fizikā, ķīmijā un citās zinātnēs. Dabiski, ka viņiem ir vieta arī matemātikā. Ne vienmēr zinot, ka mums ar tiem ir darīšana, mēs pastāvīgi lietojam racionālus skaitļus. Ar tiem saskaras pat mazi bērni, mācoties skaitīt priekšmetus, sagriežot ābolu gabalos vai veicot citas vienkāršas darbības. Viņi burtiski mūs ieskauj. Un tomēr ar tiem nepietiek, lai konkrēti atrisinātu dažas problēmas, izmantojot Pitagora teorēmu kā piemēru, var saprast jēdziena ieviešanas nepieciešamību