Quale proiezione è chiamata parallela. Proiezione: proiezione su un piano di proiezione

Le immagini nel disegno vengono eseguite secondo le regole della proiezione. Per proiezione è il processo per ottenere un'immagine di un oggetto su un piano: carta, schermo, lavagna, ecc. L'immagine risultante è chiamata proiezione .

« Proiezione" è una parola latina. Tradotto in russo significa “ lanciare (lanciare) in avanti».

Le regole per costruire immagini in un disegno si basano sul metodo di proiezione. Metodo di proiezione - mappare una figura geometrica su un piano proiettandone i punti (della figura).

Per costruire un'immagine di un oggetto utilizzando il metodo di proiezione, è necessario disegnare raggi immaginari attraverso i punti dell'oggetto (ad esempio, attraverso i suoi vertici) fino a quando non incontrano il piano. Si chiamano raggi che proiettano un oggetto su un piano proiettando .

Viene chiamato il piano su cui si ottiene l'immagine di un oggetto piano di proiezione .

Riso. 1. Concetti di proiezione.

I metodi di rappresentazione degli oggetti differiscono l'uno dall'altro, sia nei metodi di proiezione che nelle condizioni della loro costruzione. Alcuni metodi forniscono un'immagine più visiva e sono facili da costruire, mentre altri sono meno visivi, ma più facili da costruire.

Per scoprire qual è il metodo di proiezione, diamo un'occhiata agli esempi.

Posizioniamo un oggetto davanti alla lampadina. L'ombra ricevuta sul muro può essere confusa con la proiezione di un oggetto. Posiziona un oggetto piatto sulla carta e traccialo con una matita. Riceverai un'immagine corrispondente alla proiezione di questo oggetto.

Diamo un'occhiata al processo per ottenere le proiezioni delle figure geometriche che le compongono segnali stradali(Fig. 2, 5, 8). Per costruire immagini di queste figure geometriche è stato utilizzato il metodo della proiezione.

Nella Figura 2, b, la proiezione del punto UN ci sarà un punto UN, cioè. punto di intersezione del raggio di proiezione Oh con il piano di proiezione. Proiezione di un punto IN ci sarà un punto B ecc. Se ora colleghiamo questi punti sul piano con linee rette, otterremo una proiezione della figura raffigurata, ad esempio un triangolo.

Riso. 2 . Proiezione centrale

Nelle immagini i punti sono in natura, cioè punti su un oggetto, indicheremo con grande ( nelle maiuscole) lettere dell'alfabeto latino. Proiezioni di questi punti sul piano sono indicati con gli stessi, ma piccoli ( minuscolo) lettere.

L'esempio considerato di costruzione di immagini costituisce l'essenza metodo di proiezione.

Se i raggi proiettanti, con l'aiuto dei quali viene costruita l'immagine di un oggetto, divergono da un punto, si chiama proiezione centrale (Fig. 2). Il punto da cui emergono i raggi ( DI), chiamato centro di proiezione. Viene chiamata l'immagine risultante dell'oggetto proiezione centrale .

Riso. 3. Proiezione centrale sul piano.

L'entità della proiezione dipende dalla posizione dell'oggetto rispetto al piano dell'immagine, nonché dalla sua distanza da questo piano e dal centro di proiezione. Nella fig. 3 e l'oggetto viene localizzato tra centro DI E piano dell'immagine A e quindi la sua immagine viene ingrandita. Se l'oggetto è inserito dietro l'aereo A(Fig. 3, b), l'immagine verrà ridotta.

Vengono spesso chiamate proiezioni centrali prospettiva. Le linee reciprocamente parallele di un oggetto, non parallele al piano dell'immagine, vengono proiettate come un gruppo di linee convergenti in un punto (Fig. 4).

Riso. 4. Prospettiva

Proiezioni di ciascun gruppo linee parallele hanno il loro punto di fuga O1 E O2. I punti di fuga delle proiezioni di tutti i gruppi di linee parallele si trovano su una linea retta, chiamata linea dell'orizzonte. L'oggetto mostrato in Fig. 4, è posizionato rispetto al piano dell'immagine in modo che nessuna delle sue facce sia parallela a questo piano. Questa proiezione centrale si chiama prospettiva angolare.

L'immagine prodotta dalla proiezione centrale è simile ad una fotografia in quanto appare approssimativamente come la vede l'occhio umano. Anche esempi di proiezione centrale sono i fotogrammi di un film, ombre proiettate da un oggetto mediante raggi lampadina, ecc. Il metodo di proiezione centrale è utilizzato in architettura, edilizia e nel disegno accademico - disegno dalla vita.

Se i raggi sporgenti sono paralleli l'un l'altro, quindi viene chiamata la proiezione parallelo e l'immagine risultante è proiezione parallela . Un esempio di proiezione parallela sono le ombre solari (Fig. 5, 8).

Fig.5. Proiezione parallela

Nella proiezione parallela tutti i raggi cadono sul piano di proiezione con lo stesso angolo.

Se l'angolo è diverso da quello retto si dice proiezione obliquo (Fig. 6). In una proiezione obliqua, come in quella centrale, la forma e le dimensioni dell'oggetto risultano distorte. Tuttavia, costruire un oggetto in una proiezione obliqua parallela è più semplice che in una centrale.

Fig.6. Proiezione obliqua parallela su piani.

Nel disegno tecnico, tali proiezioni vengono utilizzate per costruire immagini visive(Fig. 7).

Riso. 7. Il processo di insegnamento con un'immagine visiva.

Nel caso in cui i raggi proiettanti sono perpendicolari al piano di proiezione (Fig. 8), ad es. formare con esso un angolo di 90°. si chiama proiezione rettangolare . L'immagine risultante viene chiamata proiezione rettangolare di un oggetto.

Fig. 8. Proiezione rettangolare parallela.

Il disegno di proiezione ha Grande importanza per lo sviluppo della comprensione spaziale, senza la quale è impossibile leggere consapevolmente i disegni, tanto meno realizzarli (Figura 9).

Vengono anche chiamate proiezioni rettangolari ortogonale . Parola " ortogonale"deriva da parole greche" orto" - dritto e " Gonia" - angolo.

Fig.9. Proiezione rettangolare parallela su un piano

Il metodo di proiezione rettangolare è principale nel disegno. Viene utilizzato per costruire immagini su disegni e immagini visive di oggetti, poiché sono abbastanza visive e più facili da eseguire rispetto a quelle centrali.

I disegni nel sistema di proiezioni rettangolari forniscono informazioni abbastanza complete sulla forma e le dimensioni dell'oggetto, poiché l'oggetto è rappresentato da più lati.

Per rappresentare oggetti su un piano, utilizza la "geometria descrittiva". metodo di proiezione. Consiste nel fatto che un certo raggio caratterizza la direzione di una linea retta (essa stessa è infinita nello spazio).

Riso. 4

A seconda della posizione delle linee rette rispetto ai piani di proiezione, si distinguono le linee rette generale E situazione privata.

Le linee generali non sono né parallele né perpendicolari a nessuno dei piani di proiezione (Fig. 4). I quozienti diretti sono suddivisi in livello dritto E proiettando. I primi sono paralleli ad uno dei piani di proiezione, i secondi sono perpendicolari ad uno di essi, da qui i loro nomi. Orizzontale- retta parallela al piano di proiezione orizzontale (retta a livello orizzontale) . Frontale- retta parallela al piano frontale (retta a livello frontale). Finalmente, profilo dritto parallelo al terzo piano di proiezione. Nel disegno, queste linee rette appaiono come mostrato in Fig. 5 (h 2 - proiezione frontale dell'orizzontale; h 1 - proiezione orizzontale dell'orizzontale; f 2 - proiezione frontale del fronte; f 1 - proiezione orizzontale del fronte; p 1, p 2 - proiezioni corrispondenti della linea del profilo ).

Riso. 5

Perché la linea proiettante è perpendicolare a uno qualsiasi dei piani di proiezione, la sua proiezione su questo piano degenera in un punto e si chiama principale. Sono presenti linee rette frontali (Fig. 6 a), orizzontali (Fig. 6 b) e sporgenti del profilo (Fig. 6 c).

Riso. 6

Si noti che anche le linee sporgenti sono linee di livello. Pertanto, la retta sporgente frontalmente è sia orizzontale che di profilo, poiché è parallela sia al piano orizzontale che al piano di profilo delle proiezioni. Per lo stesso motivo una linea che sporge orizzontalmente è sia frontale che di profilo, e una linea che sporge di profilo è sia orizzontale che frontale. Quindi, le linee rette sporgenti sono contemporaneamente linee rette a doppio livello.

Nello spazio le linee possono intersecarsi, incrociarsi o essere parallele. Disegni complessi di tali casi di posizione delle linee rette sono presentati in Fig. 7.

Riso. 7

Le linee curve sono spesso definite dalle loro proiezioni (Fig. 8).

Riso. 8

Di grande interesse è l'immagine di cerchi situati su piani paralleli a uno dei piani di proiezione. Nella fig. La Figura 9 mostra disegni complessi a due proiezioni di cerchi, i cui piani sono paralleli ai piani di proiezione frontale (Fig. 9 a), orizzontale (Fig. 9 b) e profilo (Fig. 9 c).

Indietro avanti

Attenzione! Le anteprime delle diapositive sono solo a scopo informativo e potrebbero non rappresentare tutte le funzionalità della presentazione. Se siete interessati questo lavoro, scarica la versione completa.

Obiettivi:

• fornire agli studenti il ​​concetto di proiezione, tipologie di proiezione;
• introdurre gli elementi della proiezione rettangolare;
• insegnare a proiettare un oggetto su un piano di proiezione;
• sviluppare la comprensione spaziale e il pensiero spaziale;
• coltivare l'accuratezza nelle rappresentazioni grafiche.

Metodi: conversazione, spiegazione, esercizi.

Attrezzatura: libro di testo, presentazione didattica "Proiezione", strumenti di disegno, cartella di lavoro su base stampata per il libro di testo "Il disegno" di A.D. Botvinnikov, autore V.I. Vysnepolskij.

Tipo di lezione: imparare nuovo materiale.

Struttura della lezione:

1. Momento organizzativo: messaggio dell'argomento /scriverlo su un quaderno in caratteri di disegno/, scopi, obiettivi della lezione e motivazione per le attività di apprendimento, raccolta del lavoro completato compiti a casa nei quaderni di esercizi stampati – 3-5 minuti.
2. Ripetizione di quanto appreso: completamento del test su base stampata (Compito 2, 10 opzioni, "Disegnare le carte delle attività" a cura di V.V. Stepakova. Illuminismo) – 5-7 minuti.
3. Nuovo materiale- 20 minuti.
4. Consolidamento: esecuzione di un esercizio orale – 10 minuti.
5. Parte finale: riassumere, valutare chi ha lavorato bene, assegnare i compiti - 3-5 minuti.

DURANTE LE LEZIONI

1. Momento organizzativo

Comunicare l'argomento, lo scopo, gli obiettivi della lezione, raccogliere i compiti completati in quaderni stampati.

2. Ripetizione di quanto trattato

Insegnante: avete delle carte di prova sui vostri tavoli. (Compito 2, 10 opzioni, "Carte-compiti per disegnare" a cura di V.V. Stepakova, ed. Istruzione - stampare carte in base al numero di studenti).
Ti chiederò di rispondere alle domande entro 5 minuti. E passa le carte al primo banco.
L'argomento della lezione di oggi è "Proiezione. Proiezione su un piano di proiezione". Annotalo sul tuo taccuino in formato progetto (l'argomento viene visualizzato alla lavagna, scritto nella presentazione in formato progetto). (Diapositiva 1)

3. Nuovo materiale

L'immagine degli oggetti nei disegni è ottenuta mediante proiezione. (Diapositiva 2) La proiezione è il processo di costruzione dell'immagine di un oggetto su un piano. L'immagine risultante è chiamata proiezione dell'oggetto. La parola proiezione deriva dal latino proiezione: lanciare in avanti. In questo caso guardiamo (gettiamo uno sguardo) e mostriamo ciò che vediamo sul piano del foglio.
Come vengono effettuate le proiezioni? Considera questo esempio. Prendiamo un punto arbitrario A e un piano H nello spazio (Diapositiva 3). Tracciamo una linea retta passante per il punto A in modo che intersechi il piano H in un punto a. Allora il punto a sarà la proiezione del punto A. Il piano su cui si ottiene la proiezione si chiama piano di proiezione. La retta Aa si chiama raggio proiettante. Con il suo aiuto, il punto A viene proiettato sul piano H. Utilizzando questo metodo, è possibile costruire proiezioni di tutti i punti di qualsiasi figura spaziale.
Di conseguenza, per costruire una proiezione di una figura su un piano, è necessario tracciare raggi immaginari proiettanti attraverso i punti di questa figura finché non si intersecano con il piano. Le proiezioni di tutti i punti di una figura formano la proiezione di una data figura. In futuro, indicheremo i punti presi su un oggetto con lettere maiuscole e le loro proiezioni con lettere minuscole.
Ora scriviamo quelle che chiamiamo proiezioni. (Diapositiva 4)

• La proiezione è il processo di costruzione di una proiezione di un oggetto.
• Piano di proiezione – il piano su cui si ottiene la proiezione.
• Il raggio proiettante è una linea retta con l'aiuto della quale viene costruita la proiezione di vertici, facce e bordi.

A seconda della posizione relativa dei raggi proiettanti nello spazio, ci sono centrale E parallelo proiezione ( Diapositiva 5). La proiezione parallela è divisa in due tipi: rettangolare e obliqua.

Consideriamo la proiezione centrale (Diapositiva 6). Scriviamo la definizione:

• Se i raggi proiettati provengono da un punto, tale proiezione è chiamata centrale.
• Il punto da cui emerge la proiezione è il centro di proiezione.

Insegnante: (Risposte degli studenti)

Esempio: fotografie e fotogrammi di film, ombre proiettate da un oggetto dai raggi di una lampadina elettrica.
Caratteristica: la proiezione è più grande della figura originale.

Insegnante: Facciamo conoscenza con la proiezione parallela (Diapositiva 7).
Scriviamo la definizione:

• Se i raggi proiettati sono paralleli tra loro, tale proiezione è detta parallela.

Insegnante: Prova a fornire tu stesso esempi di questo tipo di proiezione. (Risposte degli studenti)

Insegnante: Un esempio di proiezione parallela può essere considerata l'ombra degli oggetti del sole, nonché i flussi di pioggia.
La proiezione parallela, come abbiamo già detto, può essere rettangolare e obliqua (Diapositiva 8).
Consideriamo come con questi tipi di proiezione si ottengono le proiezioni su un piano e scriviamo la definizione:

• Proiezione obliqua: i raggi proiettanti sono paralleli e cadono sul piano di proiezione ad angolo acuto.
• Proiezione rettangolare: i raggi proiettanti sono paralleli e cadono sul piano di proiezione con un angolo di 90 gradi.

Conclusione: Nella scienza, nella tecnologia e nella produzione vengono utilizzate proiezioni parallele, poiché sono piuttosto visive.
Le basi teoriche del metodo di proiezione rettangolare furono sviluppate alla fine del XVIII secolo dallo scienziato francese Gaspard Monge.

Proiezione su un piano di proiezione

Consideriamo la questione di ottenere una proiezione rettangolare di un oggetto, ad es. proiettare un oggetto su un piano di proiezione (Diapositiva 9).
Scegliamo un piano verticale di proiezioni e denotiamolo con la lettera V. Tale piano situato di fronte al pubblico è chiamato frontale (dalla parola francese frontale, che significa rivolto verso lo spettatore). Posizioniamo l'oggetto davanti al piano in modo che il suo bordo sia parallelo al piano frontale delle proiezioni, perché quindi, con la proiezione rettangolare, le dimensioni della larghezza e dell'altezza dell'oggetto non cambieranno e gli angoli tra le linee rette non saranno distorti. Di conseguenza, sul piano frontale delle proiezioni abbiamo ricevuto una proiezione frontale dell'oggetto.
Scriviamo la definizione:

• Il piano situato davanti allo spettatore è chiamato frontale ed è indicato dalla lettera V.
• L'oggetto viene posizionato davanti al piano in modo che le sue due superfici siano parallele a questo piano e proiettate senza distorsioni.

Riepilogo: Sulla base della proiezione risultante, possiamo giudicare solo due dimensioni dell'oggetto: altezza e lunghezza e diametro del foro.
Qual è lo spessore dell'oggetto? (Domanda agli studenti).
Utilizzando la proiezione risultante, non possiamo dirlo. Per giudicare la forma del pezzo da tale disegno, a volte viene integrato con l'indicazione dello spessore (S). (Diapositiva 10).

4. Fissare il materiale

Diamo un'occhiata alle immagini nella diapositiva. (Diapositiva 11).
Dimmi, che tipo di "proiezione" hanno dato i getti d'acqua in ciascun caso?

• Centrale
• Rettangolare parallelo

Insegnante: Abbiamo trattato tutto il materiale della lezione, controlliamo noi stessi per vedere come lo abbiamo padroneggiato.
(Diapositiva 12). Nella diapositiva vedi una tabella in cui vengono forniti nuovi concetti. Il tuo compito è distribuire correttamente i concetti e le loro definizioni.
Controlliamo le tue risposte (cliccando con il mouse sulla diapositiva, nelle celle compaiono le risposte corrette).

NO.	Nuovi concetti	Definizione
1	Proiezione.	Immagine su un aereo.
2	Piano di proiezione.	Il piano su cui si ottiene la proiezione.
3	Fascio di proiezione.	Una linea retta con la quale un oggetto viene proiettato su un piano.
4	Proiezione centrale.	Proiezione in cui i raggi proiettanti emergono da un unico punto.
5	Proiezione parallela.	Proiezione in cui i raggi proiettanti sono paralleli tra loro.
6	Proiezione rettangolare.	Proiezione in cui i raggi proiettanti cadono sul piano di proiezione ad angolo retto.
7	Proiezione obliqua.	Proiezione in cui i raggi proiettanti non cadono ad angolo retto sul piano di proiezione.
Fascio di proiezione, proiezione centrale, proiezione, proiezione obliqua, proiezione piana, proiezione parallela, proiezione rettangolare.

5. Parte finale(1 minuto.)

Insegnante: Abbiamo raggiunto i nostri scopi e obiettivi. (Valutazione di chi ha lavorato bene) Scrivi i tuoi compiti. (Diapositiva 13)

6. Compiti a casa: pagine del libro di testo 32-37.

Insegnante: La lezione è finita, grazie, arrivederci.

La proiezione del punto A sul piano di proiezione π 1 è il punto A 1 di intersezione della linea di proiezione con il piano di proiezione π 1 passando per il punto A (Fig. 1.1):

La proiezione di qualsiasi figura geometrica è l'insieme delle proiezioni di tutti i suoi punti. La direzione delle rette proiettanti e la posizione dei piani π 1 determinano l'apparato di proiezione.

La proiezione centrale è una proiezione in cui tutti i raggi proiettanti provengono da un punto S, il centro della proiezione (Fig. 1.2).

La proiezione parallela è una proiezione in cui tutte le linee proiettanti sono parallele a una determinata direzione S (Fig. 1.3).

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Riso. 1.1. Proiezione del punto A sul piano di proiezione π 1

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Riso. 1.2. Esempio di proiezione centrale

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Riso. 1.3. Esempio di proiezione parallela

La proiezione parallela lo è caso speciale proiezione centrale, quando il punto S si trova a una distanza infinitamente grande dal piano di proiezione π 1.

Con un dato apparato di proiezione, ogni punto nello spazio corrisponde ad uno ed un solo punto sul piano di proiezione.

Una proiezione di un punto non determina la posizione di questo punto nello spazio. Infatti, la proiezione A 1 può corrispondere ad un numero infinito di punti A ’, A ’’, ... situati sulla linea di proiezione (Fig. 1.4).

Per determinare la posizione di un punto nello spazio con un qualsiasi apparecchio di proiezione, è necessario disporre di due sue proiezioni, ottenute con due direzioni di proiezione diverse (o con due centri di proiezione diversi).

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Riso. 1.4. Un esempio della posizione di un insieme di punti su una linea proiettante

Quindi, dalla Fig. 1.5 è chiaro che due proiezioni del punto A (A 1 e A 2), ottenute con due direzioni di proiezione S 1 e S 2, determinano univocamente la posizione del punto A stesso nello spazio - come intersezione delle linee proiettanti 1 e 2 tracciato dalle proiezioni A 1 e A 2 parallele alle direzioni di proiezione S 1 e S 2 .

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Riso. 1.5. Determinazione della posizione del punto A nello spazio

Portiamo alla vostra attenzione le riviste pubblicate dalla casa editrice "Accademia delle Scienze Naturali"

1. Proiezione centrale(Fig. 1.1). Si ritiene che la proiezione venga effettuata utilizzando raggi rettilinei provenienti da un punto nello spazio - centro di proiezione.

Tale proiezione è irreversibile: un punto nello spazio determina la posizione della sua proiezione, mentre la proiezione di un punto non determina la posizione di questo punto nello spazio, poiché la proiezione può appartenere contemporaneamente a più punti situati sul raggio proiettante.

2. Proiezione parallela. La proiezione viene effettuata utilizzando raggi paralleli. Ciò implica che il piano di proiezione può formare qualsiasi angolo con i raggi proiettanti. Anche questo tipo di proiezione è irreversibile.

3. Proiezione rettangolare. Questo metodo è un caso speciale di proiezione parallela, quando i raggi proiettanti sono perpendicolari al piano di proiezione. Questo tipo di proiezione viene adottato nell'ingegneria meccanica per costruire immagini su un disegno. Tuttavia, l’irreversibilità della proiezione rimane.

1.5. Proprietà della proiezione ortografica

1. Qualsiasi punto nello spazio ha un'unica proiezione su un dato piano.

2. La proiezione di una linea retta su un piano è una linea retta.

3. Se un certo punto appartiene a una certa linea, allora anche la proiezione di un dato punto appartiene alla proiezione di una data linea.

4. Se un punto nello spazio divide un segmento in a questo proposito, allora la proiezione di questo punto divide la proiezione di un dato segmento nello stesso rapporto.

5. Le proiezioni di rette parallele sono parallele.

6. Quando si trasferiscono i piani di proiezione (o una figura) in parallelo, la proiezione della figura non cambia.

7. Il punto di intersezione delle proiezioni delle linee che si intersecano è la proiezione del punto di intersezione di queste linee.

8. Se almeno una delle parti angolo retto parallelamente a un dato piano di proiezioni, viene proiettato su questo piano senza distorsioni.

9. La lunghezza di un segmento, in generale, è maggiore della lunghezza della sua proiezione.

10.Se il piano di un cerchio non è parallelo al piano delle proiezioni, la proiezione di questo cerchio è un'ellisse.

11. Una figura geometrica si dice proiettante se una delle sue proiezioni ha una dimensione inferiore a una. Ad esempio, su di esso viene proiettata una linea retta perpendicolare al piano di proiezione sotto forma di punto (Fig. 1.2).

1.6. Tipi di attività grafiche

Tutte le attività grafiche incontrate durante la costruzione e la lettura delle immagini possono essere suddivise nei seguenti gruppi.

P.Z - compiti posizionali, che sono associati alla determinazione dal disegno della posizione relativa delle forme geometriche e dei loro elementi (punti e linee):

PZ.1- un tipo di compiti posizionali associati alla determinazione da un disegno dell'ordine della posizione relativa degli oggetti di proiezione: a sinistra, a destra, più lontano, più vicino, più in alto, più in basso.

PZ.2 - attività relative alla determinazione dell'accessorio da un disegno forme geometriche i loro elementi: punti O linee.

PZ.3 - compiti relativi alla determinazione da un disegno dei risultati dell'intersezione reciproca di forme geometriche. Questi compiti sono chiamati: principali compiti posizionali (GPZ).

MOH - problemi metrici, che sono associati alla determinazione delle caratteristiche dimensionali degli oggetti proiettati dal disegno (lunghezza, distanze, angoli, aree).

Tutta la diversità MOH viene risolto utilizzando due problemi fondamentali chiamati compiti metrici di base (OMZ):

OMZ.1-attività per determinare la lunghezza di un segmento da un disegno.

OMZ.2-compiti per determinare da un disegno la perpendicolarità delle linee rette tra loro.

KomZ - compiti complessi, contenente diversi compiti, sia posizionali che metrici.

KonZ - compiti costruttivi, che sono associati alla costruzione di un disegno di figure geometriche e dei loro elementi che soddisfano determinate condizioni di progettazione specificate (ad esempio, per costruire un disegno di una superficie, tutti i cui punti sarebbero equidistanti da una determinata linea retta).