In matematica si conoscono diversi tipi di quadrilateri: quadrato, rettangolo, rombo, parallelogramma. Tra questi c'è un trapezio, un tipo di quadrilatero convesso in cui due lati sono paralleli e gli altri due no. I lati paralleli opposti si chiamano basi, mentre gli altri due si chiamano lati laterali del trapezio. Il segmento che collega i punti medi dei lati si chiama linea mediana. Esistono diversi tipi di trapezi: isosceli, rettangolari, curvilinei. Per ogni tipo di trapezio esistono formule per trovare l'area.

Area del trapezio

Per trovare l'area di un trapezio, devi conoscere la lunghezza delle sue basi e l'altezza. L'altezza di un trapezio è un segmento perpendicolare alle basi. Sia a la base superiore, b la base inferiore e h l'altezza. Quindi puoi calcolare l'area S utilizzando la formula:

S = ½ * (a+b) * h

quelli. prendi la metà della somma delle basi moltiplicata per l'altezza.

Sarà anche possibile calcolare l'area del trapezio se si conoscono l'altezza e la linea centrale. Indichiamo la linea di mezzo - m. Poi

Risolviamo un problema più complicato: le lunghezze dei quattro lati del trapezio sono note: a, b, c, d. Quindi l'area verrà trovata utilizzando la formula:

Se si conoscono le lunghezze delle diagonali e l'angolo tra di esse, la ricerca nell'area viene effettuata come segue:

S = ½ * d1 * d2 * sin α

dove d con indici 1 e 2 sono diagonali. In questa formula, nel calcolo viene indicato il seno dell'angolo.

Date le lunghezze note delle basi a e b e due angoli alla base inferiore, l'area si calcola come segue:

S = ½ * (b2 - a2) * (sin α * sin β / sin(α + β))

Area di un trapezio isoscele

Un trapezio isoscele è caso speciale trapezi. La sua differenza è che tale trapezio è un quadrilatero convesso con un asse di simmetria passante per i punti medi di due lati opposti. I suoi lati sono uguali.

Esistono diversi modi per trovare l'area di un trapezio isoscele.

• Attraverso le lunghezze di tre lati. In questo caso, le lunghezze dei lati coincideranno, quindi sono designate con un valore - c, e aeb - le lunghezze delle basi:

• Se si conoscono la lunghezza della base superiore, il lato e l'angolo alla base inferiore, l'area si calcola come segue:

S = c * sin α * (a + c * cos α)

dove a è la base superiore, c è il lato.

• Se invece della base superiore si conosce la lunghezza di quella inferiore - b, l'area viene calcolata utilizzando la formula:

S = c * sin α * (b – c * cos α)

• Se si conoscono due basi e l'angolo alla base inferiore, l'area si calcola attraverso la tangente dell'angolo:

S = ½ * (b2 – a2) * tan α

• L'area viene calcolata anche attraverso le diagonali e l'angolo tra loro. In questo caso, le diagonali hanno la stessa lunghezza, quindi denotiamo ciascuna con la lettera d senza pedici:

S = ½ * d2 * sin α

• Calcoliamo l'area del trapezio, conoscendo la lunghezza del lato, della linea centrale e dell'angolo alla base inferiore.

Sia c il lato laterale, m la linea mediana e a l'angolo:

S = m*c* sinα

A volte puoi inscrivere un cerchio in un trapezio equilatero, il cui raggio sarà r.

È noto che un cerchio può essere inscritto in qualsiasi trapezio se la somma delle lunghezze delle basi è uguale alla somma delle lunghezze dei suoi lati. Allora l'area si trova attraverso il raggio del cerchio inscritto e l'angolo alla base inferiore:

S = 4r2 / sinα

Lo stesso calcolo si effettua utilizzando il diametro D del cerchio inscritto (che tra l'altro coincide con l'altezza del trapezio):

Conoscendo la base e l'angolo, l'area di un trapezio isoscele si calcola come segue:

S = a * b / peccato α

(questa formula e le successive valgono solo per trapezi con circonferenza inscritta).

Utilizzando le basi e il raggio del cerchio, l'area si trova come segue:

Se si conoscono solo le basi, l'area viene calcolata utilizzando la formula:

Attraverso le basi e la linea laterale, l'area del trapezio con il cerchio inscritto e attraverso le basi e la linea mediana - m si calcola come segue:

Area di un trapezio rettangolare

Un trapezio si dice rettangolo se uno dei suoi lati è perpendicolare alla base. In questo caso la lunghezza del lato coincide con l'altezza del trapezio.

Un trapezio rettangolare è formato da un quadrato e un triangolo. Dopo aver trovato l'area di ciascuna delle figure, somma i risultati e ottieni area totale figure.

Inoltre, le formule generali per calcolare l'area di un trapezio sono adatte per calcolare l'area di un trapezio rettangolare.

• Se si conoscono le lunghezze delle basi e l'altezza (o il lato perpendicolare), l'area si calcola con la formula:

S = (a+b)*h/2

Il lato c può fungere da h (altezza). Quindi la formula è simile a questa:

S = (a+b)*c/2

• Un altro modo per calcolare l'area è moltiplicare la lunghezza della linea centrale per l'altezza:

oppure dalla lunghezza del lato perpendicolare laterale:

• Il prossimo modo per calcolare è attraverso la metà del prodotto delle diagonali per il seno dell'angolo compreso tra loro:

S = ½ * d1 * d2 * sin α

Se le diagonali sono perpendicolari la formula si semplifica in:

S = ½ * d1 * d2

• Un altro modo per calcolare è attraverso il semiperimetro (la somma delle lunghezze di due lati opposti) e il raggio del cerchio inscritto.

Questa formula è valida per le basi. Se prendiamo le lunghezze dei lati, uno di essi sarà uguale al doppio del raggio. La formula sarà simile a questa:

S = (2r + c) * r

• Se un cerchio è inscritto in un trapezio, l'area si calcola nello stesso modo:

dove m è la lunghezza della linea centrale.

Area di un trapezio curvo

Un trapezio curvilineo è una figura piana delimitata dal grafico di una funzione continua non negativa y = f(x), definita sul segmento, sull'asse x e sulle rette x = a, x = b. In sostanza, due dei suoi lati sono paralleli tra loro (le basi), il terzo lato è perpendicolare alle basi e il quarto è una curva corrispondente al grafico della funzione.

Piazza trapezio curvo ricerca attraverso l'integrale utilizzando la formula di Newton-Leibniz:

Ecco come vengono calcolate le aree vari tipi trapezio. Ma, oltre alle proprietà dei lati, i trapezi hanno le stesse proprietà degli angoli. Come tutti i quadrilateri esistenti, la somma degli angoli interni di un trapezio è 360 gradi. E la somma degli angoli adiacenti al lato è 180 gradi.

Un trapezio è un quadrilatero in rilievo in cui due lati opposti sono paralleli e gli altri due non paralleli. Se un quadrilatero ha tutti i lati opposti a coppie paralleli allora è un parallelogramma.

Avrai bisogno

• – tutti i lati del trapezio (AB, BC, CD, DA).

Istruzioni

1. Non parallelo lati trapezi si chiamano lati laterali, mentre i lati paralleli si chiamano basi. La linea tra le basi, perpendicolare ad esse - altezza trapezi. Se laterale lati trapezi sono uguali, allora si dice isoscele. Innanzitutto, diamo un'occhiata alla soluzione per trapezi, che non è isoscele.

2. Traccia il segmento BE dal punto B alla base inferiore AD parallelamente al lato trapezi CD. Perché BE e CD sono paralleli e disegnati tra basi parallele trapezi BC e DA, allora BCDE è un parallelogramma e il suo opposto lati BE e CD sono uguali. ESSERE=CD.

3. Osserva il triangolo ABE. Calcolare l'AE laterale. AE=AD-ED. Motivi trapezi BC e AD sono noti e in un parallelogramma BCDE sono opposti lati ED e BC sono uguali. ED=BC, quindi AE=AD-BC.

4. Ora scopri l'area del triangolo ABE utilizzando la formula di Erone calcolando il semiperimetro. S=radice(p*(p-AB)*(p-BE)*(p-AE)). In questa formula, p è il semiperimetro del triangolo ABE. p=1/2*(AB+BE+AE). Per calcolare l'area conosci tutti i dati necessari: AB, BE=CD, AE=AD-BC.

6. Esprimi da questa formula l'altezza del triangolo, che è anche l'altezza trapezi. BH=2*S/AE. Calcolalo.

7. Se il trapezio è isoscele la soluzione può essere eseguita diversamente. Osserva il triangolo ABH. È rettangolare perché uno degli angoli, BHA, è giusto.

8. Disegna l'altezza CF dal vertice C.

9. Studia la cifra HBCF. Rettangolo HBCF, perché ce ne sono due lati sono altezze e le altre due sono basi trapezi, cioè gli angoli sono retti e viceversa lati parallelo. Ciò significa che BC=HF.

10. Osserva i triangoli rettangoli ABH e FCD. Gli angoli alle altezze BHA e CFD sono retti e gli angoli ai laterali lati x BAH e CDF sono uguali perché il trapezio ABCD è isoscele, il che significa che i triangoli sono simili. Perché le altezze BH e CF sono uguali o laterali lati isoscele trapezi AB e CD sono congruenti, allora i triangoli simili sono congruenti. Così lati Anche AH e FD sono uguali.

11. Scopri AH. AH+FD=AD-HF. Perché da un parallelogramma HF=BC, e dai triangoli AH=FD, allora AH=(AD-BC)*1/2.

Trapezio – figura geometrica, che è un quadrilatero in cui due lati, detti basi, sono paralleli, e gli altri due non sono paralleli. Si chiamano lati trapezi. Il segmento tracciato attraverso i punti medi dei lati laterali è chiamato linea mediana trapezi. Un trapezio può avere lati diversi o identici, in questo caso si dice isoscele. Se uno dei lati è perpendicolare alla base, il trapezio sarà rettangolare. Ma è molto più pratico sapere come rilevarlo piazza trapezi .

Avrai bisogno

• Righello con graduazioni millimetriche

Istruzioni

1. Misura tutti i lati trapezi: AB, BC, CD e DA. Registra le tue misurazioni.

2. Sul segmento AB, segna il punto centrale K. Sul segmento DA, segna il punto L, che è anche al centro del segmento AD. Combina i punti K e L, il segmento risultante KL sarà la linea mediana trapezi ABCD. Misurare il segmento KL.

3. Dall'alto trapezi– lancia C, abbassa la perpendicolare alla sua base AD sul segmento CE. Sarà l'altezza trapezi ABCD. Misurare il segmento CE.

4. Chiameremo quindi il segmento KL con la lettera m, e il segmento CE con la lettera h piazza S trapezi L'ABCD si calcola utilizzando la formula: S=m*h, dove m è la linea mediana trapezi ABCD, h – altezza trapezi ABCD.

5. C'è un'altra formula che ti permette di calcolare piazza trapezi ABCD. Base inferiore trapezi– Chiamiamo AD la lettera b, e la base superiore BC la lettera a. L'area è determinata dalla formula S=1/2*(a+b)*h, dove aeb sono le basi trapezi, h – altezza trapezi .

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Suggerimento 3: come trovare l'altezza di un trapezio se l'area è nota

Un trapezio è un quadrilatero in cui due dei quattro lati sono paralleli tra loro. I lati paralleli ne sono la base trapezi, gli altri due sono i lati laterali di questo trapezi. Scoprire altezza trapezi, se conosci la sua zona, sarà molto semplice.

Istruzioni

1. Dobbiamo capire come calcolare l'area dell'iniziale trapezi. Esistono diverse formule per questo, a seconda dei dati iniziali: S = ((a+b)*h)/2, dove a e b sono le lunghezze delle basi trapezi, e h è la sua altezza (Height trapezi– perpendicolare, ribassato da una base trapezi a un altro);S = m*h, dove m è la linea mediana trapezi(La linea mediana è un segmento parallelo alle basi trapezi e collega i punti medi dei suoi lati).

2. Ora, conosciamo le formule per calcolare l'area trapezi, è consentito ricavarne di nuovi per trovare l'altezza trapezi:h = (2*S)/(a+b);h = S/m.

3. Per rendere più chiaro come risolvere problemi simili, puoi guardare degli esempi: Esempio 1: Dato un trapezio la cui area è 68 cm?, la cui linea mediana è 8 cm, devi trovare altezza dato trapezi. Per risolvere questo problema è necessario utilizzare la formula ricavata in precedenza: h = 68/8 = 8,5 cm Risposta: l'altezza di questo trapeziè 8,5 cmEsempio 2: Sia y trapezi l'area è 120 cm?, la lunghezza delle basi è data trapezi sono pari rispettivamente a 8 cm e 12 cm, è necessario rilevarli altezza Questo trapezi. Per fare ciò, è necessario applicare una delle formule derivate: h = (2*120)/(8+12) = 240/20 = 12 cm Risposta: altezza del dato trapezi pari a 12 cm

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Nota!
Qualsiasi trapezio ha una serie di proprietà: - la linea mediana di un trapezio è uguale alla metà della somma delle sue basi; - il segmento che collega le diagonali del trapezio è uguale alla metà della differenza delle sue basi; è disegnato per i punti medi delle basi, allora intersecherà il punto di intersezione delle diagonali del trapezio - Puoi inscrivere una circonferenza in un trapezio se la somma delle basi di un dato trapezio è uguale alla somma delle sue; lati Utilizzare queste proprietà durante la risoluzione dei problemi.

Suggerimento 4: come trovare l'altezza di un triangolo date le coordinate dei punti

L'altezza in un triangolo è il segmento di retta che collega il vertice della figura al lato opposto. Questo segmento deve necessariamente essere perpendicolare al lato quindi da ogni vertice è consentito tracciarne uno solo; altezza. Poiché in questa figura ci sono tre vertici, ci sono lo stesso numero di altezze. Se un triangolo è dato dalle coordinate dei suoi vertici, la lunghezza di ciascuna altezza può essere calcolata, ad esempio, utilizzando la formula per trovare l'area e calcolare le lunghezze dei lati.

Istruzioni

1. Procedi nei tuoi calcoli dal fatto che l'area triangoloè uguale alla metà del prodotto della lunghezza di ciascuno dei suoi lati per la lunghezza dell'altezza abbassata su questo lato. Da questa definizione ne consegue che per trovare l'altezza è necessario conoscere l'area della figura e la lunghezza del lato.

2. Inizia calcolando le lunghezze dei lati triangolo. Designare le coordinate dei vertici della figura come segue: A(X?,Y?,Z?), B(X?,Y?,Z?) e C(X?,Y?,Z?). Quindi puoi calcolare la lunghezza del lato AB utilizzando la formula AB = ?((X?-X?)? + (Y?-Y?)? + (Z?-Z?)?). Per gli altri 2 lati, queste formule saranno simili a queste: BC = ?((X?-X?)? + (Y?-Y?)? + (Z?-Z?)?) e AC = ?(( X?-X?) + (Y?-Y?) + (Z?-Z?)?). Diciamo per triangolo con le coordinate A(3,5,7), B(16,14,19) e C(1,2,13) ​​la lunghezza del lato AB sarà?((3-16)? + (5-14 ) + (7 -19)?) = ?(-13? + (-9?) + (-12?)) = ?(169 + 81 + 144) = ?394 ? 19.85. Le lunghezze dei lati BC e AC, calcolate con lo stesso metodo, saranno uguali?(15? + 12? + 6?) = ?405? 20.12 e?(2? + 3? + (-6?)) =?49 = 7.

3. Conoscere la lunghezza dei 3 lati ottenuta nel passaggio precedente è sufficiente per calcolare l'area triangolo(S) secondo la formula di Erone: S = ? * ?((AB+BC+CA) * (BC+CA-AB) * (AB+CA-BC) * (AB+BC-CA)). Diciamo, dopo aver sostituito in questa formula i valori ottenuti dalle coordinate triangolo-esempio dal passaggio precedente, questa formula darà il seguente valore: S = ?*?((19.85+20.12+7) * (20.12+7-19.85) * (19.85+7-20 .12) * (19.85+ 20.12-7)) = ?*?(46,97 * 7,27 * 6,73 * 32,97) ? ?*?75768.55 ? ?*275,26 = 68,815.

4. In base alla zona triangolo, calcolato nel passaggio precedente, e le lunghezze dei lati ottenute nel secondo passaggio, calcolare le altezze per ciascuno dei lati. Poiché l'area è pari alla metà del prodotto tra l'altezza e la lunghezza del lato su cui è disegnata, per trovare l'altezza dividere l'area raddoppiata per la lunghezza del lato richiesto: H = 2*S/a. Per l'esempio utilizzato sopra, l'altezza abbassata sul lato AB sarà 2*68.815/16.09? 8.55, l'altezza dal lato BC avrà una lunghezza di 2*68.815/20.12? 6.84, e per il lato AC questo valore sarà pari a 2*68.815/7? 19.66.

Esistono molti modi per trovare l'area di un trapezio. Solitamente un tutor di matematica conosce diversi metodi per calcolarlo, vediamoli più nel dettaglio:
1) , dove AD e BC sono le basi e BH è l'altezza del trapezio. Dimostrazione: traccia la diagonale BD ed esprimi le aree dei triangoli ABD e CDB attraverso il semiprodotto delle loro basi e delle loro altezze:

, dove DP è l'altezza esterna in

Sommiamo queste uguaglianze termine per termine e tenendo conto che le altezze BH e DP sono uguali, otteniamo:

Mettiamolo fuori parentesi

Q.E.D.

Corollario alla formula per l'area di un trapezio:
Poiché la semisomma delle basi è uguale a MN, quindi la linea mediana del trapezio

2) Applicazione formula generale area di un quadrilatero.
L'area di un quadrilatero è pari alla metà del prodotto delle diagonali moltiplicato per il seno dell'angolo compreso tra loro
Per dimostrarlo è sufficiente dividere il trapezio in 4 triangoli, esprimere l'area di ciascuno in termini di “metà del prodotto delle diagonali per il seno dell'angolo compreso tra loro” (preso come angolo, sommare il risultato espressioni, toglile dalla parentesi e fattorizza questa parentesi utilizzando il metodo di raggruppamento per ottenere la sua uguaglianza con l'espressione Quindi

3) Metodo dello spostamento diagonale
Questo è il mio nome. Un tutor di matematica non incontrerà un titolo del genere nei libri di testo scolastici. Una descrizione della tecnica può essere trovata solo in allegato libri di testo come esempio di risoluzione di un problema. Noto che la maggior parte delle cose interessanti e fatti utili i tutor di matematica rivelano la planimetria agli studenti in fase di esecuzione lavoro pratico. Questo è estremamente non ottimale, perché lo studente deve isolarli in teoremi separati e chiamarli “ grandi nomi" Uno di questi è lo “spostamento diagonale”. Riguardo a cosa stiamo parlando?Tracciamo una linea parallela ad AC passante per il vertice B fino ad intersecare la base inferiore nel punto E. In questo caso il quadrilatero EBCA sarà un parallelogramma (per definizione) e quindi BC=EA ed EB=AC. La prima uguaglianza è importante per noi adesso. Abbiamo:

Nota che il triangolo BED, la cui area è uguale all'area del trapezio, ha molte altre proprietà notevoli:
1) La sua area è uguale all'area del trapezio
2) Il suo isoscele avviene contemporaneamente agli isoscele del trapezio stesso
3) Il suo angolo superiore al vertice B è uguale all'angolo tra le diagonali del trapezio (che viene utilizzato molto spesso nei problemi)
4) La sua mediana BK è uguale alla distanza QS tra i punti medi delle basi del trapezio. Recentemente ho riscontrato l'uso di questa proprietà durante la preparazione di uno studente di Meccanica e Matematica all'Università statale di Mosca utilizzando il libro di testo di Tkachuk, versione del 1973 (il problema è riportato in fondo alla pagina).

Tecniche speciali per un insegnante di matematica.

A volte propongo problemi utilizzando un modo molto complicato per trovare l'area di un trapezio. La classifico come una tecnica speciale perché in pratica il tutor le usa estremamente raramente. Se hai bisogno di prepararti per l’Esame di Stato Unificato di matematica solo nella Parte B, non sei obbligato a leggerli. Per gli altri ti dirò di più. Si scopre che l'area del trapezio è raddoppiata più area un triangolo con i vertici alle estremità di un lato e al centro dell'altro, cioè il triangolo ABS nella figura:
Dimostrazione: traccia le altezze SM e SN nei triangoli BCS e ADS ed esprimi la somma delle aree di questi triangoli:

Poiché il punto S è il centro di CD, allora (dimostralo tu stesso): Trova la somma delle aree dei triangoli:

Poiché questa somma era pari alla metà dell'area del trapezio, quindi la sua seconda metà. Eccetera.

Includerei nella raccolta di tecniche speciali del tutor la forma di calcolo dell'area di un trapezio isoscele lungo i suoi lati: dove p è il semiperimetro del trapezio. Non darò prove. Altrimenti, il tuo tutor di matematica rimarrà senza lavoro :). Vieni in classe!

Problemi sull'area di un trapezio:

Nota dell'insegnante di matematica: L'elenco seguente non è un accompagnamento metodologico all'argomento, è solo una piccola selezione di compiti interessanti basati sulle tecniche discusse sopra.

1) La base inferiore di un trapezio isoscele è 13 e quella superiore è 5. Trova l'area del trapezio se la sua diagonale è perpendicolare al lato.
2) Trova l'area di un trapezio se le sue basi sono 2 cm e 5 cm e i suoi lati sono 2 cm e 3 cm.
3) In un trapezio isoscele, la base maggiore è 11, il lato è 5 e la diagonale è Trova l'area del trapezio.
4) La diagonale di un trapezio isoscele è 5 e la linea mediana è 4. Trova l'area.
5) In un trapezio isoscele le basi sono 12 e 20 e le diagonali sono tra loro perpendicolari. Calcola l'area di un trapezio
6) La diagonale di un trapezio isoscele forma un angolo con la sua base inferiore. Trova l'area del trapezio se la sua altezza è 6 cm.
7) L'area del trapezio è 20 e uno dei suoi lati è 4 cm Trova la distanza dal centro del lato opposto.
8) La diagonale di un trapezio isoscele lo divide in triangoli con aree di 6 e 14. Trova l'altezza se il lato laterale è 4.
9) In un trapezio, le diagonali sono uguali a 3 e 5 e il segmento che collega i punti medi delle basi è uguale a 2. Trova l'area del trapezio (Mekhmat MSU, 1970).

Non ho scelto i problemi più difficili (non abbiate paura dell'ingegneria meccanica!) con l'aspettativa di poterli risolvere in modo indipendente. Decidi per la tua salute! Se hai bisogno di preparazione per l'esame di stato unificato in matematica, senza la partecipazione a questo processo, potrebbero sorgere formule per l'area di un trapezio problemi seri anche con il problema B6 e ancor di più con C4. Non aprire l'argomento e in caso di difficoltà chiedere aiuto. Un tutor di matematica è sempre felice di aiutarti.

Kolpakov A.N.
Tutor di matematica a Mosca, preparazione all'Esame di Stato Unificato a Strogino.

Un trapezio è un quadrilatero i cui due lati sono paralleli (queste sono le basi del trapezio, indicate nelle figure aeb), e gli altri due non lo sono (nelle figure AD e CB). L'altezza di un trapezio è un segmento h tracciato perpendicolare alle basi.

Come trovare l'altezza di un trapezio dati i valori noti dell'area del trapezio e delle lunghezze delle basi?

Per calcolare l'area S del trapezio ABCD utilizziamo la formula:

S = ((a+b) × h)/2.

Qui i segmenti a e b sono le basi del trapezio, h è l'altezza del trapezio.

Trasformando questa formula possiamo scrivere:

Usando questa formula otteniamo il valore di h se sono note l'area S e le lunghezze delle basi a e b.

Esempio

Se è noto che l'area del trapezio S è di 50 cm², la lunghezza della base a è di 4 cm e la lunghezza della base b è di 6 cm, per trovare l'altezza h usiamo la formula:

Sostituiamo le quantità note nella formula.

h = (2 × 50)/(4+6) = 100/10 = 10 cm

Risposta: L'altezza del trapezio è 10 cm.

Come trovare l'altezza di un trapezio se vengono fornite l'area del trapezio e la lunghezza della linea mediana?

Usiamo la formula per calcolare l'area di un trapezio:

Qui m è la linea mediana, h è l'altezza del trapezio.

Se sorge la domanda su come trovare l'altezza di un trapezio, la formula è:

h = S/m sarà la risposta.

Pertanto, possiamo trovare l'altezza del trapezio h, dati i valori noti dell'area S e del segmento mediano m.

Esempio

Sono note la lunghezza della linea mediana del trapezio m, che è di 20 cm, e l'area S, che è di 200 cm². Troviamo il valore dell'altezza del trapezio h.

Sostituendo i valori di S e m, otteniamo:

h = 200/20 = 10 cm

Risposta: l'altezza del trapezio è 10 cm

Come trovare l'altezza di un trapezio rettangolare?

Se un trapezio è un quadrilatero, con due lati paralleli (basi) del trapezio. Allora una diagonale è un segmento che collega due vertici opposti degli angoli di un trapezio (segmento AC nella figura). Se il trapezio è rettangolare, utilizzando la diagonale troviamo l'altezza del trapezio h.

Un trapezio rettangolare è un trapezio in cui uno dei lati è perpendicolare alle basi. In questo caso la sua lunghezza (AD) coincide con l'altezza h.

Consideriamo quindi un trapezio rettangolo ABCD, dove AD è l'altezza, DC è la base, AC è la diagonale. Usiamo il teorema di Pitagora. Quadrato dell'ipotenusa AC triangolo rettangolo ADC pari alla somma i quadrati delle sue gambe AB e BC.

Allora possiamo scrivere:

AC² = AD² + DC².

AD è il cateto del triangolo, il lato laterale del trapezio e, allo stesso tempo, la sua altezza. Dopotutto il segmento AD è perpendicolare alle basi. La sua lunghezza sarà:

AD = √(AC² - DC²)

Quindi, abbiamo una formula per calcolare l'altezza di un trapezio h = AD

Esempio

Se la lunghezza della base di un trapezio rettangolare (DC) è 14 cm, e la diagonale (AC) è 15 cm, usiamo il teorema di Pitagora per ottenere il valore dell'altezza (AD - lato).

Sia x il cateto sconosciuto di un triangolo rettangolo (AD).

Si può scrivere AC² = AD² + DC²

15² = 14² + x²,

x = √(15²-14²) = √(225-196) = √29 cm

Risposta: l'altezza di un trapezio rettangolo (AB) sarà √29 cm, ovvero circa 5,385 cm

Come trovare l'altezza di un trapezio isoscele?

Un trapezio isoscele è un trapezio le cui lunghezze dei lati sono uguali tra loro. La linea retta tracciata attraverso i punti medi delle basi di tale trapezio sarà l'asse di simmetria. Un caso speciale è un trapezio, le cui diagonali sono perpendicolari tra loro, quindi l'altezza h sarà pari alla metà della somma delle basi.

Consideriamo il caso in cui le diagonali non sono perpendicolari tra loro. In un trapezio equilatero (isoscele) gli angoli alle basi sono uguali e le lunghezze delle diagonali sono uguali. È anche noto che tutti i vertici di un trapezio isoscele toccano la linea di un cerchio disegnato attorno a questo trapezio.

Diamo un'occhiata al disegno. ABCD è un trapezio isoscele. È noto che le basi del trapezio sono parallele, il che significa che BC = b è parallelo ad AD = a, lato AB = CD = c, il che significa che gli angoli alle basi sono corrispondentemente uguali, possiamo scrivere l'angolo BAQ = CDS = α e l'angolo ABC = BCD = β. Pertanto, concludiamo che il triangolo ABQ è uguale al triangolo SCD, che significa il segmento

AQ = SD = (AD - BC)/2 = (a - b)/2.

Avendo, secondo le condizioni del problema, i valori delle basi a e b, e la lunghezza del lato c, troviamo l'altezza del trapezio h, pari al segmento BQ.

Consideriamo il triangolo rettangolo ABQ. VO è l'altezza del trapezio, perpendicolare alla base AD, e quindi al segmento AQ. Troviamo il lato AQ del triangolo ABQ utilizzando la formula che abbiamo derivato in precedenza:

Avendo i valori di due cateti di un triangolo rettangolo, troviamo l'ipotenusa BQ = h. Usiamo il teorema di Pitagora.

AB²= AQ² + BQ²

Sostituiamo questi compiti:

c² = AQ² + h².

Otteniamo una formula per trovare l'altezza di un trapezio isoscele:

h = √(c²-AQ²).

Esempio

Dato un trapezio isoscele ABCD, dove base AD = a = 10 cm, base BC = b = 4 cm e lato AB = c = 12 cm. In tali condizioni, vediamo un esempio di come trovare l'altezza di un trapezio isoscele ABCD.

Troviamo il lato AQ del triangolo ABQ sostituendo i dati noti:

AQ = (a - b)/2 = (10-4)/2=3 cm.

Ora sostituiamo i valori dei lati del triangolo nella formula del teorema di Pitagora.

h = √(c²- AQ²) = √(12²- 3²) = √135 = 11,6 cm.

Risposta. L'altezza h del trapezio isoscele ABCD è 11,6 cm.