Interazione tra la posizione di una retta e di una circonferenza. Foglio di lavoro di geometria "Posizione relativa di una linea e di un cerchio"

Foglio di studio

sull'argomento “La posizione relativa di una linea e di un cerchio. La posizione relativa di due cerchi"

(3 ore)

SAPERE:		ESSERE IN GRADO DI:
Condizioni per la posizione relativa di una retta e di un cerchio; Determinazione della secante e della tangente ad una circonferenza; Proprietà di una tangente ad una circonferenza; Teorema sulla perpendicolarità del diametro e della corda e suo inverso; Condizioni per la posizione relativa di due cerchi; Definizione di cerchi concentrici.		Disegna una tangente al cerchio; Utilizzare le proprietà di una tangente durante la risoluzione dei problemi; Risolvere problemi utilizzando il teorema sulla perpendicolarità di diametro e corda; Risolvere problemi sulle condizioni della posizione relativa di una linea, di un cerchio e di due cerchi.

Come risultato dello studio dell'argomento di cui hai bisogno:

Letteratura:

2. Geometria. 7 ° grado. , . Almaty "Atamura". 2012

3. Geometria. 7 ° grado. Manuale metodico. . Almaty "Atamura". 2012

4. Geometria. 7 ° grado. Materiale didattico. . Almaty "Atamura". 2012

5. Geometria. 7 ° grado. Raccolta di compiti ed esercizi. , . Almaty "Atamura". 2012

Acquisire conoscenza è coraggio,

Moltiplicarli è saggezza,

E applicarli abilmente è una grande arte.

Ricorda che devi lavorare secondo l'algoritmo.

Non dimenticare di controllare, prendere appunti a margine e compilare la scheda di valutazione dell'argomento.

Per favore non lasciare nessuna domanda senza risposta.

Sii obiettivo durante la revisione tra pari, aiuterà sia te che la persona che stai recensendo.

Vi auguro il successo!

ESERCIZIO 1

1) Considera inposizione relativa di una retta e di un cerchio e compilare la tabella (3b):

Caso 1: La retta non ha un solo punto in comune con la circonferenza (non si interseca)

UN https://pandia.ru/text/80/248/images/image002_86.gif" larghezza="41" altezza="20">

Caso 2 : Una retta e un cerchio hanno un solo punto in comune (si toccano)

https://pandia.ru/text/80/248/images/image002_86.gif" larghezza="41" altezza="20">

Caso 3: Una linea retta ha due punti in comune con un cerchio (si intersecano)

https://pandia.ru/text/80/248/images/image005_61.gif" larghezza="45" altezza="17">

2) Leggi le definizioni, i teoremi, i corollari e imparali (5b):

Definizione: Si chiama una retta che ha due punti in comune con una circonferenza secante

Definizione : Si chiama retta che ha un solo punto in comune con la circonferenza ed è perpendicolare al raggio tangente al cerchio.

https://pandia.ru/text/80/248/images/image007_19.jpg" align="sinistra" larghezza="127" altezza="114 src="> Corollario 4: Se la distanza dal centro del cerchio alla retta è maggiore del raggio del cerchio, allora la retta non interseca il cerchio.

Teorema 4:

I segmenti tangenti ad una circonferenza tracciata da un punto sono uguali e formano angoli uguali con una retta passante per questo punto e il centro della circonferenza.

3) Rispondere alle domande (3b):

1) Come possono una retta e un cerchio trovarsi su un piano?

2) Può una retta avere tre punti in comune con una circonferenza?

3) Come si traccia la tangente ad una circonferenza passante per un punto giacente sulla circonferenza?

4) Quante tangenti si possono tracciare ad una circonferenza attraverso un punto:

a) sdraiato su un cerchio;

b) sdraiato all'interno del cerchio;

c) giacere fuori dal cerchio?

5) Dato un cerchio ω (O; r) e un punto A giacente all'interno del cerchio. Quanti punti di intersezione ci saranno: a) retta OA; b) trave OA; c) segmento OA?

6) Come dividere a metà una corda di una circonferenza?

CONTROLLO SUPERATO N. 1

COMPITO 2

1) Leggi il testo e guarda le immagini. Fai dei disegni sul tuo quaderno, scrivi le tue conclusioni e imparale (3b):

Consideriamo possibili casi di disposizione reciproca di due cerchi. La posizione relativa di due cerchi è legata alla distanza tra i loro centri.

Cerchi che si intersecano: due cerchi intersecare, se lo hanno due punti comuni. Permettere R1 E R2 – raggi dei cerchi ω 1 E ω 2 , D Cerchi ω1 E ω2 si intersecano se e solo se i numeri R1, R 2, D sono le lunghezze dei lati di un certo triangolo, cioè soddisfano tutte le disuguaglianze del triangolo:

R1 + R2> D, R1+ D> R2, R 2 + D> R1.

Conclusione:Se R1 + R2> D O|R1−R2| < D, quindi i cerchi si intersecano in due punti.

Cerchi tangenti: due cerchi preoccupazione, se lo hanno un punto comune. Avere una tangente comune UN. Permettere R1 E R2 – raggi dei cerchi ω 1 E ω 2 , D – la distanza tra i loro centri.

I cerchi si toccano esternamente , se si trovano uno fuori dall'altro. Quando si toccano esternamente, i centri dei cerchi si trovano lungo lati diversi dalla loro tangente comune. Cerchi ω1 E ω2 toccare esternamente se e solo se R1+ R2= D.

I cerchi si toccano internamente, se uno di essi si trova all'interno dell'altro. Quando si toccano esternamente, i centri dei cerchi si trovano su un lato della loro tangente comune. Cerchi ω1 E ω2 toccare internamente se e solo se |R1−R2|=D.

Conclusione:Se R1 + R2= D O|R1−R2|=D , allora i cerchi si toccano in un punto comune che giace su una retta passante per i centri dei cerchi.

Cerchi disgiunti: due cerchi non si intersecano, se essi non hanno punti comuni. In questo caso, uno di essi si trova dentro l'altro oppure si trovano l'uno fuori dall'altro.

Permettere R1 E R2 – raggi dei cerchi ω 1 E ω 2 , D – la distanza tra i loro centri.

Cerchio ω 1 E ω2 si trovano l'uno fuori dall'altro se e solo se R1 + R2 < D . Cerchio ω1 giace dentro ω2 allora e solo quando |R1−R2| > D .

Conclusione:Se R1 + R2< D O|R1−R2| > D, quindi i cerchi non si intersecano.

Lavoro di prova" href="/text/category/provochnie_raboti/" rel="bookmark"> lavoro di prova №1.

COMPITO 4

1) Decidere se scegliere problemi pari o dispari (2b.):

1. Indicare il numero di punti comuni di una linea e di un cerchio se:

a) la distanza dalla retta al centro del cerchio è 6 cm e il raggio del cerchio è 7 cm;

b) la distanza dalla retta al centro del cerchio è 7 cm e il raggio del cerchio è 6 cm;

c) la distanza dalla retta al centro del cerchio è 8 cm e il raggio del cerchio è 8 cm.

2. Determina la posizione relativa della linea e del cerchio se:

1. R=16 cm, profondità=12 cm; 2. R=8 cm, p=1,2 dm; 3. R=5 cm, p=50 mm

3. Qual è la posizione relativa dei cerchi se:

d = 1 dm, R1 = 0,8 dm, R2 = 0,2 dm

d = 40 cm, R1 = 110 cm, R2 = 70 cm

d = 12 cm, R1 = 5 cm, R2 = 3 cm

d = 15 dm, R1 = 10 dm, R2 = 22 cm

4. Indicare il numero di punti di interazione di due cerchi in base al raggio e alla distanza tra i centri:

a) R = 4 cm, r = 3 cm, OO1 = 9 cm; b) R = 10 cm, r = 5 cm, ОО1 = 4 cm

c) R = 4 cm, r = 3 cm, OO1 = 6 cm; d) R = 9 cm, r = 7 cm, OO1 = 4 cm.

1. Trova le lunghezze di due segmenti della corda in cui lo divide il diametro del cerchio, se la lunghezza della corda è 16 cm e il diametro è perpendicolare ad essa.

2. Trova la lunghezza della corda se il diametro è perpendicolare ad essa e uno dei segmenti tagliati dal diametro da esso è 2 cm.

3) Completa la scelta dei compiti di costruzione pari o dispari (2b):

1. Costruisci due cerchi con raggio 2 cm e 4 cm, la cui distanza tra i centri è zero.

2. Disegna due cerchi di raggio diverso (3 cm e 2 cm) in modo che si tocchino. Segna la distanza tra i loro centri con un segmento di linea. Considera le tue opzioni.

3. Costruisci un cerchio con un raggio di 3 cm e una linea retta situata a una distanza di 4 cm dal centro del cerchio.

4. Costruisci un cerchio con un raggio di 4 cm e una linea retta situata a una distanza di 2 cm dal centro del cerchio.

CONTROLLO SUPERATO N.4

COMPITO 5

Ben fatto! Puoi iniziare lavoro di prova n. 2.

COMPITO 6

1) Trova un errore nell'affermazione e correggilo, motivando la tua opinione. Scegli due affermazioni qualsiasi (4b.): A) Due cerchi si toccano esternamente. I loro raggi sono pari a R = 8 cm e r = 2 cm, la distanza tra i centri è d = 6.
B) Due cerchi hanno almeno tre punti in comune.
B) R = 4, r = 3, d = 5. I cerchi non hanno punti in comune.
D) R = 8, r = 6, d = 4. Il cerchio più piccolo si trova all'interno di quello più grande.
D) Non è possibile posizionare due cerchi in modo che uno sia dentro l'altro.

2) Decidere se scegliere problemi pari o dispari (66.):

1. Due cerchi si toccano. Il raggio del cerchio più grande è 19 cm e il raggio del cerchio piccolo è 4 cm in meno Trova la distanza tra i centri dei cerchi.

2. Due cerchi si toccano. Il raggio del cerchio più grande è 26 cm e il raggio del cerchio piccolo è 2 volte più piccolo. Trova la distanza tra i centri dei cerchi.

3. Prendi due punti D E F affinché DI = 6 cm. Disegna due cerchi (D, 2 cm) E (F, 3 cm). Come si trovano questi due cerchi l'uno rispetto all'altro? Trarre una conclusione.

4. Distanza tra i punti UN E IN equivale 7 cm Disegna cerchi con centri nei punti UN E IN, raggi uguali a 3 cm E 4 cm. Come sono disposti i cerchi? Trarre una conclusione.

5. Tra due cerchi concentrici con raggio 4 cm e 8 cm, si trova un terzo cerchio in modo che tocchi i primi due cerchi. Qual è il raggio di questo cerchio?

6. Cerchi i cui raggi sono 6 cm e 2 cm si intersecano. Inoltre il cerchio più grande passa per il centro del cerchio più piccolo. Trova la distanza tra i centri dei cerchi.

SUPERARE IL TEST N.6

Lavoro di prova n. 1

Scegli una delle opzioni del test e risolvi (10 domande, 1 punto ciascuna):

1 opzione A) accordo; B) diametro; C) secante; D) tangente. 2. Per un punto giacente su una circonferenza si possono tracciare...... tangenti Un solo; B) due; 3. Se la distanza dal centro del cerchio alla linea retta è inferiore alla lunghezza del raggio del cerchio, allora la linea retta... D) non esiste una risposta corretta. 4. Se la distanza dal centro del cerchio alla linea retta è maggiore del raggio del cerchio, allora la linea retta... A) tocca il cerchio in un punto; B) interseca il cerchio in due punti; C) non interseca il cerchio; D) non esiste una risposta corretta. 5. I cerchi non si intersecano né si toccano se... UN) R1+ R2= D; IN) R1+ R2< D; CON) R1+ R2> D; D) d = 0. 6. Tangente e raggio tracciati nel punto di tangenza... A) parallelo; B) perpendicolare; C) coincidono; D) non esiste una risposta corretta. 7. I cerchi si toccano esternamente. Il raggio del cerchio più piccolo è 3 cm, il raggio del cerchio più grande è 5 cm Qual è la distanza tra i centri? 8. Qual è la posizione relativa di due cerchi se la distanza tra i centri è 4 e i raggi sono 11 e 7: 9. Cosa si può dire sulla posizione relativa della linea e del cerchio se il diametro del cerchio è 7,2 cm e la distanza dal centro del cerchio alla linea è 0,4 dm: 10. Dato un cerchio di centro O e punto A. Dove si trova il punto A se il raggio del cerchio è 7 cm e la lunghezza del segmento OA è 70 mm? A) all'interno del cerchio; B) su un cerchio. C) fuori dal cerchio; D) non esiste una risposta corretta.

opzione 2 1. Una retta che ha un solo punto in comune con la circonferenza ed è perpendicolare al raggio si chiama... A) accordo; B) diametro; C) secante; D) tangente. 2. Da un punto che non giace sulla circonferenza si possono tracciare...... le tangenti alla circonferenza Un solo; B) due; C) nessuno; D) non esiste una risposta corretta. 3. Se la distanza dal centro del cerchio alla linea retta è uguale al raggio del cerchio, allora la linea retta A) tocca il cerchio in un punto; B) interseca il cerchio in due punti; C) non interseca il cerchio; D) non esiste una risposta corretta. 4. I cerchi si intersecano in due punti se... UN) R1+ R2= D; IN) R1+ R2< D; CON) R1+ R2> D; D) d = 0 . 5. I cerchi si toccano in un punto se... UN) R1+ R2= D; IN) R1+ R2< D; CON) R1+ R2> D; D) d = 0 . 6. I cerchi si dicono concentrici se... UN) R1+ R2= D; IN) R1+ R2< D; CON) R1+ R2> D; D) d = 0 . 7. I cerchi si toccano internamente. Il raggio del cerchio più piccolo è 3 cm Il raggio del cerchio più grande è 5 cm Qual è la distanza tra i centri dei cerchi? A) 8 cm; B) 2 cm; C) 15 centimetri; D) 3 cm. 8. Qual è la posizione relativa di due cerchi se la distanza tra i centri è 10 e i raggi sono 8 e 2: A) tocco esterno; B) tocco interno; C) si intersecano; D) non si intersecano. 9. Cosa si può dire sulla posizione relativa della linea e del cerchio se il diametro del cerchio è 7,2 cm e la distanza dal centro del cerchio alla linea è 3,25 cm: Un tocco; B) non si intersecano. C) si intersecano; D) non esiste una risposta corretta. 10. Dato un cerchio di centro O e punto A. Dove si trova il punto A se il raggio del cerchio è 7 cm e la lunghezza del segmento OA è 4 cm? A) all'interno del cerchio; B) su un cerchio. C) fuori dal cerchio; D) non esiste una risposta corretta.

Voto: 10 punti. – “5”, 9 - 8 b. – “4”, 7 – 6b. – “3”, 5b. e sotto – “2”

Lavoro di prova n. 2

1) Compila la tabella. Scegli una delle opzioni (6b):

a) posizione relativa di due cerchi:

b) posizione relativa della retta e del cerchio:

2) Risolvi un problema a scelta tra (2b.):

1. Trova le lunghezze di due segmenti della corda in cui si divide il diametro del suo cerchio, se la lunghezza della corda è 0,8 dm e il diametro è perpendicolare ad essa.

2. Trova la lunghezza della corda se il diametro è perpendicolare ad essa e uno dei segmenti tagliati dal diametro da esso è pari a 0,4 dm.

3) Risolvi un problema a tua scelta (2b):

1. Costruisci cerchi la cui distanza tra i loro centri è inferiore alla differenza tra i loro raggi. Segna la distanza tra i centri del cerchio. Trarre una conclusione.

2. Costruisci cerchi, la cui distanza tra i centri è uguale alla differenza nei raggi di questi cerchi. Segna la distanza tra i centri del cerchio. Trarre una conclusione.

Voto: 10 - 9 punti. – “5”, 8 - 7b. – “4”, 6 - 5 b. – “3”, 4b. e sotto – “2”

Ricordiamo una definizione importante: la definizione di cerchio]

Definizione:

Una circonferenza con centro nel punto O e raggio R è l'insieme dei punti del piano situati a distanza R dal punto O.

Prestiamo attenzione al fatto che un cerchio è un insieme tutti punti che soddisfano la condizione descritta. Diamo un'occhiata ad un esempio:

I punti A, B, C, D del quadrato sono equidistanti dal punto E, ma non costituiscono un cerchio (Fig. 1).

Riso. 1. Illustrazione ad esempio

In questo caso la figura è un cerchio, poiché è tutto un insieme di punti equidistanti dal centro.

Se colleghi due punti qualsiasi su una circonferenza, ottieni una corda. La corda passante per il centro si chiama diametro.

MB - accordo; AB - diametro; MnB è un arco, è contratto dalla corda MV;

L'angolo si chiama centrale.

Il punto O è il centro del cerchio.

Riso. 2. Illustrazione ad esempio

Quindi, abbiamo ricordato cos'è un cerchio e i suoi elementi principali. Passiamo ora a considerare la posizione relativa del cerchio e della retta.

Data una circonferenza di centro O e raggio r. Retta P, la distanza dal centro alla retta, cioè perpendicolare alla OM, è uguale a d.

Supponiamo che il punto O non giaccia sulla retta P.

Dati un cerchio e una retta, dobbiamo trovare il numero di punti comuni.

Caso 1 - la distanza dal centro del cerchio alla retta è inferiore al raggio del cerchio:

Nel primo caso, quando la distanza d è minore del raggio del cerchio r, il punto M si trova all'interno del cerchio. Da questo punto tracceremo due segmenti: MA e MB, la cui lunghezza sarà . Conosciamo i valori di r e d, d è inferiore a r, il che significa che l'espressione esiste ed esistono i punti A e B. Per costruzione questi due punti giacciono su una linea retta. Controlliamo se giacciono sul cerchio. Calcoliamo la distanza OA e OB utilizzando il teorema di Pitagora:

Riso. 3. Illustrazione per il caso 1

La distanza dal centro a due punti è uguale al raggio del cerchio, quindi abbiamo dimostrato che i punti A e B appartengono al cerchio.

Quindi i punti A e B appartengono alla retta per costruzione, appartengono al cerchio per quanto è stato dimostrato: il cerchio e la retta hanno due punti in comune. Dimostriamo che non ci sono altri punti (Fig. 4).

Riso. 4. Illustrazione per la dimostrazione

Per fare ciò, prendi un punto arbitrario C su una linea retta e supponi che si trovi su un cerchio - distanza OS = r. In questo caso il triangolo è isoscele e la sua mediana ON, che non coincide con il segmento OM, è l'altezza. Otteniamo una contraddizione: due perpendicolari vengono lasciate cadere dal punto O su una linea retta.

Quindi non ci sono altri punti in comune sulla retta P con il cerchio. Abbiamo dimostrato che nel caso in cui la distanza d è minore del raggio del cerchio r, la retta e il cerchio hanno solo due punti in comune.

Caso due - la distanza dal centro del cerchio alla retta è pari al raggio del cerchio (Fig. 5):

Riso. 5. Illustrazione per il caso 2

Ricordiamo che la distanza di un punto da una retta è la lunghezza della perpendicolare, in questo caso OH è la perpendicolare. Poiché, per condizione, la lunghezza OH è uguale al raggio del cerchio, allora il punto H appartiene al cerchio, quindi il punto H è comune alla linea e al cerchio.

Dimostriamo che non esistono altri punti comuni. Al contrario: supponiamo che il punto C sulla retta appartenga al cerchio. In questo caso la distanza OS è uguale a r, e quindi OS è uguale a OH. Ma in un triangolo rettangolo l'ipotenusa OC è maggiore del cateto OH. Abbiamo una contraddizione. Pertanto, l'ipotesi è falsa e non esiste altro punto oltre H comune alla linea e al cerchio. Abbiamo dimostrato che in questo caso esiste un solo punto comune.

Caso 3 - la distanza dal centro del cerchio alla retta è maggiore del raggio del cerchio:

La distanza da un punto a una linea è la lunghezza della perpendicolare. Tracciamo una perpendicolare dal punto O alla linea P, otteniamo il punto H, che non giace sul cerchio, poiché OH è per condizione maggiore del raggio del cerchio. Dimostriamo che ogni altro punto della retta non giace sulla circonferenza. Questo è chiaramente visibile da triangolo rettangolo, la cui ipotenusa OM è maggiore del cateto OH, e quindi maggiore del raggio del cerchio, quindi il punto M non appartiene al cerchio, come qualsiasi altro punto della retta. Abbiamo dimostrato che in questo caso il cerchio e la retta non hanno punti in comune (Fig. 6).

Riso. 6. Illustrazione per il caso 3

Consideriamo teorema . Supponiamo che la retta AB abbia due punti in comune con il cerchio (Fig. 7).

Riso. 7. Illustrazione del teorema

Abbiamo un accordo AB. Il punto H, per convenzione, è il centro della corda AB e giace sul diametro CD.

Occorre dimostrare che in questo caso il diametro è perpendicolare alla corda.

Prova:

Considera il triangolo isoscele OAB, è isoscele perché .

Il punto H, per convenzione, è il punto medio della corda, cioè il punto medio della mediana AB di un triangolo isoscele. Sappiamo che la mediana di un triangolo isoscele è perpendicolare alla sua base, cioè è l'altezza: , quindi così è dimostrato che il diametro passante per il centro della corda è perpendicolare ad essa.

Giusto e teorema inverso : se il diametro è perpendicolare alla corda, allora passa per il suo centro.

Data una circonferenza di centro O, diametro CD e corda AB. È noto che il diametro è perpendicolare alla corda; bisogna provare che passa per il suo centro (Fig. 8).

Riso. 8. Illustrazione del teorema

Prova:

Considera il triangolo isoscele OAB, è isoscele perché . OH, per convenzione, è l'altezza del triangolo, poiché il diametro è perpendicolare alla corda. L'altezza in un triangolo isoscele è anche la mediana, quindi AN = HB, il che significa che il punto H è il punto medio della corda AB, il che significa che è dimostrato che il diametro perpendicolare alla corda passa per il suo punto medio.

Il teorema diretto e inverso può essere generalizzato come segue.

Teorema:

Un diametro è perpendicolare ad una corda se e solo se passa per il suo punto medio.

Quindi, abbiamo considerato tutti i casi di posizione relativa di una linea e di un cerchio. Nella prossima lezione vedremo la tangente ad una circonferenza.

Bibliografia

1. Alexandrov A.D. ecc. Geometria 8a elementare. - M.: Educazione, 2006.
2. Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V. Geometria 8. - M.: Educazione, 2011.
3. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. Geometria 8a elementare. - M.: VENTANA-GRAF, 2009.

1. Edu.glavsprav.ru ().
2. Webmath.exponenta.ru ().
3. Fmclass.ru ().

Compiti a casa

Compito 1. Trova le lunghezze di due segmenti della corda in cui lo divide il diametro del cerchio, se la lunghezza della corda è 16 cm e il diametro è perpendicolare ad essa.

Attività 2. Indicare il numero di punti comuni di una linea e di un cerchio se:

a) la distanza dalla retta al centro del cerchio è 6 cm e il raggio del cerchio è 6,05 cm;

b) la distanza dalla retta al centro del cerchio è 6,05 cm e il raggio del cerchio è 6 cm;

c) la distanza dalla retta al centro del cerchio è 8 cm e il raggio del cerchio è 16 cm.

Compito 3. Trova la lunghezza della corda se il diametro è perpendicolare ad essa e uno dei segmenti tagliati dal diametro da esso è 2 cm.

Compilato da un insegnante di matematica

Scuola secondaria MBOU n. 18, Krasnoyarsk

Andreeva Inga Viktorovna

La posizione relativa di una linea retta e di un cerchio

DI R - raggio

CON D - diametro

AB- accordo

• Cerchio con centro in un punto DI raggio R
• Una retta che non passa per il centro DI
• Indichiamo con la lettera la distanza dal centro del cerchio alla linea retta S

Sono possibili tre casi:

• 1) S

• meno raggio del cerchio, quindi la retta e il cerchio hanno due punti comuni .

Viene chiamato AB diretto secante rispetto al cerchio.

Sono possibili tre casi:

• 2 ) S = R

• Se la distanza dal centro del cerchio alla linea retta equivale raggio del cerchio, quindi la retta e il cerchio hanno un solo punto comune .

S = R

r Se la distanza dal centro del cerchio alla retta è maggiore del raggio del cerchio, allora la retta e il cerchio non hanno punti in comune. sr r O" larghezza="640"

Sono possibili tre casi:

• 3 ) sr

• Se la distanza dal centro del cerchio alla linea retta Di più raggio di un cerchio, poi una retta e un cerchio non hanno punti comuni .

Tangente ad una circonferenza

Definizione: P una linea che ha un solo punto in comune con un cerchio è detta tangente al cerchio, e il loro punto in comune è chiamato punto tangente della linea e del cerchio.

S = R

• retta - secante
• retta - secante
• nessun punto comune
• retta - secante
• retta - tangente

• r = 15 cm, s = 11 cm
• r = 6 cm, s = 5,2 cm
• r = 3,2 m, s = 4,7 m
• r = 7 cm, s = 0,5 dm
• r = 4 cm, s = 4 0 mm

Risolvi il numero 633.

• OABC- quadrato
• AB = 6 cm
• Cerchio di centro O di raggio 5 cm

secanti dalle rette OA, AB, BC, AC

Proprietà tangente: Una tangente ad una circonferenza è perpendicolare al raggio tracciato fino al punto di tangenza.

M– tangente ad una circonferenza con centro DI

M- punto di contatto

OM- raggio

Segno della tangente: Se una retta passa per l'estremità di un raggio giacente su una circonferenza ed è perpendicolare al raggio, allora è una asativo.

cerchio con centro DI

raggio OM

M- una retta che passa per un punto M

M – tangente

Proprietà delle tangenti passanti per un punto:

Segmenti tangenti a

cerchi disegnati

dallo stesso punto, sono uguali e

formare angoli uguali

con una retta passante

questo punto e il centro del cerchio.

▼ Dalla proprietà tangente

∆ AVO, ∆ ASO–rettangolare

∆ ABO= ∆ ACO – lungo l'ipotenusa e il cateto:

OA - generale,

Cerchio - figura geometrica, costituito da tutti i punti del piano situati ad una data distanza da un dato punto.

Questo punto (O) si chiama centro del cerchio.
Raggio del cerchio- questo è un segmento che collega il centro con qualsiasi punto del cerchio. Tutti i raggi hanno la stessa lunghezza (per definizione).
Accordo- un segmento che collega due punti su un cerchio. Si chiama corda passante per il centro di una circonferenza diametro. Il centro di un cerchio è il punto medio di qualsiasi diametro.
Due punti qualsiasi su un cerchio lo dividono in due parti. Ognuna di queste parti è chiamata arco di cerchio. L'arco si chiama semicerchio, se il segmento che ne collega gli estremi è un diametro.
La lunghezza di un semicerchio unitario è indicata con π .
La somma delle misure in gradi di due archi di cerchio con estremi in comune è uguale a 360º.
Si chiama la parte del piano delimitata da un cerchio tutto intorno.
Settore circolare- una parte di un cerchio delimitata da un arco e due raggi che collegano le estremità dell'arco al centro del cerchio. L'arco che delimita il settore si chiama arco del settore.
Si chiamano due circonferenze aventi un centro comune concentrico.
Si chiamano due cerchi che si intersecano ad angolo retto ortogonale.

La posizione relativa di una linea retta e di un cerchio

1. Se la distanza dal centro del cerchio alla retta è inferiore al raggio del cerchio ( d), allora la retta e il cerchio hanno due punti in comune. In questo caso la linea viene chiamata secante rispetto al cerchio.
2. Se la distanza dal centro del cerchio alla retta è uguale al raggio del cerchio, allora la retta e il cerchio hanno un solo punto in comune. Questa linea si chiama tangente al cerchio, e il loro punto comune è chiamato punto di tangenza tra una linea e un cerchio.
3. Se la distanza dal centro del cerchio alla retta è maggiore del raggio del cerchio, allora la retta e il cerchio non hanno punti comuni
.

Angoli centrali e inscritti

Angolo centraleè un angolo con il vertice al centro della circonferenza.
Angolo inscritto- un angolo il cui vertice giace su una circonferenza e i cui lati intersecano la circonferenza.

Teorema dell'angolo inscritto

Un angolo inscritto è misurato dalla metà dell'arco a cui sottende.

• Corollario 1.
  Gli angoli inscritti che sottendono uno stesso arco sono uguali.


• Corollario 2.
  Un angolo inscritto sotteso da un semicerchio è un angolo retto.

Teorema sul prodotto di segmenti di corde che si intersecano.

Se due corde di una circonferenza si intersecano, il prodotto dei segmenti di una corda è uguale al prodotto dei segmenti dell'altra corda.

Formule di base

• Circonferenza:

C = 2∙π∙R

• Lunghezza arco circolare:

R = С/(2∙π) = D/2

• Diametro:

D = C/π = 2∙R

• Lunghezza arco circolare:

l = (π∙R) / 180∙α,
Dove α - misura di laurea lunghezza dell'arco di cerchio)

• Area di un cerchio:

S = π∙R2

• Area del settore circolare:

S = ((π∙R 2) / 360)∙α

Equazione di una circonferenza

• In un sistema di coordinate rettangolari, l'equazione di un cerchio con raggio è R centrato in un punto C(x o;y o) ha la forma:

(x - x o) 2 + (y - yo) 2 = r 2

• L'equazione di una circonferenza di raggio r con centro nell'origine ha la forma:

x2 + y2 = r2